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专题 32 圆中的重要模型之隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，
或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定
长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、
旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模
型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 的一条直角边 在x轴上，
点A的坐标为 ； 中， ，连接 ，点M是 中点，连
接 ．将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，根据点A的坐标为 得到 ，再
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证明 是 的中位线，得到 ；解 得到 ，进一步求出点C在以O为圆心，
半径为4的圆上运动，则当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，据此求出 的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ，
∵ 的一条直角边 在x轴上，点A的坐标为 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵点M为 中点，点A为 中点，∴ 是 的中位线，∴ ；
在 中， ，∴ ，
∵将 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段 上时， 有最小值，即此时 有最小值，
∵ ，∴ 的最小值为 ，∴ 的最小值为3，故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30
度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在 ， ，E为 边上的任意一点，把
沿 折叠，得到 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．
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【答案】4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点 的运动路线，并确定 最小时点
所在位置 ，再求出 的长度即可．确定点 的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵ 沿 折叠，得到 ，∴ ，
∴点F在以B为圆心6为半径的圆上，设以B为圆心6为半径的圆与 交于点 ，
则 ， 的最小值为 的长；
在 中，∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为4，故答案为：4．
例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形 中， 、 分别是 ， 的中垂线， ，
，则 ___， ___．
【答案】 ；
【分析】连接 ，根据线段垂直平分线的性质可得 ，从而得到 、 、 在以 为圆心， 为半径
的圆上，根据圆周角定理可得 ，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接 ，
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、 分别是 、 的中垂线， ，
、 、 在以 为圆心， 为半径的圆上， ， ，
， ， ， ，
， ，
又 ， ．故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到 、 、
在以 为圆心， 为半径的圆上是解题的关键．
例4．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD中， ，E是 的中点．以点C
为圆心， 长为半径画圆，点P是 上一动点，点F是边 上一动点，连接 ，若点Q是 的中点，
连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过 作
于点 ，则 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，求出
，则 ，由勾股定理得 ，由
，所以当 、 、 、 四点共线时，
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
的值最小，所以 的最小值为
．
【详解】解：取点 关于直线 的对称点 ，连接 、 两线交于点 ，连接 ， ， ，过
作 于点 ，
正方形ABCD中， ，E是 的中点， ，
点 是 的中点，点 是 的中点， ，
点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，
四边形 是正方形， ， ， ，
， ， ， ，
当 、 、 、 四点共线时， 的值最小，
的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题
的关键是正确确定点 的运动路径．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径
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寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中，
，点E在线段 上运动，点F在线段 上，
，则线段 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，证明 ，
可知点F在以 为直径的半圆上运动，当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，据此求
解即可．
【详解】解：设 的中点为O，以 为直径画圆，连接 ，设 与 的交点为点 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ ，∴点F在以 为直径的半圆上运动，
∴当点F运动到 与 的交点 时，线段 有最小值，
∵ ，∴ ，，∴ ，
的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动
轨迹是解题的关键．
例2．（2023上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以 为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B
两点，与y轴交于C，D两点，点E为 上一动点，作 于点F．当点E从点B出发，顺时针旋
转到点D时，点F所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ， ， ，先由圆周角定理得到点F的运动轨迹是以 为直径的圆上，且点O在圆
上，进而得到当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为 的长；根据勾股定理
和锐角三角函数求得 ， ，则 所对的圆心角的度数为 ，利用弧长
公式求得 的长即可求解．
【详解】解：连接 ， ， ，
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∵ ，∴ ，
∴点F的运动轨迹是以 为直径的圆上，且点O在圆上，当点E在点B处时， ，点F与O重合；
当点E在点D处时，∵以 为圆心，半径为2的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，
∴ 即 ，点F与A重合，
∴当点E从点B出发，顺时针旋转到点D时，点F所经过的路径长为 的长；
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，则 所对的圆心角的度数为 ，
∴ 的长为 ，即点F所经过的路径长为 ，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F的运动轨迹
以及点F所经过的路径长为 的长是解答的关键．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图， 是 的外接圆， 为直径，若 ， ，点
从 点出发，在 内运动且始终保持 ，当 ， 两点距离最小时，动点 的运动路径长
为______．
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【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的
位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解： 为 的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为 ，连接 交 于点 ，连接
∴当点 三点共线时，即点P在点 处时，CP有最小值，
∵ ∴ 在 中，
∴∠ ∴ ∴ 两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解
答本题的关键．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，
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连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ）
A． π B． π C． π D．2π
【答案】A
【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N的路径是以QB的中点O为圆心， AB长为半径的圆交CB于D的 ，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB CA＝4 ，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴ 为⊙O的 周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为： π，故选：A．
在 中， 点 、 为 、 的中点， ， ，
，即 ， 点 在以 为直径的半圆上，
， 点 的运动路径长为 ，故答案为： ．
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
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固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点 和点 的动直线 ， 夹角 ，
点 是 中点，连接 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件， ，得出 的轨迹是圆，取点 ，则 是 的中位线，则
求得 的正弦的最大值即可求解，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，以 为边向上作等边 ，过点 作 轴于点 ，则 ，
则 的横坐标为 ，纵坐标为 ，∴ ，
取点 ，则 是 的中位线，∴ ，
∵ ，∴点 在半径为 的 上运动，∵ 是 的中位线，∴ ，
∴ ，当 与 相切时， 最大，则正弦值最大，
在 中， ，
过点 作 轴，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ， 则
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∵ 与 相切，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴
设 ， ,则 ∴ ∴
∴ 解得： ∴
∴ 的最大值为 ，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点 的轨
迹是解题的关键．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6的等边 中，点E在边 上自A向C运动，
点F在边 上自C向B运动，且运动速度相同，连接 交于点P，连接 ，在运动过程中，点P
的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点A作 于A，作 于 ，连接 ，交 于 ，证明 ，
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得 ，再证明 ，可得 ，确定点 的运动路径是以点
为圆心，以 为半径的弧 ，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A作 于A，作 于 ，连接 ，交 于 ，
是等边三角形， ， ， ，
， ， ， 是 的垂直平分线， ，
在 中， ， ， ，
， ， ，
， ， ，
点 的运动路径是以点 为圆心，以 为半径的弧 ，
点P的运动路径长为 ．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点 的运动轨迹等知识，确定点 的运动
轨迹是解本题的关键．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形 中， ， ，点 是 上
的动点，以 为边作正方形 ，当点 从点 移动至点 时，求点 经过的路径长．
【答案】点 经过的路径长为 ．
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【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，
HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝ ∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3 ，利用弧长公式即可
解决问题．
【详解】解：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD．
易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝ ∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3 ，
∴点D的运动轨迹的长为 ＝2 π．
【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
例4．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2 ，点C是优弧
AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过
的路径长为 ．
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【答案】 π
【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D
的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，再利用弧长公式求解即可．
【详解】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．
∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH= ，∴sin∠BOH= ，
∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C= ∠AOB=60°，
∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠ADB= ∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，FA为半径的圆，
∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°，
∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°，
∴运动路径的长 ，故答案为： ．
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【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是
学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模
型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D四个点满足 ，则A、B、C、D四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
D
C
O
A B
2）若平面上A、B、C、D四个点满足 ，则A、B、C、D四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O为线段 的中点，点A，C，D到点O的距离相等，则
∠A与∠C的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得四边形为 的圆内接四边形，即可求解．
【详解】解∶∵O为线段 的中点，点A，C，D到点O的距离相等，
∴点A，B，C，D到点O的距离相等，
∴点A，B，C，D在以O为圆心的圆上，即四边形为 的圆内接四边形，
∴ ．故选：D
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形 中， ，若 ，
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则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D四点共圆，然后证明出 ，进而得到 ，
然后利用 直角三角形的性质得到 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，∵ ∴点A，B，C，D四点共圆，
∵ ∴ ∵ ∴ ∴
∵ ， ∴ ∴ ∴ ．故选：D．
【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形 的边长为 ， ，点 为 边的中点．点
从点 出发，以每秒 个单位的速度向点 运动，点 同时从点 出发，以每秒 个单位的速度向点
运动，连接 ，过点 作 于点 ．当点 到达点 时，点 也停止运动，则点 的运动路径
长是（ ）
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A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接 、 、 ，设 、 交于点 ， 交 于点 ，连接 ，设 中点为
，连接 、 ，根据菱形及等边三角形得性质可得 ， ，可得出 ，可得
必经过点 ，根据 ，可得点 在以 为直径的圆上，根据 、 的速度及菱
形性质可得当点 达到点 时，点 达到点 ， ，可得点 点运动路径长是 的长，利用勾股
定理可求出 的长，根据圆周角定理可得 ，利用弧长公式即可得答案．
【详解】如图，连接 、 、 ，设 、 交于点 ， 交 于点 ，连接 ，设 中点为
，连接 、 ，
∵菱形 的边长为 ， ，∴ ， 是等边三角形，
∵点 为 边的中点，∴ ， ， ，
∵点 的速度为每秒 个单位，点 的速度为每秒 个单位，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
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∴ ， ，∴ 必经过点 ，
∵ ， ，∴点 在以 为直径的圆上，且 、 、 、 四点共圆，
∵当点 达到点 时，点 达到点 ， ，∴点 点运动路径长是 的长，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即点 点运动路径长是 ．故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧
长公式，正确得出点 的运动轨迹是解题关键．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在 中， ， ， ，点P为平面内一
点，且 ，过C作 交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，
当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵ ∴ ∴△ABC∽△PQC
∴ ， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
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∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为 故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确
定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M是 外一动点，满足
，若 ， ， ，则 的长度为 ．
【答案】 /
【分析】过点B作 交 的延长线于点H，过点D作 于点E，过点D作 于点
F，点A,M,B,C四点共圆，得 ，解直角三角形 ， ，面积
法求解， ，得 ．
【详解】解析：过点B作 交 的延长线于点H，过点D作 于点E，过点D作
于点F，如图所示：
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∵ ∴点A,M,B,C四点共圆
∵ ∴ ∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ∴ ，
∴ ，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形
是解题的关键．
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课后专项训练
1．（2023上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC与等边三角形EFB共端点B，BC＝
2，BF＝ ，△EFB绕点B旋转，∠BCF的最大度数（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得点F在以点B为圆心，BF长为半径的圆上，可得当CF'与 B相切时，
∠BCF'的度数有最大值，由三边关系得△CBF′是含30度角的直角三角形，即可求解⊙．
【详解】解：如图，
∵△EFB绕点B旋转，∴点F在以点B为圆心，BF长为半径的圆上，
∴当CF'与 B相切时，∠BCF'的度数有最大值，连接BF'，∴∠CF'B＝90°，
⊙
∵BC＝2，BF′＝BF＝ ，∴CF′＝ ＝1＝ BC，
∴∠CBF′＝30°，∴∠BCF'＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及直线与圆的位置关系，确定点F的运动轨迹是本
题的关键．
2．（2023上·安徽六安·九年级校考期末）如图， 是等边三角形， ，点 是 内一点，且
，连接 ，则 的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到 ， ，继而推出 ，可得点P在以
为直径的圆上，得知当C，D，P三点共线时， 最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即
可．
【详解】解：∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
整理得： ，则 ，∴点P在以 为直径的圆上，
如图，设 的中点为D，连接 ，即 长度不变，
∴ ，∴当C，D，P三点共线时， 最小，此时 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ 的最小值为 ，故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是
根据已知条件推出 ，得到点P在以 为直径的圆上．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（
）
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A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故选B
4．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点 在线段 上， ，以 为圆心，
为半径作 ，点 在 上运动，连接 ，以 为一边作等边 ，连接 ，则 长度的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为边，在 的上面作等边 ，使 ， ，连接 ， ，
，根据全等三家巷的性质得到 ，连接 并延长，交 于点 ，则 的最小值为 ，
过 作 于 ，根据勾股定理即可得到答案．
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【详解】解：如图，以 为边，在 的上面作等边 ，使 ， ，连接
， ， ，
，
， ，
在 和 中， ， ，
， 点 的运动轨迹为以点 为圆心，2为半径的圆，
连接 并延长，交 于点 ，则 的最小值为 ，过 作 于 ，
， ，
， ，
， 长度的最小值为 ，故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确
地作出辅助线是解题的关键．
5．（2023上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N的坐标分别为 ，
， ，以点C为圆心，3为半径画 ，点P在 上运动，连接 ，交 于点Q，点M为线
段 的中点，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
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A．7 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边
上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．
连接 ， ，由垂径定理得出 ，由直角三角形的性质得出 ，进而得出点M
在以O为圆心，以3为半径的 上，得出当O、M、N三点共线时， 有最小值，由 ，求出
，进而求出 ，即线段 的最小值为7．
【详解】解：如图1，连接 ， ，
， ， ，O是 的中点，
是 的中点， ， ， ，
∴点M在以O为圆心，以3为半径的 上，如图2，当O、M、N三点共线时， 有最小值，
， ， ， ，∴线段 的最小值为7，故选：A．
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6．（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）如图， 是半圆 的直径，点 在半圆 上，
是弧 上的一个动点，连结 ，过点 点作 于点 ，连结 ，在点
移动的过程中．（1） ；（2） 的最小值是 ．
【答案】 2 /
【分析】（1）连接 ，因为 是直径，则 ，所以 ，所以 ；
（2）以 为直径作圆 ，连接 、 ，在点 移动的过程中，点 在以 为直径的圆上运动，当
、 、 共线时， 的值最小，最小值为 ，利用勾股定理求出 即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接 ， 是直径， ，
， ， ．故答案为：2；
（2）如图，以 为直径作圆 ，连接 ， ， ，
在点 移动的过程中，点 在以 为直径的圆上运动，
在 中， ， ， ，
， ，在 中， ，
， 当 、 、 共线时， 的值最小，最小值为 ．故答案为：
．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点
的运动路径是以 为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2023上·山东日照·九年级校考期中）如图， 中， ，过点 作
的平行线 为直线 上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为 ．
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【答案】 /
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等
知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
如图，连接 ．首先证明 ，由此推出点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，连接
交 于 ，此时 的值最小．
【详解】解：如图，连接 ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点 在以 为圆心， 为半径的 上运动，
连接 交 于 ，此时 的值最小．此时 与 交点为 ．
∵ ∴ 所对圆周角为 ，∴ ，
∵ 是等腰三角形， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
故答案为： ．
8．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ，N是矩形 内一
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点， ，点M是 边上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据矩形的性质得到 ，求得 ，得到点N在以 为直径的半圆上运动，
设半圆的圆心为O，作点B关于直线 的对称点 ，连接 交 于M，交半圆于N，则此时
的值最小，最小值 ，过O作 于H，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴点N在以 为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，
作点B关于直线 的对称点 ，连接 交 于M，交半圆于N，则此时 的值最小，最小值
，
过O作 于H，则 ， ，
∴ ，∴ 的最小值 ，故答案为：9．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的
判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在 中， ， ， ，点 在以 为直
径的半圆上运动，由点 运动到点 ，连接 ，点 是 的中点，则点 经过的路径长为 ．
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解： ， ， ， ，
连接 ， ， 是直径， ，即 ，
取 ， 的中点 和 ，连接 ， ， ，
在 中， ， 为 、 的中点， ， ，
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C为弧AB上任意一点，过
C点作CD⊥OB于点D，设 ODC的内心为E，连接OE、CE，当点C从点B运动到点A时，内心E所经
过的路径长为 ________． △
【答案】
【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC的度数和∠COE=∠BOE，易证△COE≌△BOE，利用全等
三角形的性质得∠OEB=∠OEC=135°，从而确定出点E的运动轨迹，则劣弧OB的长即为所求．
【详解】解：∵CD⊥OB∴∠ODC=90°
∵点E是△ODC的内心∴∠OEC=90°+ ∠ODC=135°，∠COE=∠BOE
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又∵OE=OE，OB=OC ∴△COE△BOE ∴∠OEB=∠OEC=135°
∴点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135°的一段劣弧．
设经过点O、B、E三点的圆M如图所示，
则∠N=180°-∠OEB=45° ∴∠M=2∠N=90° ∴OM=BM= OB=2
∴劣弧OB的长 ∴内心E所经过的路径长为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.
11．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边
上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接 ，得到
，进而得到点 在以点 为圆心， 为半径的圆上，当 ， ， 三点共线时，线段 的
长度最小，求出此时 的长度即可．解题的关键是确定点 的运动轨迹．
【详解】解：连接 ， 点 和 关于 对称， ，
在以 圆心， 为半径的圆上， 当 ， ， 三点共线时， 最短，
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， ， ，故答案为： ．
12．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，
，点 是 边上一动点，连结 ，以 为直径的圆交 于点 ，则 长度的最小值是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角
定理和等腰直角三角形的性质，确定点 的运动轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离
问题是解答本题的关键．
连接 ，根据圆周角定理，由 为直径，得到 ，由 得到点 在以 为直径的
⊙ 上，当点 、 、 共线时， 最小，利用勾股定理求出 ，进而求得线段
长度的最小值．
【详解】解：如图，连接 ，
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为直径， ， ， 点 在以 为直径的⊙ 上，
⊙ 的半径为 ， 当点 、 、 共线时， 最小，
在 中， ， ， ，
，即线段 长度的最小值为 ．故答案为： ．
13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在 中， ，D为AB上一点， ，E为
AC上一点， ，连接BE、CD交于点O，则 的最大面积是 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，根据平行线分线段成比例定理可得则 ，根据已知 ，可
得 ， 在以 为直径的圆上，设圆心为 ，当 时， 的面积最大为：
，即可求出此时 的最大面积．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，
， ， ， ，
， ， ，
， 在以 为直径的圆上，设圆心为 ，
当 时， 的面积最大为： ，
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此时 的面积最大为： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
14．（2021·广东·统考中考真题）在 中， ．点D为平面上一个动点，
，则线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知 ， ，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角
的一半可知，点 在以 为圆心 为半径的圆上，线段 长度的最小值为 ．
【详解】如图： 以 为半径作圆，过圆心 作 ，
以 为圆心 为半径作圆，则点 在圆 上，
,
线段 长度的最小值为: ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图
形是解题的关键．
15．（2023·浙江·一模）如图，在 中， ， ．分别以 、 为斜边，向三角形
外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，则 和 面积之和为 ；连接
，则线段 的最大值为 ．
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【答案】 1
【分析】（1）设两等腰直角三角形的腰长，然后用勾股定理，三角形面积公式即可求解；
（2）取AB中点F，设 的外接圆为 ，因为A、F为定点，又可知 为定值，所以D为
圆上一动点，可知 为一定圆，设点C在 上时，可以确定圆心O的位置，然后BD的最大值迎刃而
解．
【详解】（1） 、 均是等腰直角三角形，设 ， ，
， ， 即 ， =1．故答案为：
1．
（2）如图1，取AB中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD， DF垂直平分AC， ，
设 的外接圆为 ， A、F为圆上两定点，点D为动点，又 为定值，
为一位置与大小确定的定圆，当点C运动到 上时（如图2），
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， ， ， ，
为等腰直角三角形， 四边形AFCD为正方形，
的圆心O在此时正方形AFCD的中心处，
取AF中点G，连接OG，则OG=GF= ， 的半径r=OF= ，
，当BD过点O时（如图3），BD最大，
此时BD的最大值为BO+r= + = ．故答案为： ．
【点睛】此题考查以直角三角形为背景的一道几何综合题，熟练运用勾股定理与三角形面积公式是解第一
问的关键．第二问考查综合运用几何知识解决问题的能力，如何确定经过A、D、F三点的 是一个定圆，
且如何确定圆心O的位置，这是难点，而且难度较大．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD
＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为______．
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【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直
径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三
角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG= BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴ APG是等边三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA△，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD= ，∴DE长度的最小值为( ) ．故答案为：( )．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角
形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．
17．（2023陕西中考模拟）如图，在等边 中， ，点P为AB上一动点， 于点D，
于点E，则DE的最小值为_____．
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【答案】
【详解】如解图， ，故四边形PDCE对角互补，故P、D、C、E四点共圆，
，故 ，要使得DE最小，则要使圆的半径R最小，故直径PC最小，当
时，PC最短为 ，故 ，故 ．
18．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点 是 直径 上一点， ， ，过点
作弦 ，点 在 上运动，连接 ．(1)求 的长．(2)如图 ，连接 ，作 的角平分线
交 于点 ，在点 运动的过程中， 的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发
生变化，请求出其值．(3)如图 ，过点 作 于 ，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)8(2) 的长度不发生变化； (3)
【分析】（1）连接 ，根据 ， ，确定圆的半径为5，结合 ，据垂径定理，得到
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，得 ．（2）连接 ，据垂径定理，得到
，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明 即可．（3）根据
题意，点H的运动轨迹是以 为直径的 上的 ，当D、H、N三点共线时， 取得最小值，计算
即可．
【详解】（1）如图，连接 ，∵ ， ，∴ ，∴圆的半径为5，
∵ ，∴ ，∴ ．
（2） 的长度不发生变化； ．理由如下：如图，连接 ，
∵ 直径 ， ， ，弦 ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 的角平分线交 于点 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，故 的长度不发生变化； ．
（3）如图，连接 ，∵ ，
∴点H的运动轨迹是以 为直径的 上的 ，当D、H、N三点共线时， 取得最小值，
连接 ，交 于点M，故当H与M重合时， 取得最小值，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，过点N作 于点F，则 ，∴ ，
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∵ ，∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，故 最小值为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定
理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键．
19．（2023下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图， 为等边三角形，点P是线段 上一动点
（点P不与A，C重合），连接 ，过点A作直线 的垂线段，垂足为点D，将线段 绕点A逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ， ．(1)求证： ；(2)连接 ，延长 交 于点F，若
的边长为2；①求 的最小值；②求 的最大值．
【答案】(1)见解析(2)① ，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得 ， ，根据等边三角形的性质可得 ，
，进而得出 ，即可求证 ，即可求证；
（2）①根据题意可得 ，则点D在以 为直径的圆上运动，连接 ，与 相交于点D，此
时 最小，求解即可；②过点C作 ，交 的延长线于点G，通过证明 得
出点F是 中点，再根据 ，得出点A，点F，点C，点E四点在以 为直径的圆上，
即可求解，当 为直径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，∴ ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ．
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（2）解：①∵ ，∴ ，∴点D在以 为直径的圆上运动，
连接 ，与 相交于点D，此时 最小，
∵ 为等边三角形， 为 直径，∴ ，
根据勾股定理可得： ，∴ ．
②如图，过点C作 ，交 的延长线于点G，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，由（1）可得 ，
∴ ， ∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，且 ，
∴ ，∴ ，即点F是 中点，
连接 ∵ 是等边三角形，∴ ，∴ ，
∴ ，∴点A，点F，点C，点E四点在以 为直径的圆上
∴ 最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直
径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①， 内接于半径为4的 ， 是 的中位线，则 的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰 中， ， ， 边上的中线 ，求等腰
外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为 的部件，已知
的部件要满足 ， 边上的中线 ，且边 与边 之和要最大，是否能剪裁出满足
要求的三角形部件？若能，请求出 的最大值；若不能，请说明理由．
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【答案】（1）4；（2）等腰 外接圆的半径为4；（3） 的最大值为
【分析】（1）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）由题意AD垂直平分线段BC，推出△ABC的外接圆的圆心在线段AD上，设圆心为O，连接OB，OC．
由题意∠BOC=2∠BAC=90°，设OA=OB=OC=r，则BC= r，OD=BD=CD= r，根据 ，构建方
程求出r即可．（3）延长AD到E，使得DE=AD，连接EC，延长AC到F，使得CF=CE，连接EF，证明
∠F=60°，因为 ，推出AE=30，推出点F的运动轨迹是图中优弧AE，由题意
，推出当AF是直径时，AB+AC的值最大，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵ 是 的中位线，∴MN= BC，
∵BC是⊙O的弦，且圆的半径为4，∴BC≤8，
∴BC是最大值为8，∴MN的最大值为4．故答案为：4；
（2）∵ ， 是 边上的中线，
∴ 垂直平分线段 ．∴ 的外接圆的圆心在线段 上．
如图，设圆心为 ，连接 ， ．∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，解得 ．∴等腰 外接圆的半径为4；
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（3）如图，延长 到 ，使得 ，连接 ，延长 到 ，使得 ，连接 ．
∵ ， ， ，∴ ．
∴ ， ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ 是等边三角形．∴ ．
∵ ，∴ ．∴点 的运动轨迹是解图中的优弧 ．
∵ ，∴当 为直径时， 的值最大，
此时 ．∴ ，∴ ．∴ ，即 ，
∴ ，∴ ．∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的中位线定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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