文档内容
第 02 讲 二次根式的乘除【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 二次根式的乘法】..................................................................................................................................1
【必考点1 二次根式的乘法计算】..........................................................................................................................1
【知识点2 二次根式的除法】..................................................................................................................................3
【必考点2 二次根式的除法计算】..........................................................................................................................3
【必考点3 积、商的算术平方根的运用】.............................................................................................................4
【必考点4 二次根式的乘除混合运算】.................................................................................................................5
【知识点3 最简二次根式】......................................................................................................................................6
【必考点5 最简二次根式的定义】..........................................................................................................................6
【必考点6 探究二次根式的规律题】.....................................................................................................................7
【必考点7 分母有理化的计算】..............................................................................................................................8
【知识点1 二次根式的乘法】
1.二次根式的乘法法则：
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即❑√a·❑√b=❑√ab，（a≥0，b≥0）.
2.二次根式的乘法法则的拓展：
（1）二次根式的乘法公式可以推广到多个二次根式相乘的运算，即❑√a·❑√b·❑√c=❑√abc，（a≥0，b≥0，
c≥0）.
（2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，
即m❑√a·n❑√b=mn❑√ab，（a≥0，b≥0）.
3.积的算术平方根：
积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即❑√ab=❑√a·❑√b，（a≥0，b≥0）.
【必考点1 二次根式的乘法计算】
【例1】计算
（1）❑√28•❑√7
√1
（2）❑ •❑√256
4
1
（3）❑√2• ❑√3•❑√6
3√1
（4）6❑√27x•❑ （x≥0，y＞0）
y
（5）5 •（4 ）（a≥0，b≥0）
❑√ab ❑√a3b
【例2】计算：
（1）❑√18a⋅❑√2a(a≥0)；
√1
（2）2❑√3×❑ ；
3
（3）❑√14×❑√35；
（4）2❑√5a⋅❑√10a(a≥0)；
2
（5）3a❑√12ab⋅(− ❑√6b)（a≥0；b≥0）．
3
【变式1】化简下列各题：
（1） ；
❑√252−242
√ 25
（2）❑(−4)× ×(−169)；
9
7 2
（3）(− ❑√24)×(− ❑√6)；
4 7
（4） √12x4；
6❑√3x2y3 ⋅3❑
y
（5） ；
❑√10x⋅❑√10−1xy
√3 √ 2
（6）❑ ×(−❑2 )×❑√56．
4 3
【变式2】计算：
（1）❑√15×❑√5；
（2）3❑√7×2❑√14；
（3）3 5 （a≥0）；
❑√2× ❑√14a2
√4
（4）❑√5n•❑ mn（m≥0，n≥0）；
5
2
（5）4❑√48×(− ❑√0.5)×6❑√6；
3√b
（6）a❑√ab•3❑ （a＞0，b≥0）．
a
【变式3】计算：
（1）−2❑√15×4❑√6；
1 √ 3
（2）−8❑√35×(− ❑1 )；
4 7
√ x
（3）6❑√27xy⋅❑ （x≥0，y＞0）；
y
（4） （m≥0，n≥0）；
❑√18mn⋅❑√2m2n4
√3xy 5
（5）4❑ ⋅(− ❑√28x2y)（x≥0，y≥0）；
7 6
（6） （a≥b＞0）．
❑√16ab⋅❑√a3−2a2b+ab2
【知识点2 二次根式的除法】
1.二次根式的除法法则：
两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即❑√a √a，（a≥0，b＞0）.
=❑
❑√b b
2.二次根式的除法法则的拓展：
二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即❑√a÷❑√b÷❑√c=❑√a÷b÷c，
（a≥0，b＞0，c＞0）.
3.商的算术平方根：
（1）商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即√a ❑√a，（a≥0，b＞0）.
❑ =
b ❑√b
（2）分母有理化就是把分母中的根号化去的过程
方法:将分子和分母都乘一个恰当的二次根式(即分母有理化因式)化去分母中的根号.
【必考点2 二次根式的除法计算】
【例1】计算：
❑√32
（1） ．
❑√2
（2）❑√1.6．❑√7
（3） ．
❑√6a
❑√3a
（4） ．
❑√8a
√ 1 √ 2
（5）−❑4 ÷❑2 ．
2 3
（6）1 √b 1 √ b ．
❑ ÷ ❑
a a b a3
【例2】计算：
（1）❑√412−402
❑√32 +42
（2）100❑√x5y
0.5❑√x2y
√ 2 3 √ 3
（3）❑ ÷ ❑1
45 2 5
√a √b √1
（4）❑ （❑ ÷❑ ）．
b a b
【变式1】计算：
❑√40
（1） ；
❑√10
√ 1 √ 1
（2）❑4 ÷❑2 ；
2 4
（3）6❑√72÷（﹣3❑√6）；
（4） （a＞0）；
❑√27a4÷❑√3a2
√x
（5）4❑√6x3÷2❑ （x＞0）．
3
【变式2】计算：
（1）❑√6.5÷❑√0.5；
❑√3×❑√15
（2） ；
❑√5
√ 1 √ 2
（3）❑4 ÷（−❑2 ）；
2 32 √b
（4）− ❑√a3b÷❑ （a＞0，b＞0）．
3 a
【变式3】计算：
√ 1 √2
（1）❑ ÷❑
24 3
√ y
（2）❑√xy÷❑
x
√ 1 √ 2 √ 3
（3）❑1 ÷❑2 ×❑1
3 3 5
1 1 √3
（4）2❑√12÷ ❑√50× ❑ ．
2 2 4
【必考点3 积、商的算术平方根的运用】
【例1】（2024秋•顺义区校级期中）如果❑√x•❑√x−6=❑√x(x−6)，那么（ ）
A．x≥0 B．x≥6
C．0≤x≤6 D．x为一切实数
【例2】（2023秋•沈丘县期末）若√ x+1 ❑√x+1成立，则x的值可以是（ ）
❑ =
2−x ❑√2−x
A．﹣2 B．0 C．2 D．3
【变式 1】（2024 秋•秦安县校级月考）若√ x ❑√x 在实数范围内成立，则 x 的取值范围是
❑ =
x−4 ❑√x−4
（ ）
A．x≥0 B．x≥4 C．0≤x＜4 D．x＞4
【变式 2】（2024 春•招远市期末）若❑√(x−3)(4−x)=❑√x−3⋅❑√4−x成立，则 x 的取值范围是
（ ）
A．x＞3 B．x＜4 C．3≤x≤4 D．3＜x≤4
【变式3】（2024春•武威期中）能使❑√a(3−a)=❑√a⋅❑√3−a成立的所有整数a的和是 ．
【变式4】（2024秋•淇滨区月考）已知√x−5 ❑√x−5，且x为偶数，求 √x2−4x+4的值．
❑ = (x+2)❑
8−x ❑√8−x x2−4
【必考点4 二次根式的乘除混合运算】
【例1】计算：3 1 √ 2
（1） ❑√20×(− ❑√48)÷❑2 ；
2 3 3
❑√3a √ b √ 1
（2） ⋅(❑ ÷2❑ )．
2b 2a 3b
【例2】计算题：
√ 1 3 √ 2
（1）9❑√45÷3❑2 × ❑2 ；
2 2 3
（2） •b√b √9b2．
a2❑√ab ❑ ÷❑
a a
【变式1】计算：
√ 1 √ 2
（1）❑2 ÷3❑√28×（−5❑2 ）；
2 7
（2）
5
❑√ab3×（−
2
❑√ab）÷
1
❑
√b
．
b 5 3 a
【变式2】计算：
√ 2 1 √2 1
（1）3❑2 ÷ ❑ ×（− ❑√15）
3 2 5 8
（2）
2
❑√ab5÷3❑
√b
•（−
3
❑√a3b）（a＞0）
b a 2
【变式3】计算：
√ 1 √ 2
（1）❑2 ÷3❑√28×（﹣5❑2 ）
2 7
√ y 1 √ x
（2）5x❑√xy÷3❑ × ❑
x 3 y
（3）
2
❑√ab5•（−
3
❑√a3b）÷3❑
√b
．
b 2 a
【变式4】计算：
（1）n √ n •（ 1 √ n3） √ n （m＞0，n＞0）
❑ − ❑ ÷❑
m 2m2 m m3 2m3
（2）﹣3√3m2−3n2 （3 √m+n） √ a2 （a＞0）
❑ ÷ ❑ ×❑
2a2 2 a2 m−n
【知识点3 最简二次根式】
1.定义：被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，这样的二次根式称为最简二次根式.
2.化为最简二次根式的步骤：
(1)把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
(2)将被开方数中能开尽的因数(或因式)进行开方；
(3)利用商的算术平方根√a ❑√a，（a≥0，b＞0），使被开方数中不含分母；
❑ =
b ❑√b
(4)分母有理化，化去分母中的根号；
(5)约分化简，整理成最简二次根式。
【必考点5 最简二次根式的定义】
√1
【例1】下列二次根式：❑√5，❑ ，❑√0.5a，−2❑√a2b，❑√x2 +y2中，是最简二次根式的有（ ）
3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例2】下列二次根式中，最简二次根式有（ ）个．
√ 2 ❑√a
❑√5ab；❑√a2−b2；❑√a2−2ab+b2；❑ ； ．
ab 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】把下列根式化成最简二次根式：
（1）❑√200
√3
（2）4❑
8
（3）
2❑√4a3b2c(a＞0，b＞0)
（4）
❑√16a3 +32a2 (a＞0)
【变式2】把下列各式化成最简二次根式：
（1）27 √132−122；
❑
5 27
（2） abc √ c3 ．
− ❑
2 2a4b
√1
【变式3】已知a、b是整数，如果❑ x2b−5是最简二次根式，求2√a5b+1的值，并求2√a5b+1的平方根．
a
【变式4】已知A＝5❑√2x+1，B＝3❑√x+3，C=❑√10x+3 y，其中A，B为最简二次根式，且A+B＝C，求的值．
❑√2y−x2
【必考点6 探究二次根式的规律题】
【例1】有依次排列的一列式子：√ 1 1 ，√ 1 1 ，√ 1 1 ，小明对前两个式子进行操作
❑1+ + ❑1+ + ❑1+ +
12 22 22 32 32 42
时发现：
√ 1 1 1 1 1 1，√ 1 1 1 1 1 1 1，根据操作，小明得出来下面几个
❑1+ + =+ =+1− ❑1+ + =+ =+ −
12 22 1×2 2 22 32 2×3 2 3
结论：
①√ 1 1 1 1 1 1 1；
❑1+ + =+ =+ −
32 42 3×4 3 4
②对第n个式子进行操作可得√ 1 1 1 1 1 1 1 ；
❑1+ + =+ =+ −
n2 (n+1) 2 n(n+1) n n+1
109
③前10个式子之和为 ；
10
4
④如果前n个式子之和为n+ ，那么n＝4；
5
小明得出的结论中正确的有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④
√ 1 √1 √ 2 √2 √ 3 √ 3
【 例 2 】 小 明 做 数 学 题 时 ， 发 现 ❑1− =❑ ； ❑2− =2×❑ ； ❑3− =3×❑ ；
2 2 5 5 10 10
√ 4 √ 4 √ 8 √8
❑4− =4×❑ ；…；按此规律，若❑a− =a⋅❑ （a，b为正整数），则a+b＝ ．
17 17 b b
【变式1】先来看一个有趣的现象：√ 2 √8 √22×2 √2，这里根号里的因数2经过适当的演变，
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：
√ 3 √3 √ 4 √ 4
❑3 =3❑ ，❑4 =4❑ 等等．
8 8 15 15
（1）①请你写一个有“穿墙”现象的数；√ 8 √8
②按此规律，若❑a =a❑ （a，b为正整数），则a+b的值为 ．
b b
（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；
【变式2】（1）比较下列算式的结果的大小（填“＞”“＜”或“＝”）．
4+5 2❑√4×5
1 √ 1
8+ 2❑8×
2 2
5+5 2❑√5×5
（2）通过观察归纳，用含字母a，b的式子表示（1）中的规律，并证明．
【变式3】观察下列计算，完成后面的问题：
√1 1 1 √2验证：√1 1 √ 1 √ 2 1 √2；
❑ − = ❑ ❑ − =❑ =❑ = ❑
2 3 2 3 2 3 2×3 22×3 2 3
√1 1 1 1 √3验证：√1 1 1 √ 1 √ 2 1 √3；
❑ ( − )= ❑ ❑ ( − )=❑ =❑ = ❑
2 3 4 3 8 2 3 4 2×3×4 2×32×4 3 8
√1 1 1 验证：√1 1 1 √ 1 √ 4 1 √ 4 ；
❑ ( − ) ❑ ( − )=❑ =❑ = ❑
3 4 5 3 4 5 3×4×5 3×42×5 4 15
√1 1 1
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想❑ ( − )的变形结果并进行验证；
4 5 6
（2）针对上述各式反映的规律，请用含n（n≥1的自然数）的等式表示出来．
【变式4】计算下列各式，将结果填在横线上．
10×10＝ ；13×13＝ ；16×16＝ ；
9×11＝ ；12×14＝ ；15×17＝ ．
你发现了什么？ ．
请根据上述规律完成计算：
❑√2009×2011+1= ；
❑√(n−1)(n+1)+1= ．（n为正整数）
【必考点7 分母有理化的计算】
【例1】分母有理化：
5
（1） = ；
❑√52
（2） = ；
1+❑√3
x2−1
（3） = ．
❑√x−1
1
【例2】分母有理化： = ．
2❑√3−3❑√2
【例3】分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式
中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
1 1×(❑√2−1) ，观察此算式规律回答问题，
= =❑√2−1
1+❑√2 (❑√2+1)(❑√2−1)
2024
已知m= ，则m2﹣2m﹣2024的值是 ．
❑√2025−1
1 1
【变式1】已知：x= ，y= ，求代数式（x+2）（y+2）的值．
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3
【变式2】阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+1
简： 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) ．
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2−12
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵❑√4＜❑√5＜❑√9，即2＜❑√5＜3，
∴1＜❑√5−1＜2．
∴❑√5−1的整数部分为1．
∴❑√5−1的小数部分为❑√5−2．
【学以致用】
2
（1）化简 ；
❑√5+❑√3
1
（2）已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−❑√3
①求a、b的值．②求a2+b2的值．
【变式3】阅读材料，然后解答下列问题：
3 2
在进行代数式化简与计算时，我们会碰到形如 ， ，❑√4−2❑√3，❑√3−❑√5这样的式子，其实
❑√3 ❑√3−1
我们可以将其进一步化简与计算：
3 3×❑√3
解： = =❑√3；
❑√3 ❑√3×❑√3
2 2(❑√3+1) 2(❑√3+1) ；
= = =❑√3+1
❑√3−1 (❑√3−1)×(❑√3+1) 2
；
❑√4−2❑√3=❑√3−2❑√3+1= ❑√ (❑√3) 2 −2❑√3+12 = ❑√ (❑√3−1) 2 =❑√3−1
√2(3−❑√5) √6−2❑√5 √ (❑√5) 2 −2❑√5+12 √ (❑√5−1) 2
❑√3−❑√5=❑ =❑ = ❑ = ❑
2 2 2 2
❑√5−1 ❑√10−❑√2
= = ．
❑√2 2
学会解决问题：
2
（1）化简 ；
❑√5−❑√3
（2）计算二次根式❑√5+2❑√6的值；
2
（3）比较大小： 与❑√5+2❑√6；
❑√5−❑√3
1 1 1 1
（4）计算： + + +⋯+ 的值．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2023+❑√2021
【变式4】阅读下列解题过程： 1 1×(❑√5−❑√4) ❑√5−❑√4 2；
= = =❑√5−❑√4=❑√5−
❑√5+❑√4 (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4) (❑√5) 2−(❑√4) 2
2 2×(❑√6+❑√5) 2❑√6+2❑√5 2 2 ；
= = =❑√6+ ❑√5
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5) (❑√6) 2−(❑√5) 2
请解答下列问题：
3
（1）观察上面解题过程，计算 ；
❑√10−❑√7
1
（2）请直接写出 的结果．（n≥1）
❑√n+❑√n−11 1 1 1 1
（3）利用上面的解法，请化简： + + +⋯+ + ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
