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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2024 年北京市清华附中中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16分）
1. 一个几何体是由若干个相同的立方体组成，其主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的立方体个
数不可能的是（ ）
A. 15个 B. 13个 C. 11个 D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图和左视图，分别找出每行每列立方体最多的个数，相加即可判断出答案．
【详解】综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个，第一行第3列最多
有2个；第二行第1列最多有1个，第二行第2列最多有1个，第二行第3列最多有1个；第三行第1列最
多有2个，第三行第2列最多有1个，第三行第3列最多有2个，
所以最多有 （个），不可能有15个．
故选：A．
【点睛】本题考查三视图，根据题目给出的视图，出每行每列的立方体个数是解题的关键．
2. 克旗位于内蒙古东部，赤峰市西北部，有丰富多样的旅游资源，素有“北京御花园”、“内蒙古缩影”、
“塞北金三角”之称，全旗总面积 平方公里． 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用科学记数法的表示方法即可解答．
【详解】解： ，
故选： ．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟记科学记数法的表示形式为 的形式，
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其中 ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
3. 如图，菱形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是 ， ， ，则顶点D的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质以及中点坐标公式即可求解．
【详解】设D点的坐标为(a,b)，
菱形的对角线的交点也是两条对角线的中点，
∴AC的中点与BD的中点坐标相同，
∴根据中点坐标公式有： ，
则a=2，b=3，
即D点坐标为：(2,3)，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质和中点坐标公式，掌握并运用中点坐标公式是解答本题的关键．
4. 若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意判断这个多边形为正多边形，其每个内角度数相等，即每个外角也相等，结合多边形外
角和360°定理解题即可．
【详解】 一个多边形每一个内角都为144°，
该多边形是正多边形，
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，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、正多边形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
5. 如果 ，且 ，那么代数式 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将原式进行通分计算，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：原式
，
，
，
原式 ，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
6. 如图，将 绕点C按照顺时针方向旋转 得到 ， 交 于点D．若 ，
则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由旋转的性质得出 ，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵将 绕点C按照顺时针方向旋转 得到
∴ ，
∵
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．
7. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】逐项找出各个图形的对称轴的条数即可得到答案.
【详解】A、本选项的图形有无数条对称轴；
B、本选项的图形有1条对称轴；
C、本选项的图形有两条对称轴；
D、本选项的图形有3条对称轴；
故选A.
【点睛】本题考查了轴对称图形的对称轴，明确轴对称图形的定义是关键.
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8. 线段 ，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段 运动至点 ，以线段 为边
作正方形 ，线段 长为半径作圆，设点 的运动时间为 ，正方形 周长为 ， 的面积
为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A. 正比例函数关系，反比例函数关系 B. 一次函数关系，二次函数关系
C. 正比例函数关系，二次函数关系 D. 一次函数关系，反比例函数关系
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
，属于正比例函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，
∴x−5 0，解得x 5．
故答案⩾为：x≥5 ⩾
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式 有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了
解一元一次不等式．
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10. 分解因式： _________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据提公因式和公式法进行分解因式，即可作答．
【详解】解：
故答案为：
11. 二元一次方程组 的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求解即可
【详解】解： ，
①×8−②得：5x＝10，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝−1，
故方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有代入消元法与加减消元法．
12. 在平面直角坐标系xOy中，若点 ， 在反比例函数 的图像上，则
_________ （填“ ”“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，当 ，在每个象限内，y随x的增大而增大，进行判断即可．
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【详解】解：∵ ，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
13. 某市6月份日最高气温统计如图所示，则在日最高气温这组数据中，众数是_____℃，中位数是
_____℃．
【答案】 ①. 21 ②. 22
【解析】
【分析】先从图中找出出现次数最多的数据，求出众数，再将题中的数据按照从小到大的顺序排列，求出
中位数即可．
【详解】解：由统计图可得出，该市6月份日最高气温为 的天数最多，
故这组数据中，众数为 ，
将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得出第15天和第16天的日最高气温均为 ，
可得出中位数为： ．
故答案为：21，22．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14. 如图，在矩形 中，若 ， ，则 的长为______________．
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【答案】6
【解析】
的
【分析】先由矩形 性质得到 ，进而证明 ，得到
，在 中，由勾股定理得即可求出 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，证明 ，得
到 是解题的关键．
15. 如图， 的半径为4，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意一点， ，且 、
与x轴分别交于A、B两点．若点A、点B关于原点O对称，则当 取最大值时，点 A的坐标为
______．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得出 取得最小值时点 的位置．
由 中 知要使 取得最大值，则 需取得最大值，连接 ，并延长交 于点
，当点 位于 位置时， 取得最大值，据此求解可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 、点 关于原点 对称，
∴ ，
∴ ，
若要使 取得最大值，则 需取得最大值，
连接 ，并延长交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最大值，
过点 作 轴于点 ，
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则 、 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
即点A的坐标为 ，
故答案为： ．
16. 如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若反比例函数 的图
象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______．
【答案】
【解析】
的
【分析】先根据正方形 性质证明 ，由CO和 CH的值表示NO，NB，进而得出
，由AM=ON得出a与b的关系，再将点E代入反比例函数关系式，求出a和b的值，
即可求解．
【详解】解：过E作 轴于H，
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设 ， ，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作 于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点， ，
∴ ， ，
同理 ，
则 ， ， ，
故 ，
则点 ，
将点E的坐标代入 ，
得 ，而 ，
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解得： ， ， ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质等，
解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～
28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】-3
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，再进行四则混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查实数的混合运算．涉及负整数指数幂，零指数幂，去绝对值和特殊角的三角函数值．掌
握实数的混合运算法则是解题关键．
18. 解不等式组 ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】不等式组的解集为 ，所有非负整数解为0，1
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有非负
整数解即可．
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【详解】解：原不等式组为
解不等式①，得 .
解不等式②，得 ．
原不等式组的解集为 ．
原不等式组的所有非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，再算乘除即可；
（2）利用完全平方公式以及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
【点睛】本题考查的知识点是整式的混合运算，掌握整式的混合运算的运算顺序非常关键．
20. 如图，点A在线段EB上，且EA＝ AB，以AB直径作⊙O，过点E作射线EM交⊙O于D、C两点，
且 ．过点B作BF⊥EM，垂足为点F．
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（1）求证：CD•CB＝2CF•EA；
（2）求tan∠CBF的值．
【答案】（1）见解析；（2）tan∠CBF＝ ．
【解析】
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB＝90°，再根据题意即可证明
△ABD∽△CBF，根据相似三角形的性质即可得出AD•CB＝CF•AB，最后根据等量代换即可得证；
（2）连接OD，过O作OH⊥CD于点H，设⊙O的半径为r，CD＝x，则CH＝DH＝ x，根据
易证△EOD∽△EBC，根据相似三角形的性质得出 ，再根据题意及等量代换即可求得ED＝
2CD＝2x，根据勾股定理可表示出OH，根据BF⊥EM得出平行，即可HF、CF，再根据勾股定理求得BF，
最后根据an∠CBF＝ 代入即可得出答案．
【详解】（1）连接BD，如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BF⊥EM，
∴∠BFC＝90°，
∴∠ADB＝∠CFB＝90°，
∵∠BCF＝∠BAD，
∴△ABD∽△CBF，
∴ ，
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∴AD•CB＝CF•AB，
∵AD＝CD，AE＝ AB，
∴CD•CB＝CF•2AE，
即CD•CB＝2CF•EA；
（2）连接OD，过O作OH⊥CD于点H，设⊙O的半径为r，CD＝x，如图2，则CH＝DH＝ x，
∵ ，
∴∠AOD＝∠ABC，
∴OD∥BC，
∴△EOD∽△EBC，
∴ ，
∵EA＝ AB＝OA＝OB＝r，
∴ ，
∴ ，
∴BC＝ ，
ED＝ EC，
∴ED＝2CD＝2x，
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∴OH＝ ，
∵BF⊥EM，
∴OH∥BF，
∴ ，
∴HF＝ EH＝ ，
∴CF＝HF﹣CH＝ ，
∴BF＝ ，
∵EF2+BF2＝EB2，
∴ ，
∴r2＝2x2，
∴BF＝ ，
∴tan∠CBF＝ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理、
求角的正切，添加合适的辅助线是解题的关键．
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21. 如图，在 中， ， 是 边的中线，过点 作 的平行线，过点 作 的平
行线，两线交于点 ．
（1）求证：四边形 是矩形．
（2）连接 ，交 于点 ，若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出 ，根据矩形的判定得出即可；
（2）由题意过 点作 ，交 延长线于 ，根据矩形的性质和勾股定理以及根据三角形的面积
进行分析即可求出答案．
【详解】解：（1） ， 是 边的中线，
，
又 ， ，
四边形 是矩形．
（2）过 点作 ，交 延长线于 ，
， ，
，
，
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，
又 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
故 ．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ADBE
是矩形是解此题的关键．
22. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是 的中点，连接AE交BC于点F，
∠ACB=2∠EAB．
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（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosC= ，AC=6，求BF的长．
【答案】(1)证明见解析．（2）BF的长为3．
【解析】
【详解】（1）证明：连结AD，如图，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作FH⊥AB于H，如图，
在Rt ACD中，∵cosC= ，
△
∴CD= ×6=4，
在Rt ACB中，∵cosC= ，
△
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∴BC= ×6=9，
∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设BF=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt BFH中，∵cos∠BFH=cosC= ，
△
∴ ，
解得x=3，即BF的长为3．
23. 如图， 是 的直径，弦 ，垂足为 ， 为 上一点，过点 作一直线，分别交
， 的延长线于点 ， ．若 连接 ，交 于点 ．
（1）求证： 为 的切线；
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（2）连接 ，若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，易得 ，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得以
及“对顶角相等”的性质可推导 ，即 ，可证明 为 的切
线；
的
（2）连接 ，设 半径为 ，首先根据垂径定理求得 ，再利用三角函数解得
，由勾股定理可解得 ，在 中，由勾股定理解得 ；过
点 作 ，垂足为 ，则 ，在 中，可解得
，再证明点 在同一直线上，易得 ，然后利用勾股定理求
的长即可．
【小问1详解】
证明：如下图，连接 ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 为 半径，
∴ 为 的切线；
【小问2详解】
如下图，连接 ，设 的半径为 ，
∴直径 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∵在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
为
过点 作 ，垂足 ，
则 ，
∴在 中， ，
∵ ， ， ，
∴点 在同一直线上，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查了切线的证明、垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，
综合性强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
24. 在世园会开幕一周年之际，延庆区围绕“践行‘两山’理论，聚力冬奥筹办，建设美丽延庆”主题，
同筑生态文明．近年来，在延庆区政府的积极治理下，空气质量得到极大改善．下图是根据延庆区环境保
护局公布的2014～2020年各年的全年空气质量优良天数绘制的折线统计图．
请结合统计图解答下列问题：
（1）2020年比2016年的全年空气质量优良天数增加了______天；
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（2）这七年的全年空气质量优良天数的中位数是______；
（3）在生态环境部2月25日举行的例行新闻发布会上透露，“十四五”空气质量改善目标指标设置仍然
坚持PM和优良天数两个指标；其中，全国优良天数达标指标将提升至 ％．截止到3月31日，延庆
区2021年空气质量优良天数如下：
月份 1月（31天） 2月（28天） 3月（31天）
优良天数/天 28 25 28
①该小区2021年1月1日至3月31日的空气质量优良天数的平均数约为______．
②试根据以上信息预测延庆区2021年（共365天）全年空气质量优良天数能否达标？达标的天数约为多少
天？
【答案】（1）37天；（2）265天；（3）①27天；②达标；328天．
【解析】
【分析】（1）根据折线图，得2020年为297天，2016年为260天，求两数的差即可；
（2）根据折线图，得到的信息，并从小到大排列：235,255,260,265,280,297,300，根据中位数的定义确定
即可；
（3）①计算 =27天；② =90％＞ ％，达标,365×90％≈328天．
【详解】（1）根据折线图，得2020年为297天，2016年为260天，
∴297-260=37（天），
故答案为：37；
（2）根据折线图，得到的信息，并从小到大排列：235,255,260,265,280,297,300，根据中位数的定义，第
四个数据为中位数，
∴这七年的全年空气质量优良天数的中位数是265，
故答案为：265；
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（3）①根据题意，得 =27天，
故答案为：27天；
②∵ =90％＞ ％，
∴达标；
∵365×90％≈328天，
∴全年空气质量达标的天数约为328天．
【点睛】本题考查了折线统计图，中位数，平均数，样本估计整体，熟练掌握统计图的意义和中位数，平
均数的定义是解题的关键．
25. 如图， 中， ，以 为直径的 分别交边 于点 ，过点 作 的
切线交 的延长线于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 和 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，
【解析】
【分析】（1）由 可得 ，由切线的性质可得 ，从而得到
， ，推出 ，即可得证；
（2）连接 、 ，由（1）可得 ， ， ，即可
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求出 ，得到 ，由勾股定理可得 ，得到 ，由圆周角定理可
得 ，证明 ，得到 ，求出
，同理可得 ， ，证明 ，即可得到答案．
【小问1详解】
证明： ，
，
是 的切线，
，
，
， ，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接 、 ，
，
由（1）可得 ， ，
，
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是 的切线，
，
，
，
，
， ，
，
是 的直径，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
同理可得： ， ，
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，
，
，
，即 ，
．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数、相似三角形的
判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
26. 已知抛物线 过 ， ， ， 四点．
（1）若为 ．
①求该抛物线的对称轴；
②比较 ， 的大小，并说明理由；
（2）若为 ， ，判断 是否成立，并说明理由．
【答案】（1）① ；②
（2）若为 ， ， 成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①由 可得点 和点 关于对称轴对称，由此即可得到答案；②计算出点 和点 到
对称轴的距离，由此即可得出答案；
（2）先分别求出 、 、 、 的值，再根据 可得 ，根据 得到 ，
从而推出 ， ， ，进而得到 ，表示出 ，即可得到答案．
【小问1详解】
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解：① ，
点 和点 关于对称轴对称，
对称轴为直线 ；
② ，
抛物线开口向下，
， ，
点 到对称轴的距离为： ，点 到对称轴的距离为 ，
，
点 和点 关于对称轴对称，
；
【小问2详解】
解：若为 ， ， 成立，
理由如下：
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，
，
，
，
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，即 ，
或 ，
当 时， ，则 ，符合题意，
当 时， ，则 ，与题意不相符，
， ， ，
两边同时乘以 可得： ，
，
若为 ， ， 成立．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的
关键．
27. 已知 ，点 为射线 上的定点，点 为射线 上的动点（不与 ， 重合），作线
段 的垂直平分线，分别交 ， 于C，D，连接 ， ，过点 作 的垂线，垂足为 ，
交直线 于点 ．
（1）如图1，当点 在 的延长线上时，依题意补全图形，并证明： ；
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（2）当点 在射线 上运动时，用等式表示线段 ， 和 的关系，并证明．
【答案】（1）画图见解析，证明见解析
（2） 或
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 先 逐 步 根 据 提 示 画 图 ， 再 证 明 ， 设 ， 证 明
，可得 ，从而可得答案；
（2）如图，过 F作 于H，证明 ， ， ，可得
， ， ，证明 ， ，可得 ，从而可
得结论，同理可得当点 在线段 上时的结论．
【小问1详解】
解：如图，补全图形如下：
∵ ， ，
∴ ， ，
∴设 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，当点 在 的延长线上时，过F作 于H，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
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当点 在线段 上时，如图，过F作 于H，
同理可得： ．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，全
等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的根据题意画出图形，作出辅助线是解本题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中， ， ，…， 是 个互不相同的点，若这 个点横坐标的不同取值
有 个，纵坐标的不同取值有 个， ，则称 为这 个点的“特征值”，记为
．如图1，点 ， ， ．
（1）如图2，圆 的圆心为 ，半径为5，与 轴交于 ， 两点．
① __________， __________．
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②直线 与圆 交于两点 ， ，若 ，求 的取值范围；
的
（2）点 ， ，…， 到点 距离为1或 ，且这8个点构成中心对称图形， ，
若拋物线 恰好经过 ， ，…， 中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写
出 的所有可能取值．
【答案】（1）（1）①3；5；② 且 且
（2） 的值为1或2或
【解析】
【分析】（1）①利用勾股定理求出 ， 的值，得到 ， 的坐标分别为 ， ，利用“特
征值”的计算公式可求；
②由于 ， 两点都在直线 上，设 、 ，根据根据
，可得 的取值范围；
（2）利用已知条件和“特征值”的意义，得到8个点构成的图形，利用抛物线的对称性和已知条件得到抛
物线经过的三点，利用待定系数法可求得 的值．
【小问1详解】
①连接 ， ，如图，
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圆 的圆心为 ，
．
的半径为5， ，
．
， ．
， ；
， ， ．
故答案为：3；5．
②∵ ， 两点都在直线 上，
∴设 、 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ，
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∵直线 与圆 交于两点 ， ，
∴
∴
∴ 是方程 的两不等根
∵ 整理得
∴
解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围是： 且 且 ．
【小问2详解】
， ， ， ，
这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6．
点 ， ， 到点 的距离为1或 ，且这8个点构成中心对称图形，
这8个点构成的图形如图所示：
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它们的坐标分别为： ， ， ， ， ， ， ，
．
抛物线 ，
抛物线开口向上．
抛物线 恰好经过 ， ， 中的三个点，并以其中一个点为顶点，
根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过 ， ， 或 ， ， ．
抛物线经过 ， ， 时，
．
解得： ．
抛物线经过或 ， ， 时，
．
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解得： ．
或这8个点构成的图形如图所示：
它们的坐标分别为： ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ．
抛物线 恰好经过 ， ， 中的三个点，并以其中一个点为顶点，
根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过 ， ， 或 ， ， ．
抛物线经过 ， ， 时， 为顶点，经过 ， ，设抛物线解析式为 ．
将 坐标代入得：
．
解得： ．
抛物线经过 ， ， 时， 为顶点，经过 ， ，设抛物线解析式为 ．
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将 坐标代入得：
．
解得： ．
综上， 的值为1或2或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了开口方向，抛物线解析式的求法，圆的有关计算，直线和
圆的位置关系，点的坐标的特征．本题是阅读型题目，准确理解题干中的概念与法则并熟练应用是解题的
关键．
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