文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ，A错； ，B错；
，D错，C正确．
故选：C．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， 同号，显然有 成立，
当 时，两边平方得到 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 是 的充分不必要条件，
故选：A.
3．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
【答案】C
【解析】首先将 名老师排在中间 个位置中的 个位置，再将其余 名学生全排列，
故不同排列方式共有 （种）.
故选：C
4．已知一个圆锥的体积为 ，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面半径为 ，高为 ，母线为 ，如图所示：
则圆锥的体积 ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，
则 ，解得 ，所以圆锥的表面积为 .
故选：B．
5．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的
靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量 与扩增次数n
满足 ，其中p为扩增效率， 为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10
次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据： ， ）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.4%
【答案】C
【解析】由题意可知， ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：C
6．设函数 ；若 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出函数 的图象，如图：可知函数 在R上为单调递增函数，
故由 可得 ，即 ，
解得 或 ，
即实数a的取值范围是 ,
故选：A
7．四边形 是边长为4的正方形，点 是正方形内的一点，且满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设 ，
则 ，
故 ，
，
即 ；
故点 在以点 为圆心，1为半径的圆周上运动，
所以 的最大值为 .故选：D.
8．已知 是椭圆 的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若 ，且
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，
设 ，
因为 ，则 ，可得 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，
整理可得 ；
又因为 ，则 ∥ ，且 ，
则 ，可得 ，
由椭圆定义可知： ，即 ，
整理可得 ；
即 ，可得 ，所以椭圆C的离心率 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 中心对称
D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
【答案】ACD
【解析】易知 ，其最小正周期为 ，
所以 ，即 ，显然 ，故A正确；
令 ，
显然区间 不是区间 的子区间，故B错误；
令 ，则 是 的一个对称中心，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位得到，
故D正确.
故选：ACD
10．设函数 ，则（ ）
A． 有三个零点
B． 是 的极大值点
C．曲线 为轴对称图形
D． 为曲线 的对称中心
【答案】BD
【解析】对于A，令 ，解得 或 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处有极大值，为 ，
在 处有极小值，为 ，
又 ，
的大致图象如下所以 有两个零点，故A错误；
对于B，由A选项可知 是 的极大值点，故B正确；
对于C，由A选项可知，当 时， ，当 时， ，
所以曲线 不是轴对称图形，故C错误；
对于D，
，
所以 为曲线 的对称中心，故D正确.
故选：BD.
11．如图，曲线 过原点，其渐近线方程为 ，则（ ）
A．曲线 关于直线 对称
B．点 位于曲线 围成的封闭区域（阴影部分）外
C．若 在曲线 上，则D．曲线 在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为
【答案】ACD
【解析】若把 的解析式 中的 互换，则方程不变，
故C的图象关于直线 对称，A正确；
点 在第一象限，且 ，故点 位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）内，B
错误；
曲线在渐近线 的上方，故 ，即 ，
又当 在第一象限内时，
由 ，得
故 ，当且仅当 时，等号成立，
故 ,C正确；
因为曲线C在第一象限内的点满足 ，故 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
故曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为 ，D正确.
故选：ACD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．复数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】 ， ，，
.
13．已知 ， ，则 .
【答案】 /
【解析】由题意可知 ，
所以 ，
由题意可知 ， ，
由 可得 ，
所以 .
14．设函数 在 上存在导数 ，对于任意的实数 ，有 ，当 时，
.若 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】令函数 ，
因为 ，时 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
又因为 ，
所以函数 ，所以 为偶函数，
根据偶函数的对称性，可得 在 上单调递增，若
则 ，
整理得 ，所以 ，
两边平方可得 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
【解】（1）因为 ， ………………………3分
在 中， ，即 . ………………………5分
（2）由（1）知， ，
所以 ， ……………………7分
即 ，所以 ， ………………………8分
又 ， ………………………10分
即 ， ………………………12分
所以 的周长为 . ………………………13分
16．(本小题满分15分）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)讨论函数 的单调性．【解】（1） . ………………………1分
所以 或 时， ， 时， ， ………………………3分
则 在 上递减，在 递增， ………………………4分
所以 的极小值为 ，极大值为 .………………………6分
（2） ，
当 时， ，所以 在 上递增， ………………………8分
当 时， 或 时， ； 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减， ………………………12分
当 时， 或 时， ； 时， ，
所以 在 上递增；在 上递减． ………………………15分
17．设(本小题满分15分）抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为过焦点 且垂直于 轴
的抛物线 的弦，已知以 为直径的圆经过点 .
（1）求 的值及该圆的方程；
（2）设 为 上任意一点，过点 作 的切线，切点为 ，证明： .
【解】（1）易知 点的坐标为 ，
所以 ，解得 . ………………………2分
又圆的圆心为 ， ………………………3分
所以圆的方程为 . ………………………4分
（2）证明易知，直线 的斜率存在且不为0，设 的方程为 ，
代入 的方程，得 . ………………………6分
令 ，得 ，
所以 ，解得 . ………………………9分
将 代入 的方程，得 ，
即 点的坐标为 ………………………11分
所以 ， ，
. ………………………14分
故 . ………………………15分
18．(本小题满分17分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层
级，分别对应如下五组质量指标值： .根据长期检测结果，得到芯片
的质量指标值 服从正态分布 ，并把质量指标值不小于80的产品称为 等品，其它产品称为
等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差 的近似值为11，用样本平均数 作为 的近似值，用
样本标准差 作为 的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为 等品的概率(保留小数点后
面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量 服从正态分布 ，则
， . )
(2)（i）从样本的质量指标值在 和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的
芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件 等品芯片
的利润是 元，一件 等品芯片的利润是 元，根据(1)的计算结果，试求 的值，使得
每箱产品的利润最大.
【解】（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
． ………………………2分
即 ， ，所以 ，
因为质量指标值 近似服从正态分布 ，
所以
， ………………………4分
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为 等品的概率约为 . ……………………5分（2）（i） ，所以所取样本的个数为20件，
质量指标值在 的芯片件数为10件，故 可能取的值为0，1，2，3，……………………6分
相应的概率为：
， ，
， ， ………………………8分
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望 . ………………………10分
（ii）设每箱产品中A等品有 件，则每箱产品中 等品有 件，
设每箱产品的利润为 元，
由题意知： ，
由（1）知：每箱零件中A等品的概率为 ，
所以 ，所以 ，
所以
. ………………………13分
令 ，由 得， ，
又 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值.所以当 时，每箱产品利润最大. ………………………17分
19．(本小题满分17分）定义：已知数列 为有穷数列， 对任意 （ ），总存在 ，
①
使得 ，则称数列 为“乘法封闭数列”； 对任意 （ ），总存在 ，使
②
得 ，则称数列 为“除法封闭数列”，
(1)若 ，判断数列 是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列 ，为“除法封闭数列"，求 和 .
(3)已知数列 是以1为首项的递增数列，共有 项， ，且为“除法封闭数列”，探究：数列
是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列 的通项公式.
【解】（1）由题意知，数列 为： . ……………………1分
由 ， 不是数列 中的项， ………………………3分
故数列 不是“乘法封闭数列”； ………………………4分
（2）由题意数列递增可知 ，
则 ，且 ， ………………………5分
又数列 为“除法封闭数列”，
则 都是数列 中的项， ………………………7分
所以 ，即 ①；且 ，即 ②，
联立①②解得， ； ………………………9分
（3）数列 是等比数列 ………………………10分
证明：当 时，设数列 为 ，
由题意数列 递增可知 ，
则有 ，
由数列 为“除法封闭数列”， ………………………12分
则 这 个数都是数列 中的项，
所以有 ，
则有 ， ③；
同理由 ，可得 ，
则有 ，即 ④；
由③④可得， ，故 是等比数列. ………………………14分
当 时，由题意数列 递增可知 ，
则有 ， ………………………15分由数列 为“除法封闭数列”，则这 个数都是数列 中的项.
所以有 .
所以有 ，即 ⑤；
同理由 ，可得 ，
所以 .
则 ，即 ⑥，
联立⑤⑥得， ，
则 ，所以有 ，
所以 ，故数列 是等比数列.
综上所述，数列 是等比数列. ………………………17分
