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★秘密·2024年2月9日11：15前
“乾坤杯·年夜狂欢” 线上学业质量测评
数 学 学 科
全卷满分150分，限时120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的考试号（QQ后6位）填写在答题卡上.
2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请在15分钟内提交你的答案，超时后提交的答案无效.
4.请认真阅读考试说明.
★预祝考试顺利★
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 若集合A= { m2 m =1,m∈C } ，B = { a+bi ab=0 } ，则A∩B的元素个数为 （ ▲ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
1
2. 已知AB ( 1,2,−2 ) ，AC(− ,0,1).则点B到直线AC的距离为 （▲ ）
2
A. 2 B. 3 C. 2 D.3
3. 设a>0，函数 f(x)=2x2 +ax与直线y =m交于点A,B.若 f(x)与正三角形ABC的两条边
相切，则m的取值范围为 （▲ ）
3 3 3 3
A.(0, ) B.(−∞, ) C.[ ,+∞) D.( ,+∞)
8 8 8 8
4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m，满足上四分位数为28，第80百
分位数为30.则m的最小值为 （ ▲ ）
A. 24 B.25 C.28 D.29
π
5. 在递增数列 { a } 中，a = ，sin ( a )=cos ( a ) .已知S 表示 { a } 前n项和的最小值，
n 1 6 n n+1 n n
则sin ( S )= （▲ ）
9
1 3 1 3
A. B. C.− D.−
2 2 2 2
6. 在锐角 ABC 中，已知sin ( 2A+C )=2sinC−sinB，则B,C 的大小关系为 （ ▲ ）
A.B >C B.B =C C.B0 ) 在[−c,c]上恒成立的a唯一，则整数b的值为 （▲ ）
A.3 B.±3 C. 4 D.±4二 、（多项▲选）（择▲题：）（本▲题共）3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知 ABC 的外接圆圆心在AC边上，内切圆半径为 3−1，且A=2C.设D为AC边上动
点，将 ABD沿BD向上翻折，得到四面体ABCD，记为M ，其体积为V .则 （▲ ）
A. ABC 的外接圆面积为4π
B.M 不 可能是正三棱锥
C.M 的外接球球心不可能在其棱上
D.V 取最大值时， AD < CD
10. 已知 抛物线Γ:y2 =4x的焦点为F ，P为Γ上一动点.过F 且斜率大于 0 的直线与Γ交于不
同的两点A,B，且满足 AF > BF ，AP⊥BP.则下列说法错．误．的是 （▲ ）
A.直线AB的倾斜角大于60
B.若 PF =4，则2 AF = 3 AB +2 BF
C.点 P可能在第一象限
D.直线 PB的横截距不可能是−1
11. 已知函数 f(x)=ax −ax ( a>1 ) ，记a=a 时 f(x)的极值点为x（n∈ N 且a 的值均不同）.
n n • n
则下列说法错．误．的是 （ ▲ ）
A.满足 f(x)有唯一零点的a唯一 B.无论a取何值， f(x)都没有过原点的切线
n
C.若x = x ，则aa 0 ) ，圆F 与Γ在第一象限的交点为P，与x正,负半
轴分别交于点G,H .直线PH ,直线PG与Γ的另一交点分别为M,N ，直线MN与直线PH 交
于点T .
（1）若 PN <2p，证明：∠PNM >2∠PMN ；
（2）若 p =2，求S PNT 的取值范围.
▲ ▲ ▲
19.（本题满分17分）
小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如36=2×2×3×3,
74=2×37等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2,3都是6的质因子.
在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子.例如25的质
因子只有5，而36的质因子只有2,3，所以25,36是互质的.
为方便表示，对于任意的正整数n，我们将比n小且与n互质的正整数的个数记为A(n).例如，
小于10且与10互质的数有1,3,7,9，所以A(10)=4，同理有A(12)=4.
（1）求A(60),A(312)；
（2）求所有n∈N*,n≥2，使得A(n)是奇数；
（3）若正整数n= p p p ，其中 p ,p p 表示互不相同的质数. 证明:
1 2 k 1 2 k
1 1 1
A(n)=n(1− )(1− )(1− )
p p p
1 2 k
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