2025从化区中考二模数学试题（参考答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_2025中考二模

2025 年初中毕业班综合测试(二)
九年级数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个
是正确的．）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D B C C B A A D
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11 12 13 14 15 16
x=3 0.764 2025 ②③④
8 3
3 2 4  −
3
16题评分细则：对一个得1分，选错一个不得分.
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（满分4分）解方程组： ．
2  +  =7
① 2  −3  =3
解： ，
②
2  +  =7
①﹣②得2：  −
4y
3＝ 
4
=，3即y＝1，………………2分
将y＝1代入①得：x＝3，………………3分
则方程组的解为 ．………………4分 (其他方法参照评分标准给分）
=3
18．（满分4分）如  图=81，AB∥DE，BFA ECD，AF＝DC．
求证：四边形ABDE是平行四边形．
证明：∵AB∥DE
∴BAF EDC ………………1分
BAF EDC
 图8
在△ABF和△EDC中， AF  DC ，


BFA ECD
△ABF≌△EDC，………………2分
∴AB=DE，………………3分
四边形ABDE是平行四边形．………………4分
(其他方法参照评分标准给分）
11 1 a2 2abb2
19.（满分6分）已知H=(  ) （a b  0）.
b a 2ab
①化简H；
②若数轴上点A、B表示的数分别为a、b，且AB=4，求H的值.
解：①H＝( − )÷ ………………1分
2 2
1 1  −2   + 
2  
= · ………………2分
−  2  
2
(  −  )
= ；………………3分
2
②∵  −数  轴上点A、B表示的数分别为a,b,且AB=4，
∴a-b=-4或4，………………4分
当a-b=-4时，H＝ ＝− ；………………5分
2 1
−4 2
当a-b=-4时，H＝ ＝ ；………………6分 ∴H的值为± ．
2 1 1
20.（满分6分）某市今年中4考2理化实验操作考试，采用学生抽签方式决定2 自己的考试内容，规定：
每位考生必须在三个物理实验（用A、B、C表示）和三个化学实验（用D、E、F 表示）中各抽取
一个进行考试，小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
（1）小刚抽到物理实验A的概率是______．
（2）用“列表法”或“画树状图法”求小刚抽到物理实验B和化学实验F （记作事件M ）的概率是
多少?
（1）解：因为每位考生必须在三个物理实验A,B,C 中抽取一个进行考试，
1
P
所以小刚抽到物理实验A的概率是 3. ………………1分
（2）解：由题意，画出树状图如下：
………………3分
由图可知，小刚抽取的所有等可能的结果共有9种，其中，小刚抽到物理实验B和化学实验F的结果
有1：（ B，F ) ………………5分
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F 的概率是P(M)= ………………6分
1
21.（满分8分）在数学综合与实践活动课上，老师组织9同学们开展以“测量小树的高度”为主题的探
究活动．
【小组1】查阅学校资料得知树前的教学楼 高度为24米，如图1，某一时刻测得小树 、教学楼
在同一时刻阳光下的投影长分别是 米， 米．

【小组2】借助皮尺和测角仪，如图2，已知测角仪离地面的高度 米，在 处测得小树顶部的
=2.5   =15
仰角 ，测角仪到树的水平距离 米．
ℎ=1.6 
=37°  =3.2
2图9-1
图9-2
（1）请根据小组1的数据求小树 的高度；
（2）请根据小组2的数据求小树   的高度（结果保留整数， ， ）．
解：（1）根据题意可知， ， ………………1分
sin37°≈ 0.6    37°≈0.75
△，…   …  …∽△……   …  2分

∴   =  
， ………………3分
2.5
∴ 24 = 15，………………4分
即小树 高是4米．
∴   =4
（2）如图，在 中，

∵ ………………5分
Rt△   
，………………6分
=       =     37°
∴ 米．………………7分
≈3.2×0.75 ≈ 2.4
∴小树 高约为4米．………………8分
=   +   =   +ℎ=2.4+1.6=4
22．（本小题10

分

）如图10，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是 BC 的中点，连接AD．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．
①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
②若DF＝DA， ， 则 的长．
解：（1）如图  ，  直=线2l即为

所

求．………………2分
（2）①如图，连接OD交BC于点G，
∵AB是O的直径，∴ACB90．………………3分
∵EF  AC，∴CED 90．
∵D是 BC 的中点，∴OD  BC，………………4分
∴四边形CEDG 是矩形，………………5分
∴ODE 90，OD  EF ，
又∵OD是O的半径，∴直线EF与O相切；………………6分
②∵D是 BC 的中点，∴BADCAD．
∵DF DA，∴AFDBAD，
3∴AFDBADCAD，………………7分
由（1）得 FE  AE
∴AFDBADCAD30，BAC60，………………8分
又∵OC=OA， ∴△COA是等边三角形，∴COA60o………………9分
在 Rt∆BCA中，∵COA60o，AC=2，∴CBA30o,∴AB=4
602 2
∴OAOB2，∴ 的长为∶  ．………………10分
180 3
AC
23．（满分10分）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情
境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分
析，发现L 的长度ycm和重物B的质量xN之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
2
x/N … 10 16 20 25 40 50 …
y/cm … 8 5 4 3.2 2 1.6 …
（1）在图11中描出表中数据对应的点（x,y）；
k
（2）根据表中数据，从yaxb(a0)和y (k 0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映重物
x
B的质量为xN和L 的长度为ycm的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
2
（3）在（2）的条件下，若点A的坐标为20,0，点B的坐标为0,2，在（2）中所求函数的图象上
存在点C，使得S 40，请求出所有满足条件的点C的坐标．
ABC
（1）解：如图所示：………………3分（一个点0.5分）
（2）解：∵10×8=16×5=20×4= ⋯ =80， ………………4分
k
∴选择函数y (k 0)近似地反映重物B的质量为xN和L 的长度
x 2
为ycm的函数关系，
将点（10,8）代入得：k=10×8=80 ………………5分
80
∴y关于x的函数解析式为y ；………………6分
x
 80
（3）解：如图，由题意，设Ca,  ，
 a 
4∵点A的坐标为20,0，点B的坐标为0,2，………………7分
1 1 80 1 800
 2a 20  220 a 20
S  S S S
∴ ABC OBC OAC OAB 2 2 a 2 a ,………………8分
800
由 a 2040 得a2 60a8000，
a
解得a 20，a 40，………………9分
1 2
经检验，a 20，a 40是所列方程的解，
1 2
80 80 80 80
当a 20时，  4，当a 40时，  2，
1 a 20 2 a 40
图1
∴经检验，点C的坐标（20，4）或（40，2）．………………10分．
24.（满分12分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点（不与点B，C重合），连接AE，
将AE绕点E在平面内按顺时针方向旋转90至EF 位置，连接AF ，交CD于点G．
（1）求证： ABE∽△ECO．
（2）过点E△作EP AF于点P，其延长线交AD于点Q．
①连接DP，求证：DP平分ADC；
CG PQ
②当 n时，求 的值．
DG PE
（1）证明：∵正方形ABCD，∴C D90，
∵将AE绕点E在平面内按顺时针方向旋转90至EF 位置，
∴∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠BEA=∠CEO+∠BEA=90°,
∴∠BAE=∠CEO, ………………2分
∴ ABE∽△ECO．………………3分
(2)①如图，过点E作EP AF于点P，过点P作HK  AD于点H，交BC于点K,过点P作PM CD
△
于点M ，则∠ ，∠ ∠ ．
∵在正方   形  =AB9C0D° 中，     C=D     90=，90A°DCD，
∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
∴  四  边=形  H  P  M=D和  四   边=形H  K=CD90都° 是矩形，………………5分
∴∠ ∠ ，AD=DC=HK，
=    =90°
由旋转可知：AEF 90，AEAF，且 ∠
=90°
∴ ，
1
∵   E=P2K    =A  P  H PAHAPH 90，
∴EPK PAH ，
∴AHP≌PKE(AAS)，………………7分
5∴AH PK，EK HP，
∵ ， ∴HPHD
∴四边形HPMD是正方形，………………8分
=   +   ,   =   +  
∴HPPM ，∴DP平分ADC，………………9分
CG
n
②当DG 时，即CGnDG，
∴ADCDCGDG(n1)DG，
DG 1
tanDAG 
AD n1
HP 1
tanDAG
∴ AH n1，………………10分
∵在正方形ABCD中，BC∥AD，
PQ HP

∴ PE PK ，………………11分
由①得PK  AH，
PQ HP 1
 
∴ PE AH n1．………………12分
25.（满分12分）已知抛物线 y ax2 5axb  a 0  与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
 7
D1, 
与 y 轴 交于 点 C ， 直线 y kxb 过 点  2 ， 与抛 物 线 交于 B ， C 两 点， 且
1
tanDBA
DAB 90， 2 ．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)求a，b，k的值；
（3）点P是BC下方抛物线上一点，过P作PF //x轴交抛物线于点F，PE  BC交BC于点E，求
5
PF  PE 的最值．
2
b 5a 5
解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x   ………………1分
2a 2a 2
 7
D1, 
（2）∵
 2
，
DAB 90
7
DA
 
∴ 2 ， A 1,0 ………………2分
1
tanDBA
 
∵ 2 ∴AB 7，故 B 6,0 ………………3分
6 7
D1, 
B  6,0   2 y kxb
把 ， 代入函数 得，
 7  1
kb k 
 2  2
  6kb0  b3
， 解得 ， ………………5分
1
a 
把 A  1,0  代入函数 y ax2 5ax3 解得 2………………6分
（3）过P作 PG// y轴交交BC于点G ，则12 ………………7分
1 2
tanDBA sin2sin1
∵ 2 ∴ 5
PE 5
PG   PE
∴在RtPEG中 sin2 2
5
PF  PE  PF PG
∴ 2 ………………8分
1 5
y  x2  x3
由（2）可得：抛物线解析式 2 2
5
x
1 5 1
∵设点P(m, m2  m3)，则点G(m, m3)，对称轴 2
2 2 2
1 1 5 1
PG  m3 m2  m3 m2 3m
PF  2m5
∴ 2 2 2 2 ， ………………9分
5 1 1 11
0m PF PG 52m m2 3m m2 m5
∴当 2时， 2 2 2 ………………10分
5 1 1 15
m6 PF PG 2m5 m2 3m m2 5m5
当2 时， 2 2 2 ………………11分
5
PF  PE
∴ 2 的最大值为7.5 ………………12分
7