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第 3 讲 力的合成与分解
目标要求 1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力.2.能利用效果分解法和正交分解
法计算分力.3.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别．
考点一 共点力的合成
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个
力的合力，那几个力叫作这个力的分力．
(2)关系：合力与分力是等效替代关系．
2．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程．
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边
作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向．如图甲所示，F、F 为
1 2
分力，F为合力．
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的
有向线段为合矢量．如图乙，F、F 为分力，F为合力．
1 2
1．合力和分力可以同时作用在一个物体上．( × )
2．两个力的合力一定比其分力大．( × )
3．当一个分力增大时，合力一定增大．( × )
1．求合力的方法
(1)作图法：作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，
再结合标度算出合力大小．(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定
理等求出合力．
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围：|F－F|≤F≤F＋F.
1 2 1 2
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②合力的大小不变时，两分力随夹角的增大而增大．
③当两个力反向时，合力最小，为|F－F|；当两个力同向时，合力最大，为F＋F.
1 2 1 2
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为F ＝F＋F＋F.
max 1 2 3
②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，
即F ＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，
min
即F ＝F－(F＋F)(F 为三个力中最大的力)．
min 1 2 3 1
考向1 合力大小的范围
例1 (多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为 5 N，现将水平面内三
个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N．下列关于物体的受力
情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～
7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误．
考向2 作图法求合力
例2 一物体受到三个共面共点力F 、F 、F 的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边
1 2 3
长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F＋F＋F，方向不确定
1 2 3
B．三力的合力有唯一值3F，方向与F 同向
3 3
C．三力的合力有唯一值2F，方向与F 同向
3 3D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F 和F 为邻边作平行四边形，其合力与F 共线，大小F ＝2F ，如图所示，
1 2 3 12 3
F 再与第三个力F 合成求合力F ，可得F ＝3F，故选B.
12 3 合 合 3
考向3 解析法求合力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．如图甲所示，
射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为 100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力
如图乙中F 和F 所示，对箭产生的作用力如图中 F所示，则弓弦的夹角α应为(cos 53°＝
1 2
0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，由于F ＝F ，由几何关系得2Fcos ＝F，有cos ＝＝＝
1 2 1
0.6，所以＝53°，即α＝106°，故D正确．
考点二 力的分解的两种常用方法
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则．
2．分解方法(1)按力产生的效果分解；
(2)正交分解
如图，将结点O的受力进行分解．
1．合力与它的分力的作用对象为同一个物体．( √ )
2．在进行力的合成与分解时，都能应用平行四边形定则或三角形定则．( √ )
3．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力．( × )
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在
坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
x x1 x2 x3
y轴上的合力F＝F ＋F ＋F ＋…
y y1 y2 y3
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.考向1 按照力的效果分解力
例4 (多选)(2018·天津卷·7)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议
欲正之，非万缗不可．一游僧见之曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一
侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为 θ，
现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力F ，则( )
N
A．若F一定，θ大时F 大 B．若F一定，θ小时F 大
N N
C．若θ一定，F大时F 大 D．若θ一定，F小时F 大
N N
答案 BC
解析 根据力F的作用效果将F分解为垂直于木楔两侧的力F ，如图所示
N
则＝sin
故F ＝，
N
所以当F一定时，θ越小，F 越大；当θ一定时，F越大，F 越大，故选项B、C正确，
N N
A、D错误．
考向2 力的正交分解法
例5 科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，
又有利于公众健康．如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、
弧线BCD和直线DE组成的．假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好
口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角
为53°，弹性绳涉及到的受力均在同一平面内，不计摩擦，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.
求耳朵受到口罩带的作用力．
答案 见解析
解析 耳朵分别受到AB、ED段口罩带的拉力F 、F ，且F ＝F ＝kx
AB ED AB ED
将两力正交分解如图所示，F ＝F ·cos 37°
ABx ABF ＝F ·sin 37°
ABy AB
F ＝F ·cos 53°
EDx ED
F ＝F ·sin 53°
EDy ED
水平方向合力F＝F ＋F
x ABx EDx
竖直方向合力F＝F ＋F
y ABy EDy
解得F＝kx，F＝kx
x y
耳朵受到口罩带的作用力F ，
合
F ＝＝kx，方向与x轴负方向成45°角．
合
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不
改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力不一定
相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，
否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方
向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所
示．
考向1 细绳上“死结”与“活结”模型
例6 (2022·辽宁葫芦岛市模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，跨过与A等高的光滑
定滑轮B后在另一端悬挂一个沙桶Q.现有另一个沙桶P通过光滑轻质挂钩挂在AB之间，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是( )
A．若只增加Q桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
B．若只增加P桶内的沙子，再次平衡后C点位置不变
C．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C点位置不变
D．若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q位置上升
答案 C
解析 对沙桶Q受力分析有F ＝G ，设两绳的夹角为θ，对C点受力分析可知，C点受三
T Q
力而平衡，而C点为活结绳上的点，两侧绳的张力相等，有2F cos ＝G ，联立可得2G cos
T P Q
＝G ，故只增大Q的重力，夹角θ变大，C点上升；只增大P的重力时，夹角θ变小，C点
P
下降，故A、B错误；当θ＝120°时，G ＝G ，故两沙桶增加相同的质量，P和Q的重力仍
P Q
相等，C点的位置不变，故C正确，D错误．
例7 如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一
个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则( )
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知：F >F，又因为
B A
两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．
考向2 “动杆”与“定杆”模型
例8 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为
m 的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过
1
细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m 的物体，
2重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为mg
2
C．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 之比为1∶1
AC EG
D．细绳AC段的拉力F 与细绳EG段的拉力F 之比为m∶2m
AC EG 1 2
答案 D
解析 题图甲中，是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力都是
mg，互成120°角，则合力的大小是mg，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑
1 1
轮的作用力大小也是mg，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG
1
杆受到绳的作用力为mg，B选项错误；题图乙中F sin 30°＝mg，得F ＝2mg，则＝，C
2 EG 2 EG 2
选项错误，D选项正确．
课时精练
1．三个共点力大小分别是F、F、F，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
1 2 3
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F＋F＋F
1 2 3
B．F至少比F、F、F 中的某一个力大
1 2 3
C．若F∶F∶F＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
D．若F∶F∶F＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
1 2 3
答案 C
解析 三个大小分别是F、F、F 的共点力合成后的最大值一定等于F＋F＋F，但最小值
1 2 3 1 2 3
不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可
能为零，合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，合力能够为零的条件是三个力的矢
量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第三个力，选项 A、B、D错误，
C正确．
2．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格
边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )A．甲图中物体所受的合外力大小等于4 N
B．乙图中物体所受的合外力大小等于2 N
C．丙图中物体所受的合外力大小等于0
D．丁图中物体所受的合外力大小等于0
答案 D
3.(2019·天津卷·2)2018年10月23日，港珠澳跨海大桥正式开通．为保持以往船行习惯，在
航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥，其索塔与钢索如图所示．下列
说法正确的是( )
A．增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力
B．为了减小钢索承受的拉力，可以适当降低索塔的高度
C．索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时，钢索对索塔的合力竖直向下
D．为了使索塔受到钢索的合力竖直向下，索塔两侧的钢索必须对称分布
答案 C
解析 增加钢索的数量不能减小索塔受到的向下的压力，A错误；当索塔受到的力F一定时，
降低索塔的高度，钢索与水平方向的夹角α减小，则钢索受到的拉力将增大，B错误；如果
索塔两侧的钢索对称且拉力大小相同，则两侧拉力在水平方向的合力为零，钢索的合力一定
竖直向下，C正确；索塔受到钢索的拉力合力竖直向下，当两侧钢索的拉力大小不等时，由
图可知，两侧的钢索不一定对称，D错误．
4.(多选)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而
将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹
角为120°，则下列判断正确的是( )A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
答案 BD
解析 设两臂受到的压力大小均为F ，汽车对千斤顶的压力大小为F，两臂间夹角为θ，则
1
有F＝2Fcos ，由此可知，当F＝1.0×105 N，θ＝120°时，F ＝1.0×105 N，A错误；由牛
1 1
顿第三定律知，B正确；若继续摇动把手，F不变，θ减小，则F 将减小，C错误，D正确．
1
5.(2022·天津市南开区高三模拟)如图为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图，结构
对称．当向上拉动手刹拉杆时，手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧，拉索OD、OC分别作用于两
边轮子的制动器，从而实现驻车的目的．则以下说法正确的是( )
A．当OD、OC两拉索夹角为60°时，三根拉索的拉力大小相等
B．拉动手刹拉杆时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C．若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越大
D．若保持OD、OC两拉索拉力不变，OD、OC两拉索越短，拉动拉索AO越省力
答案 D
解析 当OD、OC两拉索夹角为120°时，三根拉索的拉力大小才相等，选项A错误；拉动
手刹拉杆时，当OD、OC两拉索夹角大于120°时，拉索AO上拉力比拉索OD和OC中任何
一个拉力小，选项B错误；根据平行四边形定则可知，若在AO上施加一恒力，OD、OC两
拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越小，选项C错误；若保持OD、OC两拉索拉力不变，
OD、OC两拉索越短，则两力夹角越大，合力越小，即拉动拉索AO越省力，选项D正确．
6.如图所示，总重为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向
的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
A. B. C.Gcos θ D.Gsin θ答案 A
解析 对吊灯，由平衡条件可知：3F cos θ＝G，解得F ＝，故选A.
T T
7.如图所示，静止在水平地面上的木块受到两个拉力F、F 的作用．开始时，两拉力沿同一
1 2
水平线，方向相反，且F ＞F ；现保持F 不变，让F 的大小不变、F 的方向在竖直面内缓
1 2 1 2 2
慢顺时针转过180°，在此过程中木块始终静止．下列说法正确的是( )
A．木块受到所有外力的合力逐渐变大
B．木块对地面的压力可能为零
C．木块受到的摩擦力先变小后变大
D．木块受到的摩擦力逐渐变大
答案 D
解析 由于木块始终处于平衡状态，受到所有外力的合力始终为零，故 A错误；水平方向，
木块受F 、F 和摩擦力而平衡，根据摩擦力产生的条件可知，木块在整个过程中必定一直
1 2
受到地面的支持力，由牛顿第三定律可知，木块对地面的压力不可能为零，故 B错误；F
1
不变、F 大小不变，在F 的方向缓慢顺时针转过180°的过程中，两力的夹角从180°逐渐减
2 2
小到零，F 和F 的水平分力的合力逐渐增大，木块受到的摩擦力逐渐变大，故 C错误，D
1 2
正确．
8.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端
各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰
好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
A. B.m C．m D．2m
答案 C
解析 如图所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角
形，同一条细线上的拉力相等，F ＝mg，合力沿Oc方向，则Oc为角平分线，由几何关系
T
知，∠acb＝120°，故线的拉力的合力与物块的重力大小相等，即每条细线上的拉力F ＝G＝
T
mg，所以小物块质量为m，故C对．
9.(多选)如图所示，在“共点力合成”的实验中，橡皮条一端固定于P点，另一端连接两个弹簧测力计，分别用力F 和F 拉两个弹簧测力计，将结点拉至O点．现让F 大小不变，方
1 2 1
向在纸面内沿顺时针方向转动某一角度，且F 始终处于PO左侧，要使结点仍位于O点，
1
则关于F 的大小和图中的θ角，下列说法中正确的是( )
2
A．增大F 的同时增大θ角
2
B．增大F 的同时减小θ角
2
C．增大F 而保持θ角不变
2
D．减小F 的同时增大θ角
2
答案 ABC
解析 对O点受力分析，受到两个弹簧测力计的拉力和橡皮条的拉力，由于O点位置不变，
因此橡皮条长度不变，其拉力大小、方向不变，F 的大小不变，根据力的平行四边形定则
1
作出F 的可能情况：如图甲所示，可以增大F 的同时增大θ角，故A正确；如图乙所示，
2 2
可以增大F 的同时减小θ角，故B正确；如图丙所示，可以增大F 而保持θ角不变，故C
2 2
正确；根据平行四边形定则可知，减小F 的同时增大θ角是不能组成平行四边形的，故D
2
错误．
10．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因
数为μ，先用平行于斜面的推力F 作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力
1
F 作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
2
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
答案 B
解析 物体在力F 作用下和力F 作用下匀速运动时的受力如图所示．
1 2将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：
F ＝mgsin θ＋F ，F ＝mgcos θ，F ＝μF ；Fcos θ＝mgsin θ＋F ，F ＝mgcos θ＋Fsin
1 f1 N1 f1 N1 2 f2 N2 2
θ，F ＝μF ，解得：F＝mgsin θ＋μmgcos θ，F＝，故＝cos θ－μsin θ，B正确．
f2 N2 1 2
11．一重为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角
相同，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉
力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证圆柱体对
V形槽两侧面的压力大小相等，发现圆柱体能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大
小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体工件的滑
动摩擦力
由题给条件知F＝F，将工件的重力进行分解，如图所示，
f
由平衡条件可得G＝F＝F，
1 2
由F＝μF＋μF 得F＝0.5G.
f 1 2
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F′＝F′＝Gcos 37°＝0.8G，
1 2
此时工件所受槽的摩擦力大小F′＝2μF′＝0.4G.
f 1
