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第六章 实数提优测试卷（解析版）
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题要求的）
1
1．下列各数：3.141592，√3，0.16，﹣ ，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），√5，
3
π
，√8是无理数的有（ ）个．
A．5 B．6 C．3 D．4
思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是
整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定
选择项．
1
解：3.141592，0.16， ，是分数，属于有理数；
3
无理数有：√3，﹣ ，2.010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），√5，√8，共5个．
故选：A． π
总结提升：此题主要考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无
理数有： ，2 等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．48的算术π平方π根在（ ）
A．5与6之间 B．6与7之间 C．4与5之间 D．7与8之间
思路引领：根据被开方数越大对应的算术平方根也越大求解即可．
解：∵36＜48＜49，
∴6＜√48＜7．
故48的算术平方根在6与7之间．
故选：B．
总结提升：本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根也越大是解题的
关键．
3．√81的平方根是（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
思路引领：求出√81=9，求出9的平方根即可．
解：∵√81=9，
∴√81的平方根是±3，
故选：D．总结提升：本题考查了对算术平方根，平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．
4．已知x是整数，当|x﹣5√2|取最小值时，x的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
思路引领：根据绝对值的意义，由与5√2最接近的整数是7，可得结论．
解：∵√49＜5√2＜√64，
∴7＜5√2＜8，
且与5√2最接近的整数是7，
∴当|x﹣5√2|取最小值时，x的值是7，
故选：B．
总结提升：本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
5．将一组数√2，2，√6，√8，√10，…，√40，按下列方式进行排列：
√2，2，√6，√8，√10，
√12，√14，4，√18，√20，
…
若2的位置记为（1，2），2√3的位置记为（2，1），则√38这个数的位置记为（ ）
A．（5，4） B．（4，4） C．（4，5） D．（3，5）
思路引领：先找出被开方数的规律，然后再求√38的位置即可．
解：这组数据可表示为：
√2，√4，√6，√8，√10，√12，√14，√16，√18，√20⋯..．
∴被开方数均为连续的偶数，且每5个数为一组，
19×2＝38，
∵19÷5＝3……4，
∴√38为第4行，第4数字．
∴√38这个数的位置记为（4，4）．
故选：B．
总结提升：本题主要考查的是数字的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．
6．若√33 y−1和√31−2x互为相反数，求x：y的值为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2
思路引领：利用相反数的定义得出关于x，y的等式，进而求出答案．
解：∵√33 y−1和√31−2x互为相反数，
∴3y﹣1+1﹣2x＝0，则2x＝3y，
∴x：y＝3：2．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了实数的性质，立方根的定义，得出x，y之间的关系是解题关键．
7．如图，数轴上A、B两点表示的数分别√2和5.3，则A、B两点之间表示的整数的点共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
思路引领：根据：1＜√2＜2，判断出A、B两点之间表示的整数的点共有多少个即可．
解：∵1＜√2＜2，
∴A、B两点之间表示的整数的点共有4个：2、3、4、5．
故选：C．
总结提升：此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．
8．若a=√37，b=√5，c＝2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
思路引领：根据算术平方根、立方根的意义估算出a、b的近似值，再进行比较即可．
解：∵√31＜√37＜√38，
∴1＜√37＜2，
即1＜a＜2，
又∵2＜√5＜3，
∴2＜b＜3，
∴a＜c＜b，
故选：C．
总结提升：本题考查实数的大小比较，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的意义是正确判
断的前提．
9．若m2＝16，则√3 m−4的值为（ ）
A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．0或2
思路引领：根据平方根的定义，求得m＝±4．再运用分类讨论的思想以及立方根的定义解决此题．
解：∵m2＝16，
∴m＝±4．
∴当m＝4，√3 m−4=√3 4−4=0；当m＝﹣4时，√3 m−4=√3−4−4=√3−8=−2．
综上：√3 m−4=0或﹣2．
故选：C．
总结提升：本题主要考查立方根、平方根，熟练掌握立方根、平方根的定义是解决本题的关键．
10．已知min{√x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当 x＝9，min{√x，x2，x}＝min{√9，
1
92，9}＝3．当min{√x，x2，x}= 时，则x的值为（ ）
16
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 2
1 1 1
思路引领：本题分别计算√x= ，x2= ，x= 的x值，找到满足条件的x值即可．
16 16 16
首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝0，1，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．
1 1
解：当√x= 时，x= ，x＜√x，不合题意；
16 256
1 1 1 1 1
当x2= 时，x＝± ，当x=− 时，x＜x2，不合题意；当x= 时，√x= ，x2＜x＜√x，符合题意；
16 4 4 4 2
1 1
当x= 时，x2= ，x2＜x，不合题意．
16 256
故选：C．
总结提升：本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．）
11．若两个连续整数x、y满足x＜√5+1＜y，则x+y的值是 7 ．
思路引领：先估算√5的范围，再估算√5+1，即可解答．
解：∵2＜√5＜3，
∴3＜√5+1＜4，
∵x＜√5+1＜y，
∴x＝3，y＝4，
∴x+y＝3+4＝7．
故答案为：7．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算√5的范围．
12．如果y ，则2x+y的值是 5 或﹣ 3 ．
=√x2−4+√4−x2+1
思路引领：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．解：由题意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，
∴x2＝4，
解得x＝±2，
y＝1，
∴2x+y＝2×2+1＝4+1＝5，
或2x+y＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3，
综上所述，2x+y的值是5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
总结提升：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
√3−1 1
13．比较大小： ＜ （用“＜”或“＝”或“＞”填空）．
3 3
思路引领：根据算术平方根的概念得到√3＜2，根据不等式的性质计算，得到答案．
解：∵√3＜2，
∴√3−1＜1，
√3−1 1
∴ ＜ ，
3 3
故答案为：＜．
总结提升：本题考查的是实数的大小比较，掌握无理数的估算方法是解题的关键．
14．数轴上从左到右依次有 A、B、C 三点表示的数分别为 a、b、√10，其中 b 为整数，且满足
√a+3+|b−2|=b−2，则b﹣a＝ 5 或 6 ．
思路引领：根据算术平方根和绝对值的偶次幂确定a的值和b的取值范围，从而结合b为整数确定b的
值，代入求值即可．
解：∵√a+3+|b−2|=b−2，
∴a+3＝0，b﹣2≥0，
解得：a＝﹣3，b≥2，
又∵数轴上从左到右依次有A、B、C三点表示的数分别为a、b、√10，其中b为整数，
∴2≤b＜√10，且b为整数，
∴b＝2或3，
当b＝2时，b﹣a＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
当b＝3时，b﹣a＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
综上，b﹣a的值为5或6，
故答案为：5或6．总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，实数与数轴，理解二次根式和绝对值的非负性，利用分类
讨论思想解题是关键．
15．用“*”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a*b＝2a2+b，如3*4＝2×32+4＝22，那么√3*2＝ 8
．
思路引领：直接利用已知运算公式计算得出答案．
解：∵a*b＝2a2+b，
∴√3*2＝2×（√3）2+2＝8．
故答案为：8．
总结提升：此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．
16．已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为√2，f的算术平方根
1 c+d 1
是8，求 ab+ +e2+√3 f的值是 6 ．
2 5 2
思路引领：直接利用倒数、绝对值和相反数的定义、算术平方根的定义分别化简得出答案．
解：∵实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为，f的算术平方根是
8，
∴ab＝1，c+d＝0，f＝64，
1 c+d
∴ ab+ +e2+√3 f
2 5
1
= +0+2+4
2
1
＝6 ．
2
总结提升：此题主要考查了实数运算，正确把握相关概念是解题关键．
17．请你写出两个无理数，使其和为√5，这两个无理数可以是 −√5，2√5（答案不唯一） ．
思路引领：本题答案不唯一，符合题意即可．
解：两个无理数的和为√5，这两个无理数可以是−√5，2√5．
故答案为：−√5，2√5（答案不唯一）．
总结提升：本题考查了实数的运算，比较开放，只要符合题意即可．
18．已知一个x平方根是a+3和3a﹣15，则这个正数x＝ 3 6 ．
思路引领：根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出x的值．
解：由题意得a+3+3a﹣15＝0，
解得：a＝3，所以x＝（a+3）2＝（3+3）2＝36．
故答案为：36．
总结提升：本题考查了平方根的知识，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
19．计算：
1
（1）− ×√3−8−√25．
2
（2）|2−√3|+√38+2√3．
（3） ．
√4+√3−27+√(−3) 2+|2−√5|
思路引领：（1）直接利用立方根的性质以及算术平方根的性质分别化简，再利用有理数的混合运算法
则计算得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并得出答案；
（3）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简，再合并得出答案．
1
解：（1）原式=− ×（﹣2）﹣5
2
＝1﹣5
＝﹣4；
（2）原式＝2−√3+2+2√3
＝4+√3；
（3）原式＝2﹣3+3+√5−2
=√5．
总结提升：此题主要考查了立方根的性质以及算术平方根的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数
是解题关键．
20．计算．
（1）已知（x﹣2）2＝16，求x的值．
（2）已知3（x+1）3＝81，求x的值．
思路引领：（1）根据平方根的定义，得到x﹣2＝±4，进而求出x的值即可；
（2）根据等式的性质和立方根的定义即可求出答案．解：（1）由平方根的定义可知，x﹣2＝±4，
所以x＝6或x＝﹣2；
（2）由等式的性质可得，（x+1）3＝27，
由立方根的定义可知，x+1＝3，
所以x＝2．
总结提升：本题考查平方根、立方根以及等式的性质，理解立方根、平方根的定义是正确解答的前提．
21．设3−√2的整数部分为a，3+√2小数部分为b，求﹣16ab﹣8b2的立方根．
思路引领：先估算出√2的值，从而求出a，b的值，然后再求出﹣16ab﹣8b2的值，即可解答．
解：∵1＜2＜4，
∴1＜√2＜2，
∴﹣2＜−√2＜−1，
∴1＜3−√2＜2，
∵3−√2的整数部分为a，
∴a＝1，
∵1＜√2＜2，
∴4＜3+√2＜5，
∵3+√2小数部分为b，
∴b＝3+√2−4
=√2−1，
∴﹣16ab﹣8b2
＝﹣16×1×（√2−1）﹣8×（√2−1）2
＝﹣16√2+16﹣8×（3﹣2√2）
＝﹣16√2+16﹣24+16√2
＝﹣8，
∴﹣16ab﹣8b2的立方根是﹣2．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方运算估算无理数的值是解题的关键．
22．（1）一个数y的平方根是2x+1和2x﹣9，求x+y的立方根．
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简 ．
√b2+√(a−c) 2−|c−b|
思路引领：（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出x，进而求出y，再计算即可．（2）根据数轴图判断b，a﹣c，c﹣b的正负，再进行化简即可．
解：（1）∵y的平方根是2x+1和2x﹣9，
∴2x+1+2x﹣9＝0，
解得x＝2，
∴y＝（2x+1）2＝52＝25．
∴x+y＝2+25＝27，
∴√3 x+ y=√327=3．
（2）根据数轴图可知：b＜0，a﹣c＜0，c﹣b＞0，
∴原数＝|b|+|a﹣c|﹣|c﹣b|
＝﹣b+c﹣a﹣c+b
＝﹣a．
总结提升：本题考查平方根和绝对值化简，解题关键是熟知一个正数的两个平方根互为相反数，以及绝
对值化简的关键是判断绝对值内的式子的正负性．
23．已知a、b满足√2a+8+|b−√3|＝0，解关于x的方程（a+2）x+b2＝a﹣1．
思路引领：根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入方程得到关于x的方程，求解即可．
解：根据题意得，2a+8＝0，b−√3=0，
解得a＝﹣4，b=√3，
所以（﹣4+2）x+3＝﹣4﹣1，即﹣2x＝﹣8，
解得x＝4．
总结提升：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一
个算式都等于0列式是解题的关键．
24．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫作虚数单位，把形如a+bi（a，b为实
数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整
式的加、减、乘法运算类似．
例如：（2﹣i）+（5+3i）＝（2+5）+（﹣1+3）i＝7+2i；
（1+i）×（2﹣i）＝1×2﹣i+2×i﹣i2＝2+（﹣1+2）i+1＝3+i．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣ i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2022．
思路引领：（1）根据i2＝﹣1，进行计算即可解答；（2）利用多项式乘多项式，进行计算即可解答；
（3）从数字找规律，求出i+i2+i3+i4即可解答．
解：（1）i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，
i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（1+i）×（3﹣4i）
＝3﹣4i+3i﹣4i2
＝3﹣i﹣4×（﹣1）
＝3﹣i+4
＝7﹣i；
（3）i+i2+i3+…+i2022
＝i+（﹣1）+（﹣i）+1+...+i+（﹣1）
＝i﹣1．
总结提升：本题考查了实数的运算，整式的加减，规律型：数字变化类，理解定义的运算是解题的关键．
25．（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3
倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？
（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使
它的长宽之比为3：2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．
思路引领：（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；
（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．
解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，
{ x−3= y+2
则 ，
3×2(x+ y)=2×4(x−3)+30
{x=9
解得 ．
y=4
答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；
（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，
则3a•2a＝30，
解得a=√5，
∴裁出的长为3√5cm，宽为2√5cm，
∵3√5＞6，∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
总结提升：本题考查的是一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用，正确列出方程（组），掌握解
方程（组）的一般步骤是解题的关键．
26．如图1，教材P 页有这样一个探究：把两个边长为1dm的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个
41
直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为2dm2的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题：
（1）所得到的面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，因此，可得小
正方形的对角线长为 √2 ；
（2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为
1−√2 ， 1+√2 ；
（3）通过动手操作，小张同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请
用（2）中相同的方法在数轴上找到表示√5−1的点．（作图过程中标出必要线段长）
思路引领：（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的对角线
长；
（2）依据图2中小正方形对角线长为√2，AO=√2−1，BO=√2+1，即可得到A，B两点表示的数为
1−√2和1+√2；
（3）先根据大正方形的面积为5，可得小长方形的对角线长为√5，进而在数轴上找到表示点√5−1．
解：（1）∵面积为2dm2的大正方形的边就是原先边长为1dm的小正方形的对角线长，
∴小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即√2，
故答案为：√2；（2）图2中小正方形对角线长为√2，AO=√2−1，BO=√2+1，
∴A，B两点表示的数为1−√2和1+√2；
故答案为：1−√2，1+√2；
（3）如图3，大正方形的面积为5，
∴小长方形的对角线长为√5，
如图所示，点C表示的数为√5−1．
总结提升：本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一
个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
