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海南中学高三年级第六次月考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在复平面内，复数 对应的向量 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
.
2 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其
飞行的最大距离 （千米）服从正态分布 ，记 ，
，当 变小时，则（ ）
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 变小
4. 记等比数列 的前 项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A. B. C. 或1 D. 或1
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 与 的夹角的余弦值等于（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 在平面直角坐标系 中，斜率为 直的线 与双曲线 的两条渐近线分别交于P，Q两点，
N为PQ的中点，则直线ON的斜率为（ ）
A. B. C. D. 1
的
7. 已知正四面体 棱长为a，E、F分别为棱PA、BC的中点，则以EF的中点为球心，体积为
的球的球面与该正四面体棱的交点个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
8. 已知函数 有且仅有一个零点，其中 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数 ，下列正确的有（ ）
A. 是偶函数 B. 在区间 单调递增
C. 是周期函数且最小正周期为 D. 图象关于直线 对称
的
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在 ，使得 恰有1个零点
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学科网（北京）股份有限公司B. 过曲线 上任意一点，均可作两条直线与 相切
C. 若 存在两个极值点 ， 且 ，则
D. 若 存在两个极值点 ， ，则
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过其准线 上的动点 作 的两条切线，切点分别为A，B，则
（ ）
A. 准线 的方程为 B. 当 时， 点坐标为
C. A、F、B三点共线 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数 ，在 上单调递增，则 的取值范围是__________．
13. 数列 满足 ， ，记 ，则
__________．
14. 在如图 方格表中， ，且 ， ， ， 两两
互不相等，则满足条件的 方格表共有__________张．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， 成等差数列．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求A；
（2）若 ，求 的取值范围．
16. 如图，在正四棱柱 中，E，F分别为棱 ，BC的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线AE与 所成的角为60°，
（i）证明： 平面 ；
（ii）求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
17. 离心率为 的椭圆 交 轴负半轴和 轴负半轴分别于点A，B，点 ，
且 的面积为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作直线l与椭圆C的一个交点为M，与直线 的交点为N，若P为MN的中点，
求直线l的方程．
18. 已知函数 和 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司19. 一盒子中共有7个大小质地相同的球，其中4个1号球，3个2号球．从盒子中一次随机取出两个球，
如果取出的球是2号球，则将它放回盒子中；如果取出的球是1号球，则不放回盒子中，另补一个2号球
放入袋中．重复进行上述操作n次后，盒子中所有球的号码之和记为 ．
（1） 为何值的概率最大？
的
（2）求随机变量 分布列；
（3）求随机变量 的数学期望 关于 的表达式．
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