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龙岩市 2024~2025 学年第一学期期末高一教学质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求．请把答案填涂在答题卡上．
1．若全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．若角 终边上一点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若函数 的定义域为 ，则“ 在 上单调递增”是“ 在 上的最大值为
”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若 ， ， ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若幂函数 在区间 上单调递增，则函数 的图像过定点（
）
A． B． C． D．
6．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示．已知某勒洛三角形的周长是 ，则该勒洛三角形
的面积是（ ）
A． B．
C． D．
7．若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
8．若函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．无数个
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案填涂
在答题卡上．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．将函数 图像上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 的图像
C． 的一个对称中心是
D．当 时，函数 的值域是10．已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 ，则（ ）
A．函数 为单调减函数
B．
C．若 ，使得 成立，则
D．函数 （ 且 的图像与函数 的图像的所有交点纵坐标之
和为20
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． ______．
13．函数 （ ， ）在一个周期内的图像如图所示，则 ______．
14．若函数 的值域为 ，且 ，则 的最大值为
______．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数 ．
（1）用定义法证明函数 在区间 上单调递增；
（2）对任意的 都有 成立，求实数 的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知函数 ．
（1）若 ，且 ，求 的值；
（2）若 ，且 ， ，求 的值．
17．（本小题满分15分）
已知函数 是偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 的最小值为 ，求实数 的值．
18．（本小题满分17分）
已知函数 ，其中 ， ．
（1）若 ，且 是函数 的一条对称轴，求 的最小值；
（2）若 ，且存在 ， ，使 成立，求 的取值范围；
（3）若 ， ，且不等式 对 恒成立，求 的值．
19．（本小题满分17分）
双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的
函数，最基础的是双曲正弦函数 和双曲余弦函数 ．（1）证明： ；
（2）求证：函数 存在唯一零点 且 ；
（3）令 ，对任意 ， ，都有
，求实数 的取值范围．
龙岩市 2024～2025 学年第一学期期末高一教学质量检测数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B C D B A A B
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．
题号 9 10 11
选项 AC ACD BD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
11．[解析]
对于A，易知当 时， ， 时 ，
因此可得 在 以及 上分别为单调递减函数，即A错误；
对于B，易知函数 满足 ，因此可得 关于 对称，
即B正确；
对于C，由 ， 即 ，
即 在 有解，易知 ,
所以可得 ，解得 ，即C错误；对于D，画出函数 以及 的图像如下图所示：
易知 也关于 对称， 的周期为4，
一个周期与 有两个交点，所以 与 在 共20个交点，即 ，
故D正确．
故选：BD．
14．[解析]
，因为 ，所以 ，
所以函数 值域为 ，故 ，
则
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．
15．（本小题满分13分）
解：（1）证明：取任意 ， ，且 ，
有
由 ，可得 ，
，即 ，所以 在 上单调递增．（2）由 在 上单调递增，
可得在 上，
依题意得，
又 ，当且仅当 ，
即 时取等号，
所以 ，解得
所以实数 的取值范围是
16．（本小题满分15分）
解：（1） ，...........................3分
由 ，得 ，又 ，所以 ...............................................6分（2）由
得 ，所以 .............................7分
π π 8 4
f( −2β)=2cos( −2β)=2sin2β= sin2β=
又 2 2 5，所以 5 ....................................8分
由于 ，故 ， ， ，
所以 ， ，故 ，...........................................10分
，
所以，
又因为
3π
α−β=
故 4 ．
17．（本小题满分15分）
解：（1）由题意得： ，即 ，
，其中
所以
所以 ，解得：
注：以特殊值求出 ，而未证明的给4分.
（2）由（1）得 ，
所以 ，
令 ，故 的最小值为 ，
等价于 ，解得：
或 ，无解
综上：
18．（本小题满分17分）
解：（1）当 时， ，由已知得，
得 ，由 ，故当 时， 有最小正值3（2）当 时， ，由已知条件，存在 ，
，令 ，
则函数 在区间 上至少存在两个最大值点，
则 ，即 ，所以 的取值范围为
（3） 时，问题转化为：不等式 ，对 恒成立
由 ，则 ，
当 或 时，即 或 时， ，
当 时，即 时， ，
所以当 或 时， ，
当 时， ，
设函数 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且函数 的图像关于直线 对称，所以 ，
所以 ，解得 ，
又由 ，解得 ，
所以
19．（本小题满分17分）
解：（1）证明：右边左边 .
所以
（2）证明：当 时， ，所以 单调递增.
又 ，由于 ，而 ，
所以 .又 ，
所以由零点存在定理得 在 内有唯一零点 ，使得 .-
当 时， ，所以 ，则 在 上无零点；
当 时， ，所以 ，
则 在 上无零点.
综上， 在 上有且仅有一个零点
所以 ，且 ，
则 .
由函数的单调性得函数 在 上单调递减，
则 ，故
（3）因为对于任意 都有 成立，
所以 成立.
因为 当且仅当 时等号成立，
所以即 对于任意 成立，
又 需满足 ， 对于任意 成立，则 ，
由 ，可得 ，所以 ．
式可化为 ，
即对于任意 成立，即 成立，
即对于任意 成立，
因为 ，所以 对于任意 成立，
即 对于任意 成立，而 ，所以 ，
又 ，可得 ，所以 的取值范围为 .
