★秘密·2024年2月9日11：15前
“乾坤杯·年夜狂欢” 线上学业质量测评
数 学 学 科
全卷满分150分，限时120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的考试号（QQ后6位）填写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请在15分钟内提交你的答案，超时后提交的答案无效.
4.请认真阅读考试说明.
★预祝考试顺利★
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 若集合A= { m2 m =1,m∈C } ，B = { a+bi ab=0 } ，则A∩B的元素个数为 （ ▲ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
1
2. 已知AB ( 1,2,−2 ) ，AC(− ,0,1).则点B到直线AC的距离为 （▲ ）
2
A. 2 B. 3 C. 2 D.3
3. 设a>0，函数 f(x)=2x2 +ax与直线y =m交于点A,B.若 f(x)与正三角形ABC的两条边
相切，则m的取值范围为 （▲ ）
3 3 3 3
A.(0, ) B.(−∞, ) C.[ ,+∞) D.( ,+∞)
8 8 8 8
4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百
分位数为30.则m的最小值为 （ ▲ ）
A. 24 B.25 C.28 D.29
π
5. 在递增数列 { a } 中，a = ，sin ( a )=cos ( a ) .已知S 表示 { a } 前n项和的最小值，
n 1 6 n n+1 n n
则sin ( S )= （▲ ）
9
1 3 1 3
A. B. C.− D.−
2 2 2 2
6. 在锐角 ABC 中，已知sin ( 2A+C )=2sinC−sinB，则B,C 的大小关系为 （ ▲ ）
A.B >C B.B =C C.B<C D.无法确定
7. 已知标准椭圆上P,Q两点的切线方程分别为2x+ 3y−1=0，2 3x+ y−1=0，则直线
PQ的斜率为 （▲ ）
A. 3 B.− 3 C.2 D.−2
8. 若满足 f(x)=ax3−bx+c≥0 ( c>0 ) 在[−c,c]上恒成立的a唯一，则整数b的值为 （▲ ）
A.3 B.±3 C. 4 D.±4二 、（多项▲选）（择▲题：）（本▲题共）3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 ABC 的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为 3−1，且A=2C.设D为AC边上动
点，将 ABD沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M ，其体积为V .则 （▲ ）
A. ABC 的外接圆面积为4π
B.M 不 可能是正三棱锥
C.M 的外接球球心不可能在其棱上
D.V 取最大值时， AD < CD
10. 已知 抛物线Γ:y2 =4x的焦点为F ，P为Γ上一动点.过F 且斜率大于 0 的直线与Γ交于不
同的两点A,B，且满足 AF > BF ，AP⊥BP.则下列说法错．误．的是 （▲ ）
A.直线AB的倾斜角大于60
B.若 PF =4，则2 AF = 3 AB +2 BF
C.点 P可能在第一象限
D.直线 PB的横截距不可能是−1
11. 已知函数 f(x)=ax −ax ( a>1 ) ，记a=a 时 f(x)的极值点为x（n∈ N 且a 的值均不同）.
n n • n
则下列说法错．误．的是 （ ▲ ）
A.满足 f(x)有唯一零点的a唯一 B.无论a取何值， f(x)都没有过原点的切线
n
C.若x = x ，则aa <e2e D.若x =ex ，则 ∑( x )≥en −1
1 2 1 2 n+1 n i
i=1
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分．
12. 已知复数z =( z+i )( z−i ) ，若mz = z2 ，则m= ▲ .
13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度.在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B.
当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为 ▲ .
14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
1,2⇒1,2, 1,1⇒1,2,1, 1,2 ⇒1,2,1,1, 2,1⇒⇒1,2,1,1,2,1,1,1,2
记2,3,5经Ξ延伸后得到的无穷数列为 { a } ，则a = ▲ .
n 2024
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）
俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所.一些顶尖的俱
乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、
社会地位等的综合考察.研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100
份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测
不及格 及格 良好 优秀
A卷 a b 16 4
B卷 20 12 6 2
（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；
（2）在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X 的分布列及数学期望；②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当
n远远小于N 时此时，超几何分布可以用二项分布近似. 近似
指的是期望还是方差？试判断并说明理由.
n(ad−bc)2
附：χ2 = ，其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α
0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
x α 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
▲ ▲ ▲
16.（本题满分15分）
已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=ax−lnx，g(x)=
ex
( a ≠0 ) .
x
（1）分别说明 f(x),g(x)的单调性；
（2）若函数 f(g(x))存在唯一极小值点，求a的取值范围.
▲ ▲ ▲
17.（本题满分15分）
已知无限高圆柱OO .如图，四边形ABCD内接于其底面O，P为其内一动点（包括表面），
1
且平面PAB⊥平面PAD，PC ⊥ AB.
（1）是否存在点P使得直线BC ⊥平面PCD？试判断并说明理由.
（2）若OA+OB+OD=0，二面角P−AB−C的大小为45° ，求 AP 最大时直线PC与平面
PBD所成角的余弦值.
P
▲ ▲ ▲
D
A
O
B C
第17题图18.（本题满分17分）
已知焦点为F 的抛物线Γ:y2 =2px ( p>0 ) ，圆F 与Γ在第一象限的交点为P，与x正,负半
轴分别交于点G,H .直线PH ,直线PG与Γ的另一交点分别为M,N ，直线MN与直线PH 交
于点T .
（1）若 PN <2p，证明：∠PNM >2∠PMN ；
（2）若 p =2，求S PNT 的取值范围.
▲ ▲ ▲
19.（本题满分17分）
小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如36=2×2×3×3,
74=2×37等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2,3都是6的质因子.
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子.例如25的质
因子只有5，而36的质因子只有2,3，所以25,36是互质的.
为方便表示，对于任意的正整数n，我们将比n小且与n互质的正整数的个数记为A(n).例如，
小于10且与10互质的数有1,3,7,9，所以A(10)=4，同理有A(12)=4.
（1）求A(60),A(312)；
（2）求所有n∈N*,n≥2，使得A(n)是奇数；
（3）若正整数n= p p p ，其中 p ,p p 表示互不相同的质数. 证明:
1 2 k 1 2 k
1 1 1
A(n)=n(1− )(1− )(1− )
p p p
1 2 k
▲ ▲ ▲
