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2025 年广东省普通高中学业水平合格性考试
数学仿真模拟试卷 02
一、选择题（本大题共 12 题，每小题 6 分，共计 72 分。每小题列出的四个选
项中只有一项是最符合题目要求的）
1．集合𝐴={0,1,2}，𝐵={―1,0,3}，则𝐴∩𝐵=（ ）
A．{0,1} B．{0} C．{0,1,2} D．{―1,0,1}
【答案】B
【分析】利用交集定义即可求得𝐴∩𝐵.
【详解】𝐴={0,1,2}，𝐵={―1,0,3}，则𝐴∩𝐵={0,1,2}∩{―1,0,3}={0}
故选：B
2．命题“∀𝑥≥0，𝑥2≥0”的否定为（ ）
A．∃𝑥≥0，𝑥2<0 B．∃𝑥<0，𝑥2≥0
C．∀𝑥<0，𝑥2≥0 D．∀𝑥≥0，𝑥2<0
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定得解.
【详解】根据全称命题的否定可知，
∀𝑥≥0，𝑥2≥0的否定为∃𝑥≥0，𝑥2<0，
故选：A
3．已知复数𝑧=2+3i，则|𝑧―1|=（ ）
A． 10 B． 13 C．2 D．4
【答案】A
【分析】计算出𝑧―1后结合模长定义即可得.
【详解】𝑧―1=1+3i，则|𝑧―1|= 12+32= 10.
故选：A.
4．不等式𝑥2―𝑥―2<0的解集是（ ）
A．{𝑥|―1<𝑥<2 } B．{𝑥|𝑥<―1 或𝑥>2}
C．{𝑥|𝑥<―2 或𝑥>1} D．{𝑥|―2<𝑥<1 }
【答案】A
【分析】直接解出一元二次不等式即可.
【详解】𝑥2―𝑥―2<0，解得―1<𝑥<2，
则其解集为{𝑥|―1<𝑥<2 }.
故选：A.
5．下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( )A．y=x 1 2 B．y=( 1 3 )x C．y=log 0.5 x D．y= 3 x
【答案】A
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
1
对于A，y=x2= x，在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；
对于B，y=( 1 )x，为指数函数，在区间(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
3
对于C，y=log x，为对数函数，在区间(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
0.5
3
对于D，y= 为反比例函数，在区间(0,+∞)上单调递减，不符合题意；
x
故选A．
【点睛】本题考查函数单调性的判断，属于基础题．
6．已知角𝛼的顶点为坐标原点，始边与𝑥轴的非负半轴重合，终边经过点𝑃(―1, 3)，则cos
𝛼=（ ）
A．―1 B． 3 C．― 1 D． 3
2 2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求值即可.
【详解】角𝛼的终边经过点𝑃(―1, 3)，显然𝑟=|𝑂𝑃|= (―1)2+( 3) 2 =2（𝑂为坐标原
点），
1 1
所以cos𝛼= =― .
𝑟 2
故选：C
7．为了得到函数𝑦=cos 𝑥+ π 的图象，只需将函数𝑦=cos𝑥的图象上所有的点（ ）
6
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
6 7
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
8 9
【答案】A
【分析】根据图象平移规律可得答案.
【详解】为了得到函数𝑦=cos 𝑥+ π 的图象，
6
π
只需将函数𝑦=cos𝑥的图象上所有的点向左平移 个单位长度.
6
故选：A.
e𝑥―2,𝑥<4
8．已知𝑓(𝑥)= ，则𝑓(𝑓(6))等于（ ）
log (𝑥―1),𝑥≥4
5
1 1
A． B．
5 e
C．1 D．2【答案】B
【分析】根据给定条件，逐次判断代入计算即得.
e𝑥―2,𝑥<4
【详解】函数𝑓(𝑥)= ，则𝑓(6)=log 5=1，
log (𝑥―1),𝑥≥4 5
5
1
所以𝑓(𝑓(6))=𝑓(1)= .
e
故选：B
9．sin80°cos50°―cos80°sin50°=（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．0
2 2 2
【答案】C
【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解；
1
【详解】sin80°cos50°―cos80°sin50°=sin(80°―50°)=sin30°= ，
2
故选：C.
10．已知向量 𝑎= ―1，3 ，𝑏= 2，𝑚 ，若 𝑎//𝑏 ，则 𝑚=（ ）
A．―4 B．―6 C．6 D．4
【答案】B
【分析】由向量共线充要条件即可求解.
【详解】由题意知𝑎//𝑏，所以向量共线充要条件可得―𝑚―6=0，所以𝑚=―6 .
故选：B.
11．已知一组数据为：1，1，2，4，5，3，3，2，3，2，则这组数据（ ）
A．中位数为2 B．众数为2 C．70百分位数为3 D．平均数为3
【答案】C
【分析】根据数据的样本的数字特征值的概念分别判断各选项.
【详解】将数据从小到大排列为：1，1，2，2，2，3，3，3，4，5，共10个数，
2 3 5
中位数为 = ，A选项错误，
2 2
出现最多的是2和3，均出现3次，故众数为2和3，B选项错误，
3 3
10×70%=7，故70分位数为 =3，C选项正确，
2
1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 13
平均数为 = ，D选项错误；
10 5
故选：C.
12．已知平面𝛼，𝛽和直线𝑚,𝑛，若𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛼，则“𝑚//𝛽，𝑛//𝛽”是“𝛼//𝛽”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据两者之间的推出关系可判断它们之间的条件关系.【详解】若“𝑚//𝛽，𝑛//𝛽”，则𝛼，𝛽可能相交，故“𝛼//𝛽”不一定成立；
若“𝛼//𝛽”，则由面面平行的性质可得“𝑚//𝛽，𝑛//𝛽”，
故“𝑚//𝛽，𝑛//𝛽”是“𝛼//𝛽”的必要不充分条件，
故选：B.
二、填空题（本题共6小题，每小题6分，共计36分）
13．函数𝑦=sin 4𝑥― 1 的最小正周期为 .
2
π1
【答案】 / π
2 2
【分析】根据周期公式直接求解即可
【详解】𝑦=sin 4𝑥― 1 的最小正周期为 2π = π ，
2 4 2
π
故答案为：
2
14．函数𝑓(𝑥)为定义在𝑅上的偶函数，且𝑓(―3)=20，则𝑓(3)= .
【答案】20
【分析】利用偶函数的性质计算即得.
【详解】函数𝑓(𝑥)为定义在𝑅上的偶函数，且𝑓(―3)=20，
所以𝑓(3)=𝑓(―3)=20.
故答案为：20
2
15．函数𝑓(𝑥)=𝑥+ (𝑥>1)的最小值是 .
𝑥 1
【答案】2 2+1
【分析】利用配凑法、基本不等式解决即可.
2
【详解】由基本不等式可得𝑓(𝑥)=𝑥―1+ +1≥2 2+1(𝑥>1)，等号成立当且仅当
𝑥 1
𝑥=1+ 2，
2
所以函数𝑓(𝑥)=𝑥+ (𝑥>1)的最小值是𝑓(𝑥) =𝑓(1+ 2)=2 2+1.
𝑥 1 min
故答案为：2 2+1.
16．从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是 .
3
【答案】0.3/
10
【分析】列举所有可能的情况求解即可.
【详解】由题意，任取两个数所有可能的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，
(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种情况，
其中两个数都是奇数的情况有(1,3)，(1,5)，(3,5)共3种情况，故两个数都是奇数的概率是
3
.
103
故答案为：
10
17．已知|𝑎|=| 𝑏 |=2，且𝑎⋅𝑏=1，则| 𝑎+𝑏 |= ．
【答案】 10
【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.
【详解】| 𝑎+𝑏 |= 𝑎2+𝑏 2 +2𝑎⋅𝑏= 4+4+2×1= 10,
故答案为： 10
18．已知底面半径相等的圆锥和圆柱的侧面积相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，
则圆锥与圆柱的体积之比为 .
【答案】 3/ 1 3
3 3
【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式可得𝑙=2ℎ=2𝑟，结合圆锥和圆柱体积公式计算即
可求解.
【详解】设圆锥底面半径为𝑟，母线长为𝑙，圆柱高为ℎ，
1
则 𝑙×2π𝑟=2π𝑟ℎ，所以𝑙=2ℎ=2𝑟，
2
所以圆锥与圆柱的体积之比为 1 3 ×π𝑟2 (2𝑟)2 𝑟2 = 3.
π𝑟2×𝑟 3
故答案为： 3
3
三、解答题（本题共4小题，第19,20,21题各10分，第22题12分，共42分，
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．已知△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，𝑎=7,𝑏=8,𝑐=5．
(1)求角𝐴的值；
(2)求sin𝐵的值．
π
【答案】(1) ；
3
(2)4 3.
7
【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可；
（2）结合正弦定理进行求解即可.
【详解】（1）由𝑎=7,𝑏=8,𝑐=5，
则cos𝐴=
𝑏2 𝑐2 𝑎2
=
64 25 49
=
1
，
2𝑏𝑐 2×8×5 2
π
又𝐴∈(0,π)，则𝐴= ；
3
π
（2）由（1）知𝐴= ，又𝑎=7,𝑏=8，
3
𝑎 𝑏
则由正弦定理知， = ，即
sin𝐴 sin𝐵sin𝐵= 𝑏sin𝐴 =8× 2 3 =4 3.
𝑎 7 7
20．已知战士甲射击的命中率为72%，乙射击的命中率为75%．两人的射击互不影响．求：
(1)两人同时击中目标的概率；
(2)目标被击中的概率．
【答案】(1)0.54
(2)0.93
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出两人同时击中目标的概率；
（2）目标被击中的对立事件是两人都没有击中目标，利用对立事件和相互独立事件概率公
式求解即可．
【详解】（1）设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，A、B是互为独立事件．
𝑃(𝐴∩𝐵)=𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵)=0.72×0.75=0.54．
（2）目标被击中的概率𝑃(𝐴∪𝐵)=1―𝑃 𝐴∩𝐵 =1―𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 =1―0.28×0.25=0.93
21．一个服装厂生产风衣，月销售量x（件）与售价p（元/件）之间的关系为
𝑝=160―2𝑥，生产x件的成本𝑅=500+30𝑥（元）（假设生产的风衣可以全部售出）.
(1)当该厂月产量多大时，月利润不少于1300元？
(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)当月产量在20到45件之间（含20件和45件）时，月获利不少于1300元
(2)当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元
【分析】（1）设该厂月获利为𝑦元，则𝑦=(160―2𝑥)𝑥―(500+30𝑥)=―2𝑥2
+130𝑥―500≥1300，解不等式可得答案；
（2）由（1）知，利用配方法求𝑦=―2𝑥2+130𝑥―500的最大值即可.
【详解】（1）设该厂月获利为𝑦，则由题意得𝑦=(160―2𝑥)𝑥―(500+30𝑥)=―2𝑥2
+130𝑥―500，
由𝑦≥1300，得―2𝑥2+130𝑥―500≥1300，
所以𝑥2―65𝑥+900≤0，(𝑥―20)(𝑥―45)≤0，解得20≤𝑥≤45，
所以当月产量在20到45件之间（含20件和45件）时，月获利不少于1300元.
2
（2）由（1）知𝑦=―2𝑥2+130𝑥―500=―2 𝑥― 65 +1612.5，
2
因为𝑥为正整数，
所以𝑥=32或33时，𝑦取得最大值为1612元，
所以当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.
𝜋
22．如图，四棱锥𝑃―𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐷𝐴𝐵= ，Δ𝐴𝐷𝑃为等边三角
3
形.（Ⅰ）求证：𝐴𝐷⊥𝑃𝐵；
（Ⅱ）若𝐴𝐵=2，𝐵𝑃= 6，求直线𝑃𝐵与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角.
𝜋
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） .
4
【分析】（Ⅰ）取𝐴𝐷中点E，连结𝑃𝐸，𝐵𝐸，由已知可得𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，又
𝑃𝐸∩𝐵𝐸=𝐸，即可证𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐸𝐵，从而可得𝑃𝐵⊥𝐴𝐷．
（Ⅱ）先证明𝑃𝐸⊥𝐸𝐵，可得𝑃𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，由线面角定义即可知∠𝑃𝐵𝐸即为所求．
𝜋
【详解】（Ⅰ）因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，且∠𝐵𝐴𝐷=
3
所以△𝐴𝐷𝐵为等边三角形．
取线段𝐴𝐷的中点𝐸,连接𝐵𝐸、𝑃𝐸，
则𝐵𝐸⊥𝐴𝐷.
又因为△𝑃𝐴𝐷为等边三角形，所以𝑃𝐸⊥𝐴𝐷．
因为𝑃𝐸⊂平面𝑃𝐵𝐸，𝐵𝐸⊂平面𝑃𝐵𝐸，且𝑃𝐸∩𝐵𝐸=𝐸，
所以直线𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐵𝐸，
又因为𝑃𝐵⊂面𝑃𝐵𝐸，所以𝐴𝐷⊥𝑃𝐵．
（Ⅱ）因为△𝑃𝐴𝐷,△𝐵𝐴𝐷为等边三角形，且其边长为2，所以𝑃𝐸=𝐵𝐸= 3，
又𝑃𝐵= 6，所以𝑃𝐸2+𝐵𝐸2=𝑃𝐵2，所以𝑃𝐸⊥𝐸𝐵.
因为𝑃𝐸⊥𝐴𝐷,𝐴𝐷∩𝐵𝐸=𝐸，
所以𝑃𝐸⊥面𝐴𝐵𝐶𝐷，
所以∠𝑃𝐵𝐸为直线𝑃𝐵与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角.
𝜋
在直角△𝑃𝐵𝐸中，𝑃𝐸=𝐵𝐸，所以∠𝑃𝐵𝐸=
4
𝜋
故直线𝑃𝐵和平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为 .
4
