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专题 05 概率初步（9 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然
事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
二．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进
行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，
如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的
估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．三．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就
叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理
解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合
具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
四．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝ ．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
五．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域 G，又区
域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点
M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体
积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何
概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度
量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．六．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
七．游戏公平性
（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公
平．
（2）概率＝ ．
八．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个
频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般
通过统计频率来估计概率．
九．模拟试验
（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验．
（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、省力，但能达到同样的效果．
（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课
标》要求，只要设计出一个模拟试验即可．
【专题过关】
一．随机事件（共4小题）
1．（2022春•龙岗区校级期中）将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出6个球，
恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（ ）
A．不太可能事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．必然事件
2．（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（ ）
A．疫情期间参加聚会会感染新冠病毒
B．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C．打开的电视机正在播放新闻
D．13个同学中至少有两个同学同一个月生日
3．（2022春•润州区校级期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有编号分别为
1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）：
活动一：当m＝2时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号
后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最
少需摸 次．
活动二：当m＝3时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号
后放回袋中并摇匀，重复上述操作．
（1）若事件A：“记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸 次．
（2）若事件B：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸 次．活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、m的小球（除编号外完全相同）的不透明的袋子中，从
中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复
上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多
少个小球？
4．（2021春•盐都区期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从 3名男生（含小强）
和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选n名．
（1）当n为何值时，“男生小强参加”是必然事件？
（2）当n为何值时，“男生小强参加”是随机事件？
二．可能性的大小（共4小题）
5．（2022春•溧阳市期中）一个黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的5个红球和2个白球，那
么从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比（ ）
A．摸出一个红球的可能性大
B．摸出一个白球的可能性大
C．两种可能性一样大
D．无法确定
6．（2022春•六盘水期末）昆昆沉迷游戏，有个人加了他好友，哄骗他能送游戏英雄和皮肤，并要求加他
为QQ好友，这位“游戏好友”告知其现在有个“扫码转账返利”活动，充值 300元可返利500元，充
值700元可返利1000元，如果你是昆昆你会（ ）A．这么划算，赶紧充值后可以购买更多游戏装备和皮肤
B．天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”
C．立即和喜欢玩游戏的同学分享这么好的事情
D．对这种事情一直抱着期待
7．（2022春•余江区期末）口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球．
（1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A、
如果事件A是随机事件，则m＝ ；
（2）先从袋子中取出m个白球，再放入m个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是 ，
求m的值．
8．（2022春•于洪区期末）甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、白球9个和
黑球23个．（每个球除颜色外都相同）
（1）若从中任意摸出一个球是红球，选哪袋成功的机会大？请说明理由；
（2）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意
摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”．你认为这种说法正确吗？为什么？
三．概率的意义（共4小题）
9．（2022•思明区校级二模）下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲 2＝3，S乙 2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定B．了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
10．（2022春•巴中期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件
C．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件
D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
11．（2022•丰顺县校级开学）一则广告声称本次活动的中奖率为20%，其中一等奖的中奖率为1%．小明
看到这则广告后，想：“我抽5张就会有1张中奖，抽100张就会有1张中一等奖．”你认为小明的想
法对吗？
12．（2021•仓山区校级三模）甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪 70
元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45单的部分每单抽成6元．
（1）求甲、乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，
并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：
小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统
计学知识为他作出选择，并说明理由．
四．概率公式（共4小题）
13．（2022•温州校级模拟）在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不同外其他完全
相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022•南岗区校级模拟）在一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黄球，这些小球
除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022•丰泽区校级模拟）今年是脱贫攻坚决胜之年，我市某乡为了增加农民收入，决定利用当地优质山林土地资源发展园林绿化树苗培育产业．前期由乡农技站引进“银杏”、“罗汉松”、“广玉兰”、
“竹柏”四品种共300棵幼苗进行试育成苗实验，并把实验数据绘制成如图所示的扇形统计图和不完整
的条形统计图，已知实验中竹柏的成苗率是80%．
（1）请你补全条形统计图；
（2）如果从这300棵实验幼苗中随机抽取一棵幼苗，求它能成苗的概率；
（3）根据市场调查，这四个品种的树苗的幼苗进价、成苗售价和市场需求如下表所示：
树苗品种 银杏 罗汉松 广玉兰 竹柏
每棵幼苗进价 28 15 8 16
（元）
每棵幼苗售价 60 50 40 50
（元）
市场需求（万颗） 20.4 19 30 25
假设除了购买幼苗外，培育每棵成苗还需肥料等支出10元（未成功培育成成苗的此项支出忽略不计），
该乡根据市场需求组织A村农民培育银杏树苗和罗汉松树苗并将全部成苗销售完成后，可为本乡A村农
民增加收入多少万元？16．（2022•晋江市校级模拟）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 m 0.25 0.2 0.1
说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
（1）已知第三类电影获得好评的有45部，则m＝ ；
（2）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的好评电影的概
率；
（3）根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.1，第二类电
影上座率与好评率的关系约为：上座率＝好评率×1.5+0.45．现有一部第一类的A电影和一部第二类的B
电影将同时在某影院上映．A电影的票价为45元，B电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座
人数为1000人，公司要求排片经理将这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片．
现有3个场次可供排片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配 A、B两部电影的场
次，以使得当天的票房收入最高？
五．几何概率（共4小题）
17．（2022•阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个
点取在阴影部分的概率是（ ）A． B． C． D．
18．（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，一只蚂蚁在如图所示的地板上自由爬行，并随机停留在某处，
那么这只蚂蚁停留在阴影部分的概率是 ．
19．（2022春•陈仓区期末）如图为多个小等边三角形组成的六芒星图案，其中有三个三角形已涂为灰色．
（1）请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形；
（2）一颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区域的概率．
20．（2022春•锦州期末）如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色分为红、绿、
黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边
的扇形），转动一次转盘：
（1）求指针指向绿色扇形的概率；
（2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形概率大？为什么？六．列表法与树状图法（共4小题）
21．（2022•杏花岭区校级模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关S ，S ，S
1 2 3
中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
22．（2022•金凤区校级三模）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、圆、平行四边
形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），将有图形的一面朝下，从
中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以过关．那么一次过关的概率是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022•乌鲁木齐模拟）为在中小学生心中厚植变党情怀，某市开展“重心向党”教育实践活动．有
舞蹈、书法、唱歌、国学诵读四项．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参
加哪一项活动（必选且只选一种）的调查，部分信息如统计图所示，请回答下列问题：（1）这次抽样调查的总人数为 人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 ：
（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？
（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或列表法求恰为一
男一女的概率．
24．（2022•庐阳区校级三模）为了疫情防控，合肥某商场的家装节开通了1、2、3、4号四个入口，参加
入员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场．
（1）小明领取入场券后，被安排从3号入口进场的概率是多少？
（2）某品牌瓷砖的商家开展了“买瓷砖砸金蛋”的活动，即购买该品牌瓷砖的顾客有一次砸金蛋的机会．小明和小亮同时购买了该品牌的瓷砖，商家提供了五个金蛋，只有一个是一等奖，其余都是二等奖．
商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公平．请从两人获得一等奖的概率的角度说明小亮
的质疑是否合理．
七．游戏公平性（共3小题）
25．（2022•汉阳区校级模拟）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是
（ ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5
B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5
D．游戏公平
26．（2022春•顺义区期末）如图，有8张标记数字1﹣8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、
乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时
卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记 7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填
“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取
卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）
27．（2022•雁塔区模拟）在一次数学小组活动中，小亮和小明都想去参加，但是只剩下一个名额，于是
他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为
1，2，3，4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后不放回，再从中摸出一
个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小明获胜．
（1）随机摸出一个球，则摸到偶数的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法分析这个游戏对小亮和小明是否公平？
八．利用频率估计概率（共3小题）
28．（2022•思明区校级二模）厦门在形式上助手数学社团的同学做了估算 的实验．方法如下：
π
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出 的值．
π
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一
个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2+y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有
n份，则可以估计 的值为（ ）
π
A． B． C． D．
29．（2022春•姑苏区校级期中）在一个不透明的盒子里装有红球、白球共 30个，这些球除颜色外完全相
同．通过多次实验发现，摸出白球的频率稳定在0.4左右，则盒子中白球的个数约为 ．
30．（2022•鹿城区校级三模）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下：
抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000
残次品的频数m 1 3 9 16 38 79 121 1540.050 0.060 0.090 0.080 0.076 0.079 0.081 0.077
残次品的频率
估计从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是残次品的概率是 ．（精确到0.01）
九．模拟试验（共4小题）
31．（2022春•姑苏区校级期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 20只，这些球除颜色
外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子
中，不断重复上述过程，表是实验中的一组统计数据：
摸球的次 100 200 300 500 800 1000 3000
数n
摸到白球 52 138 178 302 481 599 1803
的次数m
摸到白球 0.52 0.69 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
的概率
问盒子里白色的球有（ ）只．
A．10 B．12 C．14 D．16
32．（2021秋•孟津县期末）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率
是P＝ ，下列说法中正确的是（ ）
A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在 附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是33．（2022春•甘州区校级期末）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”在一个不透明的盒子里装有几十
个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把
它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系
图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球与白球的个数比为
．
34．（2022•蒲城县一模）4张背面相同的卡片正面上分别写有数字0、1、﹣2、3，将卡片的背面朝上洗匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，记下数字，放回洗匀，不断重复上述过程，若共抽卡片 20次，其中有6
次抽到数字0，求这20次中抽到数字0的频率；
（2）天天设计了如下游戏规则：从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来，不放回，再从余—下
的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来，当第一次记录下来的数字减去第二次记录
下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．天天设计的游戏规则公平吗？请用树状图或
列表方法说明理由．
