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专题强化练(十五) 带电粒子在交变电、磁场中的运动
(40分钟 40分)
一、选择题
1.(6分)(2023·常德模拟)如图甲所示,在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场,电场的方
向水平向右(图甲中由B到C),场强大小随时间变化情况如图乙所示;磁感应强度方向垂直于纸
面、大小随时间变化情况如图丙所示。在 t=1 s时,从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v
0
射出第一个粒子,并在此之后,每隔2 s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v 射出,并恰好
0
均能击中C点,若AB=BC=l,且粒子由A运动到C的时间小于1 s。不计重力和空气阻力,对于
各粒子由A运动到C的过程中,以下说法正确的是 ( )
A.电场强度E 和磁感应强度B 的大小之比为2∶1
0 0
B.第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为2∶1
C.第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1∶4
D.第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π∶2
2.(6分)(多选)如图甲所示,在xOy坐标系的第一、四象限存在匀强磁场,规定垂直纸面向里为
q
磁场的正方向,磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示,t=0 时刻,一个比荷为 =1.0×104
mC/kg的正电荷从(0,√3)处以v =1.0×104 m/s的速度沿y轴负方向射入磁场,则 ( )
0
A.在磁场变化的半个周期内,带电粒子的速度方向改变60°
B.在磁场变化的半个周期内,带电粒子的速度方向改变120°
4π
C.带电粒子从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为 ×10-4 s
3
6π
D.带电粒子从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为 ×10-4 s
5
3.(6分)(多选)(2023·襄阳模拟)两块足够大的平行金属极板水平放置,极板间加有空间分布均匀、
大小随时间周期性变化的电场和磁场,变化规律分别如图 1、图2所示(规定垂直纸面向里为
磁感应强度的正方向)。在t=0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的带负电的粒子(不
q πm
计重力),若电场强度 E 、磁感应强度 B 、粒子的比荷 均已知,且 t = ,两板间距为
0 0 m 0 qB
0
4π2mE
0,下列说法正确的是( )
qB2
0π2mE2
A.粒子在t 0 时刻的动能为 0
2B2
0
B.粒子在t ~3t 时间内的速度变化量大小为 2πE
0 0 0
2 B
0
C.粒子在2t ~3t 时间内做匀加速直线运动
0 0
2πmE
D.粒子在极板间运动的最大位移大小为 0√4π2+9
qB2
0
二、计算题
4.(10分)如图甲所示,在坐标系xOy中,y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场、电场强度大小为
E;y轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场,磁感应强度大小B 已知,磁场方向垂直纸面向里
0
为正,t=0时刻,从x轴上的P点无初速度释放一带正电的粒子,粒子(重力不计)的质量为m、电
荷量为q,粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等,且粒子第一次
在磁场中做圆周运动的轨迹为半圆。求:
(1)P点到O点的距离;6.5πm
(2)粒子经一个周期 沿y轴发生的位移大小。
qB
0
【加固训练】
在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场,磁感应强度的变化
规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻平行于Oc边从
O点射入磁场中。已知正方形边长为 L,磁感应强度的大小为B ,规定垂直于纸面向外为磁场
0
的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T 。
0(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场,求磁感应强度的变化周期T的最大值。
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场,求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及
粒子射入磁场时的速度大小。
5.(12分)(2023·朔州模拟)如图甲所示的坐标系中,在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期
性变化的电场和磁场,交变电场的电场强度大小为E ,交变磁场的磁感应强度大小为B ,取x轴
0 0
正方向为电场的正方向,垂直纸面向外为磁场的正方向。在t=0时刻,将一质量为m、带电荷量
为q、重力不计的带正电粒子,从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上。求:
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径;
(2)粒子打在x轴负半轴上到O点的最小距离;
(3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件;(4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。
解析版
一、选择题
1.(6分)(2023·常德模拟)如图甲所示,在空间存在一个变化的电场和一个变化的磁场,电场的方
向水平向右(图甲中由B到C),场强大小随时间变化情况如图乙所示;磁感应强度方向垂直于纸
面、大小随时间变化情况如图丙所示。在 t=1 s时,从A点沿AB方向(垂直于BC)以初速度v
0
射出第一个粒子,并在此之后,每隔2 s有一个相同的粒子沿AB方向均以初速度v 射出,并恰好
0
均能击中C点,若AB=BC=l,且粒子由A运动到C的时间小于1 s。不计重力和空气阻力,对于
各粒子由A运动到C的过程中,以下说法正确的是 ( )
A.电场强度E 和磁感应强度B 的大小之比为2∶1
0 0
B.第一个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比为2∶1
C.第一个粒子和第二个粒子通过C的动能之比为1∶4D.第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比为π∶2
【解析】选D。在t=1 s时,空间区域存在匀强磁场,粒子做匀速圆周运动,如图1所示;由牛顿
第二定律得:qv B =mv2,粒子的轨道半径R=l,则:B =mv ;带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,
0 0 0 0 0
R ql
如图2所示;竖直方向:l=v t,水平方向:l=1at2=1·qE t2,则E =2mv2 ,则:E =2v ,故A错误;第一
0 0 0 0 0 0
2 2 m ql B 1
0
qv B
0 0
a m 1
1
个粒子和第二个粒子运动的加速度大小之比: = = ,故B错误;第二个粒子,由动能定理
a qE 2
2 0
m
1 5 1
得:qE l=E - mv2,E = mv 2,第一个粒子的动能E = mv 2,第一个粒子和第二个粒子通过C的
0 k2 2 0 k2 2 0 k1 2 0
1 1 2πm πl
动能之比为 1∶5,故C错误;第一个粒子的运动时间:t = T= × = ,第二个粒子的运动
1 4 4 qB 2v
0 0
l
时间:t = ,第一个粒子和第二个粒子运动的时间之比t ∶t =π∶2,故D正确。
2 v 1 2
0
2.(6分)(多选)如图甲所示,在xOy坐标系的第一、四象限存在匀强磁场,规定垂直纸面向里为
q
磁场的正方向,磁感应强度随时间的变化情况如图乙所示,t=0 时刻,一个比荷为 =1.0×104
m
C/kg的正电荷从(0,√3)处以v =1.0×104 m/s的速度沿y轴负方向射入磁场,则 ( )
0A.在磁场变化的半个周期内,带电粒子的速度方向改变60°
B.在磁场变化的半个周期内,带电粒子的速度方向改变120°
4π
C.带电粒子从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为 ×10-4 s
3
6π
D.带电粒子从射入磁场至第一次经过x轴所需的时间为 ×10-4 s
5
【解题指南】解决本题需注意:粒子在磁场中做圆周运动,根据题意作出粒子运动轨迹,由洛伦
兹力提供向心力得半径和周期,根据时间知转过的角度,根据几何知识求解位置坐标;根据周期
和角度分别求出各段时间从而求总时间。
【解析】选B、D。粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第
二定律得:qv B=mv2 ,代入数据解得:R=0.4 m,粒子在磁场中运动的周期:T=2πR,代入数据解得:
0 0
R v
0
8 1 1
T=8π×10-5 s,当Δt= π×10-5 s= T时,粒子在磁场中恰好转过 圆周,在磁场变化的半个周期内
3 3 3
1 1
粒子逆时针转过 圆周,之后磁场方向反向,粒子顺时针转过 圆周,做周期性运动,粒子运动轨
3 3
迹如图所示,在磁场变化的半个周期内,带电粒子的速度方向改变 120°,故A错误,B正确;磁场
4√3
变化两个周期后粒子沿 y轴向下运动的距离:d=4Rcos30°= m,由几何知识可知,粒子还需
51 4π
要再转过60°的圆心角即可经过x轴,转过60°所需时间:t= T= ×10-5 s,则正电荷从射入磁场
6 3
6π
到第一次经过x轴所需时间t = ×10-4 s,故C错误,D正确。
总 5
3.(6分)(多选)(2023·襄阳模拟)两块足够大的平行金属极板水平放置,极板间加有空间分布均匀、
大小随时间周期性变化的电场和磁场,变化规律分别如图 1、图2所示(规定垂直纸面向里为
磁感应强度的正方向)。在t=0时刻由负极板某位置释放一个初速度为零的带负电的粒子(不
q πm
计重力),若电场强度 E 、磁感应强度 B 、粒子的比荷 均已知,且 t = ,两板间距为
0 0 m 0 qB
0
4π2mE
0,下列说法正确的是( )
qB2
0
π2mE2
A.粒子在t 0 时刻的动能为 0
2B2
0
B.粒子在t ~3t 时间内的速度变化量大小为 2πE
0 0 0
2 B
0C.粒子在2t ~3t 时间内做匀加速直线运动
0 0
2πmE
D.粒子在极板间运动的最大位移大小为 0√4π2+9
qB2
0
E q
【解析】选A、C、D。由题可知,0~t 时间内带电粒子做匀加速直线运动,有a= 0
0
m
x 1 =1 E 0 q t2 =1 E 0 π2m
2 m 0 2 B2q
0
v =at =πE
1 0 0
B
0
故粒子在t
0
时刻的动能为E
k
=1m v2=
π2mE2
0;
2 1 2B2
0
t
0
~3t
0
时间段内,带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动,故r
1
= mv
1
= πmE 0,T=2πm=2t
0
2 B q B2q B q
0 0 0
3t 时粒子的速度方向水平,故t ~3t 时间内的速度变化量大小为Δv= v =√2πE ,3t ~2t 时间
0 0 0 √2 1 0 0 0
2 2 B 2
0
段内,磁场方向改变,带电粒子只受洛伦兹力的作用做圆周运动,2t 时,粒子运动方向竖直向上。
0
根据带电粒子的受力可知,2t 0 ~3t 0 带电粒子向上做匀加速直线运动,x 2 =v 1 t 0 +1a t2= 3π2E 0 m
2 0 2B2q
0
v 2 =v 1 +at 0 = 2πE 0 ,3t 0 ~7t 0 、 7t 0 ~4t 0 带电粒子做圆周运动,r 2 = mv 2 = 2πmE 0,两板间距为 d=
B 2 2 B q B2q
0 0 0
4π2mE
0
,故粒子在极板间的运动轨迹如图所示由以上分析可知,当粒子到达对面极板时的水
qB2
0
6πmE
平位移为x=2r
1
+2r
2
= 0故粒子在极板间运动的最大位移大小为
B2q
0√ 6πmE 4π2mE 2πmE
s= ( 0)2+( 0)2= 0√4π2+9,故选A、C、D。
B2q qB2 qB2
0 0 0
二、计算题
4.(10分)如图甲所示,在坐标系xOy中,y轴左侧有沿x轴正方向的匀强电场、电场强度大小为
E;y轴右侧有如图乙所示周期性变化的磁场,磁感应强度大小B 已知,磁场方向垂直纸面向里
0
为正,t=0时刻,从x轴上的P点无初速度释放一带正电的粒子,粒子(重力不计)的质量为m、电
荷量为q,粒子第一次在电场中运动的时间与第一次在磁场中运动的时间相等,且粒子第一次
在磁场中做圆周运动的轨迹为半圆。求:
(1)P点到O点的距离;
答案:(1)Emπ2
2qB2
0
πm
【解析】(1)设粒子第一次在电场中做匀加速运动的时间为t ,则t = ,Eq=ma
0 0 qB
0
1
设O、P间距离为x,则x= at 2,
2 0联立解得x=Emπ2
。
2qB2
0
6.5πm
(2)粒子经一个周期 沿y轴发生的位移大小。
qB
0
答案: (2)πmE
qB2
0
【解析】(2)如图所示,设粒子在磁场中做圆周运动的半径分别为 R 和R ,R =mv ,R =3mv ,又
1 2 1 0 2 0
qB 2qB
0 0
由动能定理得Eqx=1m ,粒子每经一个周期沿y轴向下移动Δx,Δx=2R -2R =πmE 。
v2 2 1
2 0 qB2
0
【加固训练】
在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场,磁感应强度的变化
规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻平行于Oc边从
O点射入磁场中。已知正方形边长为 L,磁感应强度的大小为B ,规定垂直于纸面向外为磁场
0
的正方向。(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T 。
0
2πm
答案:(1)
qB
0
【解析】(1)由qv B =mv2 ,T =2πr,
0 0 0 0
r v
0
2πm
联立解得T = 。
0 qB
0
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场,求磁感应强度的变化周期T的最大值。
5πm
答案: (2)
3qB
0
【解析】(2)如图甲所示为周期最大时粒子不能从 Oa 边射出的临界情况,由几何关系可知
1
sinα= ,得α=30°。
2
在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为150°,
5 5πm T
运动时间为t= T = ,而t=
12 0 6qB 2
0
5πm
所以磁感应强度的变化周期T的最大值为 。
3qB
0(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场,求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及
粒子射入磁场时的速度大小。
πm qB L
答案: (3) 0 (n=2,4,6,…)
qB nm
0
【解析】(3)如图乙所示为粒子从b点沿着ab方向射出磁场的一种情况。在磁场变化的半个
T T
周期内,粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为2β,其中β=45°,即 = 0,
2 4
πm
所以磁场变化的周期为T=
qB
0
√2L
弦OM的长度为s= (n=2,4,6,…)
n
s L
圆弧半径为R= = (n=2,4,6,…)
√2 n
由qv B =mv2 ,解得v =qB L(n=2,4,6,…)。
0 0 0 0 0
R nm
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)根据洛伦兹力提供向心力求解;
1
(2)根据几何关系求得带电粒子不能从Oa边界射出磁场时在 T时间内转过的圆心角,从而求
2
得T和周期T 的关系,进而得到T的最大值;
0
(3)根据粒子运动得到带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场的运动轨迹,进而得到轨道半径,由1
T时间内转过的圆心角求得周期T;最后根据洛伦兹力提供向心力,由轨道半径求得运动速度。
2
5.(12分)(2023·朔州模拟)如图甲所示的坐标系中,在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期
性变化的电场和磁场,交变电场的电场强度大小为E ,交变磁场的磁感应强度大小为B ,取x轴
0 0
正方向为电场的正方向,垂直纸面向外为磁场的正方向。在t=0时刻,将一质量为m、带电荷量
为q、重力不计的带正电粒子,从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂
直打在x轴上。求:
(1)粒子第一次在磁场中运动的半径;
πmE
答案:(1) 0
qB2
0
【解析】(1)粒子第一次在电场中有qE =ma
0
πm
v =at ,t =
1 0 0 qB
0
粒子第一次进入磁场中有qv B
=mv2
1 0 1
R
1πmE
联立解得R 1 = 0
qB2
0
(2)粒子打在x轴负半轴上到O点的最小距离;
πmE
答案: (2) 0(π+2)
qB2
0
【解析】(2)由题意可知粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上到O点的距离最小,如图
甲所示
第一次加速的位移为Δx 1
=at2
0 =
π2mE
0
2 2qB2
0
第二次加速的位移Δx =3Δx
2 1
洛伦兹力提供向心力有qv B
=mv2
2 0 2
R
2
v =2at =2πE
2 0 0
B
0
πmE
Δx
P
=Δx
2
-Δx
1
+R
2
= 0(π+2)
qB2
0
(3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件;
n2πmE
答案: (3)d= 0(n=1,2,3,…)
qB2
0【解析】(3)分析带电粒子运动轨迹,如图乙所示
可知A与坐标原点间的距离d应满足
n2πmE
d=n2R
1
= 0(n=1,2,3,…)
qB2
0
(4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。
nπmE
答案: (4)x
P
= 0(π+2)(n=1,2,3,…)
2qB2
0
【解析】(4)若粒子经过n次加速和偏转后打在x轴上
nπmE
由几何关系知x
P
=n(Δx
1
+R
1
)= 0(π+2)(n=1,2,3,…)。
2qB2
0
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)粒子在电场做匀变速直线运动,根据牛顿第二定律与运动学公式解得速度,在磁场中做匀速
圆周运动,洛伦兹力提供向心力可解得粒子第一次在磁场中运动的半径;
(2)粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上距O点的距离最小,根据运动学关系结合几何
关系解得粒子打在x轴负半轴上距O点的最小距离;
(3)通过粒子的运动规律结合几何关系分析解答。
