专题1-5正方形基本型·母题溯源（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-5 正方形基本型（母题溯源） 模型解读.................................................................................................................................................................2 【模型一】中点+折叠..................................................................................................................................2 【模型二】双中点（十字架模型拓展）....................................................................................................4 【模型三】对角线模型..............................................................................................................................12 【模型四】半角模型..................................................................................................................................12 题型一 中点+折叠模型...................................................................................................................................16 题型二 双中点模型（十字架拓展）..............................................................................................................20 2023·东营·中考真题....................................................................................................................................20 2203·绥化·中考真题....................................................................................................................................23 题型三 对角线模型..........................................................................................................................................28 2023·攀枝花·中考真题................................................................................................................................35 2023·四川宜宾·统考中考真题....................................................................................................................37 题型四 半角模型（七个性质）......................................................................................................................38 2023·重庆·中考真题....................................................................................................................................38 2023·眉山·中考真题....................................................................................................................................39 2022达州·中考真题....................................................................................................................................41 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 模型解读 【模型一】中点+折叠 性质一： ；性质二：F，G为中点；性质三： ;性质四： ； 性质五： ；性质六： D C D F C A' A' E E G A B A B G D C D C A' A' N E E A B A B 性质一证明： 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D C A' E A B 性质二证明：G是BC中点 D F C A' E G A B 性质三，四证明：HL全等 G D C D G C A' A' E E A B A B 性质五证明：勾股，或“12345”模型 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D 12-x G x C D G C A' x A' 6 6 E 12 E β 6 α A 12 B A B 【12345模型说明】易知 ， ，故 ，记 性质六证明：12345模型 D C x A' 3x N E 5x 4x A 5x B 【模型二】双中点（十字架模型拓展） (1)知2推1：①M中点；②N是中点；③AM⊥DN A D E M B N C (2)已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于F 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F A D E M B N C ① 求 _________ ② 证明：EC平分∠NEM ③ 求 【解析】 ① F A D 2m 4m E m M 3m B N C 证明：法一：角平分线逆定理 法二：旋转相似（手拉手模型） F A D F A D E M E M B N C B N C 法三：四点共圆 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F A D E M B N C ② 法一：角平分线定理 F A D E M F在角平分线上，过F作角两边垂线 DF S DE 1 △DEF ∴ = = = （角平分线定理2） B N C AF S AE 2 △AEF 法二：12345模型（正切和角公式） F A D 1 45° 2 E M 1 3 1 1 ∠DEF=45°,∠EDC= tan∠DCF= B N C 2 3 （3）已知：M，N是中点，O是中心，连接OE，①求DE:EG:GN ;②证∠OEC=90° 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D E M O G B N C 【解析】第一问 A D 3a E M 2a O G 2.5a DE 2 NG 1 = , = ro 12345模型 B N C NE 3 DG 2 【解析】第二问 法一：由（2）可知∠NEC=45°，故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS)，从而可得∠NEO=45°，得证 A E M 45° O 45° G B N C 45° 或者换个方向也可以， 像这种方方正正的图形也可以试试建系 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A E M 45° O 45° G B N C 45° 法二：四点共圆 法三：补成玄图 易知∠OEG=45° A A D E E M M O O G G B N C B N C （4）已知：M，N是中点,连接BE，证BE=CD A D E M B C N 【解析】法一 斜边上的中线等于斜边一般 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D E M B C N 法二：过AD的中点P作AE垂线，交AM于Q，可得Q是AE中点，则BQ垂直平分AE，故AB=BE P A D Q E M B C N 法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰 A D E M B C N 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 法四：勾股定理，由（2）可知DE：NE=2:3，设值求值即可 A D E M 10m 6m B C 5m N 3m 2m （5）已知：M，N是中点,连接BE，AH⊥BE于H，交DN于K，证AK=CD A D E M H K B C N 【解析】法一：构造玄图导等腰 Q A D 4 1 P E 2 M H 3 K B C N 法二：四点共圆 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D 4 3 2 E M H 1 K B C N ∠1=∠2=∠3=∠4 法三：建系求坐标（略） 【模型三】对角线模型 【模型四】半角模型 如图，已知ABCD为正方形，∠FAE=45°，对角线BD交AE于M，交AF与N，AG⊥EF 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D N F M G B E C 5个条件知1推4 ① ∠EAF=45° ② ③ ，AG=AB ④ AE平分∠BEF ⑤ AF平分∠DFE 【性质一】5个条件知1推4（全等） 【性质二】 （勾股证） 【性质三】∠MGN=90° 【性质四】 ； ； （2组子母，1共享型相似） 【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形（反8字相似或四点共圆） 【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为 （用全等导角） 【性质七】 （旋转相似） 【性质一】DF＋BE＝EF 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D N F M G B E C 易证△ABE≌ AGE，易证△AGF≌ ADF △ △ 【性质二】 简证，如图 A D A D N N F F N' N' M M 45° 45°45° B E C B E C 【性质三】∠MGN=90°简证，如图：两组全等 A D N F 45° M 45° G B E C 【性质四】 ； ； （2组子母，1共享型相似） 简证③，如图 S ＝BN·DM（共享型相似） ABCD ∠1=45°+∠2=∠BAN △BAN∽△DMA BN•DM=AB•AD ⇒ ⇒ 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D A D A D 45° 45° 45° 45° 2 N N N F F F 1 M M M 45° 45° B E C B E C B E C 【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形 简证，以△ANE为例， AMF方法相同 △ A D A D 45° 45° N N F F M M 45° 45° 45° 45° B E C B E C 法一：两次相似△AMN∽△BME △BMA∽△EMN∠ABM=∠NEM=45° ⇒ 法二：ABEN四点共圆，对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN 【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为 先证相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立 相似比为： 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D A D 45° 3 N N F F H M M G G 1 45°2 B E C B E C 【性质七】 ① A A D D N N  F F M M B E C B E C ② A D A D N N  F F M M B E C B E C 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型一 中点+折叠模型 1．如图，在边长4的正方形 中， 是边 的中点，将 沿直线 折叠后，点 落在点 处， 再将其打开、展平，得折痕 ．连接 、 、 ，延长 交 于点 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解： 四边形 是正方形， ， ， 是边 的中点， ， 将 沿直线 折叠得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， ， 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ，故③错误； 过 作 于 ， ， 设 ，则 ， ， ， 解得： ， （舍去）， ， ，故④正确； 2．如图，正方形 中， ，点 在边 上， ，将 沿 对折至 ，延长 交边 于点 ，连接 ， ，给出以下结论：① ；② ；③ ； ④ ．其中所有正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，由折叠可知， ， ， ， 在 和 中， ， ，故①正确； 正方形边长是12， 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 设 ，则 ， ， 由勾股定理得： ， 即： ， 解得： ， ， ，故②正确， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上可知正确的结论的是4个 3．如图，矩形 中， ， ， 为 中点， 为 上一点，将 沿 折叠后， 点 恰好落到 上的点 处，则折痕 的长是 ． 【解答】解：如图，连接 ， 四边形 为矩形， ， ， ， 为 中点， 由翻折知， ， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 又 ， ， ， ， ， 题型二 双中点模型（十字架拓展） 2023·东营·中考真题 1．如图，正方形 的边长为4，点 ， 分别在边 ， 上，且 ， 平分 ，连 接 ，分别交 ， 于点 ， ， 是线段 上的一个动点，过点 作 垂足为 ，连接 ，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② 的最小值为 ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③ 【答案】D 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解： 为正方形， ， ， ， ， . , , ， ， . 平分 ， . ， . ， ， 垂直平分 ， 故①正确. 由①可知， ， ， ， ， ， 由①可知 ， . 故③正确. 为正方形，且边长为4， ， 在 中， . 由①可知， ， ， . 由图可知， 和 等高，设高为 ， ， ， ， . 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故④不正确. 由①可知， ， ， 关于线段 的对称点为 ，过点 作 ，交 于 ，交 于 ， 最小即为 ，如图所示， 由④可知 的高 即为图中的 ， . 故②不正确. 综上所述，正确的是①③ 2．如图，正方形 中，点 、 、 分别为边 、 、 上的中点，连接 、 交于点 ， 连接 、 ， 与 交于点 ，则结论① ；② ；③四边形 是平行四边 形；④ 中，正确的有 个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解答】解： 且 ， 四边形 为平行四边形，故③正确； ， 在 和 中， ， ， ， 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ． 点为 中点， 为 的中位线， 即 为 的垂直平分线， ， ，故②错误； 在 和 中， ， ， ， ， ，故①正确； ， 、 、 、 四点共圆， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ，故④错误． 2203·绥化·中考真题 3．如图，在正方形 中，点 为边 的中点，连接 ，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ， 平分 交 于点 ．则下列结论中，正确的个数为（ ） 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ① ；② ；③当 时， A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵ ∴ ∴ 即 ，又 , ∴ ，故①正确； 设正方形的边长为 ， ∵点 为边 的中点， ∴ , ∴ , 在 中， ， ∴ 在 中， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ，故②正确； ∵ ， ∴ , 如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ， 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又∵ ， ∴四边形 是矩形， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ∵ ∴ 设 ，则 在 中， ， ∵ ∴ 解得： ∴ ， ∴ ，故④正确 4．如图，已知 ， 分别为正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点 ， 为 的中点， 则下列结论： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确 结论的是 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤ 【解答】解：在正方形 中， ， ， 、 分别为边 ， 的中点， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 是 的中线， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 设正方形 的边长为 ，则 ， 在 中， ， ， ， ， ， 即 ， 解得 ， 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ，故⑤正确； 如图，过点 作 于 ， 则 ， 即 ， 解得 ， ， ， 根据勾股定理， ， 过点 作 ，过点 作 于 ， 则 ， ， 在 中， ， 根据正方形的性质， ， ， ， ， 是直角三角形， ，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个 5．如图，在正方形 中，E、F分别在 、 边上，且 ，连接 、 相交于G点．则 下列结论：① ；② ；③ ；④当E为 中点时，连接 ，则 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①由“ ”可证 ，可得 ； ②由全等三角形的性质可得 ，由面积和差关系可得 ； ③通过证明 ，可得 ，可得结论； ④通过证明点D，点E，点G，点F四点共圆，可证 ． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ，故①正确， ∵ ， ∴S BCE＝S CDF， ∴ △ △ ；故②正确， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ；故③正确； 如图，连接 ， 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点E是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴点D，点E，点G，点F四点共圆， ∴ ，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④ 题型三 对角线模型 1．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F ，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B 运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF 交于点P，过点P作PM //CD交BC于M 点，PN //BC 交CD于N点，连接MN ，在运动过程中则下列结论：①ABEBCF ；②AE BF ；③AE BF ；④ 52 ；⑤线段 的最小值为 ．其中正确的结论有 CF2 PEBF MN 2 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【解答】解：动点F ，E的速度相同， DF CE， 又CDBC， CF BE， 在ABE和BCF 中， ABBC  ABEBCF 90  BE CF ABEBCF(SAS)，故①正确； 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BAECBF，AE BF ，故②正确； BAEBEA90， CBF BEA90， APB90，故③正确； 在BPE和BCF 中， BPEBCF，PBECBF ， BPE∽BCF， PE BE  ，  CF BF CFBEPEBF ， CF BE， CF2 PEBF ，故④正确； 点P在运动中保持APB90， 点P的路径是一段以AB为直径的弧， 如图，设AB的中点为G ，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小， 1 5 在 中，CG BC2 BG2  1  ， RtBCG 4 2 1 1  PG AB ， 2 2 5 1 51 MN CPCGPG   ， 2 2 2 51 即线段 的最小值为 ，故⑤错误； MN 2 综上可知正确的有4个， 故选：C． 2．如图，正方形ABCD中，AB3，点E是对角线AC 上的一点，连接DE，过点E作EF DE ，交AB 于点F ，连接DF交AC 于点G ，下列结论： 5 ① ；② ；③ ；④若 ，则EG 2，其中结论正确的个数 DE EF ADF AEF DG2 GEGC AF 1 4 是( ) 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，连接BE ， 四边形ABCD为正方形， CBCD，BCEDCE45， 在BEC 和DEC中， DC BC  DCEBCE ，  CE CE DCEBCE(SAS)， DE BE ，CDECBE， ADE ABE， DAB90，DEF 90， ADEAFE180， AFEEFB180， ADE EFB， ABEEFB， EF BE， DE EF ，故①正确； DEF 90，DE EF ， EDF DFE45， DAC 45，AGDEGF， ADF AEF，故②正确； GDEDCG45，DGECGD， DGE∽CGD， 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DG CG  ，  EG DG 即DG2 GECG，故③正确； 如图，过点E作EN  AB于点N，  AF 1，AB3， BF 2，AC  32 32 3 2，  BE EF ， FN BN 1， AN 2，  AE 22 22 2 2， CE ACAE  2， 将DEC绕点A逆时针旋转90得到DMA，连接MG， 易证DMGDEG(SAS)，AMG是直角三角形， MGGE， MG2 EG2  AM2  AG2 CE2 AG2， 设EGx，则AG2 2x，  ( 2)2 (2 2x)2  x2， 5 5 解得：x 2，即EG 2，故④正确． 4 4 故选：D． 3．如图，正方形ABCD中，点E，F 分别为边BC，CD上的点，连接AE，AF ，与对角线BD分别交于 点G ，H ，连接EH ．若EAF 45，则下列判断错误的是( ) A．BEDF EF B．BG2 HD2 GH2 C．E，F 分别为边BC，CD的中点 D．AH EH 【解答】解：如图1，将ADF 绕点A顺时针旋转90得到ABM ，此时AB与AD重合， 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由旋转可得：AB AD，BM DF ，DAF BAM ，ABM D90，AM  AF ， ABM ABE9090180， 点M ，B，E在同一条直线上． EAF 45， DAF BAEBADEAE904545． BAE DAF ， BAM BAE45． 即MAE FAE． 在AME与AFE中， AM  AF  MAE FAE ，  AE AE AMEAFE(SAS)， ME EF ， EF BEDF ，故A选项不合题意， 如图2，将ADH 绕点A顺时针旋转90得到ABN ，此时AB与AD重合， ADH ABN ， AN  AH ，BAN DAH ，ADH ABN 45，DH BN ， NBG90， BN2 BG2 NG2， 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EAF 45， DAF BAE45， BAN BAE45NAE， NAEEAF， 又 AN  AH ，AG AG， ANGAHG(SAS)， GH NG， BN2 BG2  NG2 GH2， DH2 BG2 GH2，故B选项不合题意； EAF DBC 45， 点A，点B，点E，点H 四点共圆， AHEABE90， AH HE，故D选项不合题意， 故选：C． 4．在正方形 ABCD中，点E为BC边上一点且CE2BE，点F 为对角线BD上一点且BF 2DF，连接 56 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 、 ，若 ，则 的面积是 AE BD G F FH  AE H CH CF HG2cm CHF 5 cm2． 【解答】解：如图，过F 作FI BC于I ，连接FE ，FA， FI //CD， CE2BE，BF 2DF， 设BEEI IC a，CEFI 2a，AB3a， 则FEFC FA 5a， H 为AE的中点， 1 10a HE AE ， 2 2 四边形ABCD是正方形， BG平分ABC， 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 EG BE 1   ，  AG AB 3 1 10 HG AE a2， 4 4 4 a 10 ， 5 1 10 1 1 3 7 56 S S S S  ( a)2  2a2a 2a a a2  ， CHF HEF CEF CEH 2 2 2 2 2 4 5 56 故答案为： ． 5 5.如图，正方形AFBH,点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT交AB于N,当点T在AF上运动时, MN 的值是否发生改变?若改变求出其变化范围:若不改变请求出其值并给出你的证明 HT 【解析】易知NT=HN，证明∠TNH=90°即可 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·攀枝花·中考真题 6．如图，已知正方形 的边长为3，点 是对角线 上的一点， 于点 ， 于点 ， 连接 ，当 时，则 （ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先证四边形 是矩形，可得 ， ，由等腰直角三角形的性质可得 ，可求 ， 的长，由勾股定理可求 的长，由“ ”可证 ，可得 ． 【详解】解：如图： 连接 ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， 2023·四川宜宾·统考中考真题 7. 如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM 并延长交CD于点P．若 PM PC，则AM 的长为（ ）         3 31 3 3 32 6 31 6 3 32 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形ABCD是边长为6的正方形， ADCD6,ADC 90,ADM CDM 45， DM DM  在 和 中，ADM CDM 45，  △ADM VCDM ADCD ADM CDMSAS ， DAM DCM ， PM PC， CMPDCM ， APDCMPDCM 2DCM 2DAM ， 又APDDAM 180ADC90， DAM 30， 设PDx，则AP2PD2x，PM PC CDPD6x， AD AP2PD2  3x6， 解得x2 3， PM 6x62 3，AP2x4 3，     AM  APPM 4 3 62 3 6 31 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型四 半角模型（七个性质） 2023·重庆·中考真题 1．如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ， ， ．若 ，则 一定等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将 绕点 逆时针旋转 至 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 由旋转性质可知： ， ， ， ∴ ， ∴点 三点共线， ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ 2023·眉山·中考真题 2．如图，在正方形 中，点E是 上一点，延长 至点F，使 ，连结 ， 交 于点K，过点A作 ，垂足为点H，交 于点G，连结 ．下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形 的性质可由 定理证 ，即可判定 是等腰直角三角形， 进而可得 ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得 ；由此即可判断① 正确；再根据 ，可判断③正确，进而证明 ，可得 ，结合 ，即可得出结论④正确，由 随着 长度变化而变化，不固 定，可 判断② 不一定成立． 【详解】解：∵正方形 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ， ∵ ， ∴ ， 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， ∴ ，故①正确； 又∵ , , ∴ , ∴ ， ∵ ，即： ， ∴ ， ∴ ，故③正确， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，故④正确， ∵若 ，则 ， 又∵ ， ∴ ， 而点E是 上一动点， 随着 长度变化而变化，不固定， 而 ， 则故 不一定成立，故②错误； 综上，正确的有①③④共3个 3．如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， ， 与 相交于点 ．下列结 论：① 垂直平分 ；② ；③当 时， 为等边三角形；④当 时， ．其中正确的结论是 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④ 【解答】解： 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 垂直平分 ，故①正确； ， ， 垂直平分 ， ， 当 平分 时， ，即 ，故②错误； ， ， ， 又 ， 是等边三角形，故③正确； ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故④错误. 2022 达州·中考真题 4．如图，在边长为2的正方形 中，点E，F分别为 ， 边上的动点（不与端点重合），连接 ， ，分别交对角线 于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持 ，连接 ， ， ．以下结论：① ；② ；③ ；④ 为等腰直角三角形；⑤若 过点B作 ，垂足为H，连接 ，则 的最小值为 ．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM，根据正方形的性质及线段垂直平分线的性质定理 即 可 判 断 ① 正 确 ； 通 过 证 明 ， ， 可 证 明 ② 正 确 ； 作 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN，通过证明 ，可判 断③错误；通过证明 ， ，利用相似三角形的性质即可证明④正确；当点B、 H、D三点共线时，DH的值最小，分别求解即可判断⑤正确． 【详解】 如图1，连接BD，延长DA到M，使AM=CF，连接BM， 四边形ABCD是正方形， 垂直平分BD， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， ，故②正确； 如图2，作 ，交AC的延长线于K，在BK上截取BN=BP，连接CN， ， ， ， ， 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，即 ， ，故③错误； 如图1， 四边形ABCD是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，故④正确； 如图1，当点B、H、D三点共线时，DH的值最小， ， ， ， ， ，故⑤正确 5．如图，点 、 分别是正方形 的边 、 上的两个动点，在运动过程中保持 ， 、 分别与对角线 交于点 、 ，连接 、 相交于点 ，以下结论：① ； ② ；③ ；④ ，一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【 分 析 】 由 旋 转 的 性 质 可 得 ， ， ， ， ，由 可证 ，可得 ，可得 ，故① 正确；由 可证 ，可得 ，由勾股定理可得 ；故②正确；通过 证明 ，可得 ，可证 ，故③正确；通过证明点 ，点 ，点 ，点 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四点共圆， ， ， ，可证 ，由 ，可得 ，故④错误，即可求解． 【详解】解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ， ， ' ， 点 在直线 上， ， ， ， 又 ， ， （ ）， ， ， ；故①正确； 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， （ ）， ∴ ， ， ；故②正确； ， ， ， 又 ， ， 【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 又 ， ，故③正确； ， 点A，点 ，点 ，点 四点共圆， ， ， ， 同理可求 ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误 6．如图，点 、 分别是正方形 的边 、 上的两个动点，在运动过程中保持 ， 、 分别与对角线 交于点 、 ，连接 、 相交于点 ，以下结论：① ；② ；③ ；④ ，一定成立的是 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【解答】解：将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ， ， 【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 点 在直线 上， ， ， ， 又 ， ， △ ， ， ， ；故①正确； 将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ；故②正确； ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ，故③正确； ， 点 ，点 ，点 ，点 四点共圆， ， ， ， 同理可求 ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④错误 【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7．如图，正方形 的对角线相交于点 ，点 ， 分别是边 ， 上的动点（不与点 ， ， 重合）， ， 分别交 于 ， 两点，且 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：将 绕点 逆时针旋转 至 ， ， ， ， ， ， △ ， ， ， ；故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确； ，即 ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ；故③正确； 在 与 中， ， ， ， ， 【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 是等腰三角形，故④正确； 8．如图，在正方形 中，对角线 ， 相交于点 ， 是线段 上的动点（点F不与点O，D 重合）连接 ，过点F作 分别交 ， 于点H，G，连接 交 于点M，作 交 于点E， 交 于点N．有下列结论：①当 时， ；② ；③ 时， ；④ ．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】①正确．利用面积法证明 即可； ②正确．如图3中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．则 ， ， ， ，证明 ，利用勾股定理，即可解决问题； ③正确．如图2中，过点 作 于 ， 于 ，连接 ．想办法证明 ，再利用相 似三角形的性质，解决问题即可； ④错误．假设成立，推出 ，显然不符合条件． 【详解】解：如图1中，过点 作 于 ． 【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确， 过点F作 ，如图所示： ∴四边形 是矩形， ∵ ， ∴ ， 在正方形 中， ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 如图 3 中，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．则 ， ， 【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ∵ ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ， ，O为 的中点， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； ， ， ， ， ，故②正确， 如图2中，过点 作 于 ， 于 ，连接 ． ， ， 【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，即 ， ，故③正确， 假设 成立， ， ， ，显然这个条件不成立，故④错误 9．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，等腰直角 中， ，顶点M，P在正方形 的 边及 边的延长线上动点． 交 于点F，连接 并延长，交 于N， 交 于点 【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 E．以下结论：① ② ③ ④若 ，则 ，其 中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】 【分析】由正方形及等腰直角三角形的性质，可证得 ， ，可 证得 ，点A、B、M、F四点共圆， ，由 可证 ，可得 ，可得 ，故①正确；由 可证 ，可得 ，由勾股定理 可得 ；故②正确；通过证明 ，可得 ，故③正确；由 可 得 ，设正方形的边长为a，可得 ， ，故④正确，即可求 解． 【详解】解： 四边形 是正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，点A、B、M、F四点共圆， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图：将 绕点A|顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， 【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ；故②正确； ， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ，故③正确； ， ， ， 设正方形的边长为a， ， 解得 ， ， ，故④正确 【52淘宝店铺：向阳百分百】