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2.3.1 两直线的交点坐标 -B提高练
一、选择题
1．（2020全国高二课时练）过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线
方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
【答案】B
【解析】由 可得直线 与 的交点为 ，
与直线 垂直的直线斜率为 ，由点斜式，得直线方程为 ，
即 ，故选B.
2．（2020安徽师大附中高二期中）已知直线 和直线 都过点 ,则过
点 和点 的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】把 坐标代入两条直线 和 ,得
, , ,
过点 , 的直线的方程是： ,
,则 ,
, , 所求直线方程为： ．
3．（2020·全国高一课时练习）已知 ，直线 与线段 交于点 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 . .
∵ ，∴ ∴ ，故选：A
4．（2020福建三明一中高二期末）若曲线 及 能围成三角形，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】曲线 由两条射线构成，它们分别是射线 及射线 .
因为方程 的解 ，故射线 与直线 有一个交点；
若曲线 及 能围成三角形，则方程 必有一个解，故 ，因此
，选C.
5．（多选题）（2020安徽铜陵二中高二月考）已知三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0交于一点，
则坐标(m，n)可能是( )
A．(1，－3) B．(3，-4) C．(－3,1) D．(－4,3)
【答案】AB
【解析】由 得 ,由三条直线相交于一点，可知m×1＋n×2＋5＝0,即m＋2n＋5＝0，结合选项可知AB项正确．
6.（多选题）（2020江苏张家港高二期中）已知直线l：3x﹣y﹣1＝0，l：x＋2y﹣5＝0，l：x﹣ay﹣3＝0
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不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】BCD
【解析】因为直线l 的斜率为3，直线l 的斜率为 ，所以直线 一定相交，交点坐标是方程组
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的解，解得交点坐标为： .当 时，直线 与横轴垂直，方程为： 不经过点
，所以三条直线能构成三角形；当 时，直线 的斜率为： .当直线l 与直线l 的斜率相等时，
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即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 与直线l 的斜率相等时，
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即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；当直线l 过直线 交点
3
时，三条直线不能构成三角形，即有 ，故选：BCD
二、填空题
7.已知直线ax+by-2=0,且3a-4b=1,则该直线必过定点 .
【答案】 (6,-8)
3a-1 {4x+3 y=0, { x=6,
【解析】由3a-4b=1,得b= ,代入ax+by-2=0,得a(4x+3y)=y+8.令 解得
4 y+8=0, y=-8.
8．（2020江西宜春高二期中）已知两直线l：mx＋8y＋n＝0和l：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使
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(1)l 与l 相交于点P(m，－1)；则m+n＝_______
1 2
(2)l∥l.则_________________
1 2【答案】8； .
【解析】（1）将点P（m，﹣1）代入两直线方程得：m2﹣8+n=0 和 2m﹣m﹣1=0，
解得 m=1，n=7．m+n=8．（2）由 l∥l 得：m2﹣8×2=0，m=±4，
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又两直线不能重合，所以有 8×（﹣1）﹣mn≠0，对应得 n≠2m，
所以当 m=4，n≠﹣2 或 m=﹣4，n≠2 时，l∥l．
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9．（2020福建莆田一中高二月考）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相
等的直线方程为________.
【答案】 或
【解析】由题意可设所求直线方程为 ，
即 ，令 ，得 ；令 ，得
∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等，∴ ，即 或
∴所求直线方程为 或
10．（2020银川一中高二月考）已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0,1＋ )以120°的倾斜角投射
到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为________.
【答案】x＋ y－(1＋ )＝0
【解析】如图，设入射光线与 交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，
由入射光线倾斜角为120°可得入射光线所在直线的斜率为－ ，
又入射光线过点P(0,1＋ )，∴入射光线所在的直线方程为 ，即 x＋y－(1＋ )＝0．
解方程组 得 ,所以点Q的坐标为(1,1)．
过点Q作垂直于 的直线l′，显然l′的方程为y＝x．
由反射原理知，点P(0,1＋ )关于l′的对称点P′( ＋1,0)必在反射光线所在的直线上．
所以反射光线所在直线 的方程为 ，即x＋ y－(1＋ )＝0．
三、解答题
11.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,求证:AD,BE,CF三线共点.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),F(0,0),
则直线CF的方程为x=0.
x y
由直线的截距式方程可得直线AC的方程为 + =1,即cx+ay-ac=0.
a c
同理,可得直线BC的方程为cx+by-bc=0.
b b
由于AD为BC边上的高,则直线AD的斜率为 ,由直线的点斜式方程可得直线AD的方程为y= (x-a).
c c
a
同理,得直线BE的方程为y= (x-b).
c
设直线CF和直线AD交于点O,
{ b
y= (x-a), ab
由 c 得点O的坐标为 0,- .
c
x=0
又O点坐标也满足直线BE的方程,
所以直线BE也过点O.所以AD,BE,CF三线共点.12．（2020湖南师大附中高二月考）直线l过定点P(0,1)，且与直线l：x－3y＋10＝0，l：2x＋y－8＝0
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分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
【解析】解法一：设A(x ，y)，由中点公式，有B(－x，2－y)，∵A在l 上，B在l 上，∴
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⇒ ∴k AP ＝ ，
故所求直线l的方程为y＝ x＋1，即x＋4y－4＝0.
解法二：设所求直线l方程为y＝kx＋1，
由方程组 ，
由方程组 ，
∵A、B的中点为P(0,1)，∴ ，∴k＝ .
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法三：设A(x 1 ，y 1 )、B(x 2 ，y 2 )，P(0,1)为MN的中点，则有 ⇒ 代入l 2 的方程，
得2(－x)＋2－y－8＝0，即2x＋y＋6＝0.由方程组 解得 由两点式可得所求
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直线l的方程为x＋4y－4＝0.
解法四：同解法一，设A(x ，y)， 两式相减得x＋4y－4＝0，
0 0 0 0
(1)考察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x ，y)在该直线上；另一方面P(0,1)也在该直线上，从而直线
0 0
x＋4y－4＝0过点P、A．根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
