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专题11.11 与三角形有关的角（分层练习）（提升练习）
一、单选题
1．如图，直线 ，将三角尺直角顶点放在直线b上，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 、 是 的角平分线，并且 、 交于点 ，若 ，则 等于（
）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，点D、点E分别在边 、 上一点，将 和 分别沿 和 折叠至
．已知 且 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含 角的三角尺 固定不动，将含
角的三角尺 绕顶点B顺时针转动（转动角度小于 ）．当 与三角尺 的其中一条边所在
的直线互相平行时， 的度数是（ ）A． 或 或 B． 或 或
C． 或 或 D． 或 或
5．如图，将矩形 沿对角线 折叠，使点C落在F处， 交 于点E．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将一块三角板和一把直尺如图放置，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 中， ， ，点 为 上一点，点 为 的中点，连接
．若 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，在 中， 是 边上的高，且 ， 平分 ，交 于点E，过
点E作 ，分别交 、 于点F、G．则下列结论：① ；② ；③； ．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图， ， ， ，点 ， ， 在同一直线上，若 ，
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图， ，将一副直角三角板作如下摆放， ， ．下列结论：①
；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，已知 ， 与 交于点 ， 于点 ，若 ，则 ______．
12．如图， ，则 __________度．13．如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ________．
14．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是_____．
15．如图，在 中，点O是 和 的平分线的交点，点D是 延长线上的点，
和 的平分线交于点E， ，则 的度数为_________．（用含 的式子表示）
16．如图，在 中，D是 上一点， ，将 沿着 翻折得到 ，
则 ______．
17．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 _____．18．如图，在 中，AE是 的角平分线，D是AE延长线上一点， 于点H．若
， ，则 ____________．
三、解答题
19．用两种不同的方法证明“三角形的内角和等于 ”．
20．如图，直线 ， 被直线 ， 所截， ， ，垂足为 ．直线 平分
交 于点 ．点 在直线 上， ， ．
(1)试说明： ；
(2)求 的度数．21．如图，已知 ， ．
(1) 求证： ；
(2) 连接 ，若 ， ， ，则 ___________ ．
22．已知，在 中，点E在边 上，点D是 上一个动点，将 沿E、D所在直线进行翻折
得到 ．
(1) 如图，若 ，则 ______；
(2) 在图中细心的小明发现了 ， ， 之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证
明．23．如图，在 中， ，交 的延长线于D， 于E，
(1) 如图1，若 ， ，求 的度数；
(2) 如图2，若 平分 ， 交 的延长线于F，直接写出与 相等的角（
除外）．
24．在 中， 平分 交 于点 ，点 是线段 上的动点（不与点 重合），过点
作 交射线 于点 ， 的平分线所在直线与射线 交于点 ．
(1) 如图，点 在线段 上运动．
① 若 ， ，则 的度数是 ； 的度数是 ，
② 探究 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2) 若点 在线段 上运动时，请直接写出 与 之间的数量关系．参考答案
1．C
【分析】根据平行线的性质可得 ，再利用三角形的内角和定理可求 ，
最后根据对顶角相等即可求出结果．
解：如图，∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理及对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
2．B
【分析】由 ，可得 ，再根据 、 是 的角平分线，即可得到
的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到 的度数．
解： ，
，
又 、 是 的角平分线，
，
．
故选：B．【点拨】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是 ．
3．B
【分析】设 ，则 ，设 ，由翻折可知，
，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果．
解：设 ，则 ，设 ，
由翻折可知， ， ，
， ，
由 ，得 ，
在 中， ，
，
解得： ，
在 中， ，
解得：
由 得 ，
在 中， ，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的
思想方法，使分析思路更清晰．
4．C
【分析】分三种情况讨论：①当 时；②当 时；③当 时，利平行线的性质
和三角形内角和定理分别求解，即可得到答案．
解：由三角板的性质可知， ， ， ， ，
分三种情况讨论：
①如图1，当 时， 与 交于点F，，
，
；
②如图2，当 时，
；
③如图3，当 时，
，
；
综上可知， 的度数为 或 或 ，
故选C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
5．C
【分析】由题意可得 ， ，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得 ，
再利用平行线的性质可得 ，然后利用折叠的性质可得 ，从而利用角的
和差关系，进行计算即可解答．
解：由题意可得 ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠得： ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行线的性质，可得 ，再由对顶角相等可得 ，从而得到
，即可求解．
解：如图，
根据题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的性
质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
7．D
【分析】过点 作 于点 ，由已知可得 的中位线，则 ，再由直角三角
形的性质求得 ，由 及三角形外角的性质求得 ，进而求得 ，即可求解．
解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，，点 为 的中点，
，
，
，
，
点 是 的中点，
是 的中位线，
，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，三
角形外角的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
8．D
【分析】证明 即可判断①正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判
断③正确；根据 ，结合角平分线的定义即可判断②，证明 即可判断④正确．
解： ，
，
，
，，
，故①正确，
平分 ，
，
， ，
，故③正确，
，
，
，
， ，故②正确；
， ，
，
，
，故④正确，
正确的有：①②③④，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．C
【分析】由 可证得 ，继而证明 ，由全等三角形对应
角相等得到 ，最后由三角形的外角性质解答即可．
解：
， ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．D
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长 交 于
先求解 从而可判断③④，于是可得答案.
解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长 交 于
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④
故选D
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰
直角三角形的两个锐角都为 ，掌握以上基础知识是解本题的关键.
11．140°
【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD的度数，
根据平行线的性质即可求出∠CAB的度数，再根据补角的性质即可求解；
解：∵ ∠1=50°，
∴∠CED=50°，
∵ 三角形内角和为180°，BD⊥CD，
∴∠ECD=180°-90°-50°=40°，∵ AB∥CD，
∴∠EAB=40°，
∴∠2=180°-40°=140°，
故答案为：140°．
【点拨】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键；
12．50
【分析】利用两直线平行，同位角相等和三角形内角和定理计算即可．
解：∵ ，
，
．
故答案为：50．
【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关
键．
13．61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求
得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，
∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
∴∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA = （∠DAC+∠ACF）=119°，
∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，
故答案为：61°．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理
和角平分线的定义是解答的关键．
14．∠1＜∠2＜∠3
【分析】根据三角形外角的性质判断出∠1与∠2的大小，再判断出∠2与∠3的大小即可．解：如图，∵∠2是△ABD的外角，∴∠2＞∠1，
同理，∵∠3是△BCD的外角，∴∠3＞∠2，
∴∠1＜∠2＜∠3．
故答案为∠1＜∠2＜∠3．
【点拨】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的内角．
15． /
【分析】在 中，先根据点O是 和 的平分线的交点， ，所以
，因为 和 的平分线交于点E， ，
，在 中，
，化简即可用含 的式子表示 的度数．
解：∵点O是 和 的平分线的交点，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于点E，
∴ ， ，
在 中， ，
即 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查的是三角形内角和以及角平分线等知识内容，熟练运用角平分线的性质是解题的关
键．
16． /30度
【分析】根据三角形内角和、三角形外角的性质和翻折的性质解答即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿着 翻折得到 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查翻折的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是掌握翻折的性质．
17．130°
【分析】由三角形的外角性质可得∠BAC+∠ABC＝100°，再由角平分线的定义得∠1 ∠BAC，∠3
∠ABC，从而可求得∠1+∠3＝50°，再利用三角形的内角和定理即可求解．
解：∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1 ∠BAC，∠3 ∠ABC，
∴∠1+∠3 （∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
【点拨】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各
角之间的关系．
18．10°
【分析】在 EFD中，由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+ ∠BAC，所以∠B+
△∠BAC+∠EDH=90°；联立 ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH= （∠C-∠B）．
△
解：由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+ ∠BAC，
故∠B+ ∠BAC+∠EDH=90° ①，
ABC中，由三角形内角和定理得：
△∠B+∠BAC+∠C=180°，
即： ∠C+ ∠B+ ∠BAC=90° ②，
②-①，得：∠EDH= （∠C-∠B）= ×（50°-30°）=10°．
故答案为：10°．
【点拨】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是
证明∠EFD= （∠C-∠B）．
19．见分析
【分析】运用平角为180°证明即可，①可选择将三个角往内折叠，②过一顶点作对边的平行线．
解：①将一个三角形的三个角分别往内折，三个角刚好组成一平角，所以为180度．
②在一个顶点作它对边的平行线，用内错角证明．
证明： ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形的内角和的知识，注意方法的选择是解题的关键．
20．(1)见详解；(2)
【分析】（1）可求 ，再求 ，从而 ，即可求解；
（2）由（1）得 ，即可求解．
（1）解：因为 ，
所以 ，所以
，
因为 ，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ，
所以
，
所以 ．
（2）解：由（1）得
．
【点拨】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，理解定义，掌握性质是解题
的关键．
21．(1)证明见分析；(2)80
【分析】（1）先利用同位角相等，得到 ，进而推出 ，再利用内错角相等，即可
证明 ；
（2）根据平行线的性质，得到 ，进而得到 ，再利用三角形内角和定理，即可求
出 的度数．
解：（1）证明： ， ，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，， ，
，
，
，
，
故答案为：80．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题
关键．
22．(1) ；(2) ，证明见分析．
【分析】（1）先由三角形内角和求出 ，再由折叠的性质得
，进而可求出 的度数；
（2）先由三角形内角和求出 ，再由折叠的性质得
，进而可求出 ， ， 之间的关系．
解：（1）在 中， ，
∴ ．
由折叠的性质，可知： ， ，
∴ ．
又∵∠ ，
∴
．
故答案为： ；
（2） ．
证明：在 中， ，
∴ ．
由折叠的性质，可知： ，
∴ ．
又∵ ，
∴，
即 ．
【点拨】本题考查了三角形内角和，以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
23．(1) ；(2) ， ，
【分析】（1）根据 ， ，可得 ，再根据 ， ，可得
，根据 ，即可解答；
（2）根据 平分 ，可得 ，再根据 ， ，可得 ，
通过 ， ，故可解题．
（1）解： ， ，
，
， ，
，
．
（2）解： 平分 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
同理可得 ，
．
【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的性质，以及角度的计算，熟练运用相关
性质进行角度的转换是解题的关键．
24．(1)① ； ；② ，见分析；(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知 ，再利用角平分线的定义即
可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到 ，再根据三角形内角和定理及角平分
线的定义即可解答；（2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到 ，再根据角平分线的定义及外角的
性质即可解答．
（1）解：①∵ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ 是 是一个外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，掌
握平行线的性质是解题的关键．
