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2023届高考数学三轮冲刺卷：排列与组合
一、选择题（共20小题；）
1. 有 3 位男生，3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同
时为男生或女生，则这样的排法种数是 ()
A. 144 B. 216 C. 288 D. 432
2.
C0+C1+C2+C3=
()
3 3 3 3
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3. 高三某班下午有 3 节课，现从 5 名教师中安排 3 人各上一节课，如果甲、乙两名教师不上第
一节课，则不同的安排方案种数为 ()
A. 12 B. 72 C. 36 D. 24
4. 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若
其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ()
A.
C2A2
B.
C2A6
C.
C2A2
D.
C2A2
8 3 8 6 8 6 8 5
5. 将 5 名实习教师分配到高二年级的 3 个班实习，若每班至少有 1 名实习教师，则不同的分配
方案的种数为 ()
A. 75 B. 125 C. 150 D. 540
6. 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 2 本，分别赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不
同的赠送方法共有 ()
A. 2 种 B. 4 种 C. 6 种 D. 10 种
7. 用 0，1，⋯，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ()
A. 243 B. 252 C. 261 D. 279
8. 有 12 名同学合影，站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，
若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ()
A.
C2P2
B.
C2P6
C.
C2P2
D.
C2P2
8 3 8 6 8 6 8 5
9. 某班有 20 名女生和 19 名男生，从中选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生
均不少于 2 人的选法共有 ()
A.
C2 ⋅C2 ⋅C1
B.
C5 −C5 −C5
20 19 35 39 20 19
C.
C5 −C1 C4 −C4 C1
D.
C2 C3 +C3 C2
39 20 19 20 19 20 19 20 19
10. 从 1，2，3，4，5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字有 2 和 3
时，则 2 需排在 3 的前面（不一定相邻），这样的三位数有 ()
A. 9 个 B. 15 个 C. 45 个 D. 51 个
11. 我国古代在珠算发明之前多是用算筹为工具来记数、列式和计算的．算筹实际上是一根根相同
长度的小木棍，如图，算筹表示数 1∼9 的方法有两种，即“纵式”和“横式”，规定个位数
用纵式，十位数用横式，百位数用纵式，千位数用横式，万位数用纵式 ⋯⋯ 依此类推，交替27 0
使用纵横两式．例如： 可以表示为“ ”．如果用算筹表示一个不含“ ”的两位数，现
有 7 根小木棍，能表示多少个不同的两位数 ()
A. 54 B. 57 C. 65 D. 69
12. 把 6 本不同的书借给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本，不同的借书方法有 ()
A. 15 种 B. 90 种 C. 270 种 D. 540 种
13. 5 名男运动员和 4 名女运动员进行乒乓球混合双打比赛，则不同的对阵方法数为 ()
A.
A4
B.
A2 ⋅A2
C.
C2 ⋅A2
D.
C2 ⋅C2
9 5 4 5 4 5 4
14. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方
的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律．十二平均律
包括六个阳律（黄钟、太族、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、仲吕、林
钟、南吕、应钟）．现从这十二平均律中取出 2 个阳律和 2 个阴律，排成一个序列，组成一
种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律 ()
A. 450 种 B. 900 种 C. 1350 种 D. 1800 种
15. 计算 2C5+3A2 的值是 ()
7 5
A. 72 B. 102 C. 5070 D. 5100
16. 若 C3=12P1，则 n 的值为 ()
n n
A. 3 B. 5 C. 7 D. 10
17. 从装有 3 个红球 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取 3 个球中至少有 1 个白球的概率是
()
1 3 3 9
A. B. C. D.
10 10 5 10
18. 将标号为 1，2，3，4，5 的五个小球放入三个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则
不同的放法种数为 ()
A. 150 B. 300 C. 60 D. 90
19. 从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，
每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 ()
A. 300 种 B. 240 种 C. 144 种 D. 96 种
20. 甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分
站的位置，则不同的站法总数是 ()
A. 90 B. 120 C. 210 D. 216二、填空题（共5小题；）
21. 已知 3Cx−7=5A2 ，则 x= ．
x−3 x−4
22. 将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子
均最多可放入 2 个球，丙、丁盒子均最多可放入 1 个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒
子里，共有 种不同的放法．
23. 回文数是指从左到右与从右到左都一样的正整数，如 22，121，3443，94249 等，则在所有
四位数中，回文数的个数是 ．
24. 8 人排成前后两排，前排 3 人后排 5 人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种
．
25. 2020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困
难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将 4 名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医
院，每家医院至少去 1 人），则共有 种分配方案．
三、解答题（共5小题；）
26. 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分为三份，每份两本；
（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．
27. 有 4 名男生，5 名女生．
（1）从中选出 5 名代表，有多少种选法?
（2）从中选出 5 名代表，男生 2 名，女生 3 名且某女生必须在内有多少种选法?
（3）从中选出 5 名代表，男生不少于 2 名，有多少种选法?
（4）分成三个小组，每组依次有 4，3，2 人有多少种分组方法?
28. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a，b，c 是集合 {−3,−2,−1,0,1,2,3,4} 中 3 个不同
的数，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?
29. 在 2019 中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产A，B，C三种纪念品，每一种纪念品均有
精品型和普通型两种，某一天产量如下表：（单位：个）
纪念品A纪念品B纪念品C
n¿普通型¿300¿450¿600¿
精品型 100 ¿
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 200 个，其中A种纪念品有 40 个．
（1）求 n 的值；
（2）从B种精品型纪念品中抽取 5 个，其某种指标的数据分别如下：x，y，10，11，9，把
这 5 个数据看作一个总体，其均值为 10，方差为 2，求 ∣x−y∣ 的值；
（3）用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为 5 的样木，从样本中任取 2 个纪念品，
求至少有 1 个精品型纪念品的概率．30. 某科研团队硏发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门
从某地区（人数众多）随机选取了 80 位患者和 100 位非患者，用该试剂盒分别对他们进行
检测，结果如下：
患者的检测结果 人数
阳性 76
阴性 4
非患者的检测结果 人数
阳性 1
阴性 99
（1）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（2）从该地区患者中随机选取 3 人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以 X
表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求 X 的分布列和数学期望；
（3）假设该地区有 10 万人，患病率为 0.01．从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测
一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过 0.5?并说明理由答案
1. D 【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有
C1C1A2=18
种排法；
3 3 2
第二步，剩余的学生全排列，共有
A4=24
种排法，
4
所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意的排法共有 18×24=432．
2. D
3. C
4. C 【解析】第一步从后排 8 人中选 2 人有 C2 种方法，
8
第二步 6 人前排排列，先排列选出的 2 人有 A2 种方法，
6
再排列其余 4 人只有 1 种方法，
因此所有的方法总数的种数是
C2A2
．
8 6
5. C
【解析】有两种情况：
C1C2C2
一组 1 人，另两组都是 2 人，有 5 4 2=15 种，
A2
2
将 3 组分成 3 班，共有 15⋅A3=90 种；
3
C3C2C1
一组 3 人，另两组都是 1 人，有 5 1 1 种，
A2
2
将 3 组分成 3 班，共有 10⋅A3=60 种．
3
6. C
7. B 【解析】由分步乘法计数原理知，用 0，1，⋯，9 十个数字组成三位数（可有重复数字）的
个数为 9×10×10=900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8=648，则组成有重复数字
的三位数的个数为 900−648=252．
8. C
9. D 【解析】从中选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 2 人，
当选出的 5 人为 2 女 3 男时，共有不同选法为 C2 C3 种，
20 19
当选出的 5 人为 3 女 2 男时，共有不同选法为 C3 C2 种，
20 19
即从中选出 5 人组成一个垃圾分类宣传小组，要求女生和男生均不少于 2 人的选法共有
C2 C3 +C3 C2
种．
20 19 20 19
10. D
【解析】①当这个三位数中，数字 2 和 3 都有时，需从剩余 3 个数中再选一个数，方法有 3 种，
再把这 3 个数进行排列，方法有 A3 种，故含有数字 2 和 3 的三位数共有 3×A3=18 个．
3 3
1
其中满足 2 排在 3 的前面的三位数占总数的一半，故满足条件的三位数共有 18× =9 个．
2
②当这个三位数中，2 和 3 只有一个时，这样的三位数的个数为 C1 ⋅C2 ⋅A3=36．
2 3 3③当这个三位数中，2 和 3 都没有时，这样的三位数的个数为 A3=6．
3
综上可得，满足条件的三位数的个数为 9+36+6=51．
11. B
12. B
13. C
14. B
15. B
【解析】依题意，
原式= 2C2+3A2
7 5
7×6
= 2× +3×5×4
2×1
= 42+60
= 102.
16. D
17. D
18. A 【解析】先将 5 个小球分为 1，1，3 和 1，2，2 两类，然后再进行分配可得结果．
①若 5 个小球分为 1，1，3 三部分后再放在 3 个不同的盒子内，
C1C1C3
则不同的方法为
5 4 3 ⋅A3=60
种；
A2 3
2
②若 5 个小球分为 1，2，2 三部分后再放在 3 个不同的盒子内，
C1C2C2
不同的的方法为
5 4 2 ⋅A3=90
种．
A2 3
2
所以由分类加法计数原理可得不同的分法有 60+90=150 种．
19. B 【解析】因为甲乙有限制条件，
所以按照是否含有甲、乙来分类，有以下四种情况：
①若甲、乙都不选，则有
A4=24
种；
4
②若选甲而不选乙，则有
C3C1A3=72
种；
4 3 3
③若选乙而不选甲，则有
C3C1A3=72
种；
4 3 3
④若甲、乙都选，则有
C2A2A2=72
种．
4 3 2
所以共有不同的选择方案总数为 24+72+72+72=240 种．
20. C
【解析】因为甲、乙、丙 3 人站到共有 6 级的台阶上，且每级台阶最多站 2 人，
所以可分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一级台阶上：共有
C3A3=120
种站法；
6 3
第二类，有 2 人站在同一级台阶上，剩余 1 人独自站在一级台阶上，共有 C2C2A2=90 种站法．
3 6 2
所以不同的站法总数是 120+90=210．
21. 11
【解析】由
3Cx−7=5A2
，得
x−3 x−4(x−3)! (x−4)!
3⋅ =5⋅ ，即
(x−7)!⋅4! (x−6)!
3(x−3) 5
= ，
4! x−6
解得：x=11．
22. 20
【解析】(丙,丁)→(0,0)：A2=2；
2
(丙,丁)→(1,0)：C1C1=4；
2 2
(丙,丁)→(0,1)：C1C1=4；
2 2
(丙,丁)→(1,1)：A2(2+2)(不同色)+C1(同色)=10．
2 2
故共有：2+4+4+10=20 种．
23. 90
24. 8640
【解析】根据题意，分 2 步进行分析：
①，在除甲乙之外的 6 人中任选 3 人，与甲乙一起排在后排，
由于甲乙不能相邻，则有
C3×A3×A2=1440
种情况；
6 3 4
②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有
A3=6
种情况，
3
则有 1440×6=8640 种排法．
25. 14
C2C2
【解析】由题先将 4 名医生分成 2 组，有 C1+ 4 2=4+3=7 种，
4 A2
2
再分配的两家医院有
7A2=14
种．
2
26. （1） 根据分步计数原理得到：C2C2C2=90（种）．
6 4 2
（2） 分给甲、乙、丙三人，每人两本有 C2C2C2 种方法，这个过程可以分两步完成：
6 4 2
第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 P3 种
3
方法．根据分步计数原理可得：C2C2C2=xP3
，
6 4 2 3
C2C2C2
所以 x= 6 4 2=15．
P3
3
因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
（3） 这是“不均匀分组”问题，一共有 C1C2C3=60（种）方法．
6 5 3
（4） 在（3）的基础上在进行全排列，
所以一共有
C1C2C3P3=360（种）方法．
6 5 3 3
（5） 可以分为三类情况：①“2，2，2 型”即（1）中的分配情况，有 C2C2C2=90
6 4 2
（种）方法；②“1，2，3 型”即（4）中的分配情况，有 C1C2C3P3=360（种）方法；
6 5 3 3
③“1，1，4 型”，有 C4P3=90（种）方法．
6 3
所以一共有 90+360+90=540（种）方法．
27. （1） 126．
（2） 36．
（3） 105．
（4） 1260．
28. 由图形特征分析，
当 a>0 时，开口向上，坐标原点在内部等价于 f (0)=c<0；
当 a<0 时，开口向下，原点在内部等价于 f (0)=c>0，
所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲，原点在其内部等价于 af (0)=ac<0，
则确定抛物线时，可先定一正一负的 a 和 c，再确定 b，
故满足题设的抛物线共有
C1C1P2P1=144（条）．
3 4 2 6
29. （1） 由题意可知，该工厂一天所生产的纪念品数为 100+300+150+450+n+600=n+1600．
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 200 个，其中A种纪念品有 40 个，
400 40
则 = ，
n+1600 200
解得 n=400．
x+ y+10+11+9
（2） 由题意可得 =10，得 x+ y=20．
5
由于总体的方差为 2，
(x−10) 2+(y−10) 2+0+1+1
则 =2，可得 x2+ y2=208，
5
所以，
∣x−y∣ =√(x−y) 2
¿ =√2(x2+ y2)−(x+ y) 2
¿ ¿
p 400
（3） 设所抽取的样本中有 p 个精品型纪念品，则 = ，解得 p=2，
5 1000
所以，容量为 5 的样本中，有 2 个精品型纪念品，3 个普通型纪念品．
C2−C2
7
因此，至少有 1 个精品型纪念品的概率为 5 3= ．
C2 10
5
30. （1） 由题意知，80 位患者中有 76 位用该试剂盒检测一次，结果为阳性．
76 19
所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率佔计为 = ．
80 20
19
（2） 由题意可知 X−B(n,p)，其中 n=3，p= ．
20
X 的所有可能的取值为 0，1，2，3．P(X=0)=C0(19) 0
×
( 1 ) 3
=
1
，
3 20 20 8000
P(X=1)=C1(19) 1
×
( 1 ) 2
=
57
，
3 20 20 8000
P(X=2)=C2(19) 2
×
( 1 ) 1
=
1083
，
3 20 20 8000
P(X=3)=C3(19) 3
×
( 1 ) 0
=
6859
．
3 20 20 8000
所以 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 57 1083 6859
P
8000 8000 8000 8000
57
故 X 的数学期望 E(X)=np= ．
20
（3） 此人患该疾病的概率未超过 0.5，理由如下：
由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为
1 19
99000× +1000× =990+950=1940，其中患者人数为 950．
100 20
950 970
若某人检测结果为阳性，那么他患该疾病的概率为 < =0.5，
1940 1940
所以此人患该疾病的概率未超过 0.5．
