文档内容
专题 07 相似（13 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则ad＝bc．
②合比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
③分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
④合分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
⑤等比性质．若 ＝ ＝…＝ （b+d+…+n≠0），则 ＝ ．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如
ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段
之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为
黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金
比： ．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
四．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．
五．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
七．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
八．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
九．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
十．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十一．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简
单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
十二．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k或﹣k．
十三．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作
的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩
小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或
在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的
位似图形的结果是不唯一的．
【专题过关】
一．比例的性质（共4小题）
1．（2021秋•碧江区 期末）若 ＝ ，则 的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
【分析】由 ＝ ，可得b＝3a，把b换成3a即可求出 的值．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴b＝3a，
∴ ＝ ＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握比例变形．
2．（2022秋•大埔县期中）已知 ＝ ＝ ＝ 且b+2d﹣f≠0，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用等边性质，进行计算即可解答．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等边性质是解题的关键．
3．（2022•夹江县模拟）已知b2＝ac，若a：b＝4：3，则b：c的值等于（ ）
A．2：3 B．3：2 C．3：4 D．4：3
【分析】利用比例的基本性质，即可解答．
【解答】解：∵b2＝ac，
∴b：c＝a：b＝4：3，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
4．（2022•大渡口区模拟）计算：
（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．
（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）设x＝2t，y＝3t，利用x+y＝15得到2t+3t＝15，然后求出t，从而得到x、y的值；
（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）∵x：y＝2：3，
∴设x＝2t，y＝3t，
∵x+y＝15，
∴2t+3t＝15，
解得t＝3，
∴x＝6，y＝9；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
∴x ＝2，x ＝ ．
1 2
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、
合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．也考查了解一元二次方程．
二．比例线段（共5小题）
5．（2021秋•梧州期末）如果线段a＝4cm，b＝16cm，那么a和b的比例中项是（ ）
A． cm B．4cm C．8cm D．64cm
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：由比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是xcm，则
x2＝4×16，
解得x＝±8（线段是正数，负值舍去）．
故选：C．
【点评】考查了比例中项的概念，正确记忆比例中项的平方等于两条线段的乘积是解题关键．
6．（2022•宜昌模拟）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么 ： 的值是（ ）
A． ： B． ： C． ： D． ：
【分析】直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．
【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∴ ： ＝ ： ＝ ： ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了比例线段，比例的性质，正确将已知变形是解题关键．
7．（2022•安庆二模）安庆潜山素有古皖之源、皖国古都、二乔故里、京剧之祖、禅宗之地、黄梅之乡等
等众多美名．拥有“潜阳十景”之首美誉的胭脂井，完美融入二乔公园之中，为古皖名城增辉，为百姓
休闲生活增色．二乔公园占地面积57622.48m2，其中景观绿化面积约为37000m2，在按比例尺1：300
缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当于（ ）
A．某县体育中心体育馆的面积
B．一张乒乓球台的面积
C．一张《安徽日报》报纸的面积
D．《数学》教科书封面的面积
【分析】根据比例的性质列式计算即可．
【解答】解：设景观绿化面积的图上面积为xm2，
根据题意得， ＝（ ）2，
解得x≈0.41，
答：景观绿化面积大约相当于一张《安徽日报》报纸的面积．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
8．（2022秋•大埔县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且 ＝ ＝ ≠0，若△ABC的周长为60，
求各边的长．【分析】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据△ABC的周长为60列出关于x的方程，解方程可
得答案．
【解答】解：设 ＝ ＝ ＝x，
∴a＝5x，b＝4x，c＝6x．
∵a+b+c＝60，
∴5x+4x+6x＝60，
解得x＝4，
∴a＝5x＝15，b＝4x＝16，c＝6x＝24．
即△ABC三边的长分别为20，16，24．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a＝5x，b＝4x，c＝6x是解题关键．
9．（2022秋•新昌县校级期中）已知线段a，b满足 ＝ ，且a+b＝34．
（1）求a，b的值．
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值．
【分析】（1）利用 ＝ ，即a：b＝5：12，可设a＝5k，b＝12k，则5k+12k＝34，然后解出k的值
即可得到a、b的值；
（2）根据比例中项的定义得到x2＝ab，即x2＝240，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：（1）∵ ＝ ，
∴a：b＝5：12，
∴设a＝5k，b＝12k，
∵a+b＝34，∴5k+12k＝34，
∴k＝2，
∴a＝10，b＝24；
（2）∵线段x是线段a，b的比例中项，
∴x2＝ab＝240，
∵x是线段，x＞0，
∴x＝4 ．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度
比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称
比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．
三．黄金分割（共3小题）
10．（2021秋•防城港期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等
于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高
为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高x米，可列方程为（ ）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0
【分析】设雕像下部高x米，则雕像上部为（2﹣x）米，根据黄金分割的定义可得 ＝ ，然后进行
计算即可解答．
【解答】解：设雕像下部高x米，则雕像上部为（2﹣x）米，
由题意得：
＝ ，
∴x2＝2（2﹣x），整理得：x2+2x﹣4＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关
键．
11．（2022秋•汉阳区期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，
等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为 2m，那么它的
下部应设计的高度为（ ）m．
A． ﹣1 B． +1 C． D．
【分析】设雕像的下部应设计的高度为xm，由黄金分割的定义得 ＝ ，即可求解．
【解答】解：设雕像的下部应设计的高度为xm，
∵使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，
∴ ＝ ，
∴x＝ ﹣1，
即雕像的下部应设计的高度为（ ﹣1）m，
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．
12．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD＝36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C＝72°，然后证
证∠BDC＝∠C，则BD＝BC，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；
（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣36°）＝72°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BDC是黄金三角形．【点评】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰
三角形的判定与性质是解题的关键．
四．平行线分线段成比例（共2小题）
13．（2021秋•双滦区期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点
1 2
D，E，F．已知AB＝1，DE＝2，BC＝3，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】由AD∥BE∥CF可得 ＝ ，代入可求得EF．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ，
∵AB＝1，BC＝3，DE＝2，
∴ ＝ ，解得EF＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段可得对应线段成比例是解题的关
键．
14．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作
CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据CD∥OB得出 ，根据AC：OC＝1：2，得出 ，根据C、D两点纵坐标分别
为1、3，得出OB＝6，即可得出答案．
【解答】解：∵CD∥OB，
∴ ，
∵AC：OC＝1：2，
∴ ，
∵C、D两点纵坐标分别为1、3，
∴CD＝3﹣1＝2，
∴ ，解得：OB＝6，
∴B点的纵坐标为6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出 ，是
解题的关键．
五．相似图形（共2小题）
15．（2021秋•福州期末）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
【分析】根据相似图形的定义一一判断即可．
【解答】解：A、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，因为100°只能是等腰三角形的顶角，所以
这两个等腰三角形相似，正确，本选项符合题意；
B、两个矩形一定相似，错误，边不一定成比例，本选项不符合题意；
C、有一个角等于45°的两个等腰三角形相似，错误，45°角不一定是对应角，本选项不符合题意；
D、相似三角形一定不是全等三角形，相似比为1时，是全等三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查相似图形，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考
常考题型．
16．（2021秋•耒阳市期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似形的定义，是基础题．
六．相似多边形的性质（共2小题）
17．（2021秋•顺平县期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A B C D
1 1 1 1
最长边为15，则四边形A B C D 的最短边长为（ ）
1 1 1 1
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】设四边形A B C D 的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得 ＝ ，进行计算即可
1 1 1 1
解答．
【解答】解：设四边形A B C D 的最短边长为x，
1 1 1 1
∵四边形ABCD与四边形A B C D 相似，
1 1 1 1
∴ ＝ ，
解得：x＝6，故选：C．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
18．（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则
∠D的度数为（ ）
A．100o B．110o C．120o D．130o
【分析】直接利用相似多边形的性质得出∠F＝∠B＝70°，再利用四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠F＝∠B＝70°，
∵∠A＝80°，∠C＝90°，
∴∠D＝360°﹣70°﹣80°﹣90°＝120°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
七．相似三角形的性质（共2小题）
19．（2021秋•沧州期末）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理依次判断即可．【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；
由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；
由 得不出结论；
由 ＝ 及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．
20．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE ：S△ABC 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴S△ADE ∽S△ABC ，
∵DE＝2，BC＝5，
∴S△ADE ：S△ABC 的值为 ，
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
八．相似三角形的判定（共4小题）
21．（2021秋•卢龙县期末）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形的三个角分别对应相等，所以两三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角
形相似，故D选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
22．（2022秋•徐汇区期中）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC
于点E，交AD于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．△BFA∽△BEC B．△BDF∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE【分析】根据相似三角形的判定方法，找出正确的答案，
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，
∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故A正确．
∴∠BFA＝∠BEC（相似三角形的对应角相等），
∴∠BFD＝∠BEA（等角的补角相等），
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
△BDF∽△BEC，找不到相似的条件，故B错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，因为本题中只能找到角相等，所以用两个对应角相等来判断
三角形相似，证明角相等是解题的关键．
23．（2022•沈阳模拟）已知等边△ABC，点D、点E分别是边BC，AC上的动点，BD＝CE，则图中相似
的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【分析】依据等边三角形的性质，结合条件 BD＝CE，即可发现△ABD≌△BCE，△ABE≌△CAD，再
根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴△ABD∽△BCE且∠DBF＝∠BAD，∠BDF＝∠BEC，
又∵∠BDF＝∠ADB，∠DBF＝∠EBC，
∴△BDF∽△ADB，△BDF∽△BEC；
∵∠BAD＝∠CBE，∠BAC＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CAD，
又∵AB＝CA，∠BAE＝∠C，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴△ABE∽△CAD且∠AEF＝∠ADC，
又∵∠EAF＝∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∵∠EAF＝∠ABE，∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相
等的两个三角形相似．
24．（2021秋•藤县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开
始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t＜6），求
当△POQ与△AOB相似时t的值．
【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解．
【解答】解：由题意，OP＝t，OQ＝6﹣t，
①若△POQ∽△AOB，则 ，
即 ，
解得 t＝4；
②若△POQ∽△BOA，则 ，
即 ，
解得 t＝2；
∴当t＝4或t＝2时，△POQ与△AOB相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
九．相似三角形的判定与性质（共6小题）
25．（2021秋•南宫市期末）如图，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE的长为（ ）A． B．3 C．4 D．
【分析】通过证明△ACB∽△AED，可得 ，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝∠E，∠CAB＝∠EAD，
∴△ACB∽△AED，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴DE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
26．（2022•大庆模拟）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，AB＝
2BC，E是AB的中点，连接CE，OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②CE平分∠DCB；③CD＝
4OE；④S△COE ＝ S四边形ABCD ．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【分析】首先可知△CBE是等边三角形，得∠CEB＝60°，再利用平行线的性质可得∠ACD＝30°，可知
①正确，由∠BCE＝∠DCE＝60°，得CE平分∠DCB，故②正确；由平行四边形的性质得 OE是
△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可对③④进行判断．
【解答】解：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，∵AB＝2BC，
∴BC＝BE，
又∵∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CEB＝60°，CE＝BC＝AE，
∴∠CAE＝∠ECA，
∴∠ECA＝30°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠ACD＝120°∠ACE﹣∠BCE＝30°，
故①正确；
∵∠BCE＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠BCE＝∠DCE＝60°，
∴CE平分∠DCB，
故②正确；
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO＝OC，
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ ，
又∵BC＝BE＝AE＝ ，∴OE＝ ，
∴CD＝4OE，
故③正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴△AOE∽△ACB，
∴S△AOE ＝ S△ACB ＝ S
ABCD
，
▱
故④错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，确
定OE是△ABC的中位线是解题的关键．
27．（2022•南充模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别
交AC，BC于E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△OCE∽△OFD．
（2）当AE＝7，BF＝24时，求线段EF的长．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到FD＝FC，ED＝EC，∠DOF＝90°，则∠2＝∠3，
∠EDO＝∠4，所以∠EDF＝∠ECF＝90°，然后利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，从而根据相似三角
形的判定方法得到结论；
（2）过A点作AG∥BC交FD的延长线于G点，如图，根据平行线的性质得到∠GAD＝∠B，∠GAC＝90°，再证明△ADG≌△BDF得到AG＝BF＝24，DG＝DF，则利用勾股定理可计算出GE＝25，然后证
明DE垂直平分GF得到EF＝EG＝25．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分CD，
∴FD＝FC，ED＝EC，∠DOF＝90°，
∴∠2＝∠3，∠EDO＝∠4，
∴∠EDF＝∠ECF＝90°
∵∠1+∠2＝90°，∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴△OCE∽△OFD．
（2）解：过A点作AG∥BC交FD的延长线于G点，如图，
∴∠GAD＝∠B，∠GAC+∠ACB＝180°，
∴∠GAC＝90°，
在△ADG和△BDF中，
，
∴△ADG≌△BDF（ASA），
∴AG＝BF＝24，DG＝DF，
在Rt△AGE中，GE＝ ＝ ＝25，
∵∠EDF＝90°，
∴ED⊥DF，而DG＝DF，
∴DE垂直平分GF，
∴EF＝EG＝25．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公
共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长
或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
28．（2021秋•德保县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝4，CE＝6，BC＝15．
（1）求BF和CF的长；
（2）直接判定四边形DFCE的形状．
【分析】（1）由已知可以得到四边形DFCE是平行四边形，然后根据平行线分线段成比例定理可以得
到解答；
（2）由平行线分线段成比例定理可以得到DF＝DE，结合（1）的结论可以判定四边形DFCE的形状．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，
又DE∥BC，∴ ，
∴DE＝ ，
∴CF＝6，BF＝15﹣6＝9；
（2）∵DF∥AC，
∴ ，
∴DF＝ ，
∴DF＝DE，
又由（1）知四边形DFCE是平行四边形，
∴四边形DFCE是菱形．
【点评】本题考查相似三角形与平行线的综合应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．
29．（2022•惠民县一模）如图，AB是 O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作 O的切线
AP，与OD的延长线交于点P，连接C⊙P，与AB的延长线交于点E． ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）求证：EC2＝EA•EB．
【分析】（1）如图，连接OC，由“垂径定理”可知，OP垂直平分AC，所以∠AOP＝∠COP，由SAS可证明△OAP≌△COP，所以∠OCP＝∠OAP，由切线的性质可知，∠OAP＝90°，所以∠OCP＝90°，
即OC⊥PC，由此可得结论；
（2）连接BC，如图，因为AB是 O的直径，所以∠ACB＝90°＝∠ECO，所以∠ECB＝∠ACO，因为
OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝⊙∠ECB，易证△ECB∽△EAC，所以EC：EA＝EB：EC，由此可得结
论．
【解答】证明：（1）如图，连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过原点，
∴OP垂直平分AC，
∴∠AOP＝∠COP，
在△OAP和△COP中，
，
∴△OAP≌△COP（SAS），
∴∠OCP＝∠OAP，
∵PA是 O的切线，
⊙
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC，
∴PC是 O的切线．
⊙
（2）连接BC，如图，
∵AB是 O的直径，
⊙
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，∴∠ECB+∠BCO＝∠BCO+∠ACO，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△ECB∽△EAC，
∴EC：EA＝EB：EC，
∴EC2＝EA•EB．
【点评】本题考查了切线的性质及判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明圆
的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
30．（2022•十堰模拟）如图，已知CE是 O的直径，点B在 O上．
⊙ ⊙
（1）若 O的半径为2，且D为 的中点，求圆心O到弦CD的距离；
⊙（2）在（1）的条件下，当DF•DB＝CD2时，求∠CBD的大小．
【分析】（1）过点O作OG⊥CD，利用圆周角和弧的关系先求出∠ECD的度数，再利用直角三角形的
边角间关系得结论；
（2）利用圆周角和弧的关系可直接得结论，也可通过证明△BDC∽△COG，得到∠CBD与∠ECD相等
得结论．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥CD，垂足为G．
∵CE是 O的直径，D为 的中点，
⊙
∴ 的度数是180°．
∴ ＝ ．
∴∠ECD＝45°．
在Rt△COG中，
∵sin∠ECD＝ ，
∴OG＝sin45°×2＝ ．
（2）法一、∵CE是 O的直径，D为 的中点，
⊙∴ 的度数是180°．
∴ ＝ ．
∴ 的度数是90°．
∴∠CBD＝45°．
法二、∵DF•DB＝CD2，
∴ ＝ ．
∵∠D＝∠D，
∴△BDC∽△COG．
∴∠CBD＝∠ECD＝45°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定及与圆有关的定理，掌握圆周角、弧、弦间关系及相似三
角形的判定与性质是解决本题的关键．
一十．相似三角形的应用（共6小题）
31．（2021秋•定兴县期末）如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的
顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.7m，则树高为（ ）A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m
【分析】由题意可知，图中出现相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则 ＝ ，
∴x＝5.1m．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，正确记忆相似三角形的对应边成比例是解题关键．
32．（2021秋•涿州市期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度AB，他调整自
己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE＝
40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）
A．300cm B．400cm C．550cm D．都不对
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出 BC的长，再加上
AC即可得解．
【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，∴△DEF∽△DBC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：BC＝400，
∵AC＝150cm，
∴AB＝AC+BC＝150+400＝550（cm），
即树高550cm．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定
出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
33．（2021秋•城固县期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如
图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并
且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观
察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、
C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测
量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度．
【分析】设BE＝ym，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于y的方程，即可求出建筑物AB
的高度．【解答】解：设BE＝ym，由题意可知，
∵EF∥AB，GH∥AB，
∴△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵EF＝HG＝2，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：y＝23（m），
则 ＝ ，即 ＝ ，
解得：AB＝25（m），
答：该古建筑AB的高度为25m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，求出BE＝y的值是解题的关键．
34．（2022秋•东湖区期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在
旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆AB的高度，镜子中心E与旗杆的距离EB＝20
米，当镜子中心E与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量
者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．
（1）在计算过程中C、D之间的距离应是 1. 5 米；
（2）根据以上测量结果，求出学校旗杆AB的高度．【分析】（1）根据题意可得出答案；
（2）根据反射定律可以推出∠1＝∠2，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，
∴CD＝1.5米．
故答案为：1.5；
（2）结合光的反射原理得：∠CED＝∠AEB．
在Rt△CED和Rt△AEB中，
∵∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴Rt△CED∽Rt△AEB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得AB＝15（m）．
答：旗杆AB的高度是15m．【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列
出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
35．（2022•碑林区模拟）小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度 AB，他在楼门
前水平地面上选择一条直线CH，AB∥CH，在CH上距离C点8米的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，他
沿着DH方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，
继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，
求遮雨玻璃的水平宽度AB．
【分析】连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝
DM＝DN＝NQ＝2，证明△AEJ∽△EPK，求得AE：EP，再由AB∥MP，提出比例线段便可求得结果．
【解答】解：连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，
KM＝DM＝DN＝NQ＝2，∴IE∥PJ，
∠AEI＝∠EPK，
∵∠AIE＝∠EKP＝90°，
∴△AEI∽△EPK，
∴ ，
∵AB∥MP，
∴ ，即 ，
∴AB＝4，
答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m．
另一解法：连接AB，则A、E、P共线，
由题意知，CD＝8，DN＝2，NQ＝PM＝2，
∵AB∥PM，
∴△ABE∽△PME，
∴ ，
∵AC∥BD∥PQ．∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AB＝4，
答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形．
36．（2022•柯桥区一模）课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角
尺的较短边紧靠 O于点A，并使较长边与 O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，
BC＝16cm，求 ⊙O的半径． ⊙
⊙
课本中给出的解答是：如图，连接OC，OA，作AD⊥OC，垂足为D，设圆的半径为rcm，
∵ O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，
⊙
∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC﹣CD＝OC﹣AB，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+162，
解得：r＝20，即该圆的半径为20cm．
（1）课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学
提到的方法解答这个问题；
（2）老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图（2），∠PBQ＝90°， O与BQ、
BP分别交于点C、D与点A、E，若AB＝8，BC＝6，CD＝12．求AE的长． ⊙【分析】（1）连接OC，CO的延长线交圆于点D，连接AD，AC，根据已知先证明△ABC∽△ACD，
然后根据相似三角形的性质求得半径；
（2）过点O作ON⊥PB于点N，OM⊥BQ于点M，连接AO，AO的延长线交〇O于点H，连接DH，
根据切线以及圆内接四边形的性质先证明△ABC∽△ADH，根据相似三角形的性质求出半径，然后根据
垂径定理求出AE即可．
【解答】解（1）如图，连接OC，CO的延长线交圆于点D，连接AD，AC，
∵AB＝8cm，BC＝16cm，AB⊥BC，
∴AC＝ ＝8 （cm），
∵BC是 O的切线，
⊙
∴OC⊥BC，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB，∵CD是直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
即 ，
∴CD＝40，
∴ O的半径为20cm；
⊙
（2）如图，过点O作ON⊥PB于点N，OM⊥BQ于点M，连接AO，AO的延长线交〇O于点H，连接
DH，
∵PB⊥BQ，
在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，
AC＝ ＝10，
∵CD＝12，
∴BD＝18，
在Rt△ABD中，AD＝ ＝2 ，∵AH是直径，
∴∠ADH＝90°，
∵四边形ACDH是圆内接四边形，
∴∠ACB＝∠H，
∴△ABC∽△ADH，
∴ ，
∴ ，
解得：AH＝ ，
∴AO＝ ，
∵OM⊥BQ于点M，
∴CM＝DM＝6，
∴BM＝ON＝12，
在Rt△AON中，AN＝ ＝ ＝ ，
∵ON⊥PB于点N，
∴AN＝ ，
∴AE＝2× ＝ ．
【点评】本题综合考查了垂径定理，相似三角形的证明以及切线的性质，解题的关键是添加适当的辅助
线构建相似三角形．
一十一．作图-相似变换（共2小题）37．（2021秋•钟山区期末）如图①，在△ABC中，点P是AB边上的一个动点（点P不与A、B重合），
过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP＝∠B．
（1）试判断△ABC与△AEP的关系，并说明理由．
（2）若把满足（1）的直线PE称作“△ABC的一条相似线”，在图②的△ABC中，∠A＝36°，AB＝
AC，且点P在AC垂直平分线上，请问过点P的“△ABC的相似线”有几条？并在图②中作出所有过
点P的“△ABC的相似线”．
【分析】（1）根据∠AEP＝∠B，∠A＝∠A，可得△ABC∽△AEP；
（2）根据相似三角形的判定可得作∠ACB的平分线交AB于P，过点P分别画PM∥AC，PN∥BC，即
可得出答案．
【解答】解：（1）△ABC∽△AEP
∵∠AEP＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AEP；
（2）共有3条，
如图所示：作∠ACB的平分线交AB于P，
过点P分别画PM∥AC，PN∥BC，∴PM、PC、PN所在直线即为所求作相似线．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的
判定与性质是解题的关键．
38．（2022秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使
得△DAB∽△ABC．
【分析】作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，点D即为所求．
【解答】解：如图点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
一十二．位似变换（共2小题）
39．（2021秋•钟山区期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，且 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用位似的性质得到 ＝ 即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似变换是解题的关键．
40．（2022•荣昌区自主招生）如图，将△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，若OD＝AD，则
△ABC与△DEF的相似比是（ ）
A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：1
【分析】根据位似图形的概念得到DF∥AC，得到△ODF∽△OAC，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，
∴△ABC与△DEF位似，
∴DF∥AC，
∴△ODF∽△OAC，
∴ ＝ ＝ ，即△ABC与△DEF的相似比2：1，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似图形的概念，相似三角形的性质，掌握我试试图形的对应边平行是解题的关
键．
一十三．作图-位似变换（共3小题）
41．（2021秋•定安县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，
2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△OAB先向左平移4个单位，再向下平移1个单位后得到△O A B ，请在平面直角坐标系中画
1 1 1
出平移后的△O A B ．
1 1 1
（2）请以0为位似中心，在y轴右侧画出△O A B 的位似图形△O A B ，使△O A B 与△O A B 的相
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1
似比为2：1．【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律得到点O 、A 、B 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点O 、A 、B 的横纵坐标都乘以﹣2得到
1 1 1
O 、A 、B 的坐标，然后描点即可．
2 2 2
【解答】解：（1）如图，△O A B 为所作；
1 1 1
（2）如图，△O A B 为所作．
2 2 2
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了平移变换．
42．（2022•鹿城区校级三模）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．平行四边形ABCD的顶
点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）画出平行四边形ABCD绕点A旋转得到的平行四边形AB′C′D′，使得点B′落在边BC上．
（2）请以A为位似中心，作与平行四边形ABCD的面积比为 的位似图形平行四边形AEFG．【分析】（1）根据题意，先找到B'点的位置，再根据旋转的性质以及平行四边形的性质作图即可．
（2）由题意可得位似比为1：2，根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图1，平行四边形AB'C'D'即为所求．
（2）如图2，平行四边形AEFG即为所求（画出其中一种即可）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、位似变换、平行四边形的性质，熟练掌握旋转和位似的性质是解答
本题的关键．
43．（2021秋•北海期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）作出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内将△ABC放大为原图形的2倍，得到△A BC ，并写出点A 的坐标．
2 2 2
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（2）分别作出A，C的对应点A ，C 即可．
2 2
【解答】解：（1）如图，△A B C ，即为所求作，C （2，﹣2）．
1 1 1 1
（2）如图，△A BC ，即为所求作，A （﹣3，2）．
2 2 2
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，位似变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
