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专题11 函数的奇偶性、对称性和周期性综合
专项突破一 奇偶性与周期性
1．已知函数 为R上的偶函数，若对于 时，都有 ，且当 时，
，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【解析】∵ 为 上的偶函数，∴ ，
又当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ .故选：A.
2．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，当 时， ，则
（ ）
A．-2 B． C．2 D．6
【解析】因为 为 上的奇函数，所以 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 是以12为周期的周期函数，所以 .故选：B.
3．已知定义域为R的奇函数 满足 ，且当 时 ，则
（ ）A．2 B．1 C． D．
【解析】奇函数 满足 ，
所以 ， 以4为周期的奇函数.
.故选：A
4．已知 是定义在R上的奇函数， ，且 ，则
（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解析】 ，∴ ，所以函数 的周期为 ，
则 ，∴ ，
，
， ，故选：B.
5．若函数 满足 ，且当 时， ，则函数 与函数 的图像
的交点个数为（ ）.
A．18个 B．16个 C．14个 D．10个
【解析】因 ，于是得函数 是以2为周期的周期函数，又当 时， ，
则有函数 与函数 都是偶函数，
在同一坐标系内作出函数 与函数 的图像，如图，
观察图象得，函数 与函数 的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在时有9个交点，所以函数 与函数 的图像的交点个数为18.故选：A
6．定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上单调递减，若方程 在 上有实
数根，则方程 在区间 上所有实根之和是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 知函数 的图象关于直线 对称，
由 是 上的奇函数知 ，
在 中，以 代 得： 即 ，
所以 ，即 ，
所以 是以4为周期的周期函数．考虑 的一个周期，例如 ， ，
由 在 ， 上是减函数知 在 ， 上是增函数，
在 ， 上是减函数， 在 ， 上是增函数．
对于奇函数 有 ， （2） ，
故当 时， ，当 时， （2） ，
当 时， ，当 时， （2） ，
方程 在 ， 上有实数根，则这实数根是唯一的，因为 在 上是单调函数，
由于 为奇函数，故 在 上有唯一实根，在 上无实数根.
则由于 ，故方程 在 上有唯一实数．
在 上 ，则方程 在 上没有实数根．
从而方程 在一个周期内有且仅有两个实数根．
当 ， ，方程 的两实数根之和为 ，
当 ， ，方程 的所有四个实数根之和为 ．
故选：C
7．已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有 ，当 时，.若直线 与函数 的图象在区间 上恰有3个不同的公共点，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，都有 ，
所以 ，且 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以函数 的周期 .因为当 时， ，且 是偶函数，
所以可画出函数 在一个周期 上的图象如图所示.
显然 时， 与 在区间 上恰有两个不同的公共点.
当直线 与抛物线 相切时，也恰有两个不同的公共点.
由题意知 ，即 .故 ，即 .
综上可知实数a的取值范围是 ，故选：D.
8．已知定义在R上的函数 的图像关于y轴对称，且 ，将函数 的图像向右平移一个单位
长度后关于原点对称，则 ______，其中 ； ______
【解析】依题意，知 ， 为奇函数，则 ，
又 ，故 ， ，，则最小正周期 ．因为 ，
所以 ， ，故 ，
．故答案为: ；
9．奇函数 的定义域为R，若 为偶函数，且 ，则 ______．
【解析】由函数 为偶函数可得， ，
又 ，故 ，所以 ，即
所以 ，故该函数是周期为8的周期函数．
又函数 为奇函数，故 ， ．
所以 ．
10．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则
__________.
【解析】: 是 上的奇函数， ，
又 ， ，
，所以 是周期函数，且周期为4，
.
11．已知 是偶函数，周期是8，当 时， ，则 ____．
【解析】因为当 时， ，所以 ，又因为 是偶函数，周期是8，所以 ，
12．已知 为R上的奇函数，且 ，当 时， ，则 的值为
______．
【解析】由题设， ，故 ，即 的周期为2，
所以 ，且 ，
所以 .
13．若偶函数 对任意 都有 ，且当 时， ，则
______．
【解析】因为 ，所以 ，
所以 周期为6，且为偶函数，当 时， ，
，
，所以 ，根据函数为偶函数 ，
所以 ，即 .
14．已知定义在R上的函数 满足：
①对任意实数 ， ，均有 ；
② ；
③对任意 ， ．
(1)求 的值，并判断 的奇偶性；
(2)对任意的x∈R，证明： ；(3)直接写出 的所有零点(不需要证明)．
【解析】(1)∵对任意实数 ， ，均有 ，
∴令 ，则 ，可得 ，
∵对任意 , ， ，∴f(0)＞0，∴ ；
令 ，则 ；
∴ ；∵f(x)定义域为R关于原点对称，且令 时，
，
∴ 是R上的偶函数；
(2)令 ，则 ，
则 ，
∴ ，即 ；
(3) (1) ，且 是以4为周期的周期的偶函数，由偶函数的性质可得 ，从而可得f(－1)＝ (1)
＝f(3)＝f(5)＝…＝0，故f(x)的零点为奇数，即f(x)所有零点为 ， .
专项突破二 奇偶性与对称性
1．奇函数 的图象关于直线 对称， ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．3
【解析】依题意， 是奇函数且关于 对称.
所以 ， .故选：C
2．已知定义域 的奇函数 的图像关于直线 对称，且当 时， ，则
（ ）A． B． C． D．
【解析】∵函数 的图像关于直线 对称，∴ ，∴ ，
∵奇函数 满足，当 时， ，
∴ ，故选：D．
3．已知 是R上的偶函数，若 的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，则
的值为 （ ）
A．1 B．0
C．-1 D．
【解析】由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，
由奇函数的定义得f（x-1）+f（x+1）=0，再由f（1）=f（-1）=0，f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0．
解答：解：由题意知，f（x）是R上的偶函数，f（x-1）是一个奇函数，
∴f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1），∴f（x-1）+f（x+1）=0，
∴f（9）+f（7）=0，f（5）+f（3）=0，由f（x-1）是奇函数 得，f（0-1）=0，即f（-1）=0，
又f（x）是R上的偶函数，∴f（1）=f（-1）=0，∴f（1）+f（3）+…+f（9）=f（1）=0，故选 B．
4．若定义在 上的偶函数 的图象关于点 对称，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 为偶函数，则 ，故A正确；
因为 的图象关于点 对称，对于 的图象上的点 关于 的对称点 也在函数
图象上，即 ，用 替换 得到， ，即，故B正确；
令 ，则 ，令 ，则 ，则 ，故C正确；
由B知， ，故D错误；故选：D.
5．已知函数 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意知函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又因为图象关于直线 对称， 关于 对称，
所以 .
的函数值无法确定.故选：A
6．已知定义域为 的奇函数 满足： ，且当 时， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可知， ，所以， 时， ，又 ，
于是 ，即 时， .
根据条件， ，所以 .故选：C.
7．已知函数 的图像关于直线 对称，且在 上单调递减，若 ， ，
，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，且在 上单调递减，
将函数 向左平移一个单位即可得到函数 的图象，
所以函数 的图像关于 轴对称，且在 上单调递减，
， ， ，因此 ，且
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .故选：B.
8．我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.则函数 图象的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 为 图象的对称中心，
则有 为奇函数，
设 ，则 为奇函数；
，又 ，
可得 ，所以 ，解得 ；
所以函数 图象的对称中心的坐标为 .故选：A.
9．函数 （ 是自然对数的底数）的图象关于（ ）A．点 对称 B．点 对称
C．直线 对称 D．直线 对称
【解析】函数
对于A， ，即图象不关于点 对称，故A错误；
对于B， ，即图象不关于点 对称，故B错误；
对于C， ，即图象关于直线 对称，故C正确；
对于D， ，即图象不关于直线 对称，故D错误；
故选：C
10．已知函数 是偶函数，则 图像的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A，因为 为偶函数，所以 ，
即 ，即 ，即 的图象关于直线 对称，
而 的图象是由 的图象向左平移 个单位得到的，所以 的图象关于直线 对称，
所以A正确，
对于B，构造函数 则 ，
所以 ，显然其图象不关于 对称，故B错误，
对于C，构造函数 则 ，
所以 ，显然其图象不关于 对称，所以C错误，
对于D，构造函数 则 ，所以 ，显然其图象不关于 对称，所以D错误，
故选：A
11．已知定义在 上的函数 的图像关于直线 对称，当 时， ，若
，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 关于 轴对称，即 为偶函数，
又当 时， ，所以 在 上单调递增，根据偶函数的对称性可知 在
上单调递减，则 等价于 ，所以 ，解得 ，
即原不等式的解集为 ；故选：D
12．定义在 上的函数 满足： 的图像关于 对称，当 时， ，且
当 时， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．3
【解析】由于将函数 的图像向右平移一个单位得到函数 的图象，
又 的图像关于 对称，
所以函数 的图象关于 对称，即函数 是 上的奇函数，
又当 时， ， 所以 ，
又当 时， ，所以 .
所以 .故选：B.
13．(多选)已知定义在 上的奇函数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的图像关于点（1，0）对称 B．
C． D．
【解析】由 ，得 ，所以 的图像关于点（1，0）对称，
所以A正确；
由题意得 ，所以 ，所以B正确；
由 ，得 ，即 ，所以 ，
所以C错误；
因为 ，所以 ，即 ，所以D正确，
故选：ABD
14．(多选)对于定义在R上的函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 是奇函数，则 的图像关于点 对称
B．若对 ，有 ，则 的图像关于直线 对称
C．若函数 的图像关于直线 对称，则 为偶函数
D．若 ，则 的图像关于点 对称
【解析】对A， 是奇函数，故图象关于原点对称，将 的图象向右平移1个单位得 的图象，故 的图象关于点（1，0）对称，正确；
对B，若对 ，有 ，得 ，所以 是一个周期为2的周期函数，
不能说明其图象关于直线 对称，错误.；
对C，若函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；
对D，由 得 ， ，
的图象关于（1，1）对称，正确.
故选：ACD.
15．已知 ，函数 是定义在 上的偶函数，则 的值是______________.
【解析】由已知 是定义在 上的偶函数，
故 ，即 ，或 ，且函数图象关于 轴对称，
又 ，故 ，因为 关于直线 对称，故 ， ，
16．已知 是奇函数.
（1）求 的值，
（2）若函数 的图象关于点 对称， ，求 的值.
【解析】（1）因为 是奇函数，所以 ，
即 ，整理得 ，又 ，所以 .
（2）因为 ，所以 ，
所以函数 的图象关于点 对称，即 .
因为 的图象关于 对称，所以 ，
又函数 的图象关于点 对称，所以 ，所以 .
专项突破三 奇偶性、周期性与对称性
1．已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当 时，
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
因为 ，故函数 的周期为4，则 ；
而 ，所以由 可得 ；
而 ，解得 .故选：C.
2．已知函数 的图像既关于直线 对称，又关于点 对称，且当 时， ，
则 （ ）
A． B． C． D．0
【解析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 ，
因为函数 的图像关于点 对称，所以 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以函数 的周期为4，所以 ，故选：D
3．已知函数 是 上的奇函数，且 的图像关于直线 对称，当 时，，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】因为 是 上的奇函数，所以 的图象关于原点对称，且 ，
又 的图象关于直线 对称,所以 的周期 ,
所以 ,因为当 时， ,
所以 ,即 .故选：C
4．已知定义在 上的函数满足： 且 为奇函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为定义在 上的函数满足 ，且 为奇函数，
所以 ，且 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，所以 ，
所以函数的周期为 ，所以 .
故选：C.
5．已知函数 是定义域为R的奇函数，且 ，当 时， ，则
等于（ ）
A．－2 B．2 C． D．－
【解析】函数 是定义域为R的奇函数，则有： ,
又 ，则 ,则有： ,可得： ,故 ，即 的周期为 ,
则有： ,故选：B
6．已知函数 满足 且 ，当 时， ，设
，则 （ ）
A．0 B． C． D．1
【解析】由函数 满足 ，即 ，所以函数 为奇函数，
又由 ，可得函数 是周期为 的函数，
又由当 时， ，
则 .故选：B.
7．已知 是定义域为 的奇函数，且满足 为偶函数，若 ，则
（ ）
A． B．1 C．0 D．2021
【解析】由 为偶函数，可知 关于 轴对称，即函数 关于直线 对称，
又函数 为奇函数，可知函数 关于坐标原点中心对称，故函数 的周期为 ，
又 ， ， ，
故 ， ，故选：B.
8．设函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数，则下列说法一定正确的有
（ ）① ； ② ；③ ； ④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】由题意，函数 是奇函数，可得 的图象关于点 对称，
所以 ，所以②正确；
令 ，则 ，又由 是偶函数，所以 的图象关于 对称，
所以 的图象关于 对称，则有 ，令 ，则 ，所以③正确.
在 中，将 用 替换，则 ，
在 中，将 用 替换，则 ，
所以 ，再将 用 替换，则 ，所以 ，所以①正确；
对于④中，由 ，无法推出其一定相等. 故选：B.
9．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0，2]上是增函数；③f(x＋2)的图
象关于y轴对称．则下列结论正确的是（ ）
A．f(7)
