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专题 06 幂运算压轴题的三种考法
类型一、比较大小
例．已知 ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结
论．
【详解】解 : ,
故选：B.
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
【变式训练1】．已知 均为负数， ，
，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】根据换元法将，设 ， ，则 ，
，作差即可求得大小关系.
【详解】设 ， ，
则 ，
，
由于 均为负数
所以 为正数，则 ，
.
故选：B.
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，
属难题.【变式训练2】已知 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系．
【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511，
又∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指
数变成相同．
【变式训练3】340 430 （ 填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＞
【详解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430．
点睛：此题考查了幂的乘方．解此题的关键是将将340与430 变形为同指数的幂．
【变式训练4】比较 与 的大小．
【答案】72012>52012+62012．
【分析】先比较52012+62012<62012+62012=2×62012，再比较72012>2×62012，即可得出结论.
【详解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006，
72012=73×72009=343×72009=117649×72006，
∴72012>2×62012>52012+62012．
【点睛】此题考查了有理数的大小比较，难点在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012.
类型二、化简求值
例．已知 ， ，则 的值是（ ）
A．0 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂乘法、幂的乘方等法则进行计算，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则以及逆运
算是解本题的关键．【变式训练1】．已知 ，则 ．
【答案】1．
【分析】利用幂的乘方与同底数幂相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，进而得到
，求出答案即可．
【详解】解：∵2a+1＝2a×2＝3×2＝6，
3b+1＝3b×3＝2×3＝6，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查幂的乘方与同底数幂相乘，掌握幂的乘方与同底数幂相乘的运算法则是
解题关键．
【变式训练2】．若 ， ，ab=20，则 = ．
【答案】1
【分析】先根据 可得 ，再结合 可得 ，由此结合
可得 ，由此可得 ，进而可求得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则是解决本
题的关键．【变式训练3】．已知 ，判断a＋b和ab的大小关系．
【答案】 ．
【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到： ， ，
，即可求出a＋b和ab的大小关系．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求
出 ．
类型三、新定义问题
例．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘 ，记为 ．如 ，
此时，3叫做以2为底8的对数，记为 （即 ）．一般地，若 （ 且
， ），则n叫做以a为底b的对数，记为 （即 ．如 ，则4
叫做以3为底81的对数，记为 （即 ）．
(1)计算以下各对数的值： ＝_____， ＝_____， ＝_____．
(2)写出（1） 、 、 之间满足的关系式______．
(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论： _____（ 且
， ， ）．
(4)设 ， ，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6
(2)
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，即可找到规律： ， ；
（3）由特殊到一般，得出结论： ．
（4）设 ， ，根据同底数幂的运算法则： 和给出的材料证
明结论．
【详解】（1）∵ ， ，∴ ，
故答案为：2，4，6；
（2）∵ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）由（2）的结果可得 ，
故答案为： ．
（4）设 ， ，
则 ，
∴
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生
对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，
还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
【变式训练1】阅读理解：规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ；如果 ，那
么 ．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空：
① ______；
②若 ，则 ______；
③若 ，则 ______．
(2)若 ， ， ．请探索 ， ， 之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①2；②2；③81
(2)
【分析】（1）根据规定的运算法则结合有理数的乘方和负整数指数幂解答即可；
（2）由题意可得出 ， ， ，结合 ，即得出 ，再根
据幂的乘方及其逆用法则和同底数幂乘法的逆用法则计算即可求解．
【详解】（1）解：①∵ ，∴ ．
故答案为：2；
②∵ ，
∴ ．
故答案为：2；
③∵ ，
∴ ．
故答案为：81．
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，幂的乘方及其逆用，同底数幂乘法的逆
用．理解题意，掌握新规定的运算法则是解题关键．
【变式训练2】如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所以 ．
(1) ______ ；若 ，则 ______ ；
(2)已知 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)若 ， ，令 ．
①求 的值；
②求 的值．
【答案】(1)4，64
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）由 ，可直接得出 ；由 ，可得出 ；
（2）由题意可得出 ， ， ．根据 ，得出 ，即 ，
进而即可求出 ；（3）①由题意可得出 ， ，再根据 ，
，即可求出 ；②根据 ，即得出 ，结
合题意可得出 ．由①知 ，即得出 ，进而得
出 ，即说明 ，代入 中求值即可．
【详解】（1）解： ，
；
，且 ，
．
故答案为： ， ；
（2）解： ， ， ，若 ，
， ， ．
，
，即 ，
；
（3）解：① ， ，
， ，
， ，
；
② ，
，
．
由①知： ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运
算法则是解题关键．课后训练
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 化为 使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.
【详解】 ，
故选：A.
【点睛】此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.
2．已知 ，则 = ．
【答案】8．
【分析】根据积的乘方和幂的乘方的逆运算，把等式变形，根据指数相同求解即可．
【详解】解： ，
根据积的乘方和幂的乘方，等式可变形为： ，
即 ，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了幂的运算的逆运算，解题关键是把等式恰当变形，依据底数相同，指
数也相同列方程．
3．已知 ， ， ， ，则a、b、c、d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先变形化简 ， ， ，
，比较11次幂的底数大小即可．
【详解】因为 ， ， ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 即 ；
同理可证
所以 ，故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．
4．已知 ， ， ，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：① ；②
；③ ；④ ．其中，正确的关系式是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．
【详解】解：∵ ， ， ．
∴ ， ， ，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出
a、b、c的关系．
5．已知 ， ，则 ．
【答案】1
【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于 ，因此
对等式 两边同时取y次方，可以得到 ，再把160换成 得到
，接着把 换成 （都等于160）得到 ，从而推出 ，最后
对 中的指数去括号，整体代入可得结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴
∵ ， ,
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键．
6．比较大小： （填“>”“<”或“=”）．
【答案】<
【分析】根据幂的乘方，底数大于1时，根据指数越大幂越大，可得答案．
【详解】解： ，
∵64<81，
∴ ，
即 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，利用幂的乘方化成同指数的幂是解题关键．
7．阅读材料： 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是7， 的末尾数字是
1， 的末尾数字是3，......，观察规律， ，∵ 的末尾数字是1，∴ 的末
尾数字是1，∴ 的末尾数字是3，同理可知， 的末尾数字是9， 的末尾数
字是7．解答下列问题：
(1) 的末尾数字是 ， 的末尾数字是 ；
(2)求 的末尾数字；
(3)求证： 能被5整除．
【答案】(1)3，6；
(2)4；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知 的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，
可得 的末尾数字是4， 的末尾数字是6，于是得解；
（2）先将 化成 ，再利用 的末尾数字是6，从而得出结论；
（3）分别证明 的末尾数字为6和 的末尾数字9，则命题即可得证．
【详解】（1）解： ，
的末尾数字为3；
的末尾数字是4， 的末尾数字是6， 的末尾数字是4，…
的末尾数字是4， 的末尾数字是6，
的末尾数字是6；
故答案为：3，6；
（2）解： ，∵ 的末尾数字是6，
∴ 的末尾数字是4；
（3）证明：∵ 的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾
数字是6， 的末尾数字是2，…
的末尾数字是2， 的末尾数字是4， 的末尾数字是8， 的末尾数字是
6，
的末尾数字为6；
同理可得：
的末尾数字7， 的末尾数字9， 的末尾数字3， 的末尾数字1；
的末尾数字9，
∴ 的末尾数字是5，
∴ 能被5整除．
【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的
乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键．
8．已知：2x=3,2y=6,2z=12，试确定x，y，z之间的关系
【答案】x＋z＝2y
【详解】试题分析：
变形2y＝2×3＝2x＋1，得到y＝x＋1，变形2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1，得到z＝y＋1，从而得
到x，y，z之间的关系．
试题解析：
因为2x＝3，
所以2y＝6＝2×3＝2×2x＝2x＋1，
2z＝12＝2×6＝2×2y＝2y＋1.
所以y＝x＋1，z＝y＋1.
两式相减，得
y－z＝x－y，
所以x＋z＝2y.
点睛：本题主要考查了同底数幂的乘法法则的逆用，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
即am·an=am+n(m，n是正整数)，逆用同底数幂的乘法法则，即am+n=am·an(m，n是正整数)；
如果几个幂的底数相等，且幂也相等，则它们的指数也相等.
