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六安一中 2024 届高三年级质量检测卷
数学试卷（三）
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
2．复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3． 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．300的不同正因数的个数为（ ）
A．16 B．20 C．18 D．24
5．若函数 ，点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的
距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球
的球面上，球 的体积为 ，且球心 在该圆台内，则该圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 的最大值等
于（ ）
A． B． C． D．
8．“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明·朱察卿）若 ， 两点关于点
学科网（北京）股份有限公司成中心对称，则称 为一对“然诺点”，同时把 和 视为同一对“然诺点”．已
知 ，函数 的图象上有两对“然诺点”，则 等于（ ）
A．4 B．3 C．5 D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知圆 ，点 是圆 上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆 关于直线 对称
B．已知 ， ，则 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最大值为
10．记函数 的导函数为 ，已知 ，若数列 ， 满足
，则（ ）
A． 为等差数列 B． 为等比数列
C． D．
11．如图1，在等腰梯形 中， ，且 ， 为 的中点，沿 将
翻折，使得点 到达 的位置，构成三棱锥 （如图2），则（ ）
A．在翻折过程中， 与 可能垂直
B．在翻折过程中，二面角 无最大值
学科网（北京）股份有限公司C．当三棱锥 体积最大时， 与 所成角小于
D．点 在平面 内，且直线 与直线 所成角为 ，若点 的轨迹是椭圆，则三棱锥
的体积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若偶函数 对任意 都有 ，且当 时， ，则
______．
13．一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子
回到原点处的概率是______．
14．设 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲线 右支上一点，若
的内切圆 的半径为 （ 为圆心），且 ，使得 ，则双曲线 的
离心率为______．
四、解答题：本题共2小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
为迎接2024新春佳节，某地4S店特推出盲盒抽奖营销活动中，店家将从一批汽车模型中随机抽取50个装
入盲盒用于抽奖，已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示．
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 20 10
米色内饰 15 5
（1）从这50个模型中随机取1个，用 表示事件“取出的模型外观为红色”，用 表示事件“取出的模
型内饰为米色”，求 和 ，并判断事件 与 是否相互独立；
（2）活动规定：在一次抽奖中，每人可以一次性拿2个盲盒．对其中的模型给出以下假设：假设1：拿到
的2个模型会出现3种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色．假设
2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高．假设3：该抽奖活动的奖金额为一等奖3000元、二等奖
2000元、三等奖1000元．请你分析奖项对应的结果，设 为奖金额，写出 的分布列并求出 的期望
（精确到元）
16．（本小题满分15分）
在① ，② ，③
学科网（北京）股份有限公司这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且______．
（1）求角 的大小；
（2）已知 ， 是边 的中点，且 ，求 的长．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
17．（本小题满分15分）
如图所示，在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ， ， ，
分别为 ， 的中点．
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求：
① 的长；
②直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
平面直角坐标系 中，动点 在圆 上，动点 （异于原点）在 轴上，且 ，记
的中点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）过点 的动直线 与 交于 ， 两点．问：是否存在定点 ，使得 为定值，其中 ，
分别为直线 ， 的斜率．若存在，求出 的坐标，若不存在，说明理由．
19．（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）若过点 可作曲线 两条切线，求 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 有两个不同极值点 ， ．
①求 的取值范围；
②当 时，证明： ．
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数学试卷（三）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C B A C D B A A ABD ACD AC
12． 13． 14．
15．（1）模型内饰为米色的共有20个，所以 ，
红色外观的模型有35个，其中内饰为米色的共有15个，所以 ，
红色外观模型且内饰为米色的共有15个，所以 ，
，因为 ，所以 ， 不独立．
（2）设事件 “取出的模型外观和内饰均为同色”，事件 “取出的模型外观和内饰都异色”，事
件 “仅外观或仅内饰同色”，
， ，
，
因为 ，所以获得一等奖的概率为 ，二等奖的概率为 ，三等奖的概率为 ．
其分布列为
3000 2000 1000
期望为 ．
16．（1）方案一：选条件①．由 及正弦定理，得
学科网（北京）股份有限公司，即 ，由余弦定理，得 ．
又 ，所以 ．
方案二：选条件②．由 及正弦定理，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ．
方案三：选条件③．由 及正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ．在 中， ，可得
，故 ，因为 ，所以 ，故 ，
因此 ，得 ．
（2）解法一：因为 是边 的中点，所以 ，由（1）知 ，
因为 ，所以 ，故 ，故 ．
由余弦定理得 ，
故 ，因为 ，所以 ， ．
在 中， ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的长为 ．
解法二：由（1）知 ，因为 ，所以 ，
因为 ， 是边 的中点，所以
设 ，则 ，在 中， ①
在 中，由正弦定理， ，即 ②
①②两式相除可得： ，即 ，得
所以 ，
解法三：以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，因为 是边 的中点，所以 ．
因为 ，所以直线 的斜率为 ，则 ，所以 ．又
，所以 ，所以 ，故 的
长为 ．
学科网（北京）股份有限公司17．（1）连接 ， ，因为 ， 分别为 ， 的中点， 是等边三角形，所以
，又 ， ，所以 ， ，
在 和 中， ， ，所以 ，又 为 的中点，所以
，又 ， ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，所以
．
（2）①由（1）可知 为二面角 的平面角，
设 ，则 ， ， ，又 ，
， ， ．
在 和 中， ， 为 的中点． ，
② ， ， ． ，又 ， ， 面
，所以 平面 ，如图，以 为原点建立空间直角坐标系，则 ， ，
， ， ， 为 的中点， ，
易知平面 的一个法向量 ，又 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，故 与平面 所成角的正弦值为 ．
学科网（北京）股份有限公司18．（1）设点 ， ，
因为 ，则 ， ，
由 为 中点得 ，则 ，
代入 ，得 ．
所以动点 的轨迹 的方程为 ．
（2）存在 满足题意，证明如下：
依题意直线 的斜率存在且不为0，
设 的方程： ， ， ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
则 ， ，
直线 方程化为 ．
联立方程 ．消去 得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
可得
，
依题意直线 ， 与坐标轴不平行，且 为定值，
可得 ，
由 ，整理得 ，
由 ，整理得 ，
解得 或 ，
代入 ，解得 或 或 ，
所以 或 或 满足题意
19．（1）依题意， ，
设过点 的直线与曲线 相切时的切点为 ，斜率 ，
切线方程为 ，而点 在切线上，
则 ，即有 ，
由过点 可作曲线 两条切线，得方程 有两个不相等的实数根，
令 ，则函数 有2个零点，
学科网（北京）股份有限公司求导得 ，
①若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，
又 ，
当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
②若 ， 恒成立，函数 在 上单调递增，
因此函数 最多1个零点，不合题意；
③若 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得极大值；当 时， 取得极小值，又 ，
显然当 时， 恒成立，因此函数 最多1个零点，不合题意；
④若 ，显然 ，当 时， ，当 时， ，
函数在 上单调递增，在 上单调递减，当 时， 取得最大值 ，
要函数 有2个零点，必有 ，得 ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司而函数 在 上的值域为 ，因此 在 上的值域为 ，
当 时，令 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则 ， ，
而函数 在 上单调递减，值域为 ，
因此函数 在 上的值域为 ，
于是当 时，函数 有两个零点，
所以过点 可作曲线 两条切线时， 的取值范围是 ．
（2）①由（1）知， ，
由函数 有两个极值点 ， ，得 ，即 有两个实数根 ， ，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递增， 上单调递减， ，
且 ，当 时，函数 恒成立，因此当 时， 有两个实数根
所以函数 有两个极点时， 的取值范围是 ．
②由 ，即 ，得 ，
要证明 ，只需证明 ，
而 ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，欲证明 ，
即证明 ，只需证明 即可，
令 ，
求导得 ，
则 在 时单调递增，故 ，
则 ，令 在 时单调递增，则 ，
因此 ，即 ，
所以 ．
学科网（北京）股份有限公司
