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专题 07 相似（13 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫
做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若 ＝ ，则ad＝bc．
②合比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
③分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
④合分比性质．若 ＝ ，则 ＝ ．
⑤等比性质．若 ＝ ＝…＝ （b+d+…+n≠0），则 ＝ ．
二．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如
ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段
之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
三．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为
黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金
比： ．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
四．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平
行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的
三边与原三角形的三边对应成比例．
五．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
六．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
七．相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平
方．
八．相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
九．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线
构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似
的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
十．相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的
性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在
同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造
“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直
角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为
三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
十一．作图-相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简
单的相似变换作图．如图所示：
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的
三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
十二．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形
叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比
等于k或﹣k．
十三．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作
的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩
小．（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或
在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的
位似图形的结果是不唯一的．
【专题过关】
一．比例的性质（共4小题）
1．（2021秋•碧江区 期末）若 ＝ ，则 的值是（ ）
A． B．﹣ C．﹣2 D．2
2．（2022秋•大埔县期中）已知 ＝ ＝ ＝ 且b+2d﹣f≠0，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022•夹江县模拟）已知b2＝ac，若a：b＝4：3，则b：c的值等于（ ）
A．2：3 B．3：2 C．3：4 D．4：3
4．（2022•大渡口区模拟）计算：
（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．
（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
二．比例线段（共5小题）
5．（2021秋•梧州期末）如果线段a＝4cm，b＝16cm，那么a和b的比例中项是（ ）
A． cm B．4cm C．8cm D．64cm
6．（2022•宜昌模拟）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么 ： 的值是（ ）A． ： B． ： C． ： D． ：
7．（2022•安庆二模）安庆潜山素有古皖之源、皖国古都、二乔故里、京剧之祖、禅宗之地、黄梅之乡等
等众多美名．拥有“潜阳十景”之首美誉的胭脂井，完美融入二乔公园之中，为古皖名城增辉，为百姓
休闲生活增色．二乔公园占地面积57622.48m2，其中景观绿化面积约为37000m2，在按比例尺1：300
缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当于（ ）
A．某县体育中心体育馆的面积
B．一张乒乓球台的面积
C．一张《安徽日报》报纸的面积
D．《数学》教科书封面的面积
8．（2022秋•大埔县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且 ＝ ＝ ≠0，若△ABC的周长为60，
求各边的长．
9．（2022秋•新昌县校级期中）已知线段a，b满足 ＝ ，且a+b＝34．
（1）求a，b的值．
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值．三．黄金分割（共3小题）
10．（2021秋•防城港期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等
于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高
为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高x米，可列方程为（ ）
A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0
11．（2022秋•汉阳区期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，
等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为 2m，那么它的
下部应设计的高度为（ ）m．
A． ﹣1 B． +1 C． D．
12．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝
AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．四．平行线分线段成比例（共2小题）
13．（2021秋•双滦区期末）如图，AD∥BE∥CF，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点
1 2
D，E，F．已知AB＝1，DE＝2，BC＝3，则EF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
14．（2022•巴中）如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的OA边上一点，AC：OC＝1：2，过C作
CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7五．相似图形（共2小题）
15．（2021秋•福州期末）下列说法正确的是（ ）
A．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B．两个矩形一定相似
C．有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D．相似三角形一定不是全等三角形
16．（2021秋•耒阳市期末）下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
六．相似多边形的性质（共2小题）
17．（2021秋•顺平县期末）一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A B C D
1 1 1 1
最长边为15，则四边形A B C D 的最短边长为（ ）
1 1 1 1
A．2 B．4 C．6 D．8
18．（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则
∠D的度数为（ ）
A．100o B．110o C．120o D．130o
七．相似三角形的性质（共2小题）19．（2021秋•沧州期末）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（ ）
A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D．
20．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE ：S△ABC 的值是（ ）
A． B． C． D．
八．相似三角形的判定（共4小题）
21．（2021秋•卢龙县期末）下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
22．（2022秋•徐汇区期中）如图，D是△ABC边BC上的一点，∠BAD＝∠C，∠ABC的平分线交边AC
于点E，交AD于点F，则下列结论错误的是（ ）A．△BFA∽△BEC B．△BDF∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
23．（2022•沈阳模拟）已知等边△ABC，点D、点E分别是边BC，AC上的动点，BD＝CE，则图中相似
的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
24．（2021秋•藤县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开
始沿OA向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点
运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0＜t＜6），求
当△POQ与△AOB相似时t的值．九．相似三角形的判定与性质（共6小题）
25．（2021秋•南宫市期末）如图，∠C＝∠E，AC＝2，BC＝4，AE＝1.5，则DE的长为（ ）
A． B．3 C．4 D．
26．（2022•大庆模拟）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝60°，AB＝
2BC，E是AB的中点，连接CE，OE．下列结论：①∠ACD＝30°；②CE平分∠DCB；③CD＝
4OE；④S△COE ＝ S四边形ABCD ．其中结论正确的序号有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
27．（2022•南充模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别
交AC，BC于E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△OCE∽△OFD．
（2）当AE＝7，BF＝24时，求线段EF的长．28．（2021秋•德保县期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE＝4，CE＝6，BC＝15．
（1）求BF和CF的长；
（2）直接判定四边形DFCE的形状．
29．（2022•惠民县一模）如图，AB是 O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作 O的切线
AP，与OD的延长线交于点P，连接C⊙P，与AB的延长线交于点E． ⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
⊙
（2）求证：EC2＝EA•EB．30．（2022•十堰模拟）如图，已知CE是 O的直径，点B在 O上．
⊙ ⊙
（1）若 O的半径为2，且D为 的中点，求圆心O到弦CD的距离；
⊙
（2）在（1）的条件下，当DF•DB＝CD2时，求∠CBD的大小．
一十．相似三角形的应用（共6小题）
31．（2021秋•定兴县期末）如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的
顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.7m，则树高为（ ）
A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m
32．（2021秋•涿州市期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度AB，他调整自
己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE＝
40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝150cm，CD＝800cm，则树高AB等于（ ）A．300cm B．400cm C．550cm D．都不对
33．（2021秋•城固县期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如
图2，在地面BC上取E，G两点，分别竖立两根高为2m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为23m，并
且古建筑AB，标杆EF和GH在同一竖直平面内，从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观
察A点，A、F、D三点成一线；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、
C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，请根据以上测
量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB的高度．
34．（2022秋•东湖区期中）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在
旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆AB的高度，镜子中心E与旗杆的距离EB＝20
米，当镜子中心E与测量者的距离ED＝2米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量
者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米．（1）在计算过程中C、D之间的距离应是 米；
（2）根据以上测量结果，求出学校旗杆AB的高度．
35．（2022•碑林区模拟）小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度 AB，他在楼门
前水平地面上选择一条直线CH，AB∥CH，在CH上距离C点8米的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，他
沿着DH方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，
继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，
求遮雨玻璃的水平宽度AB．36．（2022•柯桥区一模）课本中有一个例题：木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径，如图，用角
尺的较短边紧靠 O于点A，并使较长边与 O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB＝8cm，
BC＝16cm，求 ⊙O的半径． ⊙
⊙
课本中给出的解答是：如图，连接OC，OA，作AD⊥OC，垂足为D，设圆的半径为rcm，
∵ O与BC相切于点C，∴OC⊥BC，
⊙
∵AB⊥BC，AD⊥OC，∴四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，OD＝OC﹣CD＝OC﹣AB，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣8）2+162，
解得：r＝20，即该圆的半径为20cm．
（1）课堂上，小敏同学说：“这个题目还可以用构造相似三角形的方法来求解！”请你根据小敏同学
提到的方法解答这个问题；
（2）老师提出：若将角尺的两边抽象成两条互相垂直的射线．如图（2），∠PBQ＝90°， O与BQ、
BP分别交于点C、D与点A、E，若AB＝8，BC＝6，CD＝12．求AE的长． ⊙一十一．作图-相似变换（共2小题）
37．（2021秋•钟山区期末）如图①，在△ABC中，点P是AB边上的一个动点（点P不与A、B重合），
过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP＝∠B．
（1）试判断△ABC与△AEP的关系，并说明理由．
（2）若把满足（1）的直线PE称作“△ABC的一条相似线”，在图②的△ABC中，∠A＝36°，AB＝
AC，且点P在AC垂直平分线上，请问过点P的“△ABC的相似线”有几条？并在图②中作出所有过
点P的“△ABC的相似线”．38．（2022秋•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC上求作一点D，使
得△DAB∽△ABC．
一十二．位似变换（共2小题）
39．（2021秋•钟山区期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，且 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
40．（2022•荣昌区自主招生）如图，将△ABC以点O为位似中心缩小得到△DEF，若OD＝AD，则
△ABC与△DEF的相似比是（ ）
A．1：1 B．2：1 C．1：2 D．3：1
一十三．作图-位似变换（共3小题）
41．（2021秋•定安县期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，
2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）将△OAB先向左平移4个单位，再向下平移1个单位后得到△O A B ，请在平面直角坐标系中画
1 1 1
出平移后的△O A B ．
1 1 1
（2）请以0为位似中心，在y轴右侧画出△O A B 的位似图形△O A B ，使△O A B 与△O A B 的相
1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1
似比为2：1．42．（2022•鹿城区校级三模）如图，9×9的方格都是由边长为1的小正方形组成．平行四边形ABCD的顶
点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．
（1）画出平行四边形ABCD绕点A旋转得到的平行四边形AB′C′D′，使得点B′落在边BC上．
（2）请以A为位似中心，作与平行四边形ABCD的面积比为 的位似图形平行四边形AEFG．43．（2021秋•北海期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长
度，△ABC三个顶点坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）作出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格内将△ABC放大为原图形的2倍，得到△A BC ，并写出点A 的坐标．
2 2 2
