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第 18 课 用频率估计概率
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
2．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p= ，则下列说法正确的是( )
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在 附近
3．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的
球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在
0.3，那么估计摸到黄球的概率为（ ）
A．0.3 B．0.7 C．0.4 D．0.6
4．某口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共100个，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球
的频率为35%、25%和40%，则估计红、黄、蓝球的个数分别为（ ）．
A．35，25，40 B．40，25，35 C．25，40，25 D．40，35，25
5．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕到草鱼
的频率稳定在0.5附近，则该鱼塘捞到鲢鱼的概率约为（ ）
A． B． C． D．
6．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如
下．
身高
人数 60 260 550 130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 的概率是（ ）A．
0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
7．某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果
的实验可能是（ ）A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
8．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符
合这一结果的实验最有可能的是（ ）
实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000
频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．抛一枚硬币，出现正面
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5
D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球
二、填空题
9．事件A发生的概率为 ，大量重复试验后，事件A平均每n次发生的次数是10，那么n＝__．
10．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试
验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有____个．
11．一个事件经过500次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概
率估计值是___________．
12．用6个球(除颜色外没有区别)设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为 ，摸到红球的概率为
，摸到黄球的概率为 ．则应设____个白球，_____个红球，_____个黄球．
13．小慧在一次用“频率估计概率”的试验中，把“学生知耻处，方知艺不精”中的每个汉字分别写在十
张完全相同的卡片上，然后把卡片的背面朝上，随机抽取一张后统计某一个汉字被抽到的频率，并绘制了
如图所示的折线统计图，则符合这一结果的汉字是______．
14．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向
上”的次 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747
数
“正面向
上”的频 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494
率
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可
能仍会在0.35附近摆动；
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的．
其中正确的是__．
三、解答题
15．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种
植数 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
（粒）
发芽频
0 4 45 92 188 476 951 1900 2850
数
(1)估计该麦种的发芽概率．
(2)如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为
50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
16．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球实验，他将盒子里面的
球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程实验n次，下表是小明“摸到
白球”的频数、频率统计表．
摸球实验次数n 10 100 150 200 500 …
摸到白球的频数m 2 22 31 39 101 …
摸到白球的频率p 0.200 0.220 0.207 0.195 0.202 …
(1)观察上表，可以推测，摸一次摸到白球的概率为______．
(2)请你估计盒子里白球个数．
(3)若往盒子中同时放入x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y与x之间的
函数关系式．
17．根据你所学的概率知识， 回答下列问题：
(1)我们知道： 抛掷一枚均匀的硬币， 硬币正面朝上的概率是________． 若抛两枚均匀硬币， 硬币落地
后， 求两枚硬币都是正面朝上的概率． (用树状图或列表来说明)
(2)小刘同学想估计一枚纪念币正面朝上的概率， 通过试验得到的结果如下表所示：
抛掷次数 500 1000 1500 2500 3000 4000 5000 10000“正面朝上”的次数
265 512 793 1306 1558 2083 2598 5204
“正面朝上”的频率
根据上表， 下面有三个推断：
①当抛掷次数是1000时， “正面朝上”的频率是 ， 所以“正面朝上”的概率是 ；
②随着试验次数的增加， “正面朝上”的频率总是在 附近摆动， 显示出一定稳定性， 可以估计
“正面朝上”的概率是 ；
③若再做随机抛郑该纪念币的试验， 则当抛掷次数为3000时， 出现“正面朝上”的次数不一定是1558
次；
其中推断合理的序号是________．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）.
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法正确的是（ ）
A．连续抛一枚均匀硬币2次有可能一次正面朝上，2次正面朝上，0次正面朝上
B．连续抛一枚均匀硬币10次，有可能正面都朝上
C．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上的次数不确定；
D．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，
3．在一个不透明的盒子中装有 个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有 个白球，每次试验
前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中．大量重复上述试验后发现，摸到白球
的频率稳定在 ，那么可以推算出 大约是（ ）
A．10 B．14 C．16 D．40
4．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他
采取了以下办法:用一个长为 ，宽为 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形
区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），
他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（
）A． B． C． D．
5．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1904 2850
0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.952 0.950
发芽的频率
下面有三个推断：
①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大
豆发芽的概率是0.95；
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．
其中推断合理的是（ ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
6．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小
区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝ ；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
则可以估计π的值为（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
7．在相同的条件下做重复试验，若事件A发生的概率是5%，则下列陈述（1）做100次这种试验，事件
A必发生5次；（2）大量反复做这种试验，事件A平均每100次发生5次；（3）做100次这种试验，事
件A不可能发生6次，其中正确的是_________．（填序号）
8．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了 次，其中有 次
摸到黑球，已知口袋中仅有黑球 个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有
___个白球．
9．对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为_____．
10．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表
300
抛掷次数 50 100 500 800 1500 5000
0
杯口朝上的频
0.1 0.15 0.2 0.21 0.22 0.22 0.22
率
根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________．
11．有两个正方体的积木，如图所示：
下面是淘气掷200次积木的情况统计表：
灰色的面朝上 白色的面朝上
32次 168次根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__．
12．“六一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客
购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是
⋅
该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假
如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的
次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒.中正确的是_____
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数
68 108 140 355 560 690
m
落在“铅笔”区域的频率
0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
三、解答题
13．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形
内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下：
掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次
石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93
石子落在阴影内的次数n 19 85 186
（1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值．
（2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积．
14．某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统
计，并把获得的数据记录在下表中．
柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500
损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05… 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102
柑橘损坏的频率 （精确到0.001）
(1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）；
(2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______．
A．99.32kg B．203.45kg C．486.76kg D．894.82kg
(3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400
元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
15．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将
球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数
据：
摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000
摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013
摸到黑球的频率
0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013
(1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）；
(2)试估计袋子中有黑球 个；
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋
子中增加相同的白球 个或减少黑球 个．
16．苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒
山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（ ） 成活数（ ） 移植棵数（ ） 成活数（ ）
成活率（ ） 成活率（ ）
50 47 0.940 1500 1335 0.890
270 235 0.870 3500 3203 0.915
400 369 0.923 7000 6335
750 662 0.883 14000 12628 0.902
根据以上信息，回答下列问题：
(1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是________，那么成活率 是________
(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活
的概率是________
(3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活________；
(4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论正确吗？说明理由．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2020·江苏徐州·中考真题）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 个，这些球除颜色外都相
同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．2．（2019·海南·中考真题）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明
到达该路口时，遇到绿灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2013·山东青岛·中考真题）一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允
许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋
里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次
摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（ ）
A．45 B．48 C．50 D．55
4．（2015·福建南平·中考真题）在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将
盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率
稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．14
5．（2019·江苏泰州·中考真题）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）A．20 B．300 C．500 D．800
6．（2017·北京·中考真题）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉
尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
二、填空题
7．（2022·辽宁·中考真题）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共8个，这些球除颜色外都相同，将口
袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100
次球，发现有75次摸到红球，则口袋中红球的个数约为___________．
8．（2022·广西桂林·中考真题）当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊
（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均
匀的硬币，正面朝上的概率是 _____．
9．（2022·四川自贡·中考真题）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100
条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池
（填甲或乙）
10．（2021·湖北宜昌·中考真题）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几
十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再
把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关
系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）．
11．（2020·广西·中考真题）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
射击次数
“射中 环以上”的次数
“射中 环以上”的频率(结果
保留小数点后两位)
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是_______(结果保留小数点后一
位)．
12．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）公司以3元/ 的成本价购进 柑橘，并希望出售这些柑橘
能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确
定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计
柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确
到0.1），可获得12000元利润．
柑橘总质量 损坏柑橘质量
柑橘损坏的频率 （精确到0.001）
… … …
250 24.75 0.099
300 30.93 0.103
350 35.12 0.100
450 44.54 0.099
500 50.62 0.101三、解答题
13．（2021·湖南长沙·中考真题）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸
引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除
颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统
计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
14．（2020·重庆·中考真题）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共
800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生统计这部分学生的竞
赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a=_____，b=____，c=____．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩达到9分及以上的人数；
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩谁更优异．
15．（2019·江苏盐城·中考真题）某公司其有 名销售人员，为了解该公司销售人员某季度商品销售情
况，随机抽取部分销售人员该季度的销售数量，并把所得数据整理后绘制成如下统计图表进行分析．
频率分布表
销售数量
组别 频数 频率
（件）
A
B
C
D
E
合计请根据以上信息，解决下列问题：
（1）频数分布表中， ________、 ________：
（2）补全频数分布直方图；
（3）如果该季度销量不低于 件的销售人员将被评为“优秀员工”，试估计该季度被评为“优秀员工”
的人数．
