广东省新高考普通高中学科综合素养评价高三年级期末考
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D B D C A B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BCD BD BC CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 14. 15. 16.
2 2
92 ( +3) +( −2) =1 6 4.85
详细解答
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1【答案】C
解： ，集合 ，
∵ ={ || |< 2}={ |−2< <2} ={ | −2 >0}= { | <2}
因为 ，所以 ，解得 ．故选C．
2【答 案∩】 D = −2< <1 2=1 =2
解： ， ， 复数 ，
1 1+2i (1+2i)(2+i) 5i
又 ，∵ 1 在=复1+平2面i内 的 2 对=应2−点i关于∴ 虚轴 对 3 =称3，+ 2 =3+ 2−i，=故3选+ D．4−i 2 =3+ 5 =3+i
3【 3答案 4】D ∴ 4 =−3+i
解： ， ， ， ，
∵ = 1,−1 ∴ = 2 ∵ = 1 +2 ，= 2 ，
2 2 2
∴ ( +2 ) = +4 ⋅ +4 = 2+4 ⋅ +4 = 2 ∴ ⋅ =−1
， 向量 与向量 的夹角为 ，故选 D．
2
∴ · +2 = +2 · = 2−2= 0 ∴ +2 2
14【答案】B
解：设半球的半径为 ，圆锥母线长为 ，由 得 ，
所以这款冰激凌的体积 为： 2 = ×6 =3
．
1 4 3 1 2 2 2 2 3 1 2 2 2
V 故 = 选2× B 3． +3 ×( )× − =3 ×3 +3 ×3 × 6 −3 =18 +9 3
5【答案】D
解：因为 ， ，得到点 在第四象限，即 为第四象限角，
cos138°<0 sin138°>0
，
cos138° cos (90°+48°) −sin48° sin (−48°)
∴ 所 t 以 an = sin138° = sin (90°，+48°) =，cos48° = cos(−48°) =tan(−48°)
=−48°+ ·360° ∈
所以 ．故选D．
3
6【答t案an】( C +18°)= tan −48°+ ·360°+18° =tan −30° =− 3
解： ，且 ， ，
2 2
∵ >0 ， +1− +1−，( +1) =0 ∴ +1+ +1−( +1) =0
+1 +1
∴ +1 = +1 ∴ =
又 ， ．故选C．
20 19 3 2 20 19 3 2
∵ 1 =1 ∴ 20 = 19× 18×⋯× 2× 1× 1 =19×18×⋯×2×1×1=20
7【答案】A
解： 的展开式中含 的项为 ，
5 5 2 2 3 2
∵ ( 的−展2开 −式1中)含=[(的 项−1为)−2 )] ， 5( −1) (−2 )
3 2 1 2 1
( −1) 的展开 式中含 3的⋅ 项⋅的(−系1数)为 ．故选A．
5 2 2 2 2 1 1
∴8【( 答−案2】 −B1) 5(−2) ⋅ 3⋅(−1) =−120
解： ， 函数 为偶函数，
1 2
又
∵ − = sin +cos +2 = ∴
，
当
时， ， 单调递增，
又函 '数 =si为n 偶+函 数co，s −sin + = cos +1 >0 ， ' ≥0
1
∴ = log2e = (−log2e)= (log2e)
， ， ，
1 1
∵ 0< sin2 <2 log2e>1 ln3>1
且 ，
ln2+ln3 2 ln62 lne2 2
1 1−ln2⋅ln3 1−( 2 ) 1−(2) 1−( 2 )
log2e−ln3= ln2−ln3 ， = ln2 > ln2 = ln2 ， > 即 ln2 =0 ．故选B．
1 1
∴ log2e>ln3> sin2>0 ∴ (log2e)> (ln3)> (sin2) > >
2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9【答案】BCD
解：对于A， ，故A错误；
2 2
= = 6 =12
对于 ，由题意， ， ，故B正确．
B ' =2cos6 ·(6 )'= 3cos6 ∴ ' 18 =3cos 6×18 =−3
对于C，由于该船进出港时，水深应不小于 ，当 时，货船就可以进港，即 ，
4+2= 6(m) ∴ ≥6 2sin6 +5 ≥6
，得 ，即 ，
1 5
∴又sin6 ≥2 ，6+2 ≤ 6 或≤ 6 +2 ( ，∈ 即)该船一1+天1之2内 ≤在 港≤口5内+待12的 时( 间∈段 )为 时到 时和 时
到
0≤
时
，
≤
停
24
留的
∴
总
1
时
≤
间
为
≤5
小时
13
，
≤
故
≤C正
17
确，D正确．
1 5 13
故选
17
：BCD．
8
10【答案】BD
解：对于A，已知 ，若 ，则需 ，当 与 重合时 ，
故 可能成立 ， ⊥ 故 错误 ； 1// 1 ⊥ 1 ⊥
对于 B1/ ， / 已知 ，若 A 成立，则需 ，不合题意，故B正确，
对于C，当 为
⊥
的
中点
时
，
⊥
在
中，
//
， ， ，满足勾股定理，
则 为 直角 三1角形，故C错 △ 误 ；1 1 = 3 = 2 1 = 5
对于△ 1 ， 三棱锥 的体积为 ，
1 1 1
D 1− 1 1− 1 = 1− 1 =3×2×1×2×1= 3
正四棱柱的体积为 ，则三棱锥 的体积是正四棱柱体积的 ，故D正确．
1
故选BD． − 1 1 1 1 =2 1− 1 6
11【答案】BC
解：对于A， 的图象关于 对称， ，
∵ ( ) =1 ∴ (− )= (2+ )
又函数 为奇函数， ， ，
( ) ∴ (− )=− ( ) ∴ ( +2)=− ( )
， ， 函数 的周期为 ，故A错误；
∴ ( +4)=− ( +2)= ( ) ∴ ( +4)= ( ) ∴ ( ) 4
对于B， ，故B正确；
对于C，
∵ 20
的
23
图象
=
关
于
505×4
对
+
称
3
，
= 3 =
的
−1
图象
=−
关
于
1 =−
对
1
称， 是偶函数，故C正确；
∵ ( ) =1 ∴ ( +1) =0 ∴ ( +1)
对于D，当 时， ，
1 1− −1 1
∈(0,1] ( )= (3) =3 ∈(3,1]
的图象关于 对称， 当 时， ，
1
∵ ( ) =1 ∴ ∈ [1,2) ( )∈(3,1]
又函数 为奇函数，则当 时， ，
1
( ) ∈ [−1,0) ( )∈[−1,−3)
3当 时， ，
1
又 ∈ (−2，,−1] ( )∈ [−1,−3)，
综上 (0可)得=，0 2的值=域 为0 = −2 =0 ，故D错误．
1 1
故选BC． ( ) [−1,−3)∪{0}∪(3,1]
12【答案】CD
解：对于 ，由抛物线的定义易得，点 的坐标为 或 ，则A错误；
对于B，联A立直线与抛物线方程 ，消去(4得,4) (−4,4) ，得 ，
2
=4 2
所以直线 与抛物线相切 ， = 故 B− 错 1 误； −4 +4=0 Δ=0
对于C， 直=线 −1 与 相切，又直线 与直线 平行，
∵ = −1 = −1 = −2
两平行直线间的距离即 到直线 的最小距离，所求距离为： ，故C正确；
−1+2 2
∴对于D，抛物线 焦 点为 = ，−易2知直线 的斜率存在， 2 = 2
2
设直线 方程为 =4 ，不 (妨0,设1) ， ，
由 ，得 = +1 ， 则( 1, 1) ( 2,， 2) ，
= +1 2
2 −4 −4=0 1+ 2 =4 1 2 =−4
=4
2 2
· = 1 2， + 故 1D 2正 = 确 ．1 2+( 1+1)( 2+1)= (1+ ) 1 2+ ( 1+ 2)+1=−4(1+ )+
2
4故 选+C1D=．−3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13【答案】92
解：由频率分布直方图知 ，
由 得0.035+0.0，20+0.014+0.004+0.002=0.075
10×(0.075+ )=1 =0.025 ，
0设.0该2次+体0.0能4测+试0.1成4绩+的0.2+0.分35位=数0约.75为 ，则由 ，
得 ，80% ．故答案 为： ． −90 ×0.025=0.05
14【
答
−
案
90
】
×25=50 ∴ =92 92
2 2
( +3) +( −2) =1
解：根据对称性，两条反射光线的方程分别为 和 ．
'1:4 +3 +1=0 '2:3 +4 +6=0
依题意有 4 +3 +1 ，且圆在 轴上方， ， 所求圆的方程为 ，
4 2 +3 2 =1 2 2
3 +4 +6 ∴ =−3, =2 ∴ ( +3) +( −2) =1
故答案为： 4 2 +3 2 =1 ．
2 2
( +3) +( −2) =1
415【答案】6
解： ，则切点为 ，又 ，切线斜率为 ，
3
切线方 1程为=1 ，1又,1点 '在 切=线1上−， ， ' 1 =−2
则 =−2 +3 ( , ) 2 + =，3当且仅当 ，即 ， 时等号成立．
8 + 8 1 1 8 1 1 16 16 1
故答 案为=： + 6． =3( + )(2 + )= 3(10+ + )≥ 6 = =2 =2
16【答案】4.85
解：记事件B：选取的产品为次品，
记事件 ：此件次品来自甲生产线，
记事件
1：此件次品来自乙生产线，
记事件 2: 此件次品来自丙生产线，
由题意可 3 得 ( )= =0.25， ( )= =0.35， ( )= =0.4， ( | )=0.06， ( | )=0.05， ( | )=0.04，
5 7 8
由全概率公P式可 1 得20 P 2 20 P 3 20 PB 1 PB 2 PB 3
=0.25 0.06+0.35 0.05+0.4 0.04=0.0485，
P
从
B(
这
)P
三
=
条
(
生1P) 产
⋅B
线
(
中
|
任1) 意
P+
选
(
取2P) 1
⋅B
件
(
产
|
品2) 为
P+
次
(
品3P) 的
⋅B
概
(
率
|
为3)0.0485× ，任意选取 ×100件产
×
品，
设次品数为 ，则 ~ (100，0.0485)，即 ( )=100 0.0485=4.85．
故答案为： ．
X XB EX ×
4.85
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17解： 设等差数列 的公差为 ， 等差数列 的前 项和为 ， ， ，
(1) ，解{ 得 } ， ∵，………{… …} …… ………… …… 5 …=…5… … 8 …=…36…2分
1+4 =5
∴ 8 1+ 8× 2 7 =36 ， 1 …=…1 … …=…1…………………………………………………………… 分
∴ =1+( − ， 1)×1= ， ．……………………………………………………43 分
∵ =log3( ) ∴ =log3( ) ，∴ =3
1 1 1 1 1
2 ∵ +2 = ( +2)=2( − +2)
1 1 1
∴ 20 = + +…+ + 2 1+ 4 2+…+ 20 10
1 3 3 5 19 21 ，……………………6分
1 1 1 1 1 1 1 2 10
=2[ 1−3 + 3−5 +…+ 19−21 ]+(2×3+4×3 +…+20×3 )
，…………………………………………7分
1 1 1 1 1 1 1 1 1 10
∵令2[ 1−3 + 3−5 +…+ 19−21 ]=，2 1−21 =21
2 10
则 ，
R=2×3+4×3 +…+20×3 ①
2 3 11
得：
3R=2×3 +4×3 +…+20×3 ②
2 3 10 11
①−② −2R=2×3+2 3 +3 +…+3 −20×3 ，
10
3(1−3 ) 11 11 11 11
=2× 1−3 −20×3 =−3+3 −20×3 =−3−19×3
5，……………………………………………………………………………9分
11
3+19×3
∴ R= 2
．……………………………………………………………………………10分
11
10 3+19×3
∴ 18 解 20 ：=21+ 2 又 ，
2
，即 ，
1 ∵co s 2 − 3si n +2=0 co s 2 =1−2sin
2
∴解2得sin + 3si n 舍−去3=或0 2si n， …−…3……si …n …+……3…=…0…………………………3分
3
si n =− 3( ) si n = 2
为锐角， ，……………………………………………………………………………4分
∵ ∴ =3
为锐角三角形， ， ，
∵△ ∴ 0< < 2 0< <2
， ，……………………………………………………………………5分
2
∵ = 3 − ∴ 6 < < 2
，
2 3 1 3 1
∵…s…in… …+…sin… …=…sin… …+…si…n …3…−… …=…s…in… …+…2…co…s …+…2…sin… …=…3……sin… …×…2…+…co…s …×72分= 3sin +6
， ， 的取值范围为 ．…………………8分
2 3 3
∵ 3在< +6 <中，3 由∴余si弦n定 理+可6 得∈ 2 ,1 ∴sin +sin ，即 2, 3 ，…………………9分
2 2 2 2 2
(2) △
当且仅
当
= +
时
取
−
等
2
号
，
×cos
，
12
…
=
…
…
+
…
…
−
…
…
…………10分
2 2
∴ 12+的 面=积 为+ ≥2 ( = ，……) 分∴ ≤12
1 1 3
△ 2 sin ≤2×12× 2=3 3 11
，故当 为等边三角时，有最大面积为 ．……………………………12分
∵ 19 =证3明：设△棱 的中点为 ，连接 ， 3 3
1是 的中点， ，
1
O∵ ∴ =2 =2
在 中， ，且 ，………………………1分
1
在△ 上 取一点 /，/ 满 足 =2 ， 连=接1 ， ，
在BC 中，由G ，=3 ， DG ，
1
△ ， = ， =3 ∴ // =4 =1
∴
四
边
/
形
/
为
=
平
行
四边形， ．……………………3分
又 平面 ， 平面 ，
∴ ∴ //G
⊂
平面
．…
…
⊄
………
…
……………………………………5分
解：依题意， 是 的中点， ， ，连接 ，则有 ， ，
∴ //
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
2 O = = ⊥ ⊥
又 平面 ， 平面 平面 ，且平面 平面 ，
∩ = ⊂ ∴ ⊥ POB
过 作 的垂线，垂足为 ，则 平面 ，
AO ⊂ ABC ∴ ⊥ POB ∩ POB =
P Q ⊥ ABC
6， ，……………………………6分
1 1 3 2
∴在 − =3中 ， × ，= 3× 4 ×，4 × =4，3 ∴ =3
Rt△ 是 边 长为 的=正6三角 形=，3 ∴ =3，3 ，……………………………7分
∵以△ 为 原点， 为4 轴， 为 轴∴， 建=立2如3图所∴示 的 空=间3直角坐标系，
则O ， ，OA OB， ， ， ，………………8分
设平 (面2,0 0)的法 向(0量,2为3,0) ，(0,−， 3，,3) =(2, 3,−3) =(0,3 3,−3)
则 =( ， 取 ) ，则 ， ， ，……………9分
⋅ =2 + 3 −3 =0
又面 的一个法向量为 =，…3……… =……1 … …=……3 …∴… …=…(…3,…1,…3…)……10分
⋅ =3 3 −3 =0
ABC =(0,0,1) ，……………………………………………………11分
| ⋅ | 3 21
∴ cos< , >=| |⋅| |=1⋅ 3+1+3= 7
平面 和平面 所成角的余弦值 ．……………………………………………………12分
21
∴20解： 根据题AB意C可得： 的所有可能7取值为 ， ， ， ， ， ， ，………………1分
(1) ， 24 25 26 27 28 29 30
1 1 1
( =24)= 10×10=100
，
1 3 3
( =25)= 10×10×2= 50
，
1 2 3 3 17
( =26)= 10×5×2+10×10=100
，
1 1 3 2 7
( =27)= 10×5×2+10×5×2= 25
，
3 1 2 2 7
( =28)= 10×5×2+5×5=25
，
2 1 4
( =29)= 5×5×2= 25
，……………………………………………………………………………4分
1 1 1
( 的=分3布0)列=为5×：5=25
∴
24 25 26 27 28 29 30
1 3 17 7 7 4 1
…………
1
…
00
……
5
…
0
……
10
…
0
……
25
………
25
………
25
……
2
…
5
…………………………………………………5分
．……………7分
1 3 17 7 7 4 1
( 当)=每两24天×生10产0+配2送5×50百+份26时×，10利0润+2为7：×25+28×25+29×25+30×25 =27.4
(2) 27
1 3 17 1 3
(24×10−3×20)×100+(25×10−2×20)×50+(26×10−1×20)×100+27×10×(1−100−50−
百元 ，……………………………………………………………………………9分
17
100)=260.4( )
7当每两天生产配送 百份时，利润为：
28
1 3 17
(24×10−4×20)×100+(25×10−3×20)×50+(26×10−2×20)×100+(27×10−1×20)×
百元 ，………………………………………………………………………11分
7 12
25+28×10×25，=选25择4.8每(天生)产配送 百份．……………………………………………………12分
∵ 260解.4：>根25据4.8题意∴得 27，又 ，解得 ， ，…………………1分
2 =4 2 2 2
21(1) 2 2 > >0 =4 =2
，所4以椭 圆+ 的=方程4 为6 ，……………………………………………………2分
2 2
2 2 2
∴椭 圆=的 焦−点 坐=标2为 ， 长轴上两个4 +顶2点=坐1标为 ，
依题意 ，设双曲线 (± 2,0) ， (±2,0)
2 2
2 2
:m − =1( >0, >0)
则 ，解得 ，……………………………………………………3分
= 2
2 2 = = 2
所以双 曲+线 的=方2程是 ，即 .……………………………………………4分
2 2
2 2
证明：易 知直线 一2 −定不2 =为1水平直 线−， 设=为2 ，设 ， ， ，
(联2)立 ，整 理得 = + ，… …( … 1,… 1 …) … …( … 2,… 2 …) … 5 (分− 2, 2)
2 2
− =2 2 2 2
( −1) +2 + −2=0
则 = + ， ，……………………………………………………6分
2
2 −2
由于 1 外+接 2 圆=过−原 2 点−1且关 1 于 2 =轴 对 2 −称1，设为 ，……………………………7分
2 2
将 ， 代入 圆的方程得 + + =0，
2 2
1+ 1+ 1 =0
消去 ( 1 得, 1) ( 2, 2) ，……
2
2 …
+
…
2
2 …
+
…
…
2
…
=
…
0
……………………………8分
2 2 2 2
又 2( 1+， 1)= 1( 2+， 2) ，
2 2 2 2 2 2
化简 1得=2+ 1 2 =2+ 2 ∴ ，2(2 1+2)= 1(2 2+2)
2， 1 2 1− 2，=…2… …1−… 2…………………………………………………………………9分
∵ 1≠ 2 ∴ 1 2 =1
由 ， ，……………………………………………………10分
2
−2 2 2
1 2 = 2 −1=1 = +1
则原点到直线 的距离 ，……………………………………………11分
即直线 与圆 = 相切 2 ．+1… = … 1 ………………………………………………12分
2 2
+ =1
22 解： ，令 ，解得 ，
当
(1)
时
'(
，
)= e −
，
(
当
>0)
时
'
，
( )=0
，…
…
=
…
ln
…………………………………2分
> ln '( )>0 < ln '( )<0
有极小值 ， ，即 .……………………………………………3分
∴ ( ) (ln ) ∴ ln =1 =e
8证明：不等式 恒成立即 恒成立，
(2) ' > ( ) e −ln +2 >0
设 ，则 ，………………………………………………4分
1
ℎ( )= e −ln +2 ℎ'( )= e − +2
易知 是定义域上的增函数，又 ， ，
1 1
ℎ'( ) ℎ' 0 =1−2 >0 ℎ' −1 = e−1<0
则 在 上有一个根 ，……………………………………………5分
1
此时ℎ' =在e − +2 =单0调递(−减1，,0在) 单调 递 0 增， 的最小值为 ，……6分
0
ℎ( ) (，−1, 0) ，( 0,0) ℎ( ) ℎ 0 =e −ln 0+2
0 1
∵ e = 0+2 ∴ 0 =−ln 0+2
，……………………………7分
2 2
1 1+ 0 +2 0 (1+ 0)
∵ 0 ∈(−1,0)∴ ℎ 0 恒成=立 0+，2+故 结 0 论=成立 0+.2……=…… 0+…2…>…0………………………………8分
∴（e）−证ln明 ：+由2 >知0， ，令 ，
− +1
3 (2) e >ln( +2) =
则 ， ．………………………………………9分
− +1
− +1 +1 − +1 +1
e >ln( +2)= ln ∴e >(ln )
由此可知，当 时， ，当 时， ，
0 −1 3 2
=1 e >ln2 =2 e >(ln2)
当 时， ， ，当 时， ，
−2 4 3 − +1 +1
=3 e >(ln3) … = e >(ln )
累加得 ，…………10分
0 −1 −2 − +1 3 2 4 3 +1
e +e +e +…+e >ln2+(ln2) +(ln3) +…+(ln )
又 ，………………………………………11分
1
0 −1 −2 − +1 1−(e) 1 e
1 1
e +e +e +…+e = 1−e <1−e =e−1
所以 ．…………………………………………12分
3 2 4 3 +1 e
ln2+(ln2) +(ln3) +…+(ln ) <e−1
9
