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2023届高考数学三轮冲刺卷：余弦定理
一、选择题（共20小题；）
1. 已知在 △ABC 中，a=1，b=2，C=60∘，则 c 等于 ()
A. √3 B. √2 C. √5 D. 5
2
2. 已知 △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 a=√5，c=2，cosA= ，则 b
3
等于 ()
A. √2 B. √3 C. 2 D. 3
1
3. 在 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=3，b=2，cos(A+B)= ，则
3
c 等于 ()
A. 4 B. √15 C. 3 D. √17
4. 两座灯塔 A，B 与海洋观测站 C 的距离分别为 anmile，2anmile，灯塔 A 在观测站的北偏
东 35∘ 的方向上，灯塔 B 在观测站的南偏东 25∘ 的方向上，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为
()
A. 3anmile B. √7anmile C. √5anmile D. √3anmile
5. 在 △ABC 中，若 b2=a2+c2+ac，则 B 等于 ()
A. 60∘ B. 45∘ 或 135∘ C. 120∘ D. 30∘
6. 在 △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 a=√13，b=3，A=60∘，则边
c 等于 ()
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
7. 在 △ABC 中，若 a2=bc，则角 A 是 ()
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定
8. 已知锐角三角形的边长分别为 1，3，a，则 a 的取值范围是 ()
A. (8,10) B. (2√2,√10) C. (2√2,10) D. (√10,8)
9. △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 b=c，a2=2b2(1−sinA)，则 A 等
于 ()
3π π π π
A. B. C. D.
4 3 4 6
10. 在 △ABC 中，B=60∘，b2=ac，则 cosA= ()
1 √2 √3
A. 0 B. C. D.
2 2 2
11. 在 △ABC 中，B=60∘，b2=ac，则 cosA= ()
1 √2 √3
A. 0 B. C. D.
2 2 212. 在 △ABC 中，a2=b2+c2+√3bc，则 A= ()
A. 60∘ B. 45∘ C. 120∘ D. 150∘
13. 若 a，b，c 为 △ABC 的三边长且满足 (a+b−c)(a+b+c)=ab，则 ∠C 的大小为 ()
A. 60∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 150∘
3
14. 在 △ABC 中，a，b，c 分别为 A，B，C 的对边，如果 2b=a+c，B=30∘，S = ，
△ABC 2
那么 b 等于 ()
1+√3 2+√3
A. B. 1+√3 C. D. 2+√3
2 2
15. 在 △ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a=n+1，b=n，c=n−1，
n∈N∗，且 A=2C，则 △ABC 的最小角的余弦值为 ()
2 3 1 3
A. B. C. D.
3 5 2 4
16. 三角形的两边分别为 5 和 3，若它们夹角的余弦值是方程 5x2−7x−6=0 的根，则三角形的
另一边长为 ()
A. 52 B. 2√13 C. 16 D. 4
17. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 F ，F 是
1 2
一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 ∠F PF =60∘ 时，这一对
1 2
相关曲线中椭圆的离心率为 ()
√3 √3 √2 1
A. B. C. D.
3 2 2 2
18. 如图，在 △ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB=AD，2AB=√3BD，BC=2DB，则
sinC 的值为 ()
√3 √3 √6 √6
A. B. C. D.
3 6 3 6
19. 已知 △ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=1，a+b+c=3，且
√3
csin AcosB+asinBcosC= a，则 △ABC 的面积为 ()
2
√3 3√3 3√3 2√3 √3
A. 或 B. C. D.
4 4 3 3 4x2 y2
20. 已知双曲线 C： − =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F ，F ，O 为坐标原点，点
a2 b2 1 2
P 是双曲线在第一象限内的点，直线 PO，PF 分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M，
2
N，若 ∣PF ∣=2∣PF ∣，且 ∠M F N=120∘，则双曲线的离心率为 ()
1 2 2
2√2
A. B. √7 C. √3 D. √2
3
二、填空题（共5小题；）
21. 思考辨析，判断正误．
两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解．()
b a
22. 在锐角 △ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 + =6cosC，则
a b
tanC tanC
+ 的值是 ．
tanA tanB
23. 如图，在三棱锥 P– ABC 的平面展开图中，AC=1，AB=AD=√3，AB⊥AC，AB⊥AD，
∠CAE=30∘，则 cos∠FCB= ．
24. 在 △ABC 中，G 为 △ABC 的重心，AG=√2BG，BC=4，则 △ABC 面积的最大值
为 ．
3
25. 在 △ABC 中，cosC=− ，BC=1，AC=5，则 AB= ，若 D 是 AB
5
的中点，则 CD= ．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知在 △ABC 中，a=8，b=7，B=60∘，求 c 以及 S ．
△ABC
1
27. 已知 a，b，c 是 △ABC 中 ∠A，∠B，∠C 的对边，a=4√3，b=6，cosA=− ．
3（1）求 c；
（2）求 cos2B 的值．
1
28. 在 △ABC 中，a=3，b−c=2，cosB=− ．
2
（1）求 b，c 的值；
（2）求 sin(B+C) 的值．
29. “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没
有一个大人，我是说 ⋅ 除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄
托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形 ABCD 的麦田里成为守望者，如图所
示，为了分割麦田，他将 BD 连接，设 △ABD 中边 BD 所对的角为 A，△BCD 中边
BD 所对的角为 C，经测量已知 AB=BC=CD=2，AD=2√3．
（1）霍尔顿发现无论 BD 多长，√3cosA−cosC 为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并
求出这个定值．
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记 △ABD 与 △BCD 的面积分别
为 S 和 S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 S2+S2 的最大值．
1 2 1 2
30. 已 知 △ABC 的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 c=2a，
1
bsinB−asinA= asinC．
2
（1）求 sinB 的值；
( π)
（2）求 sin 2B+ 的值．
3答案
1. A 【解析】由余弦定理，得 c2=12+22−2×1×2cos60∘=3，
所以 c=√3．
2
2. D 【解析】因为 a=√5，c=2，cosA= ，
3
b2+c2−a2 b2+4−5 2
所以由余弦定理，可得 cosA= = = ，
2bc 2×b×2 3
整理可得 3b2−8b−3=0，
1
所以 b=3 或 b=− （舍去）．
3
1
3. D 【解析】由三角形内角和定理，可知 cosC=−cos(A+B)=− ，
3
又由余弦定理，得 c2=a2+b2−2abcosC=9+4−2×3×2× ( − 1) =17，
3
所以 c=√17．
4. B 【解析】由余弦定理，得 AB=√a2+4a2−2×a×2a×cos120∘=√7a(nmile)．
5. C
【解析】因为 b2=a2+c2−2accosB=a2+c2+ac，
1
所以 ac=−2accosB，cosB=− ，
2
又 0∘b >0)，
a2 b2 1 1
1 1
x2 y2
双曲线： − =1(a >b >0)．
a2 b2 2 2
2 2
c
∣F F ∣=2c，∣PF ∣+∣PF ∣=2a ，∣∣PF ∣−∣PF ∣∣=2a ，e = ，
1 2 1 2 1 1 2 2 1 a
1
1 c
e = = ．
2 e a
1 2
在 △PF F 中，由余弦定理得
1 2
4c2=∣PF ∣ 2+∣PF ∣ 2−2∣PF ∣⋅∣PF ∣cos60∘=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2−3∣PF ∣∣PF ∣=(∣PF ∣−∣PF ∣) 2+∣PF ∣∣PF ∣
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
所以 16c2=(∣PF ∣+∣PF ∣) 2+3(∣PF ∣−∣PF ∣) 2=4a2+12a2 ，即 4= +3e2 ，
1 2 1 2 1 2 e2 1
1
1
解得
e2=
或
e2=1（舍去），
1 3 1
√3
所以 e = ，
1 3
故选A．√3
18. D 【解析】设 BD=a，则由题意可得 BC=2a，AB=AD= a，在 △ABD 中，由余弦定
2
理，
2 2
(√3 a ) + (√3 a ) −a2
AB2+AD2−BD2 2 2 1
得 cosA= = = ，
2AB⋅AD √3 √3 3
2⋅ a⋅ a
2 2
2√2
所以 sin A=√1−cos2A= ．
3
AB BC
在 △ABC 中，由正弦定理，得 = ，
sinC sin A
√3
a
2 2a √6
所以 = ，解得 sinC= ．
sinC 2√2 6
3
√3
19. D 【解析】因为 csin AcosB+asinBcosC= a，
2
√3
所以 sinCsin AcosB+sin AsinBcosC= sin A，
2
因为 sinA≠0，
√3 √3
所以 sinCcosB+sinBcosC= ，即 sin(B+C)=sin A= ，
2 2
π 2π
所以 A= 或 A= ．
3 3
2π
若 A= ，则 a>b，a>c，故 2a>b+c，与 a=1，b+c=2 矛盾．
3
π
所以 A= ，
3
由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccosA=(b+c) 2−3bc=1，
所以 bc=1，
1 1 √3 √3
所以 S= bcsin A= ×1× = ．
2 2 2 4
20. B
【解析】由题意，∣PF ∣=2∣PF ∣，
1 2
由双曲线的定义可得，∣PF ∣−∣PF ∣=2a，
1 2
可得 ∣PF ∣=4a，∣PF ∣=2a，
1 2
由四边形 PF M F 为平行四边形，
1 2
又 ∠M F N=120∘，可得 ∠F PF =120∘，
2 1 2
在三角形 PF F 中，由余弦定理可得
1 2
4c2=16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos120∘，即有 4c2=20a2+8a2，即 c2=7a2，
可得 c=√7a，
c
即 e= =√7．
a
21. √
22. 4
b a
【解析】利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为 + =6cosC，
a b
a2+b2 a2+b2−c2 3
由余弦定理得 =6⋅ ，a2+b2= c2 ．而
ab 2ab 2
tanC tanC sinC (cosA cosB)
+ = +
tan A tanB cosC sin A sinB
c2
¿ =
a2+b2−c2
ab⋅
2ab
2c2
¿ =
3
c2−c2
2
¿ ¿
1
23. −
4
【解析】因为 AB⊥AC，AB=√3，AC=1，
由勾股定理得 BC=√AB2+AC2=2，
同理得 BD=√6，
所以 BF=BD=√6，
在 △ACE 中，AC=1，AE=AD=√3，∠CAE=30∘，
由余弦定理得
CE2 =AC2+AE2−2AC⋅AEcos30∘
¿ =1,
所以 CF=CE=1，
在 △BCF 中，BC=2，BF=√6，CF=1，CF2+BC2−BF2 1+4−6 1
由余弦定理得 cos∠FCB= = =− ．
2CF⋅BC 2×1×2 4
24. 12√2
1
【解析】设 D 为 BC 的中点，DG=x，由重心性质得 AG=2x，BG= AG=√2x，
√2
设 ∠BGD=θ，
3x2−4
则由余弦定理得 4=2x2+x2−2√2x2 ⋅cosθ，所以 cosθ= ，
2√2x2
1 √2
又 S = ⋅√2x⋅x⋅sinθ= x2sinθ，
△BDG 2 2
[ (3x2−4) 2]
9
所以 S2 =18x4 ⋅ 1− =− (x4−24x2+16)，
△ABC 8x4 4
当 x2=12 时，S2 取得最大值为 288，
△ABC
则 △ABC 面积的最大值为 12√2．
25. 4√2，√5
【解析】由余弦定理得，AB2=12+52−2×1×5× ( − 3) =32，
5
52+(4√2) 2 −1 7
所以 AB=4√2，可得 cosA= = ，
2×5×4√2 5√2
连接 CD（图略），可知 AD=2√2，
所以 CD2=52+(2√2) 2 −2×5×2√2×cosA=5，CD=√5．
26. 当 c=3 时，S =6√3；
△ABC
当 c=5 时，S =10√3．
△ABC
27. （1） 在 △ABC 中，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA，
即 48=36+c2−2×c×6× ( − 1) ，
3
整理，得 c2+4c−12=0，
解得 c=2．
a2+c2−b2
（2） 在 △ABC 中，由余弦定理得，cosB= ，
2ac
√3
得 cosB= ，
3
1
cos2B=2cos2B−1=−
．
3
a2+c2−b2 1
28. （1） 由余弦定理可得 cosB= =− ，
2ac 2因为 a=3，
所以 c2−b2+3c+9=0；
因为 b−c=2，
{b=7,
所以解得
c=5.
（2） 由（1）知 a=3，b=7，c=5，
b2+c2−a2 13
所以 cosA= = ，
2bc 14
因为 A 为 △ABC 的内角，
3√3
所以 sin A=√1−cos2A= ．
14
3√3
所以 sin(B+C)=sin(π−A)=sin A= ．
14
29. （1） 在 △ABD 中，由余弦定理得 BD2=4+12−8√3cosA=16−8√3cosA，
在 △BCD 中，由余弦定理得 BD2=4+4−8cosC，16−8√3cosA=8−8cosC，
则 8(√3cosA−cosC)=8，
所以 √3cosA−cosC=1．
1 1
（2） S = ×2×2√3sin A=2√3sin A，S = ×2×2sinC=2sinC，
1 2 2 2
则 S2+S2=12sin2A+4sin2C=16−(12cos2A+4cos2C)，
1 2
由（1）知：√3cosA=1+cosC，代入上式得：
S2+S2 =16−12cos2A−4(√3cosA−1) 2
1 2
¿ ¿
2
配方得：S2+S2=−24 ( cosA− √3) +14，
1 2 6
√3
所以当 cosA= 时，S2+S2 取到最大值 14．
6 1 2
1 1
30. （1） 因为 bsinB−asin A= asinC，由正弦定理得，b2−a2= ac．
2 2
a2+c2−b2 3
又 c=2a，所以 b2=2a2，由余弦定理得，cosB= = ．
2ac 4
√7
又 0
