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专项训练4 平行线与图形变换
一．平移
1．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，
那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．
∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFDC重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
【点评】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．在《生活中的平移现象》的数学讨论课上，小明和小红先将一块三角板描边得到△ABC，后沿着直尺
BC方向平移3cm，再描边得到△DEF，连接AD．如图，经测量发现△ABC的周长为16cm，则四边形
ABFD的周长为（ ）
A．16cm B．22cm C．20cm D．24cm
【分析】先根据平移的性质得到CF＝AD＝2cm，AC＝DF，而AB+BC+AC＝16cm，则四边形ABFD的
周长＝AB+BC+CF+DF+AD，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，
∴CF＝AD＝3cm，AC＝DF，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AB+BC+AC＝16cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD
＝AB+BC+AC+CF+AD
＝16+3+3
＝22（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这
两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
3.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造
型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A．甲种方案所用铁丝最长 B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长 D．三种方案所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．
故选：D．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．
4．如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝4，EF＝10，
△BEG的面积为4，下列结论：①∠A＝∠BED；②△ABC平移的距离是4；③BE＝CF；④四边形
GCFE的面积为16，正确的有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】由平移的性质得到BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；根据图形的平移得到
∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，故∠A＝∠BED，故①正确；根据直角三角形斜边大于直角边得到
△ABC平移的距离＞4，故②错误；根据三角形的面积公式得到GE＝2，根据梯形的面积公式得到四1
边形GCFE的面积= （6+10）×2＝16，故④正确．
2
【解答】解：∵△DEF的是直角三角形ABC沿着斜边AC的方向平移后得到的，且A、D、C、F四点
在同一条直线上，
∴BE∥AC，AB∥DE，BC＝EF，BE＝CF，故③正确；
由图形的平移知，ED∥AB，AC∥BE，
∴∠EDC＝∠A，∠EDC＝∠BED，
∴∠A＝∠BED，故①正确；
∵BG＝4，
∴AD＝BE＞BG，
∴△ABC平移的距离＞4，故②错误；
∵EF＝10，
∴CG＝BC﹣BG＝EF﹣BG＝10﹣4＝6，
∵△BEG的面积等于4，
1
∴ BG•GE＝4，
2
∴GE＝2，
1
∴四边形GCFE的面积= （6+10）×2＝16，故④正确；
2
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，面积的计算等，正确的识别图形是解题的关键．
5.如图所示，线段AB经过平移后得到线段A′B′，AB＝3cm，AA′＝4cm，那么线段AB沿 AA ′ 方
向平移了 4 cm．
【分析】根据平移的方向和距离确定平移的结果即可．
【解答】解：线段AB经过平移后得到线段A′B′，AB＝3cm，AA′＝4cm，那么线段AB沿着AA′
（或BB′）方向平移了4cm，
故答案为：AA′，4．
【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．
6．如图，∠3＝40°，直线b平移后得到直线a，则∠1+∠2＝ 22 0 °．【分析】如图，利用平移的性质得a∥b，再根据平行公理的推论证明a∥b∥AD，再根据平行线的性
质转角，从而可计算出∠1+∠2的度数．
【解答】解：如图，记∠1、∠2、∠3的顶点分别是B、A、C.
∵直线b平移后得到直线a，
∴a∥b，
过点A作AD∥a，则a∥b∥AD，
∴∠1+∠BAD＝180°，∠DAC=∠3＝40°，
∴∠1+∠2＝∠1+∠BAD+∠DAC=220°．
故答案为220．
【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图
形与原图形的形状和大小完全相同．
7．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝
70°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
140°
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，则∠Q＝ 或 140 ° ．
3
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到
结论；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性
质即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣110°﹣90°＝160°，
∴∠DPQ+∠QDP＝160°，
∴∠Q＝180°﹣160°＝20°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
1
∴∠EDQ= ∠Q，
2
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
1
∴180°﹣∠Q− ∠Q＝110°，
2
140°
∴∠Q= ．
3
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，∵∠Q＝2∠EDQ，
1
∴∠EDQ= ∠Q，
2
∵∠E＝70°，
∴∠EDF＝110°，
1
∴180°﹣∠Q+ ∠Q＝110°，
2
∴∠Q＝140°，
140°
综上所述，∠Q= 或140°，
3
140°
故答案为： 或140°．
3
【点评】本题考查了平移的性质，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
二．轴对称
8．如图，四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2 B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2 D．如图4，展开后测得∠1+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项不符合题意；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b，故此选项不符合题意；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行，故此选项符合题意；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键．
9．如图，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，DE∥BC，若∠C＝70°，则∠FEC＝
（ ）A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据平行线的性质可得∠AED＝∠C＝70°，根据折叠的性质求出∠DEF，进而可计算∠FEC
的度数．
【解答】解：∵DE∥BC，∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C＝70°，
由折叠得：∠DEF＝∠AED＝70°，
∴∠FEC＝180°﹣∠AED﹣∠DEF＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，
若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考
常考题型．
11.如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若∠1＝70°，则∠2＝ 4 0 °．
【分析】由平行线的性质推出∠ACF＝∠1＝70°，由折叠的性质得到∠ACB＝∠ACF＝70°，由平角定
义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACF＝∠1＝70°，
由折叠的性质得到：∠ACB＝∠ACF＝70°，
∴∠2＝ 180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠的性质，关键是由平行线的性质推出∠ACF＝∠1＝70°，由折
叠的性质得到∠ACB＝∠ACF．
12．如图，四边形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AB、BC 上，将△BMN 沿 MN 翻折，得△FMN，若
MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝ 9 5 °．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF、∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN 和
∠BNM，然后利用三角形的内角和是180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
1 1
∴∠BMN= ∠BMF= ×100°＝50°，
2 2
1 1
∠BNM= ∠BNF= ×70°＝35°，
2 2在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，熟记性质并准确识图是解题
的关键．
13．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折
叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 7 2 °．
【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进而可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°
和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN．
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
【点评】本题考查的是平行线的性质，由折叠的性质得到角相等是解题关键．
14.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与
点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．
（1）求证：HG∥AE．（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数．
【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB＝∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论；（2）求出∠AEB＝70°，由平行线的性质进而得出答案．
【解答】（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF，
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG＝∠CEG，
∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，
∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，
∴AE⊥EG，
∵HG⊥EG，
∴HG∥AE；
（2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°，
∴∠AEB＝70°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝70°，
∵HG∥AE，
∴∠DHG＝∠DAE＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、折叠的性质、长方形的性质等知识；熟练掌握平行线的判
定与性质和矩形的性质是解题的关键．
三．旋转
15．如图表示钉在一起的木条a，b，c．若测得∠1＝50°，∠2＝75°，要使木条a∥b，木条a至少要旋转
25 °．
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠1的同位角的度数，然后用∠2减去∠1即可得到
木条a旋转的度数．
【解答】解：如图，
∵∠AOC＝∠1＝50°时，AB∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是75°﹣50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解
题的关键．
16．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现将
三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是 15 ° ．
【分析】利用平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠BDF﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故答案为15°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题
型．
17．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、
CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使
10 190
得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或 秒 ．
3 3
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，
列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，
列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
10
解得t= ；
3
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
190
解得t= ；
3
10 190
综上所述，当时间t的值为 或 秒时，CD与AB平行．
3 3
10 190
故答案为： 秒或 秒．
3 3
【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分
情况讨论．
17．将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝
45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，
并简要说明理由．【分析】（1）由∠BCD＝150°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB+∠ACD，∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD可得出
结论；
（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角
互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．
