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成都七中高2024级高一数学期中测试
考试时间120分钟 满分150分
一、 单选题：本题8个小题，每小题5分，共40分.
1. 集合的知识是现代数学的基础，也是高中数学的基础. 关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人
的产物，在存粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的
最伟大的工作”. 集合论创立于19世纪末，其创立者是德国数学家（ ）
A．莱布尼茨 B．欧拉 C．高斯 D．康托尔
2. 用列举法可将集合 表示为（ ）
A． B． C． D．
3. 命题“ ”的否定是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知 ， ，则 是 的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
6. 钱学森弹道，即“助推—滑翔”弹道，是中国著名 科学家 钱学森
于1948年提出的，该弹道设计具有非常高的科学性和实用性，
将弹道导弹和飞航导弹的轨迹融合，使导弹同时具备突防性和
灵活性，作战能力显著增强。据报道，2019年国庆大阅兵亮
相的部分东风系列中程和洲际导弹就采用了该弹道设计，这极
大地提升了我国的国防实力。关心国防建设的某高一学生，在
学习了“函数的应用”后，用 的图象拟合某一钱学森
弹 道，其中 (千公里)表示导弹横向位移， (千公里)表示导
弹纵向位移，在网络公开平台可获得两组数据: ；
,则 分别为（ ）
A． B． C． D．
7. 若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
8. 若 ，则关于 的方程 的相异实数根个数最大值为（ ）
A． B． C． D．无最大值
二、 多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分，全选对得6分，部分选对得部分分，有
错选得0分.
9. 与函数 是同一函数的有（ ）A． B． C． D．
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ， ，则
11. 若函数 的定义域为 ，且对任意 ，总存在 ，使得 成立，则称
具有性质 ，那么以下满足性质 的函数有（ ）
A． B． C． D．
三、 填空题：本题3个小题，每小题5分，共15分.
12. 不等式 的解集为 .
13. 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 .
14. 若 ， ，且 ，则 的最小值为 .
四、 解答题：本题5个小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.
15. 已知集合 ， .
(1)若 ，求 ， ；
(2)若 ，求 的取值范围.
16. 已知函数 .
（1）若 , 讨论关于 的不等式 的解集（用 表示）；
（2）若 , 当 时， 图象恒在 图象的上方，求 的取值范围.
17. 奇函数 定义域为 ，当 时， .
（1）求 的值，并给出当 时 的解析式；
（2）求函数 的值域.18. 已知函数 .
(1)设集合 ，判断 是否是 中的元素，并说明理由；
(2)证明：当 时， ；
(3)当 时，若有方程 的两相异实根均在 内，求 的取值范围.
19. 定义在 上的函数 满足：
①对 ，有 成立； ② ； ③当 时，有 ； ④ .
(1)计算 ， ， ， ， 的值；
(2)证明：i）当 时， ，
ii) 是减函数；
(3)设 ，记 ，求 的最小值.成都七中高2024级高一数学期中测试参考答案
五、 单选题.
1 2 3 4 5 6 7 8
D C B B A B C B
六、 多选题.
9 10 11
AC ACD CD
七、 填空题.
12. 13. 14.
八、 解答题.
15. 解：(1)当 时， ， ， (2分)
， (4分)
. (6分)
(2) ， (8分)
若 ，有 ，即 ，此时满足 ； (10分)
若 ，有 ，即 ，为满足 ，且有 ，即 ； (12分)
综上， . (13分)
16. 解：（1） ，而 ，对 ，则有 ，
1） 当 ，即 时，原不等式解集为 ，
(2分)
2） 当 ，即 时，原不等式解集为 ，
(4分)
3） 当 ，即 时，原不等式解集为 ，
(6分)
综上，当 时，解集为 , 当 时，解集为 , 当 时，解集为 ; (7分)
(2) 由题设知， ， ， (8分)
分离变量可得 ， ， (10分)
也即 ， , (11分)
现证明 在 上单调递增，
，且 ，则 ，
有 ，即 . (13分)
故 ，即 . (15分)注：讨论分析 最小值的，可酌情给分.
17. 解：（1）由 是奇函数知 ，故 ，即 ， (3分)
当 时， ， ，而 ，
故 ， ; (8分)
（2）先考察 在 上的值域，对 ，令 ，
由 知 ， ，
当 时， ，当 时， ，则有 ， (13分)
再由奇函数 图象关于原点对称，可知 在 上的值域为 ，
则 在 上的值域为 ，即 . (15分)
18. 解：(1) ，命题为真， (2分)
故 是 中的元素； (3分)
(2) 当 时， ，
即 ； (8分)
(3)令 ， ，
方程 与 为同解方程，设两根分别为 ， (10分)
1） 当 ，即 时，二次函数 开口向下，由题设知至少还应满足
解得 ， (12分)
而 ，可知 ， ，满足题设， (14分)
2）当 ，即 时，而二次函数 的对称轴 ，不满足题设， (16分)
综上， . (17分)
注：若未用条件 ，而又未清楚分析判别式大于0、对称轴位置的酌情扣1-2分.
19. 解：(1) 对 ，取 ，可得 ,题设知 ，故得 ，
取 ，可得 ,
取 ，可得 ,即 ，
取 ，可得 ,题设知 ，即 ，
取 ，可得 ,即 ； (5分)（2）i）当 时， ，对 ，取 ，
有 ，故 ， (8分)
ii) ，且 ，即 ，由i）知 ，
对 ，取 ，即 ，
而 ，即 ，
故 是减函数； (12分)
（3）对 ，取 ，即 ，
（当 时，不等式取等）， (15
分)
而 ，可得 ，即 ，
当 时， ，由(2)ii)知， ，即 ，
当 时， ，由(2)ii)知， ，即 ，
故当且仅当 时， ， 最小值为 . (17分)
注：取等条件 给出的得1分，说明了原因的得1分，若用 的单调性分析得取等条件，
应给出单调性证明才能得分.
