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专题 12.16 三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）
（专项练习）
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知 是 的中线，且 ．求证：
．
2．在四边形 中， ，点E在DC上，AE平分 ，BE平分
（1）判定△AEB的形状，并说明理由.
（2）求证：
3．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在 的中线 的延长线上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的取值范围；
（3）若 ，求证： 是直角三角形．4．如图， ， ， ，直线 过点 交 于 ，交 于点 ．求证：
．
5．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地， ，
，连接对角线 ， ， ．
（1） ， 与 之间的数量关系是____________．
（2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建
造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长 至点 ，使 ）
（3）在 和 区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为 克，请直接写出需提前准
备多少千克的小麦种．
6．（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在 中， ， 的角平分线 、 相交于点O，求证： ．
7．（20-21七年级下·广东佛山·阶段练习）如图 ， 、 分别平分 、 ，交于E
点．
（1）如图1，求 的度数．
（2）如图2，过点E的直线分别交 、 于B、C，猜想 、 、 之间的存在的数量关系：
_______．
（3）试证明（2）中的猜想．
8．（22-23八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在 中， ， 是 的中线，
．
（1）若 ， ，则 的取值范围是______；（2）求证： ；
（3）求证： ．
9．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图， ， 分别是 的中线和高， 是 的角平分
线
（1）若 ，求 的度数．
（2）若 ，求中线 长的取值范围．
10．（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）如图， 交 于 ，交 于 平分 平
分 ，直线 经过点 并与 分别交于点 ．
（1）如图①，求证： ；
（2）如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出 三条线段的
数量关系．11．（22-23八年级上·山西朔州·期末）（1）问题背景：如图①：在四边形 中， ，
， ．E、F分别是 、 上的点且 ．探究图中线段 、 、
之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ．连接 ，先证明
，再证明 ，可得出结论，他的结论应是___________；
（2）探索延伸：如图②，若在四边形 中， ， ． 分别是 、 上的
点，且 ，上述结论是否仍然成立？说明理由；
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在
指挥中心南偏东 的 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以
海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里/小时的速度前进 小时后，甲、乙两舰
艇分别到达 处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．
12．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横
线中的依据）：
例4、如图，在 中，D是边 的中点，过点C画直线 ，使 ，交 的延长线于点E，求证： ．
证明：∵ （已知），
∴ ， ．
∵D为 边中点，∴ ．
在 与 中，
∵ ，
∴ （ ）
∴ （ ）
（2）【方法应用】如图①，在 中， ， ，则 边上的中线 长度的取值范围是
．
（3）【猜想证明】如图②，在四边形 中， ，点E是 的中点，若 是 的平分
线，试猜想线段 、 、 之间的数量关系，并证明你的猜想．
13．（23-24八年级上·福建莆田·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，已知 中， 是 边上的中线． 求证： ．
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长 至 ，使 ，
∵ 是 边上的中线，
∴
在 和 中，
∴ （依据一）
∴ ，
在 中， （依据二）
∴ ．
任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________________________________________；
依据2：______________________________________________．
归纳总结：上述方法是通过延长中线 ，使 ，构造了一对全等三角形，将 转化到
一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形
和证明边之间的关系．任务二：如图3， ，则 的取值范围是_____________；
任务三：如图， 中， ，D为 中点，
求证： ．
14．（23-24八年级上·江苏·期末）如图，在 中． 是 边上的中线，交 于点 ．
（1）如下图，延长 到点 ，使 ，连接 ． 求证： ．
（2）如下图，若 ，试探究 与 有何数量关系，并说明理由．（3）如下图，若 是边 上的中线，且 交 于点 ． 请你猜想线段 与 之间的数量关系，
并说明理由．
15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在 中，若 ， ， 为 边上
的中线，求 的取值范围；
（2）如图②，在 中，点D是 的中点， ， 交 于点E， 交 于点F，连接
，判断 与 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 中， ， 与 的延长线交于点F，点E是 的中点，若
是 的角平分线．试探究线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明．
16．（23-24八年级上·广西北海·期末）八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图 ， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围 小红在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长 到点 ，使 ，请根据小红的方法思考作答：（1）由已知和作图能得到 的理由是______；
A． B． C． D．
（2）求得 的取值范围是______；
A． B． C． D．
（3）归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知
条件和所求证的结论集合到同一个三角形中 完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请
你解答．
如图 ，在 中，点 在 上，且 ，过 作 ，且 求证： 平分
．
17．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
问题提出
如图1，在 中， 平分 ，交 于点D，且 ，则 ， ， 之间存在怎
样的数量关系？并说明理由．
方法运用
（1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长 至点E，使得 ，连接 ，
……，请判断 ， ， 之间的数量关系并补充完整解题过程．
（2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在 上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段 上截取 ，使得 ①______，连接②______．请补全空格，并在图3中
画出辅助线．
延伸探究
（3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形
中， ， ， ，若 ，求 的度数．
18．（23-24七年级下·四川成都·期中）在 的高 、 交汇点 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图1，求 的度数；
（3）如图2，延长 到点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，当 时，探究线段 、
、 的数量关系，并证明你的结论．
19．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，
小丽在组内做了如下尝试：如图1，在 中， 是 边上的中线，延长 到 ，使 ，
连接 ．
(1)【探究发现】图1中中 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)【初步应用】如图2，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
(3)【探究提升】如图3， 是 的中线，过点 分别向外作 、 ，使得 ，
，延长 交 于点 ，判断线段 与 的数量关系和位置关系，请说明理由．参考答案：
1．见解析
【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长 至点E，使 ，连接 ，证
明 ，得出 ，进而根据三角形的三边关系，即可得证．
【详解】证明：如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
在 中，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
即 ．
2．（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB= ∠DAB，∠EBA=
∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案；
（2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），
根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证
【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，∴∠EAB= ∠DAB,∠EBA= ∠ABC，
∴∠EAB+∠ABE= ×180°=90°，
∴∠AEB=180°−90°=90°,
∴△AEB为直角三角形；
(2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE=∠DAE，
在△ADE和△AFE中,
，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠AED=∠AEF，
∵AE⊥BE，
∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠BEF，
又∵在△BFE与△BCE中,
∴△BFE≌△BCE(AAS)，
∴BF=BC，
∵AB=AF+BF，
∴AB=AD+BC.
【点拨】本题考查全等三角形的综合问题，是“截长补短”模型的典型题目，熟练掌握此模型辅助线的作法，构造全等三角形是解决本题的关键.
3．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明 ；
（2）结合（1）根据三角形三边关系即可得 的取值范围；
（3）根据已知线段关系得到 ，利用等边对等角推出 ， ，再利
用三角形内角和求出 即可．
【详解】（1）解：证明： 是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，
，
即 ．
，
的取值范围是 ．
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
即 是直角三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的
判定与性质、三角形三边关系．
4．详见解析【分析】在线段 上取 ，连接 ，易证 ≌ ，可得 ，因为
得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证 ≌ ，可得
BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.
【详解】解：在线段 上取 ，连接 ，
在 与 中， ，
∴ ≌ （SAS）．
∴ ．
由 又可得 ，
∴ ．
又 ，
∴ ．
在 与 中， ，
∴ ≌ （AAS）．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线
段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短
线段长度使之等于另一条线段长度.
5．(1)
(2)12000元
(3) 千克【分析】（1）由 直接可以得到 ；
（2）延长 至点 ，使 ，证得 ，得到 ， ，进而证明
解题；
（3）利用（2）中结论 可得 ，运用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1） ，
，
故答案为： ；
（2）如图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
.
在 与 中，
，
， .
，即 .
在 与 中，
，，
（米）．
五边形 的周长为 （米），
（元）．
答：建造木栅栏共需花费12000元.
（3） 千克
，
需小麦种数量为： (千克）．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或
补短”．
6．证明见解析
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到 ， ，在
上截取 ，连接 ，分别证明 ， ，得到 ，即可证
明结论．
【详解】证明： ，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
如图，在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全
等三角形是解题关键．
7．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到
， ，利用三角形内角和定理整体计算即可；
（2）根据图形猜想即可；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 得到 ，进一步推出
，再证明 ，可得 ，进而证明 ．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴
；
（2）猜想： ；
（3）
证明：在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
．
在 和 中，
， ， ，
，
．
，
，
又 ，
．
平分 ，
．
在 和 中，， ， ，
，
，
．
即 ．
【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，
构建对应全等三角形，使问题得以解决．
8．(1) ；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）延长 至点 ，构造全等三角形，然后用三角形三边关系即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，证明角度相等即可；
（3）根据全等三角形的性质，再通过角度和差即可证明．
【详解】（1）解：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ，
（2）由（1）得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
（3）由(1)(2)得： ， ，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的外角先求解 ，可得 ，再结合高与三角形的内角和定
理可得答案；
（2）延长 至 ，使 ，再证明 ，可得 ，而 ，则
，再结合中线的含义可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
，
平分 ，，
为高，
，
；
（2）延长 至 ，使 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键．
10．(1)见解析；
(2)（1）中结论不成立， ；
【分析】（1）在 上截取 ，连 ，根据题意证明 ，得到 ，
，再由 证明 ，由平角定义得到 ，则
有 ，再证明 ，得到 ，则 ；
（2）延长 交 于点H，根据题意证明 ，得到 ， ，再由 平分
，证明 ，得到 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图，在 上截取 ，连 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）（1）中的结论不成立， ；
理由：延长 交 于点H，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据
题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键．
11．（1）问题背景： ，理由见详解；（2）探索延伸：成立，理由见详解；（3）实际应用：
两舰艇之间的距离为 海里
【分析】（1）问题背景： ， ， ，可证 ，由 ，
， 为公共边，可证 ，由此即可求解；
（2）探索延伸：根据“问题背景”的提示，延长 到点 ，使 ，由此即可求解；
（3）实际应用：如图所示（见详解），延长 ，使得 ，连接 ，证明 ，
，可知 ，由此即可求解．
【详解】解：（1）问题背景：根据题意，在 ， 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴在 ， 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）探索延伸：如图所示，延长 到点 ，使 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 ， 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴成立；
（3）实际应用：如图所示，延长 ，使得 ，连接 ，
∵舰艇甲在指挥中心（ 处）北偏西 的 处，舰艇乙在指挥中心南偏东 的 处，舰艇乙沿北偏东
的方向行驶，
∴ ， ， ，
∴在 ， 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 ， 中，
，
∴ ，∴ ，
∵舰艇甲向正东方向以 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 的方向以 海里/小时的速度前进
小时，
∴ ， ，
∴ （海里），
∴两舰艇之间的距离为 海里．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定和性质及实际应用，掌握作辅助线求证三角形全等，再根据三
角形全等的性质是解题的关键．
12．（1） ，全等三角形的对应边相等；（2）；（3） ，证明见解析
【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性
质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点；
（1）根据前后逻辑关系填空即可；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，证 ，推出 ，在 中，根据
三角形三边关系定理得出 ，代入求出即可．
（3）结论： ．延长 ， 交于点 ，证明 ，推出 ，再证明
即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵ （已知），
∴ ， ．
∵D为 边中点，∴ ．
在 与 中，
∵ ，
∴
∴ （全等三角形的对应边相等）;
故答案为： ，全等三角形的对应边相等；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ；
（3）结论： ．
理由：如图②中，延长 ， 交于点 ，
，
，
在 和 中，，
，
，
是 的平分线，
，
，
，
，
．
13．任务一：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“ ”）；三角形两边
的和大于第三边；任务二：
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法：
任务一：依据1：根据全等的判定方法判断即可；依据2：根据三角形三边关系判断；
任务二：可根据任务一的方法直接证明即可；
任务三：根据任务一的方法，延长中线构造全等三角形证明线段关系，可得 ，即可．
【详解】解：任务一：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“
”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“ ”）；三角形两边的
和大于第三边．
任务二：由任务一得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
任务三：如图，延长 至F，使 ，连接 ，由任务一得：∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
14．(1)见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) ，理由见解析．
【分析】（ ）利用 可得 ；
（ ）延长 到点 ，使 ，连接 ，先根据 证得 ， ，
进而得到 ， ；再证得 利用全等三角形全等的性质即可；
（ ）延长 到点 ，使 ，连接 ．延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ，
证得 可得 ，进而得到 ，
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）证明：在 和 中，∴ ；
（2）解： ，理由如下：
延长 到点 ，使 ，连接 ，如图
由（ ）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
在 和 中
∴
∴ ，
∴ ；
（3） ，理由如下：
延长 到点 ，使 ，连接 ．延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ，如图，由（ ）得 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴
∴ ，
∴ ．
15．（1） ；（2） ，见解析；（3） ，见解析
【分析】（1）由已知得出 ，即 为 的一半，即可得出答
案；
（2）延长 至点M，使 ，连接 ，可得 ，得出 ，由线段垂
直平分线的性质得出 ，在 中，由三角形的三边关系得出 即可得出结论；
（3）延长 交于点G，根据平行和角平分线可证 ，也可证得 ，从而可得
，即可得到结论．
【详解】解：（1）如图①，延长 到点E，使 ，连接 ，∵D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由如下：
延长 至点M，使 ，连接 ，如图②所示．
同（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得：
，
∴ ；（3） ，理由如下：
如图③，延长 交于点G，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的
判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形
全等是解题的关键．
16．(1)B
(2)C
(3)证明见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．
（1）根据三角形全等的判定定理去选择即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；
（3）由“ ”可证 ，可得 ， ，由平行线的性质和等腰三角形的性质
可证 ，可得 平分 ．
【详解】（1）解：延长 到点 ，使 ，
，
在 和 中，
，
，
故选：B．
（2）解： ，
，
， ， ，
，
，
故选：C；
（3）证明：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
，
平分 ．
17．（1） ，见解析
（2）①AC ②DF，见解析
（3）
【分析】（1）利用 证明 ，得出 ，从而证得 ，所以 ，
即可得出结论 ；
（2）根据语言描述作出图形即可；
（3）延长 至点G，使 ，连接 ，利用 证明 ，得出 ，
，从而可证得 ．即可利用 证明 ，得出 ，即可由
求解．
【详解】（1） ．
理由：∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）①AC ②DF．
辅助线如图1所示．（3）如图2，延长 至点G，使 ，连接 ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
(3) 证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证 和 全等得 ，从而得 为等腰直角三角形，进而可得 的度数；
（3）在 上截取 ，连接 ，先证 和 全等得， ，再证，进而可依据“ ”判定 和 全等，从而得 ，由此可得线段 、
、 的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟
练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，
构造全等三角形．
【详解】（1）证明： 的高 、 交于点 ，如图1所示：
， ，
， ，
，
（2）解：在 和 中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解： 、 、 的数量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图2所示：
是 的高， ，， ，
在 和 中，
，
，
， ，
由（2）可知： ，即 ，
，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
，
．
19．(1) ，
(2)
(3) ， ，理由见解析
【分析】（1）证 ，得 ， ，再由平行线的判定即可得出
；
（2）延长 到 ，使 ，连接 ，由（1）可知， ，得 ，
再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知， ，得 ，再
证 ，得 ， ，则 ，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论．
【详解】（1）解： 是 的中线，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
故答案为： ， ；
（2）如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，
由（1）可知， ，
，
在 中， ，
，
即 ，
，
即 边上的中线 的取值范围为 ；
（3） ， ，理由如下：
如图3，延长 到 ，使得 ，连接 ，由（1）可知， ，
，
，
，
由（2）可知， ，
，
、 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线．
