文档内容
河北省邯郸市 2025 届高三第一次调研考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知⃗
a=(x,−1)
，⃗
b=(2,1)
，若
(
⃗
a−2
⃗
b)//
⃗
b
，则 x=( )
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
z+1
2.若 =2i，则z=( )
z−1
4 3 3 4 3 4 4 3
A. − i B. − i C. + i D. + i
5 5 5 5 5 5 5 5
3.已知 为等差数列 的前 项和，且S 26，则a ( )
S {a } n 13= 7=
n n S 9 a
9 5
4 2
A. 3 B. 2 C. D.
3 3
14√2
4.已知正三棱台ABC−A′B′C′的体积为 ，若AB=2，A′B′=4，则该正三棱台的高为( )
3
2√6 14√6 14√6 4√3
A. B. C. D.
3 15 27 3
1
5.已知sin(α−β)= ，tanα=3tanβ，则sin(α+β)=( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
6.在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，
B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为( )
A. 32 B. 24 C. 18 D. 12
7.已知函数 (x−1) 2−sinx， ，若 和 图象存在 个交点
f(x)= g(x)=ax+1(a≠0) y=f(x) y=g(x) 3
x2+1
(x ,y )，(x ,y )，(x ,y )，则y + y + y = ( )
1 1 2 2 3 3 1 2 3
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第 页，共 页
1 18.设双曲线 x2 y2 的左、右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，过点 作两条渐
C: − =1(a>0,b>0) F F P C P
a2 b2 1 2
近线的垂线，垂足分别为 ， ，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为
D E ⃗PF ⋅⃗PF =0 3|PD||PE|=S C
1 2 △PF 1 F 2
( )
2√3
A. B. √2 C. √3 D. 2
3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某公司计划组织秋游活动，定制了一套文化衫，女职工需要不同尺码文化衫的频数如图．
根据图中数据，下列结论正确的是( )
A. 文化衫尺码的众数为187 B. 文化衫尺码的平均数为165
C. 文化衫尺码的方差为28 D. 文化衫尺码的中位数为165
1
10.已知函数f(x)满足：f(1)= ，4f(x)f(y)=f(x+ y)+f(x−y)(x,y∈R)，则( )
4
1 1
A. f(0)= B. f(x)为奇函数 C. f(x)为周期函数 D. f(2)=−
2 4
11.已知实数 ， 是方程 的两个根，且 ， ，则( )
a b x2−(k−3)x+k=0 a>1 b>1
A. ab的最小值为9 B. a2+b2的最小值为18
3 1
C. + 的最小值为√3 D. a+4b的最小值为12
a−1 b−1
第 页，共 页
2 1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12.已知集合A={x| ≤2x<5}，B={−3,−2,0,1,2,3}，则A∩B= ．
8
a
13.若过点(0,0)的直线是曲线y=x2+1(x>0)和曲线y=lnx− +a的公切线，则a= ．
x+1
14.已知有穷递增数列{a }的各项均为正整数(n≥3)，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该
n
数列可能为 .(填写一个数列即可)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点
P．
(1)求∠BAC;
√7
(2)若AD=√7，BE=2，cos∠DPE= ，求△ABC的面积．
14
16.(本小题15分)
如图，已知正四面体F−ABC的底面与正四棱锥A−BCDE的一个侧面重合．
(1)求证：AF⊥DE;
(2)求二面角F−BC−D的余弦值．
第 页，共 页
3 117.(本小题15分)
已知椭圆
x2 y2
的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点重
C: + =1(a>b>0) F F C y2=4x
a2 b2 1 2
2√6
合，两曲线在第一象限的交点为P，△PF F 的面积为 ．
1 2 3
求椭圆 的方程 过点 的直线 交椭圆 于另一点 ，若 ，求 的方程．
(1) C ;(2) P l C A S =S l
△PAF △PF F
2 1 2
18.(本小题17分)
1
已知函数f(x)=2lnx+ ，g(x)=ax．
x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,+∞)时，g(x)≥f(x)，求实数a的取值范围;
1 1 1 1
(3)证明： + + +⋯+ >ln2024．
√2 √2×3 √3×4 √2023×2024
19.(本小题17分)
设(X,Y)是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为(x ,y )，其中i=1，2，3，⋯，n，j=1，2，
i j
3，⋯，m，则称P(X=x ,Y = y )=p (p ≥0)为二维随机变量(X,Y)的联合分布列.定义：
i j ij ij
m n
，称 为 关于 的边际分布列， ，称
P(X=x )=p =∑ p (p ,p ,⋯) (X,Y) X P(Y = y )=p =∑ p
i i· ij 1· 2· j ·j ij
j=1 i=1
(p ,p ,⋯)为(X,Y)关于Y的边际分布列;对于固定的j，称
·1 ·2
p 为给定 条件下的离散型随机变量 的条件分布列，
p =P(X=x |Y = y )= ij (i=1,2,3,⋯,n) Y = y X
(i|j) i j p j
·j
则二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：
第 页，共 页
4 1(X,Y) y y ⋯y P
1 2 m i·
x p p ⋯p p
1 11 12 1m 1·
x p p ⋯p p
2 21 22 2m 2·
⋯ ⋯ ⋯⋯⋯⋯
x p p ⋯p p
n n1 n2 nm n·
P p p ⋯p 1
·j ·1 ·2 ·m
n
求证：对于 ，
(1) ∀ j ∑ p =1;
(i|j)
i=1
(2)若(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：
(X,Y)1 2 3 P
i·
1 0.3 0.1 0.1 0.5
2 0.050.10.150.3
3 0.050.10.050.2
P 0.4 0.3 0.3 1
·j
求给定X=2条件下Y的条件分布列;
(3)把三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中.记放入1号盒子的球的个数为X，放入2
号盒子的球的个数为Y，则(X,Y)是一个二维离散型随机变量.列出(X,Y)的联合分布列与边际分布列．
第 页，共 页
5 1参考答案
1.A
2.C
3.B
4.A
5.D
6.B
7.C
8.C
9.BD
10.ACD
11.ABC
12.{−3,−2,0,1,2}
13.4
14.1，5，24(答案不唯一，如：1，6，14;1，8，9;2，3，10;2，4，6)
15.解：(1)因为(b+a)(sin∠ABC−sin∠BAC)=c(sin∠ABC−sinC)，所以由正弦定理得
b2+c2−a2=bc，
b2+c2−a2 1 π
由余弦定理得cos∠BAC= = ，又0<∠BAC<π，所以∠BAC= ．
2bc 2 3
(2)因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是△ABC的重心．
又AD=√7，BE=2，∠APB=∠DPE，所以在△ABP中，由余弦定理有
2√7 4 2√7 4 √7
c2=AB2=PA2+PB2−2PA⋅PBcos∠APB=( ) 2+( ) 2−2× × × =4，
3 3 3 3 14
π
所以c=2，又BE=2，∠BAC= ，所以AE=BE=2，所以b=2AE=4，
3
1 π
所以△ABC的面积为 ×4×2×sin =2√3．
2 3
16.解：(1)如图，分别取棱BC，DE的中点G，H，连接FG，GH，AH，
因为已知正四面体F−ABC的底面与正四棱锥A−BCDE的一个侧面重合，
第 页，共 页
6 1所以所有棱长均相等，所以FG⊥BC，AH⊥DE，
又A−BCDE为正四棱锥，所以底面BCDE为正方形，所以GH⊥DE，
由AH∩GH=H，AH、GH⊂平面AHG，所以DE⊥平面AHG，
因为BC//DE，所以BC⊥平面AHG，
由BC⊥GH，BC⊥FG，且FG∩GH=G，FG、GH⊂平面FGH，得BC⊥平面FGH，
所以平面FGH与平面AHG重合，
即BC⊥平面AFGH，所以BC⊥AF，所以AF⊥DE．
(2)由(1)可知，在平面AFGH中，AF=BE=GH，FG=AH，
所以四边形AFGH为平行四边形，所以AF//GH．
取棱AF的中点M，连接GM，AG，可得FG=AG，
因为GM在平面AFGH中，所以GM⊥AF，可得GM⊥GH，
由BC⊥平面AFGH，得BC⊥GM，则GH，BC，GM两两垂直，
√3a √2a
设棱长为a，则FG=AG= ，GM=√FG2−FM2= ，
2 2
以G为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
第 页，共 页
7 1a a a √2a √2a
则B(0, ,0)，C(0,− ,0)，F(− ,0, )，M(0,0, )，
2 2 2 2 2
⃗ a a √2a ⃗
所以BF=(− ,− , )，BC=(0,−a,0) ，
2 2 2
设平面BCF的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
{ ⃗ ⃗ a a √2a
BF⋅n=(− ,− , )⋅(x,y,z)=0,
2 2 2
则
⃗ ⃗
BC⋅n=(0,−a,0)⋅(x,y,z)=0,
√2 ⃗ √2
令x=1，则y=0，z= ，即平面BCF的一个法向量为n=(1,0, )，
2 2
⃗ √2a
又平面BCD的一个法向量为GM=(0,0, )，
2
a
⃗ 2 √3
cos= √6 √2a = 3 ，
×
2 2
因为二面角F−BC−D为钝角，
√3
所以二面角F−BC−D的余弦值为− ．
3
17.解：(1)由抛物线方程y2=4x知F (1,0)，所以F (−1,0)，
2 1
1 2√6
设P(x ,y )，则S = ×|F F |×y = y = ，
0 0 △PF 1 F 2 2 1 2 0 0 3
2√6 2 2 2√6
又点P(x ,y )在抛物线y2=4x上，所以( ) 2=4x ，解得x = ，即P( , )，
0 0 3 0 0 3 3 3
7 5
根据椭圆定义2a=|PF |+|PF |= + =4，
1 2 3 3
解得a=2，c=1，
所以 ，
b=√a2−c2=√3
第 页，共 页
8 1x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1．
4 3
因为 ，
(2) S =S
△PAF △PF F
2 1 2
2√6
−0
3
所以AF //PF ，又k = =−2√6，
1 2 PF 1 2
−1
3
{y=−2√6(x+1)
直线 ，联立 ，
AF :y=−2√6(x+1) x2 y2
1 + =1
4 3
2 14
消去y得，33x2+64x+28=0，解得x=− 或x=− ，
3 11
2 2√6 14 6√6
所以A(− ,− )或A(− , )，
3 3 11 11
可求得直线l的方程为√6x−y=0或√6x−16 y+10√6=0．
2 1 2x−1
18.解：(1)因为f(x)的定义域为(0,+∞)，对f(x)求导得，f ′(x)= − = ，
x x2 x2
2x−1 1 2x−1 1
当 >0，即x> 时，f(x)单调递增，当 <0，即00，即2lnx1 ln =2ln < − =
n n n n n+1 √n(n+1)
1
所以
>ln(n+1)−lnn，
√n(n+1)
分别取n=1，2，3，⋯，2023代入相加得
1 1 1 1
+ + +⋯+ >(ln2−ln1)+(ln3−ln2)+⋯+(ln2024−ln2023)=ln2024
√2 √2×3 √3×4 √2023×2024
原式即证．
n
19. 证明： ∑ p ；
(1) n p p p p +p +⋯+p ij
∑ p(i| j)= 1j+ 2j+⋯+ nj = 1j 2j nj= i=1 =1
p·j p·j p·j p·j p·j
i=1
解：因为 ，所以用第二行 ， ， 的值分别除以 ，可得给定 条件下的条
(2) P(X=2)=p =0.3 Y =1 2 3 0.3 X=2
2·
件分布列：
Y|(X=21) 2 3
1 1 1
P
6 3 2
(3)解：由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，Y的可能取值为0，1，2，3，
设x = y =0,x = y =1,x = y =2,x = y =3，
1 1 2 2 3 3 4 4
由概率的乘法公式可知： ，
p =P(X=x ,Y = y )=P(X=x |Y = y )·p ,2⩽i+ j⩽5
ij i j i j ·j
第 页，共 页
10 1p
=Cj−1(1) j−1 (2) 4−j
,1⩽j⩽4
，
·j 3 3 3
P(X=x |Y = y
)=Ci−1(1) i−1 (1) 5−j−i =Ci−1(1) 4−j，
i j 4−j 2 2 4−j 2
所以
p
=Cj−1(1) j−1 (2) 4−j Ci−1(1) 4−j
,2⩽i+ j⩽5
，当
i+ j>5
时，显然
p =0
．
ij 3 3 3 4−j 2 ij
所以(X,Y)的联合分布列与边际分布列如表：
(X,Y)0 1 2 3 P
i·
1 1 1 1 8
0
27 9 9 27 27
1 2 1 4
1 0
9 9 9 9
1 1 2
2 0 0
9 9 9
1 1
3 0 0 0
27 27
8 4 2 1
P 1
·j 27 9 9 27
第 页，共 页
11 1
