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2020 年数二真题
一、选择题
(1) 当 x→0+ 时，下列无穷小量中阶最高的是 ( )
(cid:1) (cid:1) √ (cid:1) (cid:1) √
(A) x (et2 −1)dt. (B) x ln(1+ t3)dt. (C) sinx sint2dt. (D) 1−cosx sin3tdt.
0 0 0 0
1
(2) 函数 f(x)= ex−1 ln|1+x| 的第二类间断点的个数为 ( )
(ex−1)(x−2)
(A)1 个. (B)2 个. (C)3 个. (D)4 个.
(cid:1) √
(3) 1 √arcsin xdx=( )
0 x(1−x)
(A)(cid:25)2. (B)(cid:25)2. (C)(cid:25). (D)(cid:25).
4 8 4 8
(4) 已知函数 f(x)=x2ln(1−x)，当 n≥3 时，f(n)(0)=( )
(A)− n! . (B) n! . (C)−(n−2)!. (D)(n−2)!.
n−2 n−2 n n
xy, xy ̸=0,
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(5) 关于函数f(x,y)= x, y =0, 给出下列结论：⃝1 @f(cid:12) =1；⃝2 @2f (cid:12) =1；⃝3 lim f(x,y)=
@x (0;0) @x@y (0;0) (x;y)→(0;0)
y, x=0,
0；⃝4 lim limf(x,y)=0. 其中正确的个数为 ( )
y→0x→0
(A)4. (B)3. (C)2. (D)1.
(6) 设函数 f(x) 在区间 [−2,2] 上可导，且 f′(x)>f(x)>0，则 ( )
(A)f(−2) >1. (B) f(0) >e. (C) f(1) <e2. (D) f(2) <e3.
f(−1) f(−1) f(−1) f(−1)
(7) 设 4 阶矩阵 A=(a ) 不可逆，a 的代数余子式 A ̸=0，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) ，(cid:11) 为矩阵 A 的列向量
ij 12 12 1 2 3 4
组，A∗ 为 A 的伴随矩阵，则方程组 A∗x=0 的通解为 ( )
(A)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
(B)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 2 3 4 1 2 3
(C)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 1 2 3 3 4 1 2 3
(D)x=k (cid:11) +k (cid:11) +k (cid:11) ，其中 k ，k ，k 为任意常数.
1 2 2 3 3 4 1 2 3
(8) 设 A 为 3 阶矩阵，(cid:11)
1
，(cid:11)
2
为A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，(cid:11)
3
为 A 的属于特征值
1 0 0
−1 的特征向量，则满足 P−1AP = 0 −1 0 的可逆矩阵 P 可为 ( )
0 0 1
(A)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ). (B)((cid:11) +(cid:11) ,(cid:11) ,−(cid:11) ).
1 3 2 3 1 2 2 3
(C)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ). (D)((cid:11) +(cid:11) ,−(cid:11) ,(cid:11) ).
1 3 3 2 1 2 3 2
28(cid:2010)(cid:2370)(cid:1854)(cid:3566)(cid:2953)(cid:3525)(cid:3964)(cid:3114)(cid:1704)(cid:3322)(cid:1560)(cid:1188)(cid:3346)(cid:2982)(cid:2131)(cid:11)(cid:2953)(cid:3525)(cid:1074)(cid:12)(cid:3)
二、填空题
√
(cid:12)
x= t2+1, (cid:12)
(9) 设 √ 则 d2y(cid:12) = .
dx2
y =ln(t+ t2+1), t=1
(cid:1) (cid:1) √
(10) 1 dy √ 1 x3+1dx= .
0 y
(11) 设 z =arctan[xy+sin(x+y)]，则 dz| = .
(0;(cid:25))
(12) 斜边长为 2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐. 记重力加速度为 g，
水的密度为 ρ，则该平板一侧所受的水压力为 .
(cid:1)
(13) 设 y =y(x) 满足 y′′+2y′+y =0，且 y(0)=0，y′(0)=1，则 +∞ y(x)dx= .
(cid:12) (cid:12) 0
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) a 0 −1 1 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) (cid:12) 0 a 1 −1 (cid:12) (cid:12)
(14) 行列式 (cid:12) (cid:12)= .
(cid:12)−1 1 a 0 (cid:12)
(cid:12) (cid:12)
(cid:12) 1 −1 0 a (cid:12)
三、解答题
(15) 求曲线 y = x1+x (x>0) 的斜渐近线方程.
(1+x)x
(cid:1)
(16) 已知函数 f(x) 连续且 lim f(x) =1，g(x)= 1 f(xt)dt，求 g′(x) 并证明 g′(x) 在 x=0 处连续.
x→0 x 0
(17) 求函数 f(x,y)=x3+8y3−xy 的极值.
( )
(18) 设函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) 且满足 2f(x)+x2f 1 = √x2+2x. 求 f(x)，并求曲线 y =f(x)，
x 1+x2
√
y = 1，y = 3 及 y 轴所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.
2 2 √
(cid:3)
(19) 设平面区域 D 由直线 x=1，x=2，y =x 与 x 轴围成. 计算
x2+y2
dxdy.
x
(cid:1) D
(20) 设函数 f(x)= x et2dt.
1
(I) 证明：存在 ξ ∈(1,2)，使得 f(ξ)=(2−ξ)e(cid:24)2.
(II) 证明：存在 η ∈(1,2)，使得 f(2)=ln2·ηe(cid:17)2.
(21) 设函数 f(x) 可导，且 f′(x) > 0，曲线 y = f(x)(x ≥ 0) 经过坐标原点 O，M 为其上任意一点，
点 M 处的切线与 x 轴交于点 T，又 MP 垂直 x 轴于点 P. 已知由曲线 y =f(x)，直线 MP 以及 x 轴
所围图形的面积与 △MTP 的面积之比恒为 3:2，求满足上述条件的曲线方程.
x
1
(22) 设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = x2 1 +x2 2 +x2 3 +2ax 1 x 2 +2ax 1 x 3 +2ax 2 x 3 经过可逆线性变换 x 2 =
x
3
y
1
P y 2 化为二次型 g(y 1 ,y 2 ,y 3 )=y 1 2+y 2 2+4y 3 2+2y 1 y 2 .
y
3
(I) 求 a 的值.
(II) 求可逆矩阵 P.
(23) 设 A 为 2 阶矩阵，P =((cid:11),A(cid:11))，其中 (cid:11) 是非零向量且不是 A 的特征向量.
(I) 证明 P 为可逆矩阵.
(II) 若 A2(cid:11)+A(cid:11)−6(cid:11)=0，求 P−1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.２０２０ 年真题参考答案
一、选择题
．
（１）Ｄ． （２）Ｃ． （３）Ａ． （４）Ａ． （５）Ｂ． （６）Ｂ． （７）Ｃ． （８）Ｄ
二、填空题
－ ． ２ － ． － ｘ － ｙ． １ ρｇａ３． ． ａ４ － ａ２．
（９） ２ （１０） （２ ２ １） （１１）（π １）ｄ ｄ （１２） （１３）１ （１４） ４
９ ３
三、解答题
ｘ
斜渐近线方程为ｙ ＝ ＋ １ ．
（１５）
ｅ ２ｅ
ｘ
ì ïｘｆ ｘ － ｆ ｕ ｕ
ïï （ ） ∫ ０ （ ）ｄ ｘ
ｇ′ ｘ ＝ í ｘ２ ， ≠０， 证明略．
（１６） （ ） ï
ï
î１ ｘ ＝ ．
， ０
２
( )
极小值ｆ １ １ ＝ － １ ．
（１７） ，
６ １２ ２１６
ｆ ｘ ＝ ｘ ．旋转体体积为π ２ ．
（１８） （ ）
＋ ｘ２
６
１
３ ＋ ＋ ．
（１９） ［ ２ ｌｎ（ ２ １）］
４
证明略．
（２０）
ｙ ＝ Ｃｘ３ 其中Ｃ为任意正常数．
（２１） ，
ａ ＝ － １ ．
（２２） （Ⅰ）
２
æ ö
２
ç１ ２ ÷ æｘ ö æｙ ö
ç ３÷ ç １÷ ç １÷
Ｐ ＝ ç ÷ 可逆线性变换 çｘ ÷ ＝ Ｐ çｙ ÷ 可将二次型 ｆ ｘ ｘ ｘ 化为二次型
（Ⅱ） ç ç ０ １ ４ ÷ ÷ ， è ç ｘ ２ ø ÷ è ç ｙ ２ ø ÷ （ １， ２， ３）
３
è ø ３ ３
０ １ ０
ｇ ｙ ｙ ｙ ．
（ １， ２， ３）
证明略．
（２３） （Ⅰ）
æ ö æ ö
Ｐ－ １ＡＰ ＝ ç０ ６ ÷ Ａ相似于对角矩阵ç２ ０ ÷ ．
（Ⅱ） è － ø， è － ø
１ １ ０ ３
— ５ —
