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第 88 讲 电磁感应中的双杆模型
（多选）1．（2022•湖南）如图，间距L＝1m的U形金属导轨，一端接有0.1 的定值电阻R，固
定在高h＝0.8m的绝缘水平桌面上。质量均为0.1kg的匀质导体棒a和b静止Ω在导轨上，两导体
棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为0.1 ，与导轨间的动摩擦因数均为
0.1（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒a距离导轨最右Ω端1.74m。整个空间存在竖直向
下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为0.1T。用F＝0.5N沿导轨水平向右的恒力拉
导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去F，导体棒a离开导轨后
落到水平地面上。重力加速度取10m/s2，不计空气阻力，不计其他电阻，下列说法正确的是（
）
A．导体棒a离开导轨至落地过程中，水平位移为0.6m
B．导体棒a离开导轨至落地前，其感应电动势不变
C．导体棒a在导轨上运动的过程中，导体棒b有向右运动的趋势
D．导体棒a在导轨上运动的过程中，通过电阻R的电荷量为0.58C
2．（2022•辽宁）如图所示，两平行光滑长直金属导轨水平放置，间距为 L。abcd区域有匀强磁场，
磁感应强度大小为B，方向竖直向上。初始时刻，磁场外的细金属杆M以初速度v 向右运动，
0
磁场内的细金属杆N处于静止状态。两金属杆与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直。
两杆的质量均为m，在导轨间的电阻均为R，感应电流产生的磁场及导轨的电阻忽略不计。
（1）求M刚进入磁场时受到的安培力F的大小和方向；
v
（2）若两杆在磁场内未相撞且N出磁场时的速度为 0，求：
3
①N在磁场内运动过程中通过回路的电荷量q；
②初始时刻N到ab的最小距离x；
（3）初始时刻，若N到cd的距离与第（2）问初始时刻的相同、到ab的距离为kx（k＞1），
求M出磁场后不与N相撞条件下k的取值范围。一.知识回顾
双杆模型
1.模型特点
(1)一杆切割时，分析同单杆类似。
(2)两杆同时切割时，回路中的感应电动势由两杆共同决定，E＝＝Bl(v－v)。
1 2
2．电磁感应中的“双杆”问题分析
(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用
光滑的平行导轨 光滑不等距导轨
示意图
质量m 1 ＝m 2 质量m 1 ＝m 2不
电阻r 1 ＝r 2 电阻r 1 ＝r 2
长度l 1 ＝l 2 长度l 1 ＝2l 2
运动分析
杆MN做变减速运动，杆PQ做变
加速运动，稳定时，两杆的加速 稳定时，两杆的加速度均为零，
度均为零，以相等的速度匀速运 两杆的速度之比为1∶2
动
能量分析 一部分动能转化为内能，Q＝－ΔE
k
(2)初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用
光滑的平行导轨 不光滑平行导轨
示意图
质量m＝m 摩擦力F＝F
1 2 f1 f2质量m＝m
1 2
电阻r＝r
1 2
电阻r＝r
1 2
长度l＝l
1 2
长度l＝l
1 2
开始时，若F≤2F，则PQ杆先变
f
运动分析 加速后匀速运动；MN杆静止。若
开始时，两杆做变加速运动；稳 F>2F f ，PQ杆先变加速后匀加速
定时，两杆以相同的加速度做匀 运动，MN杆先静止后变加速最后
加速运动 和PQ杆同时做匀加速运动，且加
速度相同
外力做功转化为动能和内能(包
外力做功转化为动能和内能，W
F
能量分析 括电热和摩擦热)，W＝ΔE＋Q
F k 电
＝ΔE＋Q
k
＋Q
f
二.例题精析
题型一： 系统动量守恒的最终同速的双杆
例1．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相
同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v 向右滑动。运动过程中，ab、
0
cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v 、v 表示，回路中的电流用I表示。下列图象
1 2
中可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：系统动量不守恒的同向运动的双杆
（多选）例2．如图，U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，ab和dc边平行，和bc边垂直。
ab、dc足够长，整个金属框电阻可忽略，一根具有一定电阻的导体棒 MN置于金属框上，用水
平恒力F向右拉动金属框，运动过程中，装置始终处于竖直向下的匀强磁场中，MN与金属框保
持良好接触，且与bc边保持平行，经过一段时间后（ ）A．金属框和导体棒速度相等
B．金属框和导体棒加速度相等
C．导体棒所受安培力不变
D．金属框的加速度不变
题型三：系统动量不守恒的反向运动的双杆
（多选）例3．如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角 ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，
间距L＝0.4m。导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界θ与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀
强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B
＝0.5T。在区域Ⅰ中，将质量m ＝0.1kg、电阻R ＝0.1 的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下
1 1
滑。然后，在区域Ⅱ中将质量m ＝0.4kg、电阻R ＝0.1Ω 的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止
2 2
开始下滑。cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，Ωab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保
持良好接触，g取10m/s2。则（ ）
A．cd下滑的过程中，ab中的电流由a流向b
B．ab刚要向上滑动时，cd的速度v＝5m/s
C．若从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离s＝3.8m，则此过程中ab 上产
生的热量Q＝1.3J
D．若从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离s＝3.8m，则此过程中通过ab
的电荷量q＝1.9C
题型四：无相对运动的双杆（巧用动量定理求解）
例4．（2018•天津）真空管道超高速列车的动力系统是一种将电能直接转换成平动动能的装置。图1是某种动力系统的简化模型，图中粗实线表示固定在水平面上间距为 l的两条平行光滑金属导
轨，电阻忽略不计。ab和cd是两根与导轨垂直、长度均为l、电阻均为R的金属棒，通过绝缘
材料固定在列车底部，并与导轨良好接触，其间距也为 l，列车的总质量为m。列车启动前，
ab、cd处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，如图 1所示。为使
列车启动，需在M、N间连接电动势为E的直流电源，电源内阻及导线电阻忽略不计。列车启
动后电源自动关闭。
（1）要使列车向右运行，启动时图1中M、N哪个接电源正极，并简要说明理由；
（2）求刚接通电源时列车加速度a的大小；
（3）列车减速时，需在前方设置如图2所示的一系列磁感应强度为B的匀强磁场区域，磁场宽
度和相邻磁场间距均大于l。若某时刻列车的速度为v ，此时ab、cd均在无磁场区域，试讨论：
0
要使列车停下来，前方至少需要多少块这样的有界磁场？
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，相距为L的两条足够长的平行金属导轨右端连接有一定值电阻 R，整个装
置被固定在水平地面上，整个空间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，两根质量均为m，电阻都为R，与导轨间的动摩擦因数都为 的相同金属棒MN、EF垂直
放在导轨上。现在给金属棒MN施加一水平向左的作用力F，使金μ 属棒MN从静止开始以加速
度a做匀加速直线运动，若重力加速度为g，导轨电阻不计，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等．
则下列说法正确的是（ ）3μmgR
A．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为t=
B2L2α
B．若从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动经历的时间为T，则金属棒EF开始运动时，
水平拉力F的瞬时功率为P＝（ma+ mg）aT
C．若从金属棒MN开始运动到金μ属棒EF开始运动经历的时间为T，则此过程中流过电阻R的
BaT2
电荷量为 L
3R
D．从金属棒MN开始运动到金属棒EF开始运动的过程中，两金属棒的发热量相等
2. （多选）如图，“ ”型金属导轨固定放置于竖直向上的匀强磁场中。其中ab、de导
轨水平放置，ef、bc导轨竖直⅂ 放置，到过在转角处连接良好。AA'和BB'是电阻为r＝0.5 的两
根均质金属导体棒。已知水平和竖直导轨的宽度均为L＝1m，磁感应强度B＝2T，两根导Ω体棒
与导轨间的动摩擦因数为 ＝0.2，AA'导体棒质量为 m ＝2kg，BB'导体棒的质量为 m ＝
A B
0.2kg。初始时，两导体棒位μ于图示位置，且突然给AA'杆一水平向左的初速度v ＝5m/s，并同
0
时释放BB'杆，假如导轨无电阻且足够长，金属杆在运动中过程始终与导轨接触良好，g取
10m/s2，则（ ）
A．AA'杆初始时的加速度大小为10m/s2B．BB'杆最终的加速度为10m/s2
C．若从开始至AA'杆静止，杆AA'产生的焦耳热为10.5J，则AA'的位移为1m
D．BB'杆开始运动时，AA'杆的速度为1m/s
3. （多选）如图所示，两根平行且光滑的金属导轨由圆弧部分和水平部分组成，圆弧部
分由两段间距为2l、竖直放置的四分之一圆弧导轨构成，水平部分由足够长、但不等宽的水平
导轨构成，水平导轨的宽、窄部分间距分别为2l、l，虚线MN右侧导轨区域处于竖直向上的
匀强磁场中，宽、窄两部分区域内的磁感应强度大小分别为 B、2B。金属棒ab与cd的质量均
为m、电阻均为R，长度分别为l、2l，金属棒ab静止在窄导轨上。现将金属棒cd从圆弧轨道
上距水平导轨h高度处由静止释放，在此后的运动过程中，cd始终在宽导轨上运动，ab始终在
窄导轨上运动，两金属棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好。导轨各部分之间均平滑连接，导
轨电阻不计，重力加速度为g，则（ ）
A．金属棒cd刚进入磁场时的速度大小为√gh
Bl
B．通过金属棒ab的最大电流为 √2gh
R
1
C．整个过程中金属棒cd上产生的焦耳热为 mgh
4
m
D．整个过程中通过金属棒cd的电荷量为 √2gh
4Bl
4. （多选）如图，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间
的距离为l。导轨上面横放着两根导体棒1和2，构成矩形回路。两根导体棒的质量皆为m，电
阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感
应强度为B。初始棒2静止，棒1有指向棒2的初速度v 。若两导体棒在运动中始终不接触，
0
则（ ）A．棒1的最小速度为零
B．棒2的最大加速度为B2L2v
0
2mR
C．棒1两端电压的最大值为BLv
0
1
D．棒2产生的最大热量为 mv2
8 0
5. （多选）如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行
金属导轨相同的光滑金属棒P、Q静止在导轨上。t＝0时用水平恒力F向右拉动金属棒Q运动
过程中金属棒PQ始终与导轨垂直并接触良好金属棒P、Q与导轨构成的回路中的电流用I表示、
磁通量用 中表示：金属棒Q的加速度用a表示，其相对金属棒P的速度用v 表示。下列关
QP
于I、 、Φa、v 与时间t的关系图像中错误的是（ ）
QP
Φ
A． B． C． D．
6. （多选）如图所示，足够长的光滑平行金属直导轨固定在水平面上，左侧轨道间距为
2d，右侧轨道间距为d．轨道处于竖直向下的磁感应强度大小为 B的匀强磁场中．质量为
2m、有效电阻为2R的金属棒a静止在左侧轨道上，质量为m、有效电阻为R的金属棒b静止
在右侧轨道上．现给金属棒a一水平向右的初速度v ，经过一段时间两金属棒达到稳定状态．
0
已知两金属棒运动过程中始终相互平行且与导轨良好接触，导轨电阻忽略不计，金属棒 a始终在左侧轨道上运动，则下列说法正确的是（ ）
3v
A．金属棒b稳定时的速度大小为 0
5
2mv
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为 0
3Bd
C．整个运动过程中两金属棒扫过的面积差为2mRv
0
B2d
2
D．整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热为 mv2
9 0
7. （多选）如图，两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂
直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上
静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为
m、阻值为2R.若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度 v ，不计运动过程中PQ和
0
MN的相互作用力，则（ ）
A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等
2
B．t＝0时刻，PQ两端的电压为 BLv
0
3
1
C．PQ匀速运动时的速度大小为 v
0
3
2
D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 mv 2
9 0
8. 如图所示，平行光滑的金属导轨由倾斜部分和水平部分组成，倾斜导轨与水平导轨由
两小段光滑绝缘圆弧（长度可忽略）相连，倾斜部分由倾角为 、间距为l的导轨ab、fg构成，
水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨构成，bc、gθh段间距为l，de、ij段间距为2l，导轨的a、f之间接有阻值为R的定值电阻。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，
磁感应强度大小为2B，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B（磁场方
向均未画出）。导体棒Ⅱ静止于de、ij段，导体棒Ⅰ从倾斜导轨上与bg相距为L处由静止释
放，到达bg前速度已达到最大。导体棒Ⅰ、Ⅱ的质量均为m，电阻均为R，两导体棒运动过
程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，导轨电阻和空气阻力均可忽略不计。求：
（1）导体棒Ⅰ到达bg时的速度大小；
（2）导体棒Ⅰ在水平导轨上运动的过程中，导体棒Ⅰ、Ⅱ达到稳定前，两导体棒和导轨围成的
回路面积的改变量大小；
（3）整个运动过程中，导体棒Ⅰ上产生的焦耳热。
