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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
初三数学 10 月练习
一、选择题
1. 在我国古代的房屋建筑中，窗棂是重要的组成部分，具有高度的艺术价值．下列窗棂的图案中，是中心
对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】把a=1，b=-1，c=3代入 =b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】∵a=1，b=-1，c=3， △
∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，
所以方程没有实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式 =b2-4ac．当 ＞0
时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，△方程没有实数△根．
△ △
3. 如果点 ， 在二次函数 的图象上，那么下列结论正确的是（
）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得抛物线 的对称轴是 ，利用二次函数的性质，点 在对称轴的
左侧， 随着 的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解： 抛物线 的对称轴是 ，
又 ，即抛物线的开口向下，
又 ，
；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上 的点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，掌握二次函数图象
的性质是解题的关键．
4. 将抛物线 向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线 的平移规律：“上加下减，左加右减”可得平移后的解析式，即可得答案．
【详解】解：∵将抛物线 向左平移1个单位，
∴平移后得到的抛物线解析式为 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像的平移及二次函数 的性质，熟练掌握“上加下减，左加右
减”的平移规律是解题关键．
5. 已知二次函数 和一次函数 的图象如图所示，下面有四个推
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断：
①二次函数 有最大值
②当 时，二次函数 的图象 随 的增大而增大
③当 时，二次函数 的值大于0
④过动点 且垂直于 轴的直线与 ， 的图象的交点分别为 ， ，当点 位于点 上方时，
的取值范围是 或 ．其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数 的图象和性质，判断①②③，图象法判断④．
【详解】解：由图可知，抛物线的开口向上，二次函数有最小值，故①错误；
对称轴为直线 ，当 时，二次函数 的图象 随 的增大而增大，故②正确；
当 时，二次函数 的值小于0，故③错误；
抛物线 ，和直线 的图象的交点的横坐标为 ，点 在 轴上，当点 位于点 上方时，即
抛物线在直线的上方，
∴ 的取值范围是 或 ；故④正确；
综上：正确的是②④；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，图象法求自变量的取值范围．熟练掌握二次函数的图象和性质，
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是解题的关键．
6. 某种型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185降到580元，设平均每次降价的百分率为 ，列
出的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出第一次降价后售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价后售价的代数式，然后
根据已知条件即可列出方程．
【详解】解：依题意得：第一次降价后售价为： ，
则第二次降价后的售价为： ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于掌握用一元二次方程解决增长率问题常用的等量关
系 ，其中 为原来的基础， 为变化后的量， 为增长率， 为连续增长的次数．
7. 二次函数 的图象如图所示，下列说法正确的个数有（ ）
① ②
③ ④方程 有两个不相等的实数根．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【答案】B
【解析】
【分析】特殊点判断①；抛物线的开口方向，对称轴，判断②和③；图象法判断④．
【详解】解：由图象可知：抛物线的开口方向向上，
∴ ，
图象与 轴的两个交点坐标为 ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故②错误，故③正确；
当 时， ，故①错误；
如图， 与直线 有两个交点，
∴方程 有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的是③④，共2个；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，
是解题的关键．
8. 如图，正方形 中， ，点 、 同时从 点出发，以 的速度分别沿 、
运动，到点 时停止运动设运动时间为 ， 的面积为 ，则 与
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的函数关系可用图象表示为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分当 时，点F在 上，点E在
上，根据 求出S与t之间的函数关系式；当 时，
点F在 上，点E在 上，此时 ，则 ，据此可得答
案．
【详解】解：当 时，点F在 上，点E在 上，此时 ，
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∴ ，
∴
；
当 时，点F在 上，点E在 上，此时 ，
∴ ，
∴四个选项中只有D选项中的函数图象符合题意，
故选D．
二、填空题
9. 在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，则点 关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数
解答即可．
【详解】解：点 关于原点的对称点的坐标为 ．
故答案为： ．
10. 方程 是一元二次方程，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：一个未知数，含未知数的项的次数为2的整式方程，列出方程进行求
解即可．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ；
故答案为： ．
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【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．
11. 二次函数 的图象经过点 ．其解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】待定系数法求出函数解析式即可．
【详解】解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ；
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式．熟练掌握二次函数图象上的点的特征，是解题的关键．
12. 如图，将 绕着点 顺时针旋转 后得到 ，若 ， ，则
的度数是________．
【答案】 ##80度
【解析】
【分析】本题考查三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质．根据将 绕着点C顺时针方
向旋转 后得到 ，得 ， ，即得
，从而 ．
【详解】解：∵将 绕着点C顺时针方向旋转 后得到 ，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，则 的值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查的是利用抛物线上对称的两点求解对称轴，熟记抛物线的对称轴公式是解本题的关键，
本题利用抛物线的对称轴建立方程求解即可．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∵抛物线 与 轴交于两点，分别是 ， ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2
14. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化
而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6
楼房子的价格为_____元/平方米．
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【答案】2080
【解析】
【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．
【详解】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，
∵x=4是对称轴，
∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．
∴6楼房子的价格为2080元．
故答案为：2080
【点睛】本题考查二次函数顶点坐标、对称轴的应用．
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到
△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：_____．
【答案】向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．
【解析】
【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．
【详解】解： ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到 DEF，
所以，过程为△：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°． △
故答案为向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．
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16. 如图，抛物线 ： 经过平移得到抛物线 ： ，抛物线 的对称轴与两段抛
物线所围成的阴影部分的面积是______ ．
【答案】4
【解析】
【详解】因为 = ，所以阴影部分的面积是边长为2的正方形的面积，即2²=4，
故答案为4.
三、解答题
17. 解方程：
【答案】 ，
【解析】
【分析】首先把一元二次方程化成一般形式，然后找出一元二次方程的a、b、c．然后根据公式法求出方
程的解．
【详解】
整理得： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程的知识点，解答本题的关键是熟练掌握用公式法解方程的方法，
此题难度不大．
18. 已知 是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的根，得到 ，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵ 是方程 的一个根，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的
值，是解题的关键．
19. 用配方法将 化为 的形式并求出其与 轴的交点坐标．
【答案】 ，
【解析】
【分析】配方法将一般式转化为顶点式，令 ，求出 的值，即可得到抛物线与 轴的交点坐标．
【详解】解： ；
当 时， ，解得： ，
∴抛物线与 轴的交点坐标为 ．
【点睛】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，求抛物线与 轴的交点坐标．熟练掌握配方法将一
般式转化为顶点式，是解题的关键．
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20. 方程 的两个根是 、 ，且 ，求 的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，进行求解即可．
【详解】解：∵ 的两个根是 、 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查根与系数的关系，对于一元二次方程 的两个实数根 ，则有
．
21. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， 以点 为旋
转中心，将 逆时针旋转 ，得到 ．
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（1）画出 ；
（2）点 的坐标为________，点 的坐标为________．
【答案】（1）见解析；
（2） 、 ．
【解析】
【分析】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）根据旋转的性质，找到 的顶点A和顶点B的对应点 和 ，再顺次连接 、 、O三点即
可；
（2）由（1）即可直接写出坐标．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作；
【小问2详解】
由（1）图可知 、 ．
22. 如图，在 中， ．将 绕点 逆时针旋转得到 ，在旋转过程中，当
点 落在 的中点处时，求 的度数．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质
得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：将 绕点 逆时针旋转得到 ，
∴ ， ，
∵点 可以恰好落在 的中点处，
∴点 是 的中点，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
23. 已知关于x的一元二次方程m －(m+2)x+2=0有两个不相等的实数根 ， ．
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(1)、求m的取值范围；
(2)、若 ＜0，且 ＞－1，求整数m的值．
【答案】(1)、m≠0且m≠2；(2)、m=－1.
【解析】
【详解】试题分析：(1)、根据一元二次方程的定义首先得出m≠0，根据根的判别式得出m≠2，最后综合得
出m的取值；(2)、首先根据求根公式求出方程的解，然后根据题意进行计算.
试题解析：（1）由已知，得m≠0且△= －4×2m= －4m+4= ＞0
∴m≠0,且m≠2.
(2)、原方程的解为x= ． ∴x=1或x=
∵ ＜0，∴ =1， = ．∴m＜0． ∵ ＞－1，∴ ＞－1．∴m＞－2．
又∵m≠0,且m≠2，∴－2＜m＜0 ∵m是整数， ∴m=－1．
考点：(1)、一元二次方程根的判别式；(2)、不等式的应用.
24. 如图所示，二次函数 的图象与 轴的一个交点为 ，另一个交点为 ，且与
轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）点 的坐标为______；
（3）该二次函数图象上有一点 ，使 ，直接写出点 的坐标．
【答案】（1）
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（2）
（3） 或 或
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值；
（2）令 ，可求出B的坐标；
（3）要求出点C的坐标，因为 ，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要
的高与 的长相等即可．
【小问1详解】
把 代入二次函数 得：
，
；
【小问2详解】
由（1）可知，二次函数的解析式为： ；
当 时， ，
，
∴ 或3，
∴ ．
故答案为： ；
【小问3详解】
当 时， ，
∴ ，
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∵ ，
当 时， ，
∴ 或2，
∴只有 符合题意．
当 时， ，
∴ 或 ，
∴点D的坐标为 或
综上所述，点D的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几
何综合，数形结合是解答本题的关键．
25. 小哲的姑妈经营一家花店.随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮
助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：
（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利________元；
（2）这种植物单株售价与月份 的函数关系式为________.
（3）求请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获
利 单株售价 单株成本）
【答案】（1）
（2）
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（3）5月销售这种多肉植物，单株获利最大
【解析】
【分析】（1）从左图看，3月份售价为5元，从右图看，3月份的成本为4元，则每株获利为 （元），即
可求解；
（2）待定系数法求解析式即可求解；
（3）待定系数法求得抛物线的表达式为： ，根据单株获利 单株售价 单株成本得到新
的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
从左图看， 月份售价为 元，从右图看， 月份的成本为 元，
则每株获利为 （元），
【小问2详解】
设直线的表达式为： ，
把点 、 代入得：
，解得： ，
∴直线的表达式为： ；
故答案为： ．
【小问3详解】
顶点为 ，设抛物线 表的达式为：
将点 代入得，
解得： ，
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∴抛物线解析式为
设利润为 ，则
∵
∴当 时，取得最大值，
∴5月销售这种多肉植物，单株获利最大．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我
们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
26. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线C： 和直线l： ．
（1）抛物线C的顶点D的坐标为_____；
（2）请判断点D是否在直线l上，并说明理由；
（3）记函数 的图象为G，点 ，过点M垂直于y轴的直线与图象G交于点
．当 时，若存在t使得 成立，结合图象，求k的取值范围．
【答案】（1）
（2）点D在直线l上，理由见解析；
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（3）
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，根据顶点式即可写出顶点D的坐标；
（2）将点D的坐标代入直线的解析式进行判断即可；
（3）根据抛物线的作法作出图形，再根据 判断出点P、Q关于直线 对称，根据抛物线
的对称轴为直线 从而可判断出点Q也在抛物线上，然后求出 和 时的临界的交点坐标，再求
出k的值，写出k的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴顶点D的坐标为 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：点D在直线l上，理由如下：
当 时， ，
∴点D在直线l上；
【小问3详解】
解：如图，设点P在点Q的左侧，
由题意得：要使得 成立，即是要求点P与点Q关于直线 对称，
又∵函数 ，
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∴函数 的图象关于直线 对称，
∴当 时，若存在t使得 成立，
即要求点Q在 的图象上，
根据图象，临界位置为射线 ，
过 与 的交点 处，以及射线 过
与 的交点 处，
此时， 以及 ，
故k的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数的顶点式、一次函数图象上点的坐标特征，二次
函数的对称性质等，判断出点P、Q关于直线 是解题的关键，也是本题的难点所在．
27. 小明在学习时遇到这样一个问题：
如果二次函数 （ ， ， ， 是常数）与 （ ， ，
， 是常数）满足 ， ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”．求
函数的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由 函数可知 ， ， ，根据 ， ，
，求出 ， ， ，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
（1）写出函数 的“旋转函数”；
（2）若函数 与 互为“旋转函数”，求 的值；
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（3）已知函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 ， ， 关
于原点的对称点分别是 ， ， ，试证明经过点 ， ， 的二次函数与函数
互为“旋转函数”．
【答案】（1）
（2）1 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 “旋转函数”的定义，可得 ， ， ，可得旋转函数；
（2）根据 “旋转函数”满足 ， ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”，可
得 ， ， ，根据负数偶数次幂是正数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，
纵坐标互为相反数，可得 ， ， ，根据待定系数法，可得函数解析式；根据 “旋转函数”满足
， ， ，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得 ， ， ，可得旋转函
数．
【小问1详解】
由 函数可知 ．
由 ，得
．
函数 的“旋转函数”为 ；
【小问2详解】
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由 与 互为“旋转函数“，得
， ．
解得 ．
当 时， ；
【小问3详解】
∵当 时 ，解得 ，
∴ ．
当 时， ，即 ．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是 ，得 ．
设过点 的二次函数 ，将 代入，得
，
解得 ，
过点 的二次函数 ．
函数可知 ， ， ．
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由 ，得 ．
的“旋转函数”为 ．
∴经过点 的二次函数与函数 互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用 （ ， ， ， 是常数）与
（ ， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则称这两个
函数互为“旋转函数”得出 ， ， 是解题关键．
28. 正方形 中，将边 所在直线绕点 逆时针旋转一个角度 得到直线 ，过点 作
，垂足为 ，连结 ．请根据旋转角 的变化进行下列探究：
（1）当 时，设 交 于点 ，
①如图①，若 ，则 _________；
②如图②，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）当 时（如图③），请直接用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系．
【答案】（1）① ；② ，证明见解析；（2）（2） ．
【解析】
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【分析】（1）①根据条件证明 ABF∽△CEF，即可得出∠BCE的度数；②过点 作 ，交
△
于点 （见详解图），证明 ，根据线段的关系即可得出结论；
（2）过点B作BP⊥BE，交AM于点P，（见详解图），证明 ABP≌△CBE即可得出结论．
△
【详解】（1）①在 和 中，∠ABF=∠CEF，∠AFB=∠CFE，∴ ∽ ，
∴∠BAF=∠FCE=∠ ，
∴ ∠ ，
② ．
证明：过点 作 ，交 于点 ，
∴ ．
∵正方形 ，∴ ， ，∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∴在 和 中， ， ， ，
∴ ，∴ ， ．
∵在 中， ， ，
∴ ，∴ ．
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（2） ．
如图，过点B作BP⊥BE，交AM于点P，
∴∠PBE＝∠PBA＋∠ABE＝90°．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°，
∴∠ABP＝∠CBE．
∵∠D＝90°，
∴∠DAH＋∠AHD＝90°，
∵∠AHD＝∠CHE，
∴∠DAH＋∠CHE＝90°，
∵∠CEA＝90°，
∴∠DCE＋∠CHE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE．
延长DA交BP于N，
∵∠NAP＝∠DAH，∴∠NAP＝∠DCE，
∴∠NAP＋90°＝∠DCE＋90°，
∴∠BAP＝∠BCE
在 ABP和 CBE中，
∠△ABP＝∠C△BE，AB＝BC，∠BAP＝∠BCE，
∴△ABP≌△CBE（ASA），
∴AP＝CE，BP＝BE．
∵在Rt BEP中，BP＝BE，
△
∴PE＝ BE，
∴AE＝PE﹣AP＝ BE﹣CE．
即：AE＋CE＝ BE．
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【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等量代换角等知识点，
准确作出辅助线是解题的关键．
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