专题08一元一次方程重难点题型12个（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题 08 一元一次方程 重难点题型 12 个 题型1 方程与一元一次方程的辨别 1．（2022·河南七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式；判断即可． 【详解】解：A、 ，属于方程，符合题意；B、 ，不是等式，不属于方程，不符合题意； C、 ，不是等式，不属于方程，不符合题意；D、 ，没有未知数，不属于方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义，本题属于基础题型． 2．（2022·山西七年级期中）下面的式子中，（ ）是方程． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程的定义逐项排查即可． 【详解】解：A. 是单项式，不是方程；B. 是整式，不是方程； C. 是方程；D. 是不等式，不是方程．故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，理解方程是含有未知数的等式成为解答本题的关键． 3．（2022·成都市七年级月考）在下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中是方程的有（ ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】方程：含有未知数的等式，根据方程的定义逐一判断可得答案． 【详解】解：① ；② ；⑦ 是方程．③ 是代数式； ④ ；⑤ 是不等式；⑥ 是等式；故选： 【点睛】本题考查的是方程的识别，掌握方程的概念是解题的关键． 4．（2022·仁寿县七年级期中）下列方程中，一元一次方程共有( )个①4x-3=5x-2；②3x-4y=5；③3x+1= ； ④ + =0；⑤ ；⑥x-1=12 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义得出即可． 【详解】解：①4x−3＝5x−2，是一元一次方程，符合题意； ②3x-4y=5，含有2个未知数，不是一元一次方程，不合题意； ③3x＋1＝ ，分母含有字母，不是一元一次方程，不合题意； ④ + =0，是一元一次方程，符合题意； ⑤ ，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不合题意； ⑥x−1＝12，是一元一次方程，符合题意．故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都 是整式，这样的方程叫做一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键． 5．（2022·吉林·大安市七年级期末）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A．x+2y=5 B．x2+x-1=0 C． D．3x+1= 10 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义分析即可得出结论． 【详解】解：方程x+2y=5中含有两个未知数，不是一元一次方程，故A项错误； 方程x2+x-1=0中未知数的最高次数为2次，不是一元一次方程，故B项错误； 代数式 不是等式，更不是一元一次方程，故C项错误； 方程3x+1= 10含有一个未知数，且未知数的次数为1，是一元一次方程，故D正确；故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟记一元一次方程的定义是解题的关键． 6．（2022·福建七年级期末）下列是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、不是一元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项正确；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本选项错误； D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本选项错误．故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数 （元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且 a≠0）． 题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值 【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 1．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）若关于x的方程kx|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．0或2 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的概念列出方程及不等式求解． 【详解】∵关于x的方程 是一元一次方程， ∴ ，且 ， 解得： ，故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 2．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程 是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程 叫做一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：∵方程 是关于 的一元一次方程， ∴ 即 ．故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义． 3．（2022·四川·安岳县七年级期中）已知方程 是关于x的一元一次方程，则m的值是 ______．【答案】1 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程，根据定义求解即可． 【详解】解：根据题意得： 且m＋1≠0，解得：m＝1．故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不 是0，这是这类题目考查的重点． 4．（2022·福建泉州·七年级期末）若 是关于 的方程 的解，则 的值为（ ） A．2 B．8 C．－3 D．－8 【答案】B 【分析】将x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，将该整体代入6a-2b-2中即可得出答案． 【详解】解：将x=3代入ax-b=5中得：3a-b=5， 所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握整体法是解题的关键． 5．（2022·河南开封·七年级期中）若关于x的一元一次方程 的解是x＝﹣1，则k的值是 （ ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的 式子左右两边相等．已知x＝﹣1是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值． 【详解】解：把x＝﹣1代入方程得： 1， 解得：k＝1，故选：B． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，是一个基础的题目，注意细心运算即可． 6．（2022·江苏·七年级单元测试）已知a，b为定值，关于x的方程 ，无论k为何值，它 的解总是x＝2，则a＋b＝________． 【答案】﹣3 【分析】把x＝2代入方程 ，得 ，可得 ，再根据题 意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，进而可得a、b的值，从而可得答案．【详解】解：把x＝2代入方程 ，得： ， ， 4k＋2a＝6﹣4﹣bk， 4k＋bk＋2a﹣2＝0， ， ∵无论k为何值，它的解总是1，∴4＋b＝0，2a﹣2＝0， 解得：b＝﹣4，a＝1则a＋b＝﹣3．故答案为：﹣3． 【点睛】本题主要考查方程解的定义，由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键． 题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】 等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 1．（2022·海南·海口中学七年级期末）已知 ，根据等式的性质，可以推导出的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式的性质依次判断即可． 【详解】解：a=b，A、a+2≠b+1，选项不符合题意； B、-3a=-3b，选项符合题意；C、2a=2b，∴2a-3≠2b，选项不符合题意； D、当c≠0时， ，选项不符合题意；故选：B． 【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键． 2．（2022·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）下列等式变形，正确的是（ ） A．若5x=7-4x，则5x-4x=7 B．若7x=2，则x=3.5 C．若x-3(4x-1)=9，则x-12x-3=9 D．若 ，则2(3x-2)=x+2-6． 【答案】D【分析】根据等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、若5x=7-4x，则5x+4x=7，故该选项不符合题意； B、若7x=2，则x= ，故该选项不符合题意； C、若x-3（4x-1）=9，则x-12x+3=9，故该选项不符合题意； D、若 ，则2（3x-2）=x+2-6，故该选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 3．（2022·黑龙江大庆·期末）下列各式运用等式的性质变形，正确的是（ ） A．由 ，得 B．由 ，得 C．由 ，得 D．若 ，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A．由 ，得 ，原式错误，故此选项不符合题意； B．由 ，得 ，原式错误，故此选项不符合题意； C．由 ，得 ，原式错误，故此选项不符合题意； D．若 ，则 ，正确，故此选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 4．（2022·四川成都·八年级期末）某小组设计了一组数学实验，给全班同学展示以下三个图，其中（a） （b）中天平保持左右平衡，现要使（c）中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ） A．25克 B．30克 C．40克 D．50克 【答案】C 【分析】由图（a）和图（b）可得5个黑三角和5个黑圆共重150克，从而1个黑三角和1个黑圆共重30 克，由此可计算出1个黑三角重20克，1个黑圆重10克，可计算出此题结果．【详解】设一个黑三角重a克，一个黑圆重b克，由题意， 得5（a+b）=150，解得a+b=30， 由图（a）得，a+2（a+b）=80， 即a+2×30=80，解得a=20， ∴b=30-20=10，∴a+2b=20+10×2=20+20=40，故选：C． 【点睛】此题考查了利用等式的性质和方程解决实际问题的能力，关键是能根据题意列出关系式，利用等 式的性质进行计算． 5．（2022·江苏泰州·七年级期末）已知方程x-2y=5，请用含x的代数式表示y，则y=_______． 【答案】 【分析】先移项，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，−2y＝5−x， y的系数化为1得， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知等式的基本性质是解答此题的关键． 6．（2022·江苏·七年级专题练习）有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个都轻1克，为 了找出这两个轻球，用天平称了三次：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次 ①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是（ ） A．③④ B．③⑥ C．③⑤ D．④⑤ 【答案】D 【分析】根据第一次①+②比③+④重，可得③与④中至少有一个轻球，再由第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，可 得⑤与⑥至少有一个轻球，然后第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重，可得④是轻球，即可求解． 【详解】解：∵第一次①+②比③+④重， ∴③与④中至少有一个轻球， ∵第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻， ∴⑤与⑥至少有一个轻球， ∵第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重， ∴④是轻球， ∴另一个轻球为⑤， ∴两个轻球的编号是④⑤．故选：D 【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活应用等式性质的性质是解题关键． 题型4 一元一次方程中的同解问题 解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。 1．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程 的解是 的解的2倍，则m的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：方程4x-2m=3x-1， 解得：x=2m-1， 方程x=2x-3m， 解得：x=3m， 根据题意得：2m-1=6m， 解得：m=- ．故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如果方程 与方程3xk 10的解相同，则k的值为（ ） A．2 B．2 C．4 D．4 【答案】C 【分析】解方程2x=4，求出x，根据同解方程的定义计算即可． 【详解】解：∵2x=4，∴x=2， ∵方程2x=4与方程3x+k=-2的解相同，∴3×2+k=10解得，k=4，故选：C． 【点睛】本题考查的是同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·江苏·太仓市第一中学七年级期中）如果关于 的方程 和 的解相同，那 么m=__________． 【答案】1 【分析】首先求得方程x=2x−3的解x，然后将x代入到方程4x−2m=3x+1中，即可求得m． 【详解】解：x=2x−3， 移项，得x−2x=−3，合并同类项，得−x=−3， 系数化为1，得x=3， ∵两方程同解，那么将x=3代入方程4x−2m=3x+1， 得12−2m=10， 移项，得−2m=−2， 系数化为1，得m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查含有参数的一元一次方程同解问题，难度不大，真正理解方程的解的含义是顺利解题的 关键． 4．（2022·山东烟台·期末）若关于x的方程 的解与关于x的方程 的解互为 相反数，则k=______． 【答案】15 【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可； 【详解】解： ， ， ， ， ， 解方程： ， ， ， ， 根据题意列出方程 ， 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 进行计算，解题关键正确应用运算法则．5．（2022·河南许昌·七年级期末）如果关于x的方程 的解与关于x的方程 的解互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】分别求出每个方程的解，然后根据相反数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程 ，得 ， 解方程 ，得 ， 因为两个方程的解互为相反数，所以 ， 解得 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据相反数的性质得到新的方程是解题的关键． 6．（2022·河南南阳·七年级期中）（1） 取何值时，代数式 与 的值互为相反数？ （2） 取何值时，关于 的方程 和 的解相同？ 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值； （2）根据题意列出方程，求出方程的解即可得到k的值． 【详解】解：（1）由题意，得 ， 解得 ， 答：当 时，代数式 与 的值互为相反数； （2） ， ， ， 解得 ，方程 和 的解相同， 把 代入 得 ， 解得 ， 答：当 时，关于 的方程 和 的解相同． 【点睛】此题考查解一元一次方程，涉及到相反数的性质，同解方程的概念等知识点，熟练掌握一元一次 方程的解法是解本题的关键． 题型5 方程的特殊解问题（求参数的值） 解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程。 x (a3)x2021 a 1．（2022·上海市八年级期中）如果关于 的方程 有解，那么实数 的取值范围是（ ） A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 【答案】D 【分析】根据方程有解确定出a的范围即可． x (a3)x2021 a30 a3 【详解】解：∵关于 的方程 有解，∴ ，∴ ；故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键． 2．（2022·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝ ________ 2  【答案】 3 【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b， 3a30 2 2 2  根据方程有无数多解，可得： 2a3b0 ，解得：a=1，b=- 3 ，因此ab=- 3 ．故答案为：- 3 . 3．（2022·长沙市七年级月考）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时， b 有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知 ax x 1 关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ） 3 2 6 A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【答案】A 【详解】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6，移项，合并得， 3 x= ，因为无解，所以a﹣1=0，即a=1．故选A． a1 点睛：此类方程要用字母表示未知数后，清楚什么时候是无解，然后再求字母的取值． 4．（2022·江阴市周庄中学七年级月考）已知方程（a＋1）x＋2＝0的解是正整数时，整数a取值为 _________________. 【答案】-2或-3 【分析】先解含a的方程，用a表示x，根据方程的解是正整数，求出a的值. 2 【详解】解：（a＋1）x＋2＝0 x= ， a  1 ∵方程的解是正整数，∴-(a+1)=1或-(a+1)=2，∴a=-2或a=-3故答案为：-2或-3 【点睛】本题考查的是利用方程解的条件确定字母系数的取值问题，根据解的特征得到含a的方程是解答 此题的关键. 5．（2022·绵阳市七年级专题练习）关于x的一元一次方程2xkx30的解是正整数，整数k的值是 _____． 【答案】1或-1 【分析】把含x的项合并，化系数为1求x，再根据x为正整数求整数k的值． 3 x 【详解】解：移项合并得：(2k)x3，系数化为1得： 2k ， ∵x为正整数，∴2-k=1或2-k=3，解得k=1或-1，故答案为：1或-1． 【点睛】本题考查一元一次方程的解．关键是按照字母系数解方程，再根据正整数解的要求求整数k的值． 6．（2022·河南）小明研究规律方程的时候遇到了下面一组方程： x x1 x x2 x x3  1  1  1 ① ；② ；③ ；④… 4 2 6 2 8 2 （1）请聪明的你帮小明写出一条这组规律方程的信息；（2）小明通过计算发现，第一个方程的解是x2， 第二个方程的解为x3，因此他就大胆地推测出第三个方程的解为x4，并写出了第四个方程．请你验 证一下小明的推测是否正确，如果正确，请你写出验证过程，并写出第四个方程；如果不正确，请说明理 由；（3）你能根据以上解决问题的经验直接写出符合上述规律，解为 xn （n为正整数，且n2）的方程吗？ x x4  1 【答案】（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2；（2）正确，见解析， ； 10 2 x xn1  1 （3）能，见解析， 2n 2 【分析】（1）观察方程，可得出规律；（2）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系即可直接写出方 程，然后解方程即可；（3）根据方程中每部分的数字与方程的解的关系直接写出方程 【详解】解：（1）等号右边都是1；等号左边第二项的分母都是2（答案不唯一，答出一条即可）） x x3 4 43 1 1 （2）正确．验证如下：把 代入到方程  1 中，左边    1 ， x4 8 2 8 2 2 2 x x2  1 右边 ，所以 是方程 的解，小明的推测正确． 1 x4 8 3 x x4  1 第四个方程为 ． 10 2 x xn1  1 （3） （ 为正整数，且 ）． 2n 2 n n2 【点睛】本题考查了学生的观察分析能力，理解方程中每部分的数字与方程的解的关系是解题的关键． 题型6 解方程 解题技巧：解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运 算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。 对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数 字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。 同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求 解过程更为简单。 解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将 小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。 1 1  1 x x (x3)  (x3)1   1．（2022·成都市初一课时练习）解方程： 2 3  6 ． 【答案】x2 【分析】本题首先去括号，继而移项、合并同类项求解即可．1 1 1 x x (x3) (x3)1 【解析】去括号得： 2 6 6 ， 1 x1 合并同类项得：2 ， 去分母得：x2． 【点睛】本题考查一元一次方程的求解，计算时按照运算法则去括号、合并同类项，计算注意仔细即可． 2．（2022·广东七年级课时练习）解下列方程：  1 1 （1）2x74x； （2） 3x12x4 ； （3）   x 2    6 (x1)1 ； （4） x4 x3 x2 (x5)  ． 5 5 2 5 4 42 x x x 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） x1 2 5 5 【分析】（1）利用移项法解方程即可；（2）利用去括号法解方程即可； （3）利用去分母方法解方程即可；（4）利用去分母方法解方程即可． 【详解】解：（1）2x74x， 移项，得2xx47． 合并同类项，得3x3． 系数化为1，得x1； 3x12x4 （2） ， 去括号，得3x32x4． 移项，得3xx432． 合并同类项，得2x5． 5 x 系数化为1，得 ； 2  1 1 x  (x1)1 （3） 2 6 ，  1 去分母，得6x (x1)6．  2 去括号，得6x3x16．移项，得6xx631． 合并同类项，得5x4． 4 x 系数化为1，得 ； 5 x4 x3 x2 (x5)  （4） 5 5 2 2x410x52x35x2 去分母，得 ． 去括号，得2x810x502x65x10． 移项，得2x10x2x5x610850． 合并同类项，得5x42． 42 x 系数化为1，得 ． 5 【点睛】本题考查一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法与步骤，去分母，去括号移项，合并同 类项，系数化1是解题关键． 3．（2022·成都市七年级课时练习）解下列方程： x 5x11 2x4 （1）2x26x131x； （2）  1 ． 2 6 3 3 x 【答案】（1） ；（2） ． x1 2 【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、化系数为一即可得解； （2）先去分母，再进行方程求解即可； 【详解】解：（1）去括号，得2x46x633x， 移项，得2x6x3x346， 合并同类项，得x1， 系数化为1，得x1； 3x5x11622x4 （2）去分母，得 ， 去括号，得3x5x1164x8， 移项，得3x5x4x6811， 合并同类项，得6x9， 3 x 系数化为1，得 ． 2 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键．2-3x x2  2 4．（2022·黑龙江七年级期末）解方程：（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x）； （2） ． 3 6 10  【答案】（1）x=-2.5；（2）x= ． 7 【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出方程的解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出方程的解． 【详解】解：（1）x﹣2（x﹣4）＝3（1﹣x） 去括号得，x-2x8＝3-3x 移项，合并得，2x5 系数化为1得，x2.5； 2-3x x2  2 （2） 3 6 去分母得，2(23x)(x2)12 去括号得，46xx212 移项，合并得，7x10 10 x 系数化为1得， 7 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5．（2022·浙江七年级期末）解方程： 2x1 43x 0.2x0.4 0.05x0.2 （1） 3  x （2） x 3 5 0.5 0.03 19 44  【答案】（1）x= ；（2）x= 7 17 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可． （2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可． 2x1 43x 3  x 【详解】解：（1） ， 3 5 去分母得45-5（2x-1）=3（4-3x）-15x， 去括号得45-10x+5=12-9x-15x， 移项得-10x+9x+15x=12-45-5， 合并得14x=-38， 19  系数化为1得x= ； 70.2x0.4 0.05x0.2 （2） x ， 0.5 0.03 2x4 5x20 方程组化简为： x ， 5 3 去分母得3（2x-4）-15x=5（5x-20）， 去括号得6x-12-15x=25x-100， 移项得6x-15x-25x=-100+12， 合并同类项得-34x=-88， 44 系数化为1得x= ． 17 【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为1）；针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 6．（2022·浙江杭州·七年级期末）解下列方程 （1）7x683x （2）4x3(20x)6x7(9x) y y1 y2 2x1 x 1 （3）  1 （4）   5 2 5 0.7 0.3 7 1 1 27 x x x 【答案】（1） 5 ；（2） 2 ；（3）y1；（4） 10 【分析】（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （4）方程化简后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：（1）7x683x， 移项，得：7x3x86， 合并同类项，得：10x2， 1 x 系数化为1，得： ； 5 （2）4x3(20x)6x7(9x)， 去括号，得：4x603x6x637x， 移项，得：4x3x6x7x6360， 合并同类项，得：6x3， 1 x 系数化为1，得： ； 2y y1 y2 （3）  1 ， 5 2 5 2y5y1102y2 去分母，得： ， 去括号，得：2y5y5102y4， 移项，得：2y5y2y1045， 合并同类项，得：y1， y1 系数化为1，得： ； 20x10 10x 1 （4）方程变形为   ， 7 3 7 320x1070x3 去分母，得： ， 去括号，得：60x3070x3， 移项，得：60x70x303， 合并同类项，得：10x27， 27 x 系数化为1，得： ． 10 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、 移项、合并同类项、系数化为1． 题型8 含参数的一元一次方程 解题技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： b x a （1）当a≠0时， ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 1．（2022·上海奉贤·八年级期中）关于x的方程bx＝x+1（b≠1）的根是__________________． 1 【答案】 b1 【分析】移项，合并同类项，系数化为1，据此即可求解． 【详解】解：移项，得：bx﹣x＝1，即(b﹣1)x＝1， 1 1 ∵b≠1时，∴b﹣1≠0∴方程的解为：x＝ ．故答案是： ． b1 b1【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解 一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 2．（2022·上海浦东新区·）关于 的方程 （ ）的解为________． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解方程即可 【详解】解： ∵ （ ）∴ ∴ ；故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键 3．（2022·上海外国语大学苏河湾实验中学八年级期中）解下列关于 的方程： ． 【答案】x＝ （a≠2）或无解（a＝2）． 【分析】根据题意，分两种情况：①a≠2时，②a＝2时，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可． 【详解】解：①a≠2时， 去括号得：ax＝2x＋2， 移项得：ax−2x＝2， 合并同类项得：（a−2）x＝2， 系数化为1得：x＝ ； ②a＝2时，2x≠2（x＋1）， 故方程无解． ∴关于x的方程 的解为：x＝ （a≠2）或无解（a＝2）． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括 号、移项、合并同类项、系数化为1． x mx1nx 4、（2022·江苏七年级期中）解关于 的方程： 【答案与解析】 (mn)x1 解：原方程可化为： [来源:学&科&网Z&X&X&K]1 x mn0 mn mn 当 ，即 时，方程有唯一解为： ； mn0 mn 当 ，即 时，方程无解． axb x a 【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式 ，再根据 系数 是否为零进行分类讨论． 5．（2022·上海市松江区八年级期中）解关于 的方程： 【答案】见解析 【分析】去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解：mx-3x=2（2-x）， 去括号，得mx-3x=4-2x， 移项，得mx-3x+2x=4， 合并同类项，得（m-1）x=4， 当m-1≠0，即m≠1时，方程的解是x= ， 当m-1=0，即m=1时，方程无解． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 6．（2022·广西八年级专题练习）解关于x的方程： 【答案】当 时，方程有唯一解为 ；当 时，方程无解． 【分析】先把原方程化为最简形式 ，再考虑有解、无解、无穷多解的模式进行分类讨论即可得答案． 【详解】解： ， 移项、整理得： ， 当 ，即 时，方程有唯一解为： ； 当 ，即 时，方程无解． 【点睛】本题主要考查了含字母系数的一元一次方程的解法，解含字母系数的方程时，先化为最简形式 ，再根据 系数 是否为零进行分类讨论． 题型9 一元一次方程中的错解和遮挡问题 1．（2022·湖北七年级期中）马小虎计算一个数乘以5，再加24，由于粗心，把乘号看成除号，加号看成 减号，但得数是正确的．这道题的正确得数是__．【答案】﹣26． 【分析】设这个数为x，则由题目中的得数相等列方程，即可求解． 【详解】设这个数为x，则由题意可列方程：5x+24＝ x﹣24， 5x﹣ x＝﹣24﹣24， ＝﹣48，x＝﹣10，∴这个数为﹣10， ∴这道题的正确得数是：5×（﹣10）+24＝﹣26，故答案为：﹣26． 【点睛】本题考了一元一次 方程的运用，解题的关键是找准等量关系，列出一元一次方程． 2．（2022·福建）小明在解关于 的方程 时，误将“ ”看作“ ”，得到方程的解 为 ，则此方程正确的解为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把x=1代入错误方程中计算即可求出a的值，把a的值代入方程，求出解即可． 【详解】解：把x=1代入 得：2+1=3a+2，解得：a= ； 把a= 代入原方程得： ， 去分母得：6-（x-4）=3-6x， 去括号得：6-x+4=3-6x， 移项得：-x+6x=3-6-4， 合并同类项得：5x=-7， 解得： ，故选A． 【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出 解． 3．（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了 看不清楚，被污染的方程是： x - 3 = 2（x + 1）- ，怎么办呢？小明想了想，便翻看书后答案， 此方程的解是 x = -5 ，于是很快就补好了这个常数，他补出的这个常数是____． 【答案】【分析】设这个常数为a，将x=－5代入方程中求解关于a的方程即可． 【详解】解：设这个常数为a，将x=－5代入方程中得： ×(－5)－3=2（－5+1）－a， 解得：a= ，故答案为： ． 【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 4．（2022·江苏九年级专题练习）小明在解关于x的一元一次方程 时，误将 看成了 ，得 到的解是x＝1，则原方程的解是（ ） A． B． C． D．x＝1 【答案】C 【分析】误将 看成了 ，得到的解是x＝1，即 的解为x＝1，从而可求a的值，将a的值代入 ，即可求解． 【详解】解：由 的解为x=1可得， ，解得a= ， 将a= 代入 得， ，解得 ．故选：C． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是求出字母a的值． 5．（2022·浙江）某同学在解关于x的方程 时，误将 看成了 ，得到方程的解为 ，则a 的值为（ ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】把x＝2代入看错的方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把x＝2代入方程5a＋x＝13得：5a+2＝13，解得：a＝ ，故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2022·湖南衡阳·七年级期末）关于 的方程 ，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是 ，那么*处的数字是（ ） A．－1 B．－17 C．15 D．17 【答案】D 【分析】把x=5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字． 【详解】解：将x=5代入方程，得：3（★-9）=25-1， 解得：★=17，即★处的数字是17，故选：D． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 题型10 一元一次方程中的新定义问题 1．（2022·湖南七年级期末）规定：用{m}表示大于m的最小整数，如{2.6}=3，{7}=8，{4.5}=4，用[ 5 ]表示不大于 的最大整数，例如：[ ]=2，[ ]= ，[ ]= ．如果整数 满足关系式2[ ] { } m m 2 4 4 1.5 2 x x 5 x2 x =29，那么 =______． 【答案】8 2[x]5x229 2x5x2129 【分析】根据题意可将 化为 ，解出即可． [x] x x2 x21 【详解】解：由题意，得 ， ， 2[x]5x229 2x5x2129 ∴ 可化为 合并同类项，得3x24 解得：x8 故答案为：-8． 【点睛】本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义． 2．（2022·山东济南·九年级专题练习）对于三个互不相等的有理数a，b，c，我们规定符号 表 示a，b，c三个数中较大的数，例如 .按照这个规定则方程 的解为 __________． 【答案】 【分析】分 时， 时和 时三种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：当 时， ， 即 ，解得 （不符合题意，舍去）；当 时， ，即 ，解得 ， 当 时， ，即 ，解得 （不符合题意，舍去）， 综上所述， ，故答案为： ． 【点睛】本题考查解一元一次方程．能结合 的定义分情况讨论是解题关键． 3．（2022·河南南阳·七年级期中）我们把 称为二阶行列式，且 = ，如 = － =－10．若 =6，则 的值为（ ） A．8 B．－2 C．2 D．－5 【答案】D 【分析】根据二阶行列式的定义列式得一个关于m的一元一次方程，求出m的值即可． 【详解】根据题意得 =-4m-2×7， ∵ =6， ∴-4m-2×7=6， 解得m=-5．故选：D 【点睛】本题主要考查了利用定义新运算解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，正确的列方程． 4．（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）若规定 ， 两数通过“ ”运算得 ，如 (1)求 的值；(2)求 中的 的值； 【答案】(1)90(2) 【分析】（1）根据新规定的运算直接代入计算即可； （2）根据新规定的运算得出关于x的方程，解方程可得答案． （1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ， 整理得： ， 解得： ．【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键． 5．（2022·河南·七年级课时练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这 个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x ＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”． (1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ； (2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值； (3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的 值． 【答案】(1) (2)m＝﹣3，n＝﹣ (3)-9 【分析】（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值； （2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣ （mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再 结合x＝n，即可求出m，n的值； （ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝ ，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算 即可． （1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得： x＝﹣ ， ∵3x+k＝0是“恰解方程”， ∴x＝3﹣k， ∴﹣ ＝3﹣k， 解得：k＝ ； （2）解：解方程﹣2x＝mn+n得： x＝﹣ （mn+n）， ∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝﹣2+mn+n， ∴﹣ （mn+n）＝﹣2+mn+n，∴3mn+3n＝4， ∵x＝n， ∴﹣2+mn+n＝n， ∴mn＝2， ∴3×2+3n＝4， 解得：n＝﹣ ， 把n＝﹣ 代入mn＝2得：m×（﹣ ）＝2， 解得：m＝﹣3； （3）解：解方程3x＝mn+n得： x＝ ， ∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”， ∴x＝3+mn+n， ∴ ＝3+mn+n， ∴mn+n＝ ， ∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n ＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n ＝2mn+2n ＝2（mn+n） ＝2×（ ） ＝﹣9． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定义是解题的关键． 6．（2022·河南七年级期中）把 （其中 、 是常数， 、 是未知数）这样的方程称为“雅系 二元一次方程”．当 时，“雅系二元一次方程 ”中 的值称为“雅系二元一次方程”的 “完美值”，例如：当 时，“雅系二元一次方程” 化为 ，其“完美值”为 ． （1）求“雅系二元一次方程” 的“完美值”；（2） 是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求 的值；（3）是否存在常数 ，使得“雅系二元一次方程” 与 的“完美值”相同？若存在，请直接写出 的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ；（2） ；（3）存在这样的 ， 的值为5，此时完美值为 ． 【分析】（1）由题意，可得式子 ，求出x即可；（2）由题意，可得式子 ，把 代入即可求得m；（3）由题意，可分别求得“雅系二元一次方程” 与 的“完美 值”，根据“完美值”相同即可求得n的值，从而可求得x的值． 【详解】（1）由已知可得， ，解得 ， ∴“雅系二元一次方程” 的“完美值”为 ； （2）由已知可得 ，把 代入 中，得 ∴ ； （3）存在 由题意可得： ，即 ； ，即 ， 则 解得：n=5∴x=2∴ 的值为5，此时完美值为 ． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，新定义，关键是理解题意，将所求问题转化为一元一次方程来解决． 题型11 一元一次方程中的整体换元 解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解 1．（2022·河南驻马店·七年级期中）已知关于 的一元一次方程 的解是 ，那么关 于 的一元一次方程 的解是_________． 【答案】 【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解． 【详解】∵ ， ∴ ．∵关于x的一元一次方程 的解是x=71， ∴关于(y+1)的一元一次方程 的解为：y+1=71， 解得：y=70， 故答案为：y=70． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键． 2．（2022·江西景德镇·七年级期末）若 是关于 的方程 的解，则关于 的方程 的解为______． 【答案】 【分析】将 代入方程 可得 ，进而代入 即可得到 ，根据等式的性质即可求得答案． 【详解】解：将 代入方程 ， ，整理得 ， 则 ， ，解得 ， 故答案为 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及等式的性质，熟练掌握等式两边相同未知数前面系数相等是解题 的关键． 3．（2022·河南）已知关于x的一元一次方程 x﹣3＝2x+b的解为x＝999，那么关于y的一元一次方程 （y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b的解为y＝_____． 【答案】1000 【分析】根据两个方程的关系：第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解．【详解】解：∵关于x的一元一次方程 x﹣3＝2x+b的解为x＝999， ∴关于y的一元一次方程 （y﹣1）﹣3＝2（y﹣1）+b中y﹣1＝999，解得：y＝1000，故答案为： 1000． 【点睛】此题考查解一元一次方程，利用整体思想，将第二个方程中的y+1看作第一个方程中的x是解题 的关键． 4．（2022·浙江杭州市·七年级期末）已知关于x的一元一次方程点 ①与关于y的一元 一次方程 ②，若方程①的解为 ，则方程②的解为______． 【答案】y=-673 【分析】根据题意得出-（3y-2）的值，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程 ①的解为x=2021， ∴关于y的一元一次方程 ②中-（3y-2）=2021， 解得：y=-673，故答案为：y=-673． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出-（3y-2）的值是解题关键． 3 2 3 2 x   x 5．（2022·全国初一课时练习）解方程4 3 4 3 ． 【答案】x1 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将y系数化为1即可求出解． 3 3 2 2 3 2  x    x  0 (x1) (x1)0 【解析】解：原方程可化为4 4 3 3 ，即4 3 ． 3 2  (x1)0   将(x1)看作一个整体进行合并，得4 3 ，所以x10，移项，得x1． 【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出 解． 6．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用 某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程 时，不是直接给方程去括号，而是假设 ，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得 ． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从 而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程 ． 【答案】x=-4 【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解： 设7-2x=a，则原方程变形为： ∴ 解得，a=15 即7-2x=15， 解得，x=-4 【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 12 一元一次方程中的实际应用 解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚 25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个 ①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是 赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔 A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B 【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元， 依题意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正确； 设赔钱的衣服的进价为y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正确； ∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学 校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答， 下表是其中三名参赛者的得分情况． 答错题 参赛者 答对题数 得分 数 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 参赛者D得72分，他答错了______道题． 【答案】 【分析】根据表格可得答对1题得5分，答错1题扣2分，设参赛者D答对 道题，根据得分72分列出方 程，解方程求解即可． 【详解】解：∵参赛者A答对20道题，得100分，则答对1题得 分， 参赛者B答对19道题，得93分， 则答错1题，扣 分 设参赛者D答对 道题，根据题意得， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，求得答错1题扣2分是解题的关键． 3．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下： 甲：全场按标价的6折销售； 乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券， 且再次购买金额不低于240元） 小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元． （1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？ （2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买 一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？ 【答案】（1）选择乙店更省钱；（2）260元 【分析】（1）分别求出在甲、乙两家店买衣服的价钱，再进行比较，即可得出答案． （2）设C型裤子的标价为x元，根据“在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一 样”列出方程，即可得出答案． 【详解】解：（1）选甲店需付款：（340+250）×0.6＝354（元）； 选乙店需付款：340+（250﹣240）＝350（元）； ∵354＞350，∴选择乙店更省钱． （2）设C型裤子的标价为x元．根据题意，得（340+x）×0.6＝340+x﹣240，解得，x＝260． 答：C型裤子的标价为260元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，明确等量关系是解题的关键． 4．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】 某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自 行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍． 【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图： (2)相等关系为（请填空）：____________． 【建模解答】（请你完整解答本题） 【答案】(1)见解析 (2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15 分钟可以追上队伍． 【分析】（1）根据题意，即可画出示意图； （2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解． （1）解：根据题意，画出示意图如图：（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走 的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的 路程；设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意可得： ，解得：x= ， ×60=15(分钟) ，答：通信员用15分钟可以追上队伍． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键． 5．（2022·江苏南京·初一期末）列方程解应用题： 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时， 用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的 水抽完． 【答案】６小时，过程见详解． x 【分析】设还需 小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答 即可． x 【解析】解：设还需 小时可以抽完，由题意得： x6 x x6   1 24 30 40 ，解得：x=6，答：还需6小时可以抽完． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决 问题的关键． 6．（2022·浙江温州市·七年级期中）一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表： 套餐月租费（元/月 套餐内容 套餐外资费 主叫限定时间（分钟） 被叫 主叫超时费（元/分钟） 58 50 0.25 88 150 免费 0.20 118 360 0.15说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话． ②若办理的是月租费为58元的套餐：主叫时间不超过50分钟时，当月话费即为58元；若主叫时 间为60分钟，则当月话费为 元．其它套餐计费方法类似． （1）已知小聪办理的是月租费为88元的套餐，小明办理的是月租费为118元的套餐．他们某一月的主叫 时间都为 分钟（ ）． ①请用含 的代数式分别表示该月他们的话费，化简后填空： 小聪该月的话费为________元；小明该月的话费为________元． ②若该月小聪比小明的话费还要多14元，求他们的通话时间． （2）若小慧的两个手机号码分别办理了58元、88元套餐．该月她的两个号码主叫时间一共为220分钟， 总话费为152元，求她两个号码的主叫时间分别可能是多少分钟． 【答案】（1）①0.2m+58，64+0.15m；②400分钟；（2）40分钟和180分钟或74分钟和146分钟 【分析】（1）①因为m＞360分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字 列出式子即可；②根据①中式子，结合小聪比小明的话费还要多14元列出方程，解之即可； （2）分当x≤50时，当50＜x＜70时，当x≥70时，三种情况分别列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）①由题意可得：小聪该月的话费为88+0.2（m-150）=0.2m+58（元）， 小明该月的话费为118+0.15（m-360）=64+0.15m（元）， ②由题意可得：0.2m+58=64+0.15m+14，解得：m=400，∴他们的通话时间为400分钟； （2）设办理了58元套餐的手机号码主叫时间为x分钟， 当x≤50时，220-x≥170，则58+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=40，220-40=180分钟； 当50＜x＜70时，则58+0.25（x-50）+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=90，不符合，舍去； 当x≥70时，则58+0.25（x-50）+88=152，解得：x=74，220-74=146分钟， 综上：两个号码的主叫时间分别是40分钟和180分钟或74分钟和146分钟． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．