文档内容
北京市陈经纶中学分校
2023－2024 学年度第一学期八年级 9 月质量监测
数学试卷
（时间：60分钟 满分100分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 画△ABC的边AC上的高BE，以下画图正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画ABC的高BE，即过B点作AC所在直线的垂线段，垂足为E．
【详解】画 ABC的高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选D． △
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，
连接顶点与垂足之间的线段是解题的关键．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 两个面积相等的图形一定是全等形 B. 两个长方形是全等图形
C. 两个全等图形形状一定相同 D. 两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等图形的概念即可得出答案.
【详解】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；
C、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形，
故答案选C.
【点睛】本题主要考查了全等图形的概念，解本题的要点在于要知道全等图形是完全重合的图形，由此得到答案.
3. 如图， 分别是三条边上的高，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的高可以得出 ，再利用同角的余角相等即
可得出结论．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，则 选项正确，不符合题意；
同上可知： ， ， ，
∴ ，则 正确，不符合题意；
同上可知： ， ， ，
∴ ，则 正确，不符合题意；
要使 ，则需 ，
由题意可知 不一定与 相等，则C错误，符合题意．
故选： ．
【点睛】此题考查了三角形的高和同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握同角的余角相等及其应用．
4. 如 图 ， 在 中 ， 点 分 别 在 边 上 ， 与 相 交 于 点 ， 如 果 已 知，那么补充下列条件后，仍无法判定 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条
件，不能判定 ，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ， ，
、补充条件 时， ，此选项不符合题意；
、补充条件 ，则 ，故选项不符合题意；
、补充条件 时， ，故选项不符合题意；
、补充条件 时，不能判定 ，故选项符合题意；
故选： ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想
解答．
5. 如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°照这样走下去，
他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A. 60 B. 72 C. 48 D. 36【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】根据题意可知，他需要转 次才会回到原点，
所以一共走了 （米）．
故选C．
【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是
360°．
6. 如图， ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（ ）
△
A. 40° B. 30° C. 35° D. 25°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠BAC，
然后根据∠EAC=∠DAE-∠DAC代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-80°-30°=70°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠DAE=∠BAC=70°，
∴∠EAC=∠DAE-∠DAC，
=70°-35°，
=35°．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7. 要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在 的垂线BF上取两点C，D，使 ，再定出
的垂线 ，使A，C，E在一条直线上，如图，可以证明 ，得到 ，因此
测得 的长就是 的长．判定 的理由是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中信息，得出角或边的关系，选择正确证明三角形全等的判定定理即可．
【详解】由题意知： ， ，
∴
在 和 中
，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
的
8. 如图， 中， 是 角平分线，延长 至 ，使得 ，连接
．下列判断： ； ； 平分 ； 的面积 的
面积，一定成立的个数是（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【详解】如图，延长 交 于点 ，过 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ 是 的平分线，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，故 正确；
由题意可知 与 不一定相等，
则 不一定成立；
∵ ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，故 正确；综上 正确；
故选： ．
【点睛】此题考查了三角形的有关线段，解题的关键是熟练掌握三角形的中线，角平分线和高．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则 的大小为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵ 是△ABC的外角，∠B=30°，∠ACB=45°，
∴ =30°+45°=75°．
故答案为：75°．
．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外
角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的和．
10. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求
解即可．
【详解】解：设边数为n，由题意得，180（n－2）=360 3，
解得n=8．
所以这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
11. 如图， 中， ，垂足分别为 交于点 ，请你添加一个适当
的条件：______________，使 ．
【答案】 或 （答案不唯一）
【解析】
【分析】要使 ，现有一对直角相等，根据全等三角形的判定方法进行分析，还需要一边对
应边相等，观察图形即可；
【详解】∵ ， ，垂足分别为D、E，
∴ ，
在 中， ，
又∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴根据“ ”添加 或 ；根据“ ”添加 ．可证 ．
故答案填： 或 或 均可．
故答案是 或 （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．
12. 如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形
与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．
【答案】4
【解析】
【详解】如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点
（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB
为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画
出4个
故答案为：4
【点睛】考点：作图题．
13. 如 图 ， 在 中 ， 是 的 平 分 线 ， 于 ， 且
，则 ____ ．【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线的性质可得 ，根据 ， ，通过线段和差即可求出
长．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
14. 如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为_____．
【答案】12.5
【解析】
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定 ACD≌△AEB，即可得到 ACE是等腰直角三角
△ △
形，四边形ABCD的面积与 ACE的面积相等，根据S = ×5×5=12.5，即可得出结论．
ACE
△
△
的
【详解】如图，过A作AE⊥AC，交CB 延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB（ASA），
∴AC=AE，即 ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD△的面积与 ACE的面积相等，
△
∵S = ×5×5=12.5，
ACE
△
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故答案为12.5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形
解决问题
15. 如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是
________________.
【答案】互补或相等
【解析】
【分析】作出图形，然后利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△DEH全等，根据全等三角形对应角相等可得
∠B=∠DEH，再分∠E是锐角和钝角两种情况讨论求解．
【详解】解：如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AG、DH分别是△ABC和△DEF的高，且
AG=DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中，，
∴Rt△ABG≌Rt△DEH（HL），
∴∠B=∠DEH，
∴若∠E是锐角，则∠B=∠DEF，
若∠E是钝角，则∠B+∠DEF=∠DEH+∠DEF=180°，
故这两个三角形的第三边所对的角的关系是：互补或相等．
16. 教材中有如下一段文字：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出 ．固定住长木棍，转动短木棍，得到
．这个实验说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形____全等（填“一定”或“不
一定”或“一定不”）．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．
请你判断小明的说法____（填“正确”或“不正确”）
【答案】 ①. 不一定 ②. 正确
【解析】
【分析】小明的说法正确，如图， 和 中， ， ， ，
， ，作 于 ， 于 ，首先证明
，推出 ，再证明 ，推出 ，由此即可证
明 ．
【详解】有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，理由：由题意可知：
， ， ，
通过观察图 与 不全等；
小明的说法正确，理由：
如图， 和 中， ， ， ， ， ，
作 于 ， 于 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
(当 和 是锐角三角形时，证明方法类似)
故答案为：正确．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线构造全等
三角形解决问题．
三、解答题（本题共52分，17－20题每题5分，21－23题每题6分，24－25题每题7分）
17. 小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为 和 的木棒．如果要求第三根木棒的长度是整数，
小颖有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
【答案】小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是 ， ， ， ， ， ， ，
， ．
【解析】
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；
再结合整数这一条件进行分析．
【详解】解：设第三根的长是 ．
根据三角形的三边关系，则 ．
因为 是整数，因而第三根的长度是大于 且小于 的所有整数，共有9个数．
答：小颖有9种选法．第三根木棒的长度可以是 ， ， ， ， ， ， ，， ．
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握第三边的长度应是大于两边的差，而小于两边
的和，再利用三角形的三边关系定理解决实际问题．
18. 如图，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度数．
【答案】43°
【解析】
【分析】利用三角形外角性质，得∠1=∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE=90°；由三角形内
角和定理得出∠D的度数．
【详解】∵AC⊥DE，
∴∠APE=90°．
∵∠1是△AEP的外角，
∴∠1=∠A+∠APE．
∵∠A=20°，
∴∠1=20°+90°=110°．
在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，
∵∠B=27°，
∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°．
【点睛】考查三角形外角性质与内角和定理．内容简单，可直接利用所学知识解决．
19. 如图： ， ，求证： ．
证明：∵∴ （ ）
∴
∴ （ ）
在 和 中
（ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
【答案】 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，内错角相等； 公共边； ； 全等三
角形的对应边相等．
【解析】
【分析】利用平行线的性质和全等三角形的性质即可求解．
【详解】∵
∴ （ 两直线平行，内错角相等）
∴
∴ （ 两直线平行，内错角相等）
在 和 中
（ 公共边）
∴ （ ）
∴ （ 全等三角形的对应边相等）【点睛】此题考查了平行线和全等三角形，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和全等三角形的性质及其
应用．
20. 已知：如图，点 ， ， 在同一直线上， ， ， ．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得到内错角相等，即 ，再用 证明 ≌ ，再根
据全等三角形的对应边相等即可证明结论．
【详解】证明： ，
，
在 和 中，
，
≌ ，
．
【点睛】本题考查了平行线 的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
21. 如图所示，在△ABC中：（1）画出BC边上的高AD和中线AE．
（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数．
【答案】（1）图见解析
（2）∠BAD=60°，∠CAD=40°
【解析】
【分析】（1）按要求画出高AD和中线AE即可；
（2）根据三角形高的定义可得∠ADB=90°，利用平角的定义即可求出∠ACD，最后根据三角形的内角和
定理即可分别求出结论．
【小问1详解】
如图，线段AD、AE就是求作的BC边上的高线、中线；
【小问2详解】
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=90°
∵∠ACB=130°，
∴∠ACD=180°-130°=50°
又∵三角形的内角和等于180°
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60°
∠CAD=180°-∠ACD-∠ADB=40°
【点睛】此题考查的是作三角形的高和三角形的内角和定理，掌握三角形高的画法、三角形的内角和定理
和相关定义是解题关键．三角形高的定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，
那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高；平角的定义：等于180°的角叫做平角．
22. 如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF． 求证：AM是△ABC的中线．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据BE∥CF，可得∠CFM=∠BMC，而∠BME和∠CMF是对顶角，再结合BE=CF，利用AAS
易证△CFM≌△BEM，从而有BM=CM，易知AM是BC的中线．
【详解】证明：∵BE∥CF，
∴∠CFM=∠BEM，
在△CFM和△BEM中，
，
∴△CFM≌△BEM（AAS），
∴BM=CM，
∴AM是BC的中线．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明△CFM≌△BEM．
23. 如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一个小石凳，E、F分别在
AB、CD上，且BE=CF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？说出你推断的理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意可以转化为证明,也就需要证明这两个角所在的三角形全等.围绕已知,找全等的条件.
【详解】三个小石凳在一条直线上．证明如下：如图，连接EM，MF，
∵M为BC中点，
∴BM=MC.
又∵AB∥CD，
∴∠EBM=∠FCM.
在 BEM和 CFM中，
BE△=CF，∠E△BM=∠FCM，BM=CM，
∴ BEM≌ CFM(SAS)，
∴△∠BME=∠△CMF，
又∠BMF+∠CMF=180 ，
∴∠BMF+∠BME=180∘，
∴E，M，F在一条直线∘上.
【点睛】本题考查了全等三角形的应用;关键是要把题目的问题转化为证明角相等,进而借助线段BC得到结
论,说明E,M,F在一条直线上.
24. （1）如图 ，在 中， ， 于点 ， 平分 ，你能找出
与 ， 之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图 ，在 ， ， 平分 ， 为 上一点， 于点 ，这时
与 ， 之间又有何数量关系？请你直接写出它们的关系，不需要证明．【答案】（1）能， ，见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质及三角形内角和180°性质解题；
（2）根据平行线的判断与两直线平行，同位角相等性质解题．
【详解】解：（1） 平分 ，
即 ；
（2）过A作 于D【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，是重要考点，难度较易，
作出正确辅助线，掌握相关知识是解题关键．
25. 在 中， ， ，点 在 的延长线上， 是 的中点， 是射线 上
一动点，且 ，连接 ，作 ， 交 延长线于点 ．
（1）如图1，当点 在 上时，填空： （填“ ”、“ ”或“ ”）．
（2）如图2，当点 在 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 与 的数量关系，并证明
你的结论．
【答案】（1） ；
（2） ，理由见解析．
【解析】
【分析】 （1）连接 ，先证 ，得 ， ，再证
，得 ，即可得出结论；
（ 2 ） 连 接 ， 先 证 和 ， 得 ， ， 再 证
，得 ，即可得出结论．
【小问1详解】解：（1） ，理由如下：
连接 ，如图1所示：
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
根据题意将图形补全，如图2所示：
与 的数量关系： ，证明如下：
连接 ，
，点 在 的延长线上，
，在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，
．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的
关键，属于中考常考题型．
