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第6 章 实数（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”．这是中国传统数学对无
理数的最早记载．下面符合“面”的描述的数是（ ）
A． B． C． D．
2．若 的算术平方根是正整数，则n不可能是（ ）
A．1 B．8 C．12 D．13
3．依次连结 方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长
是（ ）
A．2 B． C． D．2.5
4．对于整数 下列说法错误的是（ ）
A． 有平方根 B． 有立方根
C． 的绝对值是它本身 D． 的相反数是它本身
5．对于正实数，定于运算“ ”为： ，其中 为超过 的最小整数，定义运算“*”为：
，其中 为不超过 的最大整数，则 的值为（ ）
A． B．9 C．8 D．6
6．下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，则 的整数部分是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．20198．设 表示最接近x的整数（ ，n为整数），则 （ ）
A．32 B．46 C．64 D．65
9．实数 、 在数轴上的位置如图，则化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．0
10．上课时，李老师在黑板上写了一个实数，学生 ， ， ， 争先恐后地说出了这个数的一些特
征：
学生 ：在数轴上表示这个数的点在原点的左边；
学生 ：它是一个无理数；
学生 ：它的绝对值小于2；
学生 ：它的平方大于1．
老师表扬了 ， ， ， 四个学生，因为他们都说对了，现在，请你猜猜看，老师在黑板上写下的
这个数可能是下列四个数中哪一个？（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算： ．
12．若 ，则 .
13．我们知道实数和数轴上的点一一对应，那么在数轴上表示 ， 的两点之间，整数点有
个．
14．小宝编写了一个程序，如下图．则x为 ．
15．已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，则 的值是
．16．如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为 ，把这个等腰直角三角形以 的速度向右
沿直线平移．当图中阴影部分面积为 ，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．
17．如果两个无理数的积是有理数，那么称这两个无理数为一对伙伴数，如 与 是一对伙伴数，
与 是一对伙伴数．若两个无理数 、 是一对伙伴数，则下列四个结论：① 与 一定是一对
伙伴数；② 与 一定是一对伙伴数；③ 与 一定是一对伙伴数；④ 与 可能是一对伙伴数．其
中正确结论的序号为 ．
18．将 、 、 、 ……按如图方式排列．若规定 表示第x排从左向右第y个数，若
在 ，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）求x的值：
（1） ； （2） ．
20．（8分）计算：（1） ； （2） ．
21．（10分）已知： 的立方根是 的算术平方根3．
（1）求 的值； （2）求 的平方根．
22．（10分）课堂上，老师出了一道题：比较 与 的大小．
小明的解法如下：
解： ．
． ．
． ．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请仿照上述方法，比较下列各组数的大小：
（1） 和 ；
（2） 和 ；
（3） 和 ．23．（10分）数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学
习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一．请你先阅读下面的
材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 ，求 的值．
解：由题意得 ，
∵a，b都是有理数，
∴ 也是有理数，
∵ 是无理数，
∴ ，
∴ ，
∴
解决问题：设x，y都是有理数，且满足 ，求 的值．
24．（12分）“说不完的 ”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1） 到底有多大？
下面是小欣探索 的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是 ，且 ．设 ，画出如下示意图．
由面积公式，可得 ______ ．因为 值很小，所以 更小，略去 ，得方程______，解得 ____（保留到0.001），即 _____．
（2）怎样画出 ？请一起参与小敏探索画 过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画
出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为 ．依题意，割补前后图形的面积相等，有 ，
解得 ．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的
正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图
形，不要求写分析过程．
参考答案：
1．A
【分析】根据无理数的定义，逐项判断即可求解．
解：A、 是无理数，故本选项符合题意；
B、 不是无理数，故本选项不符合题意；
C、 不是无理数，故本选项不符合题意；
D、 不是无理数，故本选项不符合题意；故选：A
【点拨】本题主要考查了无理数，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．C
【分析】根据题意可知 是完全平方数，由于比17小的完全平方数有16，9，4，1，再逐一求出n
的值即可得出答案．
解：∵ 的算术平方根是正整数，
∴ 是完全平方数，
∵比17小的完全平方数有16，9，4，1，
∴当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
综上所述，n的值不可能是12，
故选：C．
【点拨】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的意义和完全平方数是解题的关键．
3．B
【分析】首先求出阴影正方形的面积，即可得出边长．
解：阴影正方形的面积为 ，
∴阴影正方形的边长是 ，
故选B．
【点拨】本题考查了算术平方根的应用，关键是明确算术平方根的意义．
4．D
【分析】根据平方根、立方根、绝对值、相反数的定义，逐项分析判断即可求解．
解：A. 有平方根，故该选项正确，不符合题意；
B. 有立方根，故该选项正确，不符合题意；
C. 的绝对值是它本身，故该选项正确，不符合题意；
D. 的相反数是 ，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了平方根、立方根、绝对值、相反数的定义，熟练掌握平方根、立方根、绝对值、
相反数的定义是解题的关键．
5．C
【分析】此题主要考查实数的新定义运算，解题的关键是掌握无理数的比较大小.解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C.
6．C
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的计算，正确根据定义计算是解题的关键．
解：A． ，正确，不符合题意；
B． ，正确，不符合题意；
C． ，错误，符合题意；
D． ，正确，不符合题意；
故选C．
7．B
【分析】本题考查对无理数整数部分的估算，利用先平方再开方的方法对式子进行变形，即可判断
的整数部分．
解：由题知， ，
又 ，
则 的整数部分是 ，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查对题干的理解和对二次根式的估算，根据 、 、 、 的取值，判断
最接近x的整数为多少，最后将这些数相加即可．解： ，即有2个1；
，即有4个2；
，即有6个3；
，即有8个4；
则剩余1个数为5．
故 ．
故选：D．
9．B
【分析】由题意知， ，则 ，根据 ，计算
求解即可．
解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，求一个数的立方根，求一个数的算术平方
根．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
10．B
【分析】根据无理数的性质，可得答案．
解：A、 在原点的右边，故A不符合题意；
B、 在数轴上表示这个数的点在原点的左边；它是一个无理数；它的绝对值小于2；它的平方大于
1，故B符合题意；
C、 的绝对值大于2，故C不符合题意；
D、 是有理数，故D不符合题意；
故选：B．【点拨】本题考查了无理数，实数与数轴，利用无理数的性质是解题关键．
11．2
【分析】本题考查了算术平方根；先利用算术平方根的定义化简，再计算即可．
解：原式
．
故答案为：2．
12． /
【分析】由题意知， ， ，解得， ， ，然后代入求值即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
解得， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了绝对值的非负性，分式有意义的条件，算术平方根的非负性，有理数的乘方，代
数式求值．熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，分式有意义的条件是解题的关键．
13．5
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，先估算出 ，进而得到 ，
则在数轴上表示 ， 的两点之间，整数点有 ，共5个．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，∴在数轴上表示 ， 的两点之间，整数点有 ，共5个，
故答案为：5．
14．
【分析】利用程序图的运算顺序，列出方程，利用算术平方根，立方根和倒数的意义逐步求解即可．
解：由图可知：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了立方根与算术平方根的意义，熟练掌握立方根与算术平方根的意义是解题的
关键．
15．15
【分析】本题主要考查估算无理数的大小，代数式求值，根据不等式的性质计算无理数的整数部分和
小数部分的代数式解决本题的关键．
通过估算 和 ，求出a、b值，再代入计算即可．
解：∵ ，
∴
∴ 的整数部分为1，
∴ ，
∵b是 的小数部分，
∴ ．∴ ．
故答案为：15
16． /
【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出 的面积，
继而根据线段的和差列出方程求解即可．
解：设移动的时间为 ，且 ；
则 ， ，
∵阴影部分面积为 ，
∴ 的面积为 ，
即 ，
∴ ，
∴ （负值舍去）
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定
义以及梯形的面积公式是解题的关键．17．①②④
【分析】根据两个无理数为一对伙伴数的概念对每个结论中的两个数先判断是否是无理数，然后再计
算结果，判断结果是否是有理数，即可得出答案．
解： 、 是两个无理数数，
∴ 与 是无理数，
∵两个无理数 、 是一对伙伴数,
是一个有理数，
是一个有理数，
与 一定是一对伙伴数，故 结论正确；
两个无理数 、 是一对伙伴数，
是一个有理数
是一个有理数，故 结论正确；
两个无理数 、 是一对伙伴数，
与 一定是无理数，但 不一定是有理数，故 结论不正确；
两个无理数 、 是一对伙伴数，
与 一定是无理数，
，
当 时， 是有理数，故结论 正确，
其中正确结论的序号为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了实数的概论和运算的应用，利用题目中给的新定义去推理计算是解题的关键．
18．27
【分析】观察式子，得到如下规律，第 排的个数为 个，前 排的总数为 个，奇数排是从左
到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可．
解：观察式子可得，
第1排的个数为 ，前1排的总数为 ，
第2排的个数为 ，前2排的总数为 ，从右到左依次增大排列，第3排的个数为 ，前3排的总数为 ，从左到右依次增大排列，
第4排的个数为 ，前4排的总数为 ，从右到左依次增大排列，
……
第 排的个数为 个，前 排的总数为 个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到
左依次增大排列，
因为 ， ，
所以 是在第45排，即 ，
第45排，为奇数排，从左向右依次增大，
因为 ，所以 ，
将 ， 代入 得
故答案为：27．
【点拨】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解
题意，正确找出数字的规律．
19．（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了求平方根的方法和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法
是解题的关键．
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．20．（1）7；（2） ．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是
解题关键．
（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．（1） ；（2）
【分析】本题考查立方根与平方根的运用，涉及立方根和平方根的定义、算术平方根定义、立方根与
平方根的运算、解方程和代数式求值等知识，熟记立方根与平方根的运算是解决问题的关键．
（1）根据立方根与算术平方根运算列方程求解即可得到答案；
（2）将 的值代入代数式求值，再由平方根运算求解即可得到答案．
（1）解： 的立方根是 的算术平方根3，
，解得 ；
（2）解：将 代入 得到 ，
的平方根是 ，
的平方根 ．
22．（1） ；（2） ；（3）
解：（1） ．（2） ．
．
（3） ．
，
．
23．8或0
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
解：∵ ，
∴（x2-2y-8）+（y-4） =0，
∴x2-2y-8=0，y-4=0，
解得，x=±4，y=4，
当x=4，y=4时，x+y=4+4=8，
当x=-4，y=4时，x+y=（-4）+4=0，
即x+y的值是8或0．
【点拨】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答
所求式子的值．
24．（1） ， ， ， ；（2）见分析
【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可．
解：（1）由面积公式，可得
∵ 值很小，所以 更小，略去 ，得方程 ，解得 （保留到0.001），即
．故答案为： ， ， ， ；
（2）小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长
是解题的关键．
