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丰台区 2021~2022 学年度第二学期期末练习
七年级数学
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 在下面四个关于“冰墩墩”的图形中，可以由右图经过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】根据平移的性质，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度），符合条件的
只有C．
故选C
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
2. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A. 对某地区饮用水矿物质含量的调查，采用抽样调查方式
B. 旅客上飞机前的安全检查，采用抽样调查方式
C. 对某班学生的校服尺寸大小的调查，采用抽样调查方式
D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查方式
【答案】A
【解析】
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比
较近似．
【详解】解：A、了解某地区饮用水矿物质含量的情况，采用抽样调查方式，符合题意；
B、旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式，故此选项不符合题意；C、对某班学生的校服尺寸大小的调查，应采用全面调查方式，故此选项不符合题意；
D、调查某批次汽车的抗撞击能力，应采用抽样调查方式，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，
对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3. 下列实数中为无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在 ， ， ， 中，
， ， 是有理数， 是无理数，
故选D
【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环
小数，③含有 的数．
4. 下列命题中为假命题的是（ ）
A. 对顶角相等
B. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【解析】
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，是假命题；
C、在同一平面内，垂直于同条直线的两条直线互相平行，正确，是真命题；
D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，是真命题，
故选：B．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识，难
度不大．
5. 如图，直线DE过点A，且 ．若 ， ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
6. 如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可一一判定．
【详解】解：A. ， ，故该选项不成立；
B. ， ，故该选项成立；C. ， ，故该选项不成立；
D.若 ，则 不一定成立，如a=-2，b=-3， ，但 ，故该选项不成立；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键．7. 被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中记载：“今有五雀、
六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几
何？”原文大意为：“现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只
雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？”设雀每只 斤，燕每
只 斤，则可列出方程组为（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得4x+y=5y+x，根据5只雀、6只燕重量共一斤，
可得5x+6y=1，从而可以得到相应的方程组，本题得以解决．
【详解】解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，
由题意得， ．
故选：A．
【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
8. 某学校组织初一学生去景区参加实践活动，学生张明和李华对着景区示意图（图中每个小正方形的边长
均为 ）描述景点牡丹园的位置．张明说：“牡丹园的坐标是 ”，李华说“牡丹园在中心
广场东北方向约 处”．如果两人的说法都是正确的，根据以上信息，下列说法中错误的是（ ）A. 西门 的坐标可能是B. 湖心亭的坐标可能是
C. 中心广场在音乐台正南方向约 处
D. 南门在游乐园东北方向约 处
【答案】D
【解析】
【分析】根据张明说：“牡丹园的坐标是 ”，李华说“牡丹园在中心广场东北方向约
处”，建立平面直角坐标系，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】如图，以中心广场为原点建立平面直角坐标系，
A. 西门的坐标可能是 ，故该选项正确，不符合题意；
B. 湖心亭的坐标可能是 ，故该选项正确，不符合题意；
C. 中心广场在音乐台正南方向约 处，故该选项正确，不符合题意；
D. 南门在游乐园西南方向约 处，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了用坐标表示实际位置、方位角，建立平面直角坐标系是解题的关键．
9. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“美学”．如图， 的值接近黄金比，则黄金比（ ）（参考数据： ， ， ， ）A. 在0.1到0.3之间 B. 在0.3到0.5之间
C. 在0.5到0.7之间 D. 在0.7到0.9之间
【答案】C
【解析】
【分析】先估计 ，再判断 的值的范围即可；
【详解】解：
∴ 即
故选C.
【点睛】本题考查无理数的估计，不等式的性质，正确判断 的范围是求解本题的关键．
10. 定义 表示不超过实数 的最大整数，例如： ．给出下列结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ， ，则 ．
其中正确的个数是（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】【分析】由新定义的含义可直接判断①，②，④，再分两种情况对③进行讨论，可判断③，从而可得答案．
【详解】解：由新定义运算可得∶ ，运算正确，故①符合题意；
若 ，则 ；运算正确，故②符合题意；
若 ，当 时，则 ，
当 时，则 故③不符合题意；
若 ， ，
则
则 ，故④符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查新定义运算与一元一次不等式．解题的关键在于能够把取整问题，转化为一元一次不等
式问题去解决．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 已知 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把 代入方程 ，再解关于a的方程，从而可得答案．【详解】解：∵ 是关于 ， 的二元一次方程 的解，∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边的值相等”是解本
题的关键．
13. 如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件_____，使得AB∥CE．
【答案】∠B＝∠ECD（答案不唯一）
【解析】
【详解】解：当∠B＝∠ECD时，AB∥CE；
当∠B+∠BCE＝180°时，AB∥CE；
当∠A＝∠ACE时，AB∥CE．
故答案为∠B＝∠ECD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
14. 某学校为调查学生对《中华人民共和国未成年人保护法》了解的情况，随机抽取部分学生进行调查，
并将调查结果绘制成扇形统计图．如图，对该法“非常清楚”的学生对应扇形的圆心角度数为______．
【答案】108°##108度
【解析】
【分析】用360°乘“非常清楚”所占比例，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得： ，故答案为：108°．【点睛】本题考查了用求解扇形图中某部分所对应的圆心角，在扇形统计图中，每部分占整体的百分比等
于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
15. 关于 的不等式 解集是 ，写出一组满足a，b的值，a=_____，b=______．
【答案】 ①. -1（答案不唯一，满足a＜0 即可） ②. 1（答案不唯一，b可取任意值）
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质即可得．
【详解】解：由不等式ax＜b解集是 知a＜0，
∴满足条件的a、b的值可以是a=-1，b=1，
故答案为：-1（答案不唯一，满足a＜0即可），1（答案不唯一，b可取任意值）
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，掌握不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方
向要改变是解题的关键．
16. 不等式 的负整数解是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先求不等式的解集，再求出负整数解即可．
【详解】解：∵ ，
解得：
∴不等式的负整数解为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次
不等式的步骤．
17. 已知 ， 是平面直角坐标系 中的两点，这两点之间的距离的最小值为______．
【答案】5
【解析】【分析】如图，由 在x轴上，当 轴于C，且B与C重合时，此时 最短，根据点到直线
的距离，垂线段最短可得答案．【详解】解：如图，由 在x轴上，当 轴于C，且B与C重合时，
此时 最短，
∴最小值为：5．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是坐标与图形，垂线段最短，掌握 轴最短是解本题的关键．
18. 某咖啡店提供三种咖啡，其对应两种容量的价格如下表所示：
中杯（ 大杯（
咖啡品种
） ）
30元/杯 45元/杯
34元/杯 55元/杯
45元/杯 65元/杯
咖啡店开展回馈活动，凡自备容器购买咖啡者，每种中杯咖啡价格可减免2元、大杯咖啡价格可减免5元．
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）店长收到顾客反映，有的咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格还是比中杯的贵，请
问是表中的______品种（填“ ”，“ ”或“ ”）；
（2）若要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则应将大杯咖啡
的价格至少减免______元（减免的钱数为整数）．
【答案】 ①. B ②. 8
【解析】【分析】（1）分别计算每种咖啡每毫升的单价，再比较大小即可；
（2）设大杯的折扣都至少改成x元，分对于A，B，C三种品牌，分别列不等式，求解x的取值范围，再
取三个不等式解集的公共部分，再确定最小整数解即可．
【详解】解：（1）自备容器购买咖啡者，对于A：
中杯每毫升的价格为： 大杯每毫升的价格为
所以中杯的比大杯的贵，
对于B：中杯每毫升的价格为：
大杯每毫升的价格为
所以大杯的比中杯的贵，
对于C：中杯每毫升的价格为：
大杯每毫升的价格为
所以中杯的比大杯的贵，
故选B
（2）设大杯的折扣都至少改成x元，
由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于A：中杯每毫升的价格为： （元），
则
解得：
由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于B：中杯每毫升的价格为： （元），
则 解得：由（1）可得自备容器购买咖啡者，对于C：中杯每毫升的价格为： （元），
则 解得：
综上：要让所有咖啡品种在自备容器后，同种大杯咖啡的每毫升价格都比中杯的便宜，则
又x为整数，则x的最小整数值为
故答案为：8
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定不等关系
是解本题的关键．
三、解答题（本题共54分，第19-21题，每小题5分，第22-25题，每小题6分，第26题8分，第27题7分）
19. 计算： ．
【答案】4
【解析】
【分析】原式利用立方根定义，绝对值的代数意义化简，二次根式的性质计算即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】本题考查了立方根、绝对值的定义，二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
20. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：方程组： ，
①×2得 ，
②+③得 ，
解得 ，
把 代入①得 ．
所以 是原方程组的解．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，根据题目特点灵活选用加减消元法或代入消元法求解是
关键．21. 解不等式组：
【答案】
【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定两个不等式解集的公共部分，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：
由②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的步骤”是解本题的关键．
22. 补全解题过程．
已知：如图， 于点 ， 于点 ， ．
求证： ．
证明：∵ ， ，
∴ ．
∴ （______）（填推理依据）．
∴ （______）（填推理依据）．
又∵ ，
∴ ．
∴ （______）（填推理依据）．
【答案】 ；同位角相等，两直线平行； ；两直线平行，同位角相等； ；内错角相等，两直
线平行
【解析】【分析】先证明 ，可得 ，再证明 ，从而可得结论．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．又∵ ，
∴ ．
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法以及简单的逻辑思
维推理”是解本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，过点 作 轴于点 ．
（1）画出线段 ，并写出点 的坐标；
的
（2）连接 ， ，得到三角形 ．平移三角形 ，使得点 与点 重合，点 ， 对
应点分别是 ， ，画出三角形 ；
（3）直接写出三角形 的面积．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据 ，找到点 ，则 轴，连接 即可；
（2）将 向左平移4个单位再向下平移1个单位即可；
的
（3）根据正方形减去2个三角形 面积即可求解．
【小问1详解】
如图所示，线段BC即为所求，点
【小问2详解】
如图所示， 即为所求，
【小问3详解】
的面积为
【点睛】本题考查了平移作图，平行于 轴的线段的坐标特征，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
24. 科技改变世界，随着电子商务的高速发展，快递分拣机器人应运而生．某快递公司启用 种机器人80
台， 种机器人100台，1小时共可以分拣8200件包裹；启用 ， 两种机器人各50台，1小时共可以分
拣4500件包裹．
（1）求 ， 两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；
（2）快递公司计划再购进 ， 两种机器人共200台．若要保证购进的这批机器人每小时的总分拣量不
少于9000件，求最多应购进 种机器人的台数．
【答案】（1）A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹
（2）最多应购进A种机器人100台
【解析】【分析】（1）设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，列方程组，解出即可；
（2）设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台，根据题意列不等式40m+50（200-m）
≥9000，求最大整数解即可．
【小问1详解】
设A种机器人每台每小时分拣x件包裹，B种机器人每台每小时分拣y件包裹，
根据题意，得
解得 ，
答：A种机器人每台每小时分拣40件包裹，B种机器人每台每小时分拣50件包裹．
【小问2详解】
设购进A种机器人m台，则购进B种机器人（200-m）台．
根据题意，得40m+50（200-m）≥9000，
解得m≤100．
答：最多应购进A种机器人100台．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
25. 某学校为了合理地安排学生体育锻炼，需要掌握学生每天课后进行体育锻炼时间的大致情况．在4月
份某天随机抽取了若干名学生进行调查，发现被调查的学生当天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分
钟．现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．
课后体育锻炼时间频数分布表
组别 锻炼时间（分钟） 频数（学生人数） 百分比
12 20%
35%
18
6 10%
3 5%根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出本次调查的样本容量，以及频数分布表中 ， 的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校学生共有2200人，估计该校当天课后体育锻炼时间超过60分钟的学生人数．
【答案】（1）60，21，30%；
（2）画图见解析 （3）该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．
【解析】
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出a，b的值，即可解决问题；
（2）将频数分布直方图补充完整即可；
（3）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是：12÷20%=60，
则a=60-12-18-6-3=21，b=18÷60×100%=30%，
故答案为：60，21，30%；
【小问2详解】
将频数分布直方图补充完整如下：【小问3详解】
2200×（10%+5%）=330（人），
即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人．
【点睛】本题考查的是频数分布表与频数分布直方图，补全频数分布直方图，利用样本估计总体，掌握以
上基础的统计知识是解本题的关键．
26. 阅读下列材料：
如图1， ， ， 分别是 ， 上的点，点 在 ， 之间，连接 ， ．用等
式表示 ， 与 的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想： ．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点 作 ，由 ，可得 ，根据平行线的性质，可得 ，
，从而证得 ．请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知 ， ， 分别是 ， 上的点，点 在 ， 之间，连接 ， ．（1）如图2，若 ， ，则 的度数为______；
（2）如图3， 与 的平分线交于点 ，用等式表示 与 的数量关系，并证明；
（3）如图4， 与 的平分线交于点 ，直接用等式表示 与 的数量关系．
【答案】（1）
（2） 证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）如图，过点 作 ，证明 ，再证明，求解 从而可得答案；
（2）由（1）同理可得： 再证明从而可得答案；
（3）由（1）同理可得： 再证明
从而可得结论．
【小问1详解】
解：如图，过点 作 ，
， ，
，
，
．
， ，
【小问2详解】
由（1）同理可得：
与 的平分线交于点 ，
【小问3详解】由（1）同理可得：
与 的平分线交于点 ，【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出合适的辅助线是解本题的
关键．
27. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，定义 为
点 和点 的“ 阶距离”，其中 ．例如：点 ， 的“ 阶距离”为
．已知点 ．
（1）若点 ，求点 和点 的“ 阶距离”；
（2）若点 在 轴上，且点 和点 的“ 阶距离”为4，求点 的坐标；
（3）若点 ，且点 和点 的“ 阶距离”为1，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义列方程 再解方程即可；
（3）根据新定义可得 则可得 再分四种情况讨论即可．
【小问1详解】解：∵点 ， ，
由新定义可得：点 和点 的“ 阶距离”为：
【小问2详解】
点 在 轴上，设 且点 和点 的“ 阶距离”为4，
整理得：
解得： 或
或
【小问3详解】
∵点 ，且点 和点 的“ 阶距离”为1，
整理得：
由 可得：
同理可得：
当 时，则 即
当 时，则
则即
当 时，则∴
同理可得：
当 时，则
综上：
【点睛】本题考查的是新定义运算，利用新定义构建方程，不等式的基本性质，化简绝对值，清晰的分类
讨论是解本题的关键．
