期末考—数学参考答案_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_3数学高考模拟题_新高考_2023广东省新高考普通高中学科综合素养评价数学_2023广东省新高考普通高中学科综合素养评价数学

广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B D C A B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 12 答案 BCD BD BC CD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 14. 15. 16. 2 2 92 ( +3) +( −2) =1 6 4.85 详细解答 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1【答案】C 解： ，集合 ， ∵ ={ || |< 2}={ |−2< <2} ={ | −2 >0}= { | <2} 因为 ，所以 ，解得 ．故选C． 2【答 案∩】 D = −2< <1 2=1 =2 解： ， ， 复数 ， 1 1+2i (1+2i)(2+i) 5i 又 ，∵ 1 在=复1+平2面i内 的 2 对=应2−点i关于∴ 虚轴 对 3 =称3，+ 2 =3+ 2−i，=故3选+ D．4−i 2 =3+ 5 =3+i 3【 3答案 4】D ∴ 4 =−3+i 解： ， ， ， ， ∵ = 1,−1 ∴ = 2 ∵ = 1 +2 ，= 2 ， 2 2 2 ∴ ( +2 ) = +4 ⋅ +4 = 2+4 ⋅ +4 = 2 ∴ ⋅ =−1 ， 向量 与向量 的夹角为 ，故选 D． 2 ∴ · +2 = +2 · = 2−2= 0 ∴ +2 2 14【答案】B 解：设半球的半径为 ，圆锥母线长为 ，由 得 ， 所以这款冰激凌的体积 为： 2 = ×6 =3 ． 1 4 3 1 2 2 2 2 3 1 2 2 2 V 故 = 选2× B 3． +3 ×( )× − =3 ×3 +3 ×3 × 6 −3 =18 +9 3 5【答案】D 解：因为 ， ，得到点 在第四象限，即 为第四象限角， cos138°<0 sin138°>0 ， cos138° cos (90°+48°) −sin48° sin (−48°) ∴ 所 t 以 an = sin138° = sin (90°，+48°) =，cos48° = cos(−48°) =tan(−48°) =−48°+ ·360° ∈ 所以 ．故选D． 3 6【答t案an】( C +18°)= tan −48°+ ·360°+18° =tan −30° =− 3 解： ，且 ， ， 2 2 ∵ >0 ， +1− +1−，( +1) =0 ∴ +1+ +1−( +1) =0 +1 +1 ∴ +1 = +1 ∴ = 又 ， ．故选C． 20 19 3 2 20 19 3 2 ∵ 1 =1 ∴ 20 = 19× 18×⋯× 2× 1× 1 =19×18×⋯×2×1×1=20 7【答案】A 解： 的展开式中含 的项为 ， 5 5 2 2 3 2 ∵ ( 的−展2开 −式1中)含=[(的 项−1为)−2 )] ， 5( −1) (−2 ) 3 2 1 2 1 ( −1) 的展开 式中含 3的⋅ 项⋅的(−系1数)为 ．故选A． 5 2 2 2 2 1 1 ∴8【( 答−案2】 −B1) 5(−2) ⋅ 3⋅(−1) =−120 解： ， 函数 为偶函数， 1 2 又 ∵ − = sin +cos +2 = ∴ ， 当 时， ， 单调递增， 又函 '数 =si为n 偶+函 数co，s −sin + = cos +1 >0 ， ' ≥0 1 ∴ = log2e = (−log2e)= (log2e) ， ， ， 1 1 ∵ 0< sin2 <2 log2e>1 ln3>1 且 ， ln2+ln3 2 ln62 lne2 2 1 1−ln2⋅ln3 1−( 2 ) 1−(2) 1−( 2 ) log2e−ln3= ln2−ln3 ， = ln2 > ln2 = ln2 ， > 即 ln2 =0 ．故选B． 1 1 ∴ log2e>ln3> sin2>0 ∴ (log2e)> (ln3)> (sin2) > > 2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9【答案】BCD 解：对于A， ，故A错误； 2 2 = = 6 =12 对于 ，由题意， ， ，故B正确． B ' =2cos6 ·(6 )'= 3cos6 ∴ ' 18 =3cos 6×18 =−3 对于C，由于该船进出港时，水深应不小于 ，当 时，货船就可以进港，即 ， 4+2= 6(m) ∴ ≥6 2sin6 +5 ≥6 ，得 ，即 ， 1 5 ∴又sin6 ≥2 ，6+2 ≤ 6 或≤ 6 +2 ( ，∈ 即)该船一1+天1之2内 ≤在 港≤口5内+待12的 时( 间∈段 )为 时到 时和 时 到 0≤ 时 ， ≤ 停 24 留的 ∴ 总 1 时 ≤ 间 为 ≤5 小时 13 ， ≤ 故 ≤C正 17 确，D正确． 1 5 13 故选 17 ：BCD． 8 10【答案】BD 解：对于A，已知 ，若 ，则需 ，当 与 重合时 ， 故 可能成立 ， ⊥ 故 错误 ； 1// 1 ⊥ 1 ⊥ 对于 B1/ ， / 已知 ，若 A 成立，则需 ，不合题意，故B正确， 对于C，当 为 ⊥ 的 中点 时 ， ⊥ 在 中， // ， ， ，满足勾股定理， 则 为 直角 三1角形，故C错 △ 误 ；1 1 = 3 = 2 1 = 5 对于△ 1 ， 三棱锥 的体积为 ， 1 1 1 D 1− 1 1− 1 = 1− 1 =3×2×1×2×1= 3 正四棱柱的体积为 ，则三棱锥 的体积是正四棱柱体积的 ，故D正确． 1 故选BD． − 1 1 1 1 =2 1− 1 6 11【答案】BC 解：对于A， 的图象关于 对称， ， ∵ ( ) =1 ∴ (− )= (2+ ) 又函数 为奇函数， ， ， ( ) ∴ (− )=− ( ) ∴ ( +2)=− ( ) ， ， 函数 的周期为 ，故A错误； ∴ ( +4)=− ( +2)= ( ) ∴ ( +4)= ( ) ∴ ( ) 4 对于B， ，故B正确； 对于C， ∵ 20 的 23 图象 = 关 于 505×4 对 + 称 3 ， = 3 = 的 −1 图象 =− 关 于 1 =− 对 1 称， 是偶函数，故C正确； ∵ ( ) =1 ∴ ( +1) =0 ∴ ( +1) 对于D，当 时， ， 1 1− −1 1 ∈(0,1] ( )= (3) =3 ∈(3,1] 的图象关于 对称， 当 时， ， 1 ∵ ( ) =1 ∴ ∈ [1,2) ( )∈(3,1] 又函数 为奇函数，则当 时， ， 1 ( ) ∈ [−1,0) ( )∈[−1,−3) 3当 时， ， 1 又 ∈ (−2，,−1] ( )∈ [−1,−3)， 综上 (0可)得=，0 2的值=域 为0 = −2 =0 ，故D错误． 1 1 故选BC． ( ) [−1,−3)∪{0}∪(3,1] 12【答案】CD 解：对于 ，由抛物线的定义易得，点 的坐标为 或 ，则A错误； 对于B，联A立直线与抛物线方程 ，消去(4得,4) (−4,4) ，得 ， 2 =4 2 所以直线 与抛物线相切 ， = 故 B− 错 1 误； −4 +4=0 Δ=0 对于C， 直=线 −1 与 相切，又直线 与直线 平行， ∵ = −1 = −1 = −2 两平行直线间的距离即 到直线 的最小距离，所求距离为： ，故C正确； −1+2 2 ∴对于D，抛物线 焦 点为 = ，−易2知直线 的斜率存在， 2 = 2 2 设直线 方程为 =4 ，不 (妨0,设1) ， ， 由 ，得 = +1 ， 则( 1, 1) ( 2,， 2) ， = +1 2 2 −4 −4=0 1+ 2 =4 1 2 =−4 =4 2 2 · = 1 2， + 故 1D 2正 = 确 ．1 2+( 1+1)( 2+1)= (1+ ) 1 2+ ( 1+ 2)+1=−4(1+ )+ 2 4故 选+C1D=．−3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13【答案】92 解：由频率分布直方图知 ， 由 得0.035+0.0，20+0.014+0.004+0.002=0.075 10×(0.075+ )=1 =0.025 ， 0设.0该2次+体0.0能4测+试0.1成4绩+的0.2+0.分35位=数0约.75为 ，则由 ， 得 ，80% ．故答案 为： ． −90 ×0.025=0.05 14【 答 − 案 90 】 ×25=50 ∴ =92 92 2 2 ( +3) +( −2) =1 解：根据对称性，两条反射光线的方程分别为 和 ． '1:4 +3 +1=0 '2:3 +4 +6=0 依题意有 4 +3 +1 ，且圆在 轴上方， ， 所求圆的方程为 ， 4 2 +3 2 =1 2 2 3 +4 +6 ∴ =−3, =2 ∴ ( +3) +( −2) =1 故答案为： 4 2 +3 2 =1 ． 2 2 ( +3) +( −2) =1 415【答案】6 解： ，则切点为 ，又 ，切线斜率为 ， 3 切线方 1程为=1 ，1又,1点 '在 切=线1上−， ， ' 1 =−2 则 =−2 +3 ( , ) 2 + =，3当且仅当 ，即 ， 时等号成立． 8 + 8 1 1 8 1 1 16 16 1 故答 案为=： + 6． =3( + )(2 + )= 3(10+ + )≥ 6 = =2 =2 16【答案】4.85 解：记事件B：选取的产品为次品， 记事件 ：此件次品来自甲生产线， 记事件 1：此件次品来自乙生产线， 记事件 2: 此件次品来自丙生产线， 由题意可 3 得 ( )= =0.25， ( )= =0.35， ( )= =0.4， ( | )=0.06， ( | )=0.05， ( | )=0.04， 5 7 8 由全概率公P式可 1 得20 P 2 20 P 3 20 PB 1 PB 2 PB 3 =0.25 0.06+0.35 0.05+0.4 0.04=0.0485， P 从 B( 这 )P 三 = 条 ( 生1P) 产 ⋅B 线 ( 中 | 任1) 意 P+ 选 ( 取2P) 1 ⋅B 件 ( 产 | 品2) 为 P+ 次 ( 品3P) 的 ⋅B 概 ( 率 | 为3)0.0485× ，任意选取 ×100件产 × 品， 设次品数为 ，则 ~ (100，0.0485)，即 ( )=100 0.0485=4.85． 故答案为： ． X XB EX × 4.85 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17解： 设等差数列 的公差为 ， 等差数列 的前 项和为 ， ， ， (1) ，解{ 得 } ， ∵，………{… …} …… ………… …… 5 …=…5… … 8 …=…36…2分 1+4 =5 ∴ 8 1+ 8× 2 7 =36 ， 1 …=…1 … …=…1…………………………………………………………… 分 ∴ =1+( − ， 1)×1= ， ．……………………………………………………43 分 ∵ =log3( ) ∴ =log3( ) ，∴ =3 1 1 1 1 1 2 ∵ +2 = ( +2)=2( − +2) 1 1 1 ∴ 20 = + +…+ + 2 1+ 4 2+…+ 20 10 1 3 3 5 19 21 ，……………………6分 1 1 1 1 1 1 1 2 10 =2[ 1−3 + 3−5 +…+ 19−21 ]+(2×3+4×3 +…+20×3 ) ，…………………………………………7分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ∵令2[ 1−3 + 3−5 +…+ 19−21 ]=，2 1−21 =21 2 10 则 ， R=2×3+4×3 +…+20×3 ① 2 3 11 得： 3R=2×3 +4×3 +…+20×3 ② 2 3 10 11 ①−② −2R=2×3+2 3 +3 +…+3 −20×3 ， 10 3(1−3 ) 11 11 11 11 =2× 1−3 −20×3 =−3+3 −20×3 =−3−19×3 5，……………………………………………………………………………9分 11 3+19×3 ∴ R= 2 ．……………………………………………………………………………10分 11 10 3+19×3 ∴ 18 解 20 ：=21+ 2 又 ， 2 ，即 ， 1 ∵co s 2 − 3si n +2=0 co s 2 =1−2sin 2 ∴解2得sin + 3si n 舍−去3=或0 2si n， …−…3……si …n …+……3…=…0…………………………3分 3 si n =− 3( ) si n = 2 为锐角， ，……………………………………………………………………………4分 ∵ ∴ =3 为锐角三角形， ， ， ∵△ ∴ 0< < 2 0< <2 ， ，……………………………………………………………………5分 2 ∵ = 3 − ∴ 6 < < 2 ， 2 3 1 3 1 ∵…s…in… …+…sin… …=…sin… …+…si…n …3…−… …=…s…in… …+…2…co…s …+…2…sin… …=…3……sin… …×…2…+…co…s …×72分= 3sin +6 ， ， 的取值范围为 ．…………………8分 2 3 3 ∵ 3在< +6 <中，3 由∴余si弦n定 理+可6 得∈ 2 ,1 ∴sin +sin ，即 2, 3 ，…………………9分 2 2 2 2 2 (2) △ 当且仅 当 = + 时 取 − 等 2 号 ， ×cos ， 12 … = … … + … … − … … …………10分 2 2 ∴ 12+的 面=积 为+ ≥2 ( = ，……) 分∴ ≤12 1 1 3 △ 2 sin ≤2×12× 2=3 3 11 ，故当 为等边三角时，有最大面积为 ．……………………………12分 ∵ 19 =证3明：设△棱 的中点为 ，连接 ， 3 3 1是 的中点， ， 1 O∵ ∴ =2 =2 在 中， ，且 ，………………………1分 1 在△ 上 取一点 /，/ 满 足 =2 ， 连=接1 ， ， 在BC 中，由G ，=3 ， DG ， 1 △ ， = ， =3 ∴ // =4 =1 ∴ 四 边 / 形 / 为 = 平 行 四边形， ．……………………3分 又 平面 ， 平面 ， ∴ ∴ //G ⊂ 平面 ．… … ⊄ ……… … ……………………………………5分 解：依题意， 是 的中点， ， ，连接 ，则有 ， ， ∴ // 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 2 O = = ⊥ ⊥ 又 平面 ， 平面 平面 ，且平面 平面 ， ∩ = ⊂ ∴ ⊥ POB 过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ， AO ⊂ ABC ∴ ⊥ POB ∩ POB = P Q ⊥ ABC 6， ，……………………………6分 1 1 3 2 ∴在 − =3中 ， × ，= 3× 4 ×，4 × =4，3 ∴ =3 Rt△ 是 边 长为 的=正6三角 形=，3 ∴ =3，3 ，……………………………7分 ∵以△ 为 原点， 为4 轴， 为 轴∴， 建=立2如3图所∴示 的 空=间3直角坐标系， 则O ， ，OA OB， ， ， ，………………8分 设平 (面2,0 0)的法 向(0量,2为3,0) ，(0,−， 3，,3) =(2, 3,−3) =(0,3 3,−3) 则 =( ， 取 ) ，则 ， ， ，……………9分 ⋅ =2 + 3 −3 =0 又面 的一个法向量为 =，…3……… =……1 … …=……3 …∴… …=…(…3,…1,…3…)……10分 ⋅ =3 3 −3 =0 ABC =(0,0,1) ，……………………………………………………11分 | ⋅ | 3 21 ∴ cos< , >=| |⋅| |=1⋅ 3+1+3= 7 平面 和平面 所成角的余弦值 ．……………………………………………………12分 21 ∴20解： 根据题AB意C可得： 的所有可能7取值为 ， ， ， ， ， ， ，………………1分 (1) ， 24 25 26 27 28 29 30 1 1 1 ( =24)= 10×10=100 ， 1 3 3 ( =25)= 10×10×2= 50 ， 1 2 3 3 17 ( =26)= 10×5×2+10×10=100 ， 1 1 3 2 7 ( =27)= 10×5×2+10×5×2= 25 ， 3 1 2 2 7 ( =28)= 10×5×2+5×5=25 ， 2 1 4 ( =29)= 5×5×2= 25 ，……………………………………………………………………………4分 1 1 1 ( 的=分3布0)列=为5×：5=25 ∴ 24 25 26 27 28 29 30 1 3 17 7 7 4 1 ………… 1 … 00 …… 5 … 0 …… 10 … 0 …… 25 ……… 25 ……… 25 …… 2 … 5 …………………………………………………5分 ．……………7分 1 3 17 7 7 4 1 ( 当)=每两24天×生10产0+配2送5×50百+份26时×，10利0润+2为7：×25+28×25+29×25+30×25 =27.4 (2) 27 1 3 17 1 3 (24×10−3×20)×100+(25×10−2×20)×50+(26×10−1×20)×100+27×10×(1−100−50− 百元 ，……………………………………………………………………………9分 17 100)=260.4( ) 7当每两天生产配送 百份时，利润为： 28 1 3 17 (24×10−4×20)×100+(25×10−3×20)×50+(26×10−2×20)×100+(27×10−1×20)× 百元 ，………………………………………………………………………11分 7 12 25+28×10×25，=选25择4.8每(天生)产配送 百份．……………………………………………………12分 ∵ 260解.4：>根25据4.8题意∴得 27，又 ，解得 ， ，…………………1分 2 =4 2 2 2 21(1) 2 2 > >0 =4 =2 ，所4以椭 圆+ 的=方程4 为6 ，……………………………………………………2分 2 2 2 2 2 ∴椭 圆=的 焦−点 坐=标2为 ， 长轴上两个4 +顶2点=坐1标为 ， 依题意 ，设双曲线 (± 2,0) ， (±2,0) 2 2 2 2 :m − =1( >0, >0) 则 ，解得 ，……………………………………………………3分 = 2 2 2 = = 2 所以双 曲+线 的=方2程是 ，即 .……………………………………………4分 2 2 2 2 证明：易 知直线 一2 −定不2 =为1水平直 线−， 设=为2 ，设 ， ， ， (联2)立 ，整 理得 = + ，… …( … 1,… 1 …) … …( … 2,… 2 …) … 5 (分− 2, 2) 2 2 − =2 2 2 2 ( −1) +2 + −2=0 则 = + ， ，……………………………………………………6分 2 2 −2 由于 1 外+接 2 圆=过−原 2 点−1且关 1 于 2 =轴 对 2 −称1，设为 ，……………………………7分 2 2 将 ， 代入 圆的方程得 + + =0， 2 2 1+ 1+ 1 =0 消去 ( 1 得, 1) ( 2, 2) ，…… 2 2 … + … 2 2 … + … … 2 … = … 0 ……………………………8分 2 2 2 2 又 2( 1+， 1)= 1( 2+， 2) ， 2 2 2 2 2 2 化简 1得=2+ 1 2 =2+ 2 ∴ ，2(2 1+2)= 1(2 2+2) 2， 1 2 1− 2，=…2… …1−… 2…………………………………………………………………9分 ∵ 1≠ 2 ∴ 1 2 =1 由 ， ，……………………………………………………10分 2 −2 2 2 1 2 = 2 −1=1 = +1 则原点到直线 的距离 ，……………………………………………11分 即直线 与圆 = 相切 2 ．+1… = … 1 ………………………………………………12分 2 2 + =1 22 解： ，令 ，解得 ， 当 (1) 时 '( ， )= e − ， ( 当 >0) 时 ' ， ( )=0 ，… … = … ln …………………………………2分 > ln '( )>0 < ln '( )<0 有极小值 ， ，即 .……………………………………………3分 ∴ ( ) (ln ) ∴ ln =1 =e 8证明：不等式 恒成立即 恒成立， (2) ' > ( ) e −ln +2 >0 设 ，则 ，………………………………………………4分 1 ℎ( )= e −ln +2 ℎ'( )= e − +2 易知 是定义域上的增函数，又 ， ， 1 1 ℎ'( ) ℎ' 0 =1−2 >0 ℎ' −1 = e−1<0 则 在 上有一个根 ，……………………………………………5分 1 此时ℎ' =在e − +2 =单0调递(−减1，,0在) 单调 递 0 增， 的最小值为 ，……6分 0 ℎ( ) (，−1, 0) ，( 0,0) ℎ( ) ℎ 0 =e −ln 0+2 0 1 ∵ e = 0+2 ∴ 0 =−ln 0+2 ，……………………………7分 2 2 1 1+ 0 +2 0 (1+ 0) ∵ 0 ∈(−1,0)∴ ℎ 0 恒成=立 0+，2+故 结 0 论=成立 0+.2……=…… 0+…2…>…0………………………………8分 ∴（e）−证ln明 ：+由2 >知0， ，令 ， − +1 3 (2) e >ln( +2) = 则 ， ．………………………………………9分 − +1 − +1 +1 − +1 +1 e >ln( +2)= ln ∴e >(ln ) 由此可知，当 时， ，当 时， ， 0 −1 3 2 =1 e >ln2 =2 e >(ln2) 当 时， ， ，当 时， ， −2 4 3 − +1 +1 =3 e >(ln3) … = e >(ln ) 累加得 ，…………10分 0 −1 −2 − +1 3 2 4 3 +1 e +e +e +…+e >ln2+(ln2) +(ln3) +…+(ln ) 又 ，………………………………………11分 1 0 −1 −2 − +1 1−(e) 1 e 1 1 e +e +e +…+e = 1−e <1−e =e−1 所以 ．…………………………………………12分 3 2 4 3 +1 e ln2+(ln2) +(ln3) +…+(ln )