文档内容
2023年高考考前押题密卷（新高考Ⅰ卷）
数学•全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解集合
解集合
故选:B.
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据待定系数法可得
则
故选：A.
3．某艺术团为期三天公益演出，其表演节目分别为歌唱，民族舞，戏曲，演奏，舞台
剧，爵士舞，要求歌唱与民族舞不得安排在同一天进行，每天至少进行一类节目.则不
同的演出安排方案共有（ ）
A．720种 B．3168种 C．1296种 D．5040种
【答案】D 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【分析】根据每天演出项目的数量进行分类讨论，由此求得不同的演出安排方法数.
【详解】若三天演出项目数量为 ，则安排方法数为：
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司.
若三天演出项目数量为 ，则安排方法数为：
，
若三天演出项目数量为 ，则安排方法数为：
，
所以不同的演出安排方案共有 种.
故选：D
4．若二项式 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式
的有理项中第 项的系数最大，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据条件可得 .写出展开式的通项 ，则当 是偶数时，
该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出 的值.
【详解】由已知可得， .根据二项式定理，知展开式的通项为
，显然当 是偶数时，该项为有理项，
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， .
经比较可得， ，即 时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．
故选：A.
5．已知数列 ，若对任意的 ，则
实数 的取值范围是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的最值，由不等式恒成立，求出实数 的取值范围.
【详解】当 ，有 ，由 ，解得 ；
当 ，有 ，由 ，解得 ，
， ， ，所以 的最小值为 .
当 ，有 ，由 ，解得 ；
当 ，有 ，由 ，解得 ，
， ， ，所以 的最大值为 .
所以 的最小值大于 的最大值，即 恒成立，
所以 解得 ，对任意的 ， 恒成立，则有
，即实数 的取值范围是 .
故选：B
6．定义在 上的函数 满足在区间 内恰有两个零
点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析
即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C
错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，
故D正确．
故选：D．
7．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶
等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．
其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温
度是 ，空气的温度是 ，经过t分钟后物体的温度为θ℃，满足公式
．现有一壶水温为92℃的热水用来沏茶，由经验可知茶温为52℃
时口感最佳，若空气的温度为12℃，那从沏茶开始，大约需要（ ）分钟饮用口感最
试卷第4页，共3页佳．（参考数据； ， ）
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
【答案】B
【分析】有题意，根据公式 代入数据得 ，
变形、化简即可得出答案.
【详解】由题意得 ，代入数据得 ，
整理得 ，即 ，解得 ；
所以若空气的温度为12℃，从沏茶开始，大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故选：B． 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
8．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为
阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块长方体沿
斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，
小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的．如图所示的三视图是一个鳖臑
的三视图，则其分割前的长方体的体积为（ ）
A．2 B．4 C．12 D．24
【答案】D
【分析】根据鳖臑的三视图确定长方体的长宽高，计算体积即可.
【详解】根据鳖臑的正视图得原长方体的长为3，根据鳖臑的俯视图得原长方体的宽
为2，根据鳖臑的侧视图得原长方体的高为4，所以长方体的体积 .
故选：D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知圆M的方程为： ，（ ），点 ，给出以
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司下结论，其中正确的有（ ）
A．过点P的任意直线与圆M都相交
B．若圆M与直线 无交点，则
C．圆M面积最小时的圆与圆Q： 有三条公切线
D．无论a为何值，圆M都有弦长为 的弦，且被点P平分
【答案】ACD
【分析】根据点与圆的位置关系判断A选项，通过几何法判断直线与圆的位置关系判
断B选项，根据圆与圆的位置关系判断公切线的条数判断C选项，根据半径的最小值
及垂直弦平分弦判断D选项.
【详解】因为点代入入圆的方程得 ,所以 在圆M内，
所以过点P的任意直线与圆M都相交,A选项正确;
圆M圆心 , 直线
,
若圆M与直线 无交点， ,
, , , ,B选
项错误;
圆 ,当 时，圆M半径最小则面积最小,
试卷第6页，共3页圆Q： , ,
,
圆M面积最小时的圆M与圆Q外切所以有三条公切线,C选项正确;
无论a为何值， , ,所以圆M都有弦长
为 的弦,
, ,
, ,
因为垂直弦平分弦, 圆M都有弦长为 的弦，且被点P平分,故D选项正确.
故选:ACD.
10．直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 在过点
的直线上，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 为常数 B． 的值可以为：
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】作出图形，由 可得出 ，根据三点共线的结论得出
，由此判断A，B，结合基本不等式可判断CD.
【详解】如下图所示：
试卷第7页，共3页
学科网（北京）股份有限公司由 ，可得 ，
，
若 ， ， ，
则 ， ，
，
、 、 三点共线，
， ，
故A正确；
当 ， 时， ，所以B错误；
，
当且仅当 时，等号成立，C正确；
的面积 ， 的面积 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取最小值，最小值为 ，
试卷第8页，共3页所以 的最小值为 ，D正确；
故选：ACD.
11．如图，棱长为2的正四面体 中， 分别为棱 的中点，O为线段
的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（ ）
A． 平面
B．球O的体积为
C．球O被平面 截得的截面面积为
D．球O被正四面体 表面截得的截面周长为
【答案】ABD
【分析】设 分别为 的中点，连接 ，根据线面
垂直的判定定理可判断A；求出球的半径，计算球的体积，判断B；求出球O被平面
截得的截面圆的半径，可求得截面面积，判断C；结合C的分析，利用圆的周长
公式可判断D. 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【详解】设 分别为 的中点，连接 ，
试卷第9页，共3页
学科网（北京）股份有限公司则 ,
故 ，则四边形 为平行四边形，
故 交于一点，且互相平分，即O点也为 的中点，
又 ，故 ,
平面 ，故 平面 ，
由于 平面 ，则 平面 ，
故 ，结合O点也为 的中点，同理可证 ,
平面 ，故 平面 ，A正确；
由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为 ,
棱长为2的正四面体 中， ，M为 的中点，
则 ，故 ,
则 ，所以球O的体积为 ，B正确；
由 平面 ， 平面 ，故平面 平面 ，
平面 平面 ，由于 平面 ，
延长 交平面 于G点，则 平面 ，垂足G落在 上，
且G为正 的中心，故 ，
所以 ，
故球O被平面 截得的截面圆的半径为 ，
则球O被平面 截得的截面圆的面积为 ，C错误；
由A的分析可知，O也为棱 中点连线的中点，
则球O与每条棱都交于棱的中点，结合C的分析可知，
试卷第10页，共3页球O被正四面体 的每个面截得的截面都为圆，且圆的半径都为 ，
故球O被正四面体 表面截得的截面周长为 ，D正确，
故选：ABD
12．已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若 ，当 时
都有 ，则称 是“ 封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A． 是“ 封闭”函数
B．定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数
C．若 是“ 封闭”函数，则 一定是“ 封闭”函数
D．若 是“ 封闭”函数 ，则 不一定是“ 封闭”函数
【答案】BC
【分析】A特殊值 判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据
定义得到 都有 ，再判断所给定区间里是否有
成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项
的正误.
【详解】对A：当 时， ，而
，A错误；
对B：对于集合 ， 使 ，即 ，必有 ，
所以定义在 上的函数 都是“ 封闭”函数，B正确；
对C：对于集合 ， 使 ，则 ，
试卷第11页，共3页
学科网（北京）股份有限公司而 是“ 封闭”函数，则 ，即 都有 ，
对于集合 ， 使 ，则 ， ，
而 ， ，...， ，
所以 ，
即 ，故 ， 一定是“ 封闭”函数
，C正确；
对D，其逆否命题为，若 是“ 封闭”函数，则 不是“ 封闭”函数
，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使 ，则 ，
若 ，则 ，
由 解得 ，因为 ，所以 ，
即 使 ，则 ，
满足 是“ 封闭”函数 ，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到 都有 ，
有 恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图是函数 的部分图像，则 的单调递增区间为
试卷第12页，共3页_______．
【答案】 ，
【分析】运用三角函数的周期公式及五点法求得 、 的值，结合同增异减求得其单
调递增区间.
【详解】由图知， ，解得： ，
所以 ，解得： ，
①当 时， ，
则 ， ，解得： ， ，
又因为 ，
所以 无解，故舍去；
②当 时， ，
则 ， ，解得： ， ，
又因为 ，
所以 ，
综述： 且 ，
所以 ，
， ，
解得： ， ，
试卷第13页，共3页
学科网（北京）股份有限公司所以 的单调递增区间为 ， .
故答案为： ， .
14．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图
（如图），估计学生的平均成绩为______分
【答案】
【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.
【详解】由直方图知：平均成绩为
分.
故答案为： 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
15．圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的
光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个
焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分， 是它的一条对称轴，F是它
的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是 ，若
， ，则该双曲线的离心率等于________．
【答案】 /
试卷第14页，共3页【分析】反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，由题中条件可得
， ，在直角三角形 中， ， ，由双曲
线的定义可得 ，所以 ，即可求得答案.
【详解】在平面直角坐标系中，如图，
反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，
由 ， ，可得 ， ，
在直角三角形 中， ， ，
由双曲线的定义可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为： ．
16．已知函数 ，若曲线 上存在点 使得
，则a的取值范围是_______．
【答案】
【分析】设 ，则 ，换元将问题转化为 有解的
问题，即可得出答案.
【详解】若曲线 上存在点 ，故 ，
设 ，则 ，即 都在 图象上，不难发现该两点关
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司于 对称，故 有解
有解，
令 ， ，即
在 上单调递增，所以
故答案为：
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用累乘法求解；
（2）由（1）易得 ，再利用裂项相消法求解.
【详解】（1）解：因为 ， ，
所以 ，
所以
当 时， 满足条件，
所以 ；
试卷第16页，共3页（2）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
18．在① ；② ；③ 这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， ， ，且
______，求 的面积．
注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．
【答案】条件选择见解析，答案见解析
【分析】若选①，利用正弦定理求出角 的值，分析可知 是边长为 的等边三
角形，结合三角形的面积公式可求得该三角形的面积；
若选②，利用正弦定理可得出 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值，求出
的值，利用三角形的面积公式可求得结果；
若选③，利用两角差的公司结合角 的取值范围可求得角 的值，分析可知 为
直角三角形，求出 的值，利用三角形的面积公式可求得该三角形的面积.
【详解】解：若选①：因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 ，则 ，所以， ， ，
则 ，可得 ，所以， ，解得 ，
因为 ， ，所以， 是边长为 的等边三角形，
所以， ；
若选②，因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 ，则 ， ，所以， ，则 ，
试卷第17页，共3页
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理 ，所以， ，
，
所以， ；
若选③，因为 ，
因为 ，故 ，又因为 ，所以， ，
所以， 为直角三角形，则 ，则 ，
所以， .
19．如图，在三棱锥 中， ，O为AC
的中点．
(1)证明： ⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且二面角 为 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三线合一得到 ，由勾股定理逆定理得到
，从而证明出线面垂直；
试卷第18页，共3页（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，设 ，利用空间向量及二面角列出
方程，求出答案. 微信搜索“高中试卷君”公众号 领取押题卷联考卷
【详解】（1）在 中， ，O为AC的中点．
则中线 ，且 ；
同理在 中有 ，则 ；
因为 ，O为AC的中点．
所以 且 ；
在 中有 ，则 ，
因为 ， 平面ABC，
所以 ⊥平面ABC．
（2）由（1）得 ⊥平面ABC，故建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
设 ，则 ，
而 ，
，
，
设平面PAM的一个法向量为 ，
试卷第19页，共3页
学科网（北京）股份有限公司由 得， ，
令 ，
又x轴所在直线垂直于平面PAC，
∴取平面PAC的一个法向量 ，
，
平方得 ，令 ，
，
．
20．随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广
校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，
同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐
服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐
厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，
，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐
试卷第20页，共3页的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明： ．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)证明见解析
【分析】（1）运用古典概型求概率即可.
（2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望.
（3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果.
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为 ，
所以 ．
（2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3，
王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，
记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以 ， ，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望
（3）证明：由题知 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
试卷第21页，共3页
学科网（北京）股份有限公司即： ，
所以 ，
即 .
21．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与 轴交于点 ，过 作直线 交 于 两点， 交 于
两点.已知直线 交 于点 ，直线 交 于点 .试探究 是否为定值，若为定
值，求出定值；若不为定值，说明理由.
【答案】(1)
(2)是，1
【分析】（1）由题设可得关于 的方程组，求出其解后可得椭圆的方程.
（2）
【详解】（1）由题意， ，解得 ，
代入点 得 ，解得 ，
的方程为： ；
试卷第22页，共3页（2）
由题意， ，当 斜率都不为0时，设 ，
，
当 时，由对称性得 ，
当 时，联立方程 ，得
恒成立， ，
同理可得： ，
直线 方程： ，
令 ，得 ，
同理： ，
试卷第23页，共3页
学科网（北京）股份有限公司，
，
当 斜率之一为0时，不妨设 斜率为0，则 ，
直线 方程： ，直线 方程： ，
令 ，得 ，
，
综上： .
22．已知函数 ， ．
(1)当 ，求 的单调递减区间；
(2)若 在 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设 求
得 ，得到函数单调区间；
（2）把 在 上恒成立, 转化为 在
试卷第24页，共3页上恒成立，令 ,即得 恒成立求参即可.
【详解】（1）当 时， ，
所以 ，令 ，所以 ，
当 时， ，故 为增函数；
当 时， ，故 为减函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
（2）因为 ，所以 ，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
转化为 在 上恒成立，
令 ， ，则 且
当 时， 恒成立，故 在 上为增函数，
所以 ，即 时不满足题意；
当 时，由 ，得 ，
若 ，则 ，故 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以存在 ，使得 ，即 时不满足题意；
若 ，则 ，故 在 上为减函数，
所以 ，所以 恒成立，
试卷第25页，共3页
学科网（北京）股份有限公司综上所述，实数 的取值范围是 .
试卷第26页，共3页试卷第27页，共3页
学科网（北京）股份有限公司
