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河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、北湖校区
2023-2024 学年高一下期末测试
数学试题
命题人： 审题人 ；
一、单选题
1．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的共轭复数 的虚部为
A． B． C． D．
2．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人
计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为
A． B． C． D．
4．记 的内角 的对边分别为 .已知 ，若角 有两解，则 的值
可以是
A．2 B． C． D．4
5．如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平
面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余
弦值是
A． B． C． D．
1
学科网（北京）股份有限公司6．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为
“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙互斥
7．已知正四棱台的体积为 ，上、下底面边长分别为 ，其顶点都在同一球面上，
则该球的表面积为
A． B． C． D．
8．如图，在扇形AOB中，扇形的半径为 ，点 在
弧 上移动， ．当 时，
A． B． C．2 D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是
A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体m
被抽到的概率是0.1
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是
C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D．若样本数据 的标准差为8，则数据 的标准差为32
10．已知点 ， ， ，平面 经过线段 的中点 ，且与直线
垂直，下列选项中叙述正确的有
A．线段 的长为36
B．点 在平面 内
C．线段 的中点 的坐标为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
2
学科网（北京）股份有限公司11．已知复数 在复平面内对应的点分别为 ，则
A．
B．
C．满足 的复数 对应的点 形成的图形的周长是
D．满足 的复数 对应的点 形成的图形的面积是
三、填空题
.已知平面向量 ，向量 在向量 上的投影向量为 则 = .
12
13．已知事件 与 相互独立， ， ，则 ．
14．已知四面体 中，棱BC，AD所在直线所成的角为 ，且 ， ，
，则四面体 体积的最大值是 ．
四、解答题
15．数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经
济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性
和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元
的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄（单位：岁）进行
分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，
得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中 的值并估算样本平均年龄（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）及
第78百分位数；
3
学科网（北京）股份有限公司(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年龄在 和 内抽取6位市民做
问卷调查，现从这6位中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在 内的概
率.
16．如图，四边形 为矩形，直线 垂直于梯形 所在的平面.
， 是线段 的中点， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离.
17．已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 .
△
(1)求角A；
(2)若 ABC的外接圆的面积为 ， ，求 ABC的面积.
△ △
18．如图，在正方体 中，已知棱长为4，点E，F分别在 ， 上，
.
(1)求异面直线AE和 所成角的余弦值;
(2)求直线AE和平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 和平面 所成角的余弦值.
4
学科网（北京）股份有限公司19．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求角A；
(2)已知 ， ，点P，Q是边 上的两个动点（P，Q不重合），记 .
①当 时，设 的面积为S，求S的最小值：
②记 ， .问：是否存在实常数 和k，对于所有满足题意的 ， ，都
有 成立?若存在，求出 和k的值；若不存在，说明理由.
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