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初三数学 12 月月练习
一、选择题（每题3分，共18分）
1. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 不透明的袋子中装有1个红球，3个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是
红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 若关于 的一元二次方程 有一个根为 ，则 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
4. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋
转的角度为（ ）
A. 30° B. 45° C. 90° D. 135°
5. 如图， 是 的直径，C，D两点在 上，如果 ，那么 的度数为（ ）
A. B. C. D.
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6. 如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为 ； ②若点
在这个二次函数图象上，则 ；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为 ； ④当
时， ，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
7. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分
的面积是（ ）
A. ﹣ B. ﹣
C. π﹣ D. π﹣
8. 下面的四个问题中，变量 与变量 之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
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A. 汽车从甲地匀速行驶到乙地，剩余路程 与行驶时间
B. 当电压一定时，通过某用电器的电流 与该用电器的电阻
C. 圆锥的母线长等于底面圆的直径，其侧面积 与底面圆的半径
D. 用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积 与一边长
二、填空题（每题3分，共18分）
的
9. 如图，AB是⊙O 弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________．
10. 某厂家2022年1~5月份的某种产品产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的
平均月增长率为x，根据题意可得方程______．
11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 有两个不相等的实数根，则c的值可以是
____________．
12. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， 分别与 相
切于点C，D，延长 交于点P．若 ， 的半径为 ，则图中 的长为________
．（结果保留 ）
13. 如图，点P是等边三角形 内一点，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，连接
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，若 ，下列结论：① ；② ；③
，其中一定成立的是______（填序号）．
14. 某游乐园的摩天轮（如图1）有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景
图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心 O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登
舱点P进入摩天轮开始计时，到第6分钟时，他乘坐的座舱到达图 2中的点______处（填A，B，C或
D），此点距地面的高度为______ ．
15. 十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为 的平
行线，用一根长度为 的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为 ，可以通过这一试
验来估计 的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取 ，得到试验数据如下表：
1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
试
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验
次
数
相
交
495 623 799 954 1123 1269 1434 1590
频
数
相
交
频
率
可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到 ），由此估计 的近似值为________（精确到
）．
16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面
内有一个矩形 ，中心为O，在矩形外有一点P， ，当矩形绕着点O旋转时，
则点P到矩形的距离d的取值范围为__________．
三、解答题（共10题，17题4分，18-23题每题5分，24-26题每题6分．）
17. 解方程： ．
18. 已知二次函数 ．
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（1）在平面直角坐标系 中，画出该函数的图象；
（2）当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围．
19. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求 的取值范围．
的
20. 下面是小美设计 “过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 上．
求作： 的切线 ．
作法： ①作射线 ；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 于点C和点D；
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③分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线 ．
则直线 即为所求作的 的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接 ， ．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在 上，
∴直线 是 的切线( ) (填写推理依据) ．
21. 在一次试验中，每个电子元件 的状态有通电、断开两种可能，并且这两种状态的可能性相等．
用列表或画树状图的方法，求图中A，B之间电流能够通过的概率．
22. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动
路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 ，实心球从出手到陆的过程中，它
的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系 ．
小明进行了两次掷实心球训练．
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（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4 5 6
x/m
竖直高度
y/m
根据上述数据，
①实心球竖直高度的最大的值是________m；
②求出函数解析式________；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 ，记第
一次训练实心球的着陆点的水平距离为 ，第二次训练实心球的陆点的水平距离为 ，则 ________
（填“ ”，“ ”或“ ”）
23. 如图， 是 的直径， ， 是弦，过点 作 交 于点 ，过点 作 的切
线与 的延长线交于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
的
（2）如果 ， ，求 长．
24. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点 ， ， 在抛物线上，若 ，求m的取值范围．
25. 如图， ，点A在 上，过点A作 的平行线，与 的平分线交于点B，点C在
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上（不与点O，B重合），连接 ，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，连接
．
（1）直接写出线段 与 之间的数量关系，并证明 ；
（2）连接 并延长，分别交 ， 于点E，F．若 ，用等式表示线段 与 之间的数
量关系，并证明．
26. 在平面直角坐标系 中，我们给出如下定义：将图形M绕直线 上某一点P顺时针旋转 ，再
关于直线 对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点 ．
（1）若点P 的坐标是 ，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标________；
的
（2）若点A 关于点P 二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知 的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 上且不与点A重合．
若线段 ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 及其内部，求此时 P点坐标及点B的
纵坐标 的取值范围．
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