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华侨城高级中学 2024 届高三深圳一模适应性考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知向量a=(1,m)，b =(3,−2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A．−8 B．−6 C．6 D．8
2．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β B．若m//n，m//α，n//β，则α//β
C．若m⊥n，m//α，α⊥β，则n⊥β D．若m//n，m⊥α，α⊥β，则n//β
3．已知S 为等差数列{a }的前n项和，a +2a +a =24，则S =( )
n n 4 9 20 20
A．60 B．120 C．180 D．240
4．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数为
4的概率为( )
1 1 1 2
A． B． C． D．
6 3 2 3
π π
5．已知函数 f(x)=cos(ωx+ )+1(ω>0)的最小正周期为π，则 f(x)在区间[0， ]上的最大值为( )
3 2
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
6．在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=2acosA，则cosA=( )
1 2 3 6
A． B． C． D．
3 4 3 3
x2 y2 x2 y2
7．已知F ，F 是椭圆C : + =1(a>b>0)的两个焦点，双曲线C : − =1的一条渐近线l与C 交
1 2 1 a2 b2 2 m2 3m2 1
于A，B两点．若|FF |=|AB|，则C 的离心率为( )
1 2 1
2 3
A． B． C． 2−1 D． 3−1
2 2
8．已知函数 f(x)的定义域为R，y= f(x)+ex是偶函数，y= f(x)−3ex是奇函数，则 f(x)的最小值为( )
A．e B．2 2 C．2 3 D．2e
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司9．某服装公司对1−5月份的服装销量进行了统计，结果如下：
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（万件） 50 96 142 185 227
若y与x线性相关，其线性回归方程为yˆ =b ˆ x+7.1，则下列说法正确的是( )
A．线性回归方程必过(3,140) B．b ˆ=44.3
C．相关系数r<0 D．6月份的服装销量一定为272.9万件
10．设z ，z 为复数，下列命题中正确的是( )?
1 2
A．z +z =z +z
1 2 1 2
B．若z z =0，则z 与z 中至少有一个是0
1 2 1 2
C．若z2 +z2 =0，则z =z =0
1 2 1 2
D．|z z |=|z ||z |
1 2 1 2
11．已知圆C:x2 + y2 −2kx−2y−2k =0，则下列命题是真命题的是( )
A．若圆C关于直线y=kx对称，则k =±1
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当k =1时，P(x,y)为圆C上任意一点，则y+ 3x的最大值为5+ 3
D．当k =1时，直线l:2x+ y+2=0，M 为直线l上的动点．过点M 作圆C的切线MA，MB，切点为
A，B，则|CM |⋅|AB|最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合A={x|−2−2}，则实数a的取值范围为
．
13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆．若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为 3的平面
截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为 ．
14．已知数列{a }的首项a =1，且满足(a −a −1)(a −2a )=0对任意n∈N*都成立，则能使a =2023
n 1 n+1 n n+1 n m
成立的正整数m的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答
．
题
．
卡
．
指
．
定
．
区
．
域
．
内
．
作
．
答
．
，解答时应写出文字说明、证明过程或
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学科网（北京）股份有限公司演算步骤.
15．（13分）
已知函数 f(x)=alnx−bx2 +1，a，b∈R．若 f(x)在x=1处与直线y=0相切．
（1）求a，b的值；
1
（2）求 f(x)在[ ，e2]（其中e=2.718…为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
e
16．（15分）
如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且∆SAB是边长为 4 的等边三角形，C，D为圆弧AB的两个三
等分点，E是SB的中点．
（1）证明：DE//平面SAC．
（2）求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值．
17．（15分）
某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6
人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．
（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；
（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X ，求X 的分布列和期望．
18．（17分）
设抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ，点P(a,4)在抛物线C上，∆POF（其中O为坐标原点）的面积为
4．
（1）求a；
4
（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为 ，证明：直线l过
3
定点，并求出此定点坐标．
19．（本小题满分17分）
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学科网（北京）股份有限公司对于给定的正整数n，记集合Rn ={α|α=(x ，x ，x ，…，x )，x ∈R， j=1，2，3，…，n}，其中元
1 2 3 n j
素α称为一个n维向量．特别地，0=(0,0,…,0)称为零向量．
设k∈R，α=(a ，a ，…，a )，β=(b ，b ，…，b )∈Rn，定义加法和数乘：α+β=(a +b ，a +b ，
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2
…，a +b )，kα=(ka ，ka ，…，ka )．
n n 1 2 n
对一组向量α
1
，α
2
，…，α
s
(s∈N
+
， s2)，若存在一组不全为零的实数k
1
，k
2
，…，k
s
，使得
kα +k α +…+kα =0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
1 1 2 2 s s
（1）对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①α=(1,1,1)，β=(2,2,2)；
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
③α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ=(1,1,1)．
（2）已知向量α，β，γ线性无关，判断向量α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理
由．
（3）已知m(m2)个向量α ，α ，…，α 线性相关，但其中任意m−1个都线性无关，证明下列结论：
1 2 m
（ⅰ）如果存在等式kα +k α +…+k α =0(k ∈R，i=1，2，3，…，m)，则这些系数k ，k ，…，k
1 1 2 2 m m i 1 2 m
或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式kα +k α +…+k α =0，lα +lα +…+l α =0(k ∈R，l ∈R，i=1，2，3，…，
1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m i i
k k k
m)同时成立，其中l ≠0，则 1 = 2 =…= m ．
1 l l l
1 2 m
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