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猜想 05 与数轴、线段、角有关的复杂应用题（解答 60 题专
练）
一．解答题（共60小题）
1．（2022秋•重庆期末）阅读理解：M、N、P为数轴上三点，若点P到M的距离是点P到N的距离的k
（k＞0）倍，即满足PM＝k．PN时，则称点P关于M、N的“相对关系值”为k．例如，当点M、N、
P表示的数分别为0、2、3时，PM＝3PN，则称点P关于M、N的“相对关系值”为3；PN＝ MN，
则称点N关于P、M的“相对关系值”为 ．
如图，点A、B、C、D在数轴上，它们所表示的数分别为﹣1、2、6、﹣6．
（1）原点O关于A、B的“相对关系值“为a，原点O关于B、A的“相对关系值”为b，则a＝
，b＝ 2 ．
（2）点E为数轴上一动点，点E所表示的数为x，若x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，且点E关于C、D的“相对
关系值”为k，则k的取值范围是 ≤ k ≤ 3 ．
（3）点F从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，设运动时间为t（t＞0）秒，当经过t秒时，
C、D、F三点中恰有一个点关于另外两点的“相对关系值”为2，求t的值．
【分析】（1）根据“相对关系值”的定义解答即可；
（2）由x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，求出x的取值范围，再确定|EC|和|ED|的取值范围，根据 确定k
的取值范围；
（3）设F点表示的数为y，分点C关于另外两点的“相对关系值”为2，点D关于另外两点的“相对关
系值”为2，分点F关于另外两点的“相对关系值”为2共6种情况，分别算出y的值，再求出t即可．
【解答】解：（1）由题可知，
|OA|＝1，|OB|＝2
∵原点O关于A、B的“相对关系值“为a，∴|OA|＝a|OB|，即1＝2a，
解得：a＝ ，
∵原点O关于B、A的“相对关系值”为b，
∴|OB|＝b|OA|，即2＝b×1，
解得：b＝2，
故答案为： ，2；
（2）由题意可得，
|EC|＝|x﹣6|，|ED|＝|x+6|，
∵x满足|x+3|+|x﹣2|＝5，
∴ ，
解得：﹣3≤x≤2，
∴4≤|EC|≤9，3≤|ED|≤8，
∵点E关于C、D的“相对关系值”为k，
∴ ，
∴ ≤k≤3，
故答案为： ≤k≤3；
（3）设点F表示的数为y，
①若|FC|＝2|FD|，
|6﹣y|＝2|y+6|，解得：y＝﹣2或﹣18，
∴t＝ ＝4或t＝ ＝20，
②若|FD|＝2|FC|，
|y+6|＝2|6﹣y|，解得：y＝2（舍去，与点B重合）或﹣18，
③若|CF|＝2|CD|，
|6﹣y|＝24，解得：y＝﹣18或30（舍去），
④若|CD|＝2|CF|，
12＝2|6﹣y|，解得：y＝0或12（舍去），∴t＝ ＝2，
⑤若|DC|＝2|DF|，
12＝2|y+6|，解得：y＝0或﹣12，
∴t＝ ＝14，
⑥若|DF|＝2|DC|，
|y+6|＝24，解得y＝﹣30或18（舍去），
∴t＝ ，
综上，t＝4或20或2或14或32．
【点评】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解
题的关键．
2．（2022秋•望城区期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中
点，求线段CD的长．
（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数为4，有一动点P从点A开始以2
个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿
数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？
【分析】（1）把x＝﹣3代入方程，即可求出k；
（2）先求出AC的长，再求出CD的长即可；
（3）设经过x秒时，有PD＝2QD．分别表示出x秒时P与Q在数轴上表示的数，分两种情况进行讨论：
①D在PQ之间；②Q在PD之间．
【解答】解：（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，
解得：k＝2；
（2）当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，
∴AC＝2cm，BC＝4cm，
当C在线段AB上时，如图，
∵D为AC的中点，∴CD＝ AC＝1cm．
即线段CD的长为1cm；
（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，
∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．
设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．
分两种情况：
①当点D在PQ之间时，
∵PD＝2QD，
∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[4﹣4x﹣（﹣1）]，解得x＝ ；
②当点Q在PD之间时，
∵PD＝2QD，
∴﹣1﹣（﹣2﹣2x）＝2[﹣1﹣（4﹣4x）]，解得x＝ ．
答：当时间为 或 秒时，有PD＝2QD．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合分情况进行讨论
是解此题的关键．也考查了一元一次方程的解，线段的中点等知识．
3．（2022秋•达川区期末）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究
数轴我们可发现许多重要的规律：
①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距
离表示为|a﹣b|，记作AB＝|a﹣b|，|3﹣1|则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如|3+1|＝|3
﹣（﹣1）|，所以|3+1|表示数3和﹣1在数轴上对应的两点之间的距离；
②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段AB的中点M表示的数为 ．
请借用数轴和以上规律解决下列问题：
如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为﹣10，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发
沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，
另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）A、B两点的距离为 1 6 个单位长度；线段AB的中点M所表示的数为 ﹣ 2 ；（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为 ﹣ 10+ 2 t ；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为
6 ﹣ t ．（用含t的式子表示）
（3）P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？
（4）在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出
此时t的值．
【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案；
（2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的
数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；
（3）由t秒后，点P表示的数﹣10+2t，点Q表示的数为6﹣t，表示PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t
﹣16|，再构建绝对值方程，再解方程即可；
（4）分①当0＜t≤5时，O是线段PQ的中点，②当5＜t≤ 时，P为线段OQ的中点，③当 ＜
t≤6时，Q为线段OP的中点，④当6＜t≤8时，O为线段PQ的中点，再利用中点对应的数的计算方
法构建方程，再解方程即可．
【解答】解：（1）A、B两点的距离为6﹣（﹣10）＝16；
线段AB的中点M所表示数为 ．
故答案为：16，﹣2；
（2）点P运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+2t；
点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 6﹣t．
故答案为：﹣10+2t，6﹣t；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣10+2t，点Q表示的数为6﹣t，
∴PQ＝|（﹣10+2t）﹣（6﹣t）|＝|3t﹣16|，
又P、Q两点相距5个单位长度，
∴|3t﹣16|＝5，
解得： 或t＝7，∴P、Q两点经过 s或7s时相距5个单位长度；
（4）①当O是线段PQ的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时0＜t≤5，
由题意得 ，
解得t＝4．
②当P为线段OQ的中点，P点在原点和Q点之间，
当P、Q两点重合时，2t+t＝6﹣（﹣10），即t＝ ，
∴此时5＜t≤ ，
由题意得 ，
解得 ；
③当Q为线段OP的中点，Q点在原点和P点之间，此时 ＜t≤6，
由题意得 ，
解得 ；
④当O为线段PQ的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时t＞6，
由题意得 ，
解得t＝4（不合题意，舍去），
综上所述：t＝4或 或 ．
【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算
方法，熟练的构建方程解题是关键．
4．（2022秋•黄陂区校级期末）如图，数轴上A、B两点表示的有理数分别为a、b，（a+1）2与|a﹣b+10|
互为相反数．线段CD在数轴上从A点左侧（D最开始与A重合）沿数轴正方向匀速运动（点C在点D
的左侧），点M，N分别为AC，BD的中点．
（1）求AB的长；（2）当CD等于2时，判断MN的长度是否为定值，若是求出这个值，若不是，请说明理由；
（3）设CD＝m，线段CD运动的速度为2个单位长度每秒，则在运动过程中，线段CD从开始运动到
完全通过线段MN的时间为 5+ m （用含m的式子表示）．
【分析】（1）由题意可直接得到A，B两点表示的有理数分别为﹣6和4，即可求解AB；
（2）设AC＝k，则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，由点M、N分别为AC、BD的中点，可得出
CM＝AM＝ AC＝ k，DN＝ BD＝ （8﹣k）＝4﹣ k，所以MN＝CM+CD+DN＝ k+2+4﹣ k＝
6；
（3）思路和过程同（1）中过程，可直接求出DC走的路程，根据速度可求出运动时间．
【解答】解：（1）∵（a+1）2与|a﹣b+10|互为相反数，
∴（a+61）2+|a﹣b+10|＝0，
∵（a+1）2≥0，|a﹣b+10|≥0，
∴ ，
∴ ，
∴A，B两点表示的有理数分别为﹣1和9，
∴AB＝9﹣（﹣1）＝10；
（2）MN的长度是定值，
设AC＝k，
则BC＝10﹣k，BD＝10﹣k﹣2＝8﹣k，
∵点M、N分别为AC、BD的中点，
∴CM＝AM＝ AC＝ k，DN＝ BD＝ （8﹣k）＝4﹣ k，
∴MN＝CM+CD+DN＝ k+2+4﹣ k＝6；
（3）当点C到达点B时，则CD完全通过MN，
∴CD走的路程为10+2m，
∴CD运动的时间为 ＝5+m，故答案为：5+m．
【点评】本题主要考查数轴上点的运动，掌握线段的和差运算，线段中点的定义等内容，根据图形得出
线段之间的和差关系是解题的关键．
5．（2022秋•襄州区期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝
2，AB＝6．
（1）求点A，B对应的数；
（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为
AM的中点，Q在CN上，且CQ＝ CN，设运动时间为t（t＞0）．
①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；
②t为何值时OP＝BQ．
【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；
（2）①根据数轴的特点求得点P、Q对应的数（用含t的式子表示）；
②根据OP＝BQ列出关于t的方程并解方程即可．
【解答】解：（1）∵点C对应的数为3，BC＝2，
∴点B对应的数为3﹣2＝1，
∵AB＝6，
∴点A对应的数为1﹣6＝﹣5．
（2）①∵动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运
动，且运动时间为t
∴AM＝3t，CN＝t
∵P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝ CN，
∴AP＝ t，CQ＝ t
∵点A对应的数为﹣5，点C对应的数为3
∴点P对应的数为﹣5+ t，点Q对应的数为3+ t．
②∵OP＝BQ．∴|0﹣（﹣5+ t）|＝|3+ t﹣1|．
解得：t＝ 或t＝6．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，解题的关键是理解数轴的定义，在原点左边的数
表示负数，原点表示0，原点右边的数表示正数，学会利用方程解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022秋•梁子湖区期末）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，点C到A的距离是点C到B的距离2
倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示数1
的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）线段MN上存在一点是[M，N]的好点，则此点表示的数是 2 ；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁
P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当运动时间t为何值时，点P、A、B
中恰有一个点为其余两点的好点？
（3）在（2）条件下，若点P到达A点后继续向左运动，当P为[B，A]的好点时，请直接写出线段PB
的长及此时点P表示的数．
【分析】（1）根据好点的定义解答即可；
（2）分四种情况：当P为[A，B]好点时，当P为[B，A]好点时，当A为[B，P]好点时，当B为[A，P]好
点时，分别列方程即可；
（3）当P为[B，A]的好点时，PB＝2PA，可得2t＝2|60﹣2t|，再解方程即可．【解答】解：（1）设此点表示的数是x，
则（x+2）＝2（4﹣x），
解得x＝2，
故答案为：2；
（2）t秒时，点P表示的数是40﹣2t，
①当P为[A，B]好点时，PA＝2PB，
∴40﹣2t+20＝2×2t，
解得t＝10；
②当P为[B，A]好点时，PB＝2PA，
∴2（40﹣2t+20）＝2t，
解得t＝20；
③当A为[B，P]好点时，AB＝2AP，
∴60＝2（60﹣2t），
解得t＝15；
④当B为[A，P]好点时，AB＝2PB，
∴60＝2×2t，
解得t＝15．
综上，当t的值是10或20或15时，点P、A、B中恰有一个点为其余两点的好点；
（3）当P为[B，A]的好点时，PB＝2PA，
∴2t＝2|60﹣2t|，
解得t＝20或60，
当t＝60时，PB＝2t＝120，点P表示的数是40﹣2t＝﹣80；
当t＝20时，PB＝2t＝40，点P表示的数是40﹣2t＝0；
综上，当t＝60时，PB＝120，点P表示的数是﹣80或0．
【点评】本题考查一元一次方程是实际应用，找到等量关系列出方程是解题关键，注意要分类讨论．
7．（2022秋•武汉期末）已知线段AB＝30cm
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝4cm，PO＝2cm，当点P在AB的上方，且∠POB＝60°时，点P绕着点O以30度/秒
的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相
遇，求点Q的运动速度．
【分析】（1）设经过t秒点P、Q两点能相遇，由题意得：P点t秒的运动距离+Q点t秒的运动距离＝
30cm，根据题意可得方程；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；
（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意
列出方程分别求解．
【解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t＝30，
解得：t＝6．
答：经过6秒钟后，点P、Q相遇；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，
解得：x＝4或x＝8．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P、Q两点相距10cm；
（3）点P，Q只能在直线AB上相遇，
则点P旋转到直线AB上的时间为： ＝4（s）或 ＝10（s），
设点Q的速度为ycm/s，则有4y＝30﹣2，
解得：y＝7；
或10y＝30﹣6，
解得y＝2.4，
答：点Q的速度为7cm/s或2.4cm/s．
【点评】此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，熟练掌握速度、路程、时间
的关系．
8．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动
点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，
当点N回到点B时，三点停止运动．
（1）当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是 2 1 单位．
（2）当QN＝8个单位时，求三个点的运动时间．
（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：
码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船
从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航
速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海
里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘
船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离 B码头的距离；若
不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据路程＝速度×时间即可求解；
（2）Q、N相遇的时间为 秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．
N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．分三种情况：①Q、
N相遇前；②Q、N相遇后，N到O前；③Q、N相遇后，N到O后．分别根据QN＝8列出方程；
（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．分四种情况：
①乙丙相遇前；②甲丙相遇前；③甲丙相遇后，丙到C前；④甲丙相遇后，丙到C后．根据这三艘
船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等列出方程．
【解答】解：（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，则P、Q、N三点在数轴上所表示的三个数分别为
﹣20+5t，4t，40﹣8t，
当t＝3时，P、N两点在数轴上所表示的三个数分别为﹣20+5t＝﹣5，40﹣8t＝16，
∴PN＝16﹣（﹣5）＝21，
故答案为：21；
（2）Q、N相遇的时间为 秒，Q到B的时间为10秒，N到O的时间为5秒，N到B的时间为10秒．
N到O前，P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为40﹣8t．①Q、N相遇前：40﹣8t﹣4t＝8，解得t＝ ，
②Q、N相遇后，N到O前，4t﹣（40﹣8t）＝8，解得t＝4，
③Q、N相遇后，N到O后：
P所表示的数为﹣20+5t；Q所表示的数为4t；N所表示的数为8（t﹣5），
4t﹣8（t﹣5）＝8，解得t＝8，
综上所述：当QN＝8个单位时，三个点的运动时间t＝ 或4或8；
（3）建立如图所示的数轴A所表示的数为﹣20；C所表示的数为0；B所表示的数为40．
甲到C的时间为 秒，甲到B的时间为 秒，乙到B的时间为 秒，
丙到C的时间为 秒，丙到B的时间为 秒，甲遇丙的时间为 秒，乙遇丙的时间为 秒，甲追乙
的时间为20（舍），丙追甲的时间为（舍）．丙到 C前，甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为
6t；丙所表示的数为40﹣6t
①乙丙相遇前：6t﹣（﹣20+7t）＝40﹣6t﹣6t，解得t＝ ，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）＝ （海里）；
②甲丙相遇前：40﹣6t﹣（﹣20+7t）＝6t﹣（40﹣6t），解得t＝4，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7×4）＝32（海里）；
③甲丙相遇后，丙到C前：6t﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣（40﹣6t），解得t＝ ，
所以甲船离B码头的距离为40﹣（﹣20+7× ）＝20（海里）；
④甲丙相遇后，丙到C后：甲所表示的数为﹣20+7t；乙所表示的数为40；丙所表示的数为10（t﹣
）．40﹣（﹣20+7t）＝﹣20+7t﹣10（t﹣ ），解得t＝ ＜ （舍）．
综上所述，在整个运动过程中，分别在 小时、4小时、 小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两
船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为 海里，32海里，20海里．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离．正确进行分类讨论是解题的关键也是
本题的难点．
9．（2022秋•丰泽区校级期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作 ．
例如，点C是AB的中点时，即 ，则 ；
反之，当 时，则有 ．
因此，我们可以这样理解：“ ”与“AC＝nAB”具有相同的含义．
【理解与应用】
（1）如图，点C在线段AB上．若AC＝3，AB＝4，则 ＝ ；
若 ，则 ＝ ．
【拓展与延伸】
（2）已知线段AB＝10cm，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度
从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终
点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时， 的值是个定值，求m的值；
②t为何值时， ．【分析】（1）根据“点值”的定义得出答案；
（2）①设运动时间为t，再根据d（ ）+m•d（ ）的值是个定值即可求出m的值；
②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动两种情况分析即可．
【解答】解：（1）∵AC＝3，AB＝4，
∴AC＝ AB，
∴d（ ）＝ ，
∵d（ ）＝ ，
∴AC＝ AB，
∴ ＝
故答案为： ， ；
（2）①设运动时间为t，则AP＝t，AQ＝10﹣3t，
根据“点值”的定义得：d（ ）＝ ，d（ ）＝ ，
∵d（ ）+m•d（ ）的值是个定值，
∴ +m• ＝ 的值是个定值，
∴m＝ ；
②当点Q从点B向点A方向运动时，
∵d（ ）﹣d（ ）＝ ，
∴ ﹣ ＝ ，
∴t＝1；
当点Q从点A向点B方向运动时，∵d（ ）﹣d（ ）＝ ，
∴ ﹣ ＝ ，
∴t＝8（舍去），
∴t的值为1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义并能运用是本题的关键．
10．（2022秋•鼓楼区校级期末）点C是线段AB上一点，若AC＝nBC（n为大于1的正整数），则我们称
点C是（B，A）的最强CP点．例如，AB＝10，AC＝CD＝DE＝EB＝2，则AE＝3BE，称E是（B，
A）的最强CP点；BD＝2CD，则D是（C，B）的最强CP点．
（1）点C在线段AB上，若AB＝14，n＝4，点C是（A，B）的最强CP点，则AC＝ ．
（2）若AB＝14，C是（B，A）的最强CP点，则AC＝ ．（用n的代数式表示）
（3）一直线上有两点A，B，AB＝30cm，点C从B点出发，以每秒3cm的速度向A运动，运动到点A
时停止．点D从点A出发，以每秒5cm的速度沿射线AB运动，t为多少时，点B，C，D恰好有一个点
是其余2个点的最强CP点．（用n的代数式表示）
【分析】（1）根据“最强CP点”的定义计算即可；
（2）根据“最强CP点”的定义列式即可；
（3）将点C、D的运动分成未相遇，相遇后，点D经过点B后，和点C到达点A后四种阶段讨论，并
且每个阶段又有可能有2种不同的CP点的情况．
【解答】解：（1）∵点C是（A，B）的最强CP点，
∴BC＝nAC（n＝4），
∵AB＝14，AB＝BC+AC，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵C是（B，A）的最强CP点，
∴AC＝nBC，
∴ ，
又∵AB＝14，AB＝BC+AC，∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：根据题意，当AD＝BC时D、C相遇，
∴5t＝30﹣3t，
解得 ，
阶段一：点D、C未相遇时，即 时，
①设t 时点C为（B，D）的最强CP点，
1
∴DC＝nBC，
∵DC＝30﹣5t ﹣3t ＝30﹣8t ，BC＝3t ，
1 1 1 1
∴30﹣8t ＝3nt ，
1 1
解得 ，
又∵DC＞BC，即30﹣8t ＞3t ，
1 1
∴ ，
∵n为大于1的正整数，
∴ 满足题意；
②设t 时，点C为（D，B）的最强CP点，
2
∴BC＝nDC，
∵BC＝3t ，DC＝30﹣8t ，
2 2
∴3t ＝n（30﹣8t ），
2 2
解得 ，
又∵BC＞DC，即3t ＞30﹣8t ，
2 2
∴ ，
∵n为大于1的正整数，∴ 符合题意；
阶段二：点D、C相遇后，且点D未到达点B，即 时，
③设t 时，点D为（C，B）的最强CP点，
3
∴BD＝nCD，
∵BD＝30﹣5t ，CD＝5t ﹣（30﹣3t ）＝8t ﹣30，
3 3 3 3
∴30﹣5t ＝n（8t ﹣30），
3 3
∴ ，
又∵BD＞CD，即30﹣5t ＞8t ﹣30，
3 3
∴ ，
∵n为大于1的正整数，
∴ 符合题意；
④设t 时，点D为（B，C）的最强CP点，
4
∴CD＝nBD，
∵CD＝5t ﹣（30﹣3t ）＝8t ﹣30，BD＝30﹣5t ，
4 4 4 4
∴8t ﹣30＝n（30﹣5t ），
4 4
∴ ，
又∵CD＞BD，即8t ﹣30＞30﹣5t ，
4 4
∴ ，
∵n为大于1的正整数，
∴ 符合题意；
阶段三：点D经过点B后，且点C未到达点A，即6≤t＜10时，
⑤设t 时，点B为（D，C）的最强CP点，
5
∴CB＝nDB，
∵CB＝3t ，DB＝5t ﹣30，
5 5
∴3t ＝（5t ﹣30）n，
5 5∴ ，
又∵CB＞DB，即3t ＞5t ﹣30，
5 5
∴6≤t ＜15，
5
∴ 符合题意；
⑥设t 时，点B为（C，D）的最强CP点，
6
∴DB＝nCB，
∵DB＝5t ﹣30，CB＝3t ，
6 6
∴5t ﹣30＝3t n，
6 6
∴ ，
又∵DB＞CB，即5t ﹣30＞3t ，
6 6
∴t ＞15，
6
∴ 不符合题意，舍去；
阶段四：点C到达点A后，即t≥10时，
∵CB＝30，CD≥50，
∴点B不可能为（D，C）的最强CP点；
⑦设t 时，点B为（C，D）的最强CP点，
7
∴DB＝nCB，DB＝5t ﹣30，
7
∴5t ﹣30＝30n，
7
∴t ＝6+6n，
7
又∵DB＞CB，即5t ﹣30＞30，
7
∴t ＞12，
7
∴t ＝6+6n符合题意；
7
综上所述，当t为 ， 或 或 或 或6+6n时，点B，C，D恰好有一个
点是其余2个点的最强CP点．
【点评】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点问题，运用分类讨论的
思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键．
11．（2022秋•天山区校级期末）如图，数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a、b满足|a+2|+（b﹣8）2＝0．
（1）点A表示的数为 ﹣ 2 ；点B表示的数为 8 ；
（2）若数轴上有两动点M，N，点M以2个单位/秒从A向右运动，同时点N以3个单位/秒从点B向左
运动，问经过几秒M，N相遇？
（3）在（2）的条件下，动点M、N出发经过多少秒，能使MA＝3NO？
【分析】（1）根据偶次方及绝对值的非负数可求解a，b的值，即可求得A，B表示的数；
（2）由（1）可求解A、B之间的距离，再设经过x秒M、N相遇，列方程计算可求解；
（3）设动点M、N出发经过x秒，能使MA＝3NO，根据MA＝3NO列方程计算可求解．
【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣8）2＝0，
∴a+2＝0，b﹣8＝0，
解得a＝﹣2，b＝8，
∴点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，
故答案为：﹣2；8；
（2）∵点A表示的数为﹣2；点B表示的数为8，
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10，
设经过x秒M、N相遇，
2x+3x＝10，
解得x＝2，
故经过2秒M、N相遇；
（3）设动点M、N出发经过y秒，能使MA＝3NO，
由题意得：2y＝3|8﹣3y|，2y＝9y﹣24，
解得y＝ 或 ，
故动点M、N出发经过 或 秒，能使MA＝3NO．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，偶次方及绝对值的非负性，理解题意是解题的关键．
12．（2022秋•桥西区期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE＝
140°，将一直角三角板AOB的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线
DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，求此时∠BOC的度数；
（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某
一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；
（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多
长时间，射线OC平分∠BOD．直接写出t的值．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【分析】（1）先根据补角定义求出∠COD的度数，再根据角平分线的定义求出∠COA的度数，最后根
据余角定义即可求出∠BOC的度数；
（2）分三种情况讨论，①当OA平分∠COD时，②当OC平分∠AOD时，③当OD平分∠AOC时，
可分别求出t的值；
（3）设运动时间为t，分三种情况讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，
又∵OA平分∠COD，
∴∠AOC＝ ∠COD＝20°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝70°；
（2）存在
①当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即20°t＝20°，解得：t＝1，
②当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠DOC，即20°t﹣40°＝40°，解得：t＝4，
③当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360°﹣20°t＝40°，解得：t＝16，
综上所述：t＝1，t＝4或16；
（3） 或 或17.5，理由如下：
设运动时间为t，则有①当90+20t＝2（40+25t）时，t＝ ，
②当270﹣20t＝2（320﹣25t）时，t＝ ，
③当OC回到起始位置后，
∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴t＝ ＝17.5，
所以t的值为 或 或17.5．
【点评】本题考查了补角，余角及角平分线的定义，掌握分类讨论思想是关键．
13．（2022秋•洪山区校级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝120°，∠COD＝30°．
（1）如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
（2）如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小；
（3）如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再
以每秒12°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，
OC运动的时间是t秒（0＜t≤19），当∠COD＝90°时，直接写出t的值．【分析】（1）由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠COD+∠BOD＝∠AOB+∠COD，即可求得；
（2）由 ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，得∠AON+∠BOM＝ （∠AOD+∠BOC）＝ ×150°＝
75°，即可得∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM），代入数可求；
（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：（Ⅰ）当 OC未达到OB时，分两种情况列方程求解，
（Ⅱ）当OC达到OB后返回时，分两种情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠COD＝30°，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+（∠COD+∠BOD）
＝∠AOB+∠COD
＝120°+30°
＝150°；
（2）∵ON平分∠AOD，OM平分∠BOC，
∴∠AON＝ ∠AOD，∠BOM＝ ∠BOC，
∴∠AON+∠BOM＝ （∠AOD+∠BOC），
由（1）知∠AOD+∠BOC＝150°，
∴∠AON+∠BOM＝ ×150°＝75°，
∴∠MON＝∠AOB﹣（∠AON+∠BOM）＝120°﹣75°＝45°；
（3）（Ⅰ）当OC未达到OB时，分两种情况：
①如图：
此时∠COC'＝10°t，∠DOD'＝20°t，
∴20°t+20°﹣10°t＝90°，解得t＝7，
②如图：
此时∠COC'＝10°t，∠DOD'＝360°﹣20°t，
∴（360°﹣20°t﹣20°）+10°t＝90°，
解得t＝25，
（Ⅱ）当OC达到OB后返回时，分两种情况：
①如图：
此时∠COC'＝∠BOC﹣∠BOC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，
∠DOD'＝20°t﹣360°，
∴20°t﹣360°﹣（300°﹣15°t﹣20°）＝90°，
解得t＝11.6，
②如图：
此时∠COC'＝120°﹣15°（t﹣12）＝300°﹣15°t，
∠DOD'＝360°﹣（20°t﹣360°）＝720°﹣20°t，
∴（720°﹣20°t）﹣20°+（300°﹣15°t）＝90°，
解得t＝26，
综上所述，t的值为7或25或11.6或26．【点评】本题主要考查角的旋转，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．
14．（2022秋•思明区校级期末）如图，已知A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数为7，BC＝4，AB
＝16，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒5个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每
秒2个单位的速度沿数轴向左匀速运动，M为AP的中点，点N在线段CQ上，且CQ＝3CN．设运动的
时间为t（t＞0）秒．
（1）点A表示的数为 ﹣ 1 3 ，点B表示的数为 3
（2）当t＜6时，求MN的长（用含t的式子表示）；
（3）t为何值时，原点O恰为线段PQ的中点．
【分析】（1）根据点C所表示的数，以及BC、AB的长度，即可写出点A、B表示的数；
（2）根据题意画出图形，表示出AP＝5t，CQ＝2t，再根据线段的中点定义可得AM，根据线段之间的
和差关系进而可得到点M表示的数；根据CQ＝3CN可得CN，根据线段的和差关系可得到点N表示的
数，进一步求得MN；
（3）此题有两种情况：当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时；当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，分别画出图形进行计算即可．
【解答】解：（1）∵C表示的数为7，BC＝4，
∴OB＝7﹣4＝3，
∴B点表示3．
∵AB＝16，
∴AO＝16﹣3＝13，
∴A点表示﹣13；
（2）由题意得：AP＝5t，CQ＝2t，如图1所示：
∵M为AP中点，
∴AM＝ AP＝ t，
∴在数轴上点M表示的数是﹣13+ t，
∵点N在CQ上，CQ＝3CN，
∴CN＝ t，
∴在数轴上点N表示的数是7﹣ t，
∴MN＝7﹣ t﹣（﹣13+ t）＝20﹣ t；
（3）如图2所示：
由题意得，AP＝6t，CQ＝3t，分两种情况：
①当点P在点O的左侧，点Q在点O的右侧时，OP＝13﹣5t，OQ＝7﹣2t，
∵O为PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴13﹣5t＝7﹣2t，解得：t＝2，
当t＝2秒时，O为PQ的中点；
②如图3，
当P在点O的右侧，点Q在点O的左侧时，OP＝5t﹣13，OQ＝2t﹣7，
∵O为PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴5t﹣13＝2t﹣7，
解得：t＝2，
此时AP＝10＜13，
∴t＝2不合题意舍去，
综上所述：当t＝2秒时，O为PQ的中点．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，数轴，以及线段的计算，解决问题的关键是根据题意正确
画出图形，利用中点的意义建立方程解决问题．
15．（2022秋•管城区校级期末）如图 1，O为直线DE上一点，过点 O在直线DE上方作射线OC，
∠EOC＝140°．将直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条边OA在射线OD上，
另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）如图2，当t＝4时，∠AOC＝ 16 ° ，∠BOE＝ 64 ° ，∠BOE﹣∠AOC＝ 50 ° ；
（2）当三角板旋转至边AB与射线OE相交时（如图3），试猜想∠AOC与∠BOE的数量关系，并说明
理由；
（3）在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹
角的角平分线？若存在，请直接写出t的取值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据已知求出∠DOC、∠BOC，再求出当t＝4时的旋转角的度数，再利用角的和与差
求解即可；
（2）设旋转角为x，用x表示∠AOC和∠BOE，即可得出结论；
（3）分①OA为∠DOC的平分线；②OC为∠DOA的平分线；③OD为∠COA的平分线三种情况，
利用角平分线定义和旋转性质求出旋转角即可．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝140°，∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴∠DOC＝180°﹣140°＝40°，∠BOC＝140°﹣90°＝50°，
当t＝4时，旋转角4×6°＝24°，
∴∠AOC＝∠DOC﹣∠DOA＝40°﹣24°＝16°，∠BOE＝90°﹣24°＝66°，
∠BOE﹣∠AOC＝66°﹣16°＝50°，
故答案为：16°，66°，50°；
（2）∠AOC﹣∠BOE＝50°，理由如下：
设旋转角为x，当三角板旋转至边 AB与射线 OE相交时，
∠AOC＝x﹣40°，∠BOE＝x﹣90°，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（x﹣40°）﹣（x﹣90°）＝50°；
（3）存在，理由如下：
①当OA为∠DOC的平分线时，旋转角6t°＝ ∠DOC＝20°，
解得：t＝ ；
②当OC为∠DOA的平分线时，旋转角6t°＝2∠DOC＝80°，
解得：t＝ ；
③当OD为∠COA的平分线时，360°﹣6t°＝∠DOC＝40°，
解得：t＝ ，
综上，满足条件的t 的取值为 或 或 ．
【点评】本题考查角平分线的定义、旋转的性质、角的运算，熟练掌握旋转性质，利用分类讨论思想求
解是解答的关键．
16．（2022秋•泗阳县校级期末）【感受新知】
如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的
角．]
（1）一个角的角平分线 不是 这个角的“和谐线”．（填是或不是）
（2）如图1，∠AOB＝60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．
【运用新知】
（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度
旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线
回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为 t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直
线上时，求t的值．
【解决问题】
（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．
【分析】（1）结合“和谐线”和角平分线的定义，即可得到答案；
（2）分四种情况讨论，由“和谐线”的定义，列出方程可求∠AOC的度数；
（3）根据题意，分三种情况讨论，列出方程可求t的值；
（4）根据题意，分四种情况进行讨论，列出方程，分别解方程，即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线不是这个角的“和谐线”．
故答案为：不是；
（2）根据题意，
∵∠AOB＝60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，
可分为四种情况进行分析：
①当∠AOB＝3∠AOC＝60°时，
∴∠AOC＝20°；
②当∠AOB＝3∠BOC＝60°时，∴∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝40°；
③当∠AOC＝3∠BOC时，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝45°；
④当∠BOC＝3∠AOC时，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝15°；
（3）由题意得，∵360°÷15°＝24（秒），
∴运动时间范围为：0＜t≤24，则有
①当OM与ON第一次成一个平角时，
90+15t+7.5t＝180，
解得：t＝4；
当t＝6时，∠BOM＝180°，不符合题意，故舍去．
②当OM与ON成一个周角时，
90+15t+7.5t＝360，
解得：t＝12；
③当OM与ON第二次成一个平角时，
90+15t+7.5t＝180+360，
解得：t＝20，
综上，t的值为4或12或20秒；
（4）当OM与OB在同一条直线上时，有t＝（180°﹣90°）÷15°＝6（秒），
当OM与ON成一个周角时，有t＝12，
∴6≤t≤12，
根据“和谐线”的定义，可分为四种情况进行分析：
①当∠MON＝3∠BON时，如图：∵∠MON＝360°﹣90°﹣15t﹣7.5t，∠BON＝7.5t，
∴360°﹣90°﹣15t﹣7.5t＝3×7.5t，
解得：t＝6；
t＝6时有个角为平角，（舍去），
②当∠BOM＝3∠BON时，如图：
∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠BON＝7.5t，
∴360°﹣90°﹣15t＝3×7.5t，
解得：t＝7.2；
③当∠BOM＝3∠MON时，如图：
∵∠BOM＝360°﹣90°﹣15t，∠MON＝（360°﹣90°）﹣（15t+7.5t）＝270°﹣22.5t，
∴360°﹣90°﹣15t＝3×（270﹣22.5t），
解得： ；
④当∠BON＝3∠MON时，如图：∵∠BON＝7.5t，∠MON＝270°﹣22.5t，
∴7.5t＝3×（270﹣22.5t），
解得：t＝10.8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，和谐线的性质，角之间的和差关系，掌握题意找等量关系列
出方程是关键．
17．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图1，平面上顺时针排列射线OA，OB，OC，OD，∠BOC＝90°，
∠AOD在∠BOC外部且为钝角，∠AOB：∠COD＝6：7，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD（题
目中所出现的角均小于180°且大于0°）．
（1）若∠AOD＝140°，∠AOM＝ 75 ° ，∠CON＝ 140 ° ；
（2）6∠CON﹣∠AOM的值是否随着∠AOD的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理
由；
（3）在（1）的条件下，将∠AOB绕点O以每秒2°的速度顺时针旋转得到∠A OB （OA，OB的对应边
1 1
分别是OA ，OB ），若旋转时间为t秒（0＜t＜180），当∠A OC+6°＝∠B OD时，求出t的值．
1 1 1 1
【分析】（1）由周角求出∠DOC+∠AOB＝130°，根据∠AOB：∠COD＝6：7求得∠AOB＝60°，
∠COD＝70°，从而求出∠AOC＝150°，再根据角平分线定义求出∠DON和∠AOM，从而可得出结论；
（2）设∠AOB＝6k，∠COD＝7k，再用含k的式子表示∠CON，∠AOC，代入6∠CON﹣∠AOM可得
结论；
（3）求出∠AOC＝150°，∠BOD＝160°，分三种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝90°，∠AOD＝140°，
∴∠AOB+∠COD＝130°，
∵∠AOB：∠COD＝6：7，
∴∠AOB＝60°，∠COD＝70°；∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD，
∴∠AOM＝ ∠AOC＝75°，∠DON＝ ∠AOD＝70°，
∴∠CON＝∠DON+∠COD＝140°，
故答案为：75°，140°．
（2）6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AOD的改变而改变，理由如下：
设∠AOD＝ ，
∵∠BOC＝9α0°，∠AOD＝ ，
∴∠AOB+∠COD＝270°﹣α，
∵∠AOB：∠COD＝6：7，α
∴∠AOB＝ （270°﹣ ），∠COD＝ （270°﹣ ），
α α
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝214.6°﹣ ，
∵OM，ON分别平分∠AOC，∠AOD， α
∴∠AOM＝ ∠AOC＝107.3°﹣ ，∠DON＝ ∠AOD＝ ，
α α
∴∠CON＝∠DON+∠COD＝145.4°﹣ ，
α
∴6∠CON﹣∠AOM＝6（145.4°﹣ ）﹣（107.3°﹣ ）＝765°，
∴6∠CON﹣∠AOM的值不会随着∠AαOD的改变而改变；α是定值765°；
（3）∵∠AOC＝90°+60°＝150°，∠BOD＝70°+90°＝160°，
①当∠A OC＝150°﹣2t，∠B OD＝160°﹣2t（t∠75）时，
1 1
∵∠A OC+6°＝∠B OD，
1 1
∴150°﹣2t+6°＝160°﹣2t，
此时，无解；
②当∠A OC＝2t﹣150°，∠B OD＝160°﹣2t（75∠t∠80）时，
1 1
∵∠A OC+6°＝∠B OD，
1 1
∴2t﹣150°+6°＝160°﹣2t，
解得，t＝76；
③当∠A OC＝2t﹣150°，＝B OD＝2t﹣160°（t＞80），
1 1∵∠A OC+6＝∠B OD，
1 1
∴2t﹣150°+6°＝2t﹣160°，
此时无解．
∴t＝76．
【点评】本题考查一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结
合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数
学消元思想．
18．（2022秋•黄石港区期末）已知数轴上，点O为原点，点A对应的数为9，点B对应的数为b，点C在
点B右侧，长度为2个单位的线段BC在数轴上移动．
（1）如图1，当线段BC在O、A两点之间移动到某一位置时恰好满足线段AC＝OB，求此时b的值；
（2）当线段BC在数轴上沿射线AO方向移动的过程中，若存在AC﹣OB＝ AB，求此时满足条件的b
值；
（3）当线段BC在数轴上移动时，满足关系式|AC﹣OB|＝ |AB﹣OC|，则此时的b的取值范围是 b ≤
﹣ 2 或 b ≥ 9 或 b ＝ ．
【分析】（1）由题意可知B点表示的数比点C对应的数少2，进一步用b表示出AC、OB之间的距离，
联立方程求得b的数值即可；
（2）分别用b表示出AC、OB、AB，进一步利用AC﹣0B＝ AB建立方程求得答案即可；
（3）分别用b表示出AC、OB、AB、OC，进一步利用|AC﹣OB|＝ |AB﹣OC|建立方程求得答案即可．
【解答】解：（1）由题意得：
9﹣（b+2）＝b，
解得：b＝3.5．
答：线段AC＝OB，此时b的值是3.5．
（2）由题意得：
①9﹣（b+2）﹣b＝ （9﹣b），解得：b＝ ．
②9﹣（b+2）+b＝ （9﹣b），
解得：b＝﹣5
答：若AC﹣0B＝ AB，满足条件的b值是 或﹣5．
（3）①当b≥9时，AC＝b+2﹣9，OB＝b，AB＝b﹣9，OC＝b+2，
|AC﹣OB|＝ |AB﹣OC|，
|b+2﹣9﹣b|＝7，
|AB﹣OC|＝ ×11＝7，
∴恒成立；
②7≤b＜9时，
|AC﹣OB|＝ |AB﹣OC|，
|b+2﹣9﹣b|＝ |9﹣b﹣（b+2）|，
解得b＝﹣2（舍去）或b＝9（舍去）；
③0≤b＜7时，
|AC﹣OB|＝ |AB﹣OC|，
|9﹣（b+2）﹣b|＝ |9﹣b﹣（b+2）|，
解得b＝ ＝3.5．
④﹣2≤b＜0时，
|9﹣（b+2）+b|＝ |9﹣b﹣（b+2）|，
解得b＝﹣2或b＝9（舍去）；
⑤当b＜﹣2时，
|9﹣（b+2）+b|＝ |9﹣b+（b+2）|恒成立，
综上，b的取值范围是b≤﹣2或b≥9或b＝3.5．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的
长度是解题的关键．
19．（2022秋•仙游县校级期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小
的正整数，a，c满足|a+2|+（c﹣5）2＝0．
（1）填空；a＝ ﹣ 2 ，b＝ 1 ，c＝ 5 ．
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同
时向右运动，设运动时间为t秒．
①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍．
②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，
所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
【分析】（1）由正整数的定义，绝对值及偶次方的非负性可求解a，c的值；
（2）①先用t表示A，B，C三点表示的数，即可求得AB，BC，AC，再根据AB＝2BC列关于t的方程，
解方程即可求解t值；
②分三种情况：当A是BC的中点时，AB＝AC；当B是AC的中点时，AB＝BC；当C是AB的中点时，
AC＝BC，分别列方程，计算可求解．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b＝1，
∵|a+2|+（c﹣5）2＝0，
∴a+2＝0，c﹣5＝0，
解得a＝﹣2，c＝5；
（2）①t秒后A点表示的数为﹣2+4t，B点表示的数为1+t，C点表示的数为5+t，
∴AB＝|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|3﹣3t|，BC＝|（5+t）﹣（1+t）|＝4，
∵AB＝2BC，
∴|3﹣3t|＝2×4＝8，
解得t＝ ，故当经过 s时，AB的长度是BC长度的两倍；
②当A是BC的中点时，AB＝AC，
则|（1+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（﹣2+4t）|，
即|3﹣3t|＝|7﹣3t|，
解得t＝ ；
当B是AC的中点时，
∵A，B，C表示的数分别是﹣2，1，5，
∴在整个运动过程中B点不可能是AC的中点，
故该情况下不存在；
当C是AB的中点时，A点在C点的右侧，则[5﹣（﹣2）]+t＜4t，
解得t＞ ，
∴|（5+t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5+t）﹣（1+t）|，
即|7﹣3t|＝4，
解得t＝ 或1（舍去），
综上，当t＝ s或 s时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点．
【点评】本题主要考查数轴，两点间的距离，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性，分类讨
论是解决问题的关键．
20．（2022秋•荔湾区校级期末）已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+9|+（b﹣
6）2＝0．点P沿数轴从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动．
（1）则a＝ ﹣ 9 ，b＝ 6 ．
（2）若点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，求点P运动的时间．
（3）若点Q在点P运动2秒后，从点B出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当P，Q两点相
遇后，再同时都向右运动（速度不变）．试求在整个运动过程中，当 P点运动时间为多少秒时，P，Q
两点之间的距离为1？并求出此时Q点所对应的数．
【分析】（1）读懂题意，根据非负数的性质列等式，求出a、b的值；
（2）根据题意分情况列方程求出解即可；（3）分两种情况讨论，一相遇前，二相遇后，分别设未知数，列方程求出时间，再确定Q点对应的数．
【解答】解：（1）∵|a+9|+（b﹣6）2＝0，
∴a+9＝0，a＝﹣9，
b﹣6＝0，b＝6，
故答案为：﹣9，6；
（2）根据题意可知AB＝6﹣（﹣9）＝6+9＝15，
设点P运动的时间为t，PA＝2PB，有两种可能，
当p点在A、B两点之间时，此时
PA＝2PB，
2t＝2（15﹣2t），
t＝5，
当P点在B点右边时，
PA＝2PB，
2t＝2（2t﹣15），
t＝10，
∴P到点A的距离是点P到点B距离的2倍，点P运动的时间为10秒或5秒．
（3）设点Q与点P共同运动的时间为t秒，PQ＝1，有两种可能，相遇前，相遇后，由题意得：
相遇前，
2（2+t）+1+3t＝15，
t＝2，
AQ＝（2+2）×2+1＝9，
﹣9+9＝0，
此时Q点对应的数为0，
∴P点运动时间为2+2＝4秒时，P，Q两点之间的距离为1，此时Q点所对应的数为0；
设点Q与点P共同运动t秒在N点相遇，
2（2+t）+3t＝15，
t＝2.2，
t+2＝4.2，4.2×2＝8.4，
﹣9+8.4＝﹣0.6，
1÷（3﹣2）＝1，
4.2+1＝5.2，
﹣0.6+1×3＝2.4
综上所述P点运动时间为4或5.2s，P，Q两点之间的距离为1，此时Q点对应的数为：0或2.4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，根据题
意列方程求解．
21．（2022秋•顺庆区校级期末）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：
（1）若使C、B两点的距离与A、B两点的距离相等，则需将点C向左移动 3 或 7 个单位；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C
分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动t秒钟过后：
①点A、B、C表示的数分别是 ﹣ 4 ﹣ t 、 ﹣ 2+ 2 t 、 3+ 5 t （用含t的代数式表示）；
②若点B与点C之间的距离表示为d ，点A与点B之间的距离表示为d ．试问：d ﹣d 的值是否随着
1 2 1 2
时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出d ﹣d 值．
1 2
【分析】（1）由AB＝2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离；
（2）①结合路程＝时间×速度写出答案；
②先求出d ＝3t+5，d ＝3t+2，从而得出d ﹣d ＝2．
1 2 1 2
【解答】解：（1）有数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3，
所以当C、B两点的距离与A、B两点的距离相等时，需将点C向左移动3个或7个单位；
故答案为：3或7；
（2）①点A表示的数是﹣4﹣t；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t．
故答案为：﹣4﹣t；﹣2+2t；3+5t；
②d ﹣d 的值不随着时间t的变化而改变，其值是3，理由如下：
1 2
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度
向右运动，
∴d ＝3t+5，d ＝3t+2，
1 2
∴d ﹣d ＝（3t+5）﹣（3t+2）＝3．
1 2【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，
二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学
思想．
22．（2022秋•市北区校级期末）已知如图，在数轴上有 A，B两点，所表示的数分别为﹣10，﹣4，点A
以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时
间为t秒，解答下列问题：
（1）运动前线段AB的长为 6 ；运动1秒后线段AB的长为 4 ；
（2）求t为何值时，点A与点B恰好重合；
（3）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）根据两点间距离公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形构建方程解决问题．
【解答】解：（1）AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6，
运动1秒后，A表示﹣5，B表示﹣1，
∴AB＝﹣1+5＝4．
故答案为：6，4．
（2）运动t秒后，点A，点B运动的距离分别为5t，3t，
由题意：（5﹣3）t＝6，
∴t＝3．
（3）由题意：6+3t﹣5t＝5或5t﹣（6+3t）＝5，
解得t＝ 或 ，
∴t的值为 或 秒时，线段AB的长为5．
【点评】本题考查数轴，一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会构建方程解决问
题，属于中考常考题型．
23．（2022秋•广阳区期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 3 ．
②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 4 ．
③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是 7 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 | a ﹣ b | ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ 7 ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ﹣ 1 ．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 3 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 a ＞ 5 或 a ＜﹣ 3 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁
P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从B点出发，以3单位/秒
的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距 20个单位长度，并写出此时点P所表示
的数．
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，
（2）由特殊到一般，得出结论，
（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；
②根据绝对值的意义取绝对值，解方程即可；
③由|a﹣1|+|a+2|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣2的点到表示1的点之间的距离；
④由|a+3|+|a﹣5|所表示的意义，转化为数轴上表示﹣3和5两侧的点到﹣3和5的距离之和；
（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，然后含t的式子表示出点P，Q所表示的数，
在根据题意列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3，
②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是4，
③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是7；故答案为：①3，②4，③7；
（2）归纳：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，
|a+4|+|a﹣3|＝a+4﹣a+3＝7；
②∵|a﹣1|＝|a+3|，
∴a﹣1＝a+3（无解）或a﹣1＝﹣（a+3），
解得a＝﹣1；
③当a表示的数在﹣2和1之间时，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3；
④当|a+3|+|a﹣5|＞8时，a应该在数5的右侧或在﹣3的左侧，
∴a＞5或a＜﹣3，
故答案为：①7，②﹣1，③3，④a＞5或a＜﹣3；
（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
此时P表示的数为4t﹣20，Q表示的数为100﹣3t，
根据题意得100﹣3t﹣（4t﹣20）＝20或4t﹣20﹣（100﹣3t）＝20，
解得t＝ 或t＝20，
此时4t﹣20＝ 或60，
∴点P所表示的数为 或60．
【点评】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离是两个数的绝对值和一元一次方程的应用，注意线段
上的点与线段两端点的距离的和最小．
24．（2022秋•武侯区校级期末）已知b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，且a，b，c分别
对应数轴上的点A，B，C．
（1）请直接写出a，b，c的值：a＝ ﹣ 1 ，b＝ 1 ，c＝ 5 ．
（2）若点P为一动点，从点A出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，则点P运动几秒后，点P到
点A的距离是点P到点C的距离的2倍？
（3）点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位
长度的速度向右运动．点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．假设运动
时间为t s，BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）利用非负数的性质，数轴上的点表示数的特点，计算并判断出a、b、c的值；
（2）根据题意分情况列方程，求解即可；
（3）根据题意求出BC、AB的代数式，再相减，判断结果与t有无关系．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，a，b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，
∴b＝1，
c﹣5＝0，c＝5，
|a+b|＝0，a+1＝0，a＝﹣1，
故答案为：﹣1，1，5；
（2）由图可知：AC＝5﹣（﹣1）＝6，
设点P运动x秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍，
情况一，PA＝2PC，P点在A点与C点之间，此时
2x＝2×（6﹣2x），
x＝2，
情况二，PA＝2PC，P点在C点右边，此时
2x＝2（2x﹣6），
x＝6，
∴当点P运动2秒或6秒后，点P到点A的距离是点P到点C的距离的2倍；
（3）根据题意可知，
AB＝1﹣（﹣1）+（2+1）t＝3t+2，
BC＝（5﹣1）﹣2t+5t＝3t+4，
BC﹣AB
＝（3t+4）﹣（3t+2）
＝3t+4﹣3t﹣2
＝2，
∵BC﹣AB＝2，，结果2与t无关，
∴BC﹣AB的值不随时间t的变化而改变，BC﹣AB＝2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴知识，解题的关键是读懂题意，能根据
题意分情况列一元一次方程，利用非负数的性质列等式．
25．（2021秋•红河州期末）数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a，b满足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．
（1）请直接写出a＝ 5 ，b＝ 6 ；
（2）如图1，点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动，同时点N从原点O出发
沿数轴向左运动，运动时间为t，点P为线段ON的中点若MP＝MA，求t的值；
（3）如图2，若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右
侧，若此时以M，N，O，A为端点的所有线段的长度和为142，求此时点M对应的数．
【分析】（1）根据非负数的性质解答；
（2）分三种情况解答：①点M未到达O时（0＜t≤2时），NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t；
②点M到达O返回时当（2＜t≤4时），OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t；③点M到达O返回时，即t＞4
时，不成立；
（3）当M在A右侧，根据两点间的距离公式列出方程并解答．
【解答】解：（1）∵|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0
∴a＝5，b＝6
故答案为：5，6．
（2）①点M未到达O时（0＜t≤2时），
NP＝OP＝3t，AM＝5t，OM＝10﹣5t，
即3t+10﹣5t＝5t，解得t＝ ；
②点M到达O返回时（2＜t≤4时），
OM＝5t﹣10，AM＝20﹣5t，
即3t+5t﹣10＝20﹣5t，解得t＝ ；
③当点B到达O返回，且到A右侧时，即t＞4时，不成立；
（3）当M在A右侧时，
NO+OA+AM+AN+OM+MN＝6t+5t+11t+10+6t+5t＝142，解得 t＝4，点M对应的数为20．
答：此时点M对应的数为20．
【点评】本题考查学生对数轴相关知识的掌握情况及利用一元一次解决实际问题的能力．本题涉及数轴
即路程为题，清楚各个点之间距离的表示方式是解题的关键．另外要注意路程相等的几种情况．
26．（2021秋•恩施市期末）如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为
12，OC边长为3．
（1）数轴上点A表示的数为 4 ．
（2）将长方形 OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为 O′A′B′C′，移动后的长方形
O′A′B′C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S．
①当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，数轴上点A′表示的数为 6 或 2 ．
②设点A的移动距离AA′＝x．
ⅰ．当S＝4时，x＝ ；
ⅱ．D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE＝ OO′，当点D，E所表示的数互为相反数
时，求x的值．
【分析】（1）利用面积÷OC可得AO长，进而可得答案；
（2）①首先计算出S的值，再根据矩形的面积表示出O′A的长度，再分两种情况：当向左运动时，
当向右运动时，分别求出A′表示的数；
②i、首先根据面积可得OA′的长度，再用OA长减去OA′长可得x的值；
ii、此题分两种情况：当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为 ，点E表示的数为 ，
再根据题意列出方程；当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．
【解答】解：（1）∵长方形OABC的面积为12，OC边长为3，
∴OA＝12÷3＝4，
∴数轴上点A表示的数为4，
故答案为：4．（2）①∵S恰好等于原长方形OABC面积的一半，
∴S＝6，
∴O′A＝6÷3＝2，
当向左运动时，如图1，A′表示的数为2
当向右运动时，如图2，
∵O′A′＝AO＝4，
∴OA′＝4+4﹣2＝6，
∴A′表示的数为6，
故答案为：6或2．
②ⅰ．如图1，由题意得：CO•OA′＝4，
∵CO＝3，
∴OA′＝ ，
∴x＝4﹣ ＝ ，
同法可得：右移时，x＝
故答案为： ；
ⅱ．如图1，当原长方形OABC向左移动时，点D表示的数为 ，点E表示的数为 ，
由题意可得方程：4﹣ x﹣ x＝0，
解得：x＝ ，
如图2，当原长方形OABC向右移动时，点D，E表示的数都是正数，不符合题意．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，关键是正确理解题意，利用数形结合列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．
27．（2021秋•紫阳县期末）如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点
间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t
（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣ 4 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 1 ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，当
点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10，
∴B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为：﹣4、1．
（2）根据题意，得
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣4t）＝8，
解得t＝1；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：
（4t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝9．
答：当点P运动1秒或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
28．（2022秋•金台区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°，
将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）如图 2，将图 1 中的三角形绕点 O 逆时针旋转，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分
∠BOC，此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；（2）如图3，继续将图2中三角板绕点O逆时针旋转，使得 ON在∠AOC的内部，探究∠AOM与
∠NOC之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线 ON恰
好平分∠AOC，此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？
【分析】（1）根据OM恰好平分∠BOC，用∠BOC的度数除以2，求出∠BOM的度数，可求出∠BON
的度数是多少，∠AOC＝60°即可得答案；
（2）首先根据∠AOM﹣∠NOC＝30°，∠BOC＝120°，求出∠A0C＝60°，然后根据∠AON＝90°﹣
∠AOM＝60°﹣∠NOC，判断出∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系即可．
（3）首先设三角板绕点O旋转的时间是x秒，根据∠BOC＝120°，可得∠AOC＝60°，∠BON＝∠COD
＝30°；然后根据旋转60°时ON平分∠AOC，可得6x＝60或6x＝240，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM＝120°÷2＝60°，
∴∠BON＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴直线ON平分∠AOC；
（2）如图3，
，
∠AOM﹣∠NOC＝30°，
∵∠BOC＝120°，
∴∠A0C＝60°，∵∠AON＝90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，
∴∠AOM﹣∠NOC＝30°．
（3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BON＝30°，
∴旋转60°时ON平分∠AOC，
∵6x＝60或6x＝240，
∴x＝10或x＝40，
即此时三角板绕点O旋转的时间是10秒或40秒．
【点评】此题主要考查了角的计算，考查了分类讨论思想的应用，以及角平分线的性质和应用，要熟练
掌握．
29．（2021秋•思明区校级期末）如图，已知∠MAN＝90°，射线AP在∠MAN内部，点B在射线AN上，
在线段AB的延长线上截取BC＝AB，动点D从点A的位置出发，沿射线AN的方向运动，与此同时，射
线AQ从与射线AM重合的位置开始绕点A顺时针旋转（点D到达点C时，两者都停止运动）．设运动
时间为t秒，∠MAQ的角度为 ，线段CD的长为l．且 ，l，t的关系如下：l＝20﹣2t， ＝mt．（l，
m的单位分别为cm和°） α α α
（1）若动点D运动到终点C，求t的值；
（2）当∠MAP＝2∠PAN时，
①若m＝6，动点D运动到点B的位置，射线AQ是哪个角的平分线？
②在AQ旋转的同时，射线AP也绕点A逆时针旋转，旋转速度是每秒7°，射线AP旋转后的对应射线
记为AP′，若∠P′AQ＝18°，m，t均为正整数，求m，t的值．【分析】（1）当点D运动到终点C，则l＝0，由此可得出t的值；
（2）先根据题意可得出∠MAP＝60°，∠PAN＝30°，①当m＝6时，根据时间可得出∠MAQ＝30°，进
而可进行判断；
②根据题意需要分两种情况，在AQ与AP′相遇前，在AQ与AP′相遇后，再根据m，t为正整数可得
出结论．
【解答】解：（1）当点D运动到终点C，则l＝0，
∴20﹣2t＝0，
解得t＝10；
（2）∵∠MAP＝2∠PAN，∠MAP+∠PAN＝90°，
∴∠MAP＝60°，∠PAN＝30°；
①∵BC＝AB，
∴点B为AC的中点，
当点D运动到点B时，t＝5，
∴ ＝mt＝30，
即α∠MAQ＝30°，
∴∠MAP＝2∠MAQ，即射线AQ是∠MAP的平分线；
②根据题意可知，∠PAP′＝7°t，
当∠P′AQ＝18°，
∴mt+7t+18＝60或mt+7t＝60+18，
当mt+7t+18＝60时，（m+7）t＝42＝6×7＝14×3＝42×1，
∵m，t为正整数，
∴t＝3，m＝7或t＝1，m＝35；
当mt+7t＝60+18时，（m+7）t＝78＝1×78＝2×39＝6×13．
∵m，t为正整数，
∴t＝1，m＝71或t＝2，m＝32或t＝6，m＝6．
综上，t＝3，m＝7或t＝1，m＝35或t＝1，m＝71或t＝2，m＝32或t＝6，m＝6．
【点评】本题主要考查角度的运算，涉及角平分线的定义，角度的和差运算等相关知识，第（3）问关
键是得出关于m和t的方程．
30．（2021秋•南浔区期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有30°、60°角，另一块含45°角）摆放在
直线MN上，三角板ODC绕点O以每秒15°的速度逆时针旋转．当OD第一次与射线OM重合时三角板
ODC停止转动，设旋转时间为t秒．（1）当t＝2s时，求∠BOC和∠AOD的度数；
（2）如图2，若两块三角板同时旋转，三角板OAB以每秒20°的速度绕点O顺时针旋转，当OA第一次
与射线ON重合时三角板OAB立即停止转动．
①用含t的代数式表示射线OA和射线OD重合前∠BOC和∠AOD的度数；
②整个旋转过程中，当满足|∠AOD﹣∠BOC|＝5°时，求出相应的t的值．
【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可；
（2）①先求出∠AOC＝105°，据此可得t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；
②分≤t≤7.5，7.5＜t≤11以及11＜t≤12三种情况，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，∠BOC＝180°﹣45°＝135°，
∠AOD＝180°﹣30°＝150°，
当t＝2s时，三角板ODC绕点O逆时针旋转，∠BOC与∠AOD减小的度数相同为：15°×2＝30°，
故∠BOC﹣135°﹣30°＝105°，
∠AOD＝150°﹣30°＝120°；
（2）①由图1，得∠AOC＝105°，
设运动时间为t s（0≤t＜3），如图2，
∠MOB＝20t，∠NOD＝15t，
当OA与OC不重合前到重合时：
∠BOC＝180°﹣20t﹣15t＝180°﹣35t，
∠AOD＝180°﹣20t﹣30°﹣15t＝150°﹣35t；
当OA与OC重合后到OA第一次与射线ON重合时：
∠BOC＝180°﹣20t﹣45°﹣15t＝135°﹣35t，
∠AOD＝180°﹣20t﹣30°﹣15t＝150°﹣35t；
②当0≤t≤7.5时，
∵|∠AOD﹣∠BOC|＝5°，∴|135°﹣35t﹣（150°﹣35t）|＝5°，
∴15°＝5°，
∵15°≠5°，
故不存在t的值；
当7.5＜t≤11时，如图：
∠BOC＝15t+45°﹣30°＝15t+15°，
∠AOD＝15t，
∴|15t﹣15t﹣15°|＝5°，
故不存在t的值；
当11＜t≤12时，如图：
∠BOC＝360°﹣15t﹣45°+30°＝﹣15t+345°，
∠AOD＝15t，
∵|∠AOD﹣∠BOC|＝5°，
∴|15+15t﹣345|＝±5，
解得 ， ，
综上所述，t的值为 或 ．
【点评】本题考查的是在新定义的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程
中出现的每一种情况．
31．（2021秋•盘州市期末）已知二项式﹣m3n2﹣2中，含字母的项的系数为a，多项式的次数为b，常数
项为c．且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是 、
2、 （单位长度/秒），当乙追上丙时，乙与甲相距多远？
（3）在数轴上是否存在一点P，使P到A、B、C的距离之和等于10？若存在，请直接指出点P对应的
数；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据多项式的系数、次数、常数项的对应求出a、b、c的值，在数轴上画出点A、B、C
即可．
（2）设t秒后当乙追上丙，列出方程即可解决问题．
（3）分四种情形讨论①当点P在点C左边时，②当点P在A、C之间时，PA+PB+PC＜10，不存在．
③当点P在A、B之间时④当点P在点B右侧时，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）a＝﹣1，b＝5，c＝﹣2，
点A、B、C如图所示，
（2）设t秒后当乙追上丙，
由题意（2﹣ ）t＝7，解得t＝4，
此时乙与甲相距（4× +6）﹣2×4＝0，
所以当乙追上丙时，乙与甲也相遇，甲、乙之间距离为0．
（3）设点P对应 的数为m，
①当点P在点C左边时，由题意，（5﹣m）+（﹣1﹣m）+（﹣2﹣m）＝10，解得m＝﹣ ，
②当点P在A、C之间时，PA+PB+PC＜10，不存在．
③当点P在A、B之间时，（5﹣m）+（m+1）+（m+2）＝10，解得m＝2，
④当点P在点B右侧时，（m﹣5）+（m+1）+（m+2）＝10，解得m＝4（不合题意舍弃），
综上所述，当P对应的数是﹣ 或2时，PA+PB+PC＝10．【点评】本题考查一元一次方程的应用、数轴、行程问题等知识，解题的关键是学会利用方程解决问题，
属于中考常考题型．
32．（2021秋•玄武区期末）如图，直线l上依次有三个点A、B、C，AB＝16cm，BC＝14cm．点M从点A
出发，沿直线l以每秒6cm的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；同时，点N从点B出
发，沿直线l以每秒2cm的速度向点C运动，到达点C后停止．运动过程中，若AB＝nMN（n为大于1
整数），则称是MN是AB的“n分时刻”．设点M的运动时间为ts．
（1）当t＝2时，MN是AB的“ 2 分时刻”；
（2）若MN是AB的“8分时刻”，求t的值；
（3）进一步探究发现，对于每一个不同的n的取值，符合条件的t的个数也在变化，请直接写出t的个
数及对应的n的取值范围．
【分析】（1）当t＝2时，AM＝12，BN＝4，可得MN＝BN+BM＝4+4＝8，从而AB＝2MN，即得MN
是AB的“2分时刻”；
（2）当0≤t≤5时，AM＝6t；当5＜t≤10时，AM＝30﹣6（t﹣5）＝60﹣6t；当0≤t≤7时，AN＝
16+2t；由n＝8知MN＝ AB＝2，而当M、N两点重合时，6t＝16+2t或60﹣6t＝16+2t，得t＝4或t＝
5.5，分5种情况：①当 0≤t≤4时，16﹣4t＝2，②当4＜t≤5时，4t﹣16＝2，③当 5＜t≤5.5时，44
﹣8t＝2，④当5.5＜t≤7时，8t﹣44＝2，⑤当7＜t≤10时，6t﹣30＝2，分别解方程可得，当t为 或
或 或 时，点M、N达到“8分时刻”；
（3）分析方法同（2），可得当1＜n＜4时，有2个对应的t，当n＝4时，有3个对应的t，当n＞4时，
有4个对应的t．
【解答】解：（1）当t＝2时，AM＝12，BN＝4，如图：
∴BM＝AB﹣AM＝26﹣12＝4，
∴MN＝BN+BM＝4+4＝8，
∴AB＝2MN，∴MN是AB的“2分时刻”，
故答案为：2；
（2）当0≤t≤5时，AM＝6t；当5＜t≤10时，AM＝30﹣6（t﹣5）＝60﹣6t；
当0≤t≤7时，AN＝16+2t；
若n＝8时，则MN＝ AB＝2，
当M、N两点重合时，6t＝16+2t或60﹣6t＝16+2t，
解得t＝4或t＝5.5，
①当 0≤t≤4时，
MN＝AN﹣AM＝（16+2t）﹣6t＝16﹣4t，
∴16﹣4t＝2，
解得 t＝ ；
②当4＜t≤5时，
MN＝AM﹣AN＝6t﹣（16+2t）＝4t﹣16，
∴4t﹣16＝2，
解得 t＝ ；
③当 5＜t≤5.5时，
MN＝AM﹣AN＝（60﹣6t）﹣（16+2t）＝44﹣8t，
∴44﹣8t＝2，
解得 t＝ ，
④当5.5＜t≤7时，
MN＝AN﹣AM＝（16+2t）﹣（60﹣6t）＝8t﹣44，
∴8t﹣44＝2，
解得 t＝ ，
⑤当7＜t≤10时，
MN＝AN﹣AM＝30﹣（60﹣6t）＝6t﹣30，
∴6t﹣30＝2，
解得 t＝ （舍去），综上所述，当t为 或 或 或 时，点M、N达到“8分时刻”；
（3）同（2）的方法可知，当1＜n＜4时，有2个对应的t，当n＝4时，有3个对应的t，当n＞4时，
有4个对应的t．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
33．（2021秋•文山市期末）已知线段AB＝30cm．
（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以
3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？
（2）几秒后，点P、Q两点相距10cm？
（3）如图2，AO＝PO＝4cm，∠POB＝60°，现点P绕着点O以30°/秒的速度逆时针旋转一周停止，同
时点 Q 沿直线 B 自 B 点向 A 点运动，假若点 P、Q 两点能相遇，求点 Q 的运动速度．
【分析】（1）根据相遇时，点P和点Q的运动的路程和等于AB的长列方程即可求解；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可；
（3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分2种情况，所以根据题意
列出方程分别求解．
【解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇．
依题意，有2t+3t＝30，
解得：t＝6．
答：经过6秒钟后，点P、Q相遇；
（2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得
2x+3x+10＝30或2x+3x﹣10＝30，
解得：x＝4或x＝8．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P、Q两点相距10cm；
（3）点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为 ＝4（s）或 ＝10（s）
设点Q的速度为y cm/s，则有4y＝30，解得 y＝7.5；或10y＝30﹣4﹣4，解得y＝2.2，
答：点Q的速度为7.5cm/s或2.2cm/s．
【点评】本题考查了相遇问题的数量关系在实际问题中的运用，行程问题的数量关系的运用，分类讨论
思想的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键．
34．（2022秋•荆门期末）如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0．动
点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）写出数轴上点A表示的数为 ﹣ 4 ，点B表示的数为 1 2 ，点P表示的数为 1 2 ﹣ 5 t （用
含t的式子表示）；
（2）动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，动点M从点B出发，以每秒1个
单位长度的速度向右匀速运动，且点P，Q，M同时出发．
①当t为何值时，点P、Q两点到点A的距离相等？
②式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，求m的值．
【分析】（1）利用非负数的性质列等式，求a、b的值，再利用速度乘以时间列代数式表示点P；
（2）①根据距离相等分两种情况列方程求解；
②根据题意列方程，与t无关，比较关于t的系数，求出m的值．
【解答】解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且|a+4|+（b﹣12）2＝0，
∴a+4＝0，b﹣12＝0，
∴a＝﹣4，b＝12，
∴点A、B表示的数分别为﹣4、12，
∴点P表示的数为12﹣5t，
故答案为：﹣4，12，12﹣5t；
（2）①点P、Q到点A的距离相等，有两个时间点，
点P在点Q的右边时，即PA＝QA，
3t＝12+4﹣5t，
解得：t＝2，
点P和点Q重合，即BP﹣16＝AQ，5t﹣16＝3t，
解得：t＝8，
∴当t的值为2或8时，点P、Q两点到点A的距离相等；
②根据题意可知，BQ＝16+3t，2MP＝2（t+5t）＝12t，
∴mBQ﹣2MP
＝m（16+3t）﹣12t
＝16m+3mt﹣12t，
∵式子mBQ﹣2MP的值不随时间t的变化而变化，
∴3m＝12，
∴m＝4，
∴m的值为4．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和非负数的性质，解题的关键是读懂题意，应用一元一次方程
解决问题，掌握非负数的性质．
35．（2022秋•市中区期末）数轴上点A表示﹣12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和
点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这
两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A
出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点 O运动到点B期间速度变为原来的两倍，
过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒
的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续
以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝3秒时，求M、N两点在折线数轴上的和谐距离；
（2）当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；
（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运
动到点A时，点M、N立即停止运动．是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与
N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出M表示的数是﹣3，N表示的数是12，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离
是|﹣3﹣12|＝15；
（2）当 M 在 OB 上运动（4≤t≤6）时，M 表示的数是 6（t﹣4）＝6t﹣24，当 N 在 OB 上运动
（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，即得|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，从而解得t
＝ 或t＝ ；
（3）当t≤3时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相
等；当3＜t≤4时，12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，当4＜t≤6时，6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝
4.5，当6＜t≤9时，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离
相等，当9＜t≤10时，M在BC12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍去），当10＜t≤12时，
12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11 ．
【解答】解：（1）由已知得，t＝3时，M表示的数是﹣12+3×3＝﹣3，N表示的数是24﹣4×3＝12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离是|﹣3﹣12|＝15；
（2）由已知可得t＝4时，M运动到O，当M在OB上运动（4≤t≤6）时，M表示的数是6（t﹣4）＝
6t﹣24，
t＝3时，N运动到B，当N在OB上运动（3≤t≤9）时，N表示的数是12﹣2（t﹣3）＝18﹣2t，
当M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，|（18﹣2t）﹣（6t﹣24）|＝4，
∴42﹣8t＝4或42﹣8t＝﹣4，
解得t＝ 或t＝ ，
经检验，t＝ 或t＝ 时，M、N均在OB上，
∴t＝ 或t＝ 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
（3）存在，理由如下：当t≤3时，M在OA上，N在BC上，M、N运动速度不同，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离
与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等；
当3＜t≤4时，M在OA上，N在OB上，由题意得：12﹣3t＝2（t﹣3），解得t＝3.6，
当4＜t≤6时，M在OB上，N在OB上，由题意得：6（t﹣4）＝2（t﹣3），解得t＝4.5，
当6＜t≤9时，M在BC上，N在OB上，不可能M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折
线数轴上的和谐距离相等，
当9＜t≤10时，M在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝12+3（t﹣6），解得t＝18（舍
去），
当10＜t≤12时，M返回在BC上，N在OA上，由题意得：12+4（t﹣9）＝24﹣3（t﹣10），解得t＝11
，
t＝12时，N达到A，
综上所述，t＝3.6或4.5或11 时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和
谐距离相等．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是分类讨论不同时间段，M、N所表示的数与t的关
系，综合性较强．
36．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数﹣20，﹣8，16，有两
条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），
PQ＝2，MN＝4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个
单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q
回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持
长度不变）．
（1）当t＝20时，点M表示的数为 8 ，点Q表示的数为 ﹣ 8 ．
（2）在整个运动过程中，当CQ＝PM时，求出点M表示的数．
（3）在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速
度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1.5时所对应的t的值．
【分析】（1）当t＝20时，点M表示的数为8；当t＝20时，点Q表示的数为﹣8；（2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，36﹣3t＝|﹣
10+2t|，此时﹣12+t＝﹣12+ ＝﹣ ，当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表
示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t，3t﹣36＝|62﹣4t|，
（3）当PQ从A向C运动时，﹣8+ （t﹣4）﹣[﹣8+ （t﹣4）]＝1.5或﹣4+ （t﹣4）﹣[﹣10+ （t
﹣4）]＝1.5，当PQ从C向A运动时， + （t﹣ ）﹣[ ﹣ （t﹣ ）]＝1.5或 ﹣ （t﹣
）﹣[ + （t﹣ ）]＝1.5，解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）∵﹣8﹣4+20×1＝8，
∴当t＝20时，点M表示的数为8；
∵16﹣{20×3﹣[16﹣（﹣20）]}＝﹣8，
∴当t＝20时，点Q表示的数为﹣8；
故答案为：8，﹣8；
（2）当t≤12时，Q表示的数是﹣20+3t，P表示的数是﹣22+3t，M表示的数是﹣12+t，
∴CQ＝16﹣（﹣20+3t）＝36﹣3t，PM＝|﹣22+3t﹣（﹣12+t）|＝|﹣10+2t|，
∴36﹣3t＝|﹣10+2t|，
解得t＝ 或t＝26（舍去），
此时﹣12+t＝﹣12+ ＝﹣ ，
当12＜t≤24时，Q表示的数是16﹣3（t﹣12）＝52﹣3t，P表示的数是50﹣3t，M表示的数是﹣12+t，
∴CQ＝16﹣（52﹣3t）＝3t﹣36，PM＝|50﹣3t﹣（﹣12+t）|＝|62﹣4t|，
∴3t﹣36＝|62﹣4t|，
解得t＝14或t＝26（舍去），
此时﹣12+t＝﹣12+14＝2，
∴当CQ＝PM时，点M表示的数是﹣ 或2；
（3）当PQ从A向C运动时，
t＝4时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为﹣8+ （t﹣4），P表示的数为﹣10+ （t﹣4），M表示的数为﹣8+ （t﹣4），N表示的数是﹣4+ （t﹣4），
若线段PQ和MN重合部分长度为1.5，则﹣8+ （t﹣4）﹣[﹣8+ （t﹣4）]＝1.5或﹣4+ （t﹣4）﹣
[﹣10+ （t﹣4）]＝1.5，
解得t＝5.5或t＝8.5，
由﹣10+ （t﹣4）＝﹣4+ （t﹣4）得t＝10，
∴当t＝10时，PQ与MN的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1，
再过（16﹣1）÷3＝5（秒），Q到达C，此时t＝15，M所在点表示的数是﹣12+4+ +5＝0，N所在
点表示的数4，
当PQ从C向A运动时，
t＝ 时，PQ与MN开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为 ﹣ （t﹣ ），P表示的数为
﹣ （t﹣ ），M表示的数为 + （t﹣ ），N表示的数是 + （t﹣ ），
若线段PQ和MN重合部分长度为1.5， + （t﹣ ）﹣[ ﹣ （t﹣ ）]＝1.5或 ﹣ （t﹣
）﹣[ + （t﹣ ）]＝1.5，
解得t＝18.25或t＝19.75，
∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表
示的数．
37．（2022秋•临县期末）如图，在数轴上从左往右依次有四个点 A，B，C，D，其中点A，B，C表示的
数分别是0，3，10，且CD＝2AB．
（1）点D表示的数是 1 6 ；（直接写出结果）
（2）线段AB以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时线段CD以每秒1个单位长度的速度沿
数轴向左运动，设运动时间是t（秒），当两条线段重叠部分是2个单位长度时．
①求t的值；②线段AB上是否存在一点P，满足BD﹣PA＝3PC？若存在，求出点P表示的数x；若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）由题意可得CD＝6，从而可求解；
（2）①分两种情况进行讨论：当B在点C的右边时；点A在点D的左边时；根据题意列出相应方程求
解即可；
②根据题意进行分析，分别表示出PA，PC，从而列出相应的方程求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝3﹣0＝3，CD＝2AB，
∴CD＝6，
∴点D表示的数为：10+6＝16，
故答案为：16；
（2）①在运动过程中，B点表示的数为3+2t，A点表示的数为2t，C点表示的数为10﹣t，D点表示的
数为16﹣t．
当BC＝2，点B在点C的右边时，
由题意得：BC＝3+2t﹣（10﹣t）＝2，
解得：t＝3，
当AD＝2，点A在点D的左边时，
由题意得：AD＝16﹣t﹣2t＝2，
解得：t＝ ．
综上，t的值为3或 ；
②存在，理由如下：
当t＝3时，A点表示的数为6，B点表示的数为9，C点表示的数为7，D点表示的数为13．
则BD＝13﹣9＝4，PA＝x﹣6，PC＝|x﹣7|，
∵BD﹣PA＝3PC，
∴4﹣（x﹣6）＝3|x﹣7|，
解得： 或 ，
又∵P点在线段AB上，则6≤x≤9，∴ ．
当 时，A点表示的数为 ，B点表示的数为 ，C点表示的数为 ，D点表示的数为 ．
则BD＝ ＝1，PA＝x﹣ ，PC＝x﹣ ，
∵BD﹣PA＝3PC，
∴1﹣（x﹣ ）＝3（x﹣ ）
解得： ，
又∵ ，
∴x无解，
综上，P表示的数为 ．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系，列出
正确的方程．
38．（2022秋•拱墅区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15．动点P
从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，
①用含t的代数式表示PB的长度；
②若PB＝2PA，求点P所表示的数；
（2）动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点Q到达点A后立即原
速返回．若P，Q两点同时出发，其中一点运动到点B时，两点停止运动．求在这个运动过程中，P，
Q两点相遇时t的值．
【分析】（1）①读懂题意，列代数式即可；②根据题意列关于t的一元一次方程，再求解即可；
（2）读懂题意，分析整个运动过程，根据第一次相遇，第二次相遇路程上的关系列方程求解．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为10，点B位于点A左侧，AB＝15，
∴点B表示的数为10﹣15＝﹣5，
∴点P在A、B两点之间运动时PB＝15﹣2t；②∵PB＝2PA，
∴15﹣2t＝2×2t，
∴t＝2.5，
∴PA＝2×2.5＝5，
∴10﹣5＝5，
∴点P所表示的数为5；
（2）在这个运动过程中，P，Q两点有两次相遇，
设P，Q两点第一次相遇的时间为t秒，根据题意得
（2+5）t＝15，
∴t＝ ；
设P，Q两点第二次相遇的时间为t秒，根据题意得
2t+15＝5t，
∴t＝5，
∴在这个运动过程中，P，Q两点相遇时t的值为 秒或5秒．
【点评】本题考查了列代数式，数轴，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴知识，读懂题意，
能根据题意列出正确的代数式和一元一次方程．
39．（2021秋•南关区校级期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，分别表示数﹣18、﹣10、20，有两条
动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左
边），PQ＝2，MN＝5，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，同时线段 PQ
以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返
回；当点P运动到点A时，线段PQ、MN立即同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线
段PQ和MN保持长度不变）．
（1）当t＝2时，点Q表示的数为 ﹣ 1 2 ，点M表示的数为 ﹣ 1 3 ．
（2）当开始运动后，t＝ 秒时，点Q和点C重合．
（3）在整个运动过程中，求点Q和点N重合时t的值．
（4）在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，请直接写出此时t的值．【分析】（1）当t＝2时，点Q表示的数为﹣18+2×3＝﹣12，点M表示的数为﹣10﹣5+2×1＝﹣13；
（2）根据题意得：﹣18+3t＝20，即可解得答案；
（3）分两种情况：当0＜t＜ 时，Q表示﹣18+3t，当 ＜t≤ ，Q表示的数是20﹣3（t﹣ ），
N表示的数是﹣10+t，即得﹣18+3t＝﹣10+t或20﹣3（t﹣ ）＝﹣10+t，可解得答案；
（4）分四种情况：①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时，可得t＝2，②Q未到达C，N在P右
侧1个单位时，可得t＝4.5；③PQ返回，N在P右侧1个单位时，得t＝ ，④PQ返回，Q在M右
边1个单位时，得t＝18．
【解答】解：（1）当t＝2时，点Q表示的数为﹣18+2×3＝﹣12，点M表示的数为﹣10﹣5+2×1＝﹣
13，
故答案为：﹣12，﹣13；
（2）根据题意得：﹣18+3t＝20，
解得t＝ ，
故答案为： ；
（3）当0＜t＜ ，即Q未到C时，Q表示﹣18+3t，
当 ＜t≤ ，即PQ返回时，Q表示的数是20﹣3（t﹣ ），
而N表示的数是﹣10+t，
∴﹣18+3t＝﹣10+t或20﹣3（t﹣ ）＝﹣10+t，
解得t＝4或t＝17，
∴点Q和点N重合时t的值是4秒或17秒；
（4）当0＜t＜ 时，Q表示﹣18+3t，P表示的数﹣20+3t，
当 ＜t≤ 时，Q表示的数是20﹣3（t﹣ ），P表示的数是18﹣3（t﹣ ），
N表示的数是﹣10+t，M表示的数是﹣15+t，
①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时，（﹣18+3t）﹣（﹣15+t）＝1，解得t＝2，
②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，
﹣10+t﹣（﹣20+3t）＝1，解得t＝4.5；
③PQ返回，N在P右侧1个单位时，
﹣10+t﹣[18﹣3（t﹣ ）]＝1，解得t＝ ，
④PQ返回，Q在M右边1个单位时，
20﹣3（t﹣ ）﹣（﹣15+t）＝1，解得t＝18；
综上所述，t的值是2或4.5或 或18．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数．
40．（2021秋•青岛期末）数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴
在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之
差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为|﹣8﹣18|＝26个单
位长度．
动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变
为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，
一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止
运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t＝2秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为 1 2 ；
（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上时，
O、M两点间的和谐距离|OM|＝ 2 t ﹣ 4 （用含有t的代数式表示）；
C、N两点间的和谐距离|CN|＝ 3 t ﹣ 6 （用含有t的代数式表示）；
t＝ 时，M、N两点相遇；
（3）当t＝ 或 时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；
当t＝ 8 或 时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．【分析】（1）当t＝2秒时，M表示的数是﹣8+2×4＝0，N表示的数是18﹣3×2＝12，即的M、N两点
在折线数轴上的和谐距离|MN|为|12﹣0|＝12；
（2）当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是 ×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示
的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得额2t﹣4＝18﹣3t，可
解得答案；
（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得|2t﹣4﹣（18﹣3t）|＝4，可解得t＝
或t＝ ，由t＝2时，M运动到O，同时N运动到C，知t＜2时，不存在M、O两点在折线数轴上
的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，有
2t﹣4＝|6﹣（18﹣3t）|，可解得t＝8或t＝ ，当8＜t≤ 时，M在从C运动到D，速度变为4个单
位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得
答案．
【解答】解：（1）当t＝2秒时，M表示的数是﹣8+2×4＝0，N表示的数是18﹣3×2＝12，
∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离|MN|为|12﹣0|＝12，
故答案为：12；
（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，
∴当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是 ×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数
是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，
∴O、M两点间的和谐距离|OM|＝|2t﹣4﹣0|＝2t﹣4，C、N两点间的和谐距离|CN|＝|12﹣（18﹣3t）|＝
3t﹣6，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴2t﹣4＝18﹣3t，
解得t＝ ，故答案为：2t﹣4，3t﹣6， ；
（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，
∴|2t﹣4﹣（18﹣3t）|＝4，即|5t﹣22|＝4，
∴5t﹣22＝4或5t﹣22＝﹣4，
解得t＝ 或t＝ ，
由（1）知，t＝2时，M运动到O，同时N运动到C，
∴t＜2时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
当2≤t≤8，即M在从点O运动到点C时，
2t﹣4＝|6﹣（18﹣3t）|，即|3t﹣12|＝2t﹣4，
∴3t﹣12＝2t﹣4或3t﹣12＝4﹣2t，
解得t＝8或t＝ ，
当8＜t≤ 时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距
离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，
故答案为： 或 ；8或 ．
【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．
41．（2021秋•渝北区期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，点B对应的数是﹣4，点A，C对应的数分
别为a，c，且a，c满足|a+12|+（c﹣3）2＝0．
（1）直接写出a，c的值；
（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点 P速度为3单
位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到
点Q的距离为4，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP＝2，线段
FQ＝3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，
当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线
段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出此时点P表示的数，并把求其中一个点P表示的数的过
程写出来；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由|a+12|+（c﹣3）2＝0，直接可得a＝﹣12，c＝3；
（2）根据动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，
点Q速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，知P表示的数是﹣12+3t，Q表示的数是﹣4+t，M表示的
数是﹣12+ t，又M到点Q的距离为4，则|﹣12+ t﹣（﹣4+t）|＝4，即可解得答案；
（3）分两种情况（每种情况又分两种）：①在EP与FQ两线段第一次重合中，即0＜t≤5时，可知E
表示的数是﹣14+3t，F表示的数是﹣7+t，当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
可得﹣12+3t﹣（﹣7+t）＝1，解得t＝3，P表示的数是﹣12+3t＝﹣3，当Q表示的数比E表示的数大1
时，重叠部分为EP的一半，﹣4+t﹣（﹣14+3t）＝1，解得t＝ ，P表示的数是﹣12+3t＝ ，②在
PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，可知P到C后返回，P表示的数是18﹣3t，则E表示
的数是16﹣3t，同理可得P表示的数是 或0．
【解答】解：（1）∵|a+12|+（c﹣3）2＝0，
∴a+12＝0，c﹣3＝0，
∴a＝﹣12，c＝3；
（2）存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，
∵动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速
度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，
∴P表示的数是﹣12+3t，Q表示的数是﹣4+t，
∵M为线段AP的中点，
∴M表示的数是 ＝﹣12+ t，
若M到点Q的距离为4，则|﹣12+ t﹣（﹣4+t）|＝4，
解得t＝8或t＝24；
答：存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，t的值是8或24；
（3）存在使两条线段重叠部分为EP的一半，
①在EP与FQ两线段第一次重合中，即0＜t≤5时，由（2）知P表示的数是﹣12+3t，Q表示的数是﹣4+t，
又线段EP＝2，线段FQ＝3（点E在P的左边，点F在Q的左边），
∴E表示的数是﹣14+3t，F表示的数是﹣7+t，
当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴﹣12+3t﹣（﹣7+t）＝1，解得t＝3，
∴此时P表示的数是﹣12+3t＝﹣3，
当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴﹣4+t﹣（﹣14+3t）＝1，解得t＝ ，
∴此时P表示的数是﹣12+3t＝ ，
②在PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，
P到C后返回，P表示的数是3﹣3（t﹣5）＝18﹣3t，则E表示的数是16﹣3t，
当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴﹣4+t﹣（16﹣3t）＝1，解得t＝ ，
∴此时P表示的数是18﹣3t＝ ，
当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴18﹣3t﹣（﹣7+t）＝1，解得t＝6，
∴此时P表示的数是18﹣3t＝0，
综上所述，两条线段重叠部分为EP的一半时，P表示的数是﹣3或 或 或0．
【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
42．（2022秋•益阳期末）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．
a＝ ﹣ 1 ，b＝ 1 ，c＝ 5
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时
（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）
（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左
运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着
时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是
0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；
（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣3，x+5的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；
（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．
【解答】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1．
根据题意得：c﹣5＝0且a+b＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．
故答案为：﹣1；1；5；
（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，
则：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|
＝x+1﹣（1﹣x）+2（x+5）
＝x+1﹣1+x+2x+10
＝4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0．
∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）
＝x+1﹣x+1+2x+10
＝2x+12；
（3）不变．理由如下：
t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．
∴BC＝（5t+5）﹣（2t+1）＝3t+4，AB＝（2t+1）﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，
∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2，
即BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．
（另解）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，
∴A、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度；
∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴B、C之间的距离每秒钟增加3个单位长度．
又∵BC﹣AB＝2，∴BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，
二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学
思想．
43．（2022秋•新丰县期末）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间
的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t
＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 ﹣ 4 ；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是 1 ．
（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）根据数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10．即可得点B表示的数；进而可得当点P运动到AB的中点时，它所表示的数；
（2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为
10，
∴得B点表示的数为﹣4，
当点P运动到AB的中点时，它所表示的数为1．
故答案为﹣4、1．
（2）①根据题意，得
6t﹣2t＝10
解得t＝2.5
答：当P运动2.5秒时，点P追上点Q．
②根据题意，得
当点P与点Q相遇前，距离8个单位长度：
2t+（10﹣6t）＝8，
解得t＝0.5；
当点P与点Q相遇后，距离8个单位长度：（6t﹣10）﹣2t＝8，
解得t＝4.5．
答：当点P运动0.5秒或4.5秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
44．（2022秋•衡山县期末）已知数轴上的点 A，B对应的数分别是x，y，且|x+100|+（y﹣200）2＝0，点
P为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒．
（1）求点A，B两点之间的距离；
（2）若点A向右运动，速度为10单位长度/秒，点B向左运动，速度为20单位长度/秒，点A，B和P
三点同时开始运动，点P先向右运动，遇到点B后立即掉后向左运动，遇到点A再立即掉头向右运动，
如此往返，当A，B两点相距30个单位长度时，点P立即停止运动，求此时点P移动的路程为多少个单
位长度？
（3）若点A，B，P三个点都向右运动，点A，B的速度分别为10单位长度/秒，20单位长度/秒，点
M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为t（0＜t＜10），在运动过程中① 的值不变；②
的值不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．
【分析】（1）根据非负数的性质求出x，y的值，利用两点间的距离公式即可求出点A，B两点之间的
距离；
（2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度，依此列出方程，解方程求出x的值，再
根据路程＝速度×时间即可求解；
（3）先求出运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t，30t，200+20t，再利用利用中点的定义
得出N表示的数为100+10t，M表示的数为20t﹣50，进而求解即可．
【解答】解：（1）A、﹣100 B、200 AB＝300
（2）设点P运动时间为x秒时，A，B两点相距30个单位长度．
由题意得10x+20x＝300﹣30，
解得x＝9，
则此时点P移动的路程为30×9＝270．
答：P走的路程为270；
（3）运动t秒后A、P、B三点所表示的数为﹣100+10t，30t，200+20t，
∵0＜t＜10，∴PB＝200﹣10t，OA＝100﹣10t，
PA＝30t+100﹣10t＝20t+100，OB＝200+20t，
∵N为OB中点，M为AP中点，
∴N表示的数为100+10t，M表示的数为20t﹣50，
∴MN＝100+10t﹣（20t﹣50）＝150﹣10t，OA+PB＝100﹣10t+200﹣10t＝300﹣20t，
＝2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系列出方程，再求解．
45．（2020春•重庆期末）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x ﹣
1
x |表示在数轴上数x ，x 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
2 1 2
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的解x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数
轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右
边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x
＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4
的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 x ＝ 2 或 x ＝﹣ 8 ；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 x ＝﹣ 2 或 x ＝ 201 8 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可；
（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；（3）根据例3的方法，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；
故答案为：x＝2或x＝﹣8；
（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为x＝﹣2或x＝2018；
故答案为：x＝﹣2或x＝2018；
（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，
而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，
当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．
【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键．
46．（2022秋•商河县校级期末）已知OE是∠BOC的平分线．
（1）操作发现：如图①，∠COD＝90°，
①若∠AOC＝40°，则∠DOE＝ 2 0 °．
②若∠AOC＝50°，则∠DOE＝ 2 5 °．
③若∠AOC＝ ，则∠DOE＝ ．（用含 的代数式表示）
（2）操作探究α：将图1中的∠COD α 绕 顶点O顺α时针旋转到图2的位置，其他条件不变，③中的结论是
否成立？试说明理由．
（3）如图3，已知OD⊥AB，∠COD＝60°，边OC、边OD分别绕着点O以每秒10°、每秒5°的速度顺
时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，∠COD＝20°．【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出∠EOB，∠DOB，利用角的
差可得结论；
（2）如图2，根据平角的定义得：∠BOC＝180°﹣ ，由角平分线定义得：∠EOC＝ ∠BOC＝90°﹣
，根据角的差可得（2）中的结论还成立； α
α（3）设运动x秒后，∠COD＝20°．构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，①∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝50°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+50°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ ∠BOC＝70°，
∴∠DOE＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20°；
②∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+40°＝130°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝ ∠BOC＝65°，
∴∠DOE＝65°﹣40°＝25°，
故答案为：25°；
③∵∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠AOC＝ ，
∴∠BOD＝α90°﹣ ，
∴∠BOC＝∠CODα+∠BOD＝90°+90°﹣ ＝180°﹣ ，
∵OE平分∠BOC， α α∴∠BOE＝ ∠BOC＝90°﹣ ，
α
∴∠DOE＝90°﹣ ﹣（90°﹣ ）＝ ，
α α α
故答案为： ．
α
（2）③中的结论还成立，理由是：
如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝ ，
∴∠BOC＝180°﹣ ， α
∵OE平分∠BOC，α
∴∠EOC＝ ∠BOC＝90°﹣ ，
∵∠COD＝90°， α
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣ ）＝ ；
α α
（3）设运动x秒后，∠COD＝20°．
则有90°+5x﹣（30°+10x）＝20°或30°+10x﹣（90°+5x）＝20°，
解得x＝8或16，
因为当其中一边与OB重合时都停止旋转，
所以16不符合题意舍去．
所以运动8秒后，∠COD＝20°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的
关系是解此题的关键．
47．（2022秋•长春期末）钟面上的数学
【基本概念】
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图 1，∠AOB 即为某一时刻的钟面角，一般地，
0°≤∠AOB≤180°．
【简单认识】
时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是30°，分针每小时转动一周，
角度为360°．由此可知：（1）时针每分钟转动 0. 5 °，分针每分钟转动 6 °；
【初步研究】
（2）已知某一时刻的钟面角的度数为 ，在空格中写出一个与之对应的时刻：
α
①当 ＝90°时， 1 2 时 分 ；
α
②当 ＝180°时， 1 2 时 分 ；
（3）如α 图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角∠AOB＝ 14 2 °；
【深入思考】
（4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整），假设这一时刻是2点m分，请用含有
m的代数式表示出此时刻钟面角（直接写出结论）．
【分析】（1）转过的角度除以转动的时间；
（2）①以12点的某一时刻为例，设x分时，分针扫过的角度减去时针扫过的角度等于 ；
②以12点的某一时刻为例，设x分时，分针扫过的角度减去时针扫过的角度等于 ； α
（3）由（2）可知分针扫过的角度减去时针扫过的角度等于钟面角度； α
（4）分针扫过的角度减去时针扫过的角度等于钟面角度．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度：30÷60＝0.5°，
分针每分钟转动的角度：360÷60＝6°，
故答案为：0.5，6；
（2）①设12时x分时 ＝90°，
根据题意得：6x﹣0.5x＝α90，
解得：x＝ ，
∴12时 分时， ＝90°，
α
故答案为：12时 分（答案不唯一）；②设12时x分时 ＝180°，
根据题意得：6x﹣α0.5x＝180，
解得：x＝ ，
∴12时 分时， ＝180°，
α
故答案为：12时 分（答案不唯一）；
（3）∵钟面显示的时间是8点04分，
∴此时钟面角∠AOB＝360﹣8×30﹣4×0.5+6×4＝142°．
故答案为：142；
（4）2点m分钟面角 有三种情况，
α
① ＝2×30+0.5m﹣6m＝（60﹣5.5m）°（0＜m≤ ），
α
② ＝6m﹣（2×30+0.5m）＝（5.5m﹣60）°（ ≤m≤ ），
α
③ ＝360﹣6m+2×30+0.5m＝（420﹣5.5m）°（ ≤m＜60），
α
综上所述，2点m分钟面角 为：（60﹣5.5m）°（0＜m≤ ），（5.5m﹣60）°（ ≤m≤
α
），（420﹣5.5m）°（ ≤m＜60）．
【点评】本题考查了钟面角，角的计算，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，掌
握钟面角的计算，会运用一元一次方程解决实际问题．
48．（2021秋•荆门期末）点A、B、C、D在数轴上的位置如图1所示，已知AB＝3，BC＝2，CD＝4．
（1）若点C为原点，则点A表示的数是 ﹣ 5 ；
（2）若点A、B、C、D分别表示有理数a，b，c，d，则|a﹣c|+|d﹣b|﹣|a﹣d|＝ 2 ；
（3）如图2，点P、Q分别从A、D两点同时出发，点P沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向右运
动，到达B点后立即按原速折返；点Q沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向左运动，到达C点后立
即按原速折返．当P、Q中的某点回到出发点时，两点同时停止运动．
①当点停止运动时，求点P、Q之间的距离；
②设运动时间为t（单位：秒），则t为何值时，PQ＝5？【分析】（1）根据AB＝3，BC＝2即可得；
（2）由题意知a＜c，d＞b，a＜d，根据绝对值性质化简原式可得c﹣b，结合BC＝2可得答案；
（3）①由题意知点P回到起点需要6秒，点Q回到起点需要4秒知当t＝4时，运动停止，从而得出
BP＝1，BC＝2，CQ＝4，继而可得PQ；
②分以下两种情况：1、点Q未到达点C时；2、点P由点B折返时，根据PQ＝5列方程求解可得．
【解答】解：（1）若点C为原点，则点B表示﹣2，点A表示﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）由题意知a＜c，d＞b，a＜d，
则|a﹣c|+|d﹣b|﹣|a﹣d|＝c﹣a+d﹣b﹣（d﹣a）
＝c﹣a+d﹣b﹣d+a
＝c﹣b，
∵BC＝2，即c﹣b＝2，
故答案为：2；
（3）①由题意知点P回到起点需要6秒，点Q回到起点需要4秒，
∴当t＝4时，运动停止，
此时BP＝1，BC＝2，CQ＝4，
∴PQ＝7；
②分以下两种情况：
1、当点Q未到达点C时，可得方程：t+2t+5＝3+2+4，解得t＝ ；
2、当点P由点B折返时，可得方程（t﹣3）+2（t﹣2）+2＝5，解得：t＝ ；
综上，当t＝ 或t＝ 时，PQ＝5．
【点评】本题主要考查绝对值的性质、两点间的距离公式和一元一次方程的应用，根据两点间的距离为
5，分点Q未到达点C时和点P由点B折返两种情况列出方程是解题的关键．
49．（2021秋•修水县期末）已知：a、b、c满足a＝﹣b，|a+1|+（c﹣4）2＝0，请回答问题：（1）请求出a、b、c的值；
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，若点P在线段BC上
时，请化简式子：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|（请写出化简过程）；
（3）若点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，试探究当点P运动多少秒时，PC＝
3PB？
【分析】（1）根据非负数的性质可得；
（2）根据1≤x≤3，结合绝对值性质，去绝对值符号后化简可得；
（3）显然，P点不可能在点C的右侧，设当P点运动t秒时，PC＝3PB，
分三种情况进行解答：点P在点B的左右两侧．由两点间的距离公式进行解答即可．
【解答】解：（1）∵|a+1|+（c﹣4）2＝0，
∴a＝﹣1，c＝4．又a＝﹣b，
∴b＝1；
（2）当1≤x≤4时，x+1＞0，1﹣x≤0，x﹣4≤0，
则：|x+1|﹣|1﹣x|+2|x﹣4|
＝x+1+（1﹣x）﹣2（x﹣4）
＝x+1+1﹣x﹣2x+8
＝10﹣2x；
（3）显然，P点不可能在点C的右侧，
设当P点运动t秒时，PC＝3PB，
PC＝4﹣（﹣1）﹣2t＝5﹣2t，PB＝|1﹣（﹣1）﹣2t|＝|2﹣2t|，
①当P点在B点左侧时，5﹣2t＝3（2﹣2t），
解得，t＝ ；
②当P点在B点右侧时，5﹣2t＝3（2t﹣2），
解得，t＝ ，
当P点运动 或 秒时，PC＝3PB．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，
再求解．（3）对点P的不同位置进行分类讨论是解题关键．
50．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣
1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足 ．
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2
秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点
出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为
t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P
与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按
原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
【分析】（1）根据A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，得AB＝9，又 ＝ ，可得AC＝5，BC＝
4，故C点对应的数是8﹣BC＝4；
（2）①设运动t秒时，MN＝4，当M、N未相遇，可得8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，解得t＝ ，当M、N相
遇后，有2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，解得t＝ ；
②P与M还未第一次相遇时，4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，解得t＝﹣ （舍去），此种
情况不存在，P与M在t＝1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，可得3t﹣2﹣
（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，解得t＝ ，由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运
动到表示7的点处，再经过 ＝1.5秒，即t＝2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，可得 13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，解得t＝ ，当P
与M第二次相遇后，有2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，解得t＝8舍去，当P运动到A后，
若N为PM的中点，此时PM＝2PN，可得t＝5.5．
【解答】解：（1）∵A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，
∴AB＝9，
∵ ＝ ，
∴AC＝5，BC＝4，
∴C点对应的数是8﹣BC＝8﹣4＝4，
答：C点对应的数是4；
（2）①设运动t秒时，MN＝4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是﹣1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8﹣t，
∴8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，
解得t＝ ，
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2（t﹣ ﹣2）＝2t﹣5，N在AC上运动，N表示的
数是8﹣t，
∴2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，
解得t＝ ，
综上所述，t的值为 或 ；
②P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4﹣3t，M表示的数是﹣1+2t，N表示的数是8﹣t，
∴4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，
解得t＝﹣ （舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在t＝1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P
表示的数是（4﹣3×1）+3（t﹣1）＝3t﹣2，
∴3t﹣2﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，
解得t＝ ，由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过 ＝1.5秒，即t＝
2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未
与M第二次相遇，此时P表示的数是（8﹣2.5）﹣3（t﹣2.5）＝13﹣3t，
∴13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，
解得t＝ ，
当P与M第二次相遇后，P表示的数是13﹣3t，M在BC上运动，M表示的数是2t﹣5，
∴2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，
解得t＝8，此时13﹣3t＝﹣11＜﹣1，
∴t＝8舍去，这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为PM的中点，此时PM＝2PN，
∴﹣1+（2t﹣5）＝2（8﹣t），
解得t＝5.5，
综上所述，t的值为 或 或5.5．
【点评】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示点运动后表示的数．
51．（2021秋•紫金县期末）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A、
点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为
t（t大于0）秒．
（1）点C表示的数是 1 ．
（2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？
（3）点P表示的数是 2 t ﹣ 4 （用含字母t的式子表示）
（4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【分析】（1）根据题意得到点C是AB的中点；
（2）、（3）根据点P的运动路程和运动速度列出方程；
（4）分两种情况：点P在点C的左边的右边．
【解答】解：（1）依题意得，点C是AB的中点，故点C表示的数是： ＝1．
故答案为：1；（2）[6﹣（﹣4）]÷2＝10÷2＝5（秒）
答：当t＝5秒时，点P到达点A处．
（3）点P表示的数是2t﹣4．
故答案为：2t﹣4；
（4）当点P在点C的左边时，2t＝3，则t＝1.5；
当点P在点C的右边时，2t＝7，则t＝3.5．
综上所述，当t等于1.5或3.5秒时，P、C之间的距离为2个单位长度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数轴．解题时，利用了数形结合的数学思想．
52．（2021秋•江北区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ 25 ° ；
（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE﹣∠DOF的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出
发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒（0＜t＜ ）后得到∠COP
＝ ∠AOQ，求t的值．
【分析】（1）由题意得∠AOD＝30°，再求出∠AOE＝55°，即可得出答案；
（2）先由角平分线定义得∠AOF＝∠DOF＝ ∠AOD，∠AOE＝ ∠AOC，再证∠AOE﹣∠AOF＝
∠COD，即可得出答案；
（3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，即0＜t≤3.75时，则∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，由角的关系得55﹣12t＝ （30﹣8t），解得t＝ （舍去）；
②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，即3.75＜t≤4.5时，由角的关系得55﹣12t
＝ （8t﹣30），解得：t＝ ；
③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，即4.5＜t＜16.75时，由角的关系得12t﹣55＝ （8t﹣30），解得：
t＝ ．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝ ∠AOB＝30°，
∵∠COD＝80°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝30°+80°＝110°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝ ∠AOC＝55°，
∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝55°﹣30°＝25°；
故答案为：25°；
（2）∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF＝ ∠AOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝ ∠AOC，
∴∠AOE﹣∠AOF＝ ∠AOC﹣ ∠AOD＝ （∠AOC﹣∠AOD）＝ ∠COD，
又∵∠COD＝80°，
∴∠AOE﹣∠DOF＝ ×80°＝40°；
（3）分三种情况：
①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，
∵30﹣8t≥0，∴t≤3.75，
即0＜t≤3.75时，
由题意得：∠POE＝（12t）°，∠DOQ＝（8t）°，
∴∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠AOD﹣∠DOQ＝（30﹣8t）°，
∵∠COP＝ ∠AOQ，
∴55﹣12t＝ （30﹣8t），
解得：t＝ （舍去）；
②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，
∵55﹣12t≥0，
∴t≤4.5，
即3.75＜t≤4.5时，
则∠COP＝∠COE﹣∠POE＝（55﹣12t）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°，
∴55﹣12t＝ （8t﹣30），
解得：t＝ ；
③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，
∵0＜t＜ ，
∴ ＝16.75，
即4.5＜t＜16.75时，
则∠COP＝∠POE﹣∠COE＝（12t﹣55）°，∠AOQ＝∠DOQ﹣∠AOD＝（8t﹣30）°，
∴12t﹣55＝ （8t﹣30），
解得：t＝ ；
综上所述，t的值为 秒或 秒．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别
识别图形是解题的关键．53．（2021秋•惠山区期末）【探索新知】
如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝ AC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段
AC、BC称作互为圆周率伴侣线段． π
（1）若AC＝3，则AB＝ 3 + 3 ；
（2）若点 D 也是图 1 中线π段 AB 的圆周率点（不同于 C 点），则 AC ＝ DB；（填“＝”或
“≠”）
【深入研究】
如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿
数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．
（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度．
（4）在图2中，若点D在射线OC上，且线段CD与图中以O、C、D中某两点为端点的线段互为圆周
率伴侣线段，直接写出D点所表示的数．
【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；
（2）根据线段的大小比较即可；
（3）由题意可知，C点表示的数是 +1，设M点离O点近，且OM＝x，根据长度的等量关系列出方程
求得x，进一步得到线段MN的长度；π
（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数．
【解答】解：（1）∵AC＝3，BC＝ AC，
∴BC＝3 ， π
∴AB＝AπC+BC＝3 +3．
故答案为：3 +3；π
（2）∵点D、π C都是线段AB的圆周率点且不重合，
∴BC＝ AC，AD＝ BD，
∴设ACπ＝x，BD＝yπ，则BC＝ x，AD＝ y，
∵AB＝AC+BC＝AD+BD， π π
∴x+ x＝y+ y，
π π∴x＝y
∴AC＝BD
故答案为：＝．
（3）由题意可知，C点表示的数是 +1，
M、N均为线段OC的圆周率点，不妨π 设M点离O点近，且OM＝x，
x+ x＝ +1，解得x＝1，
∴MπN＝π +1﹣1﹣1＝ ﹣1；
π π
（4）D点所表示的数是1、 、 + +2、 2+2 +1．
【点评】考查了一元一次方程π 的π应用，解题π关键π是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适
的等量关系列出方程，再求解．
54．（2021秋•城关区期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应
的数为x．
（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；
（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若
不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以
每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点
P所对应的数是多少？
【分析】（1）由点P为AB的中点，而A、B对应的数分别为﹣1、3，根据中点公式即可确定点P对应
的数；
（2）根据题意可知，点P在B点右边时，根据点P到点A、点B的距离之和为8，列出方程求出x的值
即可．
（3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距
3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可．
【解答】解：（1）∵点P是AB的中点，点A、B对应的数分别为﹣1、3，
∴点P对应的数是（﹣1+3）÷2＝1；
（2）点P在B点右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝8，解得：x＝5，
即存在x的值，当x＝5时，满足点P到点A、点B的距离之和为8；
（3）①当点A在点B左边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则3+0.5t﹣（2t﹣1）＝3，
解得：t＝ ，
则点P对应的数为﹣6× +1＝﹣3；
②当点A在点B右边两点相距3个单位时，此时需要的时间为t，
则2t﹣1﹣（3+0.5t）＝3，1.5t＝7
解得：t＝ ，
则点P对应的数为﹣6× +1＝﹣27；
综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是﹣3或﹣27．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题关键是要读懂题目的意思，
根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
55．（2021秋•临江市期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝
120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．（本题中所有角都是指大于 0°且小于180°
的角）
（1）如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，则∠AOD垂角为 ∠ COD 和
∠ AOE ；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数；
（3）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9/s的速度
逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为t s
（0＜t＜20），试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角？【分析】（ 1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的 ”作为等量关系列方程求解；
（ 3 ）根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，
并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．
【解答】解：（ 1 ）∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；
故答案为：∠COD，∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是（90+x）度，根据题意得：
90+x＝ （ 180﹣x ），
解得：x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是（x﹣90）度，根据题意得：
x﹣90＝ （180﹣x），
解得：x＝126，
∴这个角的度数为18度或126度；
（ 3）分三种情况：
①当0＜t＜5时，∠AOC＝（90﹣9t）°，∠AOD＝（150+6t）°，
∴（150+6t）﹣（90﹣9t）＝90，
解得t＝2；
②当5＜t＜10时，∠AOC＝（90﹣9t ）°，∠AOD＝（210﹣6t）°，
∴（210﹣6t）﹣（90﹣9t）＝90，
解得t＝﹣10（舍去）；
③当10＜t＜20时，∠AOC＝（9t﹣90）°，∠AOD＝（210﹣6t）°，
∴（ 210﹣6t）﹣（9t﹣90）＝90，
解得：t＝14．
综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的关键是理解
题意，能准确从图中找出角之间的委系，并利用方程模型计算出结果．56．（2020秋•青羊区校级期末）如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中
一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于 0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝
20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙
伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的“伙伴角”是
∠ EOB ；
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得
∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB
重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t为何值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”；
（3）如图3，∠AOB＝160°，射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间
为t秒（0＜t＜ ），射线OM平分∠AOI，射线ON平分∠BOI，射线OP平分∠MON，问：是否存
在t的值使得∠AOI与∠POI互为“伙伴角”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“伙伴角”的概念，设未知数求出∠AOE的伙伴角度数，再根据度数找对应角即可；
（2）根据角度之间旋转的关系用t表示出∠POD与∠POE的度数，再根据“伙伴角”概念分情况讨论，
求解即可；
【解答】解：（1）∵∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°；
∴∠EOC＝30°，∠COD＝60°，∠DOB＝30°；
设∠AOE的“伙伴角”为x，
则|x﹣60°|＝60°；
∴x＝120°或x＝0°（不符合范围，舍去）；
∵图中只有∠EOB＝120°；
故∠AOE的“伙伴角”为∠EOB．
（2）180°÷4°＝45秒；
所以OP从A到B需要45秒；则运动最长时间是45秒．
①当D在∠AOC之间运动时；
∠BOE＝t，∠AOP＝4t，∠AOC＝30°；
∴∠BOC＝∠EOD＝150°，∠COD＝t（方向转角）；
∴∠AOD＝30°﹣t；∠POD＝4t+30°﹣t＝30°+3t；
∠POE＝180°﹣∠AOP+∠BOE
＝180°﹣4t+t
＝180°﹣3t；
由题得|∠POE﹣∠POD|＝60°；
∴|180°﹣3t﹣（30°+3t）|＝60°；
即150°﹣6t＝60°或150°﹣6t＝﹣60°；
∴t ＝15s或t ＝35s；
1 2
由于此时D在∠AOC之间运动；
∴t＜30；
∴t＝15s；
②当D在OA下方运动时；
则∠AOP＝4t，∠BOE＝∠COD＝t；
∴∠AOD＝t﹣30°；
∴∠POD＝4t﹣（t﹣30°）＝3t+30°
∠POE＝（180°﹣4t）+t＝180°﹣3t；
则|180°﹣3t﹣（3t+30°）|＝60°；
此时t＞30；
∴t＝35s（15s舍去）；
综上所述：t＝15s或35s．
（3）如图所示：①当OI在OB上方时；
∠AOI＝6t；∠BOI＝160°﹣6t；
OM、ON分别平分∠AOI，∠BOI；
则∠MOI＝∠AOM＝3t；∠BON＝∠NOI＝80°﹣3t；
则∠MON＝80°；
∵OP平分∠MON；
∴∠MOP＝∠NOP＝40°；
若∠MOI＞∠MOP，则t＞ ，
此时如P′位置（如图）；
则∠P′OI＝3t﹣40°；
则为“伙伴角”的有∠AOI﹣∠P′OI＝60°；
∴6t﹣（40°﹣3t）＝60°；
t＝ （舍去）；
若∠MOI＜∠MOP；则t＜ ；
此时如P″位置；则∠P″OI＝40°﹣3t＜40°；
若存在“伙伴角”，则
∠AOI﹣∠P′OI＝60°；则∠AOI﹣∠P″OI＝60°；
即6t﹣（40°﹣3t）＝60°；
∴t＝ （符合题意）；
②当OI在OB下方，且∠AOI为钝角时；
则∠AOI＝6t＜180°；
∴t＜30°；
∠BOI＝160°﹣6t；
6t＞∠AOB＝160°；
∴t＞ ；
∠ION＝∠BON＝ ∠BOI＝3t﹣80°；
∠AOM＝∠MOI＝ ∠AOI＝3t；
∠MON＝∠MOI﹣∠NOI＝80°；
∠MOP＝∠NOP＝ ∠MON＝40°；
若∠NOB＜∠NOP；
即3t﹣80°＜40°；
∴t＜40°；
又∵t＜30°；
∴3t﹣80°只能小于40°；
即∠NOB＜∠NOP；
则∠POI＝∠PON+∠NOI＝40°+3t﹣80°＝3t﹣40°；则∠AOI﹣∠POI＝6t﹣（3t﹣40°）＝60°
∴t＝ s＜ （舍去）；
③当OI越AO反向延长线到左侧时，
∠AOI＝360°﹣6t（取0°～180°之间的角）；
此时6t＞180°，
∴t＞30s
∠AOM＝∠MOI＝ ∠AOI＝180°﹣3t；
∠BOI＝6t﹣160°；
∠NOI＝∠BON＝ ∠BOI＝3t﹣80°；
则∠MON＝∠MOI+∠ION
＝180°﹣3t+3t﹣80°
＝100°；
∴∠MOP＝∠PON＝50°；
∵30s＜t＜ s；
∴3t﹣80°＜90°；
若∠NOI＞∠NOP，则3t﹣80°＞50°，t＞ s；
则如P′位置，
即∠P′OI＝∠NOI﹣∠NOP′＝3t﹣80°﹣50°＝3t﹣130°；则t＝ s（符合题意）；
若∠NOI＜∠NOP，则30＜t＜ s；
则∠P″OI＝130°﹣3t；
即∠AOI﹣∠P″OI＝360°﹣6t﹣（130°﹣3t）＝60°；
则t＝ s（舍去）；
综上所述：t＝ s或 s．
【点评】本题主要考查对新定义题型的理解能力，掌握“伙伴角”的概念，构建一元一次方程是解决此
题的关键．
57．（2020秋•新丰县期末）如图，已知数轴上点 A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB
＝22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 t（t＞0）
秒．
（1）数轴上点B表示的数 ﹣ 1 4 ；点P表示的数 8 ﹣ 5 t （用含t的代数式表示）
（2）若M为AP的中点，N为BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是 1 1 ．
（3）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问
多少秒时P、Q之间的距离恰好等于2？
（4）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问
点P运动多少秒时追上点Q？
【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8﹣22；点P表示的数为8﹣5t；
（2）分①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段
的和差求出MN的长即可；
（3）分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解
即可；
（4）点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC＝5x，BC＝3x，根据AC﹣BC＝AB，列出方程求解即
可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝22，
∴点B表示的数是8﹣22＝﹣14，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒，
∴点P表示的数是8﹣5t．
（2）①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN＝MP+NP＝ AP+ BP＝ （AP+BP）＝ AB＝ ×22＝11，
②当点P运动到点B的左侧时：
MN＝MP﹣NP＝ AP﹣ BP＝ （AP﹣BP）＝ AB＝11，
∴线段MN的长度不发生变化，其值为11．
（3）若点P、Q同时出发，设t秒时P、Q之间的距离恰好等于2．分两种情况：
①点P、Q相遇之前，
由题意得3t+2+5t＝22，解得t＝2.5；
②点P、Q相遇之后，
由题意得3t﹣2+5t＝22，解得t＝3．
答：若点P、Q同时出发，2.5或3秒时P、Q之间的距离恰好等于2；
（4）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，
则AC＝5x，BC＝3x，
∵AC﹣BC＝AB，
∴5x﹣3x＝22，
解得：x＝11，
∴点P运动11秒时追上点Q．
故答案为：﹣14，8﹣5t；11．
【点评】本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题
意画出图形，注意分情况进行讨论．58．（2020秋•香河县期末）数轴上A点对应的数为﹣5，B点在A点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2
个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点，求C点表示的数；
（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B点表示的数；
（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为 t秒，是否存在t的值，使丙到乙的距离是丙到甲的
距离的2倍？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据电子蚂蚁丙运动速度与时间来计算相关线段的长度；
（2）设B表示的数为x，则B到A的距离为|x+5|，点B在点A的右边，故|x+5|＝x+5，根据时间差为1
秒列出方程并解答；
（3）分相遇前和相遇后两种情况进行解答．
【解答】解：（1）由题知：
C：﹣5+3×5＝10 即C点表示的数为10；
（2）设B表示的数为x，则B到A的距离为|x+5|，点B在点A的右边，故|x+5|＝x+5，
由题得： ﹣ ＝1，
即x＝15；
（3）①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，2（20﹣3t﹣2t）＝20﹣3t﹣t，此时t＝ （s）；
②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，2×（3t+2t﹣20）＝20﹣3t﹣t，此时t＝ （s）；
综上所述，当t＝ s或t＝ s时，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍．
【点评】此题考查一元一次方程的运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
59．（2020秋•龙岩期末）若点C在直线AB上，且AC＝2BC或BC＝2AC，我们就称点C是点A，B的
“倍分点”；若点A是点C，B的“倍分点”，同时点C是点A，B的“倍分点”，而点B不是点A，C的“倍分点”，我们就称点A，C互为“伴生倍分点”．
（1）数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，点C ，C ，C ，C 分别表示数﹣ ，0，2，3，那么点
1 2 3 4
C ，C ，C ，C 中是点A，B的“倍分点”的是 C 、 C ；
1 2 3 4 1 4
（2）数轴上点M表示数﹣5，点N表示数15，点K是数轴上一点，点K表示数x；若点K在点N的左
侧，且点K是点M，N的“倍分点“，求数x；若点K在点N的右侧，则点M，N，K中，是否存在”
伴生倍分点”？若存在，求出数x；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，点C ，C ，C ，C 分别表示数﹣ ，0，2，
1 2 3 4
3，利用“倍分点”定义，即可解决问题；
（2）若点K在点N的左侧，且点K是点M，N的“倍分点“，分三种情况：当点 K 在点M左侧时，
1
如图1：当点K 在线段MN上，且K N＝2K M时，如图2：当点K 在线段MN上，且K M＝2K N时，
2 2 2 3 3 3
如图3：分别列出一元一次方程求解即可；若点K在点N的右侧，则点M，N，K中，存在”伴生倍分
点”，利用“倍分点”定义，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，点C ，C ，C ，C 分别表示数﹣ ，0，
1 2 3 4
2，3，
∴AC ＝﹣ ﹣（﹣1）＝ ，BC ＝1﹣（﹣ ）＝ ，
1 1
∴BC ＝2AC ，
1 1
∴点C 是点A，B的“倍分点”；
1
∵AC ＝0﹣（﹣1）＝1，BC ＝1﹣0＝1，
2 2
∴BC ＝AC ，
2 2
∴点C 不是点A，B的“倍分点”；
2
∵AC ＝2﹣（﹣1）＝3，BC ＝2﹣1＝1，
3 3
∴AC ＝3BC ，
3 3
∴点C 不是点A，B的“倍分点”；
3
∵AC ＝3﹣（﹣1）＝4，BC ＝3﹣1＝2，
4 4
∴AC ＝2BC ，
4 4
∴点C 是点A，B的“倍分点”；
4
综上所述，点A、B的“倍分点”是C 、C ，
1 4故答案为：C 、C ；
1 4
（2）①若点K在点N的左侧，且点K是点M，N的“倍分点“，
分三种情况：
当点K 在点M左侧时，如图1：
1
则K N＝2K M，
1 1
即15﹣x＝2（﹣5﹣x）
解得：x＝﹣25；
当点K 在线段MN上，且K N＝2K M时，如图2：
2 2 2
则15﹣x＝2[x﹣（﹣5）]，
解得：x＝ ；
当点K 在线段MN上，且K M＝2K N时，如图3：
3 3 3
则x﹣（﹣5）＝2（15﹣x），
解得：x＝ ，
综上所述，若点K在点N的左侧，且点K是点M、N的“倍分点”，则数x的值为﹣25或 或 ；
②若点K在点N的右侧，则点M，N，K中，存在”伴生倍分点”，理由如下：
∵点K在点N的右侧，
∴x＞15，
当点K是点M、N的“倍分点”时，
x﹣（﹣5）＝2（x﹣15）或 x﹣15＝2[x﹣（﹣5）]
解得：x＝35或x＝﹣25（不合题意，舍去）；当点N是点M、K的“倍分点”时，
15﹣（﹣5）＝2（x﹣15）或 x﹣15＝2[15﹣（﹣5）]，
解得：x＝25或x＝55；
当点M是点N、K的“倍分点”时，
x﹣（﹣5）＝2[15﹣（﹣5）]或15﹣（﹣5）＝2[x﹣（﹣5）]
解得：x＝35或x＝5（不合题意，舍去），
综上所述，x＝35时，点K是点M、N的“倍分点”，同时点M是点N、K的“倍分点”，而点N不是
点M、K的“倍分点”，
即存在点M、K互为“伴生倍分点”，此时x的值为35．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，
弄懂定义是解题的关键．
60．（2021秋•阳谷县期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B出发以
1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（2）当t＝2时，PD＝2AC，请求出AP的长；
（3）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请求出AP的长；
（4）在（3）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQ的长．
【分析】（1）（2）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，由此
求得AP的值；
（3）结合（1）、（2）进行解答；
（4）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB
的关系．
【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2，PC＝1，
则BD＝2PC，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3AP，则AP＝4cm；（2）根据C、D的运动速度知：BD＝4，PC＝2，
则BD＝2PC，
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∵AB＝12cm，AB＝AP+PB，
∴12＝3AP，则AP＝4cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC
∵PD＝2AC，
∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP，
∴点P在线段AB上的 处，即AP＝4cm；
（4）如图：
∵AQ﹣BQ＝PQ，
∴AQ＝PQ+BQ；
又∵AQ＝AP+PQ，
∴AP＝BQ，
∴PQ＝ AB＝4cm；
当点Q'在AB的延长线上时，
AQ′﹣AP＝PQ′，
所以AQ′﹣BQ′＝PQ＝AB＝12cm．
综上所述，PQ＝4cm或12cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之
间的数量关系是十分关键的一点．
