文档内容
2023学年第二学期期中
高三年级数学学科教学质量监测试卷
考生注意：
1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），
要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 抛物线 的焦点坐标为______.
2. 已知 ，则 _______.
3. 将 化为有理数指数幂的形式为_______.
⃗a=(2m,2) ⃗b=(1,m+1) ⃗a⋅ ⃗b=10
4. 已知向量 ， ，若 ，则实数m= .
5. 设实数 满足 ，则 .
6. 有一组数从小到大排列为： ， ， ， ， ， . 若其极差与平均数相等，则这组
数据的中位数为_______.
7. 已知集合 ，且 ，则实数 的值为 .
8. 在数列 中， ，则 _______.
9. 某公司为了了解某商品的月销售量 （单位：万件）与月销售单价 （单位：元/件）之
间的关系，随机统计了 个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
1 2
月销售单价 （元/件） 10 20 30
5 5
1
月销售量 （万件） 11 8 6 5
0
由表中数据可得回归方程 中 ，试预测当月销售单价为 元/件时，月
销售量为 万件.10. 已知双曲线 ，以双曲线的右顶点 为圆心， 为半径作圆，圆
与双曲线的一条渐近线交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为
_______.
11. 某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位 的正上方安装
探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地 ；
假设2：视探照灯为点 ，且距离地面 米；
假设3：探照灯 照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯 以某一俯角从 侧扫描到 侧时，记为一次扫描，此过程中照
射在地面上的光斑形成一个扇环 . 由此，通过调整 的俯角，逐次扫描形
成扇环 、 、 .
第一次扫描时，光斑的长轴为 ， 米，此时在探照灯 处测得点 的俯
角为 （如下右图）.记 ，经测量知 米，且 是公差约为
米的等差数列，则至少需要经过 次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量 、 满足： ， ，且存在实
数 ，使得 成立，则由 构成的空间几何体的体积是 .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5
分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内
的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.
13. 已知 ，则 （ ）.
． B． C． D．
A
14. 已知随机变量 服从正态分布 . 若 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
15. 已知直线 与平面 ，则下列命题中正确的是 （ ）.A．若 ， ， ，则 B．若 ， ，则
C．若
， ，则 D．若 ， ，则
16. 数列 中， 是其前 项的和，若对任意正整数 ，总存在正整数 ，使得
，则称数列 为“某数列”. 现有如下两个命题：
①等比数列 为“某数列”；
②对任意的等差数列 ，总存在两个“某数列” 和 ，使得 .
则下列选项中正确的是 （ ）.
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在 中，角 的对边分别为 ，
已知
.
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的最小值，并判断此时 的形状.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知点 在圆柱 的底面圆 的圆周上， 为圆 的直径.
（1）求证： ；
（2）若 圆柱的体积为 ，求异面直线 与 所成角
的大小.
19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投 次，每投进一次得2分，否则得 分. 已知甲每次投进的概率为 ，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概
率为 ，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为 ，若前一次没投进，
则该次投进的概率为 .
(1) 求甲投篮 次得 分的概率；
(2) 若乙投篮 次得分为 ,求 的分布和期望；
(3) 比较甲、乙的比赛结果.
20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，设点 在第一象限且在双曲线上，
为坐标原点.
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若 求 的取值范围；
（3）椭圆 的长轴长为 ，且短轴的端点恰好是 两点，直线 与椭圆的另
一个交点为 ．记 、 的面积分别为 、 . 求 的最小值，并写出
取最小值时点 的坐标.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
函数 的表达式为 .（1）若 ，直线 与曲线 相切于点 ，求直线 的方程；
（2）函数 的最小正周期是 ，令 ，将函数 的
零点由小到大依次记为 ，证明：数列 是严格减数列；
（3）已知定义在 上的奇函数 满足 ，
对任意 ，当 时，都有 且 .
记 ， .
当 时，是否存在 ，使得 成立？若存在，求出符合
题意的 ；若不存在，请说明理由.参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
8. 9. 10. 11. 12.
7.
12.解：由已知得 ，所以
所以存在实数 ，使得不等式 有解，则 ，解得
又因为 且 ，所以 在 方向上的数量投影是2，
所以， 围成的空间几何体是以原点为顶点，高为 2，
母线长为 的圆锥（如图）
构成的空间几何体的体积
故由
13. 14. 15. 16.
17.解：（1）由正弦定理得 ..........................2分
又由余弦定理得 ...............................4分
因为 是三角形内角，所以 ....................................6分
（2）由三角形面积公式
..........................8分得 .........................10分
因为 ，当且仅当 时取等号，........................12分
所以 的最小值为 ，此时 为等边三角形.............................14分
18.解：（1）证明：圆柱 中，易知 ，从而 是 在圆 上的投影.....2
分
又 为圆 的直径，可得 .......................4分
由三垂线定理，就得 .......................6分
（2）延长 交圆 于点 ，连接 、 、 ，
易知 ， （或其补角）即为所求的角..........................8分
由题知
解得 .................................10分
中，
由余弦定理得
.......................13分
从而
所以异面直线 与 所成角的大小为 ................................14分
19.解：（1）甲投篮 次得 分，即只投中 次，概率
. ................3分
（2）由题意知 的所有可能取值为
则 .................4分
.................5分.................6分
.................7分
随机变量 的分布为 ..................8分
期望 .................9分
（3）设甲三次投篮的得分 ，则 =
可求得随机变量 的分布为
所以 .............11分
...........12分
又可算得 .......13分
因为 ，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分
另解：设甲三次投篮的次数为 ，
则
设甲的投篮得分为 ，则 ， 从而
20.解：（1）两条渐近线方程为 .............................1分设两条直线夹角为 ，则 ........................2分
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ...............................3分
（2）设 ，由已知得 ..................4分
， ，则
得 ..............................6分
又点 在双曲线上，有 即
从而 得 .
又点 是双曲线在第一象限的点，所以 .
所以 ................................9分
（3）椭圆 中 ，焦点在 轴上，标准方程为 ..................10分
设 ，直线 的斜 率
为
则直线 的方程为
联立方程组 得和 同理可得
该方程的两根分别为
所以 .........................12分
记 ..........................13分
则
当且仅当 即 时取等号，.....................15分
所以 的最小值为 ，此时点 的坐标为 .................16分
另解:
因为 ，所以 即
又 ， ，代入上式化简得
，整理得
21.解（1） 时， 则 ..................1分
从而 ..................3分
所以直线 的方程是 ..................4分（2）由 ，可知 ，则 （ ），.......................5分
当 时 .......................6分
① 当 时， ，此时函数 没有零点；.....................7分
② 当 时，
因为 ，可知 在 上严格增，在 严格减
又 在 上严格增，在 严格减，
所以 时， 在 时有最小值 ，
在 时有最大值
因为 所以 在 上没有交点，
即 在 上没有零点.......................9分
所以函数 的零点 满足 ，.
因为 在 严格减，所以 .
又因为 ，所以数列 是严格减数列........................10分
（3）因为 ，
所以 是以 为周期的周期函数.................11分
因为任意 ，当 时，都有 且 ，
所以当 时， 在 上有唯一的最大值1...............................12分
由 得 ， ................13分
假设存在 ，使得 成立，即 成立
故，当 时， 取得最大值1；
当 时， 取得最大值1
由 ，可知 ①时， ...................15
分
又因为 是奇函数，所以当 时， 在 上有唯一的最小值
故，当 时， 取得最小值 ；
当 时， 取得最小值
由 ，可知 ②时 .....................17
分
若 成立，
则由①②得 ，即
因为 ，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分
