文档内容
北师大版九年级上册第一章 特殊的平行四边形 单元测试
一．选择题（共10小题）
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等
【答案】B
【解析】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符
合题意；
C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直且相等，菱形不具有对角线相等的性质，矩形不具有对角线垂直，故本选项
不符合题意；
故选：B．
2．若菱形的周长为16，高为2，则菱形的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．32
【答案】C
【解析】解：∵菱形的周长为16，
∴边长＝4，
∴菱形的面积＝4×2＝8，
故选：C．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠ABC＝60°，则OB的长为（ ）
A．3 B．3√3 C．6 D．6√3
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，OA＝OC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
1
∴OA= AC＝3，
2
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=√AB2−OA2=√62−32=3√3，
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E为BC中点，连接OE，若菱形ABCD的周长
为16，则线段OE的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为16，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，
∵E为BC中点，
1
∴OE= BC＝2，
2
故选：A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（ ）
A．2.4 B．2 C．1.5 D．1.2【答案】D
【解析】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，
∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，
∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，
1
此时AM= AP，由勾股定理知BC=√32+42=5，
2
1 1
∵S△ABC =
2
AB•AC =
2
BC•AP，
3×4 12
∴AP= = ，
5 5
1 6
∴AM= AP= =1.2，
2 5
故选：D．
6．如图，在直角坐标系xOy中，菱形ABCD的周长为16，点M是边AB的中点，∠BCD＝60°，则
点M的坐标为（ ）
A．（−√3，﹣2） B．（−√3，﹣1） C．（﹣1，−√3） D．（−√3，2）
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长为16，
∴BC＝DC＝AD＝AB＝4，
∵∠BCD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，∴DB＝BC＝4，
∴OC＝OA＝2√3，
∴OB＝OD＝2，
∵点M是边AB的中点，
∴点M的坐标为（−√3，﹣1），
故选：B．
7．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD
沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处，易证四边形AECF是平行四边形．要使四边形AECF
是菱形，则∠BAE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【答案】A
【解析】解：由折叠的性质得：∠BAE＝∠CAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACE，
∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，
1
∴∠BAE= ×90°＝30°，
3
故选：A．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若
∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB═OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
1
∴∠OAB＝∠OBA= （180°﹣45°）＝67.5°，
2
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
9．如图．矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8．点P是边AD上的动点，过点
P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．则PE+PF的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．4.8
【答案】D
【解析】解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD ＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC=√62+82=10，
1
∴S△AOD =
4
S矩形ABCD ＝12，OA＝OD＝5，
1 1 1 1
∴S△AOD ＝S△AOP +S△DOP =
2
OA•PE +
2
OD•PF =
2
OA（PE+PF）=
2
×5×（PE+PF）＝12，
24
∴PE+PF= =4.8．
5
故选：D．
10．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF
分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于
正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF ＝15；④若AB＝6√2，BM＝3，则MN＝5．其中
结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，{
AH=AF
∠EAH=∠EAF=45°，
AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，
{∠ABE=∠AGE
∠AEB=∠AEG，
AE=AE
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
1
∴S△AEF =
2
×6×5＝15．故③正确；
如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，{
AQ=AN
∠MAQ=∠MAN，
AM=AM
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6√2，
∴BD=√2AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．如图，菱形ABCD中，AB＝10，AC，BD交于点O，若E是AD边的中点，∠AOE＝65°，则
OE的长等于 5 ，∠ADO的度数为 25 ° ．【答案】5，25°
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴BO＝DO，∠ADO= ∠ADC，AB∥CD，
2
∵E是边AD的中点，BO＝DO，
∴OE是△ABD的中位线，
1
∴OE∥AB，OE= AB＝5，
2
∴OE∥CD，
∴∠ACD＝∠AOE＝65°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACD＝65°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝50°，
1
∴∠ADO= ∠ADC＝25°．
2
故答案为：5，25°．
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB
＝6，菱形ABCD的面积为48，则OH的长为 8 ．
【答案】8
【解析】解：∵ABCD是菱形，
AC×BD
∴BO＝DO＝6，AO＝CO，S菱形ABCD =
2
=48，
∴AC＝16，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝8，
1
∴OH= AC＝8．
2
故答案为：8．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，将△ABC沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC＝∠ECA，则AC的长为 6 ．
【答案】6
【解析】解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，
∴AF＝AB，∠AFE＝∠B＝90°，
∴EF⊥AC，
∵∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴AF＝CF，
∴AC＝2AB＝6，
故答案为：6．
14．如图，正方形ABCD的边长为5，E是AB上一点，且BE：AE＝1：4，若P是对角线AC上一
动点，则PB+PE的最小值是 √41 ．（结果保留根号）
【答案】√41
【解析】解：连接BD，
则点D即为点B关于AC的对称点，连接DE交AC于点P，
由对称的性质可得，PB＝PD，故PE+PB＝DE，
由两点之间线段最短可知，DE即为PE+PB的最小值，
∵AB＝AD＝5，BE：AE＝1：4
∴BE＝1，AE＝4，
在Rt△ADE中，
DE=√AD2+AE2=√52+42=√41．
故答案为：√41．15．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，CE＝3BC，H是AF的中点，且CH
长为2√5，那么BC长是 2 ．
【答案】2
【解析】解：连接AC，CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC=√2BC，CF=√2CE，∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴AF＝2CH，
∵CH＝2√5，
∴AF＝4√5，
∵3BC＝CE，
在Rt△ACF中，AC2+CF2＝AF2，
即2BC2+2×9BC2＝80，
∴BC＝2，
故答案为：2．
16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为 4 或 5 或 6 或 1 6 ．
【答案】4或5或6或16
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AD＝20，
∴BQ＝10，
①当BP＝PQ时，过P作PM⊥BQ，交BQ于点M，如图1所示：
则BM＝MQ＝5，且四边形ABMP为矩形，
∴AP＝BM＝5，
②当BQ＝BP时，则BP＝10，在Rt△ABP中，AB＝8，由勾股定理可求得AP＝6，
③当PQ＝BQ时，以点Q为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示：
过Q作QN⊥RS，交RS于点N，则可知RN＝SN，
在Rt△RNQ中，可求得RN＝SN＝6，
则AR＝4，AS＝16，
即R、S为满足条件的P点的位置，
∴AP＝4或16，
综上可知AP为4或5或6或16，
故答案为：4或5或6或16．17．如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为
3√2 ．
【答案】3√2
【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，
在△ABG和△CDH中，
{AB=CD=15
AG=CH=12，
BG=DH=9
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG2+BG2＝AB2，
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
{∠1=∠3
AB=BC ，
∠2=∠4
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝12，CE＝BG＝9，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝12﹣9＝3，
同理可得HE＝3，在Rt△GHE中，GH=√GE2+H E2=√32+32=3√2，
故答案为：3√2．
18．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段
AB，CD上的动点，且 BF＝DG，现以 BE，BF为边作长方形 BEHF，以 DG为边作正方形
DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S ，S ，长方形BEHF和
1 2
正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，四边形KILH的面
192
积为 4 8 或 ．
25
192
【答案】48或
5
【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，
（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
31
解得DG＝9或 ．
5
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴HL＝DG﹣AF＝9﹣1＝8，IL＝BE﹣AJ＝10﹣4＝6，
∴四边形KILH的面积＝6×8＝48；
31 19 34
当DG= 时，AF＝CG= ，AJ= ，
5 5 5
31 19 12 34 16
∴HL＝DG﹣AF= − = ，IL＝BE﹣AJ＝10− = ，
5 5 5 5 512 16 192
∴四边形KILH的面积= × = ．
5 5 25
192
故答案为48或 ．
5
三．解答题（共8小题）
19．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF∥BE，DF＝BE．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAD，求证： ABCD为菱形．
▱
【解析】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠CEB，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
{
AF=CE
在△ADF和△CBE中 ∠DFA=∠BEC，
DF=EB
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴ ABCD为菱形．
▱20．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且OA＝OB．
（1）求证：▱ ABCD是矩形；
（2）点E在▱BA延长线上，且AE＝AB，连接DE，求证：DE＝AC．
1 1
【解析】（1）证明：在 ABCD中，OA＝OC= AC，OB＝OD= BD，
2 2
▱
又∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）∵ ABCD是矩形，
∴CD＝A▱B，CD∥BE，
∵AE＝AB，
∴CD＝AE，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝
FE，连接AE、AD、CE．
（1）求证：四边形AECD是矩形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．【解析】证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，
∴CF＝FA，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
（2）当∠BAC＝90°时，
理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD＝BD＝CD，
∵由（1）得四边形AECD是矩形，
∴矩形AECD是正方形．
22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝CD＝AE＝6．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB＝18，F为AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点A出发，在直线AB上
向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在直线CD上向左运动，设运动时间为
t秒．当M，N运动时，是否存在以点M，F，N，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请
求出t的值和平行四边形的面积，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，
∴AE∥CD，
∵CD＝AE，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形，
（2）存在，1
由题意知AF= AB＝9，过点D作AB的垂线，垂足为H，
2
∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴在Rt△AHD中，∠ADH＝30°，
1
∴AH= AD＝3，
2
∴DH=√AD2−AH2=√62−32=3√3，
∵运动时间为t秒，
①如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AF﹣AM＝9﹣3t，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形MFND为平行四边形，
即9﹣3t＝6﹣t，
3
解得t= ，
2
3 27
此时S ＝MF×DH＝（9﹣3× ）×3√3= √3；
MFND 2 2
▱
②如图，AM＝3t，CN＝t，MF＝AM﹣AF＝3t﹣9，ND＝CD﹣CN＝6﹣t，
若MF＝ND，则四边形FMND为平行四边形，
即3t﹣9＝6﹣t，
15
解得t= ，
4
15 27
此时S ＝MF×DH＝（3× −9）×3√3= √3；
FMND 4 4
▱3 27 15
综上：当t= 时，四边形MFND为平行四边形，面积为 √3；当t= 时，四边形FMND为
2 2 4
27
平行四边形，面积为 √3．
4
23．如图，BN、CM 分别是△ABC 的两条高，点 D、点 E 分别是 BC、MN 的中点，求证：
DE⊥MN．
【解析】证明：如图，连接DM，DN，
∵BN、CM分别是△ABC的两条高，
∴BN⊥AC，CM⊥AB，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
∵D是BC的中点，
1 1
∴DM= BC，DN= BC，
2 2
∴DM＝DN，
又∵E为MN的中点，
∴DE⊥MN．
24．如图，已知正方形ABCD对角线交于点O，点P、点Q分别是BC、CD上的点，DP⊥AQ．求
证：OQ⊥OP．【解析】证明：∵DP⊥AQ，
∴∠DAQ+∠DQA＝90°，∠CDP+∠CPD＝90°，∠DQA+∠CDP＝90°
∴∠DAQ＝∠CDP
又∵AD＝DC，∠ADC＝∠DCB＝90°
∴△ADQ≌△DCP（ASA）
∴DQ＝CP
由正方形性质可知OD＝OC，∠ODQ＝∠OCP＝45°
∴△DOQ≌△COP（SAS）
∴∠1＝∠2
∴∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°
∴OP⊥OQ
25．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于
点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2√2，CE＝2，求CG的长；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．【解析】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，¿，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC=√2AB＝4，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
26．如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接
CM，DN；（1）则DN与CM的数量关系是 CM ＝ DN ，位置关系是 DN ⊥ CM ．
（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．
【解析】解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
故答案为：CM＝DN，DN⊥CM；
（2）如图2，连CE并延长交AD于G，∵BC∥AD，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，NC＝GD＝1，
又∵MF＝CF，
1
∴EF= MG，
2
∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1，
∴AM＝AG＝2，
∴GM=√AM2+AG2=2√2，
∴EF=√2；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴CM=√10，
1 1
∵ CM•BH = BC•BM，
2 2
3√10
∴BH= ，
59√10
∴CH=√BC2−BH2= ，
10
∴∠BPC＝45°，
3√10
∴PH＝BH= ，
10
6√10
∴PC= ，
5
√10
∴PM＝PC﹣CM= ．
5
，试求PM的长．
