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华中师大一附中 2024-2025 学年度上学期高三期中检测
数学试题
时限：120分钟 满分：150分 命题人：沈宇为 审题人：胡立松
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的
1. 已知平面向量 ， ， ，则实数 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
2. 若 ： ， ： ，则 是 （的 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 己知 是全集 的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
.
C D.
4. 若 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ， 都是锐角， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 为 的外接圆圆心， ， ，则 的最大值为（ ）A. 4 B. 6 C. D.
7. 某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的 ， ，
三点进行测量．如图， （单位：米），点 为 中点，兴趣小组组长小王在 ， ， 三点
正上方2米处的 ， ， 观察建筑物最高点 的仰角分别为 ， ， ，其中 ，
， ，点 为点 在地面上的正投影，点 为 上与 ， ， 位于同一高度的
点，则建筑物的高度 为（ ）米．
A. 20 B. 22 C. 40 D. 42
8. 设函数 ，则关于 的不等式 的解集为（
）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数 ， ， 的导数为 ，则（ ）
A.B. 当 时，
C. 曲线 在点 处的切线方程为
D. 当 时，
10. 某个简谐运动可以用函数 （ ， ）， 来表示，部分图象如
图所示，则（ ）
A.
B. 这个简谐运动的频率为 ，初相为
C. 直线 是曲线 的一条对称轴
D. 点 是曲线 的一个对称中心
11. 已知实数 ， 满足 ，则（ ）
A. 当 时， B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ， 为单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 ______．
13. 若实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围为______．14. 设 ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，点 是 右支上一点，若
的内切圆的圆心为 ，半径为 ，且 ，使得 ，则 的离心率为
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．
（1）求 ；
的
（2）若角 平分线交边 于点 ， ，求 面积的最小值．
16. 已知函数 ，且 恒成立．
（1）求 的值；
（2）设 ，若 ， ，使得 ，
求实数 的取值范围．
.
17 已知函数 ．
（1）若函数 在 上的最小值为 ，求 的值；
（2）若 ，函数 ，求 的最小值．
18. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在 上，直线 与 交于不同于A
的两点 ， ．
（1）求 的方程；
（2）若 ，求 面积的最大值；（3）记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，证明：以 为直径的圆过定点，并求
出定点坐标．
19. 已知函数 ．
（1）当 时，判断 在 上 单调性，并说明理由；
的
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 ，在 的图象上有一点列 ，直线 的
斜率为 ，求证： ．
