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专题 16 二次函数
考情概览
考点1 二次函数综合
考点 1 二次函数综合
1．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
O和点 ．
(1)求c的值，并用含a的式子表示b；
(2)过点 作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线 于点N．
①若 ， ，求 的长；
②已知在点P从点O运动到点 的过程中， 的长随 的长的增大而增大，求a
的取值范围．
【答案】(1)0，
(2)①4；② 且
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函
数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
（1）分别将 ， 代入抛物线解析式，即可获得答案；
（2）①结合题意，分别确定点 的坐标，即可获得答案；②首先确定 ，
再分 和 两种情况分析求解即可．【详解】（1）解：将点 代入，抛物线 ，
可得 ，
∴该抛物线解析式为 ，
将点 代入，抛物线 ，
可得 ，解得 ；
（2）①若 ，则该抛物线及直线解析分别为 ， ，
当 时，可有点 ，
如下图，
∵ 轴，
∴ ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ；
②当点P从点O运动到点 的过程中，
∵ 轴， ，
∴ ，将 代入 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，即 ，
∴ ，
令 ，即 ，解得 或 ，
若 ，可有 ，即点 在 轴右侧，如下图，
当 时，可有 ，其图像开口向下，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的增大而增大，
则 ，解得 ，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，不符合题意；
若 ，可有 ，即点 在 轴左侧，如下图，
当 时，可有 ，其图像开口向上，对称轴为 ，
若 的长随 的长的增大而增大，即 的长随 的减小而增大，
则 ，解得 ，
∴ ．综上所述，a的取值范围为 且 ．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 .
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，
求 的取值范围.
【答案】(1) ；
(2) 或
【分析】（ ）把 代入 ，转化成顶点式即可求解；
（ ）分 和 两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是
解题的关键．
【详解】（1）解：把 代入 得， ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线 ；
当 时， 和 都在对称轴右侧，
此时y随x的增大而增大，
∵ ，
∴
如图，此时 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；当 时，在 对称轴左侧， 在对称轴右侧，
∴点 关于对称轴的对称点 在对称轴右侧，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ，
如图，此时 ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ；
综上，当 或 ，都有 ．
3．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为 ．
(1)若对于 ， 有 ，求 的值；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴
的右侧，根据对称性求得 ，进而根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于 ， 有 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵抛物线的对称轴为 ．
∴ ；
（2）解：∵当 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 离对称轴更近， ，则 与 的中点在对称轴的右侧，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上，设抛物线的对称轴为
(1)当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 的值；(2)点 在抛物线上，若 求 的取值范围及 的取值范围．
【答案】(1)（0，2）；2
(2) 的取值范围为 ， 的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点
关于对称轴为 对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和
性质可得当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，然后分两种情
况讨论：当点 ，点 ，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点 在对称轴的左
侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵ ，
∴点 关于对称轴 对称，
∴ ；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当点 ，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 （不合题意，舍去），当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点 在对称轴
的右侧， ，
此时点 到对称轴 的距离大于点 到对称轴 的距离，
∴ ，解得： ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 ，
∴ ，
∵ ， ，对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ， 的取值范围为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题
的关键．
5．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线
上．
（1）若 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明
理由．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析
【分析】（1）由题意易得点 和点 ，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据
对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当 时和当 时，然后根据二次函数的性质进行分类求
解即可．
【详解】解：（1）当 时，则有点 和点 ，代入二次函数
得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为 ；
（2）由题意得：抛物线 始终过定点 ，则由 可得：
①当 时，由抛物线 始终过定点 可得此时的抛物线开口向
下，即 ，与 矛盾；
②当 时，
∵抛物线 始终过定点 ，
∴此时抛物线的对称轴的范围为 ，
∵点 在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为 ，
∵ ，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．1．（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点．
(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(2)若对于 ， ，都有 ，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)m的取值范围是
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二
次函数的性质是解题的关键．
（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）分两种情况讨论，根据二次函数的性质对称关于m的不等式，解不等式即可解决问
题．
【详解】（1）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：当 时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵对于 ， ，都有 ，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵对于 ， ，都有 ，
∴ ，
解得 ，∵ ，
∴这种情况不存在．
综上，m的取值范围是 ．
2．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （ ， 为常
数， ）．
(1)当 ， 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点 ， 和 都在抛物线上，如果对于 ，
，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将将 ， 代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出
顶点坐标；
（2）先由 ，得到 ，再将 ， ， 三点坐标代入表达式中，然后根据
，转化为不等式求解，求出 的取值范围．
【详解】（1）解：将 ， 代入抛物线中，得 ，
∴ ，
∴顶点坐标为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
将点 ， 和 分别代入表达式得，
，
，，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
当 时，
，
，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或
解不等式组①得：
解不等式组②得：无解．
∴
同法可求，当 时， ，
∴ ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把 化成顶点式，利
用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把
问题转化为不等式求解．
3．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2) 和 是抛物线上的两点，若对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识
点是解题关键．
（1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）由题意可分为当 时及当 时，两种情况分类讨论，求出实数 的取值范围．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线的顶点坐标为 ．
（2）解：抛物线对称轴为 ，
①若 ，
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
，
，
设点M关于对称轴 的对称点为 ，则 ，
，
，
（i）当 时，有 ，
，
，符合题意；
（ii）当 时，令 ，
，
，
，不符合题意；
（iii）当 时，令 ，
，
，不符合题意；
②若 ，
则当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大，
（i）当 时，令 ，
，
，
，不符合题意；
（ii）当 时，令 ，
，，
，不符合题意；
（iii）当 时，有 ，
，
，符合题意，
综上所述，a的取值范围是 或 ．
4．（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)点 ， ， 在抛物线上．若对于 ，都有 ，
求t的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌
握二次函数的性质是解题的关键．
（1）把解析式化成顶点式即可求解；
（2）利用二次函数的对称性和增减性列出关于 的不等式组，求解即可．
【详解】（1）解：当 时，抛物线为 ，
，
顶点为 ；
（2）解：抛物线 ，
点 ， ， 在抛物线上，
， ， ，，
，即 ，
解 可得 或 ，
或 ，
，
或 ，
解 ，
，
，
，
，
，
，
则 ，
，
，
综上所述， 或 ．
5．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 （ ）．
(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
(2)已知 和 是抛物线上的两点．若对于 ， ，都有
，求a的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或 ．【分析】（1）将抛物线 的对称轴为 求解即可；
（2）分为两种情况 ， ，根据 ，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等
式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想
是解题的关键．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为
（2）∵ ，所以分为两种情况 ，
①当 时，对称轴为 ，开口向上，
∵ , ,
∴此时 、 都在对称轴的右侧，
又∵当 时，y随x的增大而增大，
结合图象，若对于 ， ，都有
则： ，
∴
②当 时，对称轴为 ，开口向下，当 时，y随x的增大而减小，当 时，y
随x的增大而增大，
∵ , ,∴此时 在对称轴的右侧， 在对称轴的左侧,
又∵抛物线 的对称轴为 ，
∴ 关于对称轴的对称点为 ，
结合图象，若对于 ， ，都有 ．
∴
∴
∴
综上，a的取值范围是 或 ．
6．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
(2)若点 ，抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围；
(3) 是抛物线 上两点，若 ，直接写出 取值范
围．
【答案】(1)对称轴为
(2) 或 或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键．
（1）利用二次函数的性质即可解答；
（2）求得二次函数与 轴的交点，使交点与 比较即可；
（3）表示出 ，再表示出 ，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：对称轴为 ；
（2）解：令 ， ，解得 ，
二次函数与 轴的交点为 ，
当 在点 左边时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ，
解得 ；
当 与 时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ；
当 在点 右边时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ，
解得 ；
综上所述， 或 或 ；
（3）解： 对称轴为 ，
为顶点，
二次函数开口向上，
，
，
可得 ，
，
，
，
可得 ，
解得 ．7．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
，设该抛物线的对称轴为 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)点 是该抛物线上两个点，当 时，对于 的每一个值，总存在 ，
使得 ， ，且 成立，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 的取值范围是 或 ．
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）当 时，抛物线 ，然后根据二次函数的性质即可解答；
（2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为 ，且 ．然后分 和 两
种情况，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时，抛物线 ．
所以该抛物线的对称轴为 ，即 ．
（2）解：∵抛物线 ，
∴抛物线的对称轴为 ，且 ．
当 时，对于 的每一个值，总存在 ，使得 ， ，且 成立；
①若 ，此时 ，
则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
（ⅰ）当 时， ， 成立．
（ⅱ）当 时，
点 关于对称轴 的对称点为 ．
．．
当 时， 成立．
（ⅲ）当 时，不合题意，舍去．
②若 ，此时 ，则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增
大．
满足题意．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
8．（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系 中，点 是抛物线
上的两个不同点．
(1)当 时，有 ，求 的值；
(2)当 时，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不
等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
（1）由题意，根据 ，得出点 关于直线 对称，再由中点坐
标公式可得解．
（2）根据题意得到 即 在 时恒成立，分两
种情况当 时，当 时分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，对称轴为直线
∵ ，
∴点 关于直线 对称.∴ ，
∵ ；
（2）∵点 是抛物线 上的两个不同点．
∴ ， ，
∵当 时，都有
∴ 即 在 时恒成立，
当 时，不等式化简为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ，解得 ，
当 时，不等式化简为 ，
解得 或 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
综上可知， 的取值范围是 或 ．
9．（2025·北京房山·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的对称轴；
(2)已知 ， 是抛物线上的两点．若对于 ，都有 ，求a的取值
范围．
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关
键：（1）根据对称轴公式进行计算即可；
（2）分 和 两种情况，根据二次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当 时，则： ，
∴对称轴为直线 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为： ，
当 时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， 是抛物线上的两点，且对于 ，都有 ，
∴ ；
当 时，抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ 关于 的对称点为： ，
∵ ， 是抛物线上的两点，且对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
综上： 或 ．
10．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
上有 两点．
(1)对于 ，有 ，求该抛物线的顶点坐标；
(2)对于任意实数 ，若 ，都有 ，求 的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解
题的关键：
（1）根据对称性，求出 的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可；
（2）设点 关于对称轴的对称点为 ，根据二次函数的对称性求出
，进而得到 ，增减性得到 时， ，待定系
数法求出 的值即可．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为 ，
，有
该抛物线的顶点坐标为 ．
（2） 抛物线的对称轴是直线 ，
点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧，
设点 关于对称轴的对称点为 ，
抛物线的对称轴是直线 ，
．
点 在对称轴右侧，且 ，
当 时，根据二次函数的性质， 时， 随 的增大而增大，
．，
．
当 时， ．
把 代入函数表达式 中，
，
．
11．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点 ， 在抛物线上．对于 ， ，都有 ，求a的
取值范围．
【答案】(1)直线
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）根据函数解析式确定对称轴即可；
（2）根据题意得出 ，再分 两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线 ．
（2）解：∵点 ， 是抛物线上的两点， ，，
又 ∵ ，
，
当 时，
又 ∵ ，
，
，
，
又 ∵ ，
，
；
当 时，
又 ∵ ，
，，
，
又 ∵ ，
∴ ；
综上所述，a的取值范围是 或 ．
12．（2025·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，点 ， 在抛物线
上，设抛物线的对称轴为 ．
(1)当 ， 时，求 的值；
(2)当 时，若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了抛物线 的图象和性质，熟练掌握抛物线的性质是
解题的关键．
（1）当 时，点 的坐标为 ，根据抛物线上点的坐标特征得出 ，
，根据题意求得 ，根据抛物线的性质即可求出 ；
（2）分为抛物线的对称轴在点 的左侧和右侧两种情况进行分析，当抛物线的对称轴在点
的左侧时，即 时，根据抛物线的对称性求出点 关于 对称的点为
，结合抛物线的性质得出点 在 的左侧，即 ，结合题意列出不等
式 ，即可求出 的取值范围是 ；当抛物线的对称轴在点 的右侧时，即
时，结合抛物线的性质得出点 在 的左侧，点 在 的左侧，结合题意列出不等式
，即可求出 的取值范围是 ；即可求解．【详解】（1）解：当 时，点 的坐标为 ，
∵点 ， 在抛物线 上，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ．
即 ，
∵抛物线的对称轴为 ，
故 ．
（2）解：分两种情况：
情况1：当抛物线的对称轴在点 的左侧时，即 时，
点 关于 对称的点为 ，
根据抛物线的对称性可得点 也在抛物线上，
则 ；
∵ ，
∴抛物线开口向上，
故当 时， 随 的增大而减小．
∵ ，
∴点 在 的左侧，
即 ，
∵ 时，都有 成立，
∴ ，
解得 ；
又∵ ，
故 的取值范围是 ；
情况2：当抛物线的对称轴在点 的右侧时，即 时，
，
∴抛物线开口向上，
故当 时， 随 的增大而减小，∵ ，
∴点 在 的左侧，
即 ，
∵ 时，都有 成立，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
故 的取值范围是 ．
综上， 的取值范围是 ．
13．（2025·北京大兴·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求该抛物线与 轴交点坐标；
(2)已知 ， 为该抛物线上的两点，若对于 ， ，都有
，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二
次函数的性质是解题的关键．
（1）令 ，求得 ，则该抛物线与 轴交点坐标为 ；
（2）根据题意得出 且 ，求解即可．
【详解】（1）解：当 时，则抛物线为 ．
令 ，则 ，
∴该抛物线与 轴交点坐标为 ；
（2）解：∵抛物线 ，对于 ， ，都有 ，∴ 且 ，
则 ，即 ， ，
解得： 或 ；
，即 ， ，
解得： 或 ；
综上， 或 ．
14．（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系 中， 是抛物线
上的两点．
(1)若对于 ，有 ，求抛物线的对称轴；
(2)若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线 ；
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等．
（1）利用轴对称的性质求解即可；
（2）直接代入得到整理得 ，推出 或 ，
再分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，有 ，
∴这两点关于 轴对称，抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：∵ ， ，又 ，
∴ ，
整理得 ，∴ 或 ，
①若 ，即 ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ，
∴ ；
②若 ，
同理 且 ，
∴ 且 ，
∴ ；
综上， 或 ．
15．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点
．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点 ， 在抛物线上．若 ，求a的取值范围
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关
键．
（1）把 代入解析式，则有 ，利用对称轴 即可求解；
（2）根据 ， 中横坐标与对称轴的距离，结合 和 分别讨
论即可求解；【详解】（1）解：∵ 经过点 ，
∴ ，
整理得： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当 时，抛物线开口向上．
点 到对称轴 的距离 ．
点 到对称轴 的距离 ．
∵ ，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大，
∴ ，同时
解不等式组
解得 ；
当 时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，
点 到对称轴 的距离 ．
点 到对称轴 的距离 ．
若 ， ；
∵ ，
∴ ．
解得 ．
若 ， ．
∴ ．
解得： ，∵ ，
∴不等式无解 ．
∴当 时， 的取值范围是 ；
综上，a的取值范围是 或 ．
16．（2025·北京·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 （a，b为常
数且 ）．
(1)若 ， ，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， 和 是抛物线上的两点．对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）将 ， ，代入化成顶点式即可直接得解；
（2）由 进而得到抛物线的对称轴为 ，分类讨论， 和
，再根据增减性和对称性求解即可；
本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函
数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：将 ， ，代入 ，得 ，
顶点的横坐标为 ，代入纵坐标为
∴顶点坐标为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，
①当 时， ，则 在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ，∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而
增大，
∴当 有 ，
可得 ，
解得 ；
②当 时， ，则 在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ，
∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而
减小，
∴当 有 ，
可得 或 ，
，
解得 ；
综上， 或 ；
17．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当 时，对于任意的正数 ，若 是抛物线上的两点，则
_____ （填“ ”“ ”“ ”）；
(3)已知直线： 上两点 ，其中点 的横坐标为1，点 的纵坐标为 ，若
抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】(1)直线
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数与抛物线图象的交点问题，数形结合是解题的关键；
（1）根据二次函数的性质，利用对称轴公式，即可求解；
（2）根据抛物线的对称轴为直线 ，当 ，抛物线开口向下，进而求得
关于对称轴的对称点为 ，根据当 时， 随 的增大而减小，即可求解；
（3）分 和 两种情况讨论，分别画出图形，结合函数图象，列出不等式，即可求
解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线对称轴为直线 ，
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
关于对称轴的对称点为
∵ ，抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而减小，
又∵
∴
故答案为： ．
（3）①当 时，抛物线过点 ， 关于 的对称点为
直线： 上两点 ，其中点 的横坐标为1，点 的纵坐标为 ，
如图
B ，
∵
∴当 时，由图象可知，抛物线与线段 恒有一个公共点.∴当 时，抛物线与线段 恒有一个公共点.
②当 时，
∵点 的横坐标为1，则 ，即
把 代入 得
∵抛物线与线段 恰有一个公共点，
∴
解得：
综上所述， 或 时，抛物线与线段 恰有一个公共点，
18．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
．
(1)求抛物线的对称轴；
(2) 是抛物线上的两点，若对于 ，都有 ，
求 的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．
（1）先配方成顶点式，即可求解对称轴；
（2）分两种情况讨论，① ；② ，分别根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：该抛物线的对称轴为直线 ；
（2）解：由题意，得 ．
．
，
．
①当 时，
可得， ．
又 ，
．
点 总在点 的右侧，且点 都在对称轴右侧．
时， 随 增大而增大．
又 ，
．
当 时，恒成立
②当 时，
可得 ．
点 在对称轴左侧．
设点 关于对称轴的对称点为 ，
．．
,
．
，
．
．
综上， 或 ．
19．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系 中， 是抛物线
上的两点．
(1)当 时，求 的值；
(2)若对于 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的取值范围是 或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上的点等知识点，掌握分类讨论
思想成为解题的关键．
（1）由题意可得点 为 ，然后代入抛物线解析式得到关于a的方程求解即可；
（2）由二函数的性质可得当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而
减小．然后根据题意分情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：当 时，点 为 ．点 在抛物线 上，
．解得 ．
（2）解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴为 ，
∴当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
对于 ：
①若 ，
，
．
（i）当 时，有 ．
．
，不符合题意．
（ii）当 时，取 ．
．
，不符合题意．
（iii）当 时，有 ．取 ，则 ．
设点 关于对称轴 的对称点为 ，则 ．
．
，
．．
，不符合题意．
（iv）当 时，有 ．
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ．
．
，
．
．
，符合题意．
②若 ，则 ，必有 ，不符合题意．
③若 ，
，
．
，符合题意．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
20．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系 中，已知 ， 是抛物
线 上两点，且抛物线经过 ．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)若对于 ， ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据抛物线 经过 ，得到 且 ，求抛
物线的对称轴即可．
（2）根据 ， ，都有 ，分 和 ，解答即可．
【详解】（1）解：根据抛物线 经过 ，
得到 且 ，
故 即 ，
故抛物线的对称轴为：直线 ．
（2）解：根据题意，得 ， ，
∴
解得 ，
∴ ，
∵ ， 是抛物线 上两点，且对称轴为直线 ，
∴ ， ，
∴
，∵ ，
∴ ，
当 ，且 时， ， 即 ，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵ ，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∴ 中点在对称轴的右侧，
则 即 ，
解得 ，无解；
当 ，且 时， ， 即 ，
根据抛物线的性质，与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵ ，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∴ 中点在对称轴的左侧，
则 即 ，
解得 ；
当 ，且 时， ， 即 ，
则 即 ，无解；
当 ，且 时， ， 即 ，则 ，无解，
综上所述，符合题意的范围是 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的
对称性和增减性，解一元一次不等式组，熟练掌握性质是解题的关键．
21．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知 ， ，
， 是抛物线 上的四个点，且任意两点都不重合．
(1)直接写出抛物线 与 轴的交点坐标（可用含 的代数式表示）；
(2)将抛物线在点 ， 之间的部分（含 ， ）所有点的纵坐标的最小值记为 ，并将抛
物线在 ， 之间的部分（含 ， ）所有点的纵坐标的最小值记为 ，若 ，求 的
取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 且 且 且
【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以
及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论．
（1）令 ，解方程即可得解；
（2）由题意，点 在点 的左侧，点 与 关于对称轴
对称， ，再根据 ， ， ， 四点中，任意两点不重合，得到 且 且
且 ，分 时， 时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：令 ，即 ，
解得： ，
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 ， ；（2）解：抛物线 的对称轴为直线 ．
由题意，点 在点 的左侧，点 与 关于对称轴 对称，
．
∵ ， ， ， 四点中，任意两点不重合，
∴ 且 且 且 ．
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小．
①当 时，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
由 知，不符合题意．
②当 时，点 在对称轴的左侧．
点 关于直线 的对称点为 ．
∵ ，
∴ ．
∴ 且 ．
∴ ．
综上所述， 的取值范围是 且 且 且 ．
22．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线的顶点坐标；(2)已知 和 是抛物线上的两个点，且 总成立，求 的取值范
围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思
想解答是解题的关键．
（1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到
顶点坐标；
（2）先求出 ，令 ，则 ，求出 的值，根据 ，求出
或 ，分 ， 两种情况，结合二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线为 ，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵ 在抛物线 上，
∴ ，
∵ 在抛物线 上，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ 或 ，
∴当 时，结合函数 的图象可得 或 ，当 时，结合函数 的图象可得 ，
当 时，结合函数 的图象可得 或 ，
∵ ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围是 或 ．
23．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知 ， ， 是抛物线上的三个点．若对于 ， ，
，都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．
（1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为 ．根据抛物线的开口方向分两种情况
讨论：①若 ，则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
②若 ，则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．再分
别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解．
【详解】（1）解：当 时，抛物线 ．
∴ ．
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，∴抛物线的对称轴为 ．
对于 ， ， ；
①若 ，则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．
∵ ， ，
∴ ， ．
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
∴ ．
（Ⅰ）当 时，有 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，不符合题意．
（Ⅱ）当 时，有 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ，符合题意；
（Ⅲ）当 时，令 ，则 ．
∴ ，不符合题意．
②若 ，则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．∵ ， ，
∴ ．
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
（Ⅰ）当 时，有 ， ．
令 ，则 ，即 ．
∴ ，不符合题意．
（Ⅱ）当 时，有 ，则 ．
若 ，有 ，则 ，符合题意；
若 ，
设点 关于对称轴 的对称点为 ，
则 ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
∴ ，符合题意．
（Ⅲ）当 时，有 ．∴ ，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 或 ．
24．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上．
(1)当 时，求抛物线与 轴交点的坐标；
(2)若对于任意的 ，总有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)抛物线与 轴交点的坐标为
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与不等式
等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键．
（1）当 时，抛物线为 ．令 ，解方程即可求出答案；
（2）分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：当 时，抛物线为 ．
令 ，则 ．
解得 ．
抛物线与 轴交点的坐标为 ．
（2）由 可知，抛物线的对称轴为 ，抛物线与 轴交点的坐
标为 ．
．
①若 ，则当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小．（i）当 时，令 ，则 ，不符合题意．
（ii）当 时，则 ．
．
．
，
，符合题意．
（iii）当 时，则 ．
．
由 可知 ．
，符合题意．
（iiii）当 时， ．
令 ，则 ，不符合题意．
②若 ，则当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
，
．
．
，
，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
25．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线上，且它的对称轴为直线 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)如果点 ， 在抛物线上，当 时，比较 和 的大小，并说明
理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称
性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把 代入 ，求出 ，得到抛物线表达式，再根据对称轴公式
求解；
（2）先确定点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，求出点
关于对称轴直线 的对称点为： ，可得 ，再根据
二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当 时，把 代入 ，
则 ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
∴点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，
∴点 关于对称轴直线 的对称点为： ，
∵ ，∴ ，
∵抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧 随 增大而减小，
∴ ．
26．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 的对称轴
为直线 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)点 ， ， 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并
说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是
要熟练掌握二次函数的性质；
（1）由抛物线为 ，得对称轴是直线 ，又 ，进而可得
，故可得解；
（2）由（1）对称轴是直线 ，则 ，又 ，从而 ，又抛物线
开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点 ， ， 在
该抛物线上，且对称轴是直线 ，从而 ，故可判断得解．
【详解】（1）解：由题意， 抛物线为 ，
对称轴是直线 ．
又 ，
．（2）解：由（1） 对称轴是直线 ，
．
又 ，
．
抛物线开口向上，
抛物线上点离对称轴越近函数值越小．
点 ， ， 在该抛物线上，且对称轴是直线 ，
， ， ．
，
， ．
．
．
27．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
(1)写出抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
(2)若点 ，抛物线 与线段 只有一个交点，求 的取值范围；
(3) 是抛物线 上两点，若 ，直接写出 取值范
围．
【答案】(1)对称轴为
(2) 或 或
(3)
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键．
（1）利用二次函数的性质即可解答；
（2）求得二次函数与 轴的交点，使交点与 比较即可；（3）表示出 ，再表示出 ，最后解不等式即可．
【详解】（1）解：对称轴为 ；
（2）解：令 ， ，
解得 ，
二次函数与 轴的交点为 ，
当 在点 左边时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ，
解得 ；
当 与 时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ；
当 在点 右边时，抛物线 与线段 只有一个交点，此时 ，
解得 ；
综上所述， 或 或 ；
（3）解： 对称轴为 ，
为顶点，
二次函数开口向上，
，
，
可得 ，
，
，
，可得 ，
解得 ．
