2025《初中数学•题型方法全归纳》397种_初中全科目同步习题+精品试卷（7-9年级）(1)_25秋初中数学《同步习题+精品试卷》_初中数学人教版试卷_初中数学人教版7-9年级上册

视频讲解・精髓提炼
题归一
I ILUIYI
初中数学
题型方法领多
（适用初一、初二、初三）
陈吉刘云龙编著
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种题型和方法
中国广搐易视出版社视频讲解•精髓提炼
一初中数学一
题型方法殁纲
陈吉刘云龙编著
种题型和方法
中国广播蜀和出版社图书在版编目（CIP）数据
初中数学题型方法全归纳/陈吉编著；刘云龙编著.北京：中国广播影视出版社,
2024. 7. —ISBN 978-7-5043-9242-8
I . G634. 603
中国国家版本馆CIP数据核字第2024J2M628号
初中数学题型方法全归纳
陈吉刘云龙编著
责任编辑王萱彭蕙
责任校对马延郡
封面设计陈吉刘云龙
出版 发 行 中国广播影视出版社
电 话 010-86093580 010-86093583
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刷 陕西五色鸟印务有限公司
开 本 710毫米x 1000毫米 1/16
字 数 280（千）字
印 张 21.75
版 次
2024年7月第1版2024年7月第1次印刷
书 号 ISBN 978-7-5043-9242-8
定 价198.00元
（版权所有翻印必究-印装有误负责调换）编委会名单
■主编：陈吉
从事初高中数学教学多年，热爱数学，踏实钻研，
善于归纳总结题型方法，帮助学生快速找到解题突破口
能够发现学生问题，帮助学生找到正确的学习方式.
■主编：刘云龙
2011年至今从事初高中数学教学13年
所教学生超千人，为长沙四大名校输送了大量尖子生
积累了各类题型大招和解题套路，特别是对函数类压轴题颇有研究
帮助孩子找到方向和方法，在短时间内提升数学成绩，自此爱上数学
■副主编：张思宇
抖音ID： 4240705
从事初中数学教育十余年，
善于归纳总结题型方法，帮助孩子构建知识体系，从知识点快速过渡
到做题。
帮助数百名数学困难生逆袭！
■副主编：吴松青
中小学数学高级教师
曾担任全国初中数学奥林匹克数学竞赛优秀辅导员
《中学生数理化》特约编辑
《中考冲刺专题突破——三维冲刺》副主编
“挑战中考压轴题名师团”首席讲师
从事初中数学教学20年，致力于研究初中数学教学及中考命题
令■副主编：王顺
王顺，曾就职于某大型培训机构担任学科教学总监，校长.
多年从事中学数学教学工作，辅导学生多次斩获中考数学单科满分，
在多年的教学实践中形成自己独特的教学风格,深受广大学生及家长的
青睐和喜爱.
令
■副主编：王^
多家培训机构数学讲师，主讲初高中数学，中高考升学讲座以及志愿
填报技巧.
专注于中高考重难点研究，致力于突破创新压轴题.
讲课时善于从题目的根源上进行切入，秉承高观点，低运算，
凭借着幽默风趣的上课风格，让学生迅速喜欢数学.
■副主编：罗传奇
2013年至今从事数学教学十余年，原机构教学总监，
工作内容包括初高中数学教学，主讲各类升学家长讲座，培训新手教师,
2021年从事线上教育，学子数千名，结识全国各地优秀同行老师，
所作课程讲义深受老师喜欢，全网年畅销数万册教辅《高考数学大招集
锦》副主编、《高考数学满分突破》二轮编委、《题型高手》主编，著名数
学团队DZT成员.
全
■蒋亮
抖音ID： jianglaoshimath
从事初高中教学5年有余，教学时长3000 +小时
擅长归纳总结，自编《蒋老师手写笔记》
《题型高手》第一册编委
每年成功提分学生人数达百余名，在盐城深受家长和学生的信赖
守
■鲁萍
从事初中数学教学18年，多年担任初三数学备课组组长
在省级及以上学术刊物发表多篇论文，多次参与省、市级课题研究
注重培养学生思维的提升，深受学生、家长青睐电鸣语0
其实，学好数学并不难，就分两步：一是学习基础知识；二是应用基础知识去做题.基础知识相
当于工具，做题就相当于利用工具去干活.
在多年教学过程中，我们发现大部分同学在做题的时候不善于归纳总结，导致即使做过的题，以
后再遇到相同类型的，还是不会，或者要思考很久才能做出来.所以，我们通过不断的归纳总结，编
写了这本书，目的就是帮助那些不会归纳总结，遇到同类型题目还是不会做的同学.
在这本书里，归纳总结了初中数学397种题型和方法，其中代数专题189种，几何专题124种，
函数专题55种，数据统计和概率专题29种.在学习的时候，一定要注意：我们学习的是题型和方法,
千万不要把这套资料当作练习册使用.
首先，重点学习两方面内容：一是同类型题目的特点；二是对应的解题方法.切忌不要仅停留在
把题目答案看明白.学完以后，去给别人讲一下这个题型和方法，看看别人能不能听明白，直到把别
人讲明白为止，这才说明自己学会了.
其次，学了题型和方法以后，一定要进行刻意练习，也就是用这些题型及方法指导我们做题.看
到题目，先思考它是什么题型，对应的解题思路、方法是什么，然后去做题.看看自己方法使用得正
确与否，应用得熟练与否.
最后，把学过的题型、方法，自己重新整理一下，按照自己对题型、方法的认识进行梳理，可借
鉴这本书，但不要照搬照用，最终要形成一套自己的完整的题型方法系统，再在以后的学习中，不断
更新、完善自己的题型方法系统.
这本书是按照章节排列，不分版本，全国通用.
标注【基础】的题型是指紧扣课本知识点，必须要掌握的题型.
标注【培优】的题型是指高于课本，不属于超纲知识，但中考会考到的有一定难度的内容.
标注【拓展】的题型是指课本中没有，中考大概率不会考到的内容（根据当地中考考情而定）.
希望本书能对学生学好数学有所帮助.
另外，本书在编写过程中，得到了很多同行和家长的帮助，帮助我们纠错、改错，也提出了一些
新想法、新思路.在此，特向大家表示诚挚的谢意.
能力有限，不足之处，敬请专家、读者的批评指正.
2024年3月12日目录
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代数专题篇*----------------------
第一章有理数............................................................................ 2
题型方法1：正数、负数和0【基础】....................................................2
题型方法2：对有理数进行分类【基础】 ..................................................2
题型方法3：数轴的概念【基础】........................................................4
题型方法4：求一个数的相反数【基础】 ..................................................5
题型方法5：求一个数的绝对值【基础】 ..................................................6
题型方法6：有理数加减计算【基础】 ................................................... 6
题型方法7：有理数乘除计算【基础】 ....................................................8
题型方法8：乘方计算【基础】 ......................................................... 9
题型方法9：有理数混合计算【基础】 ...................................................10
题型方法10：科学记数法【基础】......................................................12
题型方法11：近似数【基础】 .......................................................... 13
题型方法12：根据定义求值【基础】 ....................................................14
题型方法13：分组求和【培优】 ........................................................ 15
题型方法14：连锁约分【培优】 ........................................................ 15
题型方法15：裂项相消【培优】 ........................................................ 16
题型方法16：整体换元【培优】 ........................................................ 17
题型方法17：等差数列——倒序相加法【培优】......................................... 18
题型方法18：等比数列——错位相减法【培优】 .........................................18
题型方法19：绝对值化简【基础】 ......................................................19
题型方法20：已知绝对值反求参数【基础】 .............................................20
题型方法21：绝对值非负性应用【基础】 ................................................20
题型方法22：数轴与绝对值结合【基础】................................................21
题型方法23：绝对值的分类讨论问题【培优】 ........................................... 22
题型方法24：绝对值有关最值问题【培优】 ............................................. 24
题型方法25：数轴上的图形滚动问题【培优】 ...........................................26
题型方法26：数轴上点左右跳动问题【培优】 ........................................... 27
第二章整式及其加减计算.................................................................30
题型方法1：代数式书写规范【基础】 ...................................................30
题型方法2：整式的概念【基础】 .......................................................31
题型方法3：同类项的概念【基础】 .....................................................32
题型方法4：合并同类项【基础】 .......................................................33题型方法5：去括号与添括号【基础】 .................................................. 33
题型方法6：整式的加减【基础】 ...................................................... 35
题型方法7：整式化简求值【基础】 .................................................... 36
题型方法8：代数式求值——整体代入法【培优】 ........................................36
题型方法9：代数式求值——赋值法【培优】 ............................................38
题型方法10：定义新运算【培优】 ......................................................39
题型方法11：不含某项求参数【培优】 ..................................................40
题型方法12：周期规律【培优】........................................................41
题型方法13：数式排列规律【培优】 ....................................................42
题型方法14：数图排列规律【培优】 ....................................................43
题型方法15：三角形数阵中的排列规律【培优】 .........................................45
题型方法16：长方形数阵中的排列规律【培优】 .........................................46
第三章一元一次方程..................................................................... 49
题型方法1：方程的有关概念【基础】 ...................................................49
题型方法2： 一元一次方程的有关概念【基础】 .......................................... 49
题型方法3：根据一元一次方程定义求参【基础】 ........................................ 50
题型方法4：等式的性质【基础】 .......................................................51
题型方法5： 一元一次方程的解法【基础】 ...............................................52
题型方法6：含绝对值的一元一次方程【培优】 .......................................... 54
题型方法7：含参数的一元一次方程【培优】............................................ 55
题型方法8：形如AB=0的方程【培优】 .................................................56
题型方法9：整数解方程【培优】 .......................................................57
题型方法10：同解方程【培优】........................................................58
题型方法11：数轴动点问题【培优】 ....................................................59
题型方法12：和、差、倍、分问题【基础】 ............................................. 65
题型方法13：年龄问题【基础】 ........................................................66
题型方法14：行程问题【基础】........................................................67
题型方法15：工程问题【基础】........................................................70
题型方法16：调配问题【基础】 ........................................................72
题型方法17：利润问题【基础】 ........................................................73
题型方法18：存贷款问题【基础】 ......................................................74
题型方法19：数字问题【基础】........................................................75
题型方法20：积分问题【基础】 ........................................................76
题型方法21：分段计费问题【基础】....................................................77
第四章实数..............................................................................80
题型方法1：平方根和立方根【基础】 ...................................................80
题型方法2：判断无理数【基础】 .......................................................82题型方法3：无理数的估算【基础】 .....................................................83
题型方法4：求无理数的整数部分和小数部分【基础】 ....................................84
题型方法5：无理数大小比较【基础】 ...................................................84
题型方法6：实数的简单计算【基础】...................................................86
题型方法7：应用平方根的非负性解题【基础】 ..........................................87
题型方法8：有理数和无理数的关系【培优】 ............................................ 88
第五章二元一次方程（组）...............................................................90
题型方法1：判断二元一次方程【基础】 .................................................90
题型方法2：根据定义求参数【基础】 ...................................................91
题型方法3：二元一次方程组解法【基础】 .............................................. 92
题型方法4：二元一次方程整数解问题【基础】 .......................................... 96
题型方法5：三元方程组解法【基础】 ...................................................96
题型方法6：已知方程组解的关系求参数【基础】 ........................................98
题型方法7：同解方程组【培优】 .......................................................99
题型方法8：错解方程组【培优】 ......................................................100
题型方法9：同形方程组【培优】 ......................................................101
题型方法10：二元一次方程组唯一解、无解与无数解问题【培优】........................103
题型方法11：利润问题【基础】....................................................... 104
题型方法12：行程问题【基础】....................................................... 106
题型方法13：数字问题【基础】 .......................................................108
题型方法14：配套问题【基础】 .......................................................109
题型方法15：几何问题【基础】....................................................... 110
题型方法16：分段计费问题【基础】 ...................................................111
第六章 不等式及不等式组................................................................113
题型方法1：不等式的基本性质【基础】 ................................................113
题型方法2：根据一元一次不等式定义求参【基础】 ..................................... 114
题型方法3：解一元一次不等式【基础】 ................................................114
题型方法4： 一元一次不等式整数解【基础】 ............................................115
题型方法5：解一元一次不等式组【基础】 ..............................................116
题型方法6：利用整数解求参数【培优】 ...............................................117
题型方法7：解含参不等式（组）【培优】 ..............................................119
题型方法8：已知不等式（组）的解集求参【培优】 ....................................... 120
题型方法9：已知不等式（组）解在某范围内求参【培优】 .................................121
题型方法10：已知不等式恒成立求参【培优】 .......................................... 122
题型方法H：已知不等式组有解无解求参【培优】 ......................................123
题型方法12：已知方程（组）解的范围求参【培优】...................................... 124
题型方法13：利润问题【基础】 ...................................................... 125
题型方法14：分段计费问题【基础】 .................................................. 126题型方法15：方案设计问题【基础】 .................................................. 129
第七章整式的乘除法................................................................... 131
题型方法1：幕的乘除运算【基础】 ................................................... 131
题型方法2：幕的乘方运算【基础】 ................................................... 132
题型方法3：塞的加减运算【基础】 ................................................... 133
题型方法4：已知暴的值求幕的值【基础】.............................................134
题型方法5：已知募得到字母的关系式【基础】 .........................................135
题型方法6：已知两个幕相等求字母的值【基础】 .......................................135
题型方法7：已知两个塞的值求代数式的值【基础】 .....................................136
题型方法8：比较几个事的大小【基础】 ............................................... 137
题型方法9：整式的乘法【基础】 ..................................................... 138
题型方法10：整式的除法【基础】.................................................... 139
题型方法11：不含某一项求参数【培优】 ..............................................141
题型方法12：恒成立与无关问题【培优】..............................................142
题型方法13：平方差公式【培优】 .................................................... 143
题型方法14：完全平方公式【培优】..................................................145
题型方法15：已知完全平方式求参数【培优】 ..........................................146
题型方法16：三元平方公式【扩展】..................................................147
题型方法17：立方和、立方差公式【扩展】 ............................................148
题型方法18：完全立方公式【扩展】 .................................................. 148
题型方法19：乘法公式知二推二【培优】..............................................149
题型方法20：高次型的知二推二【培优】 ..............................................151
题型方法21：倒数型的知二推二【培优】 ..............................................152
题型方法22：知二推二的应用——换元【培优】........................................153
题型方法23：配方法【基础】 ........................................................ 154
题型方法24：配方法求最值【基础】 .................................................. 155
题型方法25：配方法解不定方程【培优】 ..............................................156
题型方法26： 1/2公式配方【扩展】 ................................................... 157
题型方法27：主元法配方【扩展】 .................................................... 158
第八章因式分解........................................................................160
题型方法1：因式分解概念题【基础】 ................................................. 160
题型方法2：提公因式法【基础】 ..................................................... 161
题型方法3：公式法【基础】 ......................................................... 162
题型方法4：十字相乘法【基础】 ..................................................... 165
题型方法5：分组分解法【基础】 ..................................................... 167
题型方法6：换元法【培优】..........................................................168
题型方法7：主元法【扩展】 ......................................................... 170
题型方法8：双十字相乘法【扩展】 ................................................... 171题型方法9：拆添项法【扩展】 ........................................................ 173
题型方法10：试根法【扩展】......................................................... 174
题型方法11：待定系数法【扩展】 ..................................................... 176
第九章分式及分式方程.................................................................. 178
题型方法1：判断是否为分式【基础】 ..................................................178
题型方法2：分式有意义求字母范围【基础】 ............................................178
题型方法3：分式值为0求字母的取值【基础】 .........................................179
题型方法4：分式恒等变形【基础】 ....................................................180
题型方法5：把分式最高次符号化正【基础】 ............................................181
题型方法6：分式的约分【基础】 ......................................................182
题型方法7：分式的通分【基础】 ......................................................183
题型方法8：字母扩大倍数求分式值的变化【基础】 ..................................... 184
题型方法9：根据已知式子（字母未知）求分式的值【基础】 ............................ 184
题型方法10：分式的乘除运算【基础】 ................................................ 185
题型方法11：分式的加减运算【基础】 .................................................186
题型方法12：分式的混合运算【基础】 ................................................ 188
题型方法13：分式化简求值【基础】 .................................................. 189
题型方法14：解分式方程【基础】 .................................................... 190
题型方法15：已知分式方程有增根求参【培优】 ........................................ 191
题型方法16：已知分式方程无解求参【培优】..........................................192
题型方法17：已知分式方程根的范围求参【培优】...................................... 194
题型方法18：分式方程应用题【培优】 ................................................195
第十章二次根式........................................................................ 198
题型方法1：判断是否为二次根式【基础】 ..............................................198
题型方法2：二次根式有意义的条件【基础】............................................198
题型方法3：二次根式的性质与化简【基础】 ........................................... 199
题型方法4：分母有理化【基础】 ......................................................200
题型方法5：二次根式的乘除法【基础】............................................... 201
题型方法6：二次根式的加减法【基础】 ............................................... 203
题型方法7：二次根式的四则运算【基础】 ............................................. 204
题型方法8：分母有理化+知二推二【培优】 ........................................... 206
题型方法9：已知字母的值求代数式的值【培优】.......................................207
题型方法10：无理数求和的裂项相消【培优】 .......................................... 208
题型方法11：二次根式的大小比较【培优】 ............................................ 209
题型方法12：二次根式的配方【培优】................................................ 210
题型方法13：双重二次根式的化简【培优】 ...........................................211
第十一章一元二次方程..................................................................214
题型方法1：判断一元二次方程【基础】 ............................................... 214题型方法2：根据一元二次方程定义求参【基础】 .......................................215
题型方法3： 一元二次方程的解法【基础】.............................................215
题型方法4：高次方程【扩展】 ........................................................220
题型方法5：分式方程【扩展】 ........................................................221
题型方法6：绝对值方程【扩展】......................................................223
题型方法7：根式方程【扩展】 ........................................................224
题型方法8：依据判别式判断根的情况【基础】 ........ 225
题型方法9：依据根的情况求参数【基础】............................................. 226
题型方法10：利用韦达定理求参或求代数式值【培优】..................................227
题型方法11： 一元二次方程的公共解问题【培优】......................................229
题型方法12： 一元二次方程的整数解问题【培优】 ......................................230
题型方法13：利用根的定义构造一元二次方程【培优】..................................232
题型方法14：利用根系关系构造一元二次方程【培优】..................................233
题型方法15：两两碰面问题【基础】 ...................................................234
题型方法16：病毒传播问题【基础】 ...................................................235
题型方法17：增长率问题【基础】 .....................................................236
题型方法18：销售问题【基础】 .......................................................238
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几何专题篇
第一章几何初步........................................................................ 242
题型方法1：几何体的展开图【基础】 ..................................................242
题型方法2：求正方体的相对面【基础】 ............................................... 243
题型方法3：判断展开图标记物的位置【基础】 .........................................244
题型方法4：点个数及线条数的计算问题【基础】.......................................245
题型方法5：线段中点计算问题【基础】 ............................................... 246
题型方法6：线段双中点模型【基础】 ................................................. 249
题型方法7：线段成比例问题【基础】 ................................................. 250
题型方法8：车票种类问题【基础】 ....................................................251
题型方法9：双角平分线模型【基础】................................................. 252
题型方法10：钟面上的角度问题【基础】.............................................. 254
题型方法11：转角问题【培优】.......................................................255
题型方法12：角度换算问题【基础】 ...................................................259
第二章 相交线和平行线..................................................................262
题型方法1：交叉图形中的角度计算【基础】 ........................................... 262
题型方法2：垂线段最短的应用【基础】............................................... 264
题型方法3：识别同位角、内错角、同旁内角【基础】 .................................. 265
题型方法4：平移【基础】 ............................................................266题型方法5：平移转化【基础】 ........................................................268
题型方法6：平行线中的辅助线作法【培优】 ........................................... 269
题型方法7：猪蹄模型【培优】 ........................................................271
题型方法8：铅笔模型【培优】 ........................................................272
题型方法9：内外勾模型【培优】......................................................274
题型方法10：等积变换模型【培优】 .................................................. 275
题型方法11：两三角板摆放问题【培优】 ...............................................277
第三章三角形.......................................................................... 281
题型方法1：三角形稳定性的应用【基础】 ............................................. 281
题型方法2：三角形三边关系【基础】 ..................................................282
题型方法3：三角形中的角度计算【基础】 ............................................. 283
题型方法4：三角形的高、中线与角平分线【基础】 .....................................284
题型方法5： “8”字模型【培优】 ....................................................... 288
题型方法6：飞镖模型【培优】 ........................................................289
题型方法7： A字模型【培优】 ........................................................290
题型方法8：角平分线模型【培优】 ....................................................291
题型方法9：老鹰抓小鸡模型【培优】..................................................293
题型方法10：边的大小关系证明【培优】 .............................................. 295
题型方法11：面积比问题【培优】 .....................................................297
题型方法12：等面积法【培优】 .......................................................299
第四章全等三角形...................................................................... 300
题型方法1：全等三角形性质【基础】 ..................................................300
题型方法2：全等三角形判定【基础】 ..................................................302
题型方法3：辅助线的意义【基础】 ....................................................305
题型方法4：倍长（类）中线【培优】 .................................................... 307
题型方法5：截长补短法【培优】 ......................................................309
题型方法6：角平分线+垂一边【培优】................................................313
题型方法7：角平分线+截线【培优】..................................................314
题型方法8：角平分线+分垂线【培优】................................................316
题型方法9：角平分线+平行线【培优】................................................318
题型方法10：二倍角的处理【培优】 ...................................................320
题型方法11： K型全等（一线三垂直）【培优】 ........................................ 324
题型方法12：手拉手模型【培优】 .....................................................326
题型方法13：婆罗摩笈多【培优】 .....................................................329
题型方法14：脚拉脚模型【培优】 .....................................................331
题型方法15：等邻边对角互补模型【培优】 ............................................ 333
题型方法16：半角模型【培优】.......................................................338
第五章轴对称.......................................................................... 344题型方法1：判断轴对称图形【基础】 ..................................................344
题型方法2：轴对称的应用【基础】 ....................................................345
题型方法3：等腰三角形的分类讨论问题【基础】 .......................................347
题型方法4：垂直平分线【基础】 ......................................................348
题型方法5：将军饮马模型【培优】 ....................................................350
题型方法6：逆等线段问题【培优】 ....................................................362
题型方法7：三动点问题【培优】......................................................364
第六章 勾股定理........................................................................ 366
题型方法1：两个特殊的直角三角形【基础】 ........................................... 366
题型方法2：遇见30。、45。、60。角时，作垂直构造直角三角形【培优】 ...................368
题型方法3：遇见15。、22.5。角时，利用外角构造二倍角【培优】 .........................369
题型方法4：遇见75。，105。角时，过顶点作垂直【培优】 ................................370
题型方法5：遇见120。，135。，150。角时，找邻补角【培优】 ............................ 371
题型方法6：解直角三角形【培优】 ....................................................373
题型方法7：格点问题【培优】 ........................................................376
题型方法8：蚂蚁爬行路径【培优】 ....................................................378
题型方法9：直角三角形翻折问题【培优】............................................. 380
题型方法10：矩形翻折问题【培优】 ...................................................382
题型方法11：赵爽弦图【培优】 .......................................................384
第七章 平行四边形......................................................................386
题型方法1：平行四边形的性质【基础】 ............................................... 386
题型方法2：平行四边形的判定【基础】 ............................................... 389
题型方法3：矩形的性质【基础】 ......................................................391
题型方法4：矩形的判定【基础】 ......................................................393
题型方法5：菱形的性质【基础】 ......................................................395
题型方法6：菱形的判定【基础】 ......................................................397
题型方法7：正方形的性质【基础】 ....................................................400
题型方法8：正方形的判定【基础】 ....................................................402
题型方法9：中点四边形【培优】......................................................404
题型方法10：垂美四边形【培优】 .....................................................407
题型方法11：十字架模型【培优】 .....................................................408
题型方法12：已知多中点，构造中位线【培优】 ........................................410
题型方法13：已知直角三角形，构造斜边中线【培优】..................................413
题型方法14：二倍线段的处理【培优】................................................ 415
题型方法15：不规则图形辅助线【培优】 .............................................. 418
第八章旋转............................................................................ 421
题型方法1：图形旋转的性质【基础】................................................. 421
题型方法2：奔驰模型【培优】 ........................................................422题型方法3：费马点【培优】..........................................................424
第九章圆.............................................................................. 428
题型方法1：弧、弦、圆心角、圆周角的关系【基础】 ...................................428
题型方法2：圆内接四边形【基础】....................................................431
题型方法3：点圆的位置关系【基础】 ..................................................432
题型方法4：直线和圆的位置关系【基础】 ............................................. 433
题型方法5：弧长和扇形面积【基础】 ..................................................434
题型方法6：与圆周角、圆心角有关辅助线【培优】 .....................................436
题型方法7：与垂径定理有关辅助线【培优】........................................... 438
题型方法8：与切线有关辅助线【培优】 ................................................439
题型方法9：隐形圆【培优】..........................................................441
题型方法10：阿基米德折弦定理【扩展】.............................................. 446
题型方法11：西姆松定理【扩展】 .....................................................448
第十章相似三角形......................................................................451
题型方法1：平行线分线段成比例【基础】 ............................................. 451
题型方法2：位似【基础】 ............................................................453
题型方法3： “8”字相似【培优】 .......................................................455
题型方法4： A字相似【培优】 ........................................................456
题型方法5：射影定理【培优】 ........................................................459
题型方法6： 一线三等角【培优】 ......................................................460
题型方法7：角平分线定理【扩展】 ....................................................461
题型方法8：米勒定理（最大视角）【扩展】 ..............................................463
题型方法9：手拉手相似模型【培优】 ..................................................464
题型方法10：圆幕定理【培优】 .......................................................466
题型方法11：阿氏圆问题【培优】.....................................................468
题型方法12：瓜豆原理【培优】 .......................................................471
题型方法13：托勒密定理【扩展】 .....................................................477
题型方法14：托勒密不等式【扩展】 ...................................................479
第十一章锐角三角函数..................................................................481
题型方法1：正弦、余弦、正切【基础】 ............................................... 481
题型方法2：特殊角的三角函数值【基础】 ............................................. 482
题型方法3：解直角三角形【基础】 ....................................................483
题型方法4：解直角三角形实际应用【基础】........................................... 485
题型方法5：胡不归问题【培优】......................................................487
题型方法6： 12345模型【扩展】 ...................................................... 489
题型方法7：探照灯模型（定角定高）【扩展】 .........................................491
第十二章 投影和视图....................................................................493
题型方法1：平行投影【基础】 ........................................................493题型方法2：中心投影【基础】 ....................................................... 495
题型方法3：由几何体判定三视图【基础】 .............................................496
题型方法4：由三视图判定几何体【基础】.............................................498
题型方法5：中心投影与相似【基础】 ..................................................500
---------------------- ♦函数专题篇*----------------------
第一章 平面直角坐标系..................................................................504
题型方法1：象限点的特征【基础】 ....................................................504
题型方法2：坐标轴上点的特征【基础】 ................................................505
题型方法3：点到坐标轴的距离【基础】 ............................................... 505
题型方法4：象限角平分线点的特征【基础】 ........................................... 506
题型方法5：点到特殊直线的距离【基础】.................... ；........................ 507
题型方法6：两点间的距离公式【基础】 ................................................508
题型方法7：中点坐标公式【基础】 ....................................................509
题型方法8：点的平移规律【基础】 ....................................................509
题型方法9：点的对称规律【基础】 ....................................................511
题型方法10：点在坐标系中的移动规律【培优】 ........................................512
第二章一次函数的性质和图象............................................................515
题型方法1：判断关系式是否为函数【基础】........................................... 515
题型方法2：判断图象是否为函数图象【基础】......................................... 516
题型方法3：求自变量的取值范围【基础】............................................. 517
题型方法4：已知正比例函数求参【基础】 ............................................. 518
题型方法5：正比例函数图象和性质【基础】........................................... 519
题型方法6：求正比例函数解析式【基础】 ............................................. 520
题型方法7：已知一次函数求参数【基础】 ............................................. 521
题型方法8： 一次函数图象和性质【基础】 ............................................. 522
题型方法9：求一次函数解析式【基础】 ............................................... 524
题型方法10： 一次函数的图象变换【基础】 ............................................ 525
题型方法11：两个一次函数图象的位置关系【扩展】 ....................................525
题型方法12： 一次函数和方程（组）综合【基础】 ........................................ 526
题型方法13： 一次函数恒过定点问题【培优】.......................................... 528
题型方法14： 一次函数和不等式综合【培优】.......................................... 529
题型方法15： 一次函数中的图形面积问题【培优】......................................531
题型方法16： 一次函数与将军饮马模型【培优】........................................537
题型方法17： 一次函数中的翻折问题【培优】..........................................539
题型方法18：根据函数图象获取信息——分段函数【培优】............................. 541
题型方法19：根据函数图象获取信息——多函数结合【培优】 ........................... 543题型方法20： 一次函数中的方案、决策问题【培优】................................... 545
题型方法21：四边形中的动态问题【培优】 ............................................548
第三章二次函数........................................................................ 552
题型方法1：已知二次函数求参【基础】 ...............................................552
题型方法2：二次函数图象和性质判断【基础】......................................... 553
题型方法3：求二次函数的解析式【基础】 .............................................557
题型方法4：二次函数图象判断【培优】................................................559
题型方法5：二次函数图象变换【基础】 ................................................563
题型方法6：二次函数的区间最值——定轴定区间【培优】...............................565
题型方法7：二次函数的区间最值——动轴定区间【培优】..............................567
题型方法8：二次函数的区间最值一一定轴动区间【培优】 ..............................568
题型方法9：二次函数与x轴交点个数问题【培优】 .................................... 570
题型方法10：二次函数与一次函数交点问题【培优】................................... 572
题型方法11：二次函数与一元二次不等式【培优】 ..................................... 574
题型方法12：二次函数和一元二次方程根的分布问题【培优】...........................576
题型方法13：二次函数中的利润问题【基础】 .......................................... 579
题型方法14：二次函数中的轨迹问题【基础】 .......................................... 581
题型方法15：二次函数中的图形面积问题【基础】 ..................................... 582
题型方法16：二次函数中的函数图象问题【基础】...................................... 584
第四章反比例函数...................................................................... 587
题型方法1：已知反比例函数求参【基础】 ............................................. 587
题型方法2：反比例函数的图象性质【基础】 ........................................... 588
题型方法3：求反比例函数解析式【基础】 ............................................. 591
题型方法4：反比例函数和一次函数图象判断问题【培优】...............................592
题型方法5：反比例函数k的几何意义【培优】 ......................................... 594
题型方法6：反比例函数与方程不等式【培优】 ......................................... 599
题型方法7：反比例函数对称问题【培优】............................................. 601
题型方法8：反比例函数中的平行和相等【培优】 ....................................... 603
----------------*数据统计与概率专题篇*----------------
第一章数据的收集、整理和描述..........................................................607
题型方法1：普查和抽样调查【基础】 ................................................. 607
题型方法2：总体、个体、样本、样本容量【基础】 .....................................608
题型方法3：数据的收集与整理过程【基础】 ........................................... 609
题型方法4：抽样调查的合理性【基础】 ............................................... 610
题型方法5：统计图的选择【基础】 ....................................................611
题型方法6：用样本估计总体【基础】 ................................................. 612题型方法7：频数和频率的计算【基础】 ................................................613
题型方法8：从频数分布直方图获取信息【基础】 .......................................614
题型方法9：从频数分布折线图获取信息【基础】 .......................................616
题型方法10：频数分布表和频率分布直方图【培优】....................................618
第二章数据分析........................................................................ 623
题型方法1：求平均数【基础】 ........................................................623
题型方法2：求加权平均数【基础】 ....................................................624
题型方法3：求中位数和众数【基础】 ..................................................627
题型方法4：从扇形统计图分析数据【基础】 ........................................... 628
题型方法5：从条形统计图分析数据【基础】 ........................................... 629
题型方法6：从折线统计图分析数据【基础】 ........................................... 631
题型方法7：求极差【基础】 ..........................................................633
题型方法8：求方差、标准差【基础】 ..................................................634
题型方法9：方差的意义【基础】 ......................................................635
题型方法10：平均数、中位数、众数、方差的命题判断【基础】 ......................... 637
第三章概率初步........................................................................ 639
题型方法1：判断必然事件【基础】 ....................................................639
题型方法2：判断随机事件【基础】 ....................................................639
题型方法3：判断不可能事件【基础】 ..................................................640
题型方法4：判断事件发生可能性的大小【基础】.......................................641
题型方法5：概率的意义【基础】......................................................642
题型方法6：求随机事件的概率【基础】................................................643
题型方法7：已知概率反求实验数据【基础】 ........................................... 646
题型方法8：几何概型【培优】 ........................................................646
题型方法9：频率估计概率【培优】 ....................................................648代数专题篇海
留题型方法1：正数、负数和0
【题目特征】已知正数或负数的意义，求其他数表示的意义.
【考查知识点】 I
像 8848.3、100、357、78 这样的数是正数；像T54、-38.87、-117.3 > - 0.102%这样的数是;
负数.
0既不是正数，也不是负数.
正数和负数表示具有相反意义的量.
【解题方法】找到反义词，如果正数代表一个意义，那么负数就代表相反意义.
例：若盈余2万元记作+ 2万元，则-2万元表示（ ）
A.盈余2万元 B.亏损2万元
C.亏损-2万元 D.不盈余也不亏损
【解答】解：盈余的反义词为亏损，盈余记为“ + ”，那么亏损记为“ - ，
所以，-2万元表示亏损2万元，
故选：B.
【变式1］如果盈利80元记作+ 80元，那么亏损40元记作 元.
【变式2】如果把“增加16%”记作“16%”，那么“”表示“减少8%”.
【变式3】我国是最早使用负数的国家，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了 “正
负术”.如果盈利20元记作“ + 20元”，那么亏损30元记作（ ）
A. 一30 元 B. 30 元 C. 50 元 D. -50 元
留题型方法2：对有理数进行分类
【题目特征】要求对有理数进行分类.
【考查知识点】有理数的两种分类方式：
’（正整数
整数（零
1 .有理数（按定义分类） （负整数
‘正分数
,负分数
2代数专题・第一章 有理数
正整数
正有理数
,正分数
2 .有理数（按符号分类）（零（零既不是正数，也不是负数）
（负整数
负有理数I负分数
【解题方法】熟记有理数的两种分类方式.
注意:
1 .非负数是指正数和零的总称，即正数和零.
2 .非正数是指负数和零的总称，即负数和零.
3 .非正整数指不是正整数的其他整数，它包括负整数和0・
4.非负整数（同自然数）指不是负整数的其他整数，它包括正整数和0.
5e是无理数.
例：下列四种说法，正确的是（ ）
A.所有的正数都是整数 B.不是正数的数一定是负数
C.正有理数包括整数和分数 D. 0不是最小的有理数
【解答】解：正数3.2并不是整数，所以Z错；0不是正数，但它也不是负数，所以5错；正有理数
应该包括正整数和正分数，所以。错；负数比0小，所以0不是最小的有理数，所以。对.
故选：D.
【变式 】下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（
1 ）
A. -- B. — C. - D. 80%
2 7 2
1 7
【变式2】在数--1, —, 0中，负分数有（ ）
2 7 5
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【变式3】把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）
3 2 1 2
6, -3, 2.4, 一一， 0, -3.14, +2, -3- , -1.414, -17,
4 9 2 3
正数：｛___________________________
非负整数：｛…｝;
整数：｛______________________________
负分数：｛...｝.
【变式4】把下列各数填入相应的括号内.
3
—21, 3.6, —9, —， 0, +27, —6.4, —16%,兀.
5
负数：｛...｝;
非负整数：｛…｝;
正有理数：｛_______________________________
3海
初中数学题型方法全归纳
—>At-
留题型方法3：数轴的概念
【题目特征】根据数轴的定义解题.
【考查知识点】数轴的概念：
L规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
2 .有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上任意一点都表示一个有理数或无理
数.
3 .数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
4 .正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.
【解题方法】理解数轴的概念，利用数轴的概念解题.
例：下列数轴表示正确的是（ ）
A. 3 2 10-1 -2 -3 B. -1-2-3 0 1 2 3
C. -3 -2 -1 1 2 3 D- -3-2-10123
【解答】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，数轴的三要素：正方向、原点、
单位长度.4选项中，正方向为右，那么0的右边依次应该是1, 2, 3…，所以/错；5选项中，0的左
边依次向左应该是-1, -2, -3…，所以5错；C选项没有原点，所以。错.
故选：D.
【变式1】数轴上表示数5的点和原点的距离是（ ）
A. - B. 5 C. -5 D.--
5 5
【变式2】已知人从c三个数在数轴上，对应点的位置如图所示，下列各式错误的是（ ）
b a 0 c
A. b<a<c B. - a<b C. a + b<0 D. c -a>0
【变式3】如图，在数轴上，点N表示的数是-2,将点Z沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到
点尸，则点尸表示的数是（ ）
6
~A
A. 4 B. 3 C. 2 D. -2
【变式4】下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ ）
-*i 61~~o~~F* F~~o~~i-
A・4个 B・3个 C.2个 D. 1个
4代数专题・第一章 有理数
【变式5】如图，数轴上点，对应的数是2,将点4沿数轴向左移动3个单位至点5,则点5对应的
数是（ ）
A
-10 12 3 4
A. -1 B. 0 C. 3 D. 5
【变式6】数轴上点/表示的数是-2,将点，在数轴上向右平移五个单位长度得到点5,则点3表示
的数是（ ）
A. -7 B. 7 C. -3 D. 3
【变式7】数轴上表示-8和2的点分别是4和5,则线段的长度是（ ）
A. 6 B. -6 C. 10 D. -10
国题型方法4：求一个数的相反数
【题目特征】求一个数的相反数.
【考查知识点】相反数的概念：
1.如果两个数只有符号不同，那么其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
2.0的相反数是0.
3.互为相反数的两个数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并
;且与原点的距离相等.
4.和为0的两个数互为相反数.
【解题方法】数字不变，符号变为相反符号即可求出该数的相反数.
例：-一— 的相反数是（ )
2021
B. -^―
A. 2021 C. -2021 D.———
2021 2021
1
【解答】解: 数字不变，“-” 号变为 “ + ”即可，所以相反数为f------.
2021
故选：B.
【变式1】-6的相反数是（ )
A. —6 B. 6 C. ±6 D.-
6
【变式2】--的相反数是（ )
2
A. —2 B. 2 C.- D.--
2 2
【变式3】—(—2021)=( )
A. -2021 B. 2021 C.——— D.
2021 2021
5称
初中数学题型方法全归纳
【变式4］若x与3互为相反数，贝廉+ 1等于（ ）
A. -2 B. 4 C. -4 D. 2
国题型方法5：求一个数的绝对值
【题目特征】求一个数的绝对值.
【考查知识点】绝对值的概念：
1 .某个数在数轴上表示的点与原点的距离叫作这个数的绝对值.
2 .正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
【解题方法】不管符号为正还是为负，只取数字部分即可.
例：-5的绝对值为5 .（数字部分为5,不管符号）
100的绝对值为100 .（数字部分为100,不管符号）
0的绝对值为0 .（数字部分为0,不管符号）
【变式1】-2021的绝对值是（ ）
D•-盍
A. 2021 B. -2021 C.
2021
【变式2】如图，是小竹观察到的温度计的示数，该示数的绝对值是（ ）
°c1|0
蛋
10
美
20
A. -9 B. 9 C. -11 D. 11
7
【变式3】 ~的绝对值是（ ）
A 11 B. 1 _2_
A.----- C.- D.
7 11 7 -n
【变式4】数轴上表示数加和冽+ 2的点到原点的距离相等，贝加为（ ）
A. -2 B. 2 C. 1 D. -1
【变式5】以下各数中绝对值最小的数是（ ）
A. 0 B. -0.5 C. 1 D. -2
豺题型方法6：有理数加减计算
【题目特征】有理数进行加减计算.
【考查知识点】有理数加减计算法则:
1.有理数加法法则：
6等
代数专题・第一章 有理数
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并
用较大的数字减去较小的数字.
(3) 一个数同0相加，仍得这个数.
2.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.然后把减法化为加法进行计算.
3.有理数加法运算定律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
a + b—b + a.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
(a + b) + c-a + (b + c).
【解题方法】按照有理数加减计算法则进行计算.
例-1+3= 2.(一正一负相加，+3的绝对值大，符号取“ + ”，数字部分大减小，即3-1=2,
合起来为+ 2)
1+(-3)= -2.(一正一负相加，-3的绝对值大，符号取数字部分大减小，即3-1=2,
合起来为-2)
-2 +(-5 > -7 .(两负数相加，符号为数字部分数字相加，即2 + 5=7,合起来为-7)
+ 3 + 7= 10.(两正数相加，符号为“ + ”，数字部分数字相加，即3 + 7=10,合起来为+
10)
-100+0- -100 .(一个数同0相加，结果依然等于这个数，所以结果仍为-100)
-2-(-5)= —2 + ( + 5)= + 3 .(变为加法，按照加法法则进行计算)
【变式 】计算15+ (-22)的值是( )
1
A. -7 B. 7 C. -37 D. 37
式2】计算(-5) + 3的结果是( )
A. —1 B. —2 C. 2 D. 15
1 1 ?
【变式3】计算：一上―上+ 4 =
6 4 3
【变式4】计算：-3-(-2) + 5=_____
式5】下列各数中，比-2大5的数是।( )
A. —7 B. -3 C. 3 D. 7
式6】计算-2 + 8的结果是( )
A. -6 B. 6 C. -10 D. 10
7初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：有理数乘除计算
【题目特征】有理数进行乘除计算.
【考查知识点】有理数乘除计算法则：
1.有理数乘法法则：
第一步：定符号.负因子个数为奇数，结果为负；负因子个数为偶数，结果为正；
第二步：定数字.不管符号，把数字相乘即可.
2.有理数除法法则：
除以一个数，等于乘以这个数的倒数，把除法化为乘法进行计算.
(厚 0)
3.有理数乘法运算律：
①乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.ab=ba.
②乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相
乘，积相等.(ab)c=a(6c).
③分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相
乘，再把积相加. a(b + c)=ab + ac.
【解题方法】按照有理数乘除计算法则进行计算.
例 -”3二-3.(一个负因子，计算结果符号为，数字部分相乘，即”3=3,合起
来为-3)
1x( + 3)= +3 .(没有负因子，计算结果符号为“ + ”，数字部分相乘，即”3=3,合起来
为3)
(-2>(-5> 10 .(两个负因子，符号为“ + ”，数字部分相乘，即2x5=10,合起来为10)
3x4x(— 2)= -24 .(一个负因子，计算结果符号取数字部分相乘，即3x4x2=24,
合起来为-24)
【变式 】计算：3x(—2)=( )
1
A. 1 B. -1 C. 6 D. -6
【变式2】计算(-5)x3的结果等于( )
A. -2 B. 2 C. - 15 D. 15
【变式3】计算：-L75+1-
【变式 4】计算：(-0.25)x(-25)x(-4).
8代数专题・第一章 有理数
式5】计算：f-19^jxl8.
式6】计算：1 Q + 32%xl《1 .
留题型方法8：乘方计算
【题目特征】乘方计算.
【考查知识点】乘方计算法则：
1 .乘方计算法则：
第一步：定符号.
①底数为正，计算结果为正；
②底数为负，指数为偶，则计算结果为正；
③底数为负，指数为奇，则计算结果为负.
第二步：定数字.不管符号，只把数字进行乘方运算.
2 .分数的乘方计算法则：3
【解题方法】按照乘方计算法则进行计算.第一步：定符号；第二步：定数字.
例i 3: 27.（底数为正，计算结果符号为“ + ”，数字部分乘方计算，即33=27,合起来
为27）
[-2）4= 16.（底数为负，指数为偶，计算结果符号为“ + ”，数字部分乘方计算，即24=16,
合起来为16）
（-2）= -8 .（底数为负，指数为奇，计算结果符号为“-"，数字部分乘方计算，即T=8,
合起来为-8）
2 14
—.（分数的乘方等于分子、分母分别乘方）
27
例2：计算：
（1） （-4丫= -64 ；（底数为-4,指数为3）
（2） -4= -64 ；（底数为4,指数为3）
（3） T = 81 ；（底数为-3,指数为4）
（4） —34二—81 ；（底数为3,指数为4）
9海
■
初中数学题型方法全归纳
（5） III （底数为3,指数为3）
15 J 12 5 5
33 27
（6） y= _ y_；（底数为3,指数为3）
（7）（2x3）2= 36 ；（底数为 2x3,指数为 2）
（8） 2x32= 18.（底数为3,指数为2）
【变式1】计算：⑴（-盯 （2） 23 (4) (-1.5)2
【变式2】比较（-4丫和-43,下列说法正确的是（ ）
A.它们底数相同，指数也相同
B.它们底数相同，但指数不相同
C.它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
D.虽然它们底数不同，但运算结果相同
【变式3】（-2户（-2）2*（）
A. -2 B. (-2)4007 C. 22003 D. -2
【变式4】计算:
留题型方法9：有理数混合计算
【题目特征】有理数混合计算.
【考查知识点】有理数混合运算的运算顺序：
1 .先乘方，再乘除，最后加减；
2 .同级运算，从左到右进行；
3 .如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.
【解题方法】按照有理数混合运算的运算顺序进行计算.
10祢
代数专题・第一章 有理数
例：计算：32 4-(—2) — 3 x .
【解答】解:原式=3?+(—2)、3x
=9 + (-8)- 3 * §
2.2
8
25
T,
【变式1】计算：23x[-1 + 1L(1-3).
【变式2】计算：
【变式3】下面是圆圆同学计算一道题的过程：
2'H+z )
x
(-3)
=2 + + 2 + ； x(—3)
=2x(-3)x (-3)+ 2x4x (-3)
= 18-24
=6
圆圆同学这样算正确吗？如果正确，请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程.
11祢
初中数学题型方法全归纳
【变式 4】计算：（-3）2xf1Y-（-9 + 3）.
【变式 5】计算：—3-5）+ 32、（4一3）.
【变式6】计算：2x（-5） + 4-3 + ；.
留题型方法10：科学记数法
【题目特征】用科学记数法表示一个较大的数字.
【考查知识点】科学记数法.
科学记数法：把一个大于10的数表示成ax 10〃的形式（其中胃是正整数）.
用科学记数法表示一个〃位整数，其中10的指数是九-1, 10的指数比整数的位数少1.
万=104,亿=1（）8
【解题步骤】
第一步：在最左边第一个数字（非0数）后加小数点，得到〃的值；
第二步：数小数点后面数字的个数，有几个，那么〃就等于几.
例：（1）3140=3.14x103.（最前面一个数字3后加小数点，得到3.14,小数点后有3位，所以
〃=3）
（2） - 17320000=- 1.732xlO7 .（最前面一个数字1后加小数点，得到- L732,小数点后有7
位，所以片7）
（3） 1392000=1.392xl06.（最前面一个数字1后加小数点,得到1.392,小数点后有6位，所以
〃=6）
【变式1】柳州市大力发展新能源汽车业，仅今年二月份，某新能源汽车销量就达17000辆，用
科学记数法将数据17000表示（ ）
A. 0.17xl05 B. 17xl03 C. 1.7xl04 D. 1.7xl05
12________ /WI
代数专题・第一章 有理数
【变式2】“大国点名、没你不行”，第七次全国人•口普查口号深入人心，统计数据真实可信，
全国大约1411780000人，数“1411780000”用科学记数法表示为（ ）
A. 14.1178xl08 B. 1.41178xl09 C. 1.41178xlO10 D. 1.41178x10”
【变式3】我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种
数量已超过700000000剂次，将700000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.7xl09 B. 0.7xl08 C. 7xl08 D. 7xl09
【变式4】中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨.将数67500用科学记数法表示为
（ ）
A. 0.675xl05 B. 6.75xl04 C. 67.5xl03 D. 675x10?
留题型方法11：近似数
【题目特征】求一个数的近似数或精确到的位数.
【考查知识点】近似数，四舍五入.
【解题步骤】
第一步：把万、亿这些单位去掉，化成单位为1的数字；
第二步：找到要精确到的位数；
第三步：对精确到的位数的后一位数字进行四舍五入处理.
注意：一般，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫作精确到哪一位，
;但有一个易错点需注意：如2.019x105很多同学错误地认为这个数是精确到千分位，解决此类问题需
将这个数还原成整数201900,这时能确定这个9应在百位上，因此这个数精确到百位.
例］:39.15万（精确到千位）=3.92x105.
例2：小张身高精确到厘米约为1.75米，那么他的准确身高〃在________ 范围内.
【解答】解：1.745 < A <1.755 .（千分位进1得到1.75,那么〃 2 1.745；千分位舍1得到1.75,
那么 人 <1.755 ）
【变式1】用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数.
（1） 27.15万（精确到千位） （2） 12 341 000 （精确到万位）
【变式2】下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪一位.
（1） 1.20 （2） 1.49 亿 （3） —0.30x105
【变式3】用四舍五入法按要求对1.8040分别取近似值，其中错误的是（ ）
A. 1.8（精确到 0.1） B. 1.80 （精确到 0.01）
C. 1.80 （精确到千分位） D. 2 （精确到个位）
13_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
【变式4】某种鲸鱼的体重约为1.36x105kg,关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A.它精确到百位 B.它精确到0.01
C.它精确到千分位 D.它精确到千位
【变式5】近似数3.5的准确值a的取值范围是（ ）
A. 3.45< a< 3.55 B. 3A<a< 3,6
C. 3.45<。<3.55 D. 3.45<q<3.55
就题型方法12：根据定义求值
【题目特征】已知相反数、倒数、绝对值，求代数式的值.
【考查知识点】相反数、倒数、绝对值的定义：
互为相反数的两数和为0,相反数等于自身的数是0；
互为倒数的两数积为1,倒数等于自身的数有-1、1,倒数等于自身的自然数是1；
绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数；绝对值最小的有理数是0；
最大的负整数是-1,最小的正整数是1.
【解题方法】
相反数和为0,倒数积为1,已知绝对值那么有两种可能，注意不要遗漏.
例：若。、6互为相反数，c、d互为倒数，加的绝对值为4.
（1）直接写出a + b, cd,加的值；
（2）求加+ cd + " + "的值.
m
【解答】解：（1）・・•〃、b互为相反数，。、"互为倒数，加的绝对值为4,
...Q + b=0, cd=l,加=±4；
（2）由（1）得：原式=±4+1=5或-3.
【变式1】若。、6互为相反数，c、d互为倒数，机+1的绝对值为5,则式子|同—〃 +七吆的值为
m
（ ）
A. 3 B. 3 或 5 C. 3 或—5 D. 4
【变式2］如果a、6互为相反数，c、"互为倒数，x的绝对值等于2,那么。清—。―台的值是（ ）
A. 4 B. -4 C. 4或一 4 D.无法确定
【变式3】。、方互为倒数，小y互为相反数，且尸0,则（a + b）（x + y）-仍的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D.不确定
【变式4】如果a与6互为相反数且X与y互为倒数，那么（a+ 6）2-2中的值为（ ）
A. 0 B. -2 C. -1 D.无法确定
14麻
代数专题-第一章 有理数
5】已知。、b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2020(〃+ 6)-cd的值为( )
A. 2020 B. 2019 C. -1 D. 0
【变式6】已知加是最小的正整数，〃是最大的负整数, Q、b互为相反数，X、歹互为倒数，则
zw2 + n +q + 6 — xy 的值是（ ）
A. -2 B. - 1 C. 0 D. 1
豺题型方法13：分组求和
【题目特征】很多数字加减求和，加减符号规律出现，数字排列也是有规律的.
【解题方法】找规律，将数字进行分组，使每一组的和相同.
"/'j 计算：1 — 2+3 —4+ …+ 49 — 50.
【解答】解：原式=(1-2) + (3-4)+…+(49-50)(观察到每两个数分为一组的话，每组的和都
是- 1)
——1 + (— 1) + …+ (— 1)
——25.
【变式 1】计算：1-2-3+ 4+ 5-6-7+ 8 + 9-10---- +2013-2014-2015+ 2016.
【变式 2 】计算：11+ 12-13-14 + 15+ 16-17-18 +••• + 99 + 100.
【变式 3】计算：1 + 3 + 5 + —I-99 — 2 — 4 — 6 — — 100 .
国题型方法14：连锁约分
【题目特征】多个分数相乘，整理后，前一个分数的分子和后一个分母相同.
【解题方法】不要使用分配律，把每一项都整理为分数，发现前一个分数的分子和后一个分母相
同，那么，把分子分母约分即可.
例：计算：
3 14 2 5 3 2018 2016 2009
【解答】解：原式 .x_________x_________=_________
2017 2017 2017
15初中数学题型方法全归纳
1+1 1+*
【变式1】计算:
【变式2】计算:
留题型方法15：裂项相消
【题目特征】一串分数求和，分母可写为两数之积.
【解题方法】连加时，分子需相同，将分数裂项为两数之差.
有加有减时，分子为分母两数之和，将分数裂项为两数之和.
裂项公式：分母可以写出两数之积：
1_ 1
(1)
九(九+ 1) n 九十1
1 1
(2) ----------------=—X
n(n + k) k n n + k
m + n 1 1
(3) -----——i—.
mn m n
1111
例：计算: ---- 1------1------1-----
1x2 2x3 3x4 4x5
4
【解答】解:原式
5
【变式1】计算: -------1----------1---------- H----------
1x6 6x11 11x16 16x21
111111
【变式2】计算: —I---1-----1----1----1---.
6 12 20 30 42 56
16代数专题-第一章 有理数
3 8 7 9 11 13
【变式4】计算: —I--- ---1---
2 6 12 20 30 42
【变式 5] 计算：1H--------1-------------1--------------------1----------------------
1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3+…100
留题型方法16:整体换元
【题目特征】直接计算很麻烦，并且题目中多次出现式子相同的数字.
【解题方法】将相同的几个式子用一个字母代替，然后进行计算，最后再把字母换成数字，一般
情况下，字母在计算过程中会消掉.
1111 i+'L+L+L 1 1 1
例：计算: —I--1---1— —F -F —■
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
【解答］解：令6
贝U 原式= —] — +二卜= ub + —ci — cib — —b — —(ci — b .
1 1 1
x14+l..+J-
【变式1】计算: —i—i-- 1----- x| Id-----1-----1------1--------- Id-- 1-- 1---1----
2 3 2006 I 2 3 2005 2 3 2006 (2 3 4 2005
【变式 2】计算：(1 + 22 + 32 + --- + 492)(22 + 32 + --- + 502 )-(1 + 22 +32 +--- + 502 )(22 + 32 + ••• + 492 ).
17初中数学题型方法全归纳
留题型方法17：等差数列——倒序相加法
【题目特征】一串数字求和，连续两个数的差值相同.
【解题方法】倒序相加法.
例：计算1 + 2 + 3+…+100的值.
【解答】解：设5= 1+2 + 3+ ••• +100①，
把数字倒着写一遍得：8=100 + 99 + 98+…+2+1②，
将两式相加得：25=101 + 101 + …+ 101 + 101=100X101=10100,
所以，5=101004-2=5050.
【变式1】计算(—5 ) + (-2 )+1+4 + 7+…+100的值.
(1 2 49
【变式2】计算: --p 1--- F • —I----
<50 50 50,
留题型方法18：等比数列——错位相减法
【题目特征】一串数字求和，连续两个数的比值相同.
【解题方法】错位相减法.
例:计算1 + ； + : +..+J+*的值•
【解答】解：设S=l + g + W + […+击+J■①,
两边乘以‘得： —S -- + ^ + ^
-^7②,
3 3 3 32 33 32021 32022 32023
7 1
用①一②得：-*5* = 1----->
3 32023
【变式1】计算：1 — 4 + 42—4'+…+ 4叫
18代数专题・第一章 有理数
【变式2】计算：91+ ：+：…
【变式 3】计算：1 + 3 + 32 + 33 + 34--- + 32016 .
号题型方法19：绝对值化简
【题目特征】要计算的式子有绝对值符号，计算时需要去掉绝对值符号.
【考查知识点】利用绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的
相反数；。的绝对值是0.即对于任何有理数。都有：
a^a > 0）
同=< 0（〃 = 0）
-a^a< 0）
【解题方法】先根据题目条件，判断出绝对值里面的整体是大于0还是小于0,再依据绝对值的
代数意义去掉绝对值符号，然后再进行计算.
例：若一 贝Ijx + 1| — — 4|=.
【解答】解：原式=%+>（-x+4）,（因为x+l>0, x-40）
=% + 1 + x - 4
=2x — 3.
【变式1】化简旧-4| + |3-司=.
【变式2］已知有理数a, 6,。在数轴上对应的点的位置如图所示:
cab
4* -3 -2 -1*6--1 2 *3~~4~
化简：\3a-c| + \2a + b\-\c-b\.
【变式3】若实数q、b、。满足|"b|二l, |q-c|=7,则|b-c|的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 6 或 8 D. 6 或 7
19海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法20：已知绝对值反求参数
【题目特征】已知一个绝对值的取值，反求字母的取值范围.
【考查知识点】绝对值的非负性：一个式子绝对值的取值一定大于等于0.
【解题方法】因为绝对值的值为非负数，那么去掉绝对值以后的这个值一定大于等于0,列不等
式就可以计算字母的取值范围了，或者利用绝对值的代数意义解题.
例：若贝!k的取值范围是（ )
A. a> 1 B. a< 1 C. a<l D. a>l
【解答】解：因为|a-l|=a-1,则q-120, （|”1|的取值为： Q — 1 , 取值a-1一定大于等于0）
即可求得。的取值范围：a>\,
故选：A.
【变式1 ］若同+ a=0,贝！Ja是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数或0 D. 负数或0
【变式2】若好5|=5-x,下列不等式成立的是（ ）
A. x- 5>0 B. x- 5<0 C . x — 520 D. x-5<0
【变式3】已知〃、6都是有理数，且同=〃， \b\=-bf则仍是___
【变式4】若同=-。，贝必的值不可以是（ )
A. 2— B. — 5 C. 0 D. -0.5
3
【变式5】若恸=5,例=2且%v0, y>0,贝!Jx+y=（ ）
A. 7 B. -7 C. 3 D. -3
【变式6】已知|a|=-q,贝b-1的绝对值减去。的绝对值所得的结果是 ( )
A. -1 B. 1 C. 2a-3 D. 3 - 2q
留题型方法21：绝对值非负性应用
【题目特征】已知几个绝对值的和为①
【考查知识点】绝对值的非负性：一个式子的绝对值的取值一定大于等于0.
【解题方法】如果几个非负数和为0,那么每一个非负数都为0.
例：已知。、b为有理数，且满足：；|2q+1| + |2-句=0,则4=, b=
【解答】解：由|2。+120, |2-6|>0,且g|2Q+l| + |2 — b|=0,
所以，2。+1=0, 2 — 6=0,解得：a=—， 6=2.
2
20代数专题・第一章 有理数
【变式1】如果|q-2| + 「+1|=0,那么q + b等于
【变式2】若［a+1.2| + |b—1|=0,那么〃 + (—1) + (—1.8) + b等于多少？
【变式3】已知|2-刈+M-3|=0,试求冽-2几的值.
【变式4】若（x-2『与|x + 2y|互为相反数，贝如-尸.
【变式5］已知6为正整数，且Q、6满足|2q-4| + Q1,求Y的值.
【变式6】当尸 时，-10 + |x-1|有最小值，最小值为
留题型方法22：数轴与绝对值结合
【题目特征】已知数轴上的两个点对应的数，判断这两个数的关系.
【考查知识点】绝对值的几何意义：离原点越远，绝对值越大；
数轴的定义：数轴上，右边的数大于左边的数.
【解题方法】充分利用绝对值的几何意义和数轴的定义.
例：有理数。、b在数轴上对应点如图，贝\b\.（填或“二"）
~~a o r-*
【解答】解：由数轴上。、b两点的位置可知，QVO, b>0,
・・・。到原点的距离大于b到原点的距离，
•­\a\>\b\.
故答案为：>.
【变式1】在数轴上表示。、6两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
F 0 a"
A. a-b>0 B. a-b<0 C. ab>0 D. \a\>\b\
【变式2】有理数〃、b在数轴上表示如图，则下列等式错误的是（ ）
___~~~Q % A
A. \a\= - a B. \b\=b C. \a + b\=a + b D. \a - b\=a - b
21卷
初中数学题型方法全归纳
【变式3】实数Q、6在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|〃 + b|-4的结果是.
0
【变式4】有理数〃、6在数轴上的位置如图，且团=2,回=3,则。= ，b=.
【变式5】已知a、b是有理数,\a + b\=-（a + b）, \a-b\=a-b,若将a、b在数轴上表示，则图中有
可能正确的是（ ）
A. 0 B. 0
C. a 0 D. b 0
【变式6】已知有理数a在数轴上的位置如图，贝布+ |q—1|=
0 1
【变式7】如图，若数轴上〃的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点 或
点.（填 “/”、 "B” “C"或 "D” ）
a b
一
B ―万—
【变式8】有理数a、氏c在数轴上的对应点如图所示，则|q-臼+匕尸（ ）
~~a c~0 b~^
A. a-b + c B. a-b-c C. -a-b-c D. b-a-c
留题型方法23：绝对值的分类讨论问题
【题目特征】计算绝对值需要去掉绝对值符号，但是无法判断绝对值符号里面整体的正负.
【考查知识点】绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反
数；0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：
a （a > 0）
\a\ = < 0（a = 0）
一Q（Q < 0）
【解题方法】判断不出正负号时，需要对绝对值里面的整体进行分类讨论.
22代数专题-第一章 有理数
例：已知4、6是不为。的有理数，求国—也的值.
a b
解答〕解：当。>0, 6>0 时，上@ — @ = 1 — 1 = 0；
a b
当”0, 6<0 时，时一世=1一（一1）=2；
q b
当”0, 6>0 时，
a b
当”0, b>0 时， _
a b
综上所述，国—世的值为—2, 0, 2.
a b
【变式i】已知加存o,求同+@+总的值.
m n \mn\
ab cic be
【变式2］已知abcHO, 求同+闷+同的a j值 z-4^. ,
【变式3】若必。0,那么回+回的取值不可能是（ ）
a b
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
w 〜 \a + b\ 2\b + c\ 3\c + a\ n
jt 4] 已矢口： m = -------- + —-------+ —-------， 且abc>0, o + 6 + c=0,加的最大值是x,最小值为
cab
y,贝ljx+y=( )
A. -4 B. 2 C. -2 D. -6
23海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法24：绝对值有关最值问题
【题目特征】求几个绝对值和的最小值或差的最大值.
【考查知识点】
1.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.即对于任何有理数。都有：
> 0）
同=< 0（a = 0）
-a^a< 0）
2.绝对值的几何意义：一个数〃的绝对值指的是数轴上〃到0点的距离，互为相反数的两个数绝对
值相等.
【解题方法】
方法1：零点分段法：利用绝对值的代数意义对进行化简，然后求出最值.
方法2：奇点偶段法：利用绝对值的几何意义，将绝对值转化为线段长度进行求解.
例1：我们知道，在数轴上，同表示数〃到原点的距离.进一步地，点4、5在数轴上分别表示有
理数a、b,那么4、8两点之间的距离就表示为心-臼；反过来，|a-臼也就表示4、5两点之间的距离.下
面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题.
若|% + 5|=2,那么x为：
①,+ 5|=2, HP|x-（-5）|=2.
文字语言：数轴上什么数到-5的距离等于2.
②图形语言：
2 2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O '
③答案： '为-7和-3.
请你模仿上题的①②③，完成下题：
若|x + 4|=|x-2],求x的值；
解：①文字语言：数轴上什么数到-4的距离等于到2的距离.（根据几何意义，在数轴上找到
这个点）
②图形语言：（在数轴上画图）
-5-4-3-2-101234
③答案： L1 .（从数轴上找到对应的答案）
（2） ,一3|-恸=2时，求x的值：
①文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2.（根据几何意义，在数轴上
找到这个点）
②图形语言：（在数轴上画图）
I_____I I_____I I • ■ । ।। a
-5-4-3-2-101234
24代数专题・第一章 有理数
1
③答案: x = — .(从数轴上找到对应的答案)
2
例2：求|x + 2| + |x—3|的最小值.
【解答】解：解法1：零点分段法.
当工<-2时，(令x + 2=0, %-3=0得x=-2, x=3,在数轴上-2和3把数轴分成了三部分，分
别在这三部分进行分类讨论，所以此方法称为零点分段法)
贝山小 + 2| + ,_3|=_(1 + 2) + [_(1_3)]=_1_2_1 + 3=_21 + 1〉5 .
当-2c 3 时,则|x + 2| + 归- 3|=(x + 2) + [- (x- 3)]=x + 2-x + 3=5.
当 x > 3 时，|x + 2| + |x- 3|=(x + 2) + (r- 3)= 2x -1 > 5 .
综上：当一2<x«3时，|x + 2| + |x—3|取得最小值为：5.
解法2：奇点偶段法.
借助数轴分类讨论：①x<-2；②-2 6W3；③x〉3.
|x +2| +以-3]的几何意义为x对应的点到-2对应点的距离与%对应点到3对应点的距离和.
------_
x -2 3-
_____
"2 x~F"
-2 3 x
由图明显看出-2 W x< 3时取最小值.
所以，一2<x<3时，|x + 2| + |x—3|取最小值5.
【变式 】求|x-l| + |x-3| + ” 5|的最小值.
1
【变式2】求|x—l| + |x—2| + |x—3| + |x —4|的最小值.
【变式 3】求|x—l| + |x—2| + |x —3| + |r —4| + |x—5|的最小值.
【变式 4】求l| + |x-2| + |x-3| + |x-4| + |x-5|+ ••• + —2022|的最小值.
25海
初中数学题型方法全归纳
【变式5】已知（|x+l| + |x-2|）3-3| +b+ 2|）=15,求工-29的最大值_____ 和最小值
【变式6】已知（|x-l| + |x-2|）①-3| + ［y-4］）=1,求x+y的最大值_____ 和最小值.
【变式7】求2,-1| + 3,-2| + 2,-3］的最小值.
【变式8］求|2x- 1| + |3x-2| + |4x- 3|的最小值.
【变式9］求|x- 1|-|工-2|的最大值.
留题型方法25：数轴上的图形滚动问题
【题目特征】图形在数轴上滚动，求起始点对应的数为多少.
【解题步骤】
1 .确定起始位置对应的数；
2 .确定滚动的距离：图形周长x滚动的圈数；
3 .确定终点的位置：起始点+滚动的距离（向右滚动）；
起始点-滚动的距离（向左滚动）.
即：终点位置=起始点土图形周长x滚动的圈数（刚好滚动整数圈）
注意：在正多边形转动问题中，如果转动的不是整数圈，那么，用“转动次数+边数”得到的商
为转动的圈数，这样先计算出“次终点”对应的数，然后根据余数得到终点位置对应的数.
例：如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点/与表示3的点重
合，滚动一周后到达点9点5表示的数是（ ）
A.—2 兀 B.3 — 2兀 C. — 3 — 2 7i D.—3+2兀
【解答】解：起始点4点对应的数为3,
滚动一周的距离为圆的周长2兀，向左滚动,
所以终点5点对应的数为：3-2兀.
26代数专题・第一章 有理数
【变式 】等边在数轴上的位置如图所示，点4、。对应的数分别为。和-1，若△力5C绕顶
1
点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点5所对应的数为1,则连续翻转2020次后，点5
（ ）
J_____I______I______L
2 3 4 5
A.不对应任何数 B.对应的数是2020
C.对应的数是2019 D.对应的数是2021
【变式2】正方形/BCD在数轴上的位置如图，点Z对应的数分别为0和1,若正方形绕
着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点5所对应的数为2,则翻转2019次后，数轴上
数2019所对应的点是（ ）
C._.B
n
a
____I______|________L____* "I_________ 1_____J_______I________L-►
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
A.点Z B.点、B C.点、C D.点。
【变式3】如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0, 1, 2, 3,先让
圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那
么数轴上的数-2018将与圆周上的数字_______重合？
国题型方法26：数轴上点左右跳动问题
【题目特征】数轴上一点左右来回有规律的移动.
【解题步骤】
例：若数轴上一点4对应的数为〃，先左移动b个单位，再向右移动26个单位，再向左移动3b个单
位，以此类推，移动〃次后，4点对应的数为多少？
解题步骤：
1.确定起始位置对应的数：起始点为〃；
2.确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动；
3.确定移动的距离：
若〃为奇数：即向左移动了 山次，移动距离为七"xb.
2 2
若几为偶数：即向右移动了巴次，移动距离为Nxb.
2 2
4.确定终点的位置：起始点+移动的距离（向右移动）；
起始点-移动的距离（向左移动）.
27初中数学题型方法全归纳
例：如图，在数轴上，点A表示1,现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位
长度到达点A,第二次将点A向右移动6个单位长度到达点第三次将点4向左移动9个单位
长度到达点A ,……按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点儿「那么点儿1所表示的数为
( )
~一生…正…一,一仝।
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
A. -74 B. -77 C. -80 D. -83
【解答】解：移动了 51次，51为奇数，说明向左移动了，总共向左移动了出 =26次，向左移
2
动每次移动3,所以移动的距离为26x3=78,所以终点A1表示的数为1 —78=-77.
故选：B.
【变式 】如图，在数轴上，点A表示-1,现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向右移动2个
1
单位长度到达点A1，第二次将点A1向左移动4个单位长度到达点第三次将点4向右移动6个
单位长度到达点A ,按照这种移动规律移动下去，第〃次移动到点A ,那么， 对应的数为,
A99
对应的数为.
A2020
A? A Ai A3
—I------ 1-«---1----4--•-----4- •-----i----»-1-A
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【变式2】如图，在数轴上，点A表示1,现将点A沿'轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单
位长度到达点A1，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点第三次将点A向左移动9个单
位长度到达点Aa,按照这种移动规律移动下去，第几次移动到点4,如果点4与原点的距离不小于
20,那么几的最小值是.
__l…_4…一 ।__। a -
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
【变式3】如图，在数轴上，点A表示1,现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A向左移动3个单
位长度到达点A,第二次将点A向右移动6个单位长度到达点A,第三次将点4向左移动9个单
位长度到达点A ,按照这种移动规律移动下去，第几次移动到点4,如点4对应的数为2023,那么
〃等于，总共移动了 个单位长度.
为一一।। 勺,_u__£_u__।…一象 । »
,5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
28称
■
代数专题-第一章 有理数
【变式4】如图，半径为1个单位的圆片上有一点4与数轴上的原点重合，45是圆片的直径.(注:
结果保留兀)
(1)把圆片沿数轴向右滚动半周，点5到达数轴上点。的位置，点C表示的数是 数(填“无
理”或“有理”)，这个数是;
(2)把圆片沿数轴滚动2周，点4到达数轴上点。的位置，点。表示的数是;
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动
情况记录如下：+2, — 1, +3, -4, - 3.
①第 次滚动后，4点距离原点最近，第 次滚动后，4点距离原点最远.
②当圆片结束运动时，4点运动的路程共有，此时点Z所表示的数是.
29初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:代数式书写规范
【题目特征】用字母去表示某一个数量.
【考查知识点】字母表示数的规则：
1 .用字母表示数时，数字与字母、字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用（点）
表示；
2 .字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；
3 .出现除式时，用分数表示；
4 .结果含加减运算的，单位要加“（）”；
5 .系数是带分数时，带分数要化成假分数.
【解题方法】把字母想象成一个具体的数字即可，只不过在表达的时候用字母代替.
"十"
例：下列各式：①J］； （2）2-3；③20%x； @a-b^c ；⑤ ；⑥氏-5千克；其中，不符合
3 6
代数式书写要求的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
1 4
【解答】解：®l-x = -x,不符合要求；②2・3应为2x3,不符合要求；③20%x,符合要求；
3 3
@a-b^-c = a--,不符合要求；⑤2士1,符合要求；⑥应该是（x-5）千克，故不符合要求，不符
c 6
合代数式书写要求的有4个.
故选：B.
【变式1】代数式工-V的意义为（ ）
A. x的平方与y的平方的差 B.x与y的相反数的平方差
C. x与歹的差的平方 D. x减去y的平方的差
【变式21购买2个单价为〃元的面包和5瓶单价为b元的饮料，所需钱数为（ ）
A. （2。+ 6）元 B. 3（。+ 6）元 C. （5。+ 26）元 D,（2q + 56）元
【变式3】一个长方形的花园长为宽为6,如果长增加x,那么新的花园增加的面积为（ ）
A. a（b + x） B. b（a + x） C. ax D. bx
【变式4】用代数式表示：。与3差的2倍.下列表示正确的是（ ）
A. 2q — 3 B. 2a+ 3 C. 2（q —3） D. 2（a + 3）
30称
代数专题・第二章 整式及其加减计算
5】某家用电器商城销售一款每台进价为。元的空调，标价比进价提高了 30%,因商城销售
方向调整，决定打九折降价销售，则每台空调的实际售价为( )元.
A. 90%(1+30%> B. (1 + 30%)(1 —90%)〃
C. (1 + 30%>-90% D. (1+30%-10%>
【变式6】某产品的成本为Z元，按成本加价四成作为定价销售，因季节原因按定价的六折出售，
降价后的售价为( )元.
A. (60% —40%)4 B. 60%x40%4
C. (1+ 40%)60%/ D. (1 + 40%)(1 - 60%)A
留题型方法2:整式的概念
【题目特征】求单项式系数、次数或者求多项式的项数或次数.
【考查知识点】整式的相关概念：
1 .数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式.数字部分(含符号)称为
单项式的系数，字母的指数的和称为单项式的次数；
2 .几个单项式的和叫多项式.多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个
多项式叫作几项式；次数最高项的次数叫作这个多项式的次数，不含字母的项叫作常数项；
3.单项式和多形式统称为整式.
【解题方法】理解记忆整式的相关概念.
例：单项式-的系数是,次数是； 6x2+2x3^-1j是 次多项式.
【解答】解：单项式用的系数是-个，次数是3；
4
6x2 + 2x3y - -y中次数最高的项是2%夕，是4次.
故答案是：一个;3；四.
【变式 】下列整式中，是二次单项式的是( )
I
A. x2 +1 B. xy C. x2y D. - 3x
【变式 】单项式-肛 的系数是( )
2 2
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
下列说法中，正确的是(
A.单项式;孙 的系数是3
2 B.单项式-5/的次数为—5
C.多项式V+j?+18是二次三项式 D.多项式Y+V—i的常数项是i
31初中数学题型方法全归纳
【变式4】下列判断中错误的是（ ）
A. 2 —q —M是二次三项式 B.如上是多项式
3
C. 2兀/中，系数是2 D. 2020是单项式
士也，工中，整式有（ ）
【变式5】下列各式加* m, 8, x2 + 2% + 6 , ——,
2 a 5 it y
A. 3个 B. 4个 C. 6个 D.7个
留题型方法3:同类项的概念
【题目特征】已知两个单项式为同类项，或者已知两个单项式可以合并，求字母的值.
【考查知识点】同类项的概念：字母相同并且相同字母的指数也相同的项是同类项.
【解题方法】两个单项式相同字母的指数一样，也就是相等的，所以根据指数相等列方程即可求
出字母的值.
x2v2n-l
例：若单项式-2式y与号_是同类项，则川二
321
【解答】解：因为单项式—2式丁与三—是同类项,
1 — m = 2
所以
2n-l = 3,
解得M
所以“=（一以=1 .
故答案为：1.
【变式1】若4*3与_7仍"是同类项，贝!J加+片.
【变式2】已知单项式-3产T与会y+"是同类项，那么彷〃的值分别是（ ）
A. m=2, n=l B. m=l, n=2
C. m=0, n--\ D. m=- 1, n=2
【变式3】单项式+ V与_2f口一〃是同类项，贝加+〃=
【变式4】已知单项式与3产夕+ 是同类项，贝加+片
2
32祢
—*—
代数专题-第二章 整式及其加减计算
留题型方法4：合并同类项
【题目特征】对单项式进行加法运算.
【考查知识点】合并同类项的运算法则：系数相加，字母及其指数不变.（相当于乘法分配律）
【解题方法】把单项式的系数相加，字母及其指数不变.
例：下面计算正确的是（ ）
A. 2x2-x2 =1 B. 4a2 + 2a3 = 6a5
C. 5 +m=5m D. -0.25ab + —ab = 0
4
【解答】解：4、2x2-x2=x2,故本选项错误；
B、4片与2/不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；
。、5与相不是同类项，所以不能合并，故本选项错误；
D、-0.25仍+ —ab = 0 ，故本选项正确.
4
故选：D.
【变式1】计算4a + 2a-〃的结果等于
【变式2】计算2/+3/一，的结果等于
【变式3】计算2"—储的结果是（ ）
A. 1 B. a C. a2 D. 2a
【变式4】下列各式的计算结果正确的是（ ）
A. 2x + 3y= 5xy B. 5x-3x= 2x
C. 7y2-5y2 =2 D. 9a2b-4ab2 =5a2b
留题型方法5：去括号与添括号
【题目特征】需要去括号后再进行计算，或者对式子添加括号使得左右两边相等.
【考查知识点】去括号与添括号法则：
1.去括号法则：
括号前面是“ + ”号，把括号和它前面的“ + ”号去掉，括号里面各项的符号都不改变.
例：〃 + （6 — c）=a + b- c.
括号前面是号，把括号和它前面的号去掉，括号里面各项的符号都要改变.
例：a-（b-c）=a-b + c.
2.添括号法则：
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号.
a + b-c=a + （6— c）.
33海
初中数学题型方法全归纳
如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
例：a + b- c=a一(一 b + c).
【解题方法】括号前是“ + ”直接去掉括号即可，括号前是“-"，去掉"-() ”，然后把
括号里的每个数都变成相反数；
添括号时，括号前是“ 十 ”直接把数字带符号移到括号里面即可，括号前是， 把数字带符
号移到括号里面时，每一个数字都变成相反数.
例：下列各题中去括号正确的是( )
A. 1-3 (x+1) =l-3x- 1
B. l-3Rx-l Ul-x + 3
D. 5(x-2)-2(y- l) = 5x- 10-6y-2
【解答】解：力选项，原式=1-3x-3,故该选项错误;
8选项，原式=1-工+ 3,故该选项正确；
C选项，原式=l-2x+1,故该选项错误；
。选项，原式= 5x-10-2》+ 2,故该选项错误.
故选：B.
【变式1】在括号内填上恰当的项：4-Y+3盯_2/=4- ().
【变式2】将-(2/一 3”去括号得( )
A. -2x2 -3x B. -2x2 + 3x C. 2x2 -3x D. 2x2 + 3x
【变式3】下列各式中与多项式ai-c不相等的是( )
A. a-(b + c) B. a-(b-c)
C. (a-/?) + (- c) D. -b-(c-a)
【变式4】下列去括号运算正确的是( )
A. -(3x-2y+ l)=3x-2y+ 1 B. (2x-3y)-(5z- l)=2x-3y + 5z- 1
C . — (3a + 2b) — (c + cT)= — 3q — 2b — c — d D. — (a — 2b) — (2c — tZ)— — a + 2b — 2c — d
【变式5】将a-(-b + c)去括号，结果是( )
A. a — b + c B. a + b — c C. a + b + c D. a — b — c
【变式6】把式子(a-6)-(-q+1)去括号正确的是( )
A. a + b — a — 1 B. a — b + a — 1 C. a — b — a 1 D. a + 6 + a+ l
34代数专题-第二章 整式及其加减计算
留题型方法6：整式的加减
【题目特征】对一个多项式进行化简计算.
【考查知识点】合并同类项和去括号法则.
【解题方法】先去括号，然后再合并同类项.
例：多项式与产的差是( )
A. 0 B. 2b2 C. -2b2 D. -2a2
【解答】解：(/+〃) — (/—62)=/+〃—〃2+62 =步.
故选：B.
［变式 1 ］化简：4(〃-b) + (2q — 3b)=.
【变式2】计算：
(1) 3(Q + b)-(3Q-2b)； (2) xy2 - x + + 2盯?)一 3x
【变式3】已知4 = 4/一49+必，= x2 4- xy - 5y2 ,计算4一33=
【变式4】小文在做多项式减法运算时，将减去2优+3。-5误认为是加上2/+3q-5,求得的答
案是/+。一4 （其他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A. -q? — 2。+1 B. —3/+ q — 4
C. t22 + tz — 4 D. -3/ — 5〃 + 6
【变式 5】化简：5a2b-2（ab-2ab2）-3（2ab2-ab）.
35初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：整式化简求值
【题目特征】要求对整式先化简，然后再求值.
【解题方法】整式加减化简求值的一般步骤：①去括号、合并同类项；②代入求值.
例：先化简，再求值：5a2b ~^3a2b - 2(2ab - a2b^~ ab ,其中。=一3, b= -2.
【解答】解：原式=5〃26-(3〃25_4〃6 + 2“26-4/)_3〃6
=5a2b-(5a2b-4ab-4a23ab
=5a2b - 5a2b + 4ab + 4a2 - 3ab
= ab + 4" .
当。=-3, 6=-2 时，
原式=-3 x (—2)+ 4 x (-3『=42 .
【变式1】先化简，再求值：已知£ 一27-5 = 0 ,求3(/_2孙)-(£ _6孙) — 4y的值.
【变式2］已知4=3"+6-5仍，B= 2ab-3b2 +4tz2,先求-5 + 24,并求当〃=——，6=2时，-
2
5 + 2%的值.
【变式3】化简求值：已知整式2/+办—> + 6与整式2加—3x + 5y-1的差不含x和/项，试求
4(/ +2/-叫+ 3/ —2(43+2/6)的值.
留题型方法8:代数式求值——整体代入法
【题目特征】不知道字母的值，但是知道某一个代数式的值.
【解题方法】把这个已知的代数式当作一个整体，对所求代数式进行变形，构造出已知代数式的
形式，这样就可以进行整体代换了.
36代数专题-第二章 整式及其加减计算
例：先阅读下面例题的解答过程，再解答后面的问题.
例：已知代数式6y +4V的值为2,求2j?+3y + 7的值.
解：由 67+ 4/=2 得 3歹 + 2，=1,所以 20+3y + 7 = l + 7 = 8 .
问题：(1)已知代数式2/+36的值为6,求/+4-5的值；
2
(2)已知代数式14x + 5-21Y的值为一2,求6f —4x + 5的值.
【解答】解：(1)由2"+36 = 6得/+与=3,
2
… 3
所以"—b — 5 = 3 — 5 = —2 .
2
(2)由 14x + 5-2If = —2得-7(3x2-2x) = -7f
即 3x2-2x = l,
所以 — 4x + 5 = 2(3f—2x) + 5 = 2 + 5 = 7.
【变式1】化简与求值：
(1)若加=-5,贝廉数式的值为 ；
5
(2)若加+ 〃=一5,则代数式2加+ 2〃 + 1的值为；
(3)若5加-3片-5,请仿照以上求代数式值的方法求出2(加-〃) + 4(2冽-〃)+ 2的值.
【变式 2】若储—3〃 + 1 = 0,贝！)3/—9q + 2021=.
【变式3】已知：2x-y = 5 ,求-2(〉-2x)2+3〉一6x的值.
【变式4］已知当％ = 2, 7 = -4时，ax3 +；制+ 8 = 2018 ,求当工=一4, > = 一)时，式子
3ax - 24by3 + 6 的值.
37初中数学题型方法全归纳
留题型方法9：代数式求值——赋值法
【题目特征】已知一个恒等式，求代数式的值.
【解题方法】给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代
数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值.
例：已知(工一1丫 = q/ +乐4 +“3 +〃2 + / ,求：
(1) a + b + c + d+e+yKl值；
(2) a + c + e的值.
【解答】解：(1)令x=l,得：a + b + c + d + e +/=0© ；
(2 )令x= - 1,得-q + b - c + d - e- 32②，
① + ②得：26 + 2Q +历一32,即b + d+户一16,
贝！Jq + c + e=-b - d-J= - (b + d + f)-16.
【变式1］已知代数A+bd+cV+dx + B,当%=2时，它的值为20,当尸-2时，它的值为16,
求当x=2时，代数式+ ex2 + 3的值.
【变式2］已知(2%-1)7 =/ +平+ 42/+耍3 + a4x4 + a5x5 + a6x6 + a1x1,对任意的x的值都成立,
求下列各式的值：
(1) & + q +。2 +。3 + / +。5 +。6 + % ；
(2) % +。3 + 〃5 +。7 •
【变式 3】已知(x + l)2 一77 = Q。+ 〃］(% +2)+% (x +2j + ...+4 (% +2 j ,
则 ％ -。2 +4 -。4 +。5 -〃6 +。7 的值为多少？
38代数专题・第二章 整式及其加减计算
【变式4】已知(21-1丫 =%犬+耍3 +a2x2 对任意的x都成立.求:
(1) 4的值；
(2) / -q + % — 4 + % -的值；
(3) %+% 的值.
留题型方法10：定义新运算
【题目特征】已知一个或多个新的运算规律，利用新的运算规律去解题.
【解题方法】做这类题的方法就是代入法，生搬硬套公式即可.
例 现定义两种运算△产:对于任意两数都有々△6=2〃 + b - 1,a*b= / - 1,则2*[(1A1)A(2*1)]
的值为.
【解答】解：1A1=2+1-1=2, 2*1=2-1 = 1,
所以，22X1=2x2+1 — 1=4.
所以，2*4= 24-1=15.
【变式I】定义新运算,，例如：2㊉3=焉言土-＞那么[C2)的值
为.
【变式2】"※”定义新运算：对于有理数q、b都有：aXb=ab — (a + b),那么5X3=.当初
为有理数时，3※(加冰2)=.
； 用#定义一种新运算，对于任意有理痴醇规定制"匕+诃"‘若(一"
3)=1,则加的值为.
39初中数学题型方法全归纳
留题型方法n：不含某项求参数
【题目特征】已知一个多项式不含某一项，求字母的值.
【解题方法】去括号，再合并同类项，然后令这一项的系数为0.
例：要使得多项式必一;川孙+ 7歹2+盯+工+ 2原式中不含孙项，则加的值为
【解答】解:原式+11一；加|盯+ 7/ + x + 2 ,
要使式子中不含孙项，那么加=0 ,
所以，加=2.
芸式1】多项式8/ _内+ 5与多项式6d + 2mx2 - 4x +1相加后不含二次项和一次项，则
m=， n=
【变式2】已知代数式4= 2/ +5孙-7y - 3, B=x2 -xy + 2.
(1)当工=-1, y=2 时，求 34 - [95 —2(35—/)]的值；
(2)若4-25的值与y的取值无关，求%的值.
【变式3】已知多项式(2mx2 - x2 + 8x +1) - (5x2 - 5y2 + 6x)化简后不含/项，求多项式
2m3 ~[3m3 -(4m -6) + m]的值.
40麻
代数专题-第二章 整式及其加减计算
留题型方法12：周期规律
【题目特征】已知一个数列，让我们求第〃个数是多少.（几比较大）
【解题方法】这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为北只
需用九除以 看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第
T,
一个周期的最后一个数相同.
例：让我们按以下步骤计算，
第一步：取一个自然数々=5,计算 得
+i 4；
第二步：算出 的各位数字之和得%,计算％ 得%;
q 2+1
第三步：算出生的各位数字之和得%,计算％ 得名;
?+1
依此类推，则〃刈 （ ）
5=
A. 26 B. 65 C. 122 D.无法计算
【解答解：由题意可得，
q = 52 +1 = 26 ,
a2 =（2 + 6了+1 = 65 ,
4 =（6 + 5）2+1 = 122 ,
（从第四个数开始重复出现，所以，周期为
4=0 + 2 + 2）2 + 1 = 26, 3）
・・.2015+ 3=671…2,（余数为2,所以和第2个数相同）
—65 ,
• • “2015
故选：B.
【变式
1
】对于每个正整数“设/（〃）表示九5+1）的末位数字.例如：｛1）=2（1x2的末位数字），
<2）=6（2义3的末位数字），｛3）=2（3'4的末位数字），…则人1）+42）+八3） +…+人2016）的值是（ ）
A. 4028 B. 4030 C. 4032 D. 4038
【变式2】在一列数：%, a2, 4，…， 见中，q = 3 ,%=7 ,从第三个数开始, 每一个数都等
于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2016个数是（ ）
A. 9 B. 3 C. 7 D. 1
【变式3】有一列数q, a2,4，…，an , …满足。1=3, 4,= = = , 之后每一个数
2 \-ax 1-3 2
是1与前一个数的差的倒数，即见=」一,
贝 。
U “2020 - 2018 =( )
1 — a“_]
7 - 7 -7 -7
A. — B.一 C. — D.一
2 3 6 2
41初中数学题型方法全归纳
留题型方法13：数式排列规律
【题目特征】给出一个数列，让我们求第〃个数是多少.
【考查知识点】常见数列规律：
①],3, 5, 7, 9,…，2n-l.（九为正整数）
②2, 4, 6, 8, 10, 2n.（〃为正整数）
③2, 4, 8, 16, 32, 2〃.（〃为正整数）
@1, 4, 9, 16, 25,…，川.为正整数）
⑤2, 6, 12, 20, •••,加+1）.（“为正整数）
@ -x, x, -x, x, -x, x,…，（T）"x.（〃为正整数）
⑦X, -X, X, -X, X, 一 X,…，（-1）W+1 X .（〃为正整数）
⑧斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两
个数的和.
仆'I.
⑨三角形数：1, 3, 6, 10, 15, 21,
2
【解题方法】依据常见的数列规律，找到对应的数字.
例：观察下列三行数：
0, 3, 8, 15, 24,…①
2, 5, 10, 17, 26,…②
0, 6, 16, 30, 48,…③
（1）第①行数按什么规律排的，请写出来？
（2）第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？
（3）取每行的第〃个数，求这三个数的和.
【解答】解：（1） 0 = 12 -1 , 3 = 22 —1 , 8 = 32 —1 , 15 = 42-1, 24 = 52 —1,…；
（2）第②行的数是第①行相应的数加2所得；第③行的数是第①行相应的数乘2所得；
（3） 1一1 + 〃2-1 + 2 + 2（〃2-1） = 4/—2.
【变式1】仔细观察下列三组数：
第一组：1, 4, 9, 16, 25…
第二组：1, 8, 27, 64, 125 …
第三组：-2, -8, - 18, -32, -50 …，
（1）写出每组的第6个数各是多少？
（2）第二组的第100个数是第一组的第100个数的多少倍？
（3）取每组的第20个数，计算这三个数的和.
42代数专题・第二章 整式及其加减计算
【变式2】观察下列三行数，并完成后面的问题：
①一2, 4, 一8, 16, —32,…；
② 1, -2, 4, -8, 16,…；
③0, -3, 3, -9, 15,…；
(1)根据排列规律，分别写出上面三行数的第6个数；
(2)设X、八z分别表示第①、②、③行数的第2019个数字，计算x+y + z的值.
【变式3】观察下面三行数：
-2, 4, -8, 16, -32, 64,…①
0, 6, -6, 18, -30, 66,…②
5, -1, 11, -13, 35, -61,…③
(1)第①行数的第7个数是；
(2)设第②行数中有一个数为〃，第③行数中对应位置的数为b,贝布和6之间等量关系为
设第①行数的第〃个数为工,取每行的第〃个数，这三个数的和是;
(3)根据(2)中的结论，若取每行的第9个数，计算这三个数的和.
留题型方法14:数图排列规律
【题目特征】依次给出几幅形状形同的图，格子里面填写相应的数字，让我们发现规律，然后填
写某一格子里面的数字.
【考查知识点】常见数列规律:
① 1, 3, 5, 7, 9,…，2〃-1.(〃为正整数)
②2, 4, 6, 8, 10, •••, 2〃・(〃为正整数)
(3)2, 4, 8, 16, 32,…，2”.(〃为正整数)
④ 1, 4, 9, 16, 25, •••, 但为正整数)
⑤2, 6, 12, 20,…，及仇+1).(〃为正整数)
@-x, X, -X, X, -X, X,…，(-l)n X .(〃为正整数)
@X, -X, X, -X, X, -X, ••• , (-1)"1 X .(〃为正整数)
⑧斐波那契数列：1，1，2, 3, 5, 8, 13,从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两
个数的和.
〃（九+ 1）
⑨三角形数：b 3, 6, 10, 15, 21,… .(〃为正整数)
-2
43春
初中数学题型方法全归纳
【解题方法】找规律的方法：
第一步：每幅图相同位置依次寻找规律（常见数列规律）；
第二步：在每一个图内部寻找计算规律，思路是：
1.第二个数字由第一个数运算得到；
2.第三个数由前面两个数运算得到；
3.第四个数由前面三个数运算得到，以此类推.
例：根据图中数字的规律，贝卜+y的值是（
A. 729 B. 550 C.
【解答】依次看上面方格的数字，规律是2, 4, 6, 8…;
再看左下角的数字，依次看如果找不到规律的话，可以看它怎么由上面的数字经过计算得到，发
现上面数字的平方加上1等于左下角的数字，所以，x = 8?+l = 65；
再看右下角的数字，也是依次找不出规律，那么就看它怎么能由前两个数字经过计算得到，发现
左下角数字加1再乘以上面的数字即可得到右下角的数字，所以，＞=（65 + 1）x8=528.
所以，x + y=65 +528=593.
故选：C.
【变式1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出。的值为（
A. 19 B. 21 D. 41
【变式2】如图所示，下列各三角形的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律最后一个三角
形中y的值是（ ）
A. 418 B. 420 C. 424 D. 422
【变式3】如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第9个网格中右下角的数为
第1个 第2个 第3个
44代数专题・第二章 整式及其加减计算
【变式4】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的,
根据此规律确定x的值为( )
A. 252 B. 209 C. 170 D. 135
国题型方法15：三角形数阵中的排列规律
【题目特征】给出一个三角形数阵，让我们求某一行某一列对应的数字是多少.
【解题方法】观察三角形数阵中最后一个数字，常见规律有：
n(n + l]
①小 1, 3, 6, 10, 15, 21,…，△——
2
② 1, 4, 9, 16, 25, 但为正整数)
求第加排第几个数的时候，先求第加-1排最后一个数，然后加上及就是所求的数字了.
例：如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对(加⑼表示加排从左到右第〃个数.如
(4,3)表示 9,贝 1)(20,8)表示.
1 ……第一排
2 3 ……第二排
4 5 6 ……第三排
7 8 9 10……第四排
【解答】解：若用有序数对(加M表示从上到下第加排，从左到右第〃个数，对图中给出的有序数对
和(3,2)表示正整数5, (4,3)表示整数9可得：
1
3x(3 —1)
(3,2)= +2=5,
4x(4-l)
(4,3)= I? +3 = 9,
由此可以发现，对所有数对(加M有：
(加，〃)=(1 + 2 + 3+•…+ 加- 1) + 〃=------------- n ,
4-
・・・(20,8)=生手 + 8 = 198
故答案为：198.
45祢
初中数学题型方法全归纳
【变式1】观察如图中的数列排放顺序, 根据其规律猜想：第10行第8个数应该是
1
-2 3
-4 5 -6
7-8 9 -10
11 -12 13 -14 15
【变式2】观察下面一组数：-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7,…，将这组数排成如图的形式，按
照如图规律排下去，
第一行 -1
第二行 2-3 4
第三行 -5 6 -7 8 -9
第四行 10 -11 12 -13 14 -15 16
（1）第10行中从左边数第4个数是
（2）前7行的数字总和是.
【变式3】将整数按如图方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是-4,第3行最后一个数是
9,第4行最后一个数是- 16,…，依此类推，第21行的第21个数是.
1
-2 3 -4
5-67-89
-10 11 -12 13 -14 15 -16
留题型方法16：长方形数阵中的排列规律
【题目特征】给出一个长方形数阵，让我探究数字规律.
【解题方法】长方形数阵的规律有：
①一个数的上下两个数的和是这个数的2倍；
②一个数的左右两个数的和是这个数的2倍；
③一个数的右上和左下两个数的和是这个数的2倍；
④一个数的左上和右下两个数的和是这个数的2倍.
例：如图1,在五列若干行的表格中，将2、4、6、8、10、12、…若干个偶数有规律的放入.
一 二 三 四 五
一 2 4 6 8
二 16 14 12 10
三 18 20 22 24
四 32 30 28 26
图1 图2
（1）第7行第二列的数是
46海
代数专题・第二章 整式及其加减计算
(2)若用Q表示第三列的某一个数，则该数左上角的与右下角的两个数的和为;
(3)若小颖用图2所示的3X3的方框框住的9个数之和等于612,求这个方框内右下角的那个数.
【解答】解：(1)由题意得中间数字的规律为4 + 8(几-1)=8〃-4.
当〃=7 时，8〃 - 4=52,
因此第七行第3列为52,
所以第七行第2列为50.
故答案为：50；
(2)由题意得第3列数的左上角与右下角的和是中间数的2倍,即为2星
故答案为：2q；
(3)设中间数为x,
则这9个数的和为9x=612,解得x=68,
8九-4=68,解得片9.
所以68在第9行第3列下一个数为76,下一行为第10行，偶数行是从大到小，
所以这个方框的右下角为74.
【变式1】把2016个正整数1、2、3、4、…、2016按如图方式排列成一个表，用一方框按如图
所示的方式任意框住9个数.(方框只能平移)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
24 25 2d
22 23 27 28
29 30 .....
(1)若框住的9个数中，正中间的一个数为39,则这九个数的和为.
(2)方框能否框住这样的9个数，它们的和等于2016?若能，请写出这9个数；若不能，请说
明理由.
(3)若任意框住9个数的和记为S,贝IS的最大值与最小值之差等于.
【变式2】如图,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45
(1) 2018在第 行，第 列；
(2)由五个数组成的“ + ”中：
①这五个数的和可能是2019吗，为什么？
②如果这五个数的和是60,直接写出这五个数；
(3)这五个数的和能否是2025,若能，请求出这5个数；若不能，请说明理由.
47初中数学题型方法全归纳
【变式3】把正整数1, 2, 3, 4…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第
2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、….用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其
中没有被阴影覆盖的四个数分别记为4、B、C、D.设4=尤
（1）在图1中，2018排在第 行第 列；排在第加行第几列的数为,其中加，n,
且都是正整数；（直接写出答案）
（2）若4+ 25+ 30=357,求出C所表示的数；
（3）在图（2）中，被阴影覆盖的这些数的和能否为4212?如果能，请求出这些数中最大的数，
如果不能，请说明理由.
48称
代数专题-第三章一元一次方程
国题型方法1:方程的有关概念
【题目特征】判断式子是否为方程，或判断是否为方程的解.
【考查知识点】方程的有关概念：
1 .定义：含有未知数的等式叫作方程.
2 .方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解.
3 .解方程：求方程的解的过程叫作解方程.
4 .方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.
【解题方法】
1 .判断一个等式是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数.
2 .判断一个数是否是某方程的解，只需将这个数代入方程，若左边等于右边，则它们是方程的解,
否则不是.
例下列各式哪些是方程？
① 3x —2=7； ②4+ 8=12； ③ 3x —6； ④ 2 加—3 片 0；
⑤ 2x —1 = 0； ⑥工 + 2彳3； ⑦ _2_ = 5； ⑧ 285-x/.
x-1 5 3
【解答】解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符
合方程的概念，①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧.
【变式1】下列四个式子中，是方程的是（ ）
A. 3 + 2=5 B. x=l C. 2x-3<0 D. / + 2ab + Z??
【变式2】下列方程中，以x=2为解的方程是（ ）
A. 4x - l=3x + 2 B. 4x +8=3 (x+1) + 1
C. 5(x+l)=4(x + 2) -1 D. x + 4=3(2x—1)
【变式3】下列方程中，解是x=3的是( )
A. x+l=4 B. 2x+ 1=3 C. 2x—1=2 D. -x + l = 7
3
国题型方法2: 一元一次方程的有关概念
【题目特征】判断方程是否为一元一次方程.
【考查知识点】一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1,等
号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.
【解题方法】主要看以下四个方面：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未
知数.
49_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
例：在方程①3x+y=4, ®2x- - =5,③3y + 2=2—y,④2必 一5工 + 6=2（/+3%）中，是一元一次
方程的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
［解答］解：①3x+尸4中含有2个未知数，属于二元一次方程，不符合题意；
②2x-工=5是分式方程，不符合题意；
x
③3y + 2=2-y符合一元一次方程的定义，符合题意；
④由2/ 一 5x +6=2（/ +3x）得到：- llx + 6=0符合一元一次方程的定义，符合题意.
故选：B.
【变式1】在下列方程中①/+2x=l,②3-9,③©3-- = 2-,⑤匕可是
x 2 3 3 3 3
一元一次方程的有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【变式2】下列方程中是一元一次方程的是 （只填序号）.
@2x- 1=4；②x=0； @ax=b； @ --5 = -1.
x
【变式 3】下列方程：① 2x + 6=7； ©x - 4=—；③ L_x+0.3x=4； @3x2 -4x=9；⑤x=0； @3x-
x 2
2y=8；⑦L=l；⑧'=2中是一元一次方程的个数是（ ）
2 x
A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
圉题型方法3：根据一元一次方程定义求参
【题目特征】已知方程为一元一次方程，反求参数.
【考查知识点】一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1,等
号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程.
【解题方法】一元一次方程满足条件：
①只含有一个未知数；②一次项系数不等于0；③一次项指数等于1；④出现高次时，高次的系
数为0.
例：如果关于X的方程（加+ 1）］2+（加-l）x +加=0是一元一次方程，则加的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. 1 或-1
【解答】解：二•关于x的方程（加+ I）/+（加-1）工+m=0是一元一次方程，
・••加+ 1=0.（出现高次了，高次的系数要为0）
机—1W0.（一次项系数不为0）
解得：m= - 1.
故选：B.
50【变式2】已知方程（加-4）x +2=2009是关于x的一元一次方程，则掰的取值范围是，
若（冽+ 2）”一:5是关于x的一元一次方程，则用的值为（ ）
A. ±2 B. -2 C. 2 D. 4
【变式4】已知关于x的方程（m-2卜咐=0是一元一次方程，则用的值是（ ）
A. 2 B. 0 C. 1 D. 0 或 2
寻题型方法4：等式的性质
【题目特征】已知一个等式，根据等式的性质对等式进行变形.
【考查知识点】等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果4=6,那么Q±c = b±c（C为一个数或一个式子）.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果4=6,那么
如果〃=/?（今0）,那么巴=2 .
C C
【解题方法】灵活运用等式的性质.
千万注意：等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0,若题目没有注明该字母不为0,那么
这个变形就不成立.
例用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎样
变形得到的.
4 4
（1）女口果一% —11 = 5,那么一x = 5 + ；
3 3 --------------
（2）如果QX +"=一0,那么4X=-c +；
4 3
（3）如果-—1 = -,那么/=
3 4 --------------
【解答】解：（1） 11;根据等式的性质1,等式两边都加上11;
（2） （-by）；根据等式的性质1,等式两边都加上-"；
（3）；根据等式的性质2,等式两边都乘以-三.
16 4
51初中数学题型方法全归纳
【变式1】下列说法正确的是( )
A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=c.
B.在等式〃=b两边除以，+1,可得二_ =，_
c2+l c2+l
C.在等式2 = g两边都除以〃，可得b=c.
a a
D.在等式2x=2a-b两边都除以2,可得x=a - 6.
【变式2】设%、/。是实数，则下列判断正确的是( )
A. 若x=y,贝！Jx + c=y-c B.
CX X
C.若x=y,贝！］' =』■ D.若三=上，则2x=3y
C C 2c 3c
【变式3】已知等式3q=6 + 2c,那么下列等式中不一定成立的是( )
A. 3a - b=2c B. 4a=a + b + 2c
c r b 2c
C. a=-b + -c D. 3— —I----
3 3 a a
留题型方法5： 一元一次方程的解法
【题目特征】解一元一次方程.
【考查知识点】解一元一次方程的步骤:
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
在方程两边都乘以各分母的最小公
去分母 (2)分子是一个整体的，去分母后应加
倍数
上括号
先去小括号，再去中括号，最后去 (1)不要漏乘括号里的项
去括号
大括号 (2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到方程的一
(1)移项要变号
移项 边，其他项都移到方程的另一边(记
(2)不要丢项
住移项要变号)
合并同类项 把方程化成QX=b(存0)的形式 字母及其指数不变
在方程两边都除以未知数的系数a,
系数化为1 不要把分子、分母写颠倒
得到方程的解
【解题方法】
按照解题步骤解方程，解的过程中注意容易出错的地方.
52代数专题・第三章一元一次方程
例:解方程：士^+七1=4.
2 3
【解答】解：二+主丑=4,
2 3
3（%-3）+ 2（%-1）=24,（去分母,提醒自己不要漏乘常数项4）
3x-9 + 2x-2=24,（去括号，提醒自己括号前是负号的时候要变号）
3x + 2x=24 + 9 + 2,（移项，提醒自己要变号）
5x=35,（合并同类项）
%=7.（系数化为1,两边同时除以系数5,千万不要想5乘以谁等于35,只记住除以系数就好;
系数为分数时，两边同乘以系数的倒数）
【变式1】解方程：之二1 = 1一七工.
3 4
X — 1 1
【变式2】解一元一次方程：才-
【变式3】解方程：|1
x-
1
j （x-l）
2
【变式4】解方程*詈一也也.
0.3
53初中数学题型方法全归纳
留题型方法6：含绝对值的一元一次方程
【题目特征】一元一次方程中含有带绝对值的项.
【解题方法】
解此类方程关键是要把绝对值符号去掉，使之成为一般的一元一次方程，去绝对值的依据是绝对
值的意义.
此类问题一般有三种形式：
第一种形式：\ax + b\=c,
解法：(1)当。<0时，无解；
(2)当c=0时，原方程化为："+ b=0；
(3)当c>0时，原方程可化为：ax + b=c或办+ 6=
第二种形式：+ b\=cx + d,
解法：去绝对值化为ox + b=cx + d或"+ 6=-3 +4，然后解这两个方程.最后，一定要检验解
是否满足cx + d2 0,不满足则要舍去.
第三种形式：\ax + b\=\cx + d\.
解法：去绝对值化为ax + b=cx + d或ax + b=- (cx + d),然后解这两个方程即可.
例：解方程：3|2x|-2=0.
【解答】解：原方程可化为：|2x|二g,
9 1
当时，得2%=女，解得：
3 3
7 1
当时，得2x=——,解得：x=-一 ,
3 3
所以原方程的解是户上1 或尸-9
4.
3 3
【变式1］解方程恸-2=0.
【变式2】解方程：|2x + 3|=4xT.
54代数专题-第三章一元一次方程
1MJK—
【变式3】解方程：|2x-l|=|3x+l|.
【变式4】解方程：|x-|3x+1||=4.
留题型方法7：含参数的一元一次方程
公众号→全科A+
【题目特征】一元一次方程中除未知数以外，还含有其他字母.
【解题方法】把除未知数以外的字母当作数字，正常求解方程.但是，当把方程化为的形式的
时候注意，如果系数是确定的数字，那么两边可以同时除以系数，得到方程的解.但是如果系数中含
有字母，那么就需要对系数进行分类讨论：
（1）当qHO 时，x=—；
a
（2）当〃=0, 6=0时，x为任意有理数；
（3）当。=0,原0时，方程无解.
解关于x的方程：4x + b=ax-S.
【解答】解：原方程可化为：（q-4）x=b + 8.（此时需要系数化为1,但是系数含有字母，不确定
是否为0,所以需要分类讨论）
当今4时，方程有唯一解：x='+8 ；
Q — 4
当〃=4, 6。-8时，方程无解；（当系数为0时，方程右边还是不确定，那就继续分类讨论）
当〃=4, b=-8时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.
解关于x的方程：mx- l=nx.
【变式2］解关于x的方程：（加-1"=（加-1）（加-2）.
55初中数学题型方法全归纳
［变式3 ］解关于x的方程：(m - l)(m - 2)x=m - 1.
【变式4】若关于、的方程：1 + 6-2q = 0有无数解，则z的值为
2 2
【变式5】若关于X的方程：（3冽-5）尸70+19有唯一解，则题中的字母加应满足的条件是
留题型方法8：形如AB=O的方程
【题目特征】一元一次方程有很多分数，去分母计算很麻烦.
【解题方法】把分子化成相同的，然后利用乘法分配律把分子提出来，这样就得到了形如43=0
的方程，若那么5=0.
1 1 2 3
伙 解方程：—（2x-3）+ —-（3-2x）+ —X = 7T -
11 ly 13 1J
【解答】解：方程可化为：\（2x-3）-3）+/2x-3）=0,
所乩卜需+总（21）=0,
因为^...-+ —0 ,所以，2%一3=0,
11 19 13
3
所以，x = — .
2
蹩々刀+工口 x — 20 x —18 x —16 x —14 x —12
【警变一式一1】解方程： f+一厂+一1+一厂+-7厂=5・
56代数专题・第三章一元一次方程
— 二口 x + b + c x + c + a x + a + b 1 1 八
匕式2】解万程： -------+------- +------- =—3. —+—+—。0
a b c \a b c J
用题型方法9：整数解方程
【题目特征】已知方程的解为整数(正整数、负整数等)，让我们求参数.
【解题步骤】
①求出方程的解；
②将解写成形如x = X的形式，其中加为字母系数，左为常数；
m
③分子左为数字，则只需要加为左的因数即可.若分子化为中含有参数，则需要使用分离常数法，将
分子化为数字.
注意：在做题过程中一定要注意题目条件，方程的解是整数、正整数还是负整数，以免出错.
例：若关于x的方程(k-4)x=6有正整数解，求自然数上的值.
【解答】解：・・,原方程有解，・・・左-4。0,
原方程的解：1 = £ 为正整数，
k — 4
工左―4应为6的正约数，即左—4可为：1, 2, 3, 6.
・•・左为：5, 6, 7, 10
答:自然数上的值为：5, 6, 7, 10.
【变式1】已知关于x的方程2"=(q + 5)x+8的解为整数，求符合条件的所有整数〃的和.
【变式2】若左为整数，求使得关于1的方程区-5=9、+ 3的解是负整数的左值.
57初中数学题型方法全归纳
【变式3】关于x的方程区+ 8=2x + 2上的解是整数，求整数上的值.
国题型方法10：同解方程
【题目特征】已知两个方程的解是相同的，求字母的值.
【解题方法】
方法1：求出一个方程的解，然后代入到第二个方程中，求字母的值.
方法2：求出两个方程的解，然后令两个方程的解相等列方程，求出字母的值.
例：若关于x的两个方程2x=a+1与3%-〃=-2是同解方程，求q的值.
【解答】解：方法1：关于x的两个方程2%=〃+1得％ =
2
•・•关于x的两个方程2x=〃 + 1与3x -斫-2是同解方程，
・・・将x =代入到3x — a= — 2依然成立，
2
，代入可得：3义3-〃 =-2,
2
解得。=-7.
方法2：解关于%的两个方程2x=a+1与3%-。=-2得：］=巴［也，x = -,
2 3
.・•关于x的两个方程2x=a+ 1与31-。=-2是同解方程，
.Q + 1 Q — 2
• • — ,
2 3
解得〃=-7.
【变式1】若关于x的两个方程2x=4与加工=加+ 1是同解方程，求阳的值.
58祢
代数专题・第三章一元一次方程
【变式2】已知关于x的两个方程2x-4=6〃和七二主+ Q.
3 6
(1)用含。的式子表示方程21-4=6々的解；
(2)若方程2x-4=6〃与七=王+〃的解相同，求。的值.
74 1Q
【变式3】若关于x的两个方程5x+ — (m + 1)=冽几与2x - mn=-■— (m + 1)是同解方程，求此时符
合要求的正整数加、〃的值.
国题型方法11：数轴动点问题
【题目特征】动点在数轴上移动，求满足某线段关系时，动点移动的时间.
【考查知识点】
1 .数轴上点的移动规律：左-右+ ;
2 .数轴上中点公式：。=巴史；
3.数轴上两点之间距离公式：AB=\a-b\.
a. 6大小确定就大-小，不确定用绝对值或分类讨论.
【解题步骤及方法】
移动过程(思维过程) 解题步骤及方法：
初始位置 一般为已知
移动距离 速度X时间(设时间为。
向右移动：
初始位置+移动距离.
移动后对应的点
向左移动：
初始位置-移动距离.
一般位置不确定，用,表示，那么和其他点的大小就不确
移动后和其他点的距离
定，所以表示距离时要带绝对值.
根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求才的值.
注：计算动点移动后和其他点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离.
59初中数学题型方法全归纳
例1:填空：
（1）点4在数轴距原点为4个单位长度，且位于原点左侧，若将4向右移动4个单位长度，再向左
移动2个单位长度，这时4点表示的数是.
（2）已知尸是数轴上的一个点，把尸向左移动3个单位长度后，再向右移动1个单位长度，这时,
它到原点的距离是4个单位长度，贝UP点表示的数是.
（3）数轴上一点，，对应的数为-3,点尸从数轴上的4点，向右运动，速度为2个单位每秒，，秒
后，/尸两点的距离为，P点所处位置对应的数为.
（4）数轴上一点4,对应的数为-2,点尸从数轴上的，点，向左运动，速度为3个单位每秒，/秒
后，/P两点的距离为. P点所处位置对应的数为.
（5）数轴上一点对应的数为-3, 5点对应的数为18,点尸从数轴上的4点，向右运动，速度为
3个单位每秒，/秒后，5尸两点的距离为.
（6）数轴上一点Z,对应的数为-3, 5点对应的数为-18,点尸从数轴上的4点，向左运动，速度
为3个单位每秒，/秒后，5尸两点的距离为.
【解答】解：（1） -2；（数轴上的平移用左-右+）
（2） - 2或6.（设P点为x,然后进行平移，最后距离原点是4,所以可能是4,也可能是-4）
（3）23 -3 + 2，.（设/尸的距离等于速度乘以时间，尸点位置等于起始点+运动距离）
（4） 36 -2-3Z.（设4尸的距离等于速度乘以时间，尸点位置等于起始点-运动距离）
（5） |21-34.（起始位置为：-3,运动距离为次,向右运动，所以终点位置为：-3 + 33而5点
位置为18,因为不知道-3+ 3/和18谁大谁小，所以计算鳍距离时加上绝对值符号，即距离为：|18
一（- 3 + 3 以=|21—3力）
（6）印-15].（起始位置为：-3,运动距离为3。向左运动，所以终点位置为：-3-3,,而3点
位置为-18,因为不知道-3-3，和-18谁大谁小，所以计算成距离时加上绝对值符号，即距离为：
|-3-3/-（-18）|=|3/-15|）
例2：如图所示，在数轴上，点4表示数-2,点5表示数4,点O表示原点，点尸是数轴上任意一
（1）若点尸位于之间，则4尸+ 5尸= （4尸、5尸分别表示点尸到点力和到点5的长度）；
（2）若/尸+ 5尸=8,求点尸所表示的数；
（3）当。尸+ 5P=4P时，点尸表示的数为.
_j—।—।—।—।——4——1——2——
1—1—।————1—।—।—1__»
-7 -6 -5 T -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
【解答】解：（1）点尸位于功之间时，AP + BP=AB=6,
（2）设尸点对应的数为x,
贝！UP=|x + 2|, BP=\x-4\,
由“尸+ 5尸=8 得：|x + 2| + |x —4|=8 得：x= -3 或x=5,
60代数专题・第三章一元一次方程
所以，点尸对应的数为-3或5.
（3）设尸点对应的数为工,
贝l]OP=|x|, 4尸=|x + 2|, BP=\x-4\f
由 OP + BP="得:|x| + |x —4|=|x + 2|,
解之得：x=2或x=6.
所以，点尸对应得数为2或6.
例3：如图，在数轴上有两点4、5,点B在点4的右侧，且48=10,点Z表示的数为-6.动点P
从点Z出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.
（1）写出数轴上点5表示的数；
（2）经过多少时间，线段4尸和5尸的长度之和为18?
4 B ,
~6~~
【解析】（1） —6+10=4.
（2）【解题步骤】
设时间为。（题目没给出时间K就设时间为3若题目给了时间为右那就不用设未知数力
第一步：动点尸的初始位置为：-6.
第二步：动点的移动距离为：4九（速度X时间）
第三步：动点的终点位置为：-6 + 4九（向右运动，所以终点位置=初始位置+移动距离.）
第四步:计算线段长度，即一=|-6 +々-4|,
4尸二4』.（用大数减小数，不知道大小带绝对值.）
第五步：列方程：| - 6 + 4/- 4| + 4/=18,
最后，解方程，解之得：片3.5秒.
【解题书写过程】
【解答】解：设时间为方，
那么，尸二43
所以，尸点对应的数为-6 +小，
所以，此时5尸=| - 6 + 4,-4|,
根据题意，|一6 + 4/-4| + 4%=18,
解之得：片3.5秒.
61初中数学题型方法全归纳
【变式1】已知如图，在数轴上有Z、B两点,所表示的数分别为-10、-4,点4以每秒5个单位
长度的速度向右运动，同时点5以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为/秒，解答
下列问题：
(1)运动前线段48的长为；运动1秒后线段45的长为；
(2)运动，秒后，点H点5运动的距离分别为 和；
(3)求才为何值时，点4与点5恰好重合；
(4)在上述运动的过程中，是否存在某一时刻£,使得线段43的长为5,若存在，求，的值；若不
存在，请说明理由.
A B
-10 ~1 -4 0 1 4
【变式2】填空：
(1)已知数轴上有4、5两点，分别表示的数为2和20,那么，线段45的中点C点对应的数是,
/、B两点间的距离为；
(2)已知数轴上有4、B两点,分别表示的数为2和20,点尸以每秒2个单位的速度从4点沿数轴
向右匀速运动，，秒后(长9), 4、尸两点之间的距离为, B、尸两点之间的距离为，尸点
在数轴上的位置对应的数为；
(3)已知数轴上有4、B两点,分别表示的数为2和20,点尸以每秒1个单位的速度从，点沿数轴
向右匀速运动，点。以每秒2个单位的速度从5点沿数轴向左匀速运动，秒后，P、。两点相遇,
相遇时，尸、。点在数轴上的位置对应的数为;
(4)已知数轴上有4、B两点,分别表示的数为2和20,点尸以每秒3个单位的速度从/点沿数轴
向右匀速运动，点。以每秒1个单位的速度从5点沿数轴向右匀速运动，秒后，点P追上点
追上点。时，尸、0点在数轴上的位置对应的数为.
62代数专题・第三章一元一次方程
【变式3】小颖在一张纸上画一条数轴，并在数轴上标出4、B、C三个点，点4表示的数是-8,
点8在原点的右边且与点/相距20个单位长度.
(1)点5表示的数是;
(2)将这张纸对折，此时点5与表示-4的点刚好重合，折痕与数轴交于点C,求点。表示的数；
(3)若点。到点4和点5的距离之和为25,求点。所表示的数；
(4)点4点8同时从初始位置沿数轴向左运动，它们是速度分别是每秒1个单位长度和每秒2个单
位长度，运动时间是，秒，是否存在，的值，使/秒后点力到原点的距离与点5到原点的距离相等？若存
在，请求出，的值；若不存在，请说明理由.
【变式4】已知4、B、。是数轴上的点，点/对应的数是-6,点5对应的数是6,点C对应的数是
-2,如果点。以每秒2个单位长度的速度从点5向左运动，设运动时间为，秒.
(1)当才为何值时，点C恰好是50的中点；
(2)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点，出发向右运动，则当才为何值时，PC=2PB.
【变式5】已知在数轴上4、5两点对应数分别为-4, 20.
(1)若尸点为线段的中点，求P点对应的数；
(2)若点4、点5同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点"(四点在原点)同时以4个单位
长度/秒的速度向右运动，几秒后点M到点4、点5的距离相等？求此时〃对应的数；
(3)在(2)的条件下，是否存在瓶点，使3比4=2班？若存在，求出点M对应的数；若不存在，
请说明理由.
63海
初中数学题型方法全归纳
【变式6】如图，已知点4 B、。是数轴上三点，。为原点，点。对应的数为6, BC=4, AB=12.
C
~A 0~B
（1）求点4、8对应的数；
（2）动点尸、。同时从4、。出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动.M
为4尸的中点，上，且CN=；C0,设运动时间为《》0）.
①求点M、N对应的数（用含，的式子表示）；
②,为何值时，OM=2BN.
【变式7】已知数轴上两点/、5对应的数分别为-1、3,点尸为数轴上的一动点，其对应的数为x.
B ,
A
-1 6 3~~"
（1）如果点尸是4s的中点，则尸;
（2）如图，点P以1个单位长度/s的速度从点。向右运动，同时点，以5个单位/s的速度向左运动,
"一
点5以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是4P、03的中点，问： 的值
MN
是否发生变化？请说明理由.
【变式8】如图，数轴上线段45=2 （单位长度），8=4 （单位长度），点Z在数轴上表示的数是
-10,点C在数轴上表示的数是16.若线段43以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CQ
以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.
6
AB CD"
（1）问运动多少时5C=8 （单位长度）；
（2）当运动到5。=8 （单位长度）时，点5在数轴上表示的数是；
（3） P是线段48上一点，当5点运动到线段CQ上时，是否存在关系式弛二丝=3,若存在，求
PC
线段PC的长；若不存在，请说明理由.
64卷_______
代数专题-第三章一元一次方程
国题型方法12：和、差、倍、分问题
【题目特征】已知数量之间的“和、差、倍、分”，求该数量.
基本量及关系：
1 .增长量=原有量x增长率；
2 .现有量=原有量+增长量；
3 .现有量=原有量—降低量.
【解题方法】此类题型，需要弄清楚“倍数”“多”“少”等关系.
1 .甲是乙的Q倍：甲=乙><4;
2 .甲比乙多工：甲二乙xQ + 工)；
a a
i i
3.甲比乙少乙：甲=乙乂(1 —士).
a a
设未知数技巧：一般设“比、是”后面的量为
1【解题步骤】
(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，
寻找等量关系；
(2) “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为工,但有时也可以间接设未知数；
(3) “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是
同一类量，单位要统一；
(4) “解”就是解方程，求出未知数的值；
(5) “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可;
(6) “答”就是写出答案，注意单位要写清楚.
例：在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级
收到的征文篇数比八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？
【解答】解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有(118-x)篇，
依题意得：(% +2)x2=118 -
解得：x=38.
答：七年级收到的征文有38篇.
【变式1】学校机房今年和去年共购置了 100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计
算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是( )
A. 25 台 B. 50 台 C. 75 台 D. 100 台
【变式2］今年收入比去年提高20%,今年人均收入比去年的1.5倍少1200元，求去年的人均收
入是多少？
65春
初中数学题型方法全归纳
【变式3】把一根长100c冽的木棍据成两段，使其中一段长比另一段的2倍少5cm,求分成的两段
木棍的长度.
留题型方法13:年龄问题
【题目特征】已知几个人的年龄关系，求这几个人的年龄.
【解题方法】
1 .设未知数：一般设现在其中一人的年龄，然后表示出另一人的年龄，有时候设过去和未来的时
间差；
2 .表示过去或者未来的年龄；
3 .列方程：知道年龄差，利用过去或者未来的年龄关系列方程；不知道年龄差，根据年龄差值不
变列方程；
4 .解方程.
可利用如下表格分析问题：
现在年龄 时间差 某时刻年龄
甲
乙
甲-乙
例：姐姐比弟弟大3岁，若5年前姐姐的年龄是弟弟的2倍，则姐姐现在的年龄是 岁.
【解答】解：设姐姐现在的年龄是x岁，则弟弟现在的年龄是Q-3)岁，
依题意得：x-5=2(x-3-5), 现在年龄 时间差 5年前年龄
解得：x=ll. 姐姐 X x-5
故答案为：11. 弟弟 x-3 5 x-3-5
姐-弟 3 3
【变式D小明今年13岁，他的妈妈39岁，一年后，小明的年龄是他妈妈年龄吟
【变式2】父亲和女儿的年龄之和是96,当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄比
父亲现在年龄吗多2,则父亲现在的年龄是一.
66代数专题・第三章一元一次方程
3】今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷
年龄的三分之一.求小李爷爷今年的年龄.
留题型方法14：行程问题
【题目特征】与行驶路程和行驶时间有关的问题.
【解题方法】
①一般行程问题：
路程=速度X时间.
②相遇问题（或相向问题）：
I .基本量及关系：相遇路程=速度和X相遇时间，
II .寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
③追及问题：
I.基 本量及关系：追及路程=速度差X追及时间，
II .寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
④航行问题：
I .基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度-水流速度，
顺水速度-逆水速度=2X水速；
II .寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
⑤环形跑道问题：
第一，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；
第二，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.
（一般行程问题）小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间
离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到
县城的距离是多少千米？
【解答】解：设小山娃预订的时间为x小时，
由题意得：4x + 0.5=5（x-0.5）,
解得x=3.
所以 4x + 0.5=4x3 + 0.5=12.5（千米）.
答：学校到县城的距离是12.5千米.
67春
初中数学题型方法全归纳
例2：（相遇问题）4、B两地相距100加，甲、乙两人骑自行车分别从4、5两地出发相向而行，
甲的速度是23而"，乙的速度是21碗/人甲骑了 1〃后，乙从5地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【解答】解：设甲经过x小时与乙相遇.
由题意得：23xl +（23 + 21）（x-l） = 100 . 甲 乙
-------------------------x小时一
---甲1小时—
解得，x=2.75.
答：甲经过2.75小时与乙相遇.
例3：（追及问题）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了 18
分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追
上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
【解答】解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，
1 Q
则根据题意得：14x = 5x — + 5x.
60
解得：x = 工小时=10分钟.
6 6
答：通讯员用10分钟可以追上学生队伍.
例4：（航行问题）一艘船航行于4、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小
时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离.
【解析】解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（％+ 4）千米/时，逆水航行
的速度为（％-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：3。+ 4）=5。-4）,解得：尸16,
（16 + 4） x3=60 （千米）.
答：两码头之间的距离为60千米.
解法2：设8两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为主千米/时，逆水航行时速度
3
为^千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：--4 = - + 4,解得：x=60.
5 3 5
答：两码头之间的距离为60千米.
例5：（环形跑道问题）已知环形跑道一圈长为400米，小丽与小杰的速度之比为3:4,如果小
丽和小杰在跑道上相距8米处同时反向出发，经过28秒后两人首次相遇，求两人的速度各是多少？
【解答】解：设小丽的速度为次米/秒，则小杰的速度为4%米/秒，
依题意得：（3x +4x）x28 + 8=400,
解得:x=2,
3x=6 （米/秒），4x=8 （米/秒）.
答：小丽的速度为6米/秒，小杰的速度为8米/秒.
【变式1】从下午3点步行到晚上8点，先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走
平路返回出发地.若他走平路每小时4千米，上山每小时3千米，下山每小时6千米，问这个人一共
走了多少千米？
68代数专题・第三章一元一次方程
【变式2】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45%的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙
多走2.5而，求甲、乙每小时各行驶多少千米？
【变式3】4 8两地相距450千米，甲、乙两车分别从4、5两地同时出发，相向而行.已知甲的
速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过，小时两车相距50千米，则f的值是多少？
【变式4】小李和爸爸周末去体育中心晨练，两人沿400米的跑道匀速跑步，每次总是小李跑了 2
圈爸爸跑3圈，一天两人在同地反向而跑，小李最后发现隔了 32秒两人第一次相遇.
(1)求两人的速度；
(2)若小李和爸爸在同地同向而跑，则过多久两个人首次相遇？
【变式5】4、5两地相距360碗，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从4地出发驶往8地，
已知货车的速度为60批/人小轿车的速度为90左加/〃，货车先出发后小轿车再出发，小轿车到达5
地后在原地等货车.
(1)求小轿车出发多长时间追上货车？
(2)当两车相距50左加时，求小轿车行驶的时间？
【变式6】两人沿着边长为90加的正方形行走，按4-..方向，甲从，以65加/疝〃的速
度,乙从5以72m/加〃的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上？
69初中数学题型方法全归纳
【变式7】盛夏，某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从4地上船，沿江而下至5地,
然后溯江而上到。地下船，共乘船4小时.已知/、。两地相距10千米，船在静水中的速度为7.5千米
/时，求，、5两地间的距离.
【变式8】渔夫在静水划船总是每小时5里，现在逆水行舟，水流速度是每小时3里；一阵风把
他帽子吹落在水中，假如他没有发现，继续向前划行；等他发觉时人与帽子相距2.5里；于是他立即
原地调头追赶帽子，原地调转船头用了 10分钟.
(1)求顺水速度，逆水速度是多少？
(2)从帽子丢失到发觉经过了多少时间？
(3)从发觉帽子丢失到捡回帽子经过了多少时间？
【变式9】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行，黄莺每分钟走66米,
麻雀每分钟走59米，经过几分钟才能相遇？
国题型方法15：工程问题
【题目特征】与工作总量和工作时间有关的问题.
【解题方法】
基本关系式：
(1)总工作量=工作效率X工作时间；
(2)总工作量=各单位工作量之和.
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为L
70祢
代数专题-第三章一元一次方程
一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可
以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池？
【解析】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池
的工，甲管单独注水每小时注水池的•！，合注7小时注水池的工，乙管每小时注水池的
10 15 10 <10 15 J
【解答】解：设乙管还需/小时才能注满水池，
由题意得方程：f---------]x = l-----，
<10 15J 10
解此方程得：x=9.
答：单独开乙管，还需9小时可以注满水池.
【变式1】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完
成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成，问乙
中途离开了几天？
【变式2】一件工程单独甲做20小时，乙要12小时，现由甲先单独做4小时，然后乙加入合做,
一共需要合做几个小时？
【变式3】加工一批零件，由一人做需要100小时，现在计划先由若干人做2小时，再增加5人
做9小时，恰好完成任务，先安排多少人做2小时？
【变式4】一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成.现要求20小时完成，并且两
人合作的时间尽可能短，那么甲乙合作了多长时间？
71海
初审数学题型方法全归纳
留题型方法16：调配问题
【题目特征】要完成某项工作，需要合理分配工作人数、工作时间等，使达到工作预期.
【解题方法】
按照和、差、倍、分问题进行求解.
例：某车间有工人68人，平均每人每天可以加工大齿轮8个或小齿轮10个，又知一个大齿轮和
三个小齿轮配为一套，问应该如何安排劳力使生产的产品刚好配套？
【解析】依据题意，等量关系式为：大齿轮生产数量:小齿轮生产数量=1:3.
【解答.解：设分配x人生产大齿轮，则(68-x)人生产小齿轮，
由题意得方程：8%： 10(68-%)= 1:3,
解得：x=20,
则生产小齿轮人数为：68-20=48人，
答：生产大齿轮20人，小齿轮48人.
【变式1】某班分两组去两处植树，第一组22人，第二组26人.现第一组在植树中遇到困难，
需第二组支援•问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则
可列方程( )
A. 22+x=2x26 B. 22 + x=2(26 -x)
C. 2(22+x)=26-x D. 22=2(26 —x)
【变式2】甲队有72人，乙队有68人，需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队
人数的上？
4
【变式3】六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书
节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2:1,问应从六年级、七年级各选出多少人？
【变式4】某水利工程派35人去挖土和运土，如果每人每天挖2方或运3方土，那么应该怎么安
排人员，正好使挖出的土能及时运走？
72代数专题-第三章一元一次方程
江 电. ©
留题型方法17：利润问题
【题目特征】与销售有关问题.
【解题方法】
销售问题中有四个基本量：成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率.
(1)商品利润=商品售价-商品成本价；
(2)商品利润率=(商品利润+商品成本)xlOO%；
(3)商品销售额=商品销售价x商品销售量；
(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)x销售量；
(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%
出售.
注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折
就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
例：某商场销售的一款空调机每台的标价是3270元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，
仍可盈利9%.
售价消价)
(1)求这款空调每台的进价；(利润价二鬻-
进价 进价
(2)在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？
【解答,解：(1)设这款空调每台的进价为x元，根据题意得：
3270x0.8-x=9%x,
解得：尸2400,
答：这款空调每台的进价为2400元；
(2)商场销售这款空调机100台的盈利为：100x2400x9%=21600 (元)，
答：商场销售了这款空调机100台，盈利21600元.
1式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润
率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？
【变式2】张新和李明相约到图书大厦去买书，请你根据他们的对话内容，求出李明上次所买书
籍的原价.
是的,我上次买了心
本书,加上办长的费
用,还省了 12元.」
73初中数学题型方法全归纳
【变式3】晨光文具店分两次购进一款礼品盲盒共70盒，总共花费960元，已知第一批盲盒进价
为每盒15元，第二批盲盒进价为每盒12元.
（1）文具店老板计划将每盒盲盒标价20元出售，销售完第一批盲盒后，再打八折销售完第二批
盲盒，按此计划该老板总共可以获得多少利润？
（2）在实际销售中，该文具店老板在以（1）中标价销售完加盒后，决定搞一场促销活动，尽快清
理库存.老板先将标价提高到40元每盒，再推出活动：购买两盒，第一盒七五折，第二盒半价，不
单盒销售.售完所有盲盒该老板共获利710元，求加的值.
【变式4】阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是乙种苹果
重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/千克） 5 8
售价（元/千克） 10 15
（1）水果店购进两种苹果各多少千克？
（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次
的3倍；甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售.第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735
元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？
留题型方法18：存贷款问题
【题目特征】与存贷款利率有关问题.
【解题方法】
（1）利息=本金X利率X期数；
（2）本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金x（l+利率x期数）;
（3）实得利息=利息-利息税；
（4）利息税=利息、利息税率；
（5）年利率=月利率xl2；
（6）月利率二年利率xJ-.
74称
代数专题・第三章一元一次方程
例：爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7%,五年后取出本息和为17025元，
爸爸开始存入多少元？
【解答】解：设爸爸开始存入x元.根据题意，得x + xx2.7%x5=17025,
解之得x= 15000,
答：爸爸开始存入15000元.
【变式1】某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%（不计复
利），每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售额的10%.如果每年生产10万个，并把
所得利润（利润=售价-成本-应纳税款）用来偿还贷款，问几年后能一次性还清？
【变式2】小明把压岁钱按定期一年存入银行.当时一年期存款的年利率为1.98%,利息税的税率
为20%.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为507.92元.问小明存入银行的压岁钱有多少
元？
【变式3】老王把5000元按一年期的定期储蓄存入银行.到期支取时，扣去利息税后实得本利和
为5080元.已知利息税税率为20%,问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？
国题型方法19：数字问题
【题目特征】已知一个数的个位、十位、百位上的数字及数字间的数量关系，求该数字.
【解题方法】
这类问题一般间接设未知数，千万不要直接设这个数字是多少，而是设某一位上（个位、十位或
百位）的数字为多少.
如何表示该数字：若一个三位数的个位数字为Q,十位数字为江百位数字为C,则这个三位数可
以表示为100c + 106 +a.
例：一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2,
又个位、十位、百位上的数的和是14,求这个三位数.
【解答】解：设百位上的数为x,则十位上的数为2x,个位上的数为14-2x-x,
由题意得：x+ 14- 2x-x=2x + 2,
解得：x=3,
.\2x=6, 14 - 2x-x=5f
答：这个三位数为365.
75初中数学题型方法全归纳
【变式1】一个两位数，个位数字与十位数字的和是9,如果将个位数字与十位数字对调后所得的
新数比原数大9,则原来的两位数为多少？
【变式2】一个两位数，十位上的数与个位上的数字之和为11,如果十位上的数字与个位上的数
字对调，则所得的新数比原来的数大63,求原来的两位数.
【变式3】阅读理解题，
阅读下列材料：
若一个三位数的十位数字是个位数字的2倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如521.
(1)已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大1,其各位数字之和是16,求这个“倍尾数”;
(2)若一个“倍尾数”的各位数字之和是17,求出所有符合要求的“倍尾数”.
留题型方法20：积分问题
【题目特征】依据胜负、对错进行得分的有关问题.
【解题方法】有些比赛结果只有胜负；有的比赛结果又胜负和平局，那么:
比赛总场数=胜场数+负场数+平场数，
比赛积分=胜场积分+负场积分+平场积分，
解题时利用好如下表格：
胜 负 平 总场数
场数
积分
总积分
例：足球赛8轮，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分.在这次足球比赛中，猛虎队平
的场次是负的场次的2倍，且8场比赛共得17分，该队共胜多少场？
【解答】解：设该队共负x场，则平2%场，胜(8-3x)场，
依据题意，等量关系式为：平场分数+胜场分数=总得分，
2%+ 3 (8-3%) =17, 胜 负 平 总场数
解得：x=l, 场数 8-3x X 2x 8
所以负1场，平2场，胜8-3=5场, 积分 3 0 1
总积分 3(8-3x) 0 2x 17
答：该队共胜5场.
76称
代数专题・第三章一元一次方程
【变式1】足球比赛，胜一场记3分，平一场记1分，输一场不得分.一支足球队在某个赛季中
共比赛14场，现在已比8场，输了 1场，共得17分.问：
(1)前8场比赛中，这支球队共胜多少场？
(2)打满14场，最高能得多少分？
(3)通过比赛分析，到比赛结束，得分不低于29分，则后面的6场比赛至少要胜几场才能达到
预期目标？
【变式2】某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，要求每题必答，每答对一题得5分，答错
一题扣1分，小智参赛得到了 76分，他答对了多少题？
【变式3】某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题
必答，下表记录了其中2名学生参赛后的得分情况.
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 18 2 86
B 17 3 79
(1)参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什么？
(2)参赛学生。说他可以得94分，你认为可能吗？为什么？
留题型方法21：分段计费问题
【题目特征】收费单价和用量有关，在不同段的单价是不同的.
【解题方法】
若根据用量计算总价格时，用每一段的用量乘以单价，最后求和即可.
若根据总价计算用量时，那么，就得先讨论用量的范围.
77海
初中数学题型方法全归纳
-S—
例：我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示:
分档水量 年用水量 水价（元/吨）
第1级 180吨以下（含180吨） 5
第2级 180-260 吨（含 260 吨） 7
第3级 260吨以上 9
若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：180x5 + 80x7 +（270 -
260）x9=1550 （元）.
（1）如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？
（2）如果小明家2020年的用水量为q吨（。＞260）,求小明家全年应缴水费多少元？（用含〃的代数
式表示，并化简）
（3）如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？
【解答】解：（1）根据题意得：180x5+（200-180）x7=1040 （元），
・・・小丽家全年需缴水费1040元；
（2）根据题意得：180x5 + 80x7+（4-260）x9=94-880 （元），
答：小明家全年应缴水费（9a-880）元；
（3） •・,用水量为260吨，需缴水费：180x5 + 80x7=1460 （元），
・•・全年缴水费2000元，用水量大于260吨，
设该年的用水量为利屯，
根据题意可得：9%-880=2000,
解得:x=320,
・••该年的用水量为320吨.
【变式1】“水是生命之源”，某自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：
月用水量/吨 单价（元/吨）
不超过20吨的部分 2
超过20吨的部分 2.5
另：每吨水加收0.3元的城市污水处理费
（1）若某用户n月份共用水25吨，他应缴水费多少元？
（2）若该用户的水表有故障，每次用水只有60%计入用水量，在这样的情况下12月份共缴水费
41.4元，则该用户12月份实际用水多少吨？
78代数专题-第三章一元一次方程
【变式2】某市出租车收费标准是：起步价为8元，3千米后每千米为2元，若某人乘坐了工(%>3)
千米.
(1)用含x的代数式表示他应支付的车费；
(2)行驶30千米，应付车费多少钱？
(3)若他支付了 36元，你能算出他乘坐的路程吗？
【变式3】某地出租车的收费标准如下：起步价11元，2公里内不另外收费，超过2公里的部分
每公里3元.
(1)若单次乘坐出租车的里程为6公里，应付车费多少元？
(2)若单次乘坐出租车的车费为41元，乘车里程是多少公里？
(3)若单次乘坐出租车的里程为加公里(机>0),应付出租车费多少元？
79初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:平方根和立方根
【题目特征】求平方根、算术平方根或立方根.
【考查知识点】
1.平方根
平方根 解释 总结
一般地，如果一个数X的平方等于内即/=* 那么这 （1） 一个正数有两个互为相
个数X叫作。的平方根（也叫作二次方根）.0只有一个 反数的平方根；
定义
平方根，它是0本身. （2） 0的平方根为0；
例如：9的平方根为±3, 225的平方根为±15. （3）负数没有平方根.
一个非负数。的平方根可用符号表示为±G . 求一个数〃的平方根的运
算，叫作开平方（开方），
表示 数学语言：若必=4（〃20）,则
〃叫作被开方数.开方运算
例如：7的平方根为±77, 26的平方根为土国.
和平方运算互为逆运算.
2.算术平方根
算术平方根 解释 总结
一般地，如果一个正数X的平方等于即f=Q,那
么这个正数X就叫作Q的算术平方根.记作五，读作 （1） 一个正数只有一个算术
“根号.特别地，我们规定：0的算术平方根是0, 平方根；
定义
即 n=o. （2） 0的算术平方根为0；
例如：9的算术平方根为3, 7的算术平方根为近，0 （3）负数没有算术平方根.
的算术平方根为0.
双重非负性：在式子五中，有a 2 0且G N0.
两个重要等式：
（1）如果则有（6『=〃；
重要性质
（2）对于任意的数a,则有=同=
3.立方根
立方根 解释 总结
一般地，如果一个数X的立方等于即/=〃，那
（1）任何实数都只有1个立方根；
么这个数X叫作〃的立方根（也叫作三次方根）.
定义 （2）正数的立方根为正数，负数的
例如：27的立方根为3, -125的立方根为-5,
立方根为负数，0的立方根为0.
0的立方根为0.
求一个数。的立方根的运算叫作开立方，Q叫作被
开方数，可用符号表示为折，读作“三次根号〃”，
求一个数的立方根的运算，叫作开
表示 布中“3”叫作根指数.
立方，开立方与立方互为逆运算.
数学语言：若/=〃，则尸标.
例如：7的立方根为近，-3的立方根为-西.
重要性质 （1）在式子标中，。为任何实数；（2）（勿）3=々； @=4.
80代数专题-第四章实数
【解题方法】
1 .记住以下数据:
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
数字 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
计算具体数字的平方根或者立方根的时候，可以通过上面表格进行计算.别忘记符号.
2 .正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根只有0—个.
算术平方根只有1个.
立方根只有1个.
3 .字母开方、平方的两个重要公式：
② = \a\.
例：已知一个正数加的平方根是2。-1与2-必a+ 6 + 2立方根是2,求加+ 6的平方根.
【解答】解：・・・2a-1与2-a是正数相的平方根.
・・・(2a-1) + (2 - 0=0,
Q= - 1,
・••加=(2 — a)2=32=9 ,
,•7 + 6 + 2立方根是2,
「・ a + b + 2=8,
：.b=7,
.*.m + b=9 + 7=16.
所以加+ b的平方根是±4.
【变式1】判断下列各题，并说明理由.
(1)的平方根是±9.( )
(2)算术平方根一定是正数.( )
(3) G一定是正数.( )
(4) 没有算术平方根.( )
(5) V9=±3.( )
(6)若犬=36 ,贝Ux = ±J^ 二 ±6.( )
81初中数学题型方法全归纳
(7) —6是(—6『的平方根.( )
(8) (-6)2的平方根是-6.( )
(9)"的算术平方根是( )
(10)若 J(-a) =5 ,则〃=-5.( )
(11)若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等.( )
(12)如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等.( )
【变式2】已知一个正数的平方根是2。-3和5 -a, b的立方根是-2,求2q-6的平方根.
【变式3】已知正数x的两个不同的平方根分别是2a-1和a-5,且％-歹-3的立方根为3.
(1) 填空：x=，y=， a=；
(2)求x-y + 34的平方根.
【变式4】已知4 =加的石3是加+ 3的算术平方根，8 = 2…可口是〃—2的立方根，试求:
(1)冽和〃的值；
(2) 4—5的值.
留题型方法2:判断无理数
【题目特征】判断哪些数是无理数.
【考查知识点】无理数的概念：无限不循环小数又叫作无理数.在理解无理数时，要抓住“无限不
循环”这一实质.
【解题方法】常见无理数的三种形式：
(1)开方开不尽的数，如百，啦等；
(2)有特定意义的数，如圆周率血或化简后含有n的数，如巴+ 3等；
2
(3)无限不循环的数，如0.1010010001…等.
82春
代数专题・第四章 实数
例；在3.14、瓦、三、-出、后、2兀、0.2020020002这七个数中，无理数有（ ）
7
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解答】解：3.14、—> V27> 0.2020020002是有理数，
7
屈、Y、2〃是无理数，无理数的个数是3,
故选：C.
【变式1】下列说法中①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③-2是4的平方根；
④带根号的数都是无理数.其中正确的说法有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【变式2】下列实数中，内、狞、-3.14、疝I、^=27 > 0、0.3232232223...（相邻
7 2
两个3之间依次增加一个2）,无理数的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【变式3】在下列各数中是无理数的有（ ）
—J（—5）2、回、；、0、-71 > 疝、3.1415、A、2.010101 …（相邻两个 1 之间有 1 个 0） •
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
留题型方法3:无理数的估算
【题目特征】估算一个无理数的取值范围.
【解题方法】
（1）若贝uG；
（2）若 qVQV%，贝!J <布 < ^7 .
根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离。最近的两个平方数或立方数，来估算G或标的
大小.例如：若9<。<16,则3<五<4.
常见实数的估算值：收a 1.414,6b 1.732,石。2.236.
例：估计组包的值在（ ）
2
A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间
【解答】解：:3<后〈4,
4< V13+l<5 ,
・•・-'13 + 1的值在2到2.5之间.
2
故选：B.
83【变式1］设几为正整数，且〃＜庖＜〃+1, 则〃的值为（
A. 6 B. 7 C. 8
【变式2】估计后的大小应在（ ）
A. 7〜8之间 B. 8.0〜8.5之间 C. 8.5〜9.0之间 D. 9〜10之间
【变式3】估算回-近的值在（ ）.
A. 7和8之间 B. 6和7之间 C. 3和4之间 D. 2和3之间
时题型方法4：求无理数的整数部分和小数部分
【题目特征】求无理数的整数部分和小数部分.
【考查知识点】任何实数都可以由整数部分和小数部分组成，整数部分指的是不超过这个实数的
最大整数，小数部分是这个实数减去它的整数部分.
【解题方法】
第一步，估算这个无理数约为几点几；
第二步，取比它小的整数即为这个无理数的整数部分；
第三步，用这个无理数减去它的整数部分即为这个无理数的小数部分.
例：指约为2点几，所以它的整数部分为2,那么小数部分为石-2；
J标_3约为4点几减3,等于1点几，所以，它的整数部分为1,那么小数部分为
718-3-1 = 718-4 ；
-J正约为-3点几，所以它的整数部分为-4,那么小数部分为4）= 4-厉.
【变式1】已知小6分别是6-而的整数部分和小数部分，则2〃-6的值是（ ）
A. V13-2 B. 2-V13 C. V13 D. 9-V13
【变式2】若〃是丽-1的整数部分，b是5 +逐的小数部分，则〃（石的值为（ ）
A. 6 B. 4 C. 9 D. 3石
【变式3】若9 +而与9-J石的小数部分分别为〃与6,财z+ 6=.
【变式4】数轴上在表示数-百的点Z和表示数后的点B之间表示整数的点共有 个.
留题型方法5：无理数大小比较
【题目特征】求无理数的大小关系.
【解题方法】
1 .实数的性质：正实数大于0,负实数小于0;两个正实数比较大小，绝对值大的数大，两个负
84代数专题-第四章实数
实数比较大小，绝对值大的反而小.
2 .数轴法：数轴右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
3 .平方立方法：b>0,
若a>b,则G >四；
若 a<b,则 G < VF ；
若a=b,则八= JF.
4 .作差法：
若Q-b>0,则 a>b；
若。-6=0,贝!Ja=b；
若。一6<0,则
5 .作商法：a>0, b>0,
若3〉1,则a>b；
b
若3 = 1,贝！Jq=6；
b
若@<i,贝!）。助.
b
6 .倒数法：q>0, b>0,
若工>1,贝！Ja<6；
a b
若［=工，贝！1。=6；
a b
若贝
a b
7 .特殊值法：对于较复杂问题，可以代入一个符合条件的数，求出具体数值后再比较.
记住这三个特殊值：后B1.414,百。1.732,右。2.236.
例1：比较实数：2、也、近的大小，正确的是（ ）
A. V7 <2< V5 B. 2< V7 < V5 C. V5 < V7 <2 D. 2<亚<小
【解答】解：・・・2 = C〈正，・・・2<布，
■:近〈双=2 , J 的 < 2 ,
V7 < 2 < V5 .
故选：A.
例2：已知"V7-百，fo = V5-V3 , c = 3-S,贝!Jq、b、c三个数的大小关系是（ ）
A. b>c>a B. b>a>c C. a>b>c D. c>a>b
［解答］解：*.* a = V7- V5 , b = \l~5 - V3 , c = 3- S ,
.1 _ 1 _近 + 出 1_ 1 _a/5+a^ 1_ 1 _3 + V7
a V7 — V5 2 b — y/3 2 c 3 — 5/7 2
85祢
初中数学题型方法全归纳
・ ・•近> 5
.11
• •一 > 一，
a b
• ： 3》 旧,
.11
• ♦一 < 一，
a c
b> a> c .
故选：B.
【变式，比较⑪与乎的大小，结果是（）
A.前者大 B.后者大 C. 一样大 D.无法确定
【变式2】已知。=及-1 , /? = V6-2 , c = 2V2-V6 ,那么q、b、。的大小关系是（ )
A. a<b<c B. c<b<a C. b<a<c D. c<a<b
【变式3】比较大小：星2________1.（填“〉"，"V "或）
3 6
【变式4】比较大小错误的是（ ）
" :运
A, V5 < V7 B. V35+2< V82-1 C. > —6 D. 2G>3 也
留题型方法6：实数的简单计算
【题目特征】实数简单计算.
【考查知识点】立方根的性质以及算术平方根的性质.
【解题方法】无理数两个计算公式：
+n& = （m + 〃）石，
x
y[a \[b = \[ab .
例：计算：
(1) V9 + V—8 + 4^^ ； (2) — 2a/^)x - 6^^ .
【解答】解：(1)原式=3-2 + 4xg
(2)原式=3a/^-2a/T^-6x----
2 2
=3-2 + 2
= 3a/2-2a^5-3a/2
二3；
=—2a/L5 .
86代数专题・第四章实数
【变式1】计算：V4-V8+(-l)2020 .
【变式2】计算下列各题：
(1) x J(—2)2+；x&125 —(一5『x10.008 ；
(2) (V3+3V2-^) (V3-3V2-V6).
【变式3】计算：
(1) 716 + ^27 + >/49 ； (2) |\/2 — | + 1(-5)— .
国题型方法7：应用平方根的非负性解题
【题目特征】已知一个式子中有两个字母(不定方程)，并且有绝对值、根号、平方等，让我们求字
母的值.
【解题方法】无论任何时候，
看到夜，立马写出a 2 0,
看到五=b,立马写出620,
看到同倒,立马写出6N0,
看到几个非负数和的取值，如G+|b|=c,那么cN0.
例：已知y = Vx-1 + Vl-x + 3 ,贝！k-y=.
【解答】解：+
/. (看到根号，立马写出根号底下的整体大于等于0.)
解得:x=l,
.*.^=3,
-2.
故答案为：-2.
87初中数学题型方法全归纳
【变式1］已知实数4满足|2006-q| + Ja-2007 = a ,贝2006?=.
【变式2］已知。=冬仗包也±+36,贝~+ 6的立方根是_______.
b-2 "
【变式3】若x、y为实数，且满足20^I + 3 = x-4,则 F7的算术平方根为.
【变式4】已知x、y为实数，且jm —亍=0,那么/u_2ou=.
【变式5】若、二一3,则1-J(l + x『=；计算|3 —H + —4)2的结果是.
【变式6】实数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
0
a b c
化简：- 9 + 4 + J(c - 4 + 6『+ 1 + .
【变式7】已知J(x-1000『+(j998 — x『 = 2000 , 、= J加+ 8 + =T+Ji —」,求》一工的平方
根.
留题型方法8：有理数和无理数的关系
【题目特征】已知字母为有理数，并已知一个含有两个字母的式子，让我们求两个字母的值.
【考查知识点】实数的分类：
'正整数、
整数 0
有理数 、负整数 有限小数或无限循环小数
实数 ［正分数
分数
负分数
'正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
【解题方法】
把式子化成“有理数x无理数=有理数”的形式;
因为，有理数x无理数=有理数，所以这两个有理数一定为0.
所以，可以通过两边的有理数都为0,列方程进而求出字母的值.
88代数专题-第四章实数
例：已知〃、6均为有理数，并满足等式4-后="3百-2〃，求a、b的值.
2
=(»6，
【解答】解：已知等式可变形为(4 + 2〃-6)
因为a, b是有理数，所以，4 + 2 j为有理数，沁为有理数，而6为无理数.
4+2。-6=0
所以《3
—F a二0
__3
解之得好一5.
b = l
【变式1】下面有四个命题：
①有理数与无理数之和是无理数；
②有理数与无理数之积是无理数；
③无理数与无理数之和是无理数；
④无理数与无理数之积是无理数.
请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由.
【变式2】已知x、y均为有理数，且(4 +后卜+(3-3石卜= 4+6,求%、y的值.
C (\ 日、
【变式3］已知小y是有理数，且:+ ］卜+ 黄卜—2.25—1.45百=0 ,求x、y的值.
89祢
初中数学题型方法全归纳
X X X X X-
第 五 章 二 元
留题型方法1:判断二元一次方程
【题目特征】判断一个式子是否为二元一次方程.
【考查知识点】二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程,
叫作二元一次方程.二元一次方程的一般形式为：qx +勿+ c=O（arO,厚0）.
【解题方法】判断方程是否为二元一次方程必须同时满足四个条件：
（1）含有两个未知数——“二元”；
（2）未知数项的最高次数为1——“一次”；
（3）方程两边都是整式——整式方程；
（4）未知数的系数不能为0.
例：下列各式是二元一次方程的是（ ）
2 9
A. x-y B. 2x=4y- 3 C. x=—5 +12 D. x2 +^=0
y
【解答】解：A,是整式，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即4项不合题意;
5、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即H项符合题意；
C、是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C项不合题意；
。、是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即。项不合题意.
故选：B.
【变式1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
x 2
A.-------= y + 5x B. 3x + 2y=2x + 2y
3 y
C. —x = y2 +1 D
5
1 Y
【变式2】有下列方程：@xy=2；②3x=4y；③x+—=2； @y2 =4x；⑤-=3yT；⑥x+y-2=l.其
y 2
中二元一次方程有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【变式3］已知下列方程，其中是二元一次方程的有.
⑴ 2x-5=y； (2)x-1=4； (3)盯=3； (4)x+y=6； (5)2x — 4y=7；
(6)x +」= 0； (7)5x + - = 3 ； (8)x + -j = 3 ； (9)x2-8j = 0； (10)^^ = 6.
2 y 2 2
90春_________
代数专题-第五章 二元一次方程（组）
野题型方法2：根据定义求参数
【题目特征】已知方程为二元一次方程（组），让我们求字母的值.
【考查知识点】二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程，
叫作二元一次方程.二元一次方程的一般形式为：办+勿+。=0（存0,厚0）.
二元一次方程组：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组.
【解题方法】
一、已知方程求参：
1 .未知数个数有两个，其系数不等于0;
2 .未知数的次数必须等于1；
3 .出现高次时，那么高次的系数等于0.
二、已知方程组求参：
1 .两个一次方程，且两个方程总共未知数个数有两个；
2 .未知数的次数必须等于1；
3.出现高次时，那么高次的系数等于0.
例：已知关于X、歹的方程（左之一4/+ （左+ 2卜+ （左一 6）＞ =左+ 8 ,
试问：（1）当左为何值时此方程为一元一次方程？
（2）当上为何值时此方程为二元一次方程？
【解答】解：（1）因为方程为关于小歹的一元一次方程，所以：
72—4=0
①〈左+ 2 = 0 ,解得左=-2；
左—6。0
‘公-4 = 0
②（左+ 2w0 ,无解；
k — 6 = 0
所以左=-2时，方程为一元一次方程.
左 2—4 = 0
（2）根据二元一次方程的定义可知〈左+ 2。0 ,解得左二2；
左—6。0
所以k=2时，方程为二元一次方程.
【变式1】若已知方程（公―1）/+（左+ 1卜+（左一7）y=左+ 2 ,当左=时，方程为一元一次
方程，当左=时，方程为二元一次方程.
【变式2】已知方程=加是关于小歹的二元一次方程，则加=, n=.
91初中数学题型方法全归纳
【变式3】若方程组|/十0—〃)孙=2是关于小y的二元一次方程组，贝.
(机-l)x = 3
y + (a- l)x = 5
【变式4】方程组“ ' ) 是关于小y的二元一次方程组，则/的值是_______
刑+9_ 5)中=3
留题型方法3:二元一次方程组解法
【题目特征】解二元一次方程组.
【数学思想】(1)消元思想；(2)整体思想；(3)换元思想.
【解题方法】
1 .代入消元法；
2 .加减消元法；
3 .加减后得到系数为1或-1的第三个方程，然后和第一、第二个方程联立进行求解;
4 .出现相同式子的时候可以看作一个整体，或者使用换元法进行求解.
3x-2y = 13
例1：解方程组:
2x + p = 4
3x-2y = 13@
【解答】解：方法1：
2x + y = 4②
由②得：歹=4一2%③,
将产4 - 2x代入①得：3x - 2(4 -2x)= 13,
解得：x=3,
将尸3代入③得：y=-2,
所以，方程组的解为；
〔k-2
方法2：卜-2%磬，
〔21+ ) = 4②
① + ②x2 得：7x=21,
解得：x=3,
把x=3代入②得：y=~2,
则方程组的解为=13 .
【发现】一般采用加减消元更为简单，但如果未知数人〉系数为1或-1时，也可采用代入消元法.
92代数专题・第五章 二元一次方程（组）
3x —7歹二10 ①
【解答】方法1:化简得:
5x-y = 6 ②
①一②x7,可得：—32x= —32,
解得x=l③，
把③代入①，解得y=-1，
・・・原方程组的解是卜=1
U = T
3_七"①
方法2： 2 5 ,
3(x-y) + 2(x + y) = 6②
由①得 5(x—y) —2(x+y)=10③，
② + ③，W 8(x-y) = 16, .*.x-y= 2@,
④代入②，得x+尸。⑤，
④ + ⑤，得x=l,
・,•原方程组的解是［' = 1 .
［尸T
方法3： 设工一＞=加,x+y=n,
m n
则原方程可化为万一二
3m + 2〃 = 6
5m-2n = 10①
整理可得:
3加+ 2几=6②
①+②得：8加=16,所以加=2,
将1= 2代入①得：n = 0,
x-y=2③
所以,
x + y = 0@
③+④得：2x = 2,所以X = 1,
③一④得：—2》=2,所以》二一1,
・・・原方程组的解是尸".
b = -i
【发现】解方程组时，先把式子化为最简形式，然后再进行消元计算；多次出现同一个式子，可
以使用整体法计算，也可使用换元法计算.
93初中数学题型方法全归纳
’201k —2013y = 4023①
例3：解方程组:
[2013工一 2011^ = 4025②
【解答】解：两式相加的：4024%-4024y=8048,
化简得：x —y=2,
所以，201卜-2011、=4022③,
③一①得：2y= - 1,所以，歹=一；,
a
②一③得：2x = 3f所以，x=—,
2
[3
x =—
所以方程组的解为：
【发现】两式相加减以后，X、歹系数相同或相反，最终都可以化为1或-1,这样可以构建③式,
再分别和①或②式联立去求解，计算就变得很简单.
【变式1】用相应的方法解方程组.
⑴用代入消元法解方程组：
⑵用加减消元法解方程组：｛X；5
23%+ 17》=63
【变式2】解方程组:
17x + 23y = 57
94代数专题・第五章二元一次方程（组）
【变式3】用合适的方法解下列二元一次方程组:
3（1-1） = > + 5 x + l = 5（y + 2）
（1） （2）《
5（y-l） = 3（x + 5） 3（2x-5）-4（3y + 4）= 5
m+n n-m
4（x-j/-1） = 3（1-j；）-2 （4）尸一一=2
（3） 4
王+，2
[2 3 4m + — = 14
13
17x + 19j = 21
【变式4】解方程组
23x + 25y = 27
1997%+ 1999^ = 2001
【变式5】解方程组
2017% + 2019> = 2021
ox +（Q + 2）〉= a + 4
【变式6】解方程组 （q w b）
bx + 0 + 2）） = 6 + 4
95海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法4：二元一次方程整数解问题
【题目特征】已知二元一次方程的解为整数（正整数、负整数等），让我们求整数解或整数解个
数.
【解题思路】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊
值逐个代入，即可求出整数解.
【解题方法】用一个未知数表示出另外一个未知数，然后对方程解的分子进行讨论，得到未知数
的取值.一般表示出系数较大的未知数，这样代入的情况少，计算较为方便.
例：二元一次方程2x + 3y=15的非负整数解有（ ）个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解答】解：由题可知：、=三1 5 - 手9 r ，因为小V为非负整数，
所以，15-2x<15,且 15-2x的可能取值为 0, 3, 6, 9, 12, 15.
所以，当歹=0, x=75；当y=l, x=6；
当y=2, x=4.5； 当y=3, x=3；
当y=4, x=1.5；当y=5, x=0.
所以二元一次方程2x + 3y=15的非负整数解有3个，
故选：B.
【变式1】二元一次方程2x + 3y=ll的正整数解有（ ）
A・1组 B・2组 C,3组 D. 4组
【变式2］如果X、）取0, 1, 2, ...9中的数，且3x-2y=lL贝!|10x+y的值可以有（ ）
A・1个 B・2个 C・3个 D. 4个
【变式3】我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程
、+歹=4的正整数解只有3组，……,那么方程x+y + z=10的正整数解的组数是（ ）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
度题型方法5：三元方程组解法
【题目特征】解三元一次方程组.
【解题思路】消元.
【解题方法】代入消元和加减消元.有比例关系时，引入左值可化简计算.
x + y - z = 0
例1：解方程组：\2x-3y + 2z = 5 .
x + 2y + z = 13
96代数专题-第五章 二元一次方程（组）
x + y-z = 0①
［解答］解：由题意得，＜ 2x-3y+ 2z = 5②，
x + 2y + z = 13 ③
由①，得y = z-x④，
把④代入②和③，
/曰 \…5x-z = 5 4解得二
得
把厂"代入④得，片3.
z = 5
x = 2
・・・方程组的解为＞ =3.
z = 5
x _y z
例2：解方程组：2=?=4 .
5x + 2y - 3z = 8
【解答】解：^- = ^ = - = k,即x = 2左，y=3k, z=4k,（已知比例关系，引入左值进行计算，计
2 3 4
算变的简单）
x = 4
代入②可求得左=2,所以 尸6.
z = 8
2x + 3y+ z = 16
【变式1】解方程组：＜x-y + 2z = -l .
x + 2y - z = 5
x:y:z:〃 = l:2:3:4
【变式2】解方程组:
9x + 7y + 3z + 2〃 = 200
97初中数学题型方法全归纳
2x + y + z = 2
【变式3】解方程组：＜x + 2y + z = 4.
x + y + 2z = 6
x + y-z = ll
【变式4】解方程组：＜ y + z-x = 3 .
z+x-y=l
留题型方法6：已知方程组解的关系求参数
【题目特征】已知二元一次方程组的解满足的条件，反求参数.
【解题方法】
方法1：正常解方程组，用参数表示解，再将解代入到满足的条件中.
方法2：联立两个不含参数的方程，求出方程组的解，再将解代入到含有参数的方程中，求出参;
数.
例：已知关于小y的方程组[力+2尸加+ 1的解适合方程5> 2尸11,求加的值.
+ 3y - m-\
【解答】解：2+ 2片加+ 12
[4x + 3y = m-l®
@x3 -②x2得：x = m + 5,
把x =加+ 5代入①得：y = —m — 7 ,
把工=加 + 5 , y =—加一 7 代入 5x - 2y= 11 得：5加+ 25+ 2初+ 14 = 11 ,
解得：加=一4 .
【变式1】已知关于X、y的二元一次方程组尸+ 2y = 5加的解满足方程X —2》+1=0,求用的值.
[6x-y = 4m
98海
代数专题・第五章 二元一次方程（组）
4x + 3〉= 7
【变式2】若方程组 的解满足、=外求左的值.
kx + (k-i)y = 1
【变式3]已知关于x、y的方程组厂+ 2>-6 = ° .
"- 2> + 加x + 5 = 0
（1）请直接写出方程x + 2y-6 = 0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0,求加的值；
（3）无论实数加取何值，方程x-2y +加x+5 = 0总有一个固定的解，请直接写出这个解?
国题型方法7：同解方程组
【题目特征】已知两个二元一次方程组的解相同，反求参数.
【解题方法】
方法1：正常解其中一个方程组，用参数表示解，再将解代入到另一个方程中求参.
方法2：联立两个不含参数的方程，求出方程组的解，再将解代入到含有参数的方程中，求出参
数.
已知关于小P的方程组产一 3k3和 I：：；" I：的解相同，求（3。+ *）202°的值.
[ax + by = -1
2x-3y = 3
【解答】解：由题意可联立方程:
3x + 2y = 11
解得二
x = 3代入产+如一得 3a+ b = -l
将
y = l [2ax + 3by = 3 6q + 36 = 3
解得
\b = 5
.•.(3^ + /7)2020 = (-6 + 5)202° = 1 .
99海
初中数学题型方法全归纳
【变式1】若方程组|" +片4与方程组町"12的解相同，求小〃的值.
[x- y = 2 \mx -ny = 6
【变式2】方程组/、+ 2歹"5与方程组= 1的解相同，求〃、办的值.
[ax-by = 1 + ay = 7
【变式3】已知关于小 通两个二元一次方程组产+ 26*5,和产=5"36 的解相同，求
[mx -ny-4 [nx + my + S = O
（加+ 2〃18的值.
留题型方法8：错解方程组
【题目特征】在二元一次方程组的时候，由于看错系数，导致解得的答案不对，求正确解.
【解题方法】
虽然解错了，但是解错只是其中某一式的系数看错了，另外一式没有看错，整个计算也是正确的,
所以，得到的解代入到没有看错的方程中，方程依然成立，这样可以求出正确的那个参数.
例：甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的加，解得卜二5 ，乙解题时
[2…=13②
看错②中的“解得卜=3 ,试求原方程组的解.
□ = -7
'_7
【解答】解：把代入②得：7 + 2〃= 13,（②没有看错，所以代入可以求出〃值）
/ = -2
解得：n=3,
把尸"3代入①得：3加-7= 5,（①没有看错，所以代入可以求出加值）
口 = 一7
100代数专题-第五章 二元一次方程（组）
解得：加=4,
把冽=4,九=3代入方程组得：，工 +k5①
[2x —3歹=13 ②
①X 3+②得：14x=28,即x=2,
把x= 2代入①得：y- - 3,
则方程组的解为尸会.
[y = -3
【变式1】小红和小风两人在解关于小歹的方程组[" + " " 5时，小红只因看错了系数〃，得到方
[bx + 2y= 8
程组的解为F = T,小风只因看错了系数6,得到方程组的解为「"，求纵6的值和原方程组的解.
口 = 2 b = 4
【变式2】在解方程组["+ 了 = —17时，由于粗心，甲看错了方程组中的〃，而得到解为f = 4
\^x-by = \ [y = 3
乙看错了方程组中的b而得到解为F=-3.
[y = -1
（1）求正确的4、6值；
（2）求原方程组的解.
留题型方法9：同形方程组
【题目特征】已知一个二元一次方程组的解，求同形方程的解.
【考查知识点】同形方程：如果两个方程组除了未知数不一样以外，系数及常数都是相同的，那
么这两个方程的解是一样.例如：
f axx + bxy = cx 叩+? = % ,两个方程系数完全相同，那么解也是相同的.
[a2x + b2y = c2 a2m+b2n =c2
【解题方法】
把相同位置的系数化为一样的，那么相同位置的未知数（也可以是一个含有未知数的整体）的取
值就应该是相等的.
101岩
初中数学题型方法全归纳
例：若关于冽、九的二元一次方程组?一的解为 —4
，求关于X、y的方程组
[2加+加=14 二—1
心+ y）-2（x-2y）=13 的解.
2（2x + ＞） + b - 2y） = 14
【解答】解：•・,二兀一次方程组（ 7 -的解为， J
[2m + bn = 14 [〃 = -1
...在卜（2x + y）-2（7313中可得：产+%4
2（2x + y） + b（x-2y） = 14 [2x- y = -1
3 3
x 二 一 x = —
4 4
解得一 ・・・原方程组的解为＜
5 5
[ y = — 2 k5
【变式I]若关于x、y的二元一次方程组尸” 一殁=5的解为
,求关于。、b的方程组
[2x + 町=6 y = 2
3（a + b]-m（a-b] = 5
； ；；的解为.
2[a + b） + n[a-b） = 6
【变式2】若关于%、》的二元一次方程组[加"一即":的解为 ；二求关于〃、6的方程组
[mx + ny = 9
加，（5。一一6，） —+ 3…几6 二 8 的解为
Qi（x + l） + 4（＞_2）= q 的解为[' = 3 ,求关于冽、〃的
【变式3】若关于小p的二元一次方程组＜
1） + 人 -2） =。 [y = 4
〃2（% + 2 2
axm + bxn = 5q
方程组 的解为_______
a2m + b2n = 5c2
102卷_______
代数专题・第五章 二元一次方程（组）
留题型方法10：二元一次方程组唯一解、无解与无数解问题
拜寺征】已知二元一次方程组" G有唯一解、无解或无数解，反求参数.
[a2x + b2y = c2
【解题方法】
解题方法1：消元后，将方程化为办=6的形式，
1 .有唯一解，则awO;
2 .有无数解，则|" 二 °；
a = 0
3 .无解，则
6w0
解题方法2：
1 .有唯一解，则且工3；
a2 b2
2 .有无数解，则幺
=4 =S；
a11）2 。
2
3 .无解，则a=3，旦.
b? 。
“2 2
例：m、〃为何值时，方程组『7 有无数多个解？无解？唯一一组解?
[mx + y = 6
【解答】解：由,=匚=也得：机=-1, 〃=-2时有无数解；
m 1 6
由工也得：m= - 1, 2时方程无解；
m 1 6
1 _i
由工。」得：加。-1时方程有唯一解.
m 1
【变式1】与已知二元一次方程5x-y= 2组成的方程组有无数多个解的方程是（ ）
A. 15x-3y=6 B. 4%一y=7 C. 10x + 2y=4 D. 20x - 4y=3
【变式2】若方程组卜一 ：" = "、 无解，则加的值为（ ）
[y =（2〃-1" + 4
A.九。1,加为任意数 B. n = 1,且加=4
C. n=l,且加。4 D. 〃与加均为任意数
[kx + b — y = 0
I求当A b为何值时，方程组 ”.有无数多个解？无解？唯一一组解?
卜二（3I）x + 2
103初中数学题型方法全归纳
留题型方法11:利润问题
【题目特征】与销售有关问题.
【解题方法】
销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率.
（1）商品利润=商品售价-商品成本价；
（2）商品利润率=（商品利润+商品成本）x 100%；
（3）商品销售额=商品销售价x商品销售量；
（4）商品的销售利润=（销售价-成本价）x销售量；
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%
出售.
注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折
就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
例：为了防范新型冠状病毒的传播，小唐的爸爸用1200元资金为全家在大型药店购进普通医用
口罩、N95 口罩两种口罩共300个，该大型药店的普通医用口罩、N95 口罩成本价和销售价如表所示:
类别/单价 成本价（元/个） 销售价（元/个）
普通医用口罩 0.8 2
N95 口罩 4 8
（1）小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩、N95 口罩各多少个?
（2）销售完这300个普通医用口罩、N95 口罩，该大型药店共获得多少利润？
【解答】解：（1）设小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩x个，N95 口罩歹个,
x + y = 300 Eg x = 200
依题意，得: y ,解得：
2x + 8y = 1200 7 = 100
答：小唐的爸爸在大型药店购进普通医用口罩200个，N95 口罩100个;
（2） 200x（2-0.8） + 100x（8-4） = 640 （元），
答：该超市共获利润640元.
【变式1】在近期“抗疫”期间，某药店销售/、5两种型号的口罩，已知销售800只4型和450只
5型的利润为210元，销售400只/型和600只8型的利润为180元.
（1）求每只/型口罩和5型口罩的销售利润；
（2）在销售时，该药店开始时将8型口罩提价100%,当收回成本后，为了让利给消费者，把5型
口罩的售价调整为进价的15%,求5型口罩降价的百分率.
104代数专题-第五章 二元一次方程(组)
【变式2】确保室内空气新鲜，一方面是提高生活质量的需要，另一方面也是有效防控新型冠状
病毒传播的需要，因而越来越多的居民选购家用空气净化器以净化室内空气.阳光商场抓住商机，从
厂家购进了4、8两种型号的净化器共160台，力型号净化器进价是1500元/台，B型号净化器进价是
3500元/台，购进两种型号净化器共用去360000元.
(1)求商场各进了4、5两种型号的净化器多少台？
(2)为使每台8型号净化器的毛利润是N型号的2倍，且保证售完这160台净化器的毛利润达到
110000元，求每台Z型号净化器的售价.(注：毛利润=售价-进价)
【变式3】文峰超市花10000元购进了甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的2倍少
10,甲、乙两种商品的进价和售价如表：
甲 乙
进价(元/件) 120 80
售价(元/件) 160 130
(1)该超市购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)销售完该批商品的利润为多少元？
【变式4】目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场
用3800元购进甲、乙两种型号的节能灯共120只，两种灯的进价和售价如下表.
进价(元/只) 售价(元/只)
甲型 25 30
乙型 45 60
(1)求甲、乙两种节能灯各进多少只？
(2)全部售完120只节能灯后，该商场获利润多少元?
105初中数学题型方法全归纳
留题型方法12：行程问题
【题目特征】与行驶路程和行驶时间有关的问题.
【解题方法】
①一般行程问题：
路程=速度X时间.
②相遇问题（或相向问题）：
I.基本量及关系： 相遇路程=速度和X相遇时间；
II.寻找相等关系： 甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
③追及问题：
I.基本量及关系： 追及路程=速度差X追及时间;
II.寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离=追者走的路程.
④航行问题：
I.基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度；
逆流速度=静水速度-水流速度；
顺水速度-逆水速度=2x水速.
II.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
⑤环形跑道问题：
第一，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；
第二，如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次.
例：甲乙二人相距18千米，二人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行，甲3小
时可以追上乙.求二人的平均速度各是多少？
【解答】解：设甲的平均速度为X千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，
依题意，得：F+歹=18 ,解得： x = 12
[3x-3 歹二18 y = 6
答：甲的平均速度为12千米/小时，乙的平均速度为6千米/小时.
【变式1】学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，前三分之二路段为平路，其余路段为坡路，
已知汽车在平路上行驶的平均速度为60初//〃，在上坡路上行驶的平均速度为40左m/儿汽车从学校到
自然保护区走平路和上坡路，一共行驶了 4.2〃.
（1）求汽车在平路和上坡路上各行驶多少时间？
（2）第二天原路返回，发现回程比去时用时少了 0.9%，问汽车在下坡路上的行驶的平均速度是多
少？
106春
’代数专题・第五章二元一次方程（组）
【变式2】小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是
18km/hf结果早到20就小返回时，以每小时15碗的速度行进，结果晚到4加〃.求甲、乙两地间的
距离和预定时间.
【变式3】某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每
小时3千米的速度上坡，共用了 3小时.原路返回时，以每小时6千米的速度下坡，又以每小时4千
米的速度走平路，共用了 3.5小时.问平路和坡路的路程各多少千米？
【变式4】已知，从小明家到学校，先是一段上坡路，然后是一段下坡路，且小明走上坡路的平
均速度为每分钟走60加，下坡路的平均速度为每分钟走90加，他从家里走到学校需要21加施，从学校
走到家里需要24加〃，求小明家到学校有多远.
【变式5】甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步，相向而行每隔两分钟相遇一次；同向而行,
每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人每分钟各跑多少圈？
107初中数学题型方法全归纳
留题型方法13：数字问题
【题目特征】已知个位、十位、百位上的数字及数字的大小关系，求该数字.
【解题方法】
这类问题一般间接设未知数，千万不要直接设这个数字是多少，而是设这两位数十位上数字为工,
个位上数字为y,则这个两位数为：lOx+y,如果这个两位数个位与十位交换后，则得到新的两位数
为：IQy + x,然后根据题目所给条件进行解答.
例：一个两位数数位上的数字之和是8,将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数,
若新两位数比原两位数小18,则原两位数为.
【解答】解：设原两位数的个位数是x,十位数是乃根据题意可得：
y = 8 x = 3
/ 、，解得：
10〉+ x-(10x + y) = 18 7 = 5
故原数为：53.
【变式1】小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表
上的数如下：
时刻 12:00 13:00 14:30
里程表上 是一个两位数，数字 十位与个位数字与12:00 比12:00时看到的两位
的数 之和为6 时所看到的正好颠倒了 数中间多了个0
则12:00看到的两位数是.
【变式2】有个两位数，个位上的数字是十位上的数字的2倍，它们的和是12,那么这个两位数
是.
【变式3】一个两位数的数字之和为11,若把十位数字与个位数字对调，所得的两位数比原来大
63,则原来两位数为.
【变式4】一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成
为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是.
108淞
代数专题・第五章 二元一次方程（组）
留题型方法14：配套问题
【题目特征】因工艺上的特点，某几个工序之间存在某种关系，需这几道工序的成对应比例才能
完全配套完成，这类题型为配套问题.
【解题方法】
解答这类问题的关键是要弄清基本等量关系，总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比
例.如常见的工人生产螺母和螺栓（一个螺栓两个螺母配成一套），每天生产出多少产品配成最多套
;问题，这里面的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数=工人总人数；生产的螺栓
的数量x2=生产的螺母的数量.
利用配套的比例来列方程.
例:某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2加的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现
计划用132加这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣
袖恰好配套？
【解答】解：设用x加布料做衣身，用布料做衣袖，
x + y = 132
1X = 60
由题意得：＜ x y ，解得：
-x3x2 = -x5 7 = 72
12 2
答：用60加布料做衣身，用72加布料做衣袖恰好配套.
【变式1】某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36
个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？
【变式2】列方程或方程组解应用题：
病毒无情，人间有爱.全国医务人员在党中央的号召下，面对疫情，主动请缨，前往湖北支援.北
京市属医院首批援助队伍除领队外共135名医务人员，负责5个针对普通感染者的病区和1个针对危
重感染者的病区.如果知道针对普通感染者的每个病区和针对危重感染者的每个病区配备医务人员的
比例为1:4.请你计算北京市属医院首批援助队伍中负责普通感染者病区和负责危重感染者病区的医
务人员各有多少人.
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成.如果1/木料可以做方桌的桌面5个或做桌腿
30条，现在有25加 木料，那么用多少木料做桌面、多少木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成
2
方桌？能配成多少张方桌？
109春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法15：几何问题
【题目特征】根据几何图形求边长、面积等.
【解题方法】
利用两种不同的方法表示同一个边长（长或者宽），则根据边长相等即可列方程.
例：如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，BC=1L DE=7,
（1）设每个小长方形的较长的一边为x,较短的一边为乃 求人》的值;
（2）求图中阴影部分面积.
【解答I解：（1）设小长方形的长为、，宽为y,
根据题意得：f + N - 2k7,解得：尸.
[x + 3y = 11 ]> = 1
（2） S阴影=llx（8 + lxl）-6xlx8 = 51 ,
答：图中阴影部分面积是51.
【变式1】在长为20加、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同
的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积.
【变式2】小亮利用8个同样大小的长方形小木块拼成如图两个图形,
方形（阴影部分）的面积为1。加2,则长方形小木块的周长为（
① ②
【变式3】如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的的一个大长方形，已知大长方形
的周长为40cm,则小长方形的周长为 cm.
110祢
代数专题・第五章 二元一次方程（组）
11Ml
将如图左侧所示的6个大小形状完全相同的小长方形放置在右侧的大长方形中，所标
尺寸如图所示（单位：cm）,则图中含有阴影部分的总面积为.
4
留题型方法16：分段计费问题
【题目特征】收费单价和用量有关，在不同段的单价是不同的.
【解题方法】
若根据用量计算总价格，就用每一段的用量乘以单价，最后求和即可;
若根据总价计算用量，那么，就得先讨论用量的范围.
例；小明同学本周日上午先乘坐出租车到图书馆，乘坐了 5千米，打车费14元.然后吃好中饭
后乘坐出租车到电影院和同学一起看电影，乘坐了 8千米，打车费18.5元.看完电影后再乘坐出租
车回家.出租车费用为3千米以内为起步〃元，超过3千米每千米b元.
（1）请求出。和b的值.
（2）小明家离电影院有7千米，他有15元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少.
a +（5 —3汾=14 [a = U
【解答】解：（1）依题意，得： ，解得：
4 + （8 —3）6 = 18.5 [b = 1.5
答：〃的值为11, 6的值为1.5.
（2） ll + （7-3）xl.5=17 （元），
17>15,
17 - 15=2 （元）.
答：小明带的钱不够，还差2元.
【变式1】为建设资源节约型、环境友好型社会，切实做好节能减排工作，某市决定对居民家庭
用电实行“阶梯电价”.电力公司规定居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时），1千
瓦时俗称1度/时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时，超过部分实行“提高电
价”.已知小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电
费88元.若7月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家7月份应上缴的电费.
111初中数学题型方法全归纳
【变式2】为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民“一户
一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
自来水销售价格
每户每月用水量 单位：元/吨
15吨及以下 a
超过15吨但不超过25吨的部分 b
超过25吨的部分 5
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用〃，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，
求6的值.
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交
9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没
超过1元），其他都没变.”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况.
【变式3】滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 2元/千米 0.4元/分钟 1元/千米
注：
1 .车费=里程费+时长费+远途费
2 .里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取标准为：
行车7千米以内（含7千米）不收费，若超过7千米，则超出部分每千米加收1元.
（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是 元；
（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车
时间比小林多10分钟.如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元，求小王的乘车里程数和乘车
时间.
112代数专题・第六章 不等式及不等式组
留题型方法1:不等式的基本性质
【题目特征】对不等式的变形过程是否正确做出判断.
【考查知识点】不等式的性质：
(1)若贝！Ja土c>b±c；若 a <b ,贝！J〃±c<b土c.
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变.
(2)若 a>b , c > 0 ,贝!]ac>bc,— > —；若 a <b , c > 0 ,贝!]qc<6c,—.
c c c c
不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变.
7 1
(3)若 c < 0 ,贝！Jaccbc,— < —；若 q<6, c > 0 ,贝!]ac<bc,—.
c c c c
不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变.
(4)互逆性：若 a>b ,贝!Jb<a；若 a <b ,贝！Jb>Q.
(5)传递性:若a>b , b>c ,贝！Jq>c.
【解题方法】变形过程中，如果两边同时乘以或除以一个字母(式子)时，如果不能保证字母(式
子)为正，那么这个变形就是错误的.
下列四个不等式：(1) ac>bc； (2) -ma<mb； (3) ac2>be2 ； (4) —>1, 一定能推出
b
的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【解答】解：在(1)中，当c〈0时，则有故不能推出
在(2)中，当机>0时，则有-即故不能推出
在(3)中，由于，>0,则有故能推出
在(4)中，当6Vo时，则有公从 故不能推出
综上可知一定能推出的只有(3),
故选：A.
「2 \ 1 若则下列结论：®a+x>b+x； ®—>—；③/>加；@ab<b2 ；⑤一同< 一以.其
c x
中一定成立的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【变式2】下列式子正确的是(
A.若土<上，则1勺 B.若bx>by,则
a a
C.若' =2■,贝k=y D. ^mx=my, 贝卜二y
a a
113春
初中数学题型方法全归纳
【变式3】若仍<0,且公上 下列解不等式正确的是( )
b
A.由 QXV/b 得 x< — B.由(。一如>2,得x>------
a a-b
b
C.由得x> — D.由(b - d)x<2，得%v------
a b-a
留题型方法2：根据一元一次不等式定义求参
【题目特征】已知不等式为一元一次不等式，反求参数.
【解题方法】看以下四个方面：
①一个未知数；
②未知数次数为1；
③一次项系数不为0；
④出现高次了，那么高次系数为0.
例：若、2加-1一3〉5是一元一次不等式，则片.
2
【解答】解：由题意得：2加-1 = 1,
解得：m=l,
故答案为：1.
【变式1】已知;(加+ 4)/卜3+6 是关于%的一元一次不等式，则用的值为
【变式2】若(加+1)/1 +2>0是关于x的一元一次不等式，贝加=.
【变式3】若V加+1—1>5是关于x的一元一次不等式，则加=.
留题型方法3：解一元一次不等式
【题目特征】解一元一次不等式.
【解题步骤】
变形名称 具体做法 注意事项
(1)不要漏乘不含分母的项
去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数 (2)分子是一个整体的，去分母后应
加上括号
(1)不要漏乘括号里的项
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号
(2)不要弄错符号
把含有未知数的项都移到不等式的一边,其 (1)移项要变号
移项
他项都移到不等式的另一边. (2)不要丢项
合并同类项 把不等式化成办< b或ax> b (〃#0)的形式 字母及其指数不变
在不等式两边都除以未知数的系数。，得到
系数化为1 系数为负数的时候，注意变号.
不等式的解集.
114代数专题・第六章 不等式及不等式组
例：解不等式：5x-12<2（4x-3）.
解：去括号，得：5x —12 < 8x — 6 ,
移项，得：5x —8x（—6 + 12 ,
合并，得：-3x V 6 ,
系数化为1,得：x>-2 ,
・,・原不等式的解集为：12-2,
在数轴上表示如图所示：
-3-2-10 1 2 3
解不等式：节
】解不等式：
解不等式：身之手一
留题型方法4： 一元一次不等式整数解
【题目特征】求一元一次不等式的整数解（正整数、负整数等）.
【解题步骤】
第一步：正常解不等式，求出不等式的解集；
第二步：在解集内找到符合题目条件的整数解.
注意：题目求的是正整数、负整数还是非负整数，看清楚题目问题.
例：求不等式?8g-3的解集和它的负整数解.
【解答 解：解不等式得：x>-3,
所以，不等式的负整数解为：、=-3, -2, -1.（可利用数轴找整数解）
115初中数学题型方法全归纳
【变式1】不等式3x-5<3 + x的正整数解是.
【变式2】解不等"三2警U并写出它的非负整数解.
【变式3】求不等式普<1的解集和它的正整数解.
【变式4】求不等式生二—上三工匕1的解集和它的非负整数解.
3 4 2
留题型方法5：解一元一次不等式组
【题目特征】解一元一次不等式组.
【解题步骤】
第一步：分别解出两个不等式；
第二步：把两个解集表示在数轴上；
第三步：在数轴上找到两个解集的公共部分即为不等式组的解集.找公共部分口诀:
设 解集 在数轴上表示的示意图 口诀
x> a ____A____.
x> a 同大取大
x>b b a
x<a 1.
x<b 同小取小
x <b b a
x <a ____1___ J______ _
b <x<a 大小小大中间找
x>b b a
x> a -=□____ .
无解 大大小小无解了
x<b b a
116代数专题-第六章 不等式及不等式组
2x + 6 >2（l-x）
例：解不等式组并在数轴上表示其解集：2x-3
-------- < x
I 4
‘2x + 6>2（l-x）①
【解答】解:解不等式组：2x-3 … ,
--------<x@
I 4
由①得：2x + 6>2-2x,
• • 4x > -4 , ： x > - 1, j
由②得：2x-3<4x, --------------- \------*--------------
-2 -1 U I
3
**• 2x 2 —3 ，得：x —，
2
・・・不等式组的解集是x>-1.（由数轴取其公共部分，上面有两条横线的部分）
2（x + 2）>3x + 3
【变式1】解不等式组并在数轴上表示其解集： x — l X + 1
1-------->------
x — 3 c
--------1- 3 x +1
【变式2】解不等式组并在数轴上表示其解集: < 2
1-3（x-1）<8-x
9 3
—4x < — 3x
,2 2
【变式3】解不等式组：
；4 3 x
——X
H----<------
13 2 6
国题型方法6：利用整数解求参数
【题目特征】已知不等式或不等式组的整数解的个数，求参数的取值范围.
【解题思维过程】
第一步：解出不等式（用参数表示）；
第二步：把解集表示在数轴上；
第三步：根据数轴上的解集范围，添加符合题目条件的整数；
第四步：根据数轴，写出式子满足的条件；（左右两边都有限制范围）
第五步：讨论两边范围能不能取等号；（一般情况，有且仅有一边可以取等号）
第六步：解不等式求出参数的范围.
117_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
例：已知不等式--加<4(x+l)的负整数解有且只有三个，求加的取值范围.
【解答】解：去括号，得：3x-m<4x + 4,
移项，得：3x - 4x<4 + m,
合并同类项，得：-工〈4 +机，
系数化为1,得：x>-4-m,
・・•不等式的负整数解有且只有三个，
— 4< — 4 — m< — 3,
解得：-
故答案为：- 1〈加SO .
【变式1】关于］的不等式组［2、<6的整数解有5个，求〃的取值范围.
\a + x>l
5x + 2>3(x-l)
【变式2】关于x的不等式组i 3 有四个整数解，求实数。的取值范围.
—x <8 —x + 2a
12 2
1 + x<a
【变式3】不等式组x + 9 x + 1 .
------+ 1>---------1
［2 3
(1)当〃=2时，解这个不等式组；
(2)若这个不等式组的解集不是空集，求Q的取值范围；
(3)若这个不等式组的解集有且只有2018个整数解，求a的取值范围.
118祢
代数专题・第六章不等式及不等式组
留题型方法7：解含参不等式（组）
【题目特征】要解的不等式中含有其他字母.
【解题方法】含参不等式的两种类型：
1 .形如：ax<b .
分三种情况进行分类讨论：
①当。〉0,解集为
a
②当4<0,解集为X>2；
a
③当〃=0,若b>0,则解集为任意数；
若6K0,则这个不等式无解.
2 .形如：ax>b .
分三种情况进行分类讨论：
①当。>0,解集为
a
②当。<0,解集为
a
③当〃=0,若6N0,则这个不等式无解；
若b<0,则解集为任意数.
解关于x的不等式：Ax + 1>3 .
【解答解：移项得：丘>2,
7
当左>0时，解集为X〉*,
k
当左<0时，解集为一，
k
当左=0时，不等式变为0,x>2,故不等式无解.
解关于x的不等式：Ax +1 > 3% - 2 .
式2】解关于X的不等式：（/+1卜<2.
119海
初中数学题型方法全归纳
已知（2加+ 21的解集是X〈赤’机的取值范围.
3mx -6 <5-mx
【变式4]解关于尤的不等式组
mx + x>(l-2m^x + S
留题型方法8：已知不等式（组）的解集求参
【题目特征】已知含参不等式（组）的解集求参数.
【解题步骤】
第一步：正常解含参不等式；
第二步：把求出的解集和已知解集进行对比，未知数左右两边是相等的，得到关于参数的等式.
I x — n? > 2
例：已知不等式组 的解集为“5,则加的值为_______ .
[x-2m > 1
I r > n7 4- 2
【解答】解：不等式分别求解得到 . 「求解需要讨论加的取值范围.
[x>2m + l
1 .当2加+ 12加+ 2时,即加21时,解集为1 + 2加,
•・•解集为、>5,
/. 1 + 2m=5,
：.m=2,检验满足加21.
2 .当2m+ 1<加+ 2时，即机<1时，解集为x>m+ 2,
Vx>5,
・••加+ 2=5,
・••加=3,检验发现不满足相<1,舍.
综上可得：m=2.
【变式1】5分<4的解集是X〉：，贝必的取值范围是（ ）
A. a <0 B. a >0 C. a>0 D. a <0
120卷_______
代数专题-第六章 不等式及不等式组
【变式2】关于x的不等式组卜>"T的解集是x>-2,则加=_______.
x > 加 + 2
【变式3】已知不等式组尸+ 2>加+理的解集为_K2,则（加+#刈6 =
I — r + 2 > x — 6
【变式4】关于x的一元一次不等式组 的解集是x<4,贝物的取值范围是________
\x<m
【变式5】如果不等式组 ”>26的解集是1<工<2,则q + 6 =.
2x-b<2a
留题型方法9：已知不等式（组）解在某范围内求参
【题目特征】已知含参不等式（组）的解集在某范围内求参数.
【解题步骤】
第一步：正常解含参不等式；
第二步：把求出的解集和某范围画到数轴上，解集要画是在某范围内;
第三步：对比两者的包含关系列出不等式；
第四步：讨论不等式能不能取等号.
例：关于x的不等式2x +加>-6的解集是在x>-3这个范围内，则加的取值范围为,
【角窣答】解：2x + m>-6
.、2 1 -----------F=—
• • x > —3 m , J J
2 1
1 -3 -3--m
x > -3 ——加在x>—3这个范围内， 2
2
—3 — — zw > —3，
2
解得m<0.
【变式1】已知不等式办>6的解在x<2这个范围内，求q的取值范围.
121祢
初中数学题型方法全归纳
【变式2】若关于x的不等式组一 "> 0的解集中的任何一个工值均不在3Vx < 5范围内，贝必的取
1X-Q < 1
值范围是.
2x + l 5x-3 小
【变式3】不等式组 1 6~ < 0的解集是关于x的一元一次不等式◎ > -1解集的一部分，
-5<2x-\<5®
求。的取值范围________.
留题型方法10：已知不等式恒成立求参
【题目特征】已知不等式在某个范围内恒成立.
【解题步骤】
第一步：正常解含参不等式；
第二步：把求出的解集和某范围画到数轴上，某范围要画在解集内；
第三步：对比两者的包含关系列出不等式；
第四步：讨论不等式能不能取等号.
例：对于任意的TVxWl, x-q-5〉0恒成立，贝布的取值范围是.
【解答二解：由工-〃-5>0得，x>a + 5 ,
对于任意的-1W1,工-。-5>0恒成立， J । ]~
/. « + 5<-1 , (7+5 -1 1
解得a <-6 ,
故答案为：a <-6 .
【变式1】对于任意的工〉3,不等式x +机>5恒成立，则加的取值范围是
【变式2】对于任意的不等式组、>加 恒成立，则机的取值范围是_______
x < 加 + 3
【变式3】对于任意的一2K3,不等式组工工恒成立，则加的取值范围是.
122代数专题・第六章 不等式及不等式组
留题型方法11:已知不等式组有解无解求参
【题目特征】已知不等式组有解无解求参.
【解题方法】不等式组同大或者同小的时候，不等式组一定有解.所以，考查的题目一定是一大一;
小.
那么，解不等式得到的最终形式有：对应的有解无解情况如下：
[x<b [% [x<b
(x>a fx>a [x> a [x>a
不等式组解的形式
[%</? [x<6
有解 a<b a<b a<b a<b
无解 a>b a>b a>b a>b
注意：记不住或不愿意记上面的四种情况，可以按如下步骤解题：
第一步，正常解出两个不等式（用参数表示）；
第二步，依据有解或无解，把解集表示在数轴上；（有解时，画图要有公共部分，无解时，画图
没有公共部分）
第三步，根据数轴上数据的左右关系列不等式；
第四步，讨论不等式能不能取等号.
例：若关于x的不等式[“一">0无解，贝必的取值范围为.
【解答】解：不等式组化简得到「>", “大大小小没有解”，知。〉3；
[x<3
再讨论当〃=3时不等式组解的情况，发现亦为无解，
/. a>3.
皿若不等式组仁忆有解，试判断不等式组忆二的解的情况
x + 1 x 4
-------<------1
【变式2】若不等式组 3 2 无解，则机的取值范围为（ ）
x<m
A. m<S B. m<8 C.加28 D. m>S
x-2（x-l）>3
【变式3】关于x的方程3 - 2x = 3（左-2）的解为非负整数,且关于x的不等式组2k+ x 无解，
--------<x
I 3
则符合条件的整数左的值的和为（ ）
A. 5 B. 2 C. 4 D. 6
123海
留题型方法12：已知方程（组）解的范围求参
【题目特征】已知方程（组）解的范围，求参数.
【解题步骤】
第一步：正常解方程（组）；（结果用参数表示）
第二步：根据方程（组）解的范围列不等式；
第三步：解不等式求出参数的范围.
例：关于X的方程5x-（Q-5）=7x + （3a + 6）的解为负数，贝帽的取值范围是
【解答】解：解方程得：x =-”型，
2
由 x<0,得一4"' 1 < o ,
2
• • a > —
【变式1】已知关于x—的方程组产为+ 1的解为正数，化简|3加+ 2|-障-5|.
x — y = 4加一 3
【变式2】若方程组1+〉=纭+ 1的解满足不等式力+仙〉1.求Q的取值范围.
x-y = 5a-1
【变式3】若方程组「' + > = 1 + 5”的解满足x_y>o,贝布的取值范围为
x + 3〉= 3 -
q
【变式4】关于小p的方程组「" + ” " 31的解是正整数，则整数夕的值为多少.
x + y - p = 0
124称
代数专题-第六章不等式及不等式组
【变式5】当％、z为非负数时，3歹+ 2z=3+x, 3y + z=4 - 3x,求%=3%-3y+ 4z的最大值和最小
值.
国题型方法13：利润问题
【题目特征】与销售有关问题.
【解题方法】
销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率.
（1） 商品利润=商品售价-商品成本价；
(2) 商品利润率=（商品利润+商品成本）x100%；
(3) 商品销售额=商品销售价X商品销售量；
(4) 商品的销售利润=（销售价-成本价）X销售量；
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%
出售.
注意：“商品利润=售价-成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折
就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
例：某商店计划用不超过2000元的资金，购进甲、乙两种单价分别为30元、60元的商品共50
件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利5元、15元，两种商品均售完.若所获利润大
于380元，则该店进货方案有（ ）
A. 3# B. 4不中 C. 5不中 D. 6不中
【解答】解：设该店购进甲种商品x件，贝1J购进乙种商品（50-x）件，
30x +60（50-%） <2000
根据题意，得：
5x + 15（50-x）>380 '
解得：—<x<37,
3
・・%为整数，
・・・尸34、35、36,
・••该店进货方案有3种,
故选：A.
【变式1】某工厂试制新产品2000只, 工本费共700元，每只售价2元，则保证盈利1000元以
上的情况下，售出的产品数量工的范围是（ ）
A. 850Vx<2000 B. 850Kx<2000
C. 850<x<2000 D. 850(x<2000
125初中数学题型方法全归纳
【变式2】某大型企业为了保护环境，准备购买4、B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时
治理不同成分的污水，若购买Z型2台、5型3台需54万，购买4型4台、5型2台需68万元.
（1）求出4型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台N型设备一个月可处理污水220吨，一台5型设备一个月可处理污水190吨，如
果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案.
【变式3】某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的4、5两种型号的电风扇，如表是近两
周的销售情况：
销售数量
销售时段 销售收入
4种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200 元
第二周 5台 6台 1900 元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）求，、8两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求Z种型号的电风
扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请
给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
国题型方法14：分段计费问题
【题目特征】收费单价和用量有关，在不同段的单价是不同的.
【解题方法】
若根据用量计算总价格，就用每一段的用量乘以单价，最后求和即可.
若根据总价计算用量，那么，就得先讨论用量的范围，从最低档一直累加进行计算，确定出花费
属于哪个档次，然后计算用量.
126代数专题・第六章 不等式及不等式组
例：为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了 “阶梯价格”制度，如
表中是某市的电价标准（每月）
阶梯 电量 （单位：度） 电费价格（单位：元/度）
X
一档 0<x<180 a
二档 180〈烂 400 b
三档 x>400 0.95
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48
元请你根据以上数据，求出表格中的〃、b的值.
（2） 5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量.
180a +(256 -180)) = 154.56 \a~ 0.58
【解答】解: （1）由题意得: 解得:
180« + (318-180)6-195.48 [b = 0.66
答：a的值是0.58, 6的值是0.66.
（2） V 180x0.58 + （400- 180）x0.66=249.6<280,
・・・5月份陈女士家用电量超过400度，
设陈女士家五月份用电量为用度，根据题意得:
249.6 + 0-400）x0.95=280,
解得：加=432,
答：陈女士家5月份的用电量为432度.
【变式1】“端午节”是中华民族古老的传统节日.甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原
来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.
甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按95%收费；
乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按90%收费.
设某位顾客购买了 x元的该种粽子.
（1）补充表格，填写在“横线”上：
X 实际在甲超市的花费 实际在乙超市的花费
（单位：元） （单位：元） （单位：元）
0<x<200 X X
200〈烂 300 X
x>300
（2）列式计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费
更少？
127初中数学题型方法全归纳
【变式2】为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的,
该市自来水收费见价目表.例如：某居民元月份用水9吨，贝I」应收水费2x6+ 4x（9-6）=24元
每月用水量（吨） 单价
不超过6吨 2元/吨
超过6吨，但不超过10吨的部分 4元/吨
超过10吨部分 8元/吨
（1）若该居民2月份用水12.5吨，则应收水费多少元？
（2）若该居民3、4月份共用15吨水（其中4月份用水多于3月份）共收水费44元（水费按月
结算），则该居民3月、4月各用水多少吨？
【变式3】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.如表所示是该市居民
“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小明家2017年5月份用水20吨，交水费66元；6月份用水25吨交水费91元.
（1）求。、b的值；
（2）为了节约开支，小明家计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小明家的月
收入为9200元，则小明家7月份最多能用水多少吨？
128代数专题・第六章 不等式及不等式组
留题型方法15：方案设计问题
【题目特征】设计最优方案，保证利润最大，或者花费最少.
【解题方法】销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率.
（1）商品利润=商品售价-商品成本价；
（2）商品利润率=（商品利润+商品成本）x100%；
（3）商品销售额=商品销售价x商品销售量；
（4）商品的销售利润=（销售价-成本价）x销售量；
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%
出售.
【解题步骤】
1 .设采购量；
2 .根据不等关系列不等式；（一般是花费不超过**元，或者利润不低于**元）
3 .求出符合题目条件的采购量；
4 .在所有可能的采购方案中寻找最优方案.
例；某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15
件和乙商品10件需要资金375元.
（1）求甲、乙商品每件各多少元？
（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，
①最多可采购甲商品多少件？
②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的;请给出所有购买方案，并求出该单位购买这
批商品最少要用多少资金.
【解答】解：（1）设甲商品每件X元，乙商品每件歹元,
10x + 15y = 350 x = 17
由题意得: 解得,
15x + 10y = 375 y = l2
即甲商品每件17元，乙商品每件12元;
（2）①设采购甲商品加件，
17m+12（30—加）.60,
解得，M20,
即最多可采购甲商品20件；
②由题意可得，
加＜ 20
v 4 •
30一加〈一加
[ 5
2
解得，16—＜加＜20,
3
・・・购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20x17+ 10x12=460 （元），
129初中数学题型方法全归纳
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19x17+ 11x12=455 （元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18x17+ 12x12=450 （元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17x17 + 13x12=445 （元），
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元.
【变式1】某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利=售价-进
价）
甲 乙
进价（元/件） 14 35
售价（元/件） 20 43
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购
货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案.
【变式2】某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发
现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个,
共需资金1440元.
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，
学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择.
【变式3】为解决中小学大班额问题，某县今年将改扩建部分中小学，根据预算，改扩建3所中
学和2所小学共需资金6200万元，改扩建1所中学和3所小学共需资金4400万元.
（1）改扩建1所中学和1所小学所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建中小学共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财政
拨付资金不超过8400万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到中小学的改扩
建资金分别为每所500万元和300万元，请问共有哪几种改扩建方案？
130畚
代数专题・第七章 整式的乘除法
留题型方法1:幕的乘除运算
【题目特征】两个幕进行乘除运算.
【解题方法】计算应用到以下公式：
amxan=am+n；（同底相乘，底不变，指相加）
amxbm=（ab）m；（同指相乘，指不变，底相乘）
am^an=am~n；（同底相除，底不变，指相减）
Q展/{A,（同指相除，指不变，底相除）
例：(1) m5 xm1 = m5+1 = w12 ；
(2) 2掰 x3"=(2x3/二6";
(3)加 +/ =/-5 = a2 ；
(4) 8加+4m =['] =2加.
【变式1】53 x57 =.
【变式2】/°°x储°°=.
【变式3】312-36=.
【变式4】310^910=.
【变式5】计算: (2)
(4) (O.125)6x(-2)7x46
131初中数学题型方法全归纳
留题型方法2：幕的乘方运算
【题目特征】幕的乘方运算.
【解题方法】计算应用到以下公式:
储叫〃 =*；
aQ = 1(〃 w 0)；
-n 1
a =—,
Q〃
例：(1) (4= 〃故
2=/2
(2) 2° = 1
(3 ) Q-7 =二.
【变式1】（。加）
2=.
【变式2][（-加）丁=.
【变式3】（Q3f ）2=
【变式 4】计算:(1) 一(2) (-x)2.(-x)3+x.(-x)4
（3）（力 •（打 （4） （〃+1）。
2
(5) (-ay2 （6） （r产+产（加为整数）
【变式5】计算：(1) (―〃了 .卜叫
3=
(2) (-2]2?=;
(3) -(-3//)4=.
132代数专题-第七章 整式的乘除法
【变式6］已知（〃 + 1广=1,则/一3"3=.
留题型方法3：皋的加减运算
【题目特征】幕的加减计算.
【解题方法】事相加没有运算公式，只能利用乘法分配律，这样就需要把幕化成一样的，也就是
底数一样，指数都要一样.所以：
同底同指时：利用乘法分配律直接计算.
不同底不同指时：运用换底换指公式把底数和指数都换成一样的，然后利用乘法分配律进行计算.
换指公式：淤+〃=a"xa〃；（一般把较大的指数换成较小的指数）
换底换指公式：（十丫二/1〃.（换底换指同时进行，一次达到一个目的即可）
例 1 ：计算：（-2）刈9 + （-2广° =.
【解答】解：（—2）2°，（一2产。
= （-2）2019 + （-2）x（-2）2019 （底数一样，利用换指公式把指数换成一样的）
= （l-2）x（-2）2019 （乘法分配律）
=-（-2）2019
=2刈9 .
例 2：计算：4n+1+22n=.
【解答】解：
方法 1： 4n+1+22n
=（22p + 22〃（准备利用换底换指公式把底数都换成2）
= 22w+2+22w （把底数都换成了 2）
= 4x2*+2*（利用换指数公式把指数都换成2〃）
=（4 + 1）x22〃（乘法分配律）
= 5x22n.
方法 2： 4n+1+22n
=4用+Q2）〃（准备利用换底换指公式把底数都换成4）
=4用+4〃 （把底数都换成4）
= 4x4〃+4〃（利用换指数公式把指数都换成〃）
=（4 + 1）x4〃（乘法分配律）
= 5x4”.
133海
【变式1】已知9*1-32〃 =72,则(f )2021 =
【变式2】已知4〃+1-22〃=48,贝!)〃=.
【变式3】(一2)刈9 + (—2)加8=.
导题型方法4：已知事的值求塞的值
【题目特征】已知幕的值求幕的值.
【解题思路】通过已知事构造出所求幕.(先把底数化成一样的，然后再把指数化成一样的)
运用到的公式：
Cl X CL — d
amxbm =（仍『；
例：已知2、+2=20,求2、的值.
【解答】解：由2>2=20得：2x-22 =20.
.・・2、=5.
【变式1】若2加=3, 4〃 =9,则23%2〃的值是
【变式2】根据已知求值：
(1)已知d=2,优=5,求/+〃的值；
(2)已知32x9" x27 = 321,求加的值.
【变式3】已知10、=a, 5、=6求：
(1) 50、的值；
(2) 2"的值;
(3) 20、的值.(结果用含八b的代数式表示)
134代数专题・第七章 整式的乘除法
留题型方法5：已知幕得到字母的关系式
【题目特征】已知募得到字母的关系式.
【解题方法】
字母在指数位置：通过幕的值的关系，得到幕的关系，然后化为同底数暴，进而得到指数的关系
即为字母之间的关系.
字母是暴的值：把幕化为同底同指的，通过两个幕相等，进而得到字母的关系式.
例：若2。=3, 28 =5, 2c =90,用a, b表示。可以表示为.
【解析】字母在指数位置，通过幕的值3、5、90之间的关系得到2。、2\ 2。之间的关系;
【解答】解：,・・90= 32 x 2 x 5,
c=2a + b + 1.
【变式1］设x = y = 27m+2,用含x的代数式表示y是
【变式2】设x = 2加+1,k3 + ¥,用含x的代数式表示y是
国题型方法6：已知两个基相等求字母的值
【题目特征】已知两个塞相等求字母的值.
【解题方法】若心=。"（4。一1, 0, 1）,贝1」加=心
所以，解题时，通过换底换指公式把底数化成一样的，则可以得到两边指数相等，这样就可以得
到一般方程，进而求出字母的取值.
换底换指公式：（屋9〃=。加〃.
:已知（-2广;「丫，则户.
【解答】解：由题可得：1+1=5,所以尸4.
【变式1】已知9X+1= 314 ,则尸.
【变式2］已知87=23〃,则片.
135_______ 箜
初中数学题型方法全归纳
【变式3 ］已知43w = 27f，则6m + n =.
【变式4］已知丁二8»2,*=3一，求3 + 2y的值.
留题型方法7：已知两个事的值求代数式的值
【题目特征】已知两个幕的值，但是字母的值求不出来，让我们求代数式的值.
【解题思路】整体法去求代数式的值.
【解题方法】因为字母在指数位置，不能求出字母的值，只能整体去求代数式的值，所以需要通
过已知条件构造出两边底数一样的方程，这样才能去掉底数，得到代数式的值.
例：已知2" = 6 , 3" = 6 ,贝（J工+,=________.
a b
【解析】要求代数式中有工和工，通过已知式构造工和工，可通过两边次方的方法构造出来，然
a b a b
后再通过同底数幕相乘底数不变，指数相加，构造出工+,这个整体来.
a b
【解答】解：,・・2。=6,
・••两边同时上1 次方，得到2 = 6 1 。 ①，（底变不了上1 ，只能在指数位置变工1 ）
a a a
3:6,
・••两边同时上i 次方，得到3 = 6 1 ^ ②，（底变不了上i ，只能在指数位置变上i ）
b b b
①x②得：6 = 6 1 。 +1 J （构造上i +上i 这个整体，得到两个底数一样的方程，那么两边指数相等）
a b
【变式1】已知25" =2000, 80、=2000,求工+工的值.
x y
136卷_________
代数专题-第七章 整式的乘除法
【变式2］已知2。=3, 3。=2,则, + '=________
1 + 6Z 1 + 6
留题型方法8：比较几个事的大小
【题目特征】已知几个暴，让我们比较它们的大小关系.
【解题方法】
1.负数<0〈正数；
2.化为底相同（同为正数），指数越大值越大；
3.化为指数相同（同为正数），底数越大值越大；
4.底数、指数都大，那么值一定大；
5.底数指数化不了一样的时候，利用放缩法.
例：已知4 = 255 , b = ^ 。= 433 , d=92 ,则这四个数从大到小排列顺序是
【解析】指数都是11的倍数，可以通过换底换指公式将指数都换成11,比较底数的大小.
【解答】解：4 = 255 =32", 6 = 81", c = 64n, d = 25”,
V81>64>32>25,
b>c>a>d,
故答案为：b>c>a>d.
【变式1】比较27"和1727的大小.
【变式2】比较26"和及。的大小关系是
【变式3］若q=8P, fe=2741, c=961,则4、b、。的大小关系是，
137初中数学题型方法全归纳
留题型方法9：整式的乘法
【题目特征】整式相乘.
【解题方法】计算规则如下:
(2肛2)1%] = |巧3
单项式X单项式: 系数相乘，字母相乘.
单项式X多项式: 乘法分配律. m^a +b + c) = ma + mb + me
多项式X多项式: 乘法分配律. (m + n^a + = ma + mb + na + nb
例1：计算：2加〃之.（一3疝秋）.
【解析】确认计算类型：单项式X单项式.
【解答】解：原式=-6m4/p.（系数相乘，相同字母相乘）
例 2：计算：—2必x（―q? + 6/b — 3。+ 6） .
【解析】确认计算类型：单项式X多项式.先化为单项式x单项式，再进行计算.
［解答：解：原式=-2ab x （-a?） _ 2ab x6a2b + 2ab x3a- lab xb （利用分配律转化为单x单）
= 4a3b-Ua3b2 +6/6-2加（按照单x单的规则进行计算）
例 3：计算：（x + y）（x-2y）.
【解析】确认计算类型：多项式x多项式.先化为单项式x单项式，再进行计算.
【解答：解：原式=xxx-xx 2y+ y xx-y X 2y （利用分配律转化为单x单）
=-_ 2盯+肛-2/ （按照单x单的规则进行计算）
=，一盯一2y2.（合并同类项）
【变式1】计算：—（―
【变式2】计算：£+】•12〃—%向+，）.
【变式3】计算：（a-2）g + 2）（2“ + l）.
138卷_________
代数专题・第七章 整式的乘除法
【变式 4】计算：（3x2 +2）（5x4 +x2 +3）-（5x4 +x2 +3）（3x2 +3）.
【变式5】先化简，再求值：（-5好・+-44（/_2"3）-（"1）,2 —2）,其中a = -l.
【变式6】先化简，再求值：（4-方）（。2 +必+ 〃） + 〃伍+ 4）-〃3 ,其中〃 = _：, 6 = 2.
留题型方法10：整式的除法
【题目特征】整式相除.
【解题方法】计算规则如下:
（2肛2） + ］另；
单项式+单项式：系数相除，相同字母相除. =6〉
多项式+单项式：除法性质. (q + 6 + c)+ 加=〃+ 加+ 力 + 加 + 0 +加
多项式+多项式：大除法. (工，_1) + 卜—1)=12 + % + ]
注意：多项式+多项式时，不能利用分配律化为单项式+单项式，可利用大除法进行计算.
大除法计算规则如下：
1 .把被除数和除数都进行降幕排列，没有的项系数写成0;
2 .除数有几项，就从第几项开始作商，作的商要保证最高次数相减为0;
3 .直到相除商到最后一项，相减为0,即为刚好整除；若相减不为0,这个差值即为除法的余式.
例 1:计算：24，y+ （_69）.
【解析】确认计算类型：单项式+单项式.
【解答】解：原式=Tx.（系数相除，相同字母相除）
139海
初中数学题型方法全归纳
例 2：计算：(2。6I3 _9蓟 +5〃3工8)+(_9办3).
【解析】确认计算类型：多项式♦单项式.先化为单项式♦单项式，再进行计算.
【解答】解：原式=2口6丁+(_9/)-965+(_9加)+5/工8 . (_9/)(利用分配律转化为单.单)
= 等5 + f 一 25 .(按照单+单的规则进行计算)
例3：计算：93_1卜卜_1).
【解析】确认计算类型：多项式+多项式.
【解答】计算方法如下：
X2+ x+]
x-1) x3+0 x2+0 x-l-
x3 -X2______
x2+0x
x2 -x
x-1
x-1
一~~~ 0
・••原式=* + J + 1 .
【变式1】计算：
(1) I5a3b^3ab； (2) -5x5y3z^3x2y2 ；
(3)1“匹卜山吓
(4) (10x106)-(2x103).
【变式 2][(x +2y)(x-2y) + 4(x-y J]+ 6x .
140代数专题・第七章 整式的乘除法
【变式3]13/+/2加上（一加].
【变式 4](3x4-5x3+x2+2)^(x2+3).
【变式5】已知多项式J? 一2*+办_1的除式为&-1 ,商式为12一% + 2,余式为1,求a、6的值.
【变式6】已知一个多项式除以2/，所得的商是2,+1,余式是3x-2,请求出这个多项式.
留题型方法11：不含某一项求参数
【题目特征】已知多项式展开后，不含某一项，求参数.
【解题方法】不含某项，那么展开合并同类项后，该项的系数为0.
141海
■
初中数学题型方法全归纳
例：已知将+内+ 3)(，_21_加)乘开的结果不含和％2项.
(1 )求加、九的值；
(2)当加、〃取第(1)小题的值时，求(加-九)(/ +加理+ /)的值.
【解析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据乘开的结果不含/和f项，则令其系
数为0,即可求出加与〃的值.
【解答】解：(1)原式二/一2工3一加工2+〃工3_2内2_加内+ 3%2一6%_3加
=x4 + (n - 2)x3 +(3 一 加一 2八+ (加九 + 6— 3加,
由乘开的结果不含才和f顶,得到2=0, 3 -m-2n=0f
解得：m=-l, n=2；
(2)当加=-1, n=2 时,
原式=加3 + m2n + mn2 -m2n-mn2 -n3 =m3 -n3 = ］.- 8= -9 .
【变式1】若1+近+ 5)(f+2% + 3)的展开式中不含/的项，财;的值为.
【变式2】若卜2+8+ 8),2—3x + q)的积中不含和工3,求夕、夕的值.
【变式3］若卜+咫一；］卜2 一3%+九)的积中不含%与丁项.
(1)求加、〃的值；
(2)求代数式(-2/4 +(33)T + /)17*8 .
留题型方法12:恒成立与无关问题
【题目特征】已知等式恒成立求参数，或者已知式子的值与**无关求参数.
【解题方法】恒成立问题和无关问题是相互转化的：
恒成立说明等式左右两边同类项的系数相等；
如果把等式一边化为0,这说明等式另一边始终等于0,与未知数无关，说明未知数的系数为0.
142代数专题-第七章 整式的乘除法
例：已知(x + 2)(x-3)=，+加工+九，则加与〃的值分别是( )
A. m=\, n= - 6 B. m=\, n=6 C. m= - 1, n=-6 D. m= - 1, n=6
【解答】解：方法1：・・・Q + 2)a-3)=，—x —6=，+mx + n,(等式恒成立，说明同类项系数相等)
・••加=-1, n= - 6.
方法 2： V(x + 2)(x-3)=x2 -X- 6= x2 +mx + n,
・・・(加+ l)x +几+ 6=0,(此式恒等于0,说明与R无关，那么x的系数为0,左右相等)
；・m + 1=0, n + 6=0.
:.m= - 1, n= - 6.
故选：C.
【变式1】已知〃、6为常数，对于任意了的值都满足(x-10)(x-8)+ “=(%-9)(x-6),贝!Ja + b的值为
( )
A. 8 B. 10 C. -8 D. -10
【变式2]已知(% +叼)(％ +即)=/ +为一 6/2,求(加+九)加〃的值.
【变式3】已知多项式/ +工3 +/+ 2=卜2 +加工+])卜2 +几％+2),求机与〃的值.
留题型方法13：平方差公式
【题目特征】两数之和乘以两数之差.
【考查知识点】平方差公式：(a + b)(a-b) = a2-b2.
【计算方法】括号里的两个数字分别相同，不过一个符号相同，一个符号相反，所以，其计算结
果为同号的那个数的平方减去异号那个数的平方.
例：计算：(1) (x + 6y)(x-6y)；
(2) (3 + 2y)(3-2y)；
(3) (-x+y)(x+y)；
(4) (x+y)(-x+y).
【解答I解:(1) (x +6y)(x-6y)=，一 36y之；(1同号，6y异号，所以等于同号的平方减去异号
的平方)
(2) (3 + 2y)(3-27)=9-4/； (3同号，27异号，所以等于同号的平方减去异号的平方)
(3)(-工+》)(工+刃=/_，； G异号，》同号，所以等于同号的平方减去异号的平方)
(4) (x+y)(-x+y)=x2-y2. (%同号，y异号，所以等于同号的平方减去异号的平方)
143淞
初中数学题型方法全归纳
【变式1】计算:
②“河泊小
①（36 + 2q）（36 —2q）；
③（-x + y）（-x-y）； ④（4%-3月（-3歹-4x）；
⑥ ^x2y - ab3 ）（-%2y - ab3）；
⑦y-2y）（£+2y）； ®（x + 3）（x-3）（x2 + 9）.
【变式2】计算：①l\x1；
@80.1x79.9 ；
③20*2 -2016x2018 ； @（2 + 1）（22 +1）（24 +1）（28 +1）（216 +1）+1 .
【变式3】计算(q — 3(q + 6)(“2+/)(/+//)的结果是.
144代数专题・第七章 整式的乘除法
留题型方法14：完全平方公式
【题目特征】计算两数之和的平方或者两数之差的平方.
【考查知识点】完全平方公式：
(q + bp =a2 + 2ab + b2 ；
(tz -6)2 =a2 - 2ab + b2 .
即：± Z>)2 = a2 ± 2ab + b2.
【计算方法】两数和的平方等于两数的平方和加上两数积的2倍;
两数差的平方等于两数的平方和减去两数积的2倍.
例：计算：⑴(加+ 3f；
(2)(8a + 116『；
【解答】解：(1)原式=/+6加+ 9；
(2)原式= 64/+176^ + 12〃 ；
(3) ^^ = -a2-—ab + -b2 .
4 3 9
【变式1】计算：
①(-3, _ 4力2； ②(。一加 了；
③(-3/6 —0.5加 了 ；
【变式2】计算：①1992； ②20172-4032x2017 + 20162 .
145海
初中数学题型方法全归纳
【变式3】计算：
(1),一3)—,+ 引； (2) (x + 2)2(x-2)2；
(3) (x + 5y-9)(x-5y+ 9)； (4)(2Q-b + 3c)(2a + b-3c) .
【变式4】化简求值：+ “-(++ ’其中"32, b = 5・
［变式 5】化简求值：［(x-y)2 - x(3x-2y)+(x+j)(x-y)卜 2x ,其中 x = l, y = -2.
留题型方法15：已知完全平方式求参数
【题目特征】已知一个三项式为完全平方式求参数.
【解题方法】常见三类题型：(见例题)
例1：要使多项式M+加工 +9成为一个完全平方式，则数加的值是
【解答】解：x2 + Twx + 9 = (x±3)2 = x2 ± 6x + 9 ,所以加= ±6.
例2：要使多项式Y+6%+ 〃成为一个完全平方式，则数〃的值是.
【解答】解：x2 + 6x + w = (x + 3)2 = x2 + 6% + 9 ,所以〃=9.
例3：要使多项式-+6x + 〃2成为一个完全平方式，则数几的值是.
【解答】解：/+6x +几2 =(x + 3『=l2+6% + 9 ,所以1=9, 〃 = ±3.
146卷
代数专题・第七章 整式的乘除法
【变式1】设4工 +加工+ 121是一个完全平方式，贝加=
2
【变式2】如果多项式生1 +加孙+止是一个完全平方式，则数加的值是__________
9 16
【变式3】若4，一3（〃-2）x + 25是完全平方式，求q的值.
留题型方法16：三元平方公式
【题目特征】求三个数和的平方.
【考查知识点】三元平方公式：
（a + b + c）2 =a2 +b2 +c2 2ab + 2bc 2ca .（计算的时候，要带着符号一起去乘）
4-
例：计算：（3x — y + 5z）2.
【解答】解：原式=9—+必+25z? 一6盯-10yx + 30zx .（这三个数分别是3小-y> 5z,要带着
符号一起去乘）
【变式1】计算：（x-5y-
2
【变式2】计算:
3 4 2
【变式3】计算：（2机-〃+ 4p「
147海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法17：立方和、立方差公式
【题目特征】求两数立方的和，求两数立方的差.
【考查知识点】立方和、立方差公式：
1.立方和公式：(〃+6)(〃2 一肥+石2)=〃3 +户；
2.立方差公式：(4-8)(/+ ab+ /) = / _/.
例 1：计算：(a-2b)(a2+2ab + 4b2).
【解答】解：原式=/一妨3.
例 2：计算：(3x + 2y)(9%2 一6盯+ 4/).
【解答】解：原式=27、3+8艮.
【变式 1】已知〃 =1, 6 = 2,则(6 + 3〃)(91—3疑 + 62)= .
【变式2】若工一＞=1, x3 -y3 = 2 ,则/+盯+、2=.
【变式 3]已知 〃-6 = 3, a-c = 2 ,求(c — 6)[(a — + (a-c)(a-6)+ (a-c)2^| 的值是
留题型方法18：完全立方公式
【题目特征】两数和或两数差的立方.
【考查知识点】完全立方公式：
±6)3 = / ± 3a2b + 3ab2 ± b3 .
例 1：计算：(4 + 36)3.
【解答】解：原式=/+3〃2*36 + 34(36)2 +(36)3 = 〃3 + 9426 + 274/+2763.
例2：计算：Qx2-4j
x4y + 3x# （4y ）2 -（4y ）3 = $6 _ ^x4y + 24x2y2 - 64y3
【解答】解I
148祢
代数专题-第七章整式的乘除法
【变式1】计算:
【变式2】计算：（3a-2媒.
【变式3】计算：（2加.
国题型方法19:乘法公式知二推二
【题目特征】以下四个量，已知其中两个，求另外两个.
, q+6、
ab a2+b2
a-b
【考查知识点】完全平方公式的应用：
①~(q + 6『― 勿6 _ (〃 _6 )2 + 2ab ；
②(〃 一6)2 = (〃2 +人2)_ 2ab =(4 +6)2 一 4ab = 2@2 +/ )一 + 6 j .
③ b(4+6)2 一 (/ +〃)(。
2 +〃) (q 6)2 (q+6)2 (q 6)2
④(a + b)2 =(> +/)+ 2ab = (a-bf + 4ab = 2(a2 +b2^- (a-.
例：已知(x +>)2 =17, (X-J?)2 = 3 ,求上 +工.
x y
【解答】解：:(x + y『=17 , (x-y)2 = 3 ,
(x + y)2-(x-j；)2 _ 7
• • xy =
4 ~i'
x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 ,
.y x x2 +y2 20
• • —I——------ ——.
x y xy 7
149初中数学题型方法全归纳
【变式1】填空：
(1) a2 +b2 = (a + ^)2 _；
(2) /+62=,_勾2 +；
(3) a2 +b2 = — [ + ];
2
(4) (a -=g+6)2 _；
(5) ab ===.
【变式 2】已矢口 —+/= 25 , x + y = l,且 x>y，贝!Jx-y=
【变式3】已知a-b = 3, ab = -\,则〃？+/=
【变式4】已矢口 +/+盯=19 , x + y = 5,求工一夕.
【变式 5】已矢口 12+/=13, x + y = 5,贝!Jx — y=
【变式6】已知x + y = 5, x-y = l,贝！］盯=
【变式7］已知实数〃、6满足(a + b『 = l, 6『=25,求/+/+时的值.
(q-
150代数专题-第七章 整式的乘除法
留题型方法20：高次型的知二推二
【题目特征】以下四个量，已知其中两个，求另外两个.
d+
a2b2 小
a2-b2 ,
【考查知识点】完全平方公式的应用：
①/ +/ = (/+/)=炉 +" 一 ；
)2 = 12 &2/
一 (〃
(/ + / )2 _ (/ + / ) (〃2 — /)2 4 + / )
@a2b2 - — - -
+ / ) + 为 一 〃 而+"卜旧 一 〃 j
③(/ + 〃 )2 = (q4 2/ = (q2 )2 + ；
一 〃 丫 = Mb? = (a2 + /『-4a2b2 = 2 . + b4 )—.+〃1
④,2 [4 + ") _
例:已知 x-y = 5,孙=3,求：①(x-3)(x + 3)； @x2+y2； (3)x4 + y4 .
【解答】解：①(x-3)(y+ 3)=孙+ 3(x-y)-9 = 9 ；
@x2+y2= [x-y)2 + 2xy = 31 ；
③ / + y4 =，+ V 丫 _ 2x2y2 = 943 .
【变式1】已知/+y4=17, x2 + y2 = 5 ,则，一/2=.
【变式2】已知/一62=3, ab = -2 ,则/+/=, (/+/1
【变式3]已矢口 x + y = 4, xy = 2f求
【变式4］已矢口 x + 2y = 4 , xy = 1,求3 +8『的值.
151卷
初中数学题型方法全归纳
【变式5】已知x + y = 10, x3+y3=100,求V+j/的值.
【变式6】已知x-y = l, x3 -y3 = 2 ,求/+/和/ 一/的值.
【变式7】已知x + y = l, x2+y2=2,求/+/的值.
【变式8】已知x + y = 5,9=4,求/+;/.
题题型方法21：倒数型的知二推二
【题目特征】以下四个量，有一个是已知数1,那么已知其中1个，求另外两个.
【解题方法】完全平方公式的应用:
注：关于。+工的变形中有一个隐含条件42=1,因此已知/+与、和中的任意一:
Cl Cl Cl CL CL
个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”.
152米_______
代数专题・第七章 整式的乘除法
1 1 r2 1
例：已知，_7x + l = 0,求：(1) x + —； (2)，+ (3) ——--； (4) /+ 的值.
X X X +X + 1 X
r2 _ 7 Y 4-1 1
【解答】解：(1)V x2-7x + 1 = 0, ・・.xwO,・・・---------=0,解得x + —= 7；(除以x,构造
X X
分母)
(2) Vx + - = 7,・,.一+二+2 = 49,・・・，+4=47；(平方构造所求式子)
X X X
丫2 1 1
(3)4 2 =——=，•；(分子分母同除以一)
E+1，+/48
x
(4)・・・一+二=47, /. x4+-4+2 = 2209, A x4+^ = 2207.(平方构造所求式子)
【变式1］已知/+［ = 7,贝股+,=
a a
【变式2］已知Q + ' = 2,则/+1 =
a a
【变式3】 已矢口 x + ,；一r = 3， 则
X + X + 1
【变式4】 己矢口 a + -5 ,则
H- 2/+3/+2
留题型方法22：知二推二的应用——换元
【题目特征】已知知二推二某种形式的值，里面的两个式子有一个隐含的条件.
【解题方法］引入两个字母，通过隐含条件找到两个字母的关系（一般通过加减即可得到），这
样题目就变成了知二推二的形式，然后利用知二推二的公式进行求解.
例：已知（200 —〃）（198-。） = 999 ,则（200 —4+（198 —4=.
【解答：解：设200-〃二加，198-a=几，贝!J加-〃=2.（已知的两式相差为2）
则题目转化为已知加片999, m-n=2,求加？+/的值，
所以,加2+/=（机—〃『+ 2加〃 = 22 + 2x999=2002 .
153海
初中数学题型方法全归纳
【变式 1】若(x + 2『 + (x —3)2=13 ,则(x + 2)(3 —x) =
【变式2】若〃满足（几-2010『+（2012-〃y=l ,贝1」（2012-冷5-2010）=
【变式 3】已知(10-〃)(7-q) = 40 ,贝！)(10-q『 +(7-q)2=
【变式4】若X —> = 2,/+/=4,求*2+炉992的值.
国题型方法23：配方法
【题目特征】需要给二次项和一次项配一个常数，使它成为完全平方式.
【解题步骤】
①首先按某个字母的降暴排列——“化成一般式”.
②分清二次项与一次项，把二次项系数化为1—-“提系数”.
③加上一次项系数一半的平方.
【变式1】完成下列配方
@x2+4x+ =（ ）2
② x2+10x +
_____=(_________ —)2
③ %2 + 7 x + 一=(__________ _)2
@X2+llx + _
____=(__________
⑤ 一 9x +
一二（__________ _)2
@ x2 - 5x + —二(__________ _)2
⑦——13x + _
____=(___________)2
⑧)%2 — 15x + ____=(__________―尸
通过这道题， 你得到的结论是：
2
x + ax + 一=(__________ _)2
2
x -mx + ____=(__________ _)2
154*______________________________________________________
代数专题・第七章 整式的乘除法
【变式2】完成下列配方
① 2%2 + 4x +
= _(__________ _)2
② 2?+12x + _
_(__________—)2
③ 3/+7x +___
— _(________________)2
④3，+15+ _
_(__________
⑤-x2 + 9x + — _(__________ _)2
(6) —%2 - 5x +
— _(________________)2
⑦-2/_13x + _ 二 —(____________一)2
⑧一3，—15x + — —(________ 一)2
通过这道题，你得到的结论是：
ax2 +bx +
= _( )=——(_
—ux2 + bx +
— —( )=,—(_
国题型方法24：配方法求最值
【题目特征】已知一个二次多项式，求它的最大值或最小值.
【解题方法】给二次项和一次项配一个数，使之成为完全平方，然后利用平方的非负性求最值.
例：3（x-2）2+5的最小值是, —2（x + 3『—7的最大值是.
【解答】解：,・・3（x-2）2^0, ・・・3（x-2『+5）5 ,故最小值为5.
V-2（x + 3）2<0, -2（x + 3）2-7<-7,故最大值为一 7・
【变式1】求最值并求出取得最值时各未知数的取值：
① %2 — 4x +1 ； ② 3x + %2 — 6 ；
③———8x +10 ； @5x-x2+9 ；
⑤ 2f+4x + 7； @-2x2+10x .
155海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法25：配方法解不定方程
【题目特征】已知一个方程，却含有两个未知数，一般情况下，方程有无数解.
【解题方法】通过配方法，把方程化为“平方+平方=0”的形式，那么，依据平方的非负性，每
一个平方都必须为0,这样就可以得到2个方程，进而求出未知数了.
例： 若—-4% + 6夕 + 13 = 0 ,贝！k=，y=.
【解答】解：V x2+/-4x + 6j/ + 13 = 0 ,
x2 -4x +4 + y2 +6y+ 9 = 0 ,
・・・（x-2）2+3 + 3）2 =0 ,（配成“平方+平方=0”的形式）
,卜二2
（歹=-3
【变式 1】 若（工一5）2+（＞+ 4）2 =0 ,贝！Jx=，y=
/ 2
【变式2】已知2，—4% + 3必-12》+ 14 = 0 ,求 叶上
【变式3］已知公+「+z?-2x + 4y-6z + 14=0 ,求x + y + z的值.
【变式 4］已知 2a2一2仍 + /+4〃 + 4 = 0 ,贝ij q =， b=
【变式5］已知2,+6x + j? =2中一9 ,则工丁 =
【变式6】已知/〃+/+/+16 = 10M ,则/+/=
【变式7】已知。一2融+ 2/+4〃 + 8 = 0,求必
156*____________________________________________________________
代数专题-第七章 整式的乘除法
留题型方法26： 1/2公式配方
【题目特征）出现/ + 〃 + + be + C4形式.
°2 +
【解题方法】将式子进行配方：
因为，2a2 +2b2 +2c2 + 2ab + 2bc + 2ca = + + （b + c^ + （a+ ,
所以，〃+/+人必+-仅=3±也立3匕
I
2
.2+62+02—也正正正.
I
2
山 已矢口 3q + 2b + c=24, ^a2 +b2 +c2 =ab +be+ ca ,贝！J 43+/+。=.
【解答】解：由/+/+，=q6 + 6c + cq ,可得：
a3 +b2 + c2 - ab-be-ca = 0 ,
所以，-y+（"c）2=o.
2
所以，a=b=c,又因为 3。+ 2b + c=24,
所以，a=b=c=4,
所以，a3 +b2 +c = 84 .
【变式 1】已矢口 /+/+。 = 0 ,贝！ 3。+4b+ 2。=.
2+ J
【变式 2】a = —x + 20 , Z> = —x + 19 , c = —x + 21 , ^.a2 +b2 +c2 -ab-be-ca
20 20 20
3
【变式 3】已矢口。-6 = 6-。= —, /+/+，=],求 ab + bc + cQ 的值.
5
【变式4】设〃、b、。是不全相等的任意实数，若x = /—历，y = b2-ca, z = c2-ab,求证：工、
y、z中至少有一个数的值大于0.
公众号→全科A+ 157初中数学题型方法全归纳
【变式 5】若。=2011, 6=2012, c=2013,贝U /一/一从一四=
【变式 6】已知 6-。=。一。= 2, ab + bc + ca = 5 , ^.a2 +b2 +c2 .
【变式7】如果a、b、。是△ZHC三边的长，且/+/—必= c(〃 + b_c),贝1也”。是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D,形状不确定
【变式8】若。、b、。为正数，且满足〃4+/+。4 =//+// +02/ ,那么心 鼠C之间有什么关
系？
国题型方法27：主元法配方
【题目特征】含有两个字母的二次多项式，需要通过配方才能解题.
【解题方法】主元法配方：
配方时，把其中一个字母当作主元，其他字母都当作常数，把这个主元按照降幕排列以后，针对
主元进行配方，配方完成以后，再对其他字母进行配方.
例：求,+ 6xy + 10y2 +4x4-10^ + 15 的最小值.
【解答】解：选主元，把工当做主元，
贝!J 原式=，+(6> + 4. + (10>2+10歹 + 15)
=x2 +(6^ + 4)x +(3y + 2)2 + (10/+10y + 15)-(3y + 2f
= (x + 3> + 2)2 + (10〉2 + 10〉+ 15)-(9必+ i2y + 4)
=(x + 3y + 2『+ y2 - 2y +11
= (x + 3> + 2)+(y-ij+io
・,•当x=-5, y=l时，原式有最小值10.
158*______________________________________________________
代数专题・第七章 整式的乘除法
【变式1】求5/_6孙+ 2/+2x的最小值，并写出取得最小值时小y的取值.
【变式2】已矢口实数。、6满足〃 + b = 6，c2 -ab+ 9 = 0 ,求ab + bc + ca的值.
【变式3］已知实数。、b、。满足a-b + c = 3, a2 +2b2 +2c2 +ab-3bc-3b + 6c = Q ,求仍。的值.
【变式 4］已知实数a、b、。满足a + 2b-c = 5, 5b2+2ac + 4b-2c + 20 = 0 ,求a + 6 + c 的值.
【变式5】求4加之+2几2+4加九一4加-4九的最小值，并找出此时加、〃的取值.
【变式6】2x2-4^ + 5/-12^ + 13的最小值是
【变式7】求——2盯+ 2/+6x-6y + 10的最小值，并写出取得最小值时小》的取值.
159初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:因式分解概念题
【题目特征】判断哪个因式分解的结果是正确的.
【考查知识点】
L定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫作把这个多项式因式分解，也可称为将这;
个多项式分解因式.
2 .因式分解结果的要求：
因式分解结果的标准形式 常见典型错误或者不规范形式
符合定义，结果一定是乘积的形式 (x +1)(%+ 2)(%+ 3) + 7
既是整式，不能含有中括号 (x + l)[2(x + 3)-f
最后的因式的不能再次分解 (x-l)(x2-l)
单项式因式写在多项式因式的前面
相同的因式写成幕的形式
每个因式第一项系数一般不为负数 x(-x + l)(x + l)
一无(3 + 1惊 + 1]
每个因式第一项系数一般不为分数
、2 卜
因式中不能含有分式
因式中不能含有无理数 (x + l)(x + 收)卜-亚)
例：下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. 3ab. +b） = 3a2b + 3ab? B. 2x2+4x = 2x2 11 + 2）
C. q? 一疝=（q + 26）（q一2b） D. 3工
2
一6孙+ 3x = 3x（x-2y）
【解答】解：4选项属于整式的乘法；5选项含有分式；。选项左右不相等；只有。正确.
故选：C.
【变式 】如果下列式子是因式分解的结果，请判断下列式子形式是否正确，如果错误，请说明
1
理由.
①4。任一3力+ 7 ； ②3加（/ 一4）；
④⑪+ 1)2 [(I?—3]；
③-4(。+ 26)(〃 - 2b)；
⑤ H-----)； ⑥ x(x + l)|；x-2
160代数专题-第八章 因式分解
⑦一y（x+3）（ 一X+3）2 ; ⑧（x + y）（12 +力卜4 +>4）（x + y）.
【变式2】下列因式分解正确的是（ ）
A. 一4/ + 4/ = —4（/ _ 4/ ）= —4 伍 + 26）（q - 2b）
B. 3m3 -12m = 3m（m2 一4）
C. 4x4y -12x2y2 +7 = 4x2y （x2 一 3y ）+7
D. 4-9m2 =（2+ 3加）（2 一3加）
留题型方法2：提公因式法
【题目特征】要对一个多项式进行因式分解，每一个单项式都含有共同的因式.
【解题方法】提公因式法：
例如：2ma + 4mb + 6mc=2m（a + 26 + 3c）.
把每项的公因式，包括数和字母全部提出，有的时候把一个式子看成一个整体.
例］:因式分解：（2x-3y）（3x-2y）+（2y-3x）（2x + 3y）.
【解答】解：提相反数：原式=（3x-2y）［（2x-3y）-（2x + 3y）］ = -6y（3x-2y）.
例 2：因式分解：3a3b2-6a2b3+—ab.
4
【解答】解：化“分”为整：在提出一个分数因数（它的分母是各项系数的公分母）后，可以使
各项系数都化为整数（这个过程实质上就是通分）.假定第一项系数不是正整数，那可把-1作为公
因数提出，使第一项系数成为正整数.
所以，原式=；（12八2 - 2442b3 + 27ab） = ^ab（4a2b - Sab2 + 9）.
【变式1】多项式一3/丁 +12,/的公因式是.
【变式多项式-24x2j?z4 + 20xVz3 （4 _人 j + Sx5y4z5 （a-b ）公因式是.
【变式3】观察下列各式:①2〃 + 6和a + 6 ；②5加-6）和-a+ 6 ；③3（。+ 6）和-a - 6 ； ®x2-y2
和/+/,其中有公因式的是.
【变式4】因式分解：
（1） 12a2%3 +6abx2y -15acx2 ； （2） 2a2b（^x + （b + c^-6a3b3 （x + y/b + cj ；
161初中数学题型方法全归纳
（3）（2x + y）3 -（2x + y）2 +（2x + ））；
【变式 5]已矢口 力 十 °一〃 = 一2 ,求 |'4(〃一6一0)+ '不一± + 3|+$(力+ 2c - 2a)的值.
留题型方法3：公式法
【题目特征】需要因式分解的多项式可以直接利用公式进行分解.
【解题方法】公式有：
平方差公式：a2 -b2 = (a+ 6)("6)；
完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = (〃 + 6『；
a2 - 2ab + b2 = (a-b^ ；
立方差公式：a3 -b3 =^a-b^(a2 +ab + b2^；
立方和公式：tz3 +/>3 = [a + b^(a1 -ab + b2^ ；
三项完全平方公式：a2 +b2 +c2 + lab + lac + 2bc = (a + b + c)2 ；
完全立方公式：a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 = (a + )3 ；
a3-3a2b + 3ab2 -b3 =(a-b>)；
大立方公式：a3 +b3 +c3 - 3abe = [a + b + c^(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc^.
例1：因式分解：(x--9.
【解答】解：原式=a + 2)a-4).(看到“平方-平方”，利用平方差公式，9看作3的平方)
例2：因式分解：16-(30 + 26)2.
【解答】解：原式=(4 +3a+ 26)(4-3a-26).(看到“平方-平方”，利用平方差公式，16看作
4的平方)
例3：因式分解：8?+27.
【解答】解：原式=(2x + 3)(4/—6x + 9).(看到“立方十立方”，利用立方和公式，8Y看作
2x的立方，27看作3的立方)
162代数专题・第八章 因式分解
【变式1】因式分解：
(1 ) 9(加-%)2 一 4(加十 川)2 ； (2) -4(4叫2 +16(4 + 6)2 ;
(3) -(3/-5〃)2 +(5/一3〃/； (4) 9x2-24xy + 16/ ；
(5) 8〃-4。2_4 ； (6) (c2 - a2 -b2^ -4a2b2 .
【变式2】因式分解：
(1) 75x6y-12x2/； (2) —81//+16/；
(3)(3。2_/)2-(/-3/y；
(4) + -6z(x + j^)+9z2
(5) (x2+/)2-4x2/； (6) 16/—72 加 2+81.
【变式3】因式分解：
(1) —V+64； (2) 9x5-72x2/；
163祢
(3)小+凡
(4) a6-b6.
【变式4】因式分解：
(1) 4a2 + 9b2 + 9c2 -1 Sbc -12ca + llab ； (2) Sx3-36x2y+ 54xy2-27y3 .
【变式5】因式分解:
(1) 4y2 -(2z-x)2 ； (2) 3冽(2x-y)2 — 3加〃2 ；
16x5 -x ；
(5)(5X2+2尢-3)-2x —3)； (6) (x2 + 4)2 + 8x (x? + 4) +16%2 ；
4+8优+16尸
164称
代数专题・第八章因式分解
【变式6】因式分解:
(1) 8aW-l； (2) 32a3b3 -4b9 ； (3) 64x6/ +y15 .
留题型方法4:十字相乘法
【题目特征】对一个二次三项式进行因式分解.
【解题方法】十字相乘法：
已知(x + a)(x + b) = /+ (〃 + 6)% + 仍，那么将 例：因式分解：x2 + 5x + 6 ；
x2 +(^a + b)x + ab因式分解,则结果为(x + 〃)(x + b). xX/2 1k/2
x—或1人3
问题：二次三项式a/ +6% + c如何因式分解？
5x 5
十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘，
.・・原式= (x + 2)(x + 3)
实验筛选，求和凑中.
十字相乘法适用类型：
例：因式分解：x2 + 5xy + 6y2
二次三项式"+及+ 0 ；
x*2y 1 乂2
二次三项齐次式ax2 + bxy + cy2. x人3y或1人3
特殊地，如果〃 + /? + c=0,则必有因式1-1；
5xy 5
如果q-/? + c=O,则必有因式x+ 1. 原式=(x + 2y)(x + 3y)
例1：因式分解：(1) x2 + 5% + 6 ； (2 ) %2 + 6x + 8 .
【解答】解：(1).原式= (x + 2)(x + 3)； (2)原式= (x+2)(x + 4).
例 2：因式分解：(1) 3a2-7a-6； (2) -6x2-llx + 7 .
【解答】解：(1) 34—7a-6 =(3〃 + 2)(a-3)；
(2) -6x-llx + 7 = -(6x2 + llx-7)=-(2x-l)(3x + 7).
例3：因式分解:x2 +7xy + 10y2.
【解答】解：原式= (x + 2y)(x+5y).
【变式1】因式分解:
(1) x2-3x + 2； (2) x2-8x + 15 ；
165春
初中数学题型方法全归纳
(3) %2 + x — 6 ； (4 ) x2 — 2x — 3 ；
(5) —X2 + 2x + 8 ； (6) 4 + 3x-x2.
【变式2】因式分解：
(1) 5，+⑵-9； (2) 32-12x-27x2.
【变式3】因式分解：
(1) %2-10^-24/； (2) 2x2 -xy-3y2 ；
(3) 12x2 +4xy-y2 ； (4) /+144/—25孙；
(5) 8♦-5a6-421； (6) 12, 一 11孙一15/.
【变式4】因式分解：
(1)――(b + l)x + 6 ； (2) kx2 +(2k-3)x + k-3 ；
(3)(加 + 1)12-x-m .
166代数专题-第八章因式分解
留题型方法5：分组分解法
【题目特征】多项式不能提公因式或直接使用公式法.
【解题方法】分组分解法：主要针对4项及以上的多项式进行分解.
【解题步骤】一般地，分组分解大致分为三步：
1 .将原式的项适当分组；
2 .对每一组进行处理(“提”或“代”或“十字相乘”)；
3.将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.
多项式项数 分组情况
4 2 + 2或者3 + 1
5 2 + 3
6 2 + 2 + 2 或者 3 + 3
分组的原则：分组后，每一组内部可以使用“提”或“代”或“十字相乘”进行分解.
例1：因式分解：ax - by-bx +ay .
【解答］解：原式=(办_&r) + (即-力) = x("b)+y ("6)= ("b/x + y ).
例 2：因式分解：a2b2-a2-b2+l.
【解答】解：原式=〃2,2_1)_62_1)=(/_1)卜2_1)=(〃 + 1)(〃_1)0 + 1)0_1).
例3：因式分解：一1 — 2、-12 +必.
【解答】解：原式=-(l + x)2 + y2 = e + x + i)(y7_i).
【变式1】因式分解：
(1) 5/ 一 15—_1 + 3 ； (2) 5a2m - 15am + 3abm -9bm ；
(3 ) — 2%2 — x + 2 + x，— 2x4 ； ( 4 ) x4 + x，+ x2 + x .
【变式2】因式分解：
(1) %4 + x3 + 2%2 + x +1 ； (2 ) / — a + — 2a2b ；
qZ>2
167祢
初中数学题型方法全归纳
(3 ) 1 — x2 + xy — ~^y2; (4) x3 + x2 - j3 -y2 ；
(6)(4+6)3 +(b + c)3 +
(5) x3 + y3 + x2 + 2xy + y2 ； (c + q)3 +q3 + 63 + 03 .
【变式3】因式分解：
(1) 2(x。-3ab) + x(4a-34)； (2) x(x-l)-4y-1)；
(3) x(x + l) + y(y-l)-2个； (4) \ + {b-a1^2 -abx3 .
留题型方法6：换元法
【题目特征】多次出现相同或相近的式子.
【解题方法】换元法：多次出现同式子或相近式子，将这个式子用一个字母代替，这样做常常使
多项式变得更为简单，结构更加清晰，从而易于发现因式分解的方法.
换元方式：
1 .整体换元：多次出现同一个式子，用一个字母代替这个式子.
2 .和积换元：不是直接代换相近的式子，而是取一个中间值进行换元，换元后，使得式子的和或
者积是非常容易计算的.
注意：
1 .分解后，再将字母换回成代换的式子；
2 .换回以后，注意看能不能继续分解，如果能分解，需要继续分解.
168祢
代数专题-第八章 因式分解
例 i 因式分解：("26)2—8(。—26) + 12 .
【解答】解：令a-2b=m,(出现两次a-2b,所以对这个整体进行换元)
贝原式=苏 一8m+ 12 = (加一2)(加一6)=(4 — 26 — 2)(。一26 — 6).
因式分解：(，—1 — 3)(f — % — 5)—3 .
【解答解：解法1：令，_%_3 =歹，(将，_%_5拆成/_1_3和一 2,出现两次，一工一3,
所以想到用同一个字母代换这两个式子，方便进行分解)
贝!]原式= y(y _2)_3 = y2 _2y-3= (y+ l)(y-3)
=卜2 — % — 3 + 1)[2 - x - 3 - 3)
=— x — 2)(12 — % — 6^
= (x + l)(x-2)(x + 2)(x-3)；
解法2：令= (将一一％_5和，_工_3看作是，一工一4减1加1得到的，那么对
，一x — 4进行换元，这样在求它们的积的时候，就可以使用平方差公式，方便计算了)
贝!| 原式=(y _l)(y + l)-3 = (y-2)(歹+ 2)
二任-X- 6)(x2 -x-2^
=(x + l)(x- 2)(x4- 2)(x- 3).
【变式1】因式分解：
(1) 5 + 7(q + 1)-6(a + l『； (2) (x2+x)2-14x-14x2+24；
(3 ) + 4x + 8) + 3x + 4x + 8) + 2x2 .
f式 2】因式分解：(x2+5x + 2)(x2+5x + 3)-12 .
169初中数学题型方法全归纳
【变式3】因式分解：
(1) (x + l)(x + 3)(x + 5)(x + 7)+15 ； (2)(6x-l)(2x-l)(3x-l)(x-l)+x2.
【变式4】因式分解：
(1) (x2 +6x + 8)(x2 + 14x + 48)+12 ； (2) (x2 +3x + 2)(3 + 8x + 4x2)-90 .
【变式5】因式分解：
(1 ) +盯 + y2 )2 ― 4町 )； (2)孙(孙 + 1) +(孙+ 3)-2卜 +>+ ；)一 (x + y-1)2.
国题型方法7：主元法
【题目特征】要分解的代数式含有多个未知数.
【解题方法】主元法：选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分
解.一般选次数较低的字母为主元.
例 1 ：因式分解：l + a + b + c + ab + ac + bc + abc .
【解答】解：把。视为未知数，其他视为参数.
原式= q + q/? + qc + abc + l + b + c + bc
= a(l + b + c + bc)+l + b + c +6c
=(a +1)(1 + b + c + be)
= (a + l)(b + l)(c + l).
170代数专题-第八章 因式分解
-
例 2：因式分解：Q(6Q + llb + 4)+ b(3b — l) —2 .
【解答】解：将原式展开并写成关于〃的二次三项式：6/+(llb + 4" + 3〃-b-2,
3/-6-2可以分解为：(36 + 2)伍-1).
再次运用十字相乘法可知原式=(2。+ 36 + 2)(3g + b -1).
【变式 1】因式分解:y(y + l)(x2+l) + x(2/ + 2)； + l).
【变式2】分解因式：
(1) 4%2 — 4x — y2 + 4y — 3 ； (2 ) x2 — y2 + 5x + 3y + 4 .
【变式3】分解因式：
(1) x2 — y2 + 3x — y -I- 2 ； (2) 2a2 -b2 -ab +be + 2ac ；
(3 ) 3%2 + 4xy — 4y2 + 8x — 8y — 3 .
题题型方法8：双十字相乘法
【题目特征】对关于X,》的二次五项式或六项式进行因式分解.
【解题方法】双十字相乘法：
将V、＞2、常数这三项写成两数之积，
使得V、「的系数十字相乘再相加得到盯项的系数；
使得a常数的因数十字相乘再相加得至卜项的系数；
使得必、常数的因数十字相乘再相加得到y项的系数.
171初中数学题型方法全归纳
例：因式分解：x2 + 2xy - 3y2 +3x + y+ 2 .
【解答】解：如果只有二次项，+2孙-3。，如图1,那么，+2中—3/=(x — y)(x + 3y),
x y x 常数 y 常数
:X； ；X； 1
3^^ 2
-1 + 3=2 1 + 2=3 3 + -2=1
图1 图2 图3
如果没有含y的项，如图2,那么对于多项式f+3x + 2 = (x + l)(x + 2),
如果没有含x的项，如图3,那么对于多项式-3丁 +尸2 =(-尸1)(3尸2),
把以上三个算式“拼”在一起，写成，如图4：
图4
便得至U所需要的分解：/+2盯一3y2 + 3x + y + 2= (x-y+ l)(x + 3y+ 2).
【变式1】因式分解：3句+4孙一4/+8%-8y-3.
【变式2】因式分解：
(1) 2x2 -Ixy + 6y2 +2x-y-12 ； (2 ) x2 — y2 + 5x + 3y + 4 ；
(3) xy + y2+x-y-2.
172祢
代数专题・第八章因式分解
【变式3】因式分解：
(1) x2 - 5xy + 6y2 -xz + 5yz - 6z2 ； (2) 6x2 - 5xy - 6y2 - 2xz - 23yz - 20z2 .
留题型方法9：拆添项法
【题目特征】因式分解时，式子项数太多太少，或者系数不对导致不能使用提公因式法或公式法
进行因式分解.
【解题方法】拆项和添项：
1 .因式分解时，题目项数较少，可添加一项再利用提公因式法或公式法进行因式分解.
2 .因式分解时，某项系数较大或较小不适合利用提公因式法或公式法进行因式分解，可将该项拆
成两部分，使其可以利用提公因式法或公式法进行因式分解.
例1：因式分解：/+4.
【解答】解：原式= /+4f+4 —412=卜4+4/+4)—4—
二(%2 +2)2
=(J + 2 + 2x^x2 +2-2x)
= (x2+2x + 2)(x2-2x + 2).
(想使用公式法但是缺少一项，那就添一项，但添加以后，要保证可以进行二次分解，所以添一
个4/，再减去4公，这样就保证可以利用平方差公式进行二次分解了)
例2：因式分解：x4-3x2+1.
【解答】解：原式=——2炉+1 — —
=(X? + x- _1 +1).
(想使用公式法但是二次项系数不对，那就把-3一拆成两项，同时要保证利用公式法以后可以进
行二次分解，所以，把-3,拆成—2,和这样就保证可以利用平方差公式进行二次分解了)
【变式1】因式分解：/+-/.
4
173卷
初中数学题型方法全归纳
【变式2】因式分解：
x4-23x2+1.
【变式3】因式分解：x8+x4+l.
【变式4】因式分解：d+3/+3。+ /+3b2+36 + 2 .
留题型方法10：试根法
【题目特征】次数高于2次，因式分解无从下手.
【解题方法】试根法的原理：
因式定理：如果x = a时，多项式%x〃 + ... + 41% +%的值为0,那么x-a是该多项式的
一个因式.
试根法的应用步骤：
第一步：试根；
1 .先令x=l和尸-1,是否多项式为0；
2 .如果最高次系数为1,找常数项的因数（包含正负因数）；
3 .如果最高次系数不为1,找到常数项的因数〃，再找首项的系数夕，令° =工，然后计算哪一个c
q
值可以使多项式等于o,从而找到多项式的因式.
第二步：利用大除法找出另一个因式；
或利用配凑法进行分解.
第三步：利用大除法找出另一个因式后，需要对另一个因式继续分解.（如果不能分解就不用分
解了）
174祢
代数专题・第八章因式分解
例]:分解因式：x3 -3x + 2 .
【解答】解：令尸1时，多项式值为0,所以原式分解以后一定含有x-1这个因式.
X2 4-X -2
X-1J x3+O x2-3x+2
x3 -x2
x2-3x
-X
-2x+2
-2x+2
___ _ __
(然后利用大除法找到另一个因式为，+工一2 )
・・・x3-3x + 2 = (x-1)(x2+x-2)(继续对另一个因式进行分解)
= (x-l)(x-l)(x + 2)
= (x-1)2(x + 2).
例2：因式分解：a3 -4a+ 3 .
【解答】解：令。=1，多项式值为0,所以原式分解以后一定含有这个因式.
原式=(/ _
42 ) + (/ _ 〃) _
(3q _ 3)
= 6z2(^-l) + 6z(6z-l)-3(tz-l)(不断配凑 a—1 这个公因式)
= ("1)(" +q_3).
【变式1】因式分解：
(1) @x2+2x-3 =.
@x2+5x-6 =.
@x2-10x + 9 =.
@ x2 —lx + 6 =.
⑤ 3/ — 8x + 5 =.
@2x2 +5x-7=.
通过上面发现对于二次三项式a/ + 6x + c ,女口果a + b + c = 0 ,则必有因式
(2) ©x2+3x + 2=.
5x + 4 =.
② ]2 +
③，+10x + 9 =.
④ / + 7x + 6 =.
@3x2+8x + 5 =.
@2x2-5x-7 =.
通过上面发现对于二次三项式ax之 十乐 + c ,如果q-6 + c = 0 ,则必有因式
175初中数学题型方法全归纳
【变式2】观察可知,当x =时，x3+x2-5x + 3 = 0 .可得 是多项式x3+x2-5x + 3
的一个因式.因式分解：x3 + x2 -5% + 3 =.
【变式3】观察可知，当、=时，x3+2x2-5x-6 = 0 .可得 是多项式
x3 + 2x2 -5x-6 的一个因式.因式分解：x3 + 2x2 -5x-6 =
【变式4】因式分解：x3 + 6x2 +1 lx + 6 .
【变式5】因式分解:x3+3x2-4.
【变式6】因式分解：
(1) 3x3-2x2+x-2 ； （2） 3x3-5x2-11x-3 .
寻题型方法口：待定系数法
【题目特征】因式分解时，能确定分解以后的形式，但不确定分解以后各项系数具体为多少.
【解题方法】待定系数法：
如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.
即，如果4+%_2%”2 T-----\-axxx +4Z0 =bnxn +bn_xxn~x +bn_2xn~2 H-----F bxxl + bQ 恒成立,那
么 见 = £，an-\ ~ "一1，…，。1 = A , ' =瓦・
待定系数法的使用前提是知道所要求的代数式的形式，根据代数式的形式把不确定的部分设为未
知数，然后通过比较系数得到方程，进而求解.
例：因式分解：x4+x3+2x2-x + 3.
【解答】解：令A：4 +X3 +2/一％ + 3= (J +加工+ 1)(%2 +〃]+ 3)
或 / + + 2X2 -x + 3 = （，+ 加工 - 1 ）卜2 + 九% 一3 ）,
当 X，+ 工3 + 2X2 - X + 3 =+ 5 + 1 ）卜2 + + 3 ）；
m + n = l
则由题得3+ 4 = 2 ，解得,加=T.
[n = 2
31n + n = —\
176菱_______
代数专题・第八章因式分解
由于因式分解的结果是唯一的，所以原式= (/—x+1)(/+2x + 3).
【变式1】已知关于x的多项式9f+3x + 3加因式分解以后有一个因式为3x-1,试求加的值，并将
多项式因式分解.
【变式2】若—+2x + 5是/+82+q的一个因式，求取的值.
【变式3】已知多项式一_2肛+ @2+3x-5y + 2能分解为两个一次因式的乘积，求上的值.
【变式4］已知关于'的多项式2，—5x + 3加因式分解以后有一个因式为2x-3,试求冽的值，并将
多项式因式分解.
【变式5】因式分解：x4 + 3x3 + 5x2 + 4x + 2 .
177初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断是否为分式
【题目特征】判断一个代数式是否为分式.
A
【考查知识点】分式的定义：一般地，如果4 3表示两个整式，并且5中含有字母，那么式子《叫
B
作分式，其中z叫分子，B叫分母且5工0.
【解题方法】看分母是否含有字母，有字母就是分式，不含字母就不是分式.
例：指出下列各式中的整式与分式：-，上，T，-，Y二，-二，-3 + 2/, —,
x x + y 2 7i x -1 3 x 4
【解答】解：整式有：*，-3 + 2/， 4-
2 九 3 4
1 1 3 X2
分式有：,，二一，一一，土 .（只看分母有没有字母，不能化简）
x x + y x -1 x
【变式1】下列式子是分式的是（ ）
[(I) - X X
A. - B. C. —F y D.
2 2 X + 1
X2 4 工，理，其中是分式的有（
【变式2】下列各式：- 2 )
2 b 兀
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【变式3】下列各式中是分式的是（ )
A. B. —C. —^― 2 _ 3
D.
23 2 + % 4x - > 4x - 3 x + 2
留题型方法2：分式有意义求字母范围
【题目特征】求分式有意义时未知数的取值范围.
【解题方法】令分母不等于0,求未知数的取值范围.
分式概念：
定义 示例
分式的定义：一般地，如果4 B表示两个整式，并且5中含有字母，
7 1
例如士，――
那么式子4叫作分式，其中Z叫分子，8叫分母且8W0.
a ax + \
B
使1有意义的条件是xHO
分式有意义（或分式存在）的条件：分式的分母不等于零，即5W0.
X
分式的值为零的条件：分式的值为零是指分式在有意义的前提下分
式的分子为零. 使金值为0的%值为1
A
X + 1
即当4=0且时，一 二0.
B
178代数专题・第九章 分式及分式方程
例：当x取什么数时，下列分式有意义？
（2）守；（3）
（1）
X +1 x x-5
【解答】解：（1）当，+1。0,即为任意实数时，分式都有意义;
（2）当—wo,即xHO时，分式有意义；
（3）当％-5。0,即xW5时，分式有意义.
【变式」当、取何值时，分式的值有意义?
【变式2】要使分式正有意义，工的取值范围为（ ）
x + 5
A. X。- 5 B. x>0 C.%。-5且/>0 D. x>0
【变式3】下列分式中不管x取何值，一定有意义的的是（ ）
x x -1 x2 +2 x + 1
留题型方法3：分式值为0求字母的取值
【题目特征】分式的值为0,求字母的取值.
【解题方法】令分式的分子等于0,分母不等于0即可.
例：要使分式」r2 _1 的值等于零，贝卜的取值是_____ .
X-1
【解答】解：要使得分式值为0,则卜2T = ° ，解得：X=-1.
x-1^0
【变式1】若代数式:吐二值为零，则（ ）
X + 1
A. x=-l B. x=\ C. x=±l D.#1
吐的值为0,贝卜的值为（ ）
【变式2】若分式可
—4x — 5
A. -5 B. 5 C. - 5 和 5 D.无法确定
【变式3】已知分式」（x — 3）（： + l）的 0,那么工的值是（
)
1-x2
A. - 1 B. 3 C. 1 D. 3 或一 1
179初中数学题型方法全归纳
留题型方法4：分式恒等变形
【题目特征】对分式进行恒等变形.
【考查知识点】分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫作分式的基本
性质，用式子表示是：4=色也，也其中"是不等于零的整式）.
B BxM B B .M
注意：
（1）基本性质中的/、B、M表示的是整式.其中BWO是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过
程中不另强调；跖的是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调“H0
这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可
能发生变化.例如：+ （:1） = 0,在变形后，字母X的取值范围变大了.
x +x x（x +1） X
【解题方法】
1 .恒等变形必须是分子分母乘以或除以同一个式子；（不能是加减）
2 .进行恒等变形时，乘以或者除以一个代数式时，注意一定要保证这个代数式不能为0,否则就
不是恒等变形.
例：下列各式从左到右变形正确的是（ ）
c 2
a 0.2q + 6 2a+ b X+ 3_ 18x + 4y
A _______=______ B.
a 4- 0.26 a + 2b
3 2
n n-a a + b _ 1
C.——------ D.
m m-a a2 + / a + b
【解答】解一、分式的分子和分母同时乘以1。，应得即为不正确,
6x13x + |y
竺士也，故选项5正确,
B、
2 r~ 4y-3y
6x
3X-2y
分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即c项不合题意,
另巳不能化简，故选项。不正确.
D、
a +b
故选：B.
【变式1】下列各式中，正确的是（ ）
-3x _ 3x a + b _-a + b
A. _ ___ B. —
57 -5y c c
—a — b _a-b a a
C. D. __
c c b-a a-b
180祢
—*—
代数专题・第九章 分式及分式方程
【变式2】若分式筌:中的小y的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值（ ）
x +y
A.扩大到原来的4倍 B.扩大到原来的2倍
C.不变 D.缩小到原来的工
2
【变式3】下列分式变形正确的是（
x x2 m-n _ （加一_ （m -"
A.
y y' m + n （加 十 九）（加一〃） m2-n2
1 -x _ 1 b _ab
%2 — 2x +1 x — 1
国题型方法5：把分式最高次符号化正
【题目特征】把分式最高次符号化为正数.
【考查知识点】利用分式的基本性质，
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何
一个或三个，分式成为原分式的相反数.
根据分式的基本性质有心=2, a
=_ l.
—a a u —a
根据有理数除法的符号法则有- = — =
Q -Cl CL
例：不改变分式的值，把分式三的分子与分母的最高次项的系数化为正数.
1-X
/ ：、
【解答】解：原式= ,.（相当于把分母符号提到整体的前面）
FT
【变式不改变分式的值，把分式怒的分子与分母的最高次项的系数化为正数.
【变式2】不改变分式的值，把分式令的分子与分母的最高次项的系数化为正数.
181初中数学题型方法全归纳
【变式3】不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含号.
⑷
-2a 31n -2
(1) (3)
~b~ -n -3c
题题型方法6：分式的约分
【题目特征】需要把分式分子分母相同的因式约掉.
【考查知识点】把分数化成最简分数的过程就叫约分，也就是说把相同的因式约掉.
【解题方法】分子分母同时因式分解，有相同因式的话，那么利用分式的基本性质，分子分母同
除以相同的因式.
么 2d + 1 x x 2几 TTI
例：约分： (1)- 2 + 2 —
2 ； 3 .
a -1 2mn — 4n
a2 + 2a+ 1 _ (々 + 1)2 _ tz + l
【解答】解: (1)
Q? — 1 (Q + 1)(Q-1) Q-1
2n2-m -(m-2n2) 1
-------- =
2mn-4n3 2n^m-2n2^----2n
【变式1】约分:
8ab2(l-a)
。 一4刃 + 4/
【变式2】约分: 2
a2 - 4/
2 3
【变式3】约分:
4 - 9m2 9m2 -12m + 4
182卷
代数专题・第九章 分式及分式方程
留题型方法7：分式的通分
【题目特征】把几个分式的分母化成相同的.
【考查知识点】通分的概念，最简公分母.
【解题步骤】
一、确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：
1.分别列出各分母的约数；
2.取系数的最小公倍数；
3.分母有相同因式取最高次的项；
4.只有一个分母有的因式直接取；
5.将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母.
二、利用分式的性质，分子分母同乘以一个式子，把分母都化成最简公分母.
(1)工与 1 4x 2
例：通分: (2)
2a2b ab2c， x + 2 %2 — 4 x — 2
【解答】解：(1)最简公分母是2/62。，
3 _ 3xbc _ 3bc a-b _ (a-b^x2a _ 2a2 - 2ab
2a1 b 2a2bxbc 2a2b2c ab2c ab2c x 2a 2a2b2c
(2)最简公分母是(x + 2)(x-2),
1 _ x —2 _ x _ 2 4x _ 4x 2 _ 2(x + 2) _2x+4
x + 2 (x + 2)(x-2)x2 — 4 %2 — 4 x2 — 4 x — 2 (x-2)(x + 2)x2 — 4
通分:
⑴〜翕; x 1
(2)
2x + 2 x2-l
(3)二-与二-； 3 1
(4)
5ab 2bc 2x2yz 2xy2z2
183海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法8：字母扩大倍数求分式值的变化
【题目特征】字母扩大a倍，问分式的值扩大多少倍.
【解题方法】
1 .分子分母次数相同，分式值不变；
2 .分子比分母次数高加则分式值扩大优倍；
3 .分母比分子次数高力则分式值缩小为原来的
例：如果把分式丑亘中的x和歹都扩大10倍，那么分式的值（ ）
x + y
A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.是原来的- D.不变
3
【解答】解：竺主辿=吗土驾=£±亚.
10x + 10y 10（x + y） x + y
故选：D.
【变式1】如果把分式一^」中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
3x-2y
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
【变式2】如果把分式巫_中的小y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
x-2y
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
【变式3】如果把分式:中的小 》都扩大3倍，那么分式的值（ ）
6x -5xy
A.扩大3倍 B.不变 C.缩小3倍 D.扩大2倍
留题型方法9：根据已知式子（字母未知）求分式的值.
【题目特征】根据已知条件无法求出字母的值，却要求某分式的值.
【解题方法】因为无法求出字母的值，所以：
1 .整体代换法.通过分式构造已知的整体，然后进行整体代入.
2 .约分法.通过代换，将分式分子分母的未知数约掉，从而实现求值.
例：若a、b都是正实数，且1―' = 求的值.
a b a +b a -b
【解答】解：c
a b ab a +b
一（a-b）（a + b）= 2ab ,即 a2 -b2 = -lab ,
则,.（约分法，约掉了分子分母的字母，实现不求字母的值直接求代数式的值）
a2 -b1 -lab 2
184代数专题-第九章 分式及分式方程
已知:求代数式/的值.
【变式1】
【变式2】已知工—工=3,求分式2a + 3ab-2b的值.
a b a-ab-b
【变式3］已知实数。满足/—3q+ 1 = 0,求下列各式的值:
（1）, + 的值；
(2) /+［的值;
a
/ + ［的值；
(3)
/ + 5〃 +1 z » /士
(4) F-------的值.
u — 2a +1
留题型方法10：分式的乘除运算
【题目特征】求分式的乘除计算.
【解题方法】分式的乘除运算法则：
1 .分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.
a c _ a-c
~b,~d=~Td'
2 .分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.
a c a d _a'a
-----; =—• — = •
b d b c b c
3 .分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方.（相当于连乘）
（?）
【解题步骤】乘法计算：分子分母分别因式分解，然后再约分.除法计算：化为乘法再进行计算.
185海
初中数学题型方法全归纳
【解答】解：原式=；—―r（。+3）, （化为乘法）
（q + 3）（q-3）1 7
=工.（约分）
。一3
故答案为：士.
a-3
-二"土
【变式1】计算：3. 1 =
X X -X
【变式2】计算下列各式:
,、5c2 302b 士士 (x-2)，
（1）---27------- ； (2)
6a b c x + 2 x — 2
x+2 1 x-3
【变式3】计算: ---------------2---------------
x2 -6x + 9 3-x x + 2
留题型方法11：分式的加减运算
【题目特征】求分式的加减计算.
【解题方法】分式的加减法法则：
1 .同分母分式：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
a , b a±b
­ ± — =--- .
c c c
2 .异分母分式：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
a c ad be ad ±bc
­ ± =--i--=----- •
b d bd bd bd
注意：分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式.
【解题步骤】先通分，再计算.
186代数专题-第九章分式及分式方程
例：计算：二-
a — 1 q — 1
2(q + 1)
，
a2
―
+3 —
―
2a —2
('。-、广
1)
- -『
_ t
—
z — 1
【解答】解：原式—
(q + 1)(q —1) (q + 1)(q —1) + —1) (q + 1)(q —1) q + 1
故答案为：——-
a + \
【变式1】由（巨£-1）值的正负可以比较4二上与工的大小，下列正确的是（ ）
2+c 2 2+c 2
A.当c=-2 时，A = - B.当c=0 时，//
2 2
C.当c<-2 时，A>- D.当KO 时，A<-
2 2
【变式2】下面是某同学“化简法十二”的过程，共四步•
解：原式=一+卜+ 2）（»2） 第一步
= ^- + -L_……第二步
% + 2 x + 2
=山……第三步
1 + 2
=2……第四步
请判断：该同学的化简过程从第（ ）步开始出现错误.
A. 一 B.二 C.三 D.四
【变式3】计算 一2 ^1 — —的结果是________
m -n m + 1
一一 一-
【变式4】计算： 誓, 3———=_____ .
9x2 -/ 3x-y
【变式5】计算—二——7T的结果为（ ）
ci — b a — b
187卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法12：分式的混合运算
【题目特征】在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的几种运算.
【解题方法】按顺序进行计算：
分式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括
号里面的.
例：计算：。+ 2 +二生工________.
( 1 — CL) 3 — CL
【解答】解：原式J"""2)二］•个金.(先算括号里的加法，所以给括号里的分式
q-2 2 —
通分)
.9 2(”2)
a — 2 。— 3
=_(〃 + 3)("3)变二)(乘法计算，先因式分解，再约分)
a — 2 。— 3
=-2 (q + 3)
= -2a-6.
故答案为：—2a — 6.
【变式1】计算：J
(x + y y-x) I 孙—>
【变式小计算Ur2+木电
【变式3】化简|?>7 + 1111一!］的结果为
188箜_______
代数专题-第九章 分式及分式方程
【变式4】化简：+孚2] +吗.
— 1 CL — 1 J CL
【变式5】计算:0+£心
士+ 1 力
【变式6】化简: £
x2 + 3xy -4y2.x2 + 3x-3x-y2
【变式7】计算:
x2 + Sxy +16歹2 %2 -16y2
国题型方法13：分式化简求值
【题目特征】要对分式进行化简，然后再求值.
【解题方法】先把分式化简，再把未知数对应的值代入化简后的式子求值，或者整体代入求值.
注：在化简过程中要注意运算顺序，运算的结果要化成最简分式或整式.
例：已知。是满足不等式组之,°的整数解，求代数式：(l + /-] + d + 2a + l的值是
[〃>0 < a-1) a-1
2 1 6Z2 + 2d +1 Q—1+2 6Z — I Q+1 1 1
了【解々刀答的、】 解々刀 ：1 +------ +-------------=------------------------------------------丁=-----,
(a-\) a-\ a-1 (a + l)2 1 (q + 球 q + 1
由不等式组(”2"0,得0<r2,
[a>0
,・力是满足不等式组[”2«0的整数解，又(〃 + 1)5,1>0,
>0
.•・。=2,
1 1
当 q=2 时，
a+1 2+1 3
故答案为：
3
189初中数学题型方法全归纳
【变式1］如果/ +加—3=0,那么（加+也的值是（ ）
I m J m
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【变式2】如—1时，那么代数式（含+ 2）三也的值是^
2 二_ 2
【变式3】先化简，再求值：1 + — 卫~r，其中加，几满足生=/■.
m-2n m - Amn + 4川 3 2
【变式4】先化简*- T，然后从-2, T,。选择一个合适的数字代入求值.
国题型方法14：解分式方程
【题目特征】解分式方程.
【解题步骤】
①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤系数化为1；
⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简
公分母等于零的值是原方程的增根.
注意：解分式方程一定要验根.
例：解分式方程：喜=占+】.
【解答】解：去分母得：3x=x + 3x + 3,
解得：x=-3,
检验：当x= -3 时，3（x+l>0,
・,•分式方程的解为x=-3.
190代数专题・第九章 分式及分式方程
【变式1】解下列分式方程：
(1)2x-4"^2=I (2)+ 1 =含 (3) 7<i-1 = (x + l)(x-2)
【变式2】解下列分式方程:
/八 16 x-2 x + 2 5x 2x-5 7x-10
(1) ------7 +---=---- -Z----------1 ------------=-------------
4 — x x + 2 x — 2 x + x — 6 x — x - 12 x - 6x + 8
【变式3】解下列分式方程：(提示：分子次数大于等于分母次数时，要先分离常数；全部同时通
分，计算很麻烦时，可以先部分通分)
/i、x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 x2+x-3 1 2x2 + 4x +1
v 1 >----------------=----------------- ( 2 ) -z----------F1 = -------------
x-1 x + 3 x + 5 x + 7 x + x-2 x + 2x +1
留题型方法15：已知分式方程有增根求参
【题目特征】已知分式方程有增根求参.
【解题步骤】
第一步，去分母化为整式方程；
第二步，把有可能的增根分别代入整式方程求参数.
例：若关于%的分式方程 £-4=1有增根，则增根是________.
x — 1 x — 1
【解答2解：去分母，得：6-w(x + l) = x2 -1 ,移项，得：7-加(工+ 1)=，，
当工=-1时，原方程无解，(分母为0的两种情况分别代入求参)
当%=1时，为原方程的增根.
191初中数学题型方法全归纳
【变式］】如果分式方程F 一占
【变式2】若分式方程上-/工=出■产生增根，则加的值为
x + 1 X +X X
【变式3］当加=________，方程2 +2=芋、会产生增根•
x(x-l)
x x-1
【变式4】关于x的分式方程号一t=占有增根，则仁——
【变式5】关于'的方程：竺11—2=1.
x — 1 1 — X
(1)当。=3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求。的值.
留题型方法16:已知分式方程无解求参
【题目特征】已知分式方程无解求参.
【解题方法】
分式方程无解：包含两种情形：
(1)原方程去分母后的整式方程无解；
(2)原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而
原方程无解.
192卷
代数专题・第九章 分式及分式方程
例：若关于X的方程山-』-=/ 七2 无解,求〃的值.
x + 2 x-1 (x-l)(x + 2)
【解答】解：原方程化为(。+2" = -3①，
・・,原方程无解，
第一种情况：整式方程无解，・・・。+ 2=0,・・・〃=-2.
第二种情况：整式方程有解，但解为增根，
那么由工-1=0, x + 2=0,得：增根可能为x=l, x=-2.
将x=l,尸-2分别代入①，
得q=_5, a=~—,
2
综上知〃二一2, —5或—工.
2
【变式1】若关于'的方程上-2 ="一无解，则加的值是_______.
x-3 x-3
【变式2】当片一时，关■的分式方程篝一无解.
【变式3】若关于册方程盘=1rl无解，则〃的值是一
【变式4】若关于x的分式方程3-3 = 1无解，则折_______
x-1 X
【变式5】当折___________时，关于'的方程?- + -^- = -2-无解.
x — 2 x — 4 x + 2
193初中数学题型方法全归纳
留题型方法17：已知分式方程根的范围求参
【题目特征】已知分式方程根的范围求参.
【解题步骤】
第一步：求出分式方程的根（用参数表示），
第二步：令这个根满足对应的取值范围，同时这个根还不能是增根.
注意：不要漏掉解不等于增根的情况.
例：若关于x的方程&*+ 1 = 0的根为正数，则加取值范围为.
x-2
【解答】解：去分母，得：2x +加+ （x-2）=0,
化简可得：x ,
3
由题意得：x>0且
所以泊>0且泊工2 ,（不等于增根不能忘）
3 3
解得：加V2且加工一4.
【变式1】若关于x的分式方程」-=-^— -2的解是非负数，贝布取值范围是
x-1 2x-2
【变式2】若关于'的方程竺里-1 = 0的解为正数，贝以取值范围为
x-1
【变式3】若关于x的分式方程注一的解是正数，则.的取值范围是——
【变式4】已知关于x的分式方程上- + 2 =的解为非负数，则正整数加的所有个数
X - 1 1 — X
为 个.
194春
代数专题・第九章 分式及分式方程
留题型方法18：分式方程应用题
【题目特征】实际应用题，列的方程是分式方程.
【解题方法】
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系;
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
例1：岳阳市区某中学为了创建“书香校园”，今年春季购买了一批图书，其中科普类图书平均
每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用20000元购买的科普类图书的本数与用
15000元购买的文学类图书的本数相等.
（1）求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？
（2）学校计划在五月份再添置600本这两类图书，且费用不超过10000元，问最多可以购买科普
类图书多少本？
【解答】解：（1）设科普类书的单价为x元/本，则文学类书的单价为（％-5）元/本，
依题意：迎纥空纥
x x-5
解之得：x=20.
经检验，尸20是所列分程的根，且合实际,
Ax- 5=15.
答：科普类书单价为20元/本，文学类书单价为15元/本.
（2）设科普类书购〃本，则文学类书购（600-a）本，
依题意：20a + 15（600-a）＜10000,
解之得：任200.
答：最多可购科普类图书200本.
注意：分式方程不要忘记检验.
例2：接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，
计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的
工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只
能生产疫苗15万剂.
（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该
厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
【解答】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，
195春
初中数学题型方法全归纳
16 15
由题意可得:
8(%+ 10) io%
解得：x=30,
经检验：工=30是原分式方程的解，且符合题意，
・・・当前参加生产的工人有30人；
(2)每人每小时完成的数量为：16+8+40=0.05 (万剂)，
设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4x15 + (30 + 10)xl0x0.05y=760,
解得：y=35,
35 +4=39 (天),
・・・该厂共需要39天才能完成任务.
【变式1】开学在即，由于新冠疫情学校决定共用8000元分两次购进口罩6000个免费发放给学
生.若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.5倍，则第二
次购买口罩的单价是 元.
【变式2】“绿水青山就是金山银山”.某地为了美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿者
的加入,实际每天植树的棵树比原计划增加了 25%,结果提前3天完成了任务.则实际每天植树
棵.
【变式3】在防控新冠疫情期间，市民对医用口罩的需求越来越大.某药店第一次用3000元购进
医用口罩若干个，第二次又用3000元购进该款口罩，但第二次每个口罩的进价比第一次每个口罩的
进价上涨了 25%,所以购进的数量比第一次少了 200个.求第二次购进的医用口罩的单价为多少元？
196菱_______
代数专题・第九章 分式及分式方程
【变式4】新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的
价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购
买乙品牌消毒剂的数量相同.
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买
了多少瓶乙品牌消毒剂？
【变式5】为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组
织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购
买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4:3.当用600元购买一等
奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.
（1）求一、二等奖奖品的单价；
（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？
197初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断是否为二次根式
【题目特点】判断是否为二次根式.
【考查知识点】二次根式的概念：一般地，我们把形如夜（。20）的式子叫作二次根式.
注意：①称为二次根号；
②矶。之0）是一个非负数.
例：无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（ ）
A. y/-x — 2 B. \fx C. Jx' + 2 D. Jx' - 2
【解答】解：A, 7=7^2,根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
B、4,根号下部分有可能小于零，故此选项错误；
C、x/772 ,根号下部分不可能小于零，故此选项正确；
D、表三，根号下部分有可能小于零，故此选项错误.
故选：C.
【变式1】 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. >[a B. J-2 C. Jq + 2 D. J/ +1
【变式2】 下列各式一定是二次根式的是（ )
A. 口 B. 3y/Sm C. V1 + X2 D. (4+6)2
【变式3】 若X为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（ )
-3 B.后^
A. y/x2 - C. Vx2 +2x D. y1x2 +1
留题型方法2：二次根式有意义的条件
【题目特点】已知二次根式有意义时，求未知数的取值范围.
【考查知识点】二次根式夜有意义的条件：«>0.
例：若式子=二十厉！有意义，则实数X的取值范围是（ ）
x -4
A. x> -2 B. x>-2,且工。2 C. x>-2 D. x> -2,且xW2
【解答】解：根据题意，得x + 2N0且犬-4。0.
解得- 2且正2.
故选：D.
198代数专题・第十章 二次根式
【变式.要使式子干尸在实数范围内有意义，账的取值范围是（）
A. x>l 且xW2 B. x>l 且C. x>2 D. 1<x<2
【变式2】若代数式标+ "=有意义,
则点（加，几）在平面直角坐标系中的（ )
7mn
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式3】若%, y为实数，且j3x-l+jl-3x+y = 6,则孙的值为（ ）
A. 0 B. - C. 2 D.不能确定
3
【变式4】若式子在位有意义，则实数x的取值范围是.
x
留题型方法3：二次根式的性质与化简
【题目特点】对二次根式进行化简，或求能够化简所需满足的条件.
【考查知识点】二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①620； （双重非负性）；
②（6）2=〃（〃20）；
③病…卜（心。）
[-a（a<0）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.
4ab = G 炳〃 > 0力 > 0）,J| =^（a > 0力>0）.
（3）化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.
若，（3-xy =1_3成立,则满足的条件是（ ）
A. x>3 B. x<3 C. x>3 D. x<3
【解答】解：：J（3 -母=x - 3成立，
，x-3>0,
解得：x>3.
故选：C.
199初中数学题型方法全归纳
【变式1】下列计算结果正确的是( )
A."二±2 B.(-后丁 =2 C.石-3=石-3 D. 3V=8=±2
【变式2】使mW =>1成立的x的取值范围是.
【变式3】若&-3y =b-3 ,则( )
A. b>3 B. b<3 C. b>3 D. b<3
【变式4】化简：J(l-V3)2=.
国题型方法4：分母有理化
【题目特点】分母有理化.
【考查知识点】分母有理化：利用分式的性质及二次根式的性质把分母化为有理式的过程.
(1)分母有理化是指把分母中的根号化去.
分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公
式.
厂 厂 y/a — y/b
例如：①；二 1 .G二正;② 1 『=­ j=~~晅~~4-----r=- -
>Ja \Ja x yJa a yja + yjb (\a + 一 7b) a-b
(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称为互为有理
化因式.一个二次根式的有理化因式不止一个.例如：2-百的有理化因式可以是2 + 6,也可以是
。(2 +百)，这里的。可以是任意有理数.
例：将下列二次根式分母有理化：
①—j=; ②—.
V3 <2-1
【解答】解：①原式=年至=西;
V3xV3 3
/x(☆犁
②原式= _=亚+「
(V2-l)x(V2+l)
【变式1】将下列二次根式分母有理化：
①七； ②舟 ③ ；
7^
200⑦3旧-2也
3a/5+273 (7 a +7b)
留题型方法5：二次根式的乘除法
【题目特点】二次根式的乘除计算.
【考查知识点】二次根式的乘除法：
1.最简二次根式
最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
(3)分母中不含有根号.
我们把满足上述三个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
最简二次根式的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含
有可化为平方数或平方式的因数或因式.
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a (qNO)、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、八 (x + y)2 > x2 + 2xy + y2 等.
2.二次根式的乘除法
(1)积的算术平方根性质：八%=&•限aN。，b>0)
(2)二次根式的乘法法则：4a^4b=^b[a>G, &>0)
商的算术平方根的性质左二境(心0,心0)：
(3)
二次根式的除法法则：之=
(4) f-(4z>0, b>0)
规律方法总结：
在使用性质G•扬=后/心0, 6 2 0)时一定要注意定0,厄0的条件限制.如果qvO, b<0,使
用该性质会使二次根式无意义，如正4) (-9)。口 口;同样的在使用二次根式的乘法法则，商
的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此.
例：下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. . B. V12 C. V45
D. V5
201初中数学题型方法全归纳
【解答】解M ?争不是最简二次根式，不符合题意;
B、瓦;2亚,不是最简二次根式，不符合题意;
C、745=375 ,不是最简二次根式，不符合题意;
D、V5 ,是最简二次根式，符合题意.
故选：D.
【变式1】下列等式中， 对于任何实数。、b都成立的是（ ）
B-2W C必j
A. 4ab = y[a • \/b D. — a2
【变式2】下列各数中， 与次的积仍为无理数的是（ ）
A-在 B. 灰 C. A D-日
【变式3】计算：V24x4^1^V48 .
【变式4】计算:
【变式5】下列运算正确的是（ ）
A.万百=石 B. 9足总=6 C. V6xV2 =12 D. ^24^ = 6
【变式6】下列计算中，正确的是（ ）
A.，（-3y =±3 B.炳 + 百=9 C. -L = — D. &义4 ="><6
V2 2 V2
【变式7】耳伶<
202代数专题・第十章 二次根式
国题型方法6：二次根式的加减法
【题目特点】二次根式的加减计算.
【考查知识点】二次根式的加减法：
1 .同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式
;叫作同类二次根式.
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.
理解：
(1)同类二次根式类似于整式中的同类项；
(2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
(3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方
数是否相同.
2 .二次根式的加减法
(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根
式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.
(2)步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号，
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简，
③合并被开方数相同的二次根式.
1........... ......................................... ..........................
例1下列二次根式中，不能与百合并的是( )
A. V12 B. C. V48 D. V108
a/8
【解答】解：4、瓦二26,能与百合并，故此选项不符合题意；
B、血=2及与百不是同类二次根式，不能与&合并，制 t此选项符合题意；
C、748=4^,能与百合并，故此选项不符合题意；
D、7108=6^,能与百合并，故此选项不符合题意.
故选：B.
).5)-(Q-病・
例2：计算：(1) 25-6币; (2)(后+ J
【解答】解：(1)原式=-4近；
(2)原式=26+也一也+北=3〃+立.
2 4 4
【变式1】下列二次根式与2月是同类二次根式的是( )
A. 3& B. V8 C. V6 D. 12 百
203初中数学题型方法全归纳
【变式2】下列各组中的两个式子，不是同类二次根式的是( )
A.《与说 B.病与」上 C.后与J：
D.南与西
V50
【变式3】下列计算正确的是( )
A.叵 + 百=亚 B. 4 + V2=4a/2 C. M-6=指 D. V27-V12 =a/3
【变式4】计算库+收的结果是( )
A. 65 B. 5a/65 C. 5石 D. 5M
【变式5】计算：2即&河
留题型方法7:二次根式的四则运算
【题目特点】二次根式的四则运算.
【考查知识点】
1 .乘除法：
4a -y/b = 4ab(a > 0, 6> 0),
务品2 0, /»0).
2 .加减法：
ay[rn + by[m = (a + b)yfm ,
ay[m - byfm =(a- b)yfm .
3 .混合运算：
遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用.
4 .乘法公式的推广：
① y[ai - y[a2 - 4a3 …^/^ =夜「〃2・、3 …> 0, ai> Or , an> 0)；
②(\[a ± VF)2 = a + b± 2>fab ；
③(4a + 4b)(\fa - y/b) -a-b .
注意：分母有理化和最简是对二次根式运算结果的两大要求.
5.二次根式的混合运算
(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式的
混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.
(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.
(3)在二次根式的混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.
204卷
代数专题・第十章 二次根式
例：计算下列各式：
(1) V98--a/200+(-5/3)2-(3aAw)3 ;
⑵将居舟
___ Fy _ 1
(3 ) Jo.5 + (乃—3)° —1 —应—f=—.
V3+1
【解答】解：(1)原式=7五一;乂10五+ 3 —(—10) = 13 + 2后；
(3)原式=*+1-回1)-吟匚孚+2-6-2+6=生.
【变式1】计算下列各式：
(1) + >/F8 — y/80 + J(五-下y ；
a/45
【变式2】计算下列各式:
(1) —34 +殍一瓦一 ^77 ；
(3) 2>/x 4-(Vx +1)(Vx — 1)—
【变式3】计算下列各式：
(1) (26-而)气2用血)"； (2) (5 +厢(50-2我；
205初中数学题型方法全归纳
(3 ) (V2 + V3 — — \/3 + \^) ； (4) (J10 + V2 — y[^)2 - (J10 - — y/5^)2 ；
(5) (-)-2—V2--——(T+ 历
2 —1
【变式4】先化简，再求值.（6% 口+37^"）-（4j\E+）6孙），其中1 = 3, 7 = 3.
\ x y 2
留题型方法8：分母有理化+知二推二
【题目特点】已知两个字母的值，它们的和积是定值，求代数式的值，代数式含有两个字母的和
积；
【解题方法】先求出字母的和积，再利用整体代入法求代数式的值.
例：已知-专点' 片驾，求代数式需篙的值•
【解答】解：由题可知：x = 5-2^6， ^ = 5 + 2^6 ，
贝!]孙=1, x+y=10.
Vi+io2_ 101
，原式=
Vi-102 - 99
【变式1】已知》 =亚-百，＞ =拒+百，求代数式2M＞：2 +3/y 一中）_6/）2的值.
206代数专题・第十章 二次根式
【变式2】已知x+y=-6,孙=8, 求代数式+ 的值.
2 + VJ _2-y/3
【变式3】
2-忖，-2 +石
则2/一孙+ 2v的值为
当好等，定守时，代数式彳笋的值是.
【变式4】
留题型方法9：已知字母的值求代数式的值
【题目特点】已知一个字母等于“有理数+无理数”的形式，要求代数式的值，直接代入计算很;
麻烦.
【解题方法】将已知等式的未知数和有理数部分放一边，无理数放一边，两边平方得到关于未知|
数的整体取值.然后采用整体代入法或者降次法求代数式的值.
例：设a = 1,贝IJ 3/+12"-6a -12 的值为.
【解答】解：方法1 ： 〃 +1 =疗，则/ + 2〃 = 6 ,(将/ + 2〃当作一个整体，在所求式中构造a2+2a)
原式=3a(a2 + 2a) + 6a2 -6a-12
=3。x 6 + 6a2 -6a-12
= 6(/+2a)- 12
= 24.
方法2： a + l = 5 ,则/+2〃 = 6,所以，储=6-2〃 .(二次方等于一次方，不断代换可以降低
次数)
所以，原式= 3a(6 — 2a) + 12(6 — 2a) — 6a — 12
=18。-6（6-2。） + 72-24”6。一12
=18。一36 + 12〃 + 72-24"6"12
= 24.
207初中数学题型方法全归纳
701?
【变式1】已知：机=一^—,则帚_2/—2012加3的值为
V2013-1
男
【变式2】当稣 994一时,多项式(4/—1997工-1994)2刈的值为( )
A. 1 B. -1 C. 22001 D. -22001
留题型方法10：无理数求和的裂项相消
【题目特点】连续多个无理数求和.
【解题方法】利用分母有理化将每一个无理数进行裂项，然后进行计算.
/ 一 •
例： 化简： —j=--- F —j= 『H- --r=--- -j= +••••1 / ---
V3+1 V5 + V3 小+也 41n+d2n_l
［解答］解：原式=3（道-1 +亚-氏+6-有+—I- \j2n+1 — \/2n— 1）
=..2九 + 1一1）.
1 1 1 1
【变式1】 ------ 1--------- 1---------1- -।----------------
1 + V2 72 + 73 用a V2015 + >/2016
1 1 1 1
【变式2】 ------------- 1-----------------1 F …H
2V1+V2 3班 + 26 46 + 3”-------100 厉+99 疵万
208卷_______
代数专题・第十章 二次根式
留题型方法11:二次根式的大小比较
【题目特点】比较二次根式的大小.
【解题方法】
1 .估算法：
收比 1.414， 百 e 1.732， V5« 2.236 .
2.平方法：
若 a2>b2 (a>0且b>0),贝！j .
3.带分母的二次根式比较大小：
(1)分母有理化：转化为分母一样，比较分子的大小.
(2)分子有理化：转化为分子一样，比较分母的大小.
4.作差作商：作差和0比较大小，作商,和1比较大小.
【变式1】比较大小：
(1)6_____2； (2) V2 + V5____ 2应;
(3) VW+V12____ 2而； (4) 2 + V6______用近；
(5) 715-713_____； (6) V2012-V2013______V2013-V2014 ；
V5+1 近+省
(7) ------...... ——------- ⑻加一\——出一应.
V7-V6 G 卮
【变式2】比较大小：-石-血与-2-6
209春
初中数学题型方法全归纳
【变式3】设Q = Ji6, b = V7 +1, c = Vi + V2 ,则a、b、。的大小关系是( )
A. d>b>c B. b>c>a C. c>d>b D. b>a>c
【变式 4］已知。>1, x = 4c- Vc-1 , y = ［c + \-& , z = Jc + 2-Jc + l，比较x、y、z的大小.
留题型方法12：二次根式的配方
【题目特点】有二次根式还有一次项，需要将二次根式配方进行解题.
【解题方法】
配方：+ y = (&- 6)2(xX), y>0),
x + + y- (Vx + y/yY(xX), y»).
例：已知x-2\/x-l = 0 ,则x =.
【解答】解：由题r-24^T = 0,得：x-1-2而1 + 1 = 0,
/.(Vx^T-i)2 = o,
.*• x = 2 .
(五-6)；4肉的值为_______
【变式1］若y+V-4x-2y + 5 = 0 ,则
x + yjxy
则3x二单+ y的值为_______
【变式 2】已知 + y = 0(x>0, y>0),
5x + 3yjxy - 4y
【变式3】已知、- 4 - 2Jy - 5 = 0 ,贝！jy=.
【变式 4】已知 x + y - 2 Jx -1 - 2yjy - 5 - 4 = 0 ,贝！Jx=， y=
210祢
代数专题-第十章 二次根式
【变式 5 ］已知一ci —b T— = J a — 1 + sjb — 2 ，贝!J a — , b =
2 4 2 ----------- -----------
【变式6】已矢口x + y+ z + 14 = 26 + 4&+ 64， 则［xyz =
【变式7]若实数x、歹、z满如 G + 1y-l +」z-2 = + y + z),贝(lx-2y + z的值为，
时题型方法13：双重二次根式的化简
【题目特点】根号底下还有根号.
【解题方法】
1.配 方法：
(1)/±2.类型:
将]士2亦表示成(五土振y形式，利用待定系数法得：\a + b = x 9求得0和儿
[ab = y
贝！J yjx±2y[y = y](\fa ± \/b)2 = 4a ± y!b ；
(2) 1x±2n6 类型:
将&±2n®改写成Jx±2府,转化成(1)的类型即可；
(3) yjx±(2n + l)6 类型：
豆
将Jx±(2〃 + 1)6改写成沪 (；+ 1)6 =，»2>/；(2〃 + 1)2 ,转化成(1)的类型即可.
2.平方法：
两个双重二次根式加减，需要化简的时候，可令其等于然后两边平方，求出『的值，然后通过
/的值求出/的值.(注意判断，的正负)
211初中数学题型方法全归纳
例：计算下列各式：
①.3 + 2收； ②,7 + 4省; ③.7 + 3布.
【解答】解：①设原式=1（0-&丫，
则可知：a + b=3, ab=2,可得：a=2, 6=1,
・,・原式=及-1；
②原式=+ VJy = 2 + 4；（a + b=7, ab=12,所以，a, /?分别为 3, 4）
产粤
③原式= J14 + ” -飞亚产.（"Qi%必=45,所以，。，6分别
为 5, 9）
【变式1】计算下列各式：
①J16 + 2岳； ②加+ 2作； ③J17-12后.
【变式2】计算下列各式:
①58+而 ；
.--+—/ .—=声
【变式3】化简：一. 的结果是_________
4 + 09 + 3072 3 - &6 - 40拒
【变式4】计算下列各式：
（1） J14 + 6石-J14-6石； (2)，4 + 小 +“-岳•
212代数专题-第十章 二次根式
【变式5】代数式加+屈+ &-而=
【变式6】若x + y = 13胡-亚，x-y“36-下，求孙.
【变式7】化简：，4 —J10 + 2而+)4+而+26.
213赛
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断一元二次方程
【题目特征】判断方程是否为一元二次方程.
【考查知识点】
1. 一元二次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式
ox?+bx + c = O(a00), a为二次项系数，6为一次项系数，。为常数项.
(1)任何一个关于x的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax2+bx + c = 0(67 w 0).
(2)要特别注意对于关于x的方程A+fex + c = 0.
当时，方程是一元二次方程；
当a=0且6工0时，方程是一元一次方程.
(3)关于x的一元二次方程式《%2+云+ 0 = 03/0)的项与各项的系数.为二次项，其系数为〃;
心为一次项，其系数为b; c为常数项.
【解题方法】要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式.
②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数.
③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2.
例：下列方程是一元二次方程的是( )
A. x + 2y= 1 B. x = 2x3 -3 C. x2 - 2 = 0 D. 3x + — = 1
x
【解答】解：4、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
3、是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
。、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意.
故选：C.
【变式1］下面关于x的方程中：①aj2+bx + c = 0；②3(x-9)2 - (x + iy =1 ；③/+2+ 5 = 0；
x
④/ 一2 + 5/ 一6 = 0；⑤卜2一3耳-3 = 0；⑥/+丘+ 3 =()(左为常数)是一元二次方程.
【变式2】下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2 -5x = 1 B. 3x + 2y= 1 C. x2-- = l D. ax2 -3x +1 = 0
x
214券
代数专题・第十一章一元二次方程
—S-
【变式3】下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. 2x+l=0 B. -4 = 1 C. x2-2x-l = 0 D. x4+l = x2
x
下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. y = 3x2 -1 B. （x + 2）（x + 3）=x2 -1
2
C. x2 =0 D. x2一一 = 3
x
留题型方法2：根据一元二次方程定义求参
【题目特征】已知方程为一元二次方程求参数.
【解题方法】主要看以下几个方面：
1 .只有一个未知数；
2 .最高次数为2,且系数不为0；
3 .高于二次的项系数为0.
例：若小+6_3£一'+1 = 0是关于工的一元二次方程，求心b的值.
【解答】解：分以下几种情况考虑：
4 ?
①2〃 + b=2, a - b=2,此时 b=——；
q=—,
3 3
®2a + b=2, a-b=l,此时a=l, b=0；
@2a + b=l, a - b=2,此时 b=-l.
q=1,
【变式1］若一元二次方程（加-2）必+3（苏+15）x + ——4 = 0的常数项为零，则冽的值为.
【变式2］如果关于%的方程（〃-l）/+5x-6 = 0是一元二次方程，则（ ）
A. a>l B. a = l C. a<l D. awl
【变式3］如果关于x的方程（加-3）--7 7 + 3 = o是关于%的一元二次方程，则加的值为.
寻题型方法3： 一元二次方程的解法
【题目特征】求解一元二次方程.
【解题方法】
1. 一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：适用于解形如 =C（Q。0,。2 0）的一元二次方程.
（qx + 6）2
（2）配方法：解形如病+瓜+ ° =（）3,0）的一元二次方程，
运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：
215初中数学题型方法全归纳
①二次项系数化为1;
②常数项右移；
③配方(两边同时加上一次项系数一半的平方)；
④化成(% +加)2 =理的形式；
⑤若〃 20,直接开平方得出方程的解.
(3)公式法：将办2+汝+。= 0(。，0)进行配方可以得到：a +
2a 4a
一'± 一 。"
当b2-4〃cN0时，两个根为=2= J' 4 其中公―4ac = 0时，两根相等为y=心=心；
2。 2q
当4〃cV0时，没有实数根.
可以用△表示公―4攸，△称为根的判别式.
运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：
①把方程化为一般形式；
②确定〃、b、。的值；
③计算4qc的值；
④若4碇20,则代入公式求方程的根；
⑤若4碗＜0,则方程无实数根.
(4)因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式.
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解.
2. 一元二次方程解法的灵活运用
直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解
法.
(1)配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法,把一元二次方程的一般形式ax2+bx + c = 0Ca.
b、c为常数,QW0)转化为它的简单形式/(工-8)2=。，这种转化方法就是配方，之后再用直接开
平方法就可得到方程的解.
(2)公式法：公式法是由配方法演绎得到的，同样适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将
方程化为一般形式，并计算44的值.
(3)因式分解法：适用于右边为0 (或可化为0),而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺
常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法.
例1：求下列方程中x的值:
⑴人则=0；
9
(2) (1)2=49.
【解答】解：(1)・.・必—竺2 = o,
9
216代数专题・第十一章一元二次方程
100
• • X —
9
10
则 X1 =—, Xi 二--- ；
3 3
(2) V (x-1)2=49,
1=7 或x- 1= - 7,
解得 xi = 8 , X2 = -6.
(两边都是平方数，直接开方计算更为简单，注意开方以后有两种可能)
例2：解方程：
(1) £—2x —4 = 0；
(2) x(x + 8)= -6.
【解答】解：(1)由原方程移项，得2x = 4,
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得2x + 1 = 5,
配方，得万一以=5,
x = 1 ± \/5 ,
・・ Xi = 1 + ，X2 = 1 — y/s .
(2)方程整理得：x2+8x = -6,
配方得：x2+8x + 16 = 10,即(x + 4)2=10,
开方得：x + 4 = ±a^0 ,
解得：xi = -4 + Vio , %2 = -4-而.
例3：用公式法解方程：5x-1 = 0.
【解答】解：:an, b= — 5, c=-\,
・•・△= (-5)2-4 1 (-1) = 29>0 ,
—b ± y/b2 - 4ac 5 ± \/29
则x = — ，
2a 2
叩 5土庭 5-V29
即 X1 =-----X-2- -—-- •
2 2
例4：解方程：
(1) 3x2+2x-l = 0 ；
(2) x2-2x = 0.
【解答】解：(1) V 3x2+2x-l = 0,
.\(x+l)(3x-1)=0,
贝!k+l=0 或 3x—1=0,
解得 Xi = -1 , X2 = ~ .
3
217海
初中数学题型方法全归纳
(2) V x2-2x = 0,
/.x(x- 2)=0,
贝!Jx=0 或工-2=0,
解得 xi = 0 , %2 = 2 ,
(在整数范围内，可以因式分解的话，使用这种方法更为简单)
【变式1】解方程:
(1) x2-6x + 9 = (5-2x)2 ； (2) 4(x-2)2-(3x-l)2=0.
【变式2】解方程：
(1) x2-4x-l = 0； (2) 2x2-8x-3 = 0 ；
(3) 4x2-6x-4 = 0.
【变式3】解方程：
(2) x(6x + l) + 4x-3 = 2(2x + 1).
(1) x2-5 = 2(x + l)；
【变式4】解方程：
(1) 2x2-3x-2 = 0 ； (2) (21)2=3 — 6］；
218代数专题・第十一章一元二次方程
(3) 6/—3屈=2历-〃.
【变式5】选择合适的方法求解下列方程：
(1) 547x2 -25x-572=0 ； (2)
3x2-a/6x = 1 .
【变式6】解关于x的方程：
(1) x2 - 3mx + 2m2 -mn-n2 =0 (机、几为常数);
(2) mx2 - (3m2 + 2)x + 6m = 0 ；
(3)(左 左 + 8)12+(2后 一6左一4)% + 左
2—6 2 2=4 .
【变式7］解关于x的方程：
(1) x2 -2mx + w2 - w2 = 0 ； (2) x2 + 3a2 = 4ax-2a+ 1；
219初中数学题型方法全归纳
(3) (a-b + c)x2 + 2ax + (a + Z? — c) = 0 .
【变式8】解方程：(2x2+ x)2 - 2(2x2 + x) = 3.
留题型方法4：高次方程
【题目特征】次数高于2次的方程.
【解题思路】降次.
【解题方法】通过以下两种方法降次：
1.因式分解法：
如果所遇到的高次方程可以因式分解成两个或者多个一元二次式或一元一次式的乘积的形式，可
以用因式分解法.
2.整体换元法：
在一个式子中要善于观察几个式子的关系，有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者
和为常数的，可以用整体换元法，实现降次的目的.
例：解方程：x5 + 5x3 + 6x = 0 .
【解答】解：由题意得工(/+59+6) = 0 ,
所以尸0或/+5/+6 = 0 ,
当/+5/+6 = 0 时，得(V+2)(/+3) = 0 ,
此时方程无解.
综上所述，原方程的解为x=0.
【变式 1】解方程：(x2-2x-3)2=2x2-4x-7.
220春
代数专题-第十一章一元二次方程
【变式2】解方程：(1999-4+(x-1998)=1.
【变式3】解方程：(x2 +x + l)(x2 +x) = 2 .
国题型方法5：分式方程
【题目特征】看似是分式方程，但可化为一元二次方程.
【解题思路】化为一元二次方程.
【解题方法】转化方法：
1 .去分母法：
在遇到分式方程时，往往先去分母，即通分然后求解.
2 .整体换元法：
在一个分式方程中，如果有的式子含有某种特殊的关系如倒数、几倍、差值为常数、或者和为常
数的时候可以考虑整体换元法，实现化简的目的.
注意：在分式方程中，不管用什么方法解出来，最后一定要验根，因为要使得分式方程有意义，
分母就不能为0.
例1：解分式方程：二一+Y^+二一=i.
x + 2 x — 4 2 — x
【解答】解：把第三个分式的分母2-x变形为％-2,得:
I 4x 2 1
------+ ———+------= I.
x + 2 x — 4 2 — x
方程两边都乘以。+ 2)(x- 2),
^x-2 + 4x-2(x + 2) = (x + 2)(x-2),
BP x2 — 3x + 2 = 0 ,解得 Xi = l, X2 = 2.
检验：把x=l代入最简公分母，它不等于0,所以x=l是原方程的根;
把x=2代入最简公分母，它等于0,所以x=2是增根.
因此原方程的根是x=l--
221初中数学题型方法全归纳
例 2：解方程：6x4 -35x3 + 62x2 -35x + 6 = 0 .
【解答】解：显然/0,两边同除以必，得：6x2 -35x + 62-35-+4=°.
x x
即：6(x2+4-)-35(x + -) + 62 = 0 ,
X X
y = x + — 9 则必=%2+1+2,所以方程可化为：6(。-2)-35y + 62 = 0 ,
, x x
BP： 672一35歹 + 50 = 0.
1 5 1 10
解得：yi = — f yi = — , BP一 x. .+ —= 二一,x + —二——
2 3 x 2 x 3
「 1
解得：xi = 2 , X2 = —, X3 = 3 , X4 =—.
2 3
2(犬+1) । 6(x + 1)=7.
【变式1】解分式方程:
x + 1 x2 +1
2 1 _ 2-6x _
【变式2】解分式方程: x -\—— + 2x H--------- - 0 .
X X
【变式3】解方程：2口+3/ 一峰方+3x + 2 = 0.
【变式4】解分式方程：% + 1 1 ' + 5
x2 -x 3x 3x-3
222祢
代数专题・第十一章一元二次方程
【变式5】解分式方程：——-2 =0二
1-x 1-x
留题型方法6：绝对值方程
【题目特征】方程中含有绝对值.
【解题思路】去绝对值.
【解题方法】去绝对值的方法：
1 .分类讨论法：遇到绝对值方程时，可以先去绝对值，而去绝对值，就意味着要分类讨论.
第一步，找出分段点，考虑当绝对值符号内的式子等于0时，x的取值，由此划分x取值.
第二步，根据x取值讨论去绝对值，得到相应转化的一元二次方程.
第三步，用合适的方法求解，但是解得的解应该在讨论的x取值内.
第四步，依次写出满足绝对值方程的所有根.
2 .整体换元法：在遇到一个特定的方程时，分类讨论虽然可行但较为繁琐，可以考虑用整体换
元法.
注意：在绝对值方程中，要记着考虑绝对值的非负性.
例：解方程：(2x-l)2-3|2x-l|+2 = 0 .
【解答】解：原方程可写为|2%-1|2-3|21|+2 = 0,令f=|2x-l|,得〃一3£ + 2 = 0,
即(£-1)(/-2)=0,解得力=1, ,2 = 2.
3 1
由 |21一1|=1,得即=0, X2 = l.由 |2x-l|=2,得心=,，X4 = ~'2 ,
上原方程的根为xi = 0 , X2 = 1, X3 = —, X4 =--.
2 2
【变式1】解方程:x2-|2x-1|-4 = 0 .
【变式2】解方程：|(x-2)(x+3)|=3+x.
223初中数学题型方法全归纳
【变式3】解方程：x|x|-3|x|+2 = 0.
留题型方法7：根式方程
【题目特征】方程中含有根号.
【解题思路】去根号.
【解题方法】去根号的方法：
1 .两边平方法：等式的两边同时平方，然后化简得到相应的一元二次方程.
2 .整体换元法：在含根式方程的一个方程中，如果几个式子存在特殊的关系，可以考虑整体换
元法.
特别注意：求解根式方程的时候，解一定要使得根号下非负；在整体换元的时候要考虑到换的元
的取值范围内，在取值范围内的解才有意义，最后也要像分式方程那样进行验根.
例：解方程：V7+8-V5x + 20 = 2 .
【解答】解：移项得j5x + 20=2 ；两边平方，得x + 8 = 5x + 20 + 4j5x + 20 + 4 ,
整理，得J5, + 20 =-十-4 ；两边平方整理，得/+3%-4 = 0,
解得xi = -4, X2 = 1 ；经检验，％2 = 1是增根，舍去，xi = -4是原方程的根•
【变式1】解方程：V3x-2 + Vx + 3 = 3 .
【变式2】解方程：j2x + l +」x-3=2&.
224代数专题-第十一章一元二次方程
51 +4M5 = 0.
( 解方程:
【变式4】解方程:
【变式 5】解方程：a/7x2+9x + 13 + V7x2-5x + 13 = 7x .
留题型方法8：依据判别式判断根的情况
【题目特征】判断一元二次方程根的情况.
【解题方法】一元二次方程根的判别式：
1 .定义：
在一元二次方程〃x2+bx + c = 0(aw0)中，只有当系数a、b、c满足条件△=〃-4〃cN0时才有实
数根.这里/-而。叫作一元二次方程根的判别式，记作△.
2 .判别式与根的关系：
在实数范围内，一元二次方程办之+ — + c = 0(〃 w 0)的根的情况由A= b2 - 4ac确定.
设一元二次方程为〃/+及+。= 0(4。0),其根的判别式为：△=〃-4m，贝IJ
①△〉()0方程ax2+bx + c = 0(q w 0)有两个不相等的实数根Xi,2 = —""J。。.
2a
②Z\=0u>方程办2 +6% + c = o(q wo)有两个相等的实数根工1 =%2 = -■—.
2a
③△<() <=>方程&+云+。= 0(q W 0)没有实数根.
特殊的：
(1)若Q, 6,。为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；
(2)若△为完全平方式，同时-6± "2 _ 是2〃的整数倍,则方程的根为整数根.
225______________________________菱
初中数学题型方法全归纳
例：已知关于X的一元二次方程（2左+ 1口 + 3+左=0.求证：无论左取何值，方程都有两个不
相等的实数根.
【解答】证明：,••△=［-（2% + l）］2—4x（左2+左）=1 ＞0,
・••无论左取何值，方程有两个不相等的实数根.
【变式1】不解方程，直接判断下列方程的解的情况：
①71 —1 = 0； ②9/ =4（31）；
③/+7x + 15 = 0； @x* 2 -（w + l）x + -^- = 0 （加为常数）.
【变式2】已知〃、b、c分别是三角形的三边，则方程（〃 + 6）Y + 2cx + （a + 6） = 0的根的情况是（ ）
A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
【变式3］已知关于x的一元二次方程£ -4mx + 3m2 = 0.
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若加＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求加的值.
留题型方法9:依据根的情况求参数
【题目特征】已知根的情况求参数.
【解题方法】反用根的判别式：（注意前提条件是一元二次方程，也就是二次项系数不为0）
1 .有根等价于△、（）;
2 .有两个不等根等价于△＞（）；
3 .有两个相等根等价于△=（）；
4 .无实数根等价于△＜（）.
例：关于x的一元二次方程（1-2左）/-2&?1%-1 = 0有两个不相等的实数根，贝必的取值范
4（左+ 1） + 4（1-2左）＞0
【解答】解：由题意，得左+ 120
1一2左
解得一14左V2且左，工.
2
226*______________________________
代数专题・第十一章一元二次方程
【变式1】若关于X的一元二次方程（左-l）Y+x —1 = 0有实根，贝必的取值范围为
【变式2】当〃、6为何值时,方程/+2（1 + 4"+ 34+4仍+协+2 = 0有实根？
【变式3】已知关于x的一元二次方程（3。-1）/_办+工=0有两个相等的实数根，求代数式
4
a,2 — 2a + 14—的值.
a
［变式4］已知关于工的一元二次方程/ _ （2左+ 4）x +左2 + 4左+ 3 = 0.
（1）求证：不论左取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是及ZUBC两直角边45、/C的长，斜边的长为10,求上的值.
留题型方法10：利用韦达定理求参或求代数式值
【题目特征】已知府+bx + c = 0（Q W 0）的两根是Xi、X2 ,求关于Xi、X2的代数式的值.
【解题方法】
1 .韦达定理：
_ _ A 「
如果渥+bx + ° = 0Q工0）的两根是％、X2,则力+工2 =——，XiXi =—.（使用前提：△2（））
a a
特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设为、也是方程必+加+乡=。的两个根，则
xi + X2 = -/? , x\X2 = q .
2 .根的定义：
如果 ax2 +bx + c = 0（。w 0）的两根是％、X2,则 axi2 + bx\ + c = 0 , axi +bx2 + c = 0 .
227淞
初中数学题型方法全归纳
此时，常常涉及代数式的一些重要变形，如:
① xi2 + Xi = (xi + X2)2 - 2xiX2 ；
② G 一 1 + — 1 =-X-l -+- X-2 ；
Xl X2 XlX2
③ X1X22 + X\2X2 = XiX2(X\ + X2);
④ X2 + xi _ xi2 +X22 _ (xi +X2)2 - 2xiX2
Xl X2 X\X2 X\X2
⑤(xi - X2)2 = (xi + X2)2 - 4xiX2 ；
⑥(xi + A)(x2 + k) = X1X2 + k(xi + xi) + k2 ；
Q) Xl-X2= y](Xl-X2)2 = 5/(X1 + X2)2 - 4X1X2 ；
1 1 xi2 + xi (xi + X2)2 - 2xiX2
----------L -------- = ---------------------- -------------------------------------------- •
2 2 2 2 z \2
Xl X2 Xl X2 (X\X2)
@X\-X2 = 土 J(XLX2)2 = ±y](x\ + X2)2 - 4X1X2 ；
® X\ + X2 = ylXi + X22
=y/xi2 + X22 + 2X1X2
=J(xi + X2)2 - 2xiX2 + 2xiX2 ,
例：已知为、X2是方程3x + l = 0的两个实数根，贝IJ：
① X」+；②(X1 — 2) • (%2 — 2)；③ x/ + X1 • X2 + X2?；④------1------；⑤ Xl—X2； @ X\2 - X22 ；⑦---------------.
Xi X2 X\ X1
【解答】解：由题可知：xi + xi = 3, x\X\ = 1.
所以，xi2 + xi = (xi + %2)2 — 2xiX2 = 32—2x1 = 7 ；
(xi - 2)(x2 -2) = %1%2 - 2(xi + %2)+ 4 = 1- 2 x3+ 4 = 1 ；
xi2 + X1X2 + X22 = (xi + X2)2 -x\X2 = 9-1=8 ；
Xl Xl Xl 2 +X2 9 r
—十 —=-------二 7 ；
Xl X2 X1X2
(xi - X2)2 = (xi + X2)2 - 4xiX2 = 3?-4xl = 5；
；
Xl-X2 = ±a/5
xi2 - xi = (xi + %2)(xi -X2) = ±3a/5 ；
Xl X2 X1X2
【变式1 ］已知一元二次方程加+2办+。= 0的一根xi = 2 ,则方程的另一根工2 =.
【变式2］已知关于x的方程/+（2左-3）x + 〃—3 = 0有两个实数根小%2,且"+工2 =,+工，求
Xl X2
左值.
228代数专题-第十一章一元二次方程
【变式3】已知为、刈是方程4江_4办+ 4 + 4 = 0的两实根，是否能适当选取a的值，使得
(xi - 2x2)(%2 - 2xi)的值等于* .
4
【变式4】若加、〃是方程犬+-1 = 0的两个实数根，则加2+2m+ 〃_i的值为
【变式5】已知〃、b是方程/+2厂5 = 0的两个实数根，则/ 一仍+ 3a + 6的值为
［变式6］已知加、〃是方程x2+2016x + 7 = 0的两个根，贝IJ (苏+ 2015加+ 6)(/ + 2017〃 + 8) =.
【变式7】已知关于x的方程/+2(加+ 2)工+/一5 = 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这
两个根的积大16,求加的值.
留题型方法11： 一元二次方程的公共解问题
【题目特征】已知两个方程(至少有一个一元二次方程)有公共解，求参数.
【解题方法】
L如果公共根可以根据其中一个方程求出来，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一个
参数的一个方程，解得参数.
2.如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的值和
所有方程的根. 公众号·全科A+
229_______ 箜
初中数学题型方法全归纳
N + 7 X
例：已知关于'的方程x2+kx-2 = 0的一个解与方程土土上=3的解相同.
x — 1
（1）求左的值
（2）求方程/+丘— 2 = 0的另一个解.
【解答】解：（1）由题意可以得到正& = 3,
x — 1
BP x2 + 4% + 3 = 0 » 解得万=—1, X2 = —3 ；
经检验为=-1,r=-3都是方程止土 = 3的解.
x-1
①当两方程相同的解为x = -l时，则得1-k-2 = 0,解得4-1；
7
②当两方程相同的解为、=-3时，则得9-3左-2=0,解得左二§.
综上所述后=-1或者左=2.
3
（2）由（1）得％ = -1或者］ = -3是方程/+履一2 = 0的一个解，
2
由韦达定理得方程的另外一个解为、=2或.
3
【变式1】求左的值，使得关于x的一元二次方程犬+履―1 = 0, /+% +（左一2） = 0有相同的根，并
求两个方程的根.
【变式2】已知为为方程/+近_2 = 0的根，工2为方程2/+7丘+ 3 = 0的根，且％1 = 2也，求左的
值.
留题型方法12: 一元二次方程的整数解问题
【题目特征】已知一元二次方程有整数解，求参数.
【解题方法】
1 .直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的性质
|讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）.
2 .利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式△必须是完全平方式，且△之0 ,
;利用这条性质可以确定整参数的值，然后需要验证这些值是否使方程的根为整数.
3 .利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定
；字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解.但后者必须进行检
验所求的参数值要满足判别式△之0 .（一般用于实参数）
230代数专题-第十一章一元二次方程
例：当加为何整数时，方程2Y—5冽x +2疗=5有整数解.
【解答】解：解法1：将方程2/一5加工 + 2加之=5左边因式分解可得（2%-加）（1-2加）=5,
,,\2x-m=5 [2x-m = \ „ [2x-m = -5 \lx-m = -\
故《 ，或《 ，或〈 ，或《 ，
[1-2加=1 1% — 2加=5 [x - 2m = -1 [x-2m = -5
解得[I x = -l Jx = -3 Jx = 1
[m = l m = —3 [m = —1 \m = 3
故加=±1或相=±3 .
解法2：将方程lx? 一5加x + 2疗=5整理成标准形式：2/ 一5加x + 2苏-5 = 0,
由原方程有整数解，首先必须满足△= （5冽丫-4 2 （2加2—5） = 9疗+40为一个完全平方数，不妨
设/\= «2（«>0）,
则有94+40 =/,
（3m - n）（3m + n）= - 40.
又3m- n、3加+ 〃的奇偶性相同，且3加一〃 <3m + n （由于n>0）,
n, . [3m-n = -2 [3m - n = -4 (3m-n = -10 [3m-n = -20
则有〈 ，或＜ ，或＜ ，或〈
[3m + n = 20 [3m + n=10 [3m + 九=4 [3m + 勿=4
Eg [m = 3 [m = —l fm = 1 (m = —3
解得 ， ，1
[〃 =11 [w = 7 [〃 = 7 [几=11
代入5m±& = 3"K中检验可知,均满足题意.
2x2 4
故加=±1或加=±3 .
【变式1】当加是什么整数时，关于x的方程/—（加—1）工+初+ 1 = 0的两根都是整数?
【变式2]已知关于x的方程/+（"6）》+ 〃 = 0的两根都是整数，求〃的值.
231春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法13：利用根的定义构造一元二次方程
【题目特征】如果已知机、n （m手n）分另U满足。加之+台加+。= 0，an2 + bn + c = 0 ,且。，0・
【解题方法】利用根的定义构造一个一元二次方程：
利用一元二次方程根的定义构造一个一元二次方程ox?+乐+。= 0（4。0）,则加、几是该一元二次
方程的解，那么就可以根据韦达定理求代数式的值.（记为：同形构造）
例：已知实数awb,且满足(a + l)2 =3-35 + 1) , 3@ + 1) = 3-3 + 1)2,求①a + b； ©- + -；
a b
③b
【解答】解：由根的定义可知，。、6是方程（x + iy=3-3（工-1）的两个根,
整理得〃，b是一元二次方程/+5、+ 1 = 0的两个根,
①由根系关系，a + b = —5 , ab = 1,
②则=
a b ab
③由①可知。+ 6 = -5, ab = \,于是aVO, 6<0 ,
bb +aa q? +/ Q -\-b y — Xb
----- =------ 1=--- :
\[ab
【变式1】已知〃、6是不相等的实数，且/+”1 = 0, 1 = 0,求/"加的值.
【变式2】已知22一夕_1 = 0, l_q — q2=0 ,且求,十」的值.
q
c/ -L 4s 1
【变式3】实数s、/满足19s2+99s + 1 = 0、/+9% + 19 = 0且s/wl ,求--------的值.
232祢
■
代数专题-第十一章一元二次方程
留题型方法14：利用根系关系构造一元二次方程
【题目特征】已知两式之和与两式之积.
【解题方法】利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程：
如果已知加、〃满足加+片p, mn=q,贝!］相、几是这个一元二次方程/一p^ + q =。的两个根，方程
必有解，判别式2 0,通过解这个一元二次方程还可求出加、〃的值，进而解题.(记为：和积构造)
例：已知△Z5C的三边 、b、c满足：b + c = 8、bc = a2-Ua + 52f试确定△N5C的形状.
q
【解答】解：*.9 b + c = 8 , be = a2 - 12a + 52 ,
・ ♦.b, c是关于x的方程x2-8x + (a2-12a + 52) = 0有两个实数根.
V A = (-8)2 -4(tz2 -12« + 52)>0 ,整理得：(a-6)2<0.
又(a —6y 20,
• \a=6.
此时△=(),方程的两根相等，
即：b=c-A.
• ••△45C是等腰三角形.
a + 6 = 8
【变式 】已知：a、b、。三数满足方程组 厂,试求方程从+6 — 〃 = 0的根.
1
ab = 48 + c2 -8V2c
【变式2】已知了、)是正整数，并且肛+ x + y = 23、x2y + xy2 = 120 ,则/十力二
【变式3】已知X、歹均为实数，且满足孙+ x + y = 17、x2y + xy2 = 66 .
求：(1)必
+,2 ；
(2) x3y + x2y2 + xy3
；
(3) x4 + x3y + x2y2 +xy3 + y4 .
233初中数学题型方法全归纳
留题型方法15：两两碰面问题
【题目特征】一个群体中，每两个个体都要碰一次面.已知总的碰面次数为力求群体的数量尤
【解题方法】
1 .若甲乙两个个体，要考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲应算作两次碰面.那么，在
这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的（x - 1）个个体碰一次面.
所以，总的碰面次数为4-1）,所以可列方程：1）=上
2 .若甲乙两个个体，不考虑顺序的话，也就是说，甲碰面乙和乙碰面甲是一样的，算作一次碰面.
那么，在这个群体中，每个个体都要和除他本身以外的（1-1）个个体碰一次面，但是，在这个计算中，
每次碰面都算了两次，所以，碰面次数要除以2.
所以，总的碰面次数为:«-1）,所以可列方程：1尸九
例：某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，
如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ )
A. x（x+ 1）=1035 B. 1)=1035
C. 1x（x+1）=1035
D. 1)=1035
【解析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出Q-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应
该是工（工- 1）张，即可列出方程.
【解答】解：・・•全班有X名同学，
・•.每名同学要送出（X-1）张，
又・・•是互送照片，
・・・总共送的张数应该是X（X - 1）=1035.
故选：B.
【变式1】学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了 15场，则有几个球队
参赛？设有%个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）
A. x（x+ 1）=15 B. 1）=15 C. x（x- 1）=15 D. 1）=15
【变式2】2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之
间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则
中国队在本届世界杯比赛中连胜（ ）
A. 10 场 B. 11 场 C. 12 场 D. 13 场
【变式3】今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红
包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到
90个红包，则该群一共有 人.
234卷_______
代数专题・第十一章一元二次方程
【变式4】在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为.
留题型方法16：病毒传播问题
【题目特征】有加个病毒，每个病毒可以感染x个个体，传播感染两轮后，共有〃个个体感染病毒，
求一个病毒可以感染多少个体.
【解题方法】
有加个病毒，每个病毒感染'个个体，可以感染加x个个体，
这加x个个体，继续进行感染，每个病毒感染x个个体，可以感染而2个个体，
那么，最开始有加个病毒，一轮感染了s个个体，二轮感染了妙?个个体，
所以，总的病毒数为m+ s+ mx2 =m(\ +x+ x2),
故，可列方程加(1 +x+犬尸儿
例：若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感.按照这样的传染速度，若2人患
了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人.
【解析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共。+1)人患流感，第二轮传染后共［1+工
+ «+1)］人患流感，列出方程进行计算即可.
【解答】设每轮传染中1人传染给x人，
则第一轮传染后共(x+ 1)人患流感，第二轮传染后共［1 +x + x(x+ 1)］人患流感，
根据题意得：l+x + x(x+l)=⑵，
解得：xi = 10, X2 = - 12 (舍去)，
A2(1+x)=22.
故答案为：22.
【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支
干和小分支的总数是13,则每个支干长出( )
A. 2根小分支 B. 3根小分支 C. 4根小分支 D. 5根小分支
【变式2】随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2017年的300万元增长到2019年
的507万元，设平均每年销售额增长的百分率为x,则关于x的方程是.
【变式3】中新网4月26日电据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死
于猪流感(又称甲型H1N1流感).若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮
传染中平均一人传染了 人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经〃轮传播,将有
人被感染.
235_______ 菱
初中数学题型方法全归纳
【变式4】岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改
变，从现在开始》的倡议芋在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请〃个
好友转发倡议书，每个好差转发倡议书之后，又邀请〃个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已
知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求几的值.
【变式5】2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病.
(1)在“新冠”初期，有1人感染了 “新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了 “新冠”(这
两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离)，则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)后来举国上下众志成城，全都隔离在家.小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁,
于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨.香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤
时，每天可以卖80斤.在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤.为
了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
国题型方法17：增长率问题
【题目特征】与数量增长有关问题.
【解题方法】
1 .假设基期量为P，增长率为x,经过〃个周期以后的末期量为外
那么，p(l + x)n = q .
2 .假设基期量为夕，降低率为x,经过〃个周期以后的末期量为夕,
那么，p(l-x)n =q .
所以，基期量x(l土变化率)=末期量.
例1：某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的
百分数相同，则平均每月的增长率为( )
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
【解析】设平均冢月的增长率为x,基期量为200万元，末期量为288万元，增长了两个月，根据
公式“基期量x(l +增长百分率了二末期量”得出方程，解出即可.
【解答】设平均每月的增长率为X，
根据题意得：200(1 +/=288,
236代数专题-第十一章一元二次方程
整理得：(1 + 4=1.44,
解得：xi =0.2=20%, X2 = -2.2 (舍去)，
所以，平均每月的增长率为20%.
故选：C.
例2：某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现
在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是.
【解析】设平均每次降价的百分率为工，基期量为25元，末期量为16元，连续两次降价，根据公
式“基期量x(l-增长百分率y =末期量”得出方程，解出即可.
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是X,
根据题意得：25(1-%)2 =16,
解得x=0.2或1.8 (不合题意，舍去)，
即该药品平均每次降价的百分率是20%.
【变式1】某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量
的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为、，则可列方程为( )
A. 80(1+ xy=100 B. 100(l + x)2=80
C. 80(1+2x)=100 D. 80(l + x)2=100
【变式2］受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一
匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平
均每年增长率为工，则下列方程中，正确的是( )
A. 600(1 +x)=950 B. 600(1 + 2x)=950
C. 600(1 + x)2 =950 D. 950(1-x)2 =600
【变式3】某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元.设平均每次降价的百
分率为x,根据题意可列方程为( )
A. 200(l-x)2=162 B. 200(l + x)2=162
C. 162(l + x)2 =200 D. 162(l-x)2 =200
【变式4】北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻.在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优
化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨.若设平均每次用钢量降低的百分率为x,根据题意,
可得方程( )
A. 5.4(1-x)2 =4.2 B. 5.4(1-x)2 =4.2
C. 5.4(1-2%) =4.2 D. 4.2 (l + x)2 =5.4
237卷
初中数学题型方法全归纳
【变式5】习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然
之气” .某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进
馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的
条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
【变式6】某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，
可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率
为x.
（1）用含X的代数式表示第3年的可变成本为 万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率二
留题型方法18:销售问题
【题目特征】在销售问题中，价格改变导致销量改变的问题.
【解题方法】
1.商品现在售价为加元，销量为夕，售价每增加〃元，销量减少外则售价增加，元后的销量为:
p-Lxq，售价为：m + t.
n
2.商品现在售价为加元，销量为夕，售价每减少〃元，销量增加夕，则售价减少，元后的销量为:
pjxq ,售价为：m-t.
n
238春_______
代数专题・第十一章一元二次方程
例：某商品的进价为40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理.经市
场调查发现，每件商品降价1元，每星期可多卖出20件，现在要使利润为6120元，则每件商品利润
应降价( )
A. 2元 B. 3元 C. 2.5元 D. 2元或3元
【解析】设每件商品应降价'元，则每星期多卖出20x件，根据“某商品的进价为每件40元，当售
价为每件60元时，每星期可卖出300件，若每降价1元，每星期可多卖出20件，现要尽量优惠顾客
的前提下，同时每星期获利6120元”列出关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案.
【解答】解：设每件商品应降价'元，则每星期多卖出20x件，
根据题意得：(60-40-x)(300 +20x)=6120,
解得：x\ = 2,= 3 ,
故选：D.
【变式1】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加
盈利，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，村衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2
件，如果降价后商场销售这批衬杉每天盈利1250元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确
的是( )
A. (20+ x)(40-2x)=1250 B. (20+ x)(40-x)=1250
C. (20 + 2x)(40 - 2x)-1250 D. (20 + 2x)(40-x)=1250
【变式2】一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买
树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出
售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了工棵
树苗，则可列出方程.
【变式3】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生
产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.若生产的产
品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
239初中数学题型方法全归纳
【变式4】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采
取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.据此规律计算:
每件商品降价 元时，商场日盈利可达到2100元.
【变式5】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好
可以住满.每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲.已知有游客入住的房间，宾馆
每天需对每个房间支出50元的各种费用.
(1)若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为 元；
(2)求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元.
240几何专题篇
I)初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:几何体的展开图
【题目特征】求立体图形的展开图.
【解题方法】一个正方体的开展图总有如下11种:
141型；6种 23T型；3种
生均比
例：在下列各图形中，不是正方体的展开图的是（ ）
【解答】解：4选项是2-2-2型的，5选项是3-3型的，。选项是2-3-1型的，不过倒过来了.
只有C选项不是正方体的展开图,
故选：C.
【变式1】正方体的展开图可能是（ ）
B.
D.
【变式2】如图，将长方体的表面展开，得到的平面图形不可能是（ ）
242几何专题・第一章 几何初步
【变式3】某几何体如图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是（ ）
留题型方法2：求正方体的相对面
【题目特征】求立方体某一个面对面的图形.
【解题方法】找对立面的方法：
1 .同行、同列隔一个是相对面；
2 . 字两端是相对面；
3 .其他剩余的两个面是相对面.
例：如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是
（ ）
A.共 B.山 C.绿 D.建
【解答】解：从同一行来看，“绿”和“青”相对，从同一列来看，“共”和“山”相对；而“建”
和“水”构成“Z”字的两端，所以，有“水”字一面的相对面上的字是“建”.
故选：D.
【变式1】如图是正方体的表面展开图，则与“2019”字相对的字是（ ）
【变式2】如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祝”字一面的相对面
上的字是（ ）
A.你 B.试 C. M页 D.利
243祢
初中数学题型方法全归纳
【变式3】某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字
是（ ）
A.青 B.来 D.奋
留题型方法3：判断展开图标记物的位置
【题目特征】判断展开图标记物的位置.
【解题方法】排除法：
先利用对立面排除，能看到的三个面必然不是对立面.
再利用某图形指向进行排除，特殊图形的指向是不会改变的.
最后再利用顺逆时针排除，依次连接三个面，顺逆时针的方向是不会改变的.
例：下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
旬
故选：B.
【变式1】下面四个图形是右图所示正方体的展开图的是（ ）
【变式2】如图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（ ）
244几何专题-第一章 几何初步
留题型方法4：点个数及线条数的计算问题
【题目特征】计算交点个数、线段条数.
【解题方法】
1.交点计数：
(1)一个平面内，有2条直线，最多有1个交点；
(2)一个平面内，有3条直线，最多有3个交点；
(3)一个平面内，有4条直线，最多有6个交点；
(4)一个平面内，有5条直线，最多有10个交点；
(5)一个平面内，有〃条直线，最多有若工个交点；
(6)一个平面内，有〃条直线两两相交，最少有一个交点.
2.线段计数：
(1)当一条直线上有2个点时，图中共有1条线段:
(2)当一条直线上有3个点时，图中共有3条线段:
(3)当一条直线上有4个点时，图中共有6条线段:
(4)当一条直线上有5个点时，图中共有10条线段:
(5)当一条直线上有〃个点时，图中共有—迎二条线段.
—2 -
3.射线计数：
(1)当一条直线上有1个点时，图中共有2条射线:
(2)当一条直线上有2个点时，图中共有4条射线:
(3)当一条直线上有3个点时，图中共有6条射线:
(4)当一条直线上有4个点时，图中共有8条射线:
(5)当一条直线上有〃个点时，图中共有2n条射线.
例：根据题意，完成下列填空.
如图所示，与A是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第
3条直线右，那么这3条直线最多有 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线/一那么这
4条直线最多可有 个交点.由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有
个交点，〃但为大于1的整数)条直线最多可有 个交点(用含有〃的代数式表示).
n(n-V)
【答案】3； 6； 15；
2
245【变式2】一条直线有〃个点，最多可以确定 条线段，条射线.
【变式3］一个平面内有三条直线，会出现几个交点？
【变式4】如图，A B、C、。为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点,
可画出_______条直线.
c R
【变式5】如图所示，已知线段48上有三个定点C、D、E.
~B
A~C~D E
(1)图中共有几条线段？
(2)如果在线段C。上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？
留题型方法5：线段中点计算问题
【题目特征】与线段中点有关的计算问题.
【考查知识点】
1.线段的中点：
~~~F这
如图，点。在48上使线段ZC, C8相等，这样的点。叫作线段々的中点.
中点定义的推理步骤：
(1)・・・/C=CB(已知)，
・••点C是线段45的中点(中点的定义).
(2)・・,点C是线段45的中点(已知)，
・・・NC=5C或4B=2ZC或45=25。(中点的定义).
注意：题目如果没有画图，计算时，要讨论字母的顺序，可能有多种情况.
246海
几何专题・第一章 几何初步
2.线段的三等分点：
若题目已知：。是线段的三等分点，那么有以下两种情况:
4 C B
若题目已知：BC=-ABf那么，有以下两种情况：
3
4* , b
4" B C
例；如果，、B、C三点在同一直线上，且线段Z5=6c加，BC=4cm,若封为ZC的中点，那么4、M
两点之间的距离为（ ）
A. 5cm B. 1cm C. 5c机或 1cm D.无法确定
【解答】解：如图，当点C在线段48的延长线上时，
AC=AB + 5C= 6 + 4=1 Ocm,
・・・M为ZC的中点, A MB C
：.AM=-AC=-xl0=5cm；
2 2
如图，当点C在线段45上时，
AC=AB - BC-6 - 4=2cm, ------ ---------------------------------•
A M C B
・・・瓦为4。的中点，
：.AM=-AC=-x2=lcm；
2 2
综上所述，4、M两点之间的距离为5c加或1c加，
故选：C.
【变式1】点C为线段45的三等分点，。为射线切上一点，若48=6, BD=8,则CD的长为（ ）
A. 4 B. 4 或 6 C. 12 D. 10 或 12
【变式2】如图，。是线段45上的一点，。是线段或的中点.已知图中所有线段的长度之和为13,
线段4C的长度与线段C5的长度都是正整数，则线段/C的长度为（ ）
A. 2
0 , A C D B
C. 7 D. 9
【变式3】如图，AB=l^cm, C是线段45的三等分点，。是线段CB上一点，CZ）比长4c加，求CZ）
的长.
A C D~B
247初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，点5是线段NC上一点，且，夕=18c加，BC=-AB.
3
(1)试求出线段/C的长；
(2)如果点O是线段ZC的中点，请求线段05的长.
3
O~B~C
【变式5】已知点C是线段45的中点，点。是线段々上一点，且CD =0D,若/。=4,求48长度.
3
【变式6】如图，C为线段上一点，5为CQ的中点，AD=20cmf AC=12cm.
(1)图中共有 条线段；
(2)求及)的长；
(3)若点£在线段3。上，KBE=3cm,求的长.
A C B D
【变式7】如图，已知点。是线段45上一点，点C是线段为方的中点，若4B=8cm, BD=3cm.
(1)求线段CD的长；
(2)若点£是直线48上一点，且点尸是班的中点，求线段C厂的长.
3
A B
248卷
几何专题・第一章几何初步
留题型方法6：线段双中点模型
【题目特征】已知条件中出现两个中点.
【模型内容】
L图形：
A M C N B
A M B N C
C M A N B
2 .条件：
A. B、。在一条直线上，M为/C中点，N为BC中点、.
3 .结论:
是线段45长度的一半.
4 .结论的证明：
・・・瓦为ZC中点，N为BC中鼠,
：.CM=-AC f CN=-BC,
2 2
如图 1, MN=CM+CN=-AC + -BC = -(AC + BC) = -AB .
2 2 2 2
如图 2, MN=CM-CN=^AC - ^BC = ^(AC-BC) = ^AB .
如图 3, MN=CN-CM=^BC - ^AC =^(BC - AC) = ^AB .
【变式1】已知点。在直线上，AC=^cm, BC=6cm,点M、N分别是4。、5。的中点，求线段MTV
的长.
【变式2】如图，C是线段上一点，M, N分别是4C, 5c的中点.
(1)若ZC=6c加，BC=4cm,求线段MN的长；
(2)若线段CM与线段CN的长度之比为2:1,且线段CN=2c加，求线段48的长.
A M C N B
249海
初中数学题型方法全归纳
【变式3】已知点Z、B、。在同一条直线上，AC=6cm, 5C=4c加，点M、N分别是ZC、的中点,
求线段的长
【变式4】如图，线段45,。是线段45上一点，〃是48的中点，N是4c的中点.
（1）若48=8。加，AC=3.2cm,求线段MV的长；
（2）若试用含a的式子表示线段MN的长.
A~N~cH B
留题型方法7：线段成比例问题
【题目特征】已知条件中有线段的比例关系.
【解题方法】依据比例关系，设未知数，然后利用方程去求解.
例：如图，已知。、。两点将线段4S分成2:3:4三段，点£是及）的中点，点方是线段CD上一点，且
CF=2DF, EF=12cm,求的长.
A C~~F^D E B
【解答】解：^AC=2x,
V C,。两点将线段45分成2:3:4三段，
：.CD=3x, BD=4x,（依据比例关系设三段为：2x, 3x, 4x）
■ : CF=2DF, CD=CF + DF,
：.DF=x,
・ ・,点石是5。的中点，
:・DE=2x,
:・EF=DF + DE=3x,
* .* EF=12cm=3x,（列方程求出x值）
.•・x=4。机,
• \AC=Scm, CD-12cm, BD=16cm,
• \AB=AC+ CD + BD=36cm.
250登
几何专题-第一章 几何初步
【变式1】如图，点C、。是线段相上两点，4C:5C=3:2,点。为45的中点.
(1)如图1所示，若45=30,求线段C。的长.
(2)如图2所示，若£为4c的中点，ED=5,求线段ZB的长.
Fc
A B
A E D C B
【变式2】已知线段力3上有两点C、Q,使得4C:CD:Z)5= 1:2:3, M是线段4C的中点，点N是线段45
上的点，且满足45=24.求MTV的长.
4
AMC D B
留题型方法8：车票种类问题
【题目特征】已知几个站点，求需要印制的车票种类.
【考查知识点】线段计数：
1.当一条直线上有2个点时， 图中共有线段_ 1 一条，需要印制— 2类车票:
2.当一条直线上有3个点时， 图中共有线段_ 3 一条，需要印制—工类车票；
3.当一条直线上有4个点时， 图中共有线段_ 6 一条，需要印制— 12类车票:
4.当一条直线上有5个点时， 图中共有线段_ 10一条，需要印制. 20类车票:
5.当一条直线上有〃个点时，图中共有线段—止条，需要印制 加及-1)类车票.
2
【解题方法】线段没有方向，但在实际应用中，从4地到5地和从5地到4地方向是不同的，那么,
在票务中，所制发的票务也是不同的，那么在计数时，应该是线段数乘以2.
例：如图所示是一段火车路线图，A. B、C、D、E是五个火车站，在这条线路上往返行车需要印
制 种火车票.
A~B C D E
【解答】解：图中线段有：AB、AC、AD、AE. BC、BD、BE、CD、CE、DE,
共10条，
・・,每条线段应印2种车票，
・・・共需印10x2=20种车票.
故答案为：20.
251初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图：火车从4地到5地途经C、D、E、尸四个车站，且相邻两站之间的距离各不相同,
则售票员应准备 种票价的车票.
A C D E"F~B
【变式2】往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两站的路程都不相同，问:
（1）这两地之间有 种不同的票价；
（2）要准备 种不同的车票.
留题型方法9：双角平分线模型
【题目特征】已知条件中出现两个角的角平分线.
【模型内容】
1 .图形：
2 .条件：
。河平分N/0C, ON平分4BOC.
3 .结论:
ZMON=- ZAOB.
2
4 .结论的证明：
・・・。屈平分/4。。, ON平分/BOC.
：.ZCOM= - /AOC, ZCON= - ZBOC,
2 2
ZMON = ZCOM^CON=^AOC. R。。二生/。。+ 4。。)=
如图1,
如图2, ZMON = ZCOM-ZCON = -ZAOC - -ABOC = -(ZAOC - ZBOC )= -ZAOB
2 2 2 2
如图3, /MON = /CON --/COM = -ZBOC - -ZAOC = - (ZBOC - ZAOC )= -ZAOB
2 2 2 2
252卷
几何专题-第一章 几何初步
【变式1】如图，点4, O, B在同一条直线上，OD,分别平分N4OC和NBOC
(1)求NOOK的度数；
(2)如果NCOD=65。，求NZOE的度数.
【变式2】如图，射线0C在N49B的内部，OM. ON分别是NZO5、N42C的角平分线.
(1)如果NZO8=140。，ZAOC=60°,那么 NMON是多少度？
(2)请写出NMON与N30C的数量关系，并说明理由.
【变式3】如图，O为直线45上的一点，ZAOC=50°f 8平分NZOC, NDOE=90。,
(1)求的度数；
(2) 是N80。的角平分线吗？为什么？
253初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，点O在直线上，3/平分NZ。。，ON平分/BOC,如果N2=2N1,求N1的度
数.
留题型方法10：钟面上的角度问题
【题目特征】求某时某刻时针和分针形成的夹角度数.
【考查知识点】
秒针走一圈360。，分针走了 6。，时针走了 0.5。；
分针走一圈360。，时针走了 30。.
所以，时针和分针所走度数的比例关系为1:12.
表盘上，一大格的度数是30。，一小格的度数是6。.
［解题•步骤】
1 .从整点开始，先计算分针转的度数：度数二分钟数X6。；
2 .再计算时针转的度数：度数二分钟数X0.5。；
3 .在表盘中计算两者的夹角.表盘上，一大格是30。.
例：上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是 度.
【解答】解：从上午9点开始，到上午9点30分时：
分针转了 30x6°=180°,
时针转了 30x0.5°=15°,
所以此时时针与分针所夹的角=3*30。+15。=105。. （6到9点是三大格，再加上时针转的15°）
故答案为105.
【变式1】时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是 度.
【变式2】中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是 度.
【变式3】上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为.
254几何专题-第一章 几何初步
留题型方法11:转角问题
【题目特征】角的一边绕着中心点在转动，求角度之间的关系.
【考查知识点】
1 .互余：两个和为90。的角，我们称为这两个角互余；
2 .互补：两个和为180。的角，我们称为这两个角互补；
3 .角平分线：角平分线把角分成相等的两个角.
【解题步骤】
1 .有速度，设转动时间为3那么转动角度等于速度X时间，没有速度设旋转的角度为a.
2 .根据互余、互补、角平分表示出其他角度.（转动角度越过其他射线就需要分类讨论一次）
3.根据角度之间的关系列方程，求/或者a.（证明式子为定值时，表示出这个式子，计算其结果
是否为定值）
【解题方法】把转角问题转化为数轴上的动点问题：
如上图，若N40C=a, NAOD= 0 , ZAOF= 0 , OC以x。每秒顺时针旋转，以y。每秒顺时针
旋转，。E以z。每秒逆时针旋转，在旋转的过程中，始终为NC8的角平分线.
解题时，把射线看作是数轴的零点，我们以顺时针旋转为正方向，逆时针旋转为负方向的话：
那么，射线。。的初始位置相当于数轴的a,转动/秒后，OC顺时针旋转了初度，射线。。的位置到
:达了 a + xz度，这样N40C相当于数轴上。。和04的距离，
所以,ZAOC= a + xt-0 = a + xt；
同理，射线。。的初始位置相当于数轴的s，转动/秒后，顺时针旋转了"度，射线。。的位置到
:达了夕+ W度，这样N49Z）相当于数轴上8和。4的距离，
所以，ZAOD=/3 + yt-0 = /3 + yt；
同理，射线。尸的初始位置相当于数轴的-0,转动，秒后，。底逆时针旋转了z/度，射线。尸的位置到
达了-e-zf度,这样N/O尸相当于数轴上。方和04的距离，
所以，ZAOF=O-（-O-zt） = 0^zt ；
那么，。£的位置是。。和0。的中点，转动剂后，OE的位置用数轴的中点公式可得：。£的位置为
a + W + £ + * 所以 //Ob-0+ " + ' + " 0 = 0 + * *
2 2 2
那么，NC。。相当于数轴上。。和。。的距离，所以，NC。□就相当于数轴上。。的位置减去OC的
；位置，即NCQD= p + W-a-W ,知道大小，就“大-小”，不带绝对值.
若某条射线越过射线时，此时，射线在数轴上的位置依然不变，但是若表示的角度如果超过
180°,那么，表示的角就得发生改变，就需要进行分类讨论一次.
比如，若。。射线旋转越过了。5射线，此时，射线8的位置不变，依然是"+ ",但是此时的
ZAOD=/3 + yt-lSO° ,所以，只有表示的角度，超过180。，就用这个角度减去180。.
这样，我们就将转角问题转化为数轴动点问题了.
255初中数学题型方法全归纳
解题时，利用好如下表格（04为数轴原点）：
OC OD OF
第一步：初始位置 a P e
第二步：旋转角度 xt X zt
第三步：终点位置 a+ xt B + yt 0 + zt
第三步，求出其他动射线（由基本动射线转动引起转动的射线）的终点位置.
"” 十 竺
的终点位置为： 0-+ .（数轴中点公式）
2
第四步，表示题目相关角度.
如：ZAOC= a + xt-0 = a + xt ；
ZAOD=4 + *-0 = £ + ”；
ZAOF= 0 -（-6 - zt） = 0 + zt ；
乙“_a + M + £ + * n a + M + / + *
乙 AU匕-----------------------v =--------------------•
2 2
等等.
第五步，确定分界点.
把与条件有关有可能超过180。角度找出来，令其等于0,求出几个不同时间九
第六步，列式求解.
注意:在书写答题过程时,第一二三步是思维过程，目的是为了表示角度,不书写在答题过程中,答
题过程，只书写第四五六步.
例：已知点4、。、5在一条直线上，将射线0C绕。点顺时针方向旋转90。后，得到射线0。在旋
转过程中，射线。。始终在直线上方，且平分N/8,约定：无论大小如何，都看作
是由04、。。两边形成的最小角的平分线.
（1）如图 1,当乙4。。=30。时，/BOD=；
（2）若射线。呼分N5OC,求NEO尸的度数.
【解析】（1）略.
（2）选。t为数轴动点，设OC的初始位置为x,画表格:
OC OD
第一步：初始位置 X x + 90°
第二步：旋转角度 a a
第三步：终点位置 x + a x + 90° + a
第三步，表示其他射线和。尸的终点位置：
。+。土£ =工+ 。土？
OE的终点位置为:"9° 90 （数轴中点公式）
2 2
… + 也
N的终点位置为： （数轴中点公式）
2
256卷
几何专题・第一章 几何初步
第四步，表示角度.
ZAOD=x + 900+a ,根据题目条件，只有这个角度有可能超过180。.
x + a +180° x + 90°+a
ZEOF= = 45°.
2 2
但是，在这里，没有考虑到变成反方向的情况，当N48大于180。时,
OE的终点位置变成了正型N +180。.
2
此时，4山普一统产-。。=135。.
也就是说，NEO尸的度数始终为45。或135。.
第五步，确定分界点.
在这道题目中，OC不会越过但是8是可以越过05的，那么，当8越过05时，N49Z）的
度数超过180。，那么它的角平分线的方向立马变成反方向的射线了，也就是说位置发生改变了，
那在这里就是一个分界点，就需要分类讨论.
所以，可分三种情况分类讨论：
即：NZ。。VI80。时，
N/00=180。时，
乙4。。＞180。时，
第六步，列式求解.
【解答】解：（1） ZBOD=ZAOB- ZAOC- ZCOD=60°.
(2)①当射线。。在直线45上方，NZ。。为锐角时，如右图：
设乙4OC=x, r
E 与
此时，ZEOF=ZDOE- ZDOF C \ /
二-ZAOD -(90° - ZCOF)
2 A O B
=1 (90° + x) - (90° - 1 ZBOC)
= 45°.
C E
②当0。与直线Z3重合时，即NZOC=90。，如右图： F
此时，NEOF= 45。 /
③当NZOC为钝角时，如右图： ------- --------- /
设 NZOC=x, Q
此时，ZEOF=ZDOE+ ZBOD+ ZBOF
1 1
=-ZAOD + (90° - ZBOC) + *BOC / 尸
=-(270°-x) + 90°- - (180° - x) --------― b
2 /
综上，NEO尸为45。或135。. E
257称
初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图1,点。为直线Z5上一点，过点O作射线0C,使N49C:NB0C=l:2,将一直角三
角板的直角顶点放在点。处，一边在射线。5上，另一边CW在直线45的下方.
(1)将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得QV落在射线上，此时三
角板旋转的角度为 度；
(2)继续将图2中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在NZOC的内部.试
探究NZOM与NNOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
(3)在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点。按15。每秒的
速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分N/OC时，求此时三角板绕点O的运动时间，
的值.
【变式2】如图1,两个形状、大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置，PA.尸5与直线
MN重合,且三角板E4C,三角板尸5。均可以绕点P逆时针旋转.
(1)试说明：ZDPC=90°.
(2)如图2,若三角板的边以从PN处开始绕点尸逆时针旋转一定角度，PF平分NAPD, 平分
/CPD,求/EPF.
(3)如图3,若三角板以。的边B(从尸N处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3。/秒，同时三角板尸5。的
边尸5从尸M处开始绕点P逆时针旋转，转速为2。/秒，在两个三角板旋转过程中(尸。转到与R0重合时,
两三角板都停止转动)，以下两个结论：①仝土-为定值；②/BPN+/CPD为定值,请选出正确的
ABPN
结论，并说明理由
258几何专题・第一章 几何初步
【变式3】已知乙408=150。，ZCOE=75°, OF平分/AOE,
(1)如图1,若NC。尸=14。，则N5O£=；若NCOF=n。,则N5OE与NC。尸的数量关系
为.
(2)当射线。£绕点。逆时针旋转到如图2的位置时，(1)中N5OE与NCO厂的数量关系是否仍
然成立？请说明理由.
(3)在(2)的条件下，如图3,在N50K的内部是否存在一条射线。。，使得N5OQ为直角，且
ZDOF=3ZDOE.若存在，请求出NC。尸的度数；若不存在，请说明理由.
留题型方法12：角度换算问题
【题目特征】角度的计算问题.
【考查知识点】角度的单位换算：
角的常用度量单位是度、分、秒.
1。的,为1分，记作1',即1。=60'.
60
r的士为1秒，记作1",即r=60n.
60
【解题方法】
s
—+ n
1 .度分秒化为度：加。"' = (皿一+加)。.
60
2 .度化为度分秒：整数部分不变；小数部分'60取整数部分即为分；还要有小数部分的话，继续
将小数部分x60取整数部分即为秒.
3 .加法计算时,秒相加，满60进1分；
再分相加，满60进1度；
最后度相加.
4 .减法计算时，秒相减，不够减，借一分60秒再相减；
然后分相减，不够减，借一度60分再相减；
最后度相减.
5 .乘法计算时，利用分配律，度相乘，分相乘，秒相乘；
化简：满60秒进1分，满60分进1度.
6 .除法计算时，利用分配律：度相除，余数化为分，分相除，余数化为秒，秒相除.
259海
初中数学题型方法全归纳
例1：用度、分、秒表示21.24。为（ ）
A. 21°14,24u B. 21°20,24n C. 21°34f D. 21°
【解答】解：21.24°=21° + 0.24x60,=21° + 14* + 0.4x60n=21°14,24n,
故选：A.
例2：下列运算正确的是（ ）
A. 63.5。=63。50' B. 18。18'18”=18.33。
C. 36.15。=36。15' D. 28。39'+ 17。31'=46。10’
【解答】解：4 63.5。=63。30',计算错误;
B、18T8'18”=18.305。,计算错误；
C、36.15。=36。夕，计算错误；
D、28。39' + 17。31=46。10',计算正确.
故选：D.
【变式1】若/1=25。12', Z2=25.12°, Z3=25.2°,则下列结论正确的是（ ）
A. Z1 = Z2 B. Z2=Z3 C. Z1 = Z3 D. Z1 = Z2=Z3
【变式2】^Za=30°50,,则它的余角的度数是（ ）
A. 59°10* B. 59°50* C. 149°10* D. 60°10'
【变式3】杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到//、/B、NC在吵架，N/
说：“我是30。15',我应该最大！ ” N3说：“我是30.3。，我应该最大！”.NC也不甘示弱：“我
是30.15。，我应该和NZ一样大！ ”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来
作评判！"，杨老师评判的结果是（ ）
A. N4最大 B. N5最大 C. NC最大 D. ZA=ZC
【变式4】下面等式成立的是（ ）
A. 83.5。=83。50' B. 37°12,36,,=37.48°
C. 24。24'24”=24.44。 D. 41.25°=41°15,
【变式5】计算：56。32'+ 103。28'=
【变式6】已知/1=25。12'，Z2=25.12°, Z3=24O75\则Nl、N2、N3的大小关系是
【变式 7】计算：182°36,-4 + 22°16,x3.
260几何专题-第一章 几何初步
【变式 8】计算：56°17, + 12°45,-16°21,.
【变式9】计算：
(1) 23。45'36” + 66。14'24”； (2) 180°-98°24,30u
(3) 15。50'42%3； (4) 88。14,48'=4.
【变式10】计算：
(1) 18o13*x5； (2) 27°26, + 53°48,；
(3) 90。-79。18'6''.
261初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:交叉图形中的角度计算
【题目特征】从一个顶点出发引多条射线，求相关角度.
【考查知识点】
1 .邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻
补角.
N1和N3是邻补角，N1和N4是邻补角，N2和N3是邻补角，N2和N4是邻补角，
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.
邻补角的性质：两个角的和为180。.
2 .对顶角
N1和N2是对顶角，N3和N4是对顶角.
特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.
对顶角的性质：对顶角相等.
3 .垂线：两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90。时，这两条直线互相垂直，其中的一条
直线叫作另一条直线的垂线，他们的交点叫作垂足.
4 .角平分线：角平分线把角分成两个相等的小角.
例：如图，已知直线45与CZ）相交于点O, /BOC=g/AOC , /BOM=50。, ON平济/DOM,求
ZBOC^ZMON.
【解答】解： ZBOC=-ZAOC,
V
5
：.ZAOC=5ZBOC.
ZBOC+ ZAOC=1SO°,
：.ZBOC=30°,
•・, NZOQ与NBOC是对顶角，
・•・ NAOD=NBOC=30。,
'：/BOM=50。,
：./COM=/BOM— ZBOC=20°,
262几何专题・第二章 相交线和平行线
・•・ /DOM= 180°-Z COM= 160°,
•： ON平分/DOM,
：./MON= - 〃OM=80。，
2
答：N3OC=30。； NMON=800.
【变式1】如图，点O在直线45上，ODLOE,垂足为。，OC是N2X历的平分线，若NZ8=70。,
^\ZBOE=度，ZCOE=度.
【变式2】如图，直线45、CQ相交于点。,OE平分NAOC,若NBOD=70。,则NCOS的度数是（ ）
A. 70° B. 50° D. 35°
【变式3】如图，AB、CD交于点。, OE平分/AOB,若N4OC:NCQE=5:4,则等于( )
A. 120° B. 130° D. 150°
【变式4］如图，已知直线45和CQ相交于。点, NCOE是直角，OF平济/AOE, NCO厂=34。，则
的大小为________
263初中数学题型方法全归纳
【变式5】如图直线48, CD相交于点。，EOLAB,垂足为点。，若NCQ4=60。，则的度数
是（ ）
A. 60° B. 100° C. 130° D. 150°
【变式6】如图，乙4。。为平角，已知OE平分N/O5, OF平分4BOC, 4C与。日相交于点0,
/AOD=25。,则N50K的度数为.
留题型方法2:垂线段最短的应用
【题目特征】求一定点到直线的最短距离.
【考查知识点】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；简单说成：垂线段最
例：如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田?处，并要求所挖的渠道最短，小明画线段R%他
的根据是.
【解析】解：要把河中的水引到农田尸处，小明画线段?M垂直河岸，使挖的水渠的长度最短，这
样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短.
【变式1】如图，村庄4到公路5C的最短距离是4。的长，其根据是.
村庄
C D
264春
几何专题-第二章 相交线和平行线
【变式2】如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路
线上选一点来建火车站，应建在（ )
A. 4点 B. B点 C.。点 D.。点
留题型方法3：识别同位角、内错角、同旁内角
【题目特征】识别题目中的同位角、内错角、同旁内角.
【考查知识点】同位角、内错角、同旁内角的概念:
1.同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中, 若两个角分别在两直线的同一方，并且在第
三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫作同位角.如N1与N8, N2与N5.
2 .内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直
线（截线）的两侧，则这样一对角叫作内错角.如N1与N6, N4与N5.
3 .同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条
直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫作同旁内角.如N1与N5, N4与N6.
4 .三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位
置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线
上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.
【解题方法】把角的两边画出来：
1 .同位角的边构成形，
2 .内错角的边构成“Z”形，
3 .同旁内角的边构成“U”形.
A.内错角 B.同位角 C.同旁内角 D.对顶角
【解答】解：直线6、C被直线4所截，则N1与N2是同位角.（同位角的边构成“F”形）
故选：B.
265初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图所示，下列说法:
D
①N1与NC是同位角；
②N2与NC是内错角；
③N3与N5是同旁内角；
④N3与NC是同旁内角.
其中正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
【变式3】下列四个图形中，N1与N2是内错角的是（ ）
【变式4】如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A. NZ和N3是同位角 B. N2和N3是同旁内角
C. N4和N5是同旁内角 D. NC和N1是内错角
留题型方法4:平移
【题目特征】图形平移后计算相关线段长度.
【解题方法】只要平移，立马得到三个结论：
1 .对应点的连线平行（共线）且相等；
2 .对应线段平行（或共线）且相等；
3 .对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致.
266几何专题・第二章 相交线和平行线
例：如图所示，将△NBC沿直线45向右平移后到达△班)£的位置，若/048=50。, ZABC=100°,
则NC8E的度数为.
【解答】解：根据平移的性质可知：NE及ANC43=50。而N4BG100。,
所以/或£=180。一/£3。一/45。=180。-50。-100。=30。・
【变式1】如图，将周长为12的三角形45c沿5C方向平移2个单位长度得到ADER则四边形ZBED
的周长为.
【变式2］如图，在直角△4BC中，ZACB=90°f AC=4cmf BC=3cm,将△ZBC沿方向平移至
△DEF,若AE=8cm. DB=2cm.
(1)求△ZBC沿48方向平移的距离；
(2)求四边形NEFC的周长.
【变式3】如图，在及△ABC中，ZACB=90°, AC=3cmf BC=4cm,将△4SC沿Z5方向向右平移
得到△&£户,若4E=9c加.
(1)判断四边形C5E尸的形状，并说明理由;
(2)求四边形CBE厂的面积.
267初中数学题型方法全归纳
留题型方法5：平移转化
【题目特征】不规则图形的相关计算.
【解题方法】利用平移，将不规则计算转化为规则图形，方便计算.
例：根据图中标示的数据，计算图形的周长（单位：mm）
解：平移后如图所示,图形的周长=矩形周长=（29+14+10+11+2）x2=132冽加.
【变式1】如图所示，一块长为18处 宽为12洲的草地上有一条宽为2加的曲折的小路，求这块草
地的绿地面积.
【变式2】如图（单位，m）, 一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均
匀），请你求出草坪（阴影部分）的面积.
【变式3】某宾馆打算在宽为2米的一段楼梯面上铺上地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地
毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要多少元？
12
268卷
几何专题・第二章 相交线和平行线
【变式4】南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为
50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米.
(1)如图1,阴影部分为1米宽的小路，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积
为;
(2)如图2,有两条宽均为1米的小路(图中阴影部分)，求草地的面积.
(3)如图3,非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口£处走到出口厂处，所走的路线
(图中虚线)长为.
图1 图2 图3
留题型方法6：平行线中的辅助线作法
【已知条件】两条平行线用折线相连.
【辅助线作法】过拐点作平行线.
如图，AB//CD,连接两个平行线的是一条折线那么£点就是拐点，遇到平行线用折线
相连，过拐点及点再作平行线.
例：如图，AB//CD, MFLNFTF, M眩AB于点、E, N眩CD于点G, Zl = 140°,则N2= •度.
【解析】已知AB/ICD,连接两平行线的是折线£-尸-G,尸为拐点，所
以，过尸作Z5的平行线方
【解答】解：过尸作48的平行线形，如图所示，
■ :AB//CD,则7WCD,
・ ・・ NHFG=180°—Nl=40。，
• : MF1NF,
：./HFM=900 - ZHFG=5Q°,
又•： AB〃CD,
：.Z2=ZHFM=50°.
269初中数学题型方法全归纳
【变式1】 如图，已知直线a//b,
【变式2】 如图,/1///2, Zl = 120°,
【变式3】 如图，ABUCD, ZABE=120°, N£CD=25。，则N£二
【变式4】 如图，直线AQ/BD,连结45,直线ZC、及）及线段45把平面分成①、②、③、④四个
部分，规定线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连结以、PB,构成NB4C, /APB,
N尸友）三个角.（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0。角）
（1）当动点尸落在第①部分时， 求证：ZAPB=ZPAC+ ZPBD；
（2）当动点P落在第②部分时， /APB=NR4C+ /PBD是否成立（直接回答成立不成立）？
（3）当动点P落在第③部分时， 全面探究乙小。、NAPB、 之间的关系，并写出动点尸的具
体位置和相应的结论.选择其中一种加以证明.
270称
几何专题・第二章相交线和平行线
留题型方法7：猪蹄模型
一、基础模型
1 .图形：
2 .条件：ABHCD,
3 .结论：NB+ ND=NBED.
4 .结论的证明：
过E点做EF//AB,
哪么 EFIICD,
所以，/BEF=/B,
ZDEF=ZDf
所以，ZBED=ZDEF+ ZBEF=ZB+ ZD.
二、拓展模型
1.图形：
2 .条件：ABIICD,
3 .结论：/5 + NK + /G+…+N尸…+ /。= /£1 + /£2+/氏+…+N'.
4 .结论的证明：
过以E?…E〃、尸1、尸2、凡点做48的平行线，
如图所示，
那么它们相互平行且都平行于CD,
那么根据内错角相等，
所以，/ABEi = /BEB ,
/EiFG = NBEFi ,…/BnEnD = ZEJ)C .
各式相加可得：
/B + NF 1 + N尸 2 + • —F Z-Fn -1 + /D — /Ei + /E2 + NE3 + …+ /E〃 .
【变式 1】如图，已知48//CQ, N4=30。，ZC=35°,则N4£C=.
271初中数学题型方法全归纳
【变式 2］如图，已知AB//CD, NC=70。，Z^£C = 120°,则N/=
【变式3】如图，已知/i/〃2, Zl = 30°,则N2+N3=
【变式4】如图，已知4B//DE, BF、所分别平分N45C与NCED,并交于点尸，探索NBFE与NBCE
之间的数量关系.
留题型方法8:铅笔模型
一、基础模型:
1 .图形：
2 .条件：AB//CD,
3 .结论：ZB+ ZD+ ZE=360°,
4 .结论的证明： a B
)E
过E点做EF〃AB, j
那么 EFIICD,
C
所以，NBEF+ NB=180。,
ZDEF+ ZD=180°f
所以，NBEF+ /B+ NDEF+ /D=NBED+ /B+ /D=360。.
即,ZB+ZZ>+Z£=360°.
272几何专题-第二章 相交线和平行线
二、拓展模型:
1.图形：
2 .条件：AB//CD.
3 .结论：ZB+ ZD+ ZEi + ZE2 N £3 + …+ N En =(n + 1)x180°.
4 .结论的证明：
过玄、瓦、・一区做45的平行线，
那么它们相互平行且都平行于C。,
所以，N5 + N5E而= 180°,
ZFi£iE2 + NF2E2E1 = 180°,…
NFED +ND = 180°,
所有式子相加可得：NB+ ND+ NEi +ZE2 + ZE3 + …+ N瓦=(〃+1)x180。.
【变式 】如图，a//b, M、N分别为a、b上,夕为两平行线间一点，则Nl + N2+N3=.
1
【变式2】如图，若两直线〃/加，则Nl + N2+N3 + N4=.
【变式3】如图所示，ABUCD, MF工NF于F, MF^AB于点E, NF交CD于点、G, Zl=140°,则
N2=度.
273卷
初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，已知MM/P0, B在MN工,。在P0上，4在5的左侧，。在。的右侧，DE平分N4DC,
BE平分/ABC,直线BE交于点E, NCBN=100。，若N4DQ=130。，则的度数为.
留题型方法9：内外勾模型
一、外勾型
1 .图形：
2 .条件：ABHCD.
3 .结论：N尸=N1 - N2.
4 .结论的证明：
过P点做PE//AB,
那么PEHCD,
所以，NT = /BPE,
N2=/DPE,
而/BPE- ZDPE=ZBPD,
所以，Zl- Z2=ZBPD,即NP=N1 —N2.
二、内勾型
1 .图形：
C D
2 .条件：ABHCD,
3 .结论：ZP=Z2-Z1.
4 .结论的证明： £
过 P 点做 PE//AB, \\
弧么 PEIICD, A-----
所以，N\ = /BPE, _________2\
C D
/2=/DPE,
而 /DPE - ZBPE=ABPD,
所以，/2- /1 = NBPD,即NP=N2—N1.
274几何专题・第二章 相交线和平行线
【变式1】如图，m//n, Zl=70°, Z2=30°,贝!U的度数为 度.
【变式 2】如图，ZABP= 150°, DB平分/CDP, N85=60。，则NP=
【变式3】如图，AB//CD, ZE =37°, ZC= 20° ,则NE45的度数为
【变式 4】如图，AB//EF, Zl = 113°, ZC=35°, N2 = 105°,贝!!ND=
留题型方法10：等积变换模型
1 .图形:
2 .条件：如图，ABHCD,
3 .结论：SAACD = SXBCD , S^AOC = SLBOD .
4 .结论的证明：
设平行线48和C。之间的距离为肌
那么， —CD - h ， = —CD - h ，
Slacd = Slbcd
2 2
所以，SLACD = S^BCD f
所以，St\ACD — SLOCD = SLBCD — SLOCD f 即 S"OC = .
275春
初中数学题型方法全归纳
—JK..
【变式1】如图所示，正方形45C。边长为7,延长5c到E点，使得C£=4,连接交C。于E点，连
接3尸，则Snm为.
【变式21如图，已知点5在线段C尸上，ABUCD, AD//BC,则S△曲与 的大小关系：
S.bce
【变式3】如图，正方形的边长为3c加，点£在边的延长线上，四边形CEFG也为正方形,
且边长为4cm,设△及卯的面积为S,则S为.
【变式4】正方形”8、正方形3EFG和正方形M尸尸的位置如图所示，点G在线段OK上，已知正
方形5EFG的边长为3,则的面积为.
【变式5】如图所示，。是△XBC的边48上一点，^AD<BD, £是ZUBC的边8C的中点，能否过
点。作一条直线把△XBC分成面积相等的两部分.
A
276卷
几何专题-第二章 相交线和平行线
留题型方法H：两三角板摆放问题
【题目特征】两个三角板摆放在一起，求相关角度.
【考查知识点】
1 .三角形内角和为180。.
2 .三角形一个外角等于不相邻的两个内角之和.
【两角旋转模型】
1 .图形：
图1
2 .条件：乙405和NC。。有公共的顶点O,
3 .结论：①图 1 中，ZAOD + ZBOC=ZAOB + ZCOD.
（有重叠，和为两角之和，即“左右+左右=和”）
② 图 2 中，ZAOD - ZBOC=ZAOB + ZCOD.
（没有重叠，差为两角之和，即左右-左右尸和”）
③ 若 NAOB= NCOD,则 N4OC=N5OD
（角相等，则“左左=左右”）
4 .结论的证明：
①在图 1 中，ZAOD+ ZBOC=ZAOB+ ZBOD+ ZBOC=ZAOB+ ZCOD.
②在图 2 中，ZAOD - ZBOC=ZAOB+ ZCOD.
③如图 1,因为N4OB=NCOD,所以N4O5—N8OC=NCOZ）-N5OC,即NZOC=NBQD
如图 2,因为N495=NCO。，所以NAOB + NBOC=/COD+ NBOC,即N/OC=NBOZ）.
5 .特殊地，两三角板的直角共顶点：
图1
结论：
®AOD + ZBOC=ZAOB + ZCOD=1SO0.
②/AOC=/BOD.
277初中数学题型方法全归纳
例：将两个三角板的两个直角顶点。重合在一起，放置成如图甲所示的位置，请回答下面的问题.
图1 图2
(1)如果重叠在一起N5OC=30。，猜想.
(2)如果将NCO。绕点。旋转，使重叠在一起的N8OC=50。，则乙4。。=.
(3)如果将NCOZ)绕点。旋转，使重叠在一起的N5OC=x。，贝IJN/OQ=.(用含x的式
子表示)
(4)图1中N4OC与满足的数量关系是.
拓展：在图1所示的位置上，继续将NC8绕点。旋转，得到如图2所示的位置，请回答下面的
问题.
(5)如果NBOCf。，贝!JN/OD=.(用含x的式子表示)
(6)此时图2中N4OC与始终满足的数量关系是，并说明理由.
【解析】两三角板的直角共顶点，那么，
AOD+ ZBOC=ZAOB+ ZCOD=1SO°, ZAOC=ZBOD.
利用这两个结论即可解题.
【解答】解：(1) ZAOD + ZBOC= ZAOB + ZCOD^ 180°,可知
当 N5OC=30。，则 N/OD=150。，
(2)由(1)知，当N5OC=50。,则乙48=130。，
(3)由(1)知，ZAOD+ ZBOC=1SO°,
所以，N/OZ)=(180—x)。，
(4) V ZAOB=ZCOD=9Q°,
：.ZAOB - ZBOC=ZCOD - /BOC,
即：ZAOC=ZBOD.
(5) •： NAOB=/COD=90。,
：.ZAOD + ZBOC=3600 - ZAOB - ZCOZ)= 180°,
/. ZAOD=(180-x)0f
(6) V ZAOB=ZCOD^90°,
：.ZAOB + ZBOC=ZCOD + NBOC,
即：ZAOC=ZBOD.
278卷
几何专题・第二章 相交线和平行线
【变式1】如图所示，将一幅三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，则N4O5于NC8的和
为.
【变式2】如图1, 一副三角板的两个直角重叠在一起，ZA=30°f NC=45。，△COD固定不动,
△405绕着。点顺时针旋转a。(0YaV180。)
(1)若△405绕着。点旋转图2的位置，若N58=60。，则N49C=120。；
(2)若(TVaV90。，在旋转的过程中/5。。+/4。。的值会发生变化吗？若不变化，请求出这个
定值；
(3)若90。<。<180。，问题(2)中的结论还成立吗？说明理由；
(4)将△Z05绕点。逆时针旋转a度(00<a<180° ),问当a为多少度时，两个三角形至少有一
组边所在直线垂直？(请直接写出所有答案).
279初中数学题型方法全归纳
【变式3】将一副三角板的两个顶点重叠放在一起(两个三角板中的锐角分别为45。、45。和30。、
60°)
(1)如图1所示，在此种情形下，当NNC=4N8Z。时，求NC/K的度数；
(2)如图2所示，在此种情形下，当N4CE=3N5C。时，求N4C。的度数.
【变式4】将三角板按如下要求摆放，回答对应问题.
(1)如图1所示，一幅三角板的直角顶点重合，当NZ)C£=25。时，求N4CB的度数；
(2)如图2所示，两块相同的三角板，且60。角的顶点重合，贝UND48与/。4£满足怎样的数量
关系？请说明理由.
280卷
几何专题・第三章三角形
留题型方法1:三角形稳定性的应用
【题目特征】已知生活中的应用图形，问其科学依据.
【解题方法】三角形的稳定性.
例：如图，为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的 性.
【解析】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性,
故答案为：稳定.
【变式1】木工师傅在做好门框后，为了防止变形常常按如图那样钉上两根斜拉的木板条，即图
中的48、CQ两根木条，其数学依据是三角形的.
【变式2】如图，木工师傅做完窗框后，常像图中那样钉上一条斜拉的木条，这样做的数学原理
是利用三角形的.
【变式3】如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框/BCD,使其不变形，这种做法的根据是
A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性
281初中数学题型方法全归纳
留题型方法2：三角形三边关系
【题目特征】与三角形三边计算有关问题.
【考查知识点】三角形的三边关系：
1.两边之和大于第三边；
2.两边之差小于第三边.
【解题方法】
1 .判断三边能不能构成三角形：只要两短边之和大于最长边即可构成三角形;
2 .已知两边a、b,那么第三边c的取值范围为：b|VcVa + b.
例：已知三角形两边的长分别是3和5,则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 11
【解析】解：设第三边的长为》,
・・•三角形两边的长分别是3和5,
1・ 5 - 3 <x<5 + 3,
即 288.
故选：D.
【变式1】下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 4, 5, 10 B. 7, 6, 8
C. 3.3, 1.2, 1.1 D. 4, 2, 6
【变式2】一个三角形的两边长为12和7,第三边长为整数，则第三边长的最大值是（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
【变式3】四组木条（每组3根）的长度分别如图，其中能组成三角形的一组是（ ）
2cm ________ 2cm ________
A. 2cm ------------- B. 2cm -------------
5cm -------------------------------- 4cm -------------------------
2cm ________ 2cm ________
C. 3cm ------------------- D. 3cm -------------------
5cm 4cm
【变式4］现有两根笔直的木棍，它们的长度是20cm和30酒，若不改变木棍的长度，要做一个三
角形的木框，则第三根木棍的长度可能为（ ）
A. 10。加 B. 20cm C. 50cm D. 60cm
【变式5】一个三角形的3条边长分别为xcvw, （x- l）cm, （x - 2）cm,它的周长不超过39c加，贝!Jx
的取值范围为.
282祢
几何专题・第三章 三角形
留题型方法3：三角形中的角度计算
【题目特征】计算三角形中某角的度数.
【考查知识点】
1 .三角形的内角和为180°；
2 .直角三角形中两锐角和为90°；
3 .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
例：如图，已知NBAD=NABD, ZC=65°,求NA4c的度数.
【解析】解：・・7D_L5C, 入
・ ・・ ZADB= ZADC=90°, /T\
V ZBAD=ZABD, ZC=65°, /
A ZBAD= 1（180o - ZADB）=45°, ZCAD=90° - ZC=25°, C D B
・ ・・ ZBAC=ZCAD+ZBAD=250 + 45°=10°.
【变式1】如图，在△ABC中，4□是BC边上的高，BE平分NABC交AD于点E.若NC=75。,
ZBED=65°f 求NB4C的度数.
【变式2】如图，把一张三角形纸片 SABC）进行折叠，使点4落在5。上的点尸处，折痕为DE,
点D,点E分别在4B和ZC上，DE//BC,若N5=75。，则N及加的度数为.
【变式3】如图，尸是45上一点£是4c上一点,B£、C5相交于点。，N/=70。，NNC尸=30。，/ABE=20。,
则的度数为（ ）
A. 172° B. 80° C. 120° D. 60°
283
■■■■■■■aiaMMi【变式4】如图，在△ZBC中，。是为5上的一点，E是/。上一点，BE, CD相交于R N/=70。,
ZACD=20°, ZABE=2S°,则 NC7名的度数为( )
A. 62° B. 68° C. 78° D. 90°
【变式 5】已知：如图，在△ZBC中，D为BCk一点,Z1=Z2, Z3=Z4, ZBAC=120°,求ND/C
的度数.
【变式6］如图，已知。是△ZBC加。延长线上一点，DF交AC于点E, N/=35。，ZACD=83°.
(1)求N8的度数；
(2)若NZ)=42。，求N4ral的度数.
留题型方法4:三角形的高、中线与角平分线
【题目特征】与三角形的高、中线与角平分线有关的问题.
【考查知识点】
1 .三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简
称三角形的高.
三角形的高的数学语言：
如下图，/。是△ZBC的高，或4。是△ZBC的边上的高，或4D_LBC于。，或乙江出=乙4。。=90。.
284几何专题-第三章 三角形
注意：
(1)三角形的高是线段；
(2)三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫作三角形的垂心；
(3)三角形的三条高：
⑴锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ii)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部;
(iii)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
2 .三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线.
三角形的中线的数学语言：
如下图，4D是△NBC的中线或4。是△ABC的5c边上的中线或5Z>=CD= - BC.
2
注意：
(1)三角形的中线是线段；
(2)三角形三条中线全在三角形内部；
(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
3 .三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分
线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，40是ZUBC的角平分线，或NA4D=NC4D且点。在8C上.
注意：
(1)三角形的角平分线是线段；
(2)三角形的三条角平分线在三角形内部；
(3)三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫作三角形的内心.
285初中数学题型方法全归纳
例1：如图，于点。，GCL5C于点C,。尸，45于点尸，下列关于高的说法中正确的是（）
A. △48。中，4D是5。边上的高 B. △ZBC中，GC是5。边上的高
C. △GBC中，CF是5C边上的高 D. aGBC中，GC是3G边上的高
【解答】解：于点O,
•••△NBC中，4。是边上的高，物4选项正确，8选项错误；
・・・CF_L45于点尸，
•••△GBC中，C厂是5G边上的高，故C选项错误，。选项错误.
故选：A.
例2：如图，在△ZBC中，45=2020, ZC=2018, 4。为中线，则及）与△4C。的周长之差为（ ）
A. 1 B. 2 D. 4
【解答】解：・・7。为中线,
：.DB=DC,
•••△45。与△ZC。的周长之差为：
(AB +AD + BD) - (AD + DC + AC)=AB + AD + BD-AD-DC -AC=AB - 40=2020 — 2018=2,
故选：B.
例3：下列说法不正确的是（ ）
A. 三角形的中线在三角形的内部
B. 三角形的角平分线在三角形的内部
C. 三角形的高在三角形的内部
D. 三角形必有一高线在三角形的内部
【解答】解：4、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误;
6、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；
。、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；
。、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误.
故选：C.
286祢
几何专题・第三章 三角形
【变式1】在中，作出ZC边上的高，正确的是（ ）
B
A B C D
【变式2】如图，AD上BC于D,那么图中以，。为高的三角形有 个.
【变式3】给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内.
正确的命题有（ ）
A・1个 B・2个 C.3个 D. 4个
【变式4】如图，在△45。中，N1 = N2=N3=N4.则下列说法中，正确的是（ ）
A. 4。是△Z5E的中线 B. 是△相C的角平分线
C. 4/是△4CE的高线 D. /£是△45。的中线
【变式5】三角形的角平分线、中线、高都是（ ）
A.直线 B.线段 C.射线 D.以上都不对
【变式6】下列说法正确的是（ ）
A.三角形的角平分线是射线
B.过三角形的顶点，且过对边中点的直线是三角形的一条中线
C.锐角三角形的三条高交于一点
D.三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部
287_______ 套
初中数学题型方法全归纳
【变式7】在△ZBC中，AB=AC, 4C边上的中线及)把△45。的周长分为12c加和15c加两部分，求
三角形的各边长.
【变式8】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面
积相等的四块，请你制定出两种方案供选择.
留题型方法5: “8”字模型
L图形:
2 .条件：和4。相交于点O.
3 .结论：ZA + ZB=ZC+ ZD.
4 .结论的证明：
在八四。中，N4 + NB+N4O5=180。，
在△80中，NC+NZ)+NC8=180。,
又因为 N4O5=NCOZ>,
所以,N4 + N5=NC+NO.
【变式1】观察下图，ZA + ZB+ ZC+ ZD+ ZE=.
【变式2】观察下图，N4+N5+NC+NO+N£+NN=.
288登
几何专题・第三章三角形
【变式3】观察下图，ZCAD +ZB+ ZACE+ ZD + ZE=
【变式 4】观察下图，+ ZB+ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ ZG+ ZH=.
留题型方法6:飞镖模型
1.图形:
2.条件：△为5C内任意一点。，连接08、0C.
3.结论：ZBOC=ZA + ZB+ ZC.
4.结论的证明：
延长5。交4C于点。，
那么，NBDC=/A + NB,
ZBOC=ZBDC+ ZC,
所以，NBOC=NA + NB+ NC.
【变式 1】如图，求NZ + NB+NC+NO+N£+NF=.
289春
初中数学题型方法全归纳
【变式2】如图，求N/ + NB+NC+N。=
【变式 3】如图，N4 + NB+NC+NQ+N£=,
【变式 4】如图，BE平分/ABD, CE平分NACD,且NZ=80。，Z^Z>C=140°,则NB£C=.
留题型方法7: A字模型
1 .图形:
2 .条件：N胡。的45边上取一点ZC边长取一点E连接DE.
3 .结论：Nl + N2=180°+N/.
4 .结论的证明：
Z1 = ZA+ ZAED, Z2=ZA + ZADE,
所以，Z1 + Z2=ZA+ ZAED +ZA + A ADE,
而 ZAED + ZA + ZADE= 180°,
所以，Nl + N2=1800+N/.
【变式1】如图，D、£分别是△48。边上的两点，Nl + N2=214。，则NZ=.
B C
290几何专题・第三章三角形
【变式2】如图，中，ZC=70°,若沿着图中虚线截去NC,则Nl + N2=.
【变式3】如图，在△45。中，ZC=40°,按照图中虚线将NC剪掉后，则Nl + N2=.
留题型方法8：角平分线模型
一、双内角平分线
1 .图形：
2 .条件：BO、CO分别平分N4BC和乙4cB.
3 .结论：ZBOC=90° +-ZA.
2
4 .结论的证明：
ZABC + NZ + N4c5= 180。，ZOBC + ZBOC + ZOCB= 180°,
又因为80、CO平分N4BC、ZACB.
所以，ZABC=2ZOBC, ZACB=2ZOCB,
所以，ZABC + NZCB=2ZOBC + 2ZOCB=2(\80° -ZBOC)=180° - N4
i
所以，ZBOC=90° +-ZA.
2
二、内外角平分线
L图形：
B
291卷
初中数学题型方法全归纳
2 .条件：BD、CD分别平分乙46。和N4C£.
3 .结论：ZD=-Z?t.
2
4 .结论的证明：
由外角性质可知：NDCE=/EBD+ ND, NACE=NABC+ /A,
又因为皿、CD平分N45C、/ACE,
所以，NABC=2/DBC, ZACE=2ZDCE,
所以，ZABC+ ZA=2x(ZEBD+ ZD),
化简可得：ZD=-ZA.
2
三、双外角平分线
L图形：
2,条件：BD、CD分别平分NC5F和N8C£.
3 .结论：ZZ>=90°--Z^.
2
4 .结论的证明：
由外角性质可知：/BCE=NABC+ NA, NCBF=NACB + NA,
由内角和得：ZBCD + ZCBD + ZD= 180°,
又因为m、S平分NC5尸、ZBCE,
所以，ZBCE=2ZBCD, ZCBE=2ZCBD,
所以，ZABC^r ZA-^- ZACB + ZA=2x(lS0° - ZD),
化简可得：ZD=90°--Z^.
2
【变式1】如图，在△Z5C中，P点是N5CK和NCW的角平分线的交点，若NZ=60。，则NP=.
292卷
几何专题・第三章 三角形
【变式2】如图所示，ZABC, NZCB的内角平分线交于点。，N48C的内角平分线与NZCB的外
角平分线交于点。，N45c与NNCB的相邻外角平分线交于点£,且乙4=60。，贝ljN5OC=,
ZD=, ZE=.
【变式3】如图，已知NMON=90。，点分别在射线OM, ON上移动，NO”的角平分线与N4BO
的外角平分线交于点C
(1)当/。45=60。时，求NZCB的度数；
(2)试猜想，随着点/、5的移动，NZCH的度数是否变化？说明理由.
豺题型方法9:老鹰抓小鸡模型
一、基础模型
1 .图形：
A
2 .条件：点尸为//内部一点.
3 .结论：ZDBF+ ZECF=ZA + ZBFC.
4 .结论的证明： B/\ \c
如图，连接zf 7\ ；
由外角性质可知： / V/ \
ZDBF=ZBAF+ ZBFA, ZECF=ZEAF+ ZCFA, 0 % E
所以，NDBF+ NECF=NBAF+ ZBFA + ZEAF+ ZCFA,
所以，ZDBF+ ZECF=ZA + ZBFC.
293初中数学题型方法全归纳
二、内翻折模型
1 .图形：
2 .条件：
把的NN沿着5C翻折后，Z点落在尸点位置（厂点在N4内）.
3 .结论：ZDBF+ ZECF=2ZA=2ZF.
4,结论的证明：
由基础模型可知：NDBF+ /ECF=NA + /F,
而 N4=NR
所以，ZDBF+ ZECF=2ZA=2ZF.
三、外翻折模型
1 .图形：
2 .条件：
把△4DE的NZ沿着翻折后，4点落在E点位置(尸点在N4外).
3 .结论：/DBF- /ECF=2/A=2/F.
4 .结论的证明：
由外角性质可知：NDBF=NA + NAGB, ZAGB=ZECF+ ZF,
所以，DBF- NECF=/A+ NAGB-(NAGB - NF)=N4 + NF,
所以，ZDBF- ZECF=2ZA=2ZF.
【变式1】如图，将ZUBC纸片沿着折叠，点Z的对应点为⑷，若N5=60。，NC=80。，则N1
+ Z2=.
294卷
几何专题・第三章 三角形
【变式2】如图，将△Z5C纸片沿着折叠，点5的对应点为*,若Nl + N2=80。，则N5=
【变式3】如图，将△ZBC纸片中NC沿着折叠，使点。的落在△48。外的点。处，若乙4二65。,
/B=75。, Zl=20°,则 N2=
留题型方法10：边的大小关系证明
【题目特征】证明线段之间的大小关系.
【考查知识点】三角形的的三边关系：
1.两边之和大于第三边；
2.两边之差小于第三边.
【解题思路】把不等式两端的边数化为2:1,然后利用两边之和大于第三边进行求解；或者利用几
个不等式合并得到所要的不等关系.
【解题方法】可利用以下两个模型进行求解：
1. “8”字模型边的关系
如图，和4。相交于点。.则8C + 4DN45 + CD ，
证明方法：在中，OA + OB >AB, Z__'
在△OCD中，OC+OD>CD, 外、
・•・ OA + OB + OC+ OD>AB + CD,
C D
：.BC + AD>AB + CD.
2 .飞镖模型边的关系
如图，△4SC内任意一点。，贝lUS+ZOBO + CO.
A
B C
证明方法：延长5。交4C于。，
A
在中，AB+AD>BO + OD, A
在△OCZ）中，CD + OD>OC, / \
：.AB+AD + CD + OD>BO + OD + OC, /
：.AB+AC>BO + CO.
B C
295初中数学题型方法全归纳
例：如图，点。为内部一点.
求证：(1) 2(A0 + BO + CO)>AB + BC +AC；
(2) AB + BC + AC>AO + BO + CO.
【解析】(1)要证2(/O + 5O + CO)〉45 + 3C + ZC,两边线段个数比刚好是2:1,可以考虑利用
三组不等式的和得到，这样，通过三个三角形的边的不等关系，就可以得到三组不等式了.
(2)要证45 +5C +4049+ 50 +CO,两边线段比不是2:1,尝试乘2的方式，线段比例依然
转化不到2:1,此法行不通.所以，考虑构建其他的三角形, 重新构建不等关系.可延长50MC于
这样就有三角形了，利用三边关系去解题.
【解答】证明：(1)在中，OA + OB>AB,
在△OZC中，OA + OC>AC,
在/XOB。中，OB + OOBC,
：.OA + OB + OA + OC+OB + OOAB + BC + AC,
：.2(4。+ B0 + CO)>AB + BC + AC.
(2)延长50克4c于
在△ZAD中，AB+AD>BO + OD,
在△OCD中，CD + OD>OC,
：.AB + AD + CD + OD>BO + OD + OC,
：.AB + AC>BO + CO.
同法可证：BA+BOAO + CO；
CA + CB>AO + BO.
：.AB + AC + BA+BC+CA + CB>BO + CO + AO + CO + AO + BOf
：.2(AB + BC + AC)>2(AO + BO + CO),
：.AB + BC + AC>AO + BO + CO.
【变式I】如图，AC.如是四边形45CQ的对角线，且4C、助相交于点O.
求证：(1) AB + CD<AC + BD；
(2) AC + BD>^(AB+BC+CD-^-AD).
296祢
几何专题-第三章 三角形
【变式2】三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，£位于线
段。上，。位于线段上.
(1)说明为什么；
(2)说明为什么48 + 4C>D3 + OC；
(3) AB + BC + CA^(DA + DB + DC),哪一个更大？证明你的答案；
(4) AB + BC + C4与D4 + DB + QC ,哪一个更大？证明你的答案.
留题型方法11：面积比问题
一、三角形底相同时，面积比等于高之比
L图形：
2 .条件：
如图，△Z5C中边上的高为△以» 中边上的高为
3 .结论：SABCD ： SAABC = DF ： AE .
4 .结论的证明：
S = —BC x DF 9 = —BC x AE ，
abcd S^abc
2 2
所以,S = DF : AE .
"cd : Slabc
二、三角形高相同时，面积比等于底之比
1 .图形：
2 .条件：如图，△48C中，D为BC上一点.
3 .结论：S4ABD ： SAACD = BD ： CD .
4 .结论的证明：
设△45C边上的高为九 那么S△加=!及)x〃，S.ACD = -CDxh .
2 2
所以，S^ABD : SXACD = BD : CD .
297卷
初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图所示，平行四边形458中，AE=EF=FB, AG=2CG, Z\G斯的面积是12c加？，平
行四边形/夕C。的面积是多少平方厘米？
【变式2】如图所示，把△。斯的各边向外延长后得到△N8C,已知△45。的面积为468,且CF=FE,
AD=2DF, BE=3ED,那么底尸的面积是多少？
【变式3】如图所示，平行四边形/BCD, BE=AB, CF=2BC, DG=3DC, AH=4AD,求平行四边
形45CD与四边形EFG”的面积比.
H
298几何专题-第三章 三角形
留题型方法12：等面积法
等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面
积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.
一般情况下：一种是利用面积公式表示三角形面积，另一种是利用割补法表示三角形的面积.
【变式1】如图，△45C中，45=8, BC=7, 4碇1上的高CQ=3,则8c边上的高力£=_______
A D
【变式2】如图，小方格的边长都是1的正方形, 则△48C中边上的高等于_______ .
F B E
【变式3】如图，在ZUBC中，ZC=90°,两直角边ZC=5, BC=12,在三角形内有一点P,它到各
边的距离相等，则这个距离是_______ .
c D
【变式4】如图所示，等边△4方。内一点尸到三边距离分别为1、2、2 则ZUBC的边5C上的高
为________.
B E C
【变式 5】如图，△NBC 面积为 20, AB=AC=\G, DE LAB, DFLAC, 贝⑺£ +。尸=________.
A
B D C
299初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:全等三角形性质
【题目特征】根据全等三角形推导边角关系.
【考查知识点】全等三角形的定义和性质：
1.定义：
4'
全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形.
A
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. ZX ZX
完全重合时，互相重合的点为对应点；
Bf C B C
互相重合的角为对应角；
互相重合的边为对应边.
2.性质：
（1）全等三角形的对应边相等.
若△/BC 丝贝 |J45 = 4'B', BC = BC , AC = AfC\
（2）全等三角形的对应角相等.
若 LABC 必 ABC ,则 NZ=N/', ZC=ZC\
（3）全等三角形的周长相等，面积相等.
若△ABC 注△ A'B'C' , J80 9 Sl^ABC =
ClABC = ClA,B,C' SlA,B'C' .
例：如图，点E在45上，/C与相交于点尸，△Z5C四△OEC, NB = 65°.
(1)求的度数；
(2)若N4=20。，求NOE4的度数.
X
A E B
【解析】(1)证明：V/\ABC^ADECf
：.CB=CE, /DCE=/ACB,
:・/CEB=/B= 65°,
在△5EC中，NC£5+NB+N£CB=180。，
J NECB=180。- 65° - 65°=50°,
又/DCE=/ACB,
：.ZDCA=ZECB=50°；
(2)解：•・•△ABSdDEC,
：.ZD=ZA=20°,
在△£＞尸。中，ZDF4=ZDCA + ZD=500 + 20°=70°.
300几何专题・第四章全等三角形
【变式1】如图，。、力、£三点在同一条直线上，助，。£于点。，CE工DE于点E,且ZU及)g△C4£,
AC=4.
(1)求NA4C的度数；
(2)求△/BC的面积.
【变式2】如图，4、D、£三点在同一直线上，且4B4D出4ACE.
(1)求证：BD=DE + CE；
(2)请你猜想皿满足什么条件时，BD//CE.
【变式3】如图，已知之△CQE.
(1)若 N8=30。，ZZ)CF=40°,求 NEFC的度数;
(2)求证：AE=CF.
【变式4】如图，△ACFQADBE,其中点/、B、C、。在同一条直线上.
(1)若BEL4D, ZF=63°,求N4的大小；
(2)若47)=11。加，BC=5cm,求ZB的长.
301初中数学题型方法全归纳
留题型方法2：全等三角形判定
【题目特征】证明两个三角形全等.
【考查知识点】全等三角形的判断方法:
判定方法 解释 图形
边边边
三条边对应相等的两个三角形全等
(SSS)
44
边角边
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
(SAS)
角边角
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
(ASA)
角角边 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 az
(AAS) 全等
斜边、直角边
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(HL)
注意：
(1)全等的理解，对应边相等，对应角相等的三角形，叫作全等三角形.
(2)全等的表示，若△ABCmAA'B'C',则前后对应关系确定；若△Z5C与△⑷*。全等，则
前后对应关系不确定.
(3)在全等三角形判定中，有两种不能判定判定三角形全等的方法：SSA^AAA.
反例：如下图1,在等腰ZUDC中，AD=AC,延长CD至一点5,连接48,观察△诩/)和△胡C,
AB=AB, AD=AC, NB=/B,两边一角相等，但是很明显两个三角形并不全等；
又如图2, AABC和/\DEF,两个三角形三个角分别相等，但是两个三角形并不全等.
例：如图，AB=AC,角平分线即、C£交于点。，40与BC交于点D,则图中共有( )对全等
三角形.
D. 5
【解答】解：・.Z5=/C,角平分线8尸、CE交于点O,
・・・4。平分NB4C,点。为5C的中点,
302几何专题・第四章 全等三角形
公众号·全科A+
：.BD=CD,
AB = AC
在△34。和△C4D中，\AD = AD ,
BD = CD
：・ABADmLCAD (SSS)；
同理可证：△OBD9MOCD, △OBE"XOCF, 区4丝△0£4, △054名△OC4, △BEC^ACFB,
△ABF 义 4ACF,
由上可得，图中共有7对全等的三角形.
故选：B.
【变式1】卞师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们在
NZ05两边上分别取0M=0N,前者使角尺两边相同刻度分别与M, N重合，角尺顶点为P；后者分别
过M, N作04,的垂线，交点为尸，则射线0尸平分N498,均可由之△（?%?得知，其依据分
别是（ ）
【变式2】如图，四边形的对角线4C、AD相交于点。，OA=OB, OC=OD.求证:
(1) AB//CD；
(2) AABC会4BAD.
【变式3】如图，点4、E、F、5在直线/上，AE=BF, AC//BD, S.AC=BD,求证：AACFm4BDE.初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，点B、RC、£在同一条直线上，/B=/E, /A=ND,BF=CE.求证：AABC^ADEF.
【变式 5】如图，及△NBC中，ZABC=90°, EF//BC, PG//AB, AP=CF,求证：dAEF义APGC.
【变式6】如图，在ZUBC和尸中，边4C、DE交于点H, AB//DE, AB=DE, BE=CF.
(1)若NB=55。, N4c3=100。，求NC7汨的度数.
(2)求证：AABC^ADEF.
A D
304春
几何专题・第四章全等三角形
【变式 7】如图，DE工AB于E, DFLAC^F,若BD=CD, BE=CF.
(1)求证：4D平分NH4C；
(2)直接写出ZB+4C与4E之间的等量关系.
留题型方法3:辅助线的意义
| 【辅助线的目的和作用】
(1)揭示图形中隐含性质的作用：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线,
将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.
(2)聚拢集中作用：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使
它们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.
(3)化繁为简作用：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑
:关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简，化难为易的目
的.
|【添加辅助线的基本作图方法】
(1)连接两点：连接**;
(2)作延长线：延长**交**的延长线于点*;
(3)作平行线：过点*,作**的平行线，与**交于点*;
(4)作垂线：过点*,作**的垂线，垂足为点*.
例：如图，AB=AE, /ABC=NAED, BC=ED,点方是CZ)的中点.求证：AFLCD.
【解析】解：连接ZC、AD,
•：AB=AE, NABC=/AED, BC=ED,
：.LABC沿 4AED,
：.AC=AD,
・••点厂是CD的中点，
:.CF=DF,
：.△ACFmdADF,
B
：.NAFC=/AFD,
•・・ ZAFC+ ZAFD=1SO°,
：.NAFC=90。,
：.AF1.CD.
305初中数学题型方法全归纳
【变式1】有两条边相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有条重要的性质：等边对等角,
等角对等边，那如何证明这个结论呢？
(1)已知：如图1,在中，AB=AC,求证：ZB=ZC.
(2)已知：如图2,在△45C中，/B=/C,求证：AB=AC.
【变式2］如图，已知AD LAC, BC上BD,求证：AD=BC.
【变式3】在凸五边形中，ZB=ZE, NC=ND, BC=DE, M为C。中点.求证：AM LCD,
306几何专题・第四章 全等三角形
留题型方法4：倍长（类）中线
1 .作法：
延长?**到*, ^^**=**,
如图，在△ZBC中，为中线，则延长4M到点T,使7M=4M,连接3T（CT）.
2 .目的：
产生一对"S的全等三角形，得到对应边相等，对应角相等.
3 .两个重要总结：
（1）倍长中线不重要，重要的是倍长过中点的线；
如图，在△45。中，M点为的中点，N点为4c上任意一点，则延长到点T,使TM=NM,连:
接
（2）倍长中线后，连接哪个点不重要，重要的是构造二次全等.
例：已知：△ZBC中，AOAB, 4M是中线.求证：AC-AB<2AM<AB+AC.
【解析】解：如图所示，延长到£, \tEM=AM,连接C£,
利用网S证得
：.AB=CE, ZUCE中，AE<AC+CE,
：.2AM<AB + AC, 2AM>AC-AB,
：.AC-AB<2AM<AB + AC.
【变式1】如图，在ZUBC中，4。平分NA4C, E、/分别在&）、4。上，DE=CD, EF=AC.
求证：EFHAB.
307初中数学题型方法全归纳
【变式2】已知4。为ZUBC的中线，在上有一点£, /C上有一点R 连接DE、DF, S.DELDF,
求证：BE+CF>EF.
【变式3】在ZUBC中，AB=AC, C氏艮48边上的中线，延长Z3到。，^BD=AB.求证：CD=2CE.
【变式4】如图，在入州。中，。是5c的中点，£是4。上一点，BE=AC, BE的延长线交4C于点尸.求
证：NAEF=/EAF.
【变式5】在中，分别以45、4c为边长，向三角形的外侧作正方形/及用和正方形为CFG,
M为 5C 中点，求证：(1) £G=24Vf； (2) AM LEG.
308拳_______
几何专题-第四章全等三角形
寻题型方法5：截长补短法
题目条件或求证结论中含有“a=b + c”的形式，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.
1 .截长补短指的是两种方法：截长法和补短法.
(1)截长法：在**上，截取**=**,连接**；
: :
(2)补短法：延长**到*,使**=**,连接**.
2 .目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，最终将多条线段转化为两
条相等的线段.
假如要证明48 + CD=EF.
A ...
C----------------D
| E，__________________•尸
可有如下思考方式：
(1)截长法：可从长线段所上先截一段£G=Z5,接着证明FG=CD即可.
(2)截长法：可从长线段所上先截一段£G=CD,接着证明FG=4B即可.
⑶补短法：可延长至G,使得BG=CD,再正4G=M即可.
或者延长45至G,使得4G=ER再证8G=CD即可.
-----1G
A •
2-
B
当然，延长以证明方式相同.
(4)补短法：可延长CD至G,使得DG=4B,再证CG=M即可.
或者延长CD至G,使得CG=£R再证。G=45即可.
° 不…G
当然，延长。。证明方式相同.
例：如图，四边形43c。中，ADUBC, ZB=36°f ZC=72°,求证：AB + AD=BC.
方法1：
【解析】要证+ 可以使用截长法和补短法，先来尝试一下截长法，长边5C上截出一
段等于4。，那么可以从8端截，也可以从。端截，那么，我们先从5端截一段仍，使得BE=4。,然后
再证C£=4S即可.
309初中数学题型方法全归纳
【解答】证明：在5c上截取一段使得BE=m
又•： AD/IBC,
・・・四边形45瓦)是平行四边形，
C.ABUDE, AB=DE,
:.ZB=ZCED=36°J
又,.・/。=72。，
：.ZCDE=72°=ZC,
；・CE=DE=AB,
：.AB + AD=CE + BE=BC.
方法2：
【解析】方法1是从5端截，现在从。端截一段CE,使得C£=4。，然后再证即可.
【解答】证明：在上截取一段C£,使得CE=4Q,
又•： ADHBC,
・・・四边形ZDCE是平行四边形,
：.AEHCD,
：・NC=/AEB=72。,
又•: /B=36。,
:./BAE=720=/AEB,
:・BE=AB,
：.AB + AD=BE + CE=BC.
方法3：
【解析】方法1和方法2都是截长法，现在我们尝试使用补短法来证明.那么，补短的话，可以补
AD,也可以补4反 我们就先尝试补Z5来试一下，要把，8延长，可以向两端延长，如果是延长至£,
不好证明Z£=5C.这样我们延长四试一下，可以延长以和CD交于£点进行证明.
【解答】证明：延长A4和CD,交于£点,
,:ADHBC, N5=36。，NC=72。，
：・NEAD=NB=36。, NADE=NC=72。,
：./E=72。,
:・/C=/E=NADE,
：.AE=AD, BE=BC.
:・AB + AD=AB + AE=BE=BC .
方法4：
【解析】方法3是补45,现在我们补AD试试，首先延长04至£,使得/£=/-然后再证Z)£=5C
【解答】证明：延长以至£,使得4E=4B,
又•: AD//BC, 、---- /-------?
J ZBAE=ZABC=36°, ZD + ZC=180°, \
ZD=108°, B C
310当
几何专题・第四章 全等三角形
又•： AE=AB,
：./E=NABE=720=/C,
：.ZEBC=10S0=ZD,
・・・四边形5CQE是平行四边形，
：.DE=BC,
：.AB + AD=AE + AD=DE=BC.
方法5：
【解析】方法4是延长现在我们延长力。试试.过点C作48的平行线交加）的延长线于点£,然
后证明DE=AB, 即可.
【解答】证明：过点。作力3的平行线交4。的延长线于点£,
又•： ADHBC,
・・・四边形4BCE是平行四边形，
：.AB=CE, BC=AE, A D______ £
：・NE=/B=36。, ZCDE=ZBCD=72°, \ /
：.NDCE= 180°-Z CDE - AA- ZE=72°, g ----------- q
：.NDCE=NCDE,
:・DE=CE=AB.
：.AB + AD=DE + AD=AE=BC.
【变式 1】如图，在ZX/BC中，/B=2/C, ADLBC^D,求证：CD=BD + AB.
【变式2】如图，正方形/BCD中，M. N分别是5C、CD上的点，且NMZN=45。.求证：MN=BM
+ DN.
311初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，△ZBC是等边三角形，△四。是顶角NBQC=120。的等腰三角形，以。为顶点作
一个60。角，角的两边分别交43于交AHN,连接祢V,求证：MN=BM+ CN.
【变式4］已知四边形，5C。是正方形，E、尸分别在CB、CD的延长线上，ZEAF=135°.求证：BE
+ DF=EF.
【变式 5】五边形ABCDE中，4B=AE, BC + DE=CD, ZABC+ ZAED=1SO0.求证：4)平分NCZ)£.
312几何专题・第四章全等三角形
留题型方法6：角平分线+垂一边
当已知角平分线时，根据角平分线的性质，过角平分线上一点，向角两边作垂线，那么垂线段相
等.
尤其是当已知角平分线+垂直一边时，要立刻想到向角的另一边作垂线.
如图，N4BC的角平分线AD, DFLBC与F,
那么，作与瓦点，则△及）方之
例：如图，在比△ZBC中，ZACB=90°, N4=30。，BD平分NABC,若8=3,求ZD的长度.
【解析】已知平分线加上一点，到一边5。上的垂线，所以，过NZ5C的平分线及）的点。向另一
边以引垂线，根据角平分线的性质解题.
【解答】解：作于£点，则。£=CZ）=3,
•・•在及△4DE中，乙4=30。，
：.AD=2DE=6.
【变式1】如图，NZHN=NCBN,尸点为3N上的任意一点，并且PQ_L5C于点。，AB + BC=2BD,
求证：NBAP+ /BCP=T800.
【变式2】已知，如图，/尸、C尸分别是△ZBC外角NK4c与NNC4的平分线，它们交于P, PDLBM
于。，PFLBN于F,求证：5尸为NMSN的平分线.
313初中数学题型方法全归纳
【变式3］如图，已知：在△ZBC中，ZBAC=90°, ADLBC^D, N8C4的角平分线交4。于尸，交
AB于E, FG//BC^AB^G. AE=4cm, AB=12cm,贝!)BG=, GE=.
留题型方法7:角平分线+截线
当已知条件中出现。尸为NZOB的角平分线，尸以不具备特殊位置时，相当于是一条截线，在射
线。4上截出了一段0M.
那么，辅助线的作法为在角的另一边03上截取ON=OM,作截线PN即为辅助线.即有
△OMP”AONP,利用全等的性质即可解题.
例：如图，△4&C中，AB=AC, N/=108。，CD平分NBC4交45于D 求证：BC=CA+BD.
【解析】角平分线C。上一点。，有截线04在C4上截了一段C4,所以，可在另一边C5截取一段等
于C4.同样，可以把当作截线，那么在另一边。上截取一段等于凄也可以.所以，就产生了两种
辅助线做法.其实，这两种做法，就对应的是“截长法”和“补短法”.
【解答】方法1：
证明：在8C上截取C£=C4,连结
易证ACDE公ACD4,所以NO£C=N4=108。，
・•・ ZDEB=1SO° - ZDEC=12°,
'：AB=AC, NZ=108。，
・•・ Z5=1(180o-108°)=36°,
在中，ZBDE=\S00- ZB - ZBED=12°,
：./BDE=/BED,
:・BD=BE,
314卷
几何专题・第四章全等三角形
可得 5C=C4+5D
方法2：
证明：延长C4至£点，使得CE=CB,连接。£,
在5c上截取C£=C4,连结。0
易证△CD8义
A ZE=Z5=36°, DE=BD,
・・・Z^=108°,
J ZBAE=12°9
：.ZADE=72°=ZBAE,
：.AE=DE=BD,
：.BC=CE=CA +AE=CA+BD.
【变式1】如图，已知：中，Z1=2ZA, CD平分N4CB,求证：AC=BC + BD.
【变式 2】已知：如图，AB=2AC, NBAD=/CAD, DA=DB,求证：DCLAC.
【变式3】已知，在四边形中，夕。＞/3,4。=。。,5。平分//5。求证：ZBAD + ZBCD=1SO0.
315卷
初中数学题型方法全归纳
―一一――工一
【变式4】如图，P为△45。的外角平分线上任一点.求证：PB + PC>AB + AC.
留题型方法8：角平分线+分垂线
当已知条件中出现。尸为N403的角平分线，PMLOP （MP称为分垂线）于点尸时，如下图:
辅助线的作法为：延长以交。8于点N即可，即有△OMPg△ONP, △OAW是等腰三角形、OP
是三线合一的那条线，利用相关结论解决问题.
例：如图，在△48。中，CD是N/C5的平分线，4QJ_CQ于点。，。片〃5C交48于点£,求证:
EA=EB,
【解析】已知条件中出现CD为NZCH的平分线，ADJlCD于点D,属于角平分线十分垂线.辅助线
的作法是延长ZD交8c于点尸，即有△CZ尸是等腰三角形、CD是三线合一的那条线，利用相关结论解
决问题.
【解答】证明：延长4。交5C于点正
CD 平分 NACF,
：.ZACD=ZFCDf
又AD上CD, CD=CD,
：./\ADC^/\FDC,
：.AD=FD,
又,： DEI/BC,
：.EA=EB.
316mu
卷_______
几何专题・第四章 全等三角形
【变式1］如图，。是八州。的5c边的中点，4E平分NB4C, 4E上CE于点E,且45 =10, 4c=16,
则国的长度为.
A
【变式2】已知，如图，在aA45C中，AB=AC, ZBAC=90°f BD平分NABC, C£，及）交5。的
延长线于£,求证：BD=2CE.
【变式3］如图，已知在△XBC中，4D平分NH4C, BDLAD, BE=AE,求证：DE//AC.
【变式 4】如图所示，在 ZUBC 中，/ABC=3/C, Z1 = Z2, BE LAE,求证：AC-AB=2BE.
317初中数学题型方法全归纳
【变式5］如图，已知在△48C中，CF平分/ACB,且4F_LCF于点尸，AE1平分△ZBC的一个外角,
且于点及
(1)求证：EF//BC；
(2)若BC=5, AC=4f EF=4,求45的长.
留题型方法9：角平分线+平行线
当已知条件中出现。尸为NZ05的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法为过点尸作
H/〃或尸即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
或者，M点为04上一点，辅助线的作法为过点M作尸M〃08即可.即有△0MP是等腰三角形，利
用相关结论解决问题.
例：如图，AB//CD, AE、分别平分NA4D和N/DC,探究.：在线段4。上是否存在点"，使
得AD=2EM.
【解析】已知条件中出现4£、分别平分NA4。和44OC,点£为角平分线上一点.考虑辅助线
的作法：过点£作到/〃48,或EM//CD,即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题..
【解答】解：过点£作£以〃/8,
,:EM〃 AB,
：./MEA=NBAE,
又・：AE平分NBAD,
：./MAE; NBAE,
318卷________
几何专题-第四章全等三角形
・・・ ZMAE=ZMEA,
：.AM=EM,
又•： AB 〃 CD, EM//AB,
：.EM//CD,
同理可得：DM=EM,
又•： AM+DM=AD,
：.AD=2EM,
J线段4D上是否存在点“，使得4。=2£".
【变式1】如图，在中，N45C与NZC5的角平分线相交于点R过尸作交AB于点
D,交AC于点、E,若BD + CE=9,则线段之长为.
【变式2】如图，在△45C中，BD、CD分别平分N/5C和NZC5, ED//AB, FD//AC,如果BC=6c加,
则△£>£尸的周长为.
【变式3】如图，N/5C的平分线与N4C8的外角平分线相交于点D,过点、D作EF//BC,交AB于E,
交24c于尸，若5£=8c加，CF=5cm,则EF=.
319留题型方法10：二倍角的处理
要证明2倍角，可将二倍角转化为角相等.转化思路如下:
思路1 .找到大角的一半，然后证大角的一半和小角相等.
找大角一半的方法：①作大角的角平分线.
如图，NABC=2/C,可作大角N力5C的角平分线，这就找到了大角乙45c的一半，同时构造出
等腰△BCD.
②构造等腰三角形，把大角作为等腰三角形顶角的外角，那么两个底角就是这个大角的一半.
如图，NABC=2NC,可反向延长大角的一边，延长长度等于另一边，这样也就找到了大
角N45。的一半，同时构造出等腰△NAD.
思路2.找到小角的2倍，然后证它的2倍和大角相等.
找小角2倍的方法：①构造等腰三角形，利用垂直平分线构造等腰三角形，把小角作为等腰三角
形的底角，那么顶角的外角就是小角的2倍.
如图，ZB=2ZC,可作小角NC的一边ZC的垂直平分线正，交另一边于一点尸，连接4F,那么
利用外角的性质，就得到了小角NC的2倍NZ出.
②利用对称，把小角的一边作为对称轴，作另一边关于对称轴的对称射线，那么，另一边和它的
对称射线就是小角的2倍.
如图，NB=2/ACB,可以小角NZC5的一边4C的对称轴，作另一边CB的对称线CE,交助的延
长线于£点，这样就构造出了小角NNCH的2倍NECh 同时，出现等腰△房C.
思路3 .设一个角为a,通过边角计算，计算出另外一个角为2。，
320注：当题目中已知有2倍角时，可以通过以上4种方式将这个2倍角的条件转化为角相等.
例：已知，如图，在△Z8C中，AB=AC, 于。，求证：ZBAC=2ZCBD.（用以上五种
方法证明）
方法1：
【解析】要证NA4c=2NCHD,先想办法构造小角NC3Z）的2倍，可以8D为对称轴，作C点的对
称点£点，连接与点，这样就找到了NCHD的2倍角了，接下来证明其2倍角NC5E和NB4C相等就可
以了.
【解答】证明：在以上取一点£,使得DE=DC,连接HE,
又。于。，
A
，如是C£的垂直平分线， A
：.BC=BE, /CBD=NEBD, / V
：・NCBD=/EBD, NCBE=2/CBD, // \d
・・・△BCE为等腰三角形，NC是其一底角,
而△ZBC也是等腰三角形，NC是其一底角， B C
•••△BCE和△NBC的顶角也是相等的，
即 ZBAC=ZCBE,
：.ZBAC=2ZCBD.
方法2：
【解析】要证NA4C=2NC5D,继续想办法找到小角的2倍，做8C边的垂直平分线交另一
边BD于F点,连接CR那么NCED就是NC8D的2倍，接下来只需要证明NA4c和NCED相等就可以
了.
【解答】证明：做5C边的垂直平分线瓦咬助于凡点，连接CR
那么，BF=CF,
A
：.ZCBD=ZBCF, 入
'：ZCBD+ ZBCF=ZCFDJ / \
：.ZCFD=2ZCBDf / \D
a：AB=AC,
：.NABC=/ACB,
：.ZABD=ZACF,
•：BDL4C,
・・・ ZABD + ZBAC=90°, ZACF+ ZCFD=90°,
：.ABA C= Z CFD=2 Z CBD.
321初中数学题型方法全归纳
方法3：
【解析】要证NA4C=2NC5, 也可以想办法找到大角NA4C的一半，可以直接作NA4C的平分
线得到其一半NC4E,接着只需要证明NC4E和相等就可以了.
【解答】证明：作NA4C的平分线4E交5c于£,
9：AB=ACf
:・/BAE=/CAE, ZAEC=90°,
：.ZCAE+ ZC=90°,
又,.・HDJ_ZC于。，
・・・/BDC=90。,
：.ZCBD+ ZC=90°,
：.ZCAE=ZCBD,
：.ZBAC=2ZCBD.
方法4：
【解析】要证NA4C=2NCBD,继续想办法找到大角NA4C的一半，延长以至二 ^AE=AB=AC,
那么，NA4c的一半就找出来了，接着只需要证明N5EC和NCBQ相等就可以了.
【解答】证明：延长以至£,使得4E=4B,
U：AB=AC, 也
：.AE=AB=AC, /[
/ j
A ZBEC=ZACEf ZBCE=90°, / i
/ I
又,: NBAC=/BEC+ NACE, Al «
A ZBAC=2ZACE, /\ ；
又,.,BQ_L4C 于 D, /
・・・ ZBDC=90°, B \； c
：.ZCBD+ ZBCD=90°f
而 NZC£+N5C0=9O。，
・•・ /ACE=/CBD,
：.ABA C=2 ZA CE=2 Z CBD.
方法5：
【解析】要证NA4C=2NC及），可设小角NC5Z＞为a,通过边角计算得到NA4C的度数，然后对
比找到两个角度之间的关系.
【解答】证明：设NCBD为a ,
'CBDLAC^D,
.*.ZC=90o- a ,
,：AB=AC,
：.ZABC=ZC=90°- a ,
：.ZBAC=\SO0 - 2(90° - a )= 2a,
：.ZBAC=2ZCBD.
322卷
几何专题・第四章 全等三角形
【变式1】如图，在△ZBC中，/B=2/C, 4D是/胡。的角平分线，求证：AB + BD=AC.
【变式2】如图，在△45C中，ADLBC, /B=2/C,求证：AB + BD=CD.
【变式3】如图，△/5C中为等边三角形，。是"延长线上一点，E是CD上一点,且CE=/C, EA
的延长线交C5的延长线于点尸，求证：ZD=2ZF.
323卷
初中数学题型方法全归纳
囱题型方法11： K型全等（一线三垂直）
1 .图形：
2 .条件：CD=CE, NDCE=90。,过点C做一条直线，再分别过。、£两点做直线的垂线，垂足分别
为点/、B.（等腰直，过顶点一直线，过两端点向直线引垂直）
3 .结论：△ZCD义△5KC.
在 图1中，AB=DA + EB.（即两个垂线段之和等于垂足的距离）
在 图2中，AB=\DA-EB\.（即两个垂线段之差等于垂足的距离）
4 .结论的证明：
在图1中：
因为乙4二90。，ZZ>C£=90°,
所以，ZD+ ZACD=90°, NBCE+ /ACD=90。,
所以，ZD=ZBCE,
又乙4=N5=90。，CD=CE,
所以，AACD^/XBEC,
所以，DA=BC, EB=AC,
所以，AB=AC + BC=DA + EB.
在图2中：
因为NO4c=90。，/DCE=90。,
所以，ZD+ ZDCB=90°, NBCE+ NDCE=90。,
所以，ND=/BCE,
又NDAC=NCBE=90。, CD=CE.
所以，/XACD^ABEC,
所以，DA=BC, EB=AC,
所以，AB=BC-AC=DA-EB.
【变式 1】如图，已知 CD=CE, Z£>C£=90°, DA LAB, EBLAB,若 40=5, BE=3,贝"5=.
D
A B
324春
几何专题・第四章 全等三角形
【变式2】如图，等腰直角△ZBC中，AC=BC, BE上CE于点、E, 4OJLCE于点。，若DE=6, 40=9,
则 5£=.
【变式3】如图，在坐标系中，点4(0,3), C(l,0), AC=BC, ZACB=90°f则5点坐标为.
【变式 4】女口图，ACLCE, AB=CD=5, BC=6, DE=U,贝！JN/FF=.
【变式5】如图，已知NZ=22.5。，ZC=45°, 45=12,求S△用的值.
325祢
初中数学题型方法全归纳
号题型方法12：手拉手模型
一、认识模型：
1 .图形：
2 .条件：如图，两个等腰三角形，8。和有公共顶点4并且其顶角相等，即NH4C=NQ4£,
连接及入CE.
3 .结论：4ABDmLACE, BD=CE.
4 .结论的证明：
•・• /BAC=NDAE,
：.NBAC+ ZCAD=ZDAE+ ACAD,
・•・ /BAD=NCAE,
又・：AB=AC, AD=AE,
：.AABD咨 LACE.
:・BD=CE.
二、模型判别
1•头的判别：
等腰三角形的公共顶点.
2 .手的判别：
将等腰三角形旋转至顶点向上，正对自己，
自己左边为左手顶点，右边为右手顶点.
3 .手拉手模型：两个顶角相等的等腰三角形.
头顶头，左手拉左手，右手拉右手.
那么，头左左且头右右.
这样，两个三角形全等，即△ZHQgZXZCE.
左手拉左手等于右手拉右手，即及ACE.
三、常见模型种类
模型1： 一般等腰三角形手拉手
两个顶角相等的等腰三角形共顶点,
那么：AABD^/\ACE.
326卷
凡何专题・第四章。全等三角形
模型2：等边三角形手拉手
那么：4CAE会/\CBD.
模型3：等腰直角三角形手拉手
等腰直角△45C和等腰直角△，用的手拉手模型,
那么：AABD义LACE.
模型4：正方形手拉手
两个正方形4BCD和。EFG共顶点。，
相当于等腰直角ZXD4c和等腰直角△QEG的手拉手模型，
那么：ADAE乌ADEG.
注：正方形的手拉手模型，可以看作是两个等腰直角三角形构成的手拉手模型.
【变式1】如图，等腰ZUBC和等腰点。是公共顶点，AC=BC, CD=EC, ZACB=ZDCE,
求证：(1) △C4D之△C5£；
(2) AD=BE；
(3) ZAFB=ZACB；
(4) FC平分/AFE.
327初中数学题型方法全归纳
【变式2】如图，力、C、£在一条直线上，两个等边△ZBC和△CQE, 和交于。点，AD^BC
交于尸点，5£和。。交于0点.
求证：(1) /\CAD^/\CBE,
(2) AD=BE,
(3) ZBOA=60°,
(4) AACP名△BCQ, △OCPQXECQ,
(5) △(??0是等边三角形，
(6) PQ//AE,
(7) OC平分N/OZ,
(8) AO=BO + CO, EO=OC+OD.
【变式3】如图，两个等腰直角△405和△£(?尸，点。为公共顶点，连接/£、跳相交于点G,连接
OG, AE交0B于M点、,B眩OE于N点、.
求证：(1) AOAE^/\OBF,
(2) AE=BF,
(3) ZAGB=90°,即/£_L5R
(4) GO平分NZGR
(5) ZOGA=ZOGF=45°,
(6) AG = BG + 42OG ； FG = EG +庖G.
328几何专题・第四章全等三角形
留题型方法13：婆罗摩笈多
L图形:
2 .条件：如图，△4SC和△/£>£是等腰直角三角形,连接肛CE,
过4点的直线交皿、CE于M、N两点.
3 .结论：
结论1：知中点得垂直
若“为CE中点，则
结论2：知垂直得中点
若MN1BD,则M为CK中点.
4 .结论的证明：
结论1的证明：
延长ZM至R 使得
连接£咒那么，AMAC会AMFE.
所以，EF=AC, ZCAF=ZF,
所以，ACHEF,
所以，ZCAE+ ZAEF=1SO°9
而 NC4E+N54D=180。，
所以，NAEF=/BAD,
XAD=AE,所以，AEAF咨AADB.
所以，ZAFE=ZABN,
而 NA4N+NC4 尸=90。，
所以，ZBAN+ ZABN=90°,
所以，NANB=90。,即脑LLBQ.
结论2的证明：
作 于 0,
CP_L/M的延长线于P,
由K型全等可知，
△ANB m 4CPA,
所以，CP=AN,
再由K型全等可知，
△AND q AEQA,
所以，EQ=AN=CP,
又4CMP=/EMQ, ZCPM = ZEQMf
所以，XEMO^MCPM,
所以，CM=ME,即M为CE中点.
329初中数学题型方法全归纳。
【变式1】已知△ZOB和△CQD均为等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,连接ZQ, BC,点、H
为的中点，连接OH.
(1)证明：。//二l40且。〃1_40.
2
(2)将△COQ绕点。旋转到图2、图3所示位置时，线段。〃与又有怎样的关系？选择一个图
形并证明你的结论.
330春
几何专题-第四章全等三角形
留题型方法14：脚拉脚模型
1 .图形:
2 .条件：
两个等腰直角△胡。和△及£,有一个公共底点4另外两点底点C、E相连，取CE的中点为R
连接尸点和等腰直角三角形的的顶点（即连接用、FD）.
3 .结论：△用。为等腰直角三角形.
4 .结论的证明：
方法1：构造手拉手模型.
证明：作C关于々的对称点G,
连接ZG, BG,
则为等腰直角三角形，
作E关于4。的对称点
连接4H DH,
则/为等腰直角三角形,
那么，等腰直角ZUCG和△/£以构成手拉手模型，
根据等腰直角三角形手拉手模型的结论可得：
CH=EG,且C儿LEG,
而5、F为CG、CE中点，所以，BF=-EG, BF//EG,
2
又。、F为EH、CE中点，所以，DF=-CH, DF//CH,
2
所以，BF=DF,且斯
所以，△尸友）为等腰直角三角形，尸为直角顶点.
方法2：取斜边中点，构造相似三角形，
耽4c的中点为G,连接5G、FG,
又因为尸为C£中点，
所以，FG//AE, FG = -AE,
2
所以，ZCGF=ZCAE,
所以，ZBGF=ZBAD,
zy
又因为4£ =收40,所以，FG = —AD,
2
又知 bg = Jab ,
2
331当
初中数学题型方法全归纳
所以，/XBFGsABDA,
/y
所以，BF=—BD, ZFBG=ZABD,
2
而 N48D+NDBG=45。，
所以，NFBD+ NDBG=45。,即/阳0=45。，
所以，△尸5。为等腰直角三角形，尸为直角顶点.
方法3：倍长中线，构造全等三角形.
延长近至点G,使得FG=FD,连接CG、BG,
易证：/\FDE义AFGC,
而 ZBCG=3600 - ZFCG - ZBCF
=315°- ZFCG- ZACE
=315。一 /CED— /ACE
=315。- 45。- ZAEC - NACE
=270°-(180°-ZG4£)
=90°+Z CAE.
又/BAD=NBAC+ ZCAE+ /DAE=90。+ NCAE,
所以，NBCG=/BAD,
又因为5C=A4,
所以，△BCGqdBAD,
所以，BD=BG, NGBC=/ABD,
所以，ZDBG=9G°,
又尸为5G中点，
所以,NBFD=90。, BF=DF,
所以，△EB。为等腰直角三角形，尸为直角顶点.
【变式1】如图，△Z5C与ADCE均为等腰直角三角形，B、。、£三点共线，取成的中点为河，连
接㈤/、MD.
求证：(1) AM±DM； (2 ) AM=DM.
332箜_______
几何专题-第四章全等三角形
【变式2】如图，△45。与均为等腰直角三角形，B、C、E三点共线，取班的中点为M,连
接4"、MD.
求证：(1) AMA.DM； (2 ) AM=DM.
留题型方法15：等邻边对角互补模型
模型1：两90。的等邻边对角互补模型.
1 .图形：
A C
0 E
2 .条件：如图，ZAOB=ZDCE=90°, CD=CE.
3 .结论:
。。平分N4O8, OE + OD=yf2OC .
4 .结论的证明：
方法1：过等邻边的顶点，做垂直，再旋转.
做CFL05于尸点，
在D4上截取。尸=跖， A °
因为 N4O5=NOCE=90。， 产'.一
所以 NODC+NO£C=180。， ；\
又/ODC+ ZCZ>F=180°, DIX I \
O FEB
所以，NOEC=/CDF,
又CD=CE,所以，ACDFmACEF,
所以，/OFC=/OFC=90。, CF=CF,
又 NAOB=NDCE=90。,
所以，四边形OFC尸是正方形，
所以，0c平分NZ05, OE+OD=y/2OC .
333海
初中数学题型方法全归纳
方法2：过等邻边的顶点，做对角线，再旋转.
在ZU上截取2)尸二。及
因为 ZAOB= ZDC£=90°,
所以 NOQC+ ZOEC= 180°,
又 NODC+ NCD尸=180。，
所以，ZOEC=ZCDF,
又CD=CE,所以，XCDF迫XCEO,
所以，CO=CF, /OCE=/DCF,
而NOC£+NOCZ>=90。，所以，/DCF+ NOCD=NOCF=90。,
所以，△C。尸为等腰直角三角形，ZCOF=45°,
而 NZQ5=90。，
所以，。。平分N/O5, OE + OD=OD + DF=OF= 41OC .
模型引申：两90。的等邻边对角互补模型.
1.图形：
2 .条件：如图，ZAOB=ZDCE=90°, CD=CE,此时。点在04的反向延长线上.
3 .结论：
。。平分N/05, OE-OD=yf2OC .
4 .结论的证明：
方法1：过等邻边的顶点，做垂直，再旋转.
做CFLQ5于尸点，
在D4上截取。尸二ER
因为 NZ)OB=NOC£=90。，ZDGO=ZCGE,
所以，NOEC=NCDF,
又CD=CE,所以，ACDF经ACEF,
所以，/OFC=/OFC=90。, CF=CF,
又/AOB=90。,
所以，四边形。尸C尸是正方形，
所以，OC平分N4O8,
OE - OD=OF + EF-OD=OF + DF - OD=OF +。尸=41OC .
方法2：过等邻边的顶点，做对角线，再旋转.
在D4上截取。尸=。£,
因为NOO5=NDC£=90。，/DGO=/CGE,
所以，/OEC=/CDF,
又CD=CF,所以，△CD厂之△CEO,
所以，CO=CF, NOCE=/DCF,
所以，ZOCF=ZDCE=90°,
334春
几何专题-第四章全等三角形
―……
所以，△口?尸为等腰直角三角形，NCO尸=45。，
而 405=90。，
所以，OC平分NZO5, OE- OD=DF- OD=OF= y[2OC .
模型2：含120。、60。的等邻边对角互补模型.
1 .图形：
2 .条件：如图，ZAOB=2ZDCE=120°9 CD=CE.
3 .结论:
。。平分N4O5； OE + OD=OC.
4 .结论的证明：
方法1：过等邻边的顶点，做垂直，再旋转.
做CFLO8于尸点，
在04上截取。尸=££
因为 N495+ NDC£=180。，
所以 N8C+ ZO£C=180°,
又 4ODC+ NCD尸=180。，
所以，ZOEC=ZCDF',
又CD=CE,所以，ACDF义△CEF,
所以，NOFC=NOFC=90。, CF=CF, NECF=NDCF,
所以，/OCF=NOCF=30。,
所以，ZCOF=ZCOF'=60°,
在直角△OC尸和△OC厂中，
OF=-OC, OF=-OC,
2 2
所以，OC平分NZQ5, OE+OD=OF+OF=OC.
方法2：过等邻边的顶点，做对角线，再旋转.
在ZM上截取刀尸=。£,
因为4405+ NZ)C£=180。，
所以 NODC+ ZO£C= 180°,
又 NODC+ ZCZ)F=180°,
所以，/OEC=/CDF,
又CD=CE,所以，ZkCZ加且△CEO,
所以，CO=CF, ZOCE=ZDCF,
而NOCF+ /OCD=60。,所以，ZDCF+ ZOCD=ZOCF=60°,
所以，△口?尸为等边三角形，NC。产=60。，
335卷
初中数学题型方法全归纳
而 NZO5=120。，
所以，OC平分N4O5, OE + OD=OD + DF=OF=OC.
模型引申：含120。、60。的等邻边对角互补模型.
1 .图形：
2 .条件：
如图，ZAOB=2ZDCE=120°, CD=CE,此时。点再04的反向延长线上.
3.结论：
。。平分N4OB； OE-OD=OC.
4 .结论的证明：
方法1：过等邻边的顶点，做垂直，再旋转.
做„ 03于厂点，
在。4上截取。尸=£尸，
因为 NZ OB=2 ZDCE= 120°,
所以 ZDOG= ZDCE=60°,
又 NDGO=NCGE,
所以，ZOEC=ZCDF\
又CD=CE,所以，/\CDF'学4CEF,
所以，/OFC=/OFC=90。, CF=CF, ZECF=ZDCF\
所以，ZOCF=ZOCF'=30°,
所以，NCOF=NCOF=60。,
在直角△OC尸和△OC尸中，
OF=-OC, OF=-OC,
2 2
所以，。。平分NZOB, OE- OD=OF + DF - OD=OF + OF=OC.
方法2：过等邻边的顶点，做对角线，再旋转.
在04上截取
因为 // OB=2 ZDCE= 120°,
所以 ZDOG= ZDCE=60°,
又/DGO=/CGE,
所以，NOEC=NCDF,
又CD=CE,所以，△CD尸丝△CEO,
所以，CO=CF, /OCE=/DCF,
而NOCX-N00=60。，所以，ZDCF- ZOCD=ZOCF=60°,
所以，△C。尸为等边三角形，ZCOF=60°,
而 N/O&=120。，
所以，0c平分N40& OE-OD=DF- OD=OF=OC.
336称
几何专题・第四章全等三角形
【变式1】如图，在五边形ZBCZK中，AB=CD=AE=BC + DE=2, NABC=NAED=90。,求五边形
45CDE的面积.
【变式2】如图，点P为定角NZO5的平分线上的一个定点，且NMW与乙405互补，若/MPNK
绕点尸旋转的过程中，其两边分别与04、05相交于M、N两点，则以下结论：(1)尸恒成立；
(2) 0M+0N的值不变；(3)四边形PMON的面积不变；(4) 的长不变，其中正确的个数为
( )
【变式3】如图，ZAOB=UO°,。。平分NZO5, ZMCN=60°, CM与射线04相交于M点，CN与
直线50相交于N点.把NMCN绕着点C旋转.
(1)如图1,当点N在射线上时，求证：OC=OM+ON；
(2)如图2,当点N在射线05的反向延长线上时，。。与OM、0N之间的数量关系是.
337登
初中数学题型方法全归纳
留题型方法16：半角模型
模型1：正方形半角模型
1 .图形：
2 .条件：
如图，正方形NBC。中，E、尸分别为边CD BC上的动点，且乙以尸=45。.
3 .结论：
@DF + BE=EF；
②EA平分NBEF,
E4 平分 NDFE；
③△CEF周长=2/5.
4.结论的证明：
延长CB到尸点，使得3尸=/%
在△4。尸和尸中，
AD=AB, ZABF'=ZD=90Q, BF=DF,
/. △4D72ZW尸,
；・AF=AF, NBAF=/DAF, /F=NAFD,
V ZEAF=45°f ZBAD=90°,
：.ZDAF+ ZBAE=45°,
：.ZBAF' + NBAE=45°= NEAF=NEAF,
5LAE=AE, AF=AF',
J /\AEF^/\AEF,
：.EF=EF=BE + BF=BE + DF, ZAEF,= ZAEF, NAFE=NF'=NAFD,
・・・EA平分NBEF； E4平分NDFE,
J △ CEF周长=。£ + C尸 + EF=CE + CF + BE + DF=BC + CD=2AB.
模型引申：
1 .图形：
338几何专题-第四章全等三角形
2 .条件：
如图，正方形Z5C。中，E、厂分别在边C5、。。延长线上，且NE4F=45。.
3 .结论：
DF-BE=EF.
4 .结论的证明：
延长C3到G点，使得BG=DF,
在尸和中，
AD=AB, ZABG=ZD=90°f BG=DF,
：.LADF义 LABG,
：.AF=AG, ZBAG=ZDAF, NG=NAFD,
V ZEAF=45°, N54D=90。，
・•・ ZDAF+ ZEAF- ZBAE=90°,
：./BAG + ZEAF- ZBAE=90°,
：.NEAG+ /EAF =90。,
而N左1b=45。
・•・ NEAG=/EAF=45。,
ME=AE, AF=AG,
：./\AEF^/\AEG,
：.EF=EG=BG - BE=DF - BE.
模型2： 120。角夹60。度角的半角模型
1 .图形：
2 .条件：
如图，ZUBC是等腰三角形，△BCD是等边三角形，且NB4c=120。，以Z为顶点作一个60。角,
使其两边分别交直线血于点R交直线CD于点K.
3 .结论：
EF=BF + CE.
4 .结论的证明：
延长D5到甘点，使得BE'=CE,
在和△Z5E 中，
AC=AB, ZABE'=ZACD=90°, BE=CE,
：.4ACE咨乙ABE,
：.AE=AE', ZBAE=ZCAE,
*： ZCAE+ ZBAE=120°,
：.ZBAE'+ ZBAE=120°f
339初中数学题型方法全归纳
而乙弘尸=60。，
，ZEAF=ZE'AF=60°,
XAE=AE\ AF=AF,
：.LAEF咨 4AEF,
：.EF=E'F=BE' + BF=BF + CE.
模型引申：
L图形：
2 .条件：
如图，△ZBC是等腰三角形，△及»是等边三角形，且NA4C=120。，以/为顶点作一个60。角,
使其两边分别交直线处于点R交直线CZ）于点区
3 .结论：
EF=BF-CE.
4 .结论的证明：
在5厂上截取
在△ZCE和中，
AC=AB, ZABE,=ZACE=90°, BEl=CE,
・・・LACEqAABE,
：.AE=AE', ZBAE'=ZCAE,
V ZBAE'+ ZCAE^nO0,
：.ZCAE+ NCAE=NEAE'=120。,
而N"尸=60。，
/. ZEAF=ZE1AF=60°f
5LAE=AE\ AF=AF,
：.LAEF咨 LAEF,
：.EF=E'F=BF - BE'=BF - CE.
模型3：对角互补中的半角模型
1.图形：
340卷
几何专题・第四章全等三角形
2.条件：
如图，在四边形4SCD中，ZABC+ ZADC=180°9 AB=BC,点M、N分别在Z。、CO上,
：ZMBN=- NABC.
2
3 .结论：
MN=AM+ CN.
4 .结论的证明：
延长04到M点，使得ZN=CN,
ZABC+ ZADC=180°f
・・・ NA4Q+N5CZA180。，
齐
又/BAD+ /BANA80。,
:"BCD=/BAN, /7 \
在中， zC_Z_______________A
Nf A M D
BC=BA, /BCD=/BAN, AN=CN,
：・/\BCNmABAN,
:・BN=BN, /ABN=NCBN,
•・• ZCBN+ ZABN=ZABC,
：./ABN + ZABM=2 ZMBN1=Z.ABC,
,: ZMBN=- ZABC,
2
J /MBN=/MBN,
又BN=BN, BM=BM,
：.△BMNQ 丛 BMN,
：.MN=M^=AM + AN^=AM + CN.
模型引申：
1 .图形：
N
A M D
2 .条件：
如图，在四边形中，ZABC+ ZADC=180°, AB=BC,点"、N分别在直线49、CD上,
ZMBN=- ZABC.
2
3 .结论：
MN=AM- CN.
4 .结论的证明：
在/。上截取4V=CN,
341卷
初中数学题型方法全归纳
・ ・・ AABC+ Z^DC= 180°,
・ •・ NB4D+ NBCD=180。,
又 NBCD+ NBCN=180。,
：.ZBAD=ZBCN1,
在中，
BC=BA, NBAD=NBCN, AN=CN,
：.△BCNQABAN,
:・BN=BN, NABN=/CBN,
• ・• /ABN + /CBN=NABC=2NMBN,
：.ZCBN+ /CBN= /NBN=/ABC=2/MBN,
：.ZMBN1=ZMBN,
又BN=BN, BM=BM,
・ ・・△BMNHBMN,
：.MN=MN^=AM - A^=AM - CN.
【变式1】如图，E、尸分别是正方形45CD的边5C、CQ上的点，且NE4尸=45。， H为垂
AHJlEF,
足.求证：
(1) BE + DF=EF；
(2) AH=AB；
(3) AABE^AAHE；
(4) AADF咨AAHF；
(5) EA平分NBEF；
；
(6 )
S^ABE + S^ADF = S^AEF
(7) △CEF周长=24瓦
342几何专题-第四章全等三角形
【变式2】如图，在四边形45CZ)中，AB=BC, N45C+N4DC=180。，点M、N分别在ZU, CD的
延长线上，若/MBN=；/ABC,试探究线段„、CW怎样的数量关系？写出你的猜想，并给
予证明.
【变式3】在等腰口△4SC中，CA=CB, ZACB=90°,。为48的中点，ZEOF=45°f交CA于点、F,
交的延长线于点£.
(1)求证：EF=CE + AF；
(2)如图2,当点£在5C上，点尸在C4的反向延长线上时，探究线段4R CE、EF之间的数量关
系，并证明.
343初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:判断轴对称图形
【题目特征】判断一个图形是否为轴对称图形.
【考查知识点】轴对称的概念：
1 .把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对
称图形.
2 .把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条
直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫作对称轴.
【解题方法】沿着某直线翻折，翻折后，两边图形重合，那就是轴对称图形.
例1：现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性.下列汉字是轴对称图
形的是（ ）
美丽 绥。化
【解答】解：A,是轴对称图形，故本选项符合题意；
3、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
。、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
。、不是轴对称图形，故本选项不合题意.
故选：A.
例2： “国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉.下列四个汉字中是轴对称图
形的是（国 ） 士^ 无 双
A B. C. D,
【解答】解：4、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
8、是轴对称图形，故此选项符合题意；
。、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.
故选：B.
【变式1】下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
344几何专题・第五章 轴对称
【变式2】国家中小学网络云平台和中国教育电视台在疫情期间提供优质学习资源，服务学生居
家学习.下面是平台中防疫教育、品德教育、课程学习、心理健康教育的标识，其中是轴对称图形的
个数为（ ）
【变式3】以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是（ )
节能 B. 绿色环保
C. 永洁环保 D. 绿色食品
?
【变式4】以下是小竹在实验过程中使用的部分实验器材图.其中，是轴对称图形的是（ )
i
.
t
A. a
【变式5】下列各图是选自历届冬奥会会徽中的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
,露
留题型方法2：轴对称的应用
【题目特征】已知条件中有轴对称或者翻折.
【考查知识点】轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分,
对应线段相等，对应角也相等，且关于直线对称的两个图形全等.
【解题方法】已知轴对称或者翻折，立马可以得到：
1 .翻折前后图形全等，进而得到对应边对应角相等；
2 .折痕是对应点连线的垂直平分线.
345_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
例：如图所示，在四边形ZBC。中，边43与“。关于ZC对称，则下面结论错误的是（ ）
A. AC平分/BAD B. BDLAC
C. CA平分/BCD D. AD平分4。
【解答】解：・.15,力。关于4C对称，
•JC平分N氏4。，AC平分/BCD, BDLAC,
故4、B、C正确.
故选：D.
【变式1］如图，已知直线加是正五边形45CQE的对称轴，且直线加过点。，直线机与对角线5£相
交于点。，则NZO£=度.
【变式2】正十边形有 条对称轴.
【变式3】如图，在及△4C5中，ZBAC=90°, ADLBC,垂足为。，△45。与△457）关于直线4D
对称，点8的对称点是点"，若N"/C=14。，则N5的度数为（ ）
【变式4］如图，若与△4EC关于直线"N对称，BB，交MN千点、0.则下列说法中不一定正
确的是（ ）
A. ZABC=ZA'B'C B. AA'LMN
C. AB//AB， D. BO=B'O
N
346几何专题-第五章 轴对称
寻题型方法3：等腰三角形的分类讨论问题
【题目特征】已知等腰三角形，求边或角.
【考查知识点】
1.等腰三角形
等腰三角形 解释
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的边的叫作腰，另外一条
定义
边叫作底边.
(1)两腰相等、两底角相等.
性质 (2) “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.
(3)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴.
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形.
判定
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.
2.等边三角形和等腰直角三角形
等边三角形 等腰直角三角形
1 .定义:三条边都相等的三角形叫作等边三角形，
也叫正三角形. 1 .定义：有两条边相等，并且中间的夹
2 .性质：三边都相等，三角都是60。. 角是90。的三角形叫作等腰直角三角形.
3 .判定： 2 .性质：两个底角为45。.
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形. 3 .判定：有一个角是90。的等腰三角形
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 是等腰直角三角形.
(3)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.
【解题方法】注意题目可能需要讨论不同情况.
例：等腰三角形一腰上的中线将三角形的的周长分为两部分，分别是12与15,则腰长为
::腰长为服
【解答】解：分两种情况：①
【变式1】等腰三角形的一边长为10,另一边长为4,则这个等腰三角形的周长是,
【变式2】等腰三角形的一边长为6c加，且周长为16c加，则这个三角形的底边为.
【变式3】等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则该三角形底角的度数为
347初中数学题型方法全归纳
【变式4】等腰三角形一个角为30。，则这个三角形腰上的高与底边所夹角的度数为，
【变式5】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45。，则这个等腰三角形的顶角为
【变式6】已知她是等腰△相。一腰上的高，且N4及）=50。，则△MC的底角为
留题型方法4：垂直平分线
【题目特征】与垂直平分线有关题目.
【考查知识点】垂直平分线：
1 .定义：垂直且平分一条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线;
2 .性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3 .判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【解题方法】已知垂直平分线，立马得到以下三个结论：
1 .垂直；
2 .平分；
3 .连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.
例：如图，在△/5C中，直线3。垂直平分4C, ZA=20°,则NC及）的大小是（ ）
【解答】解：・・,直线8。垂直平分ZC,
：・BA=BC, BDLAC,
：.ZC=ZA=20°, /BDC=90。,
：.ZCBD=9Q0- ZC=10°.
故选：D.
【变式1】如图，在△4SC中，4C=4c加，线段45的垂直平分线交4。于点M △5CN的周长是7cm,
则5c的长为（ ）aw.
348几何专题・第五章 轴对称
【变式2】如图，△ZBC中，/ABC=25。, ZACB=55°J DE, FG分别为48, 4C的垂直平分线，E,
G分别为垂足.
(1)直接写出/氏4C的度数；
(2)求ND4厂的度数；
(3)若的长为30,求△加尸的周长.
【变式3】如图，在ZUBC中，已知点。在BC上，且BD+4D=BC,则点。在( )
A. 4c的垂直平分线上 B. NA4c的平分线上
C. 8C的中点 D. 48的垂直平分线上
【变式4】如图，在△43C中，AB=5, BC=6, 4c的垂直平分线分别交5C、4c于点D、E,则△45。
的周长为( )
A. 8 B. 11 C. 16 D. 17
【变式5】如图，△ZBC中，45的垂直平分线分别交45、5C于点M、D, 4C的垂直平分线分别交
AC. BC于点N、E, △4DE的周长是7・
(1)求5C的长度；
(2)若N5+NO60。，则ND4E度数是多少？请说明理由.
349初中数学题型方法全归纳
留题型方法5：将军饮马模型
一、模型分类：
两定一动型：模型1、2、3、4.
一定两动型：模型5、6、7.
两定两动型：模型8、9.
平移线段型：模型10、11、12、13.
二、13个模型图：
两
定
动
型
350几何专题-第五章轴对称
模型1
1 .图形:
2 .条件及问题：如图，4、B两定点分布在直线［两侧，点尸为直线】上一动点.求我+总的最小值？
3 .结论：4、P、B三点共线时，E4+P8取得最小值，最小值为48的距离.
4 .结论的证明：
4、P、8三点不共线时，三点构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，B4 + P5的值大于
”的距离；只有当Z、尸、B三点共线时，B4 + P5的值为45的距离，所以，B4+尸5的最小值为45的距
5 .模型特点：
①求以+尸5的最小值；
② 4、B为定点,P为动点,且在直线上运动;
③ Z、5在尸轨迹两侧.
6 .解题方法：
①连接43,
② N5长度即为E4 +PB的最小值.
模型2
1 .图形：
7斤
2 .条件及问题：如图，4、B两点分布在直线胴一侧，点尸为直线止一动点.求我+口的最小值？
3 .结论：/、P、9三点共线时，B4 +尸5取得最小值，最小值为49的距离.
4 .结论的证明：
做5点关于直线/的对称点玄，连接尸9，
根据对称的性质可知尸g二尸5,
所以，PA + PB=PA + PB' NAB',当且仅当4、尸、9三点共线时，以+尸5取得最小值，最小值为
49的距离.
5 .模型特点：
① 求E4+PB的最小值；
② A、5为定点，尸为动点，且在直线上运动；
@ 4、B在P轨迹同侧.
6 .解题方法：
①找：找一个定点关于河的对称点夕；【变式 1】如图，AMLEF, BNLEF,垂足为M、N, MN=12m, AM=5m, BN=4m, P是EF上任意
一点，则以+收的最小值是.
【变式2】如图，在边长为2的正三角形45。中，E、F、G为各边中点，尸为线段£尸上一动点，则
△5尸G周长的最小值为.
【变式3】如图，正方形458边长为8, DM=2, N为AC上一动点、,则EW + MN的最小值为
1
a
【变式4】如图，正方形45C。面积为12, △ABE为等边三角形,对角线ZC上有一动点P,则尸。
+尸£的最小值为________.
A
[3
B
【变式5】如图，正方形45CQ的边长为4, 成是NC5D的角平分线交CQ于£, P是BE上一动点,
连接灯，PD,则RI + 尸。的最小值为_______ .
B C
352卷
模型3
1 .图形:
2 .条件及问题：如图，4、8两点分布在直线1同一侧，点尸为直线LL一动点.求我-网的最大值？：
3 .结论：4 B、P三点共线时，灯-尸8取得最大值，最大值为的距离.
4 .结论的证明：
4、B、尸三点不共线时，三点构成三角形，根据三角形两边之差小于第三边，B4-P5的值小于
45的距离；只有当4、B、P三点共线时，朋的值为45的距离，所以，我-尸5的最大值为Z5的距
5 .模型特点：
①求我-四的最大值；
②4、B为定点、,尸为动点，且在直线上运动；
③ 4、5在P轨迹同侧.
6 .解题方法：
①连接Z5并延长交河于。点；
②当尸点和。点重合时，B4-P5的值最大，”长度即为我-尸8的最大值.
模型4
L图形：
j[--C---- ---------
M
2 .条件及问题：如图，4、5两点分布在直线I两侧，点尸为直线［上一动点.求B4-P8的最大值？
3 .结论：/、B\ P三点共线时，灯-尸8取得最大值，最大值为45'的距离.
4 .结论的证明：
做5点关于直线I的对称点夕，连接尸夕，
根据对称的性质可知尸B'=P5,
所以，PA-PB=PA-PB' <AB\当且仅当4 B\ P三点共线时，以-P5取得最大值，最大值为
48'的距离.
5 .模型特点：
①求我-尸5的最大值；
②A、B为定点,尸为动点；
③4、B在尸轨迹两侧.
6 .解题方法：
353祢
初中数学题型方法全归纳
①找：找一个定点关于河的对称点夕；
②连：连接另外一个定点z和对称点9，并延长交河于一点;
③求：求长度即为E4-的最大值.
【变式6】如图，/、5两点在直线两侧，点/到直线的距离ZM=4,点8到直线的距离521,
且MN=4,尸为直线上一动点，则以-四的最大值为.
【变式7】如图，在△45。中，AB=AC=8f直线"A唾直平分45, △8NC的周长为14,点尸是直线
MN上一层,则E4-PC的最大值为.
B
【变式8】如图，在四边形45C。中，AB//CD, ZABC=90°, AB=5, BC=4, CQ=3,点尸为直线5C
左侧平面上一点，ABC尸的面积为2,则F4-尸。的最大值为.
354卷
几何专题・第五章 轴对称
模型5
1 .图形:
2 .条件及问题：如图，点P为直线L上一动点，点。为直线心上一动点，4为定点.求我+尸0的最
小值？
3 .结论：过4点做A的垂线，垂足为5,交心于点C,当且仅当尸和C重合，。和8点重合时，PA +
P0取得最小值，最小值为力8的距离.
4 .结论的证明：（互不影响双动点，使用假设法转化为单动点）
假设P点不动，要求以+尸。的最小值，而以为定值，所以只需求P。的最小值即可，而尸点不动，
尸0取得最小值的条件是P。，h.
假设。点不动，要求以+尸。的最小值，此时，问题转化为两定一动的将军饮马模型，那么，PA
+ PQ取得最小值的条件是4、P、。三点共线.
综上，同时满足PQ_L/2, A P、0三点共线这两个条件时，以+尸0取得最小值，要同时满足这
两个条件，只有，过4点做&的垂线，垂足为5,交心于点C,尸和。重合，0和5点重合，此时同时满
足上述两个条件，以+尸0取得最小值，最小值为45的距离.
5 .模型特点：
①一个定点，两个动点，两个动点互不影响；
②定点只和一个动点相连.
6.解题方法：
①假定和定点相连的动点不动，
将问题转化为点线距离；
得到垂直的时候最短.
②再假定不和定点相连的动点不动，
将问题转化为两定一动将军饮马模型；
得到三点共线时最短.
③既要垂直又要共线，
那么计算垂线段的距离即为最小值.
模型6
1.图形：
355初中数学题型方法全归纳
2 .条件及问题：如图，4点在两条直线八、/2外，点尸为直线A上一动点，点0为直线/2上一动点，
求我+尸。的最小值？
3 .结论：做4点关于心的对称点/'点，过4点做A的垂线，垂足为3,交于点C,当且仅当尸和C
重合，。和5点重合时，H + PQ取得最小值，最小值为45的距离.
4 .结论的证明：（假设法）
假设P点不动，要求以+尸。的最小值，而力为定值，所以只需求尸。的最小值即可，而尸点不动，
P0取得最小值的条件是尸。，h .
假设。点不动，要求我+尸。的最小值，此时，问题转化为两定一动的将军饮马模型，定点为4、
。，动点为P,在心上运动，且两定点在同一侧，所以，做4点关于的对称点⑷点，那么，PA+PQ
取得最小值的条件是⑷、尸、。三点共线.
综上，同时满足A\ P、0三点共线这两个条件时，以+P0取得最小值，要同时满足这
两个条件，只有，过4点做G的垂线，垂足为丛 交于点C,尸和。重合，0和5点重合，此时同时满
足上述两个条件，以+尸0取得最小值，最小值为08的距离.
5 .模型特点：
①一个定点，两个动点，两个动点互不影响；
②定点只和一个动点相连.
6 .解题思路：
①假定和定点相连的动点不动，
将问题转化为点线距离；
得到垂线段最短.
②再假定不和定点相连的动点不动，
将问题转化为两定一动模型；
得到三点共线时最短.
③既要垂直又要共线，
那么计算垂线段的距离即为最小值.
模型7
1.图形：
2 .条件及问题：如图，P、。分别为人A上的动点，4点为定点.求B4 + P0 +。/的最小值？
3 .结论：做力点关于/1、心的对称点4、A"f那么当4、P、。、四点共线时，取得
最小值，最小值为的距离.
4 .结论的证明：（假设法）
假设尸点不动，要求灯+P0 +。/的最小值，此时以为定值，所以只需求PQ +a的最小值即可.
356卷
几何专题-第五章 轴对称
此时问题转化为两定一动的将军饮马模型，定点为4、P,动点为。，在A上运动，且两定点在乙同一
侧，所以，做4点关于心的对称点4”点，那么，P0 + Q4取得最小值的条件是4”、尸、。三点共线.
假设。点不动，要求口 +尸。+ Q4的最小值，此时。4为定值，所以只需求我+ P0的最小值即可,
此时问题转化为两定一动的将军饮马模型，定点为/、。，动点为P,在上运动，且两定点在同一
侧，所以，做4点关于的对称点H点，那么，出+尸。取得最小值的条件是4、尸、。三点共线.
综上，同时满足4'、尸、。三点共线，A\尸、。三点共线这两个条件时，Q4+P0+Q力取得最小
值，要同时满足这两个条件，只有，只有⑷、尸、。四点共线，此时同时满足上述两个条件，PA
+ P0 + Q4取得最小值，最小值为4W'的距离.
5 .模型特点：
①一个定点，两个动点，两个动点互不影响.
②定点和两个动点相连.
6 .解题思路：
①假定一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
②再假定另一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
③两个对称点间距离即为最小值.
【变式9】如图，等边ZUBC的边长为8, BD平分/ABC, E,尸分别为线段BC、5。上的动点，则
C£ + £F的最小值为.
【变式10］如图，等腰直角△45。中，BC=AC=4, D、£分另U是45、ZC上的动点，则CD + DE的
最小值为.
357春
初中数学题型方法全归纳
【变式 11］如图，△ZBC中，45=16, BC=10, 平分NA4C, NA4M=15。，点。、£分别为ZM、
AB动前,则5。+。打的最小值是.
模型8
1 .图形：
2 .条件：如图，4点在NMCW内，/、5分别为。"，ON上的定点，
3 .结论：做4点关于ON的对称点4点，做8点关于0M的对称点"点，当4、尸、0、9四点共线时
尸5 +尸0 + QZ取得最小值.最小值为45的距离.
4 .结论的证明：
做4点关于ON的对称点4点，连接。H,那么，QA=QA\
做5点关于的对称点"点，连接尸夕，那么，PB=PB',
所以，PB + PQ + QA=PB' + PQ + QA' N A'B',
所以，尸B + P0 + Q4的最小值为当且仅当4、尸、。、夕四点共线时取得最小值.
5 .模型特点：
两个定点，两个动点.
6 .解题思路：
①假定一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
②再假定另一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
③两个对称点之间的距离即为最小值.
358春_______
几何专题・第五章 轴对称
模型9
L图形:
2 .条件及问题：如图，A 5分别为NMON内的两个定点，P,。分别为OM, ON上的动点，PA +
PQ + QB + 4S最小值为多少?
3 .结论：做4点关于ON的对称点4点，做5点关于0M的对称点9点，当4、尸、。、夕四点共线时
尸8 +尸0 + 04取得最小值，最小值为4'5’的距离.所以，物+尸。+ 05 + 45的最小值就是49+46.
4 .结论的证明：
做4点关于的对称点4点，连接那么，PA=PA',
做3点关于ON的对称点9点，连接。夕，那么，QB=QB\
所以,PA+PQ + QB=PAl+PQ + QB'>A'B',
所以，H +尸。+ 05的最小值为"夕，当且仅当/'、P、0、9四点共线时取得最小值.
所以，灯+ /?0 + 05 + 45的最小值为@9+/反
5 .模型特点：
两个定点，两个动点.
6 .解题思路：
①假定一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
②再假定另一个动点不动，
将问题转化为两定一动模型，得到三点共线时取得最小值.
③两个对称点之间的距离即为最小值.
注：不要忘记加上的距离才是最小值.
模型5-模型9都有两个动点，并且两个动点之间相互独立，没有任何影响.对于这种不互影响
的双动点问题，我们分析问题的方法就是假设法，通过假设一个动点不动，将双动点问题转化为单动
点问题.
【变式12］如图，正方形边长为4, E、尸分别为40、CQ中点，M、N分别是45、BC上的动
点，则四边形国的周长最小值是.
359卷
初中数学题型方法全归纳
【变式13］如图，等边△ZBC边长为3, D、E是5C边的三等分点，M、N分别是45、4c上的动点,
则四边形脑VZM的周长最小值为.
【变式14］如图，在菱形ZBCD中，ZABC=60°f 45=8,点M、N分别在边45、C。上，且4VU2,
DN=4,点P、0分别为边5。、4。上的动点，连接PM、PN、PQ,则尸M+PN+PQ的最小值为.
模型10
如图，4、 B为定点、,P
Z1//Z2,
求/尸 + 尸0 +。5最〃、值？；
模型11
如图，4、 8为定点，尸、 h//11,求我+ PQ +磔最小值？
模型12
如图，4、 B为定点,P、0分别为/上的动点，且尸。为定值，求4P + PQ + Q3最小值?
360卷
几何专题・第五章 轴对称
模型13
如图，/、B为定点,尸、0分别为/上的动点，且尸。为定值，求4P +尸0+05最小值?
模型10-模型13属于平移线段型将军饮马问题.
(1)理论依据：
两点之间距离最短.
(2)模型特点：
1.两个定点，两个动点；
2.两动点距离始终不变.
(3)解题步骤：
1.平移动线段使得两动点重合；
2.问题转化为两定一动的将军饮马问题；
3.根据两定一动模型最小值的位置，求出最小值.
【变式15］如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段C。(点。在点。右侧)在工轴上移动，/。2),
5(0,4),连接4C、BD,贝(UC + 5。的最小值为.
【变式16］如图，正方形45CQ中，45=4, BE=FG=1,动线段/G在CD上运动，四边形4EG/周
长的最小值为.
361海
,初中数学题型方法全归纳
【变式17］如图，在边长为4的正方形/BCD中，将皿沿着射线5Q平移，得到△EGR 连接
EC、GC,则ZC+GC的最小值为.
留题型方法6：逆等线段问题
一、什么是逆等线段
两个动点分别在直线上运动，且它们各自到某一定点的距离始终相等，那么这两条始终相等的线
段称为逆等线段.
二、解题步骤
1 .找三角形.找一条逆等线段，一条动线段构成的三角形.（图中本身就有的三角形，不要添加辅
助线以后构成的三角形）
2 .确定该三角形的不变量.在动点移动过程中，该三角形有一个边长度不变，有一个角的大小不
变.
3 .从另一逆等线段的定点引一条线.使得线段长度等于第二步中的那个不变的边长，与这个逆等
线段的夹角等于第二步中那个不变的角.
4 .问题转化为将军饮马问题求最值.
【变式1】如图，正方形48CD边长为4, E、尸分别为5C、C。上的两个动点，且满足5£=CF,则
BF +的最小值为.
【变式2】如图，等腰直角△MC的直角边长为2,分别为48、4c上两个动点，且满足
连接C。、BE,则8 +的最小值为.
C
B
362几何专题-第五章 轴对称
【变式3】如图，等边△NBC边长为6, 于点O, E、厂分别为4。、。上两个动点，且满足
AE=CF,连接HE, BF,则BE + 8尸的最小值为.
【变式4】如图，等边△45。中有一点£),满足，40=3,及)=4, ZADB=150°, E、F为边AC、BC
边上的动点，且C£二C尸，则尸的最小值为.
C
【变式5】如图，已知ZB=5C=4, N4BC=90。，£为5C上一动点，。点在的延长线上，且CE=2BD,
则+ 2c。的最小值为.
【变式6】如图，等腰△Z5C, AB=AC=2, NB4c=120。，点D、£分别是边何、BC上的动点，若
BE = y/3AD ,则AE =6CD的最小值为.
363海
■
初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：三动点问题
【题目特征】已知三个动点，求三个动点构成的三角形周长最小值.
【解题方法】
1 .以已知的特殊角的两边为对称轴，将第三个动点对称到这个角外;
2 .利用折现大于等于直线，得到取得最小值的状态；
3 .求两个对称点之间的距离即为最小值.
例：如图，在及△48C中，乙4=90。，AB=4, AC=3, M. M ?分别是边48、AC. 8C上的动点,
连接PM 尸福口AW(可以和4、B、C重合)，则尸M+PN+AW的最小值是.
【解答】解：如图，做尸点关于/§、ZC的对称点4P、AP”,连接PP'、AP.
根据对称的性质可知：MP,=MP, NP"=NP,
所以，PM+PN+MN=MP，+MN+NP" NPF,
所以，9+PN+肱V的最小值为PP”的长度，取得最小值时，M、N与4点重合.
根据对称的性质可知：/BAP=/BAP,, /CAP=/CAP',
而 N胡。=90。，
所以，NPAP”=/BAP+ NBAP' + NCAP+ /CAP”
=2(NBAP+ ZG4P)=180°,
所以，P、4、尸”三点共线，
所以，pp =AP' ^AP'y =AP + AP=2AP.
I?
做以江于点。，根据题意可求得：AD*.
5
^AP>AD.
所以，PP'的最小值为240=2，
5
74
即PM+PN+MN的最小值为一.
5
【变式1】如图，在△ZBC中，乙4=45。，AB=17, CD为45边上的高，CD=12,点P为边5。上的一
个动点，M. N分别为边々、4C上的动点，则△肱VP周长的最小值是.
B C
364*___________________________
几何专题・第五章 轴对称
【变式2】如图，在△45。中，N氏4C=30。，边上的高4。=5,点尸为边5c上的一个动点，M、N
分别为边48、ZC上的动点，则律周长的最小值是.
A
【变式3】如图，在△ZB。中，NA4C=60。，边上的高4D=5,点尸为边5C上的一个动点，M、N
分别为边45、4C上的动点，则△MAT周长的最小值是.
365国题型方法1:两个特殊的直角三角形
1 .两个特殊的直角三角形
2 .基本图形（方法：作垂线构造含特殊角的直角三角形）
3 .解题方法
解含特殊角的斜三角形，方法是作高，利用特殊角构造直角三角形.并且应注意以下问题：①作
高时不能破坏已知的特殊角（30。、45。、60。、120。，135。，150。）；②作高时注意判断三角形是锐角、
钝角还是直角三角形，尤其对于无图题，须讨论高线在三角形内部和外部的情况.注意高线是否在三
角形内部.
例：探究下列三角形三条边长之间的关系.
（1） ZUBC中，NC=90。，ZA=ZB=45°；
（2） △43。中，ZC=90°, N/=30。，ZB=60°.
【解答】解：（1）如图所示，不妨设水＞45=小
则在△45。中，因为NC=90。，
由勾股定理可知45= y]a2+a2 =缶.
所以三边的比值为1:1:收.
（2）如图所示，设30。所对的直角边为
q,
因为直角三角形中，30。所对的直角边等于斜边的一半,
所以45为2a.
由勾股定理可知 标=& .
4C=J（2q）2-
所以三边的比值为1:百：2.
366几何专题・第六章 勾股定理
【变式1】如图，在①。中，ZB=30°, BD=AD=\2,则5C=
【变式2】如图，在△ZBC中，NC=90。，点。在ZC上，已知N&X>45。，ZABD=15°, BD=TO亚,
则的长度为.
【变式3】如图所示，已知在ZUBC中，ZA=60°, ZB=45°, AC=2,贝！U5=, BC=.
【变式 4】如图，在△45。中，AB=2, AC=3f ZBAC=135°f 则 3。?=
C
【变式5】在△）夕。中，ZA=30°, AC=40, BC=25,那么45=
【变式6】如图，在四边形45co中，对角线交于点£, NA4c=90。，NCED=45。, NDCE=3。。,
DE=M , BE= 2V2 .求/C长和四边形45CD的面积.
C
367留题型方法2：遇见30。、45。、60。角时，作垂直构造直角三角形
遇见30。、45。、60。角时，通过作垂线，把这几种角放入到直角三角形中.如下图:
过角一边上一点作另一边的垂线，构造特殊的直角三角形.
例：已知，如图，在ZUBC中，ZB=45°, ZC=30°, AB=42 ,求4C的长.
【解析】题中有N5=45。，ZC=30°,所以，过4点作5c的垂线，这样把这两个角都放到了直角三
角形里了，方便进行计算.
【解答】解：过加乍于。，
・•・ ZB+ ZBAD=90°f
V ZB=45°,
・・・ ZB=ZBAD=45°f
：.AD=BD,
•.* AB2 = AD2 + BD2 , AB=五,
：.AD=1,
VZC=30°, AD1.BC,
：.AC=2AD=2.
【变式1】如图，在ZUBC中，NZ=45。，NB=30。，BC= 273 ,求线段ZC的长.
【变式2】如图，在ZUBC中，ZB=30°,外角NC4D=60。，AB=6,求。点到4g的距离.
368卷________
几何专题-第六章 勾股定理
留题型方法3：遇见15。、22.5。角时，利用外角构造二倍角
如图，在及△ZBC中，ZACB=15°f那么，在相关边角计算中，15。角这个条件无法使用.在解题
时，需要将15。角进行转化，可以通过15。角构造出30。角.做法如下图，作斜边ZC的垂直平分线交
BC于E,连接这样就构造出等腰△/方,和一个特殊的直角融，其中，/AEB=30。.
这种辅助线做法，使得我们找到了 15。角的2倍角，即30。角.
c I-
L E B
同样的方法，如果及△45。中，NACB=22.5。,那么，我们就可以通过同样的方法去作辅助线.构
造出等腰直角448及如下图所示：
若N4CB=22.5。,那么，ZAEB=45°f ZUBE是等腰直角三角形.
例：求勿理15。的值.
【解析】要求加几15。，需要构造一个含有15。角的直角三角形.然后通过作斜边的垂直平分线，构造
出外角是30。角，这样就方便进行计算了.
【解答】解：如图，做一个含有15。角的直角△ZBC,其中N/C5=15。，
作/C的垂直平分线。因交于瓦点，连接
那么，AE=CE, ZACE=ZCAE=15°,
：.ZAEB=30°,
^^AB=a,
则西百“，AE=CE=2a,
：.BC=CE + BE= （2 + 百）。.
：.tanl50= — =—匕—=2-6.
BC （2 + ®
【变式 1】如图，△48C中，NA4c=15。，N/C5=30。，AC= 272 ,求5c的长.
369初中数学题型方法全归纳
【变式2】已知八州。中，ZBAC=45°, AC=AB, 40_LBC于。，BC=6,求ZD的长.
留题型方法4：遇见75。，105。角时，过顶点作垂直
在边角计算的题目中，如果题目出现75。，105。角，我们的辅助线做法往往是过75。，105。角的顶
点往对边作垂线.辅助线做法如下图所示：
通常情况下，这条辅助线把75。角分成两部分，分别是30。角和45。角.或者把105。角分成两部分,
分别是60。角和45。角.这样，就方便我们进行计算了.
例：已知△48C中，ZB=45°, ZBAC=15°, AC=S,求的长.
【解析】已知有75。角，那么过其顶点4作5C边的垂线4少，将75。角分成两部分.
【解答】解：如图，作业UBC交5。于点。，
根据题目条件，NB=45。,
J /胡。=45。,
又/BAC=75。,
：.ZCAD=30°,
在直角三角形/C。中，ZC=8,
：.CD=4, AD=46
而△/皿是等腰直角三角形，
：.BD=AD= 4V3 .
:・BC=BD + CD=4 + 4 也.
370几何专题-第六章 勾股定理
【变式1】已知△ZBC中，ZC=105°, ZB=30°, ZC=30,求的长.
【变式2】已知△MC中，ABf , AC=2, BC=y/3+l ,求N4的度数.
留题型方法5：遇见120。，135。，150。角时，找邻补角
在边角计算中，如果题目中，出现120。，135。，150。角时，我们辅助线的做法往往是过通过外角,
构建特殊的直角三角形.如下图所示：，
4 0c
O C A O C
我们知道，120。，135。，150。角的邻补角是60。，45°, 30。角,所以通过这几个角，我们就可以再
作一条垂线构造含有这些角的直角三角形了.
例：如图，在△45C中，Z^=135°, tanA=~, BC= 472 ,求△Z5C的面积.
5
【解析】题目中有N5=135。，那么需要找其邻补角，又知道勿及4= 7 (,那么需要将N4放到直角三
角形里.所以，可过点。作45边的垂线CD,这样既实现了找到N5的邻补角45。，并且把N4和这个45。
角都放到了直角三角形里.
371初中数学题型方法全归纳
【解答】解：如图，作8,相交々的延长线于点。,
根据题目条件，ZB=135°,
；・/CBD=45。,
・•・△88是等腰直角三角形，
又 3C= 4 vL
:・CD=BD=4,
又 丁 tanA=—,
5
・・・4D=10,
：.AB,
：.S^abc = -AB-CD = 12.
2
【变式1］如图，已知△ZBC中，AB=M , AC=45 , ZBAC=U5°,求BC的长.
【变式2］如图，已知△力5C中，AB=5, AC=3, ZBAC=120°f求8c的长.
A
372几何专题・第六章 勾股定理
留题型方法6:解直角三角形
【常见图形及解题方法】
1 .如图，两个直角三角形靠墙.
解题方法：在及△Z5C中，AC2 =
在及△4DC中，AC1 =AD2-CD2,
那么，可列方程482一5。2=拉）2一62,即可求解边长.
2 .如图，两个直角三角形背靠背.
解题方法：在及ZU及）中，
在比△4OC中，AD2=AC2-CD2,
那么，可列方程4笈—及）2=4。2一cz）2 ,即可求解边长.
3 .如图，梯子从CE滑行到OR
解题方法：梯子长度不变，即C£=Z>R 那么，在及△COE中，CE2 =OC2 +OE2,
在及△DO尸中，DF2 =OD2 +OF2.
那么，可列方程。。2+0皮=002+0产，
即可求解边长.
4 .如图，秋千从⑷5处，荡到4c处.
解题方法：绳子长度不变，即那么, 过C点作。尸，43于点尸，连接5C,利用公共边C厂
列方程求边长，下方四边形C瓦卯是矩形.
373例 1：如图，在△ZBC中，45=14, BC=15, AC=13,求ZUHC的面积.
【解答】解：过点/作交于点O,如图所示:
设BD=x,贝！JCD=]5f.
在及△/AD 中，AD2 = AB2 - BD2 = 142 - %2,
在及△ZCD中，AD2= AC2 - CD2 = 132 - (15-x)2 ,
42
A 142 -x2 = 132 -(15 -x)2 ,解得：x = y ,
・•・ ZUBC 的面积=-x BOAD = -xl5x—= 84.
2 2 5
例2： 一架梯子为8长2.5加，如图斜靠在一面墙上，梯子底端5离墙0.7加.
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了 0.4加.那么梯子底部在水平方向滑动了 0.4加吗？为什么？
A
【角窣答】解：(1):43=2.5加，BC=0.1m, \
J AC = y]AB2-BC2 = 2.4m .
答:这个梯子的顶端距地面有2.4米;
(2)由题可知，AA^OAm, C B Br
：.A'C=AC-AA'=2A - 0.4=2加,
A,B=AB=2.5m,
在及中,
BfC= ^AyBc-AyC = V2.52 - 22 = 1.5加.
J - BC= 1.5 - 0.7=0.8 加.
答:梯子底部在水平方向滑动了 0.8%
【变式1】如图，在△45。中，ADLBC, ZB=20, BC=21, AC=U,求49的长.
374登
几何专题・第六章 勾股定理
【变式2】如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索43的长度为5米，若将它往水平方向向前推
进3米（即。£=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A. 1米 B.及米 C. 2米 D. 4米
【变式3】如图，梯子45长2.5米，顶端4靠在墙4c上，这时梯子下端5与墙角C距离为1.5米，梯
子滑动后停在位置，及）长0.5米，则梯子顶端4下落了 米.
【变式4】梯子靠在墙上，梯子的底端4到墙根O的距离2米，梯子的顶端5到地面的距离为7米,
现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根。的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至。，
那么及）（ ）
A.等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.以上结果都不对
【变式5】如图，梯子Z5斜靠在墙面上，AC.LBC, AC=BC,当梯子的顶端Z沿ZC方向下滑工米时,
梯子8沿CB方向滑动y米，贝卜与y的大小关系是（ ）
【变式6】如图，在&ZUBC中，ZC=90°, D为BCk一点,45=46，BD=AD=5.求CD的长.初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：格点问题
【题目特征】在正方形网格中的计算问题.
【常见问题及解题方法】
问题1 .求边长、周长.
解题方法：过线段两端点，分别作横线和竖线，把线段放到直角三角形中，两个直角边数方格就
可以得到，然后利用勾股定理即可求边长.
问题2,求角度.
解题方法：求出三边，然后利用勾股定理逆定理求角度.
问题3.求面积.
解题方法：如果是直角三角形，确定出直角边，利用面积公式求边长.如果图形是不规则图形，
利用割补法求面积.过最高、最低点作横线，过最左、最右点作竖线，这样就把图形补成了一个长方
形，然后利用长方形面积减去四周空白图形的面积.
问题4.求高.
解题方法：利用等面积法.用底和高表示面积，再用割补法表示面积，两个面积相等列等式求高.
例：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点，已知
是网格中的格点三角形.
(1)求5。的长；
(2)求△45C的面积；
(3)求5c边上的高.
【解答】解：(1)由图可知：BC = - 42 =苗.
(2)如图：
S^ABC = S 正方形BDEF — S XBCF — S AABD - S LACE
= 4x4-—x 1x4--x 2x4 - -x 2x 3
2 2 2
= 16-2-4-3
=7.
(3)过点4作于点
*.* S^abc = — x BC x AH f
2
：.7 = -xy/Y7xAH ,
2
17
・・・5C边上的高为己典.
376几何专题・第六章 勾股定理
【变式1】如图，在4x4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.
(1)求线段45的长；
(2)求N45C的度数.
【变式2】如图，在3x3的网格中，小正方形的边长为1,连接三个格点得到△45C
(1)求ZUBC的周长；
(2) 5C边上的高是多少？
【变式3】如图，四边形45C。的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1.
(1) BC=, AD=,连接及)，判断△ZAD的形状为 三角形；
(2)求四边形Z5C。的面积.
377海
初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形/BCD的周长及面积；
(2)连接5。，判断△以»的形状.
留题型方法8：蚂蚁爬行路径
一、长方体最短路径
如图的长方体盒子，蚂蚁从/爬行到8点的最短路径是多少？
1.第一种爬行方式:
展开后
对应的最短路径=J，+@ + c)2
2.第二种爬行方式
对应的最短路径=G+ 0 + °)2
对应的最短路径=市+(a + b)2
378卷
几何专题・第六章 勾股定理
4.第四种爬行方式
展开后
A b
对应的最短路径=&2 + (a + by
5.第五种爬行方式
对应的最短路径=g(a +
c)2
6.第六种爬行方式
展开后
对应的最短路径=g(a +
c)2
综上，最短路径=5最长边? + (中长边+最短边丫.
二、圆柱体最短路径
如图，圆柱底面半径为一，高为队4C为底面直径，BCVAC,蚂蚁要从4点爬行至8点，爬行的最
短路径长如何计算.
把圆柱侧面展开如图所示，那么4。=仃，
所以，最短路径= 仃y .
三、楼梯最短路径
如图，楼梯的垂直高度为5C,水平长度为43,楼梯的宽度为Z。，蚂蚁要从。点爬行至。点，爬行
的最短路径长如何计算.
把楼梯面展开如图所示，
所以，最短路径为：
DC = JaD2 + (AB + BC)2 = J楼梯宽 2 + (水平距离+垂直距离 )2.
379初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，长方体盒子的长宽高分别是15、10、20, BC=5, 一只蚂蚁要从4点爬到5点，爬
行的最短路径为.
JZA
【变式2】如图，已知圆柱体盒子的高为10,底面半径为3, 一只蚂蚁从4点爬行至5点的最短行
走距离是.
【变式3】某会展中心在会展期间准备将高5加、长13加、宽2加的楼道铺上地毯，已知地毯每平方
米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元，一只蚂蚁从。点爬行至。点，最短路
径是 m.
留题型方法9：直角三角形翻折问题
在翻折问题中，常需要利用勾股定理列方程求解，那么如何设未知数呢？
一般情况下，设翻折前的某一边（不是折痕）为",然后利用翻折的性质表示其他边长.
根据那个直角三角形列方程呢？
通常，根据未重合部分的某一直角三角形，利用勾股定理列方程.
翻折类型一
L图形：
2.条件及问题：如图，在及△MC中，ZC=90°,将NC沿着4。翻折，4C边刚好落在45边上，C
点落在£点处.若4C=加，BC=n,则S=, BD=, AD=.
3.解题方法：
设CZ）=x,那么九一x,
根据翻折的性质，AE=AC=m, DE=CD=x,
380卷
根据比△ZBC,利用勾股定理可得：AB = ylm2+n2 ,
所以，BE = yjm2 +n2 - m ，
在RfABDE中,根据勾股定理列方程：/+（而彳户-加）2=（〃-ip .
（翻折后，未重合部分是及△即£,所以，利用它的三边列方程）
翻折类型二
1 .图形：
B
2 .条件及问题：如图，在及△MC中，ZC=90°,将N3沿着。石翻折，8点刚好和4点重合.若Qm,
BC=n,贝l」CD=, BD=, AD=.
3 .解题方法：
设及）=x,那么CD=〃-x,
根据翻折的性质，AD=BD=x,
根据及△48,利用勾股定理可得：m2+（n-x）2=x2 .
（ 翻折后，未重合部分是及△4C。，所以，利用它的三边列方程）
【变式1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边48=6, BC=8,将△45。折叠，使45落在/£
处，折痕为4。，则5。的长为.
【变式2】如图，在及ZUBC中，ZC=90°, 4016, 3012,将△3C。沿着3。折叠，使C点落在
达43上的点£处，则折痕及）长等于.
【变式3】如图，在及△45C中，NC=90。，AC=6, BC=8, 40平分NA4C,则助=
CD=, AD=.
381初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：矩形翻折问题
翻折类型一：
1 .图形：
2 .条件：如图，将5点沿着/£翻折，翻折后落在对角线/C上的尸点处.
3 .解题方法：设BE=x,用x表示出其他边长，利用用跖三边关系，建立方程，求出x.
翻折类型二：
1 .图形：
2 .条件：如图，将。点沿着力£翻折，翻折后落在8C边上的尸点处.
3 .解题方法：设。£=%,用x表示出其他边长，利用及皮减比尸三边关系，建立方程，求出
翻折类型三：
1 .图形：
2 .条件：如图，将5点沿着对角线NC翻折，翻折后落在矩形外的瓦点处，CE和4）交于点尸.
3 .解题方法：
在这个翻折模型中，先利用翻折的性质得到：ZACE=ZACB,再利用平行的性质得到:
ZCAD=ZACB,所以NC4D=NZCE,从而得到｛F=CF,找到4F=CF是解题的关键.
一般情况下，长方形的长和宽是已知的，所以设X,
所以，/尸=CF=长一x.
然后，用x表示出其他边长，利用及△CD尸或者及△4EF三边关系，建立方程，求出x.
翻折类型四：
1 .图形：
382几何专题・第六章 勾股定理
2 .条件：如图，将Z5边沿着石尸翻折，翻折后使得4点和。点重合，5点落在G点处.
3 .解题方法：
在这个翻折模型中，先利用翻折的性质得到：/AEF=/CEF,再利用平行的性质得到:
ZAEF=ZCFE,所以NCEF=NCFE,从而得到CF=C£=Z£,找到C尸=C£=/£是解题的关键.
i^AE=x,
所以，CE=CF=x, DE=^z -x, FG-BF-^z -x,
然后，用x表示出其他边长，利用及△CQE或者及尸G三边关系，建立方程，求出x.
【变式1】如图，在矩形/8CQ中，AB=6, BC=10,将矩形沿着折叠，使点。落在5C边上的R点
处，则C£=.
【变式2】如图，在矩形中，AB=6, BC=8,将矩形沿着4K折叠，使点。落在对角线，。上的
尸点处，则5£=.
【变式3】如图，在矩形43cZ）中，AB=6, 将矩形沿着ZC折叠，使点8落在E点处，DF:AF=k2,
贝麻=_________
【变式4】如图，在矩形/5C。中，AB=6, BC=10,将矩形沿着跖折叠，使点/与点。重合，则
CF=________
383初中数学题型方法全归纳
留题型方法11:赵爽弦图
一、内弦图
1 .图形：
2 .条件：4个全等的直角三角形如图摆放，
3 .结论：外围是一个大的正方形，里面是一个小的正方形.两个正方形的中心点是重合的.
二、外弦图
1 .图形：
2 .条件：4个全等的直角三角形如图摆放，
3 .结论：外围是一个大的正方形，里面是一个小的正方形.两个正方形的中心点是重合的.
【变式1】如图，在△45。中，/ABC=90。,分别以48、4。为边向外做正方形/5。£和4。尸6,连
接£/，若45=12, 5C=16,求面积.
【变式2】如图，在四边形Z8CZ）是边长为4的正方形，点£在边/。上，连接C£,以CE为边做正
方形CEFG,点、D、尸在直线CE同侧，若4£=1,求好的长.
384卷
几何专题・第六章勾股定理
【变式3】如图，正方形45CQ的边长为5, AG=CH=4, BG=DH=3,连接GH则线段G"长为.
【变式4】如图，以及△45。的斜边5C在△ZBC同侧做正方形BCER 该正方形中心点为。，连接
0A,若Z5=4, OA=6近,求4。的长.
385初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:平行四边形的性质
【题目特征】已知平行四边形，求其他量.
【考查知识点】平行四边形的性质：
・・,四边形力BCD为平行四边形
①平行四边形的对边平行且相等
：.AB//CD, AD//BC.
B C
・・,四边形力88为平行四边形
②平行四边形的对角相等
・・.N/=NC, NB=ND.
B C
・・・四边形45s为平行四边形
③平行四边形的对角线互相平分
・・・CM=OC, OB=OD.
④平行四边形是中心对称图形，对称中
心就是两条对角线的交点；连接四边上 ・・・四边形/5C。为平行四边
工
任意一点和平行四边形的对称中心，与 形，£、F在4D, 5C上，且线
另一条边相交于一点，则这两个点关于 段斯过点。，
平行四边形的对称中心对称；并且这条 c ：.OE=OF；
" F
线段将平行四边形面积分成相等的两部 S四边形破名二S四边形COM .
分
SLAOB = S^BOC — St^DOC — SlDOA '
△40蛇△C。。，
⑤平行四边形中重要结论 △AODgACOB,
△ABCSCDA,
△BCDQXDAB.
A/-- g~yD
S四边形4及芭=AD x CE ；
⑥平行四边形的面积
平行四边形面积=底、高.
【解题方法】理解记忆平行四边形的定义和性质，当题目已知平行四边形或证明出平行四边形时,
要立刻能想到相应的性质.
386几何专题・第七章 平行四边形
【变式1】如图，平行四边形45CQ的周长为20c加，AE平分/BAD,若CE=2cm,贝！）45的长度是
【变式2】如图，平行四边形/5C。的对角线/C、5。相交于。点，点£、/分别是线段40、8。的中
点，若AC + BD=24cm, △0/5的周长为 18cm,则£尸=.
【变式3】如图，在平行四边形4gs中，DB=DC, ZA=65°, CELBD于E,贝!!NBC£=
【变式4】如图，平行四边形NBC。与平行四边形。CFE的周长相等，且N84D=60。，N尸=110。,
则ND4E的度数为.
【变式5】如图，平行四边形48C。中，尸是四边形内任意一点，△48尸、ABCP、ACDP、AADP
的面积分别为8、S、8和S一则一定成立的是（ ）
A. Si + S2>S3 + Sa B. 51 + 52 = 5*3 + 54
C. Si + S2Vs3 + S4 D. S + S3 = S2 + S4
【变式6】如图，平行四边形Z5C。中，平行于边的两条线段G。把四边形45。分成四部分,
分别记这四部分的面积为5、S八S3和S一则下列等式一定成立的是（ ）
4 , £>
A. S\ = S3 B. Si + S3 = S2 + S4
C. 53-5i = 52-S4 D. Si S3 = S2 S4 /S4 / S3 /
B
387春
初中数学题型方法全1/引纳
.. ,«■■■-
【变式7】现有如图的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工
人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.
【变式8】如图，已知四边形4跳出是平行四边形，C为边8。延长线上一点，连接ZC、CE, itAB=AC.
(1)求证：LBAD义 AAEC；
(2)若NB=30。，Zt4DC=45°, BD=\Q,求平行四边形4及用的面积.
【变式9】已知在平行四边形/BCD中，AELBC^E,次呼分NZDC交线段ZE于尸.
(1)如图，若AE=AD, ZADC=60°f请直接写出线段8与Z/+5E之间所满足的关系；
(2)如图，若4E=4D,你在(1)中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明.若
不成立，请说明理由.
388几何专题・第七章 平行四边形
留题型方法2：平行四边形的判定
【题目特征】判断一个四边形是否为平行四边形.
【考查知识点】平行四边形的判定：
口
①定义：两组对边分别平行的四 ■:AB//CD, AD//BC.
边形是平行四边形 ・・・四边形45CQ是平行四边形
B C
LJ
②一组对边平行且相等的四边形 •:AB" CD, AB=CD.
是平行四边形 ・・・四边形43CZ)是平行四边形
B C n
A ||
③两组对边分别相等的四边形是 zLV ■:AB=CD, AD=BC.
平行四边形 ・・・四边形45CD是平行四边形
bJ 'c_ n
A
④两组对角分别相等的四边形是 V ZA=ZC, NB=/D.
平行四边形 ・•・四边形/BCD是平行四边形
⑤对角线互相平分的四边形是平 ^OA=OC, OB=OD.
行四边形 ・・・四边形为BCD是平行四边形
B ----»C
【解题方法】理解记忆判定方法，在做题时，灵活运用判定方法解题.
例： 对于下列说法, 正确的请给出证明，错误的请举出反例.
(1) 一组对边平行, 一组对角相等的四边形是平行四边形.
(2) 一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形.
(3) 一组对角相等, 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
(4) 一组对边相等, 一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
(5) 一组对边相等, 一组对角相等的四边形是平行四边形.
【解答】解：(1)正确.如图所示，设AB〃CD, NA=NC,此时N4与互补，N5和NC互补,
从而 故四边形ZBCQ是平行四边形.
(2)错误. 如图所示，在四边形/BCD中，AD//BC, 。，但四边形4BCD不是平行四边豚
(3)错误. 如图所示，NABC=/ADC, OB=OD,但四边形NBC。不是平行四边形.
389春
初中数学题型方法全归纳
（4）错误.如图所示，在四边形45CQ中，AD=BC, AO=OC,但四边形45CQ不是平行四边形.（构
造办法：作平行四边形/"CD,在。歹上取点B或延长。夕至点5,使BC=B'C,连接45即得）.
（5）错误.如图所示，作等腰三角形在底边上取一点。（。不是的中点），作
关于4c的垂直平分线1对称的△C4D,则在四边形4BCD中，/B=/D, AB=CD,但四边形4SC。不是
平行四边形 CBC^CE, CE=AD,:・BC手AD）
【变式1】如图，在四边形Z5CQ中，AB=CD,对角线ZC、助相交于点0, AEJLBD于点E, CFLBD
于点尸，连接4R CE,若DE=BF,则下列结论不一定正确的是（ ）
A. CF=AE B. OE=OF
C. △CZ)£为直角三角形 D.四边形Z5CQ是平行四边形
【变式2】如图，在ZUBC中，D、£分别是45、 的中点，点尸在。£延长线上，添加一个条件使
四边形4。回。为平行四边形，则这个条件是（ ）
A. /B=/BCF B. ZB=ZF
C. AC=CF D. AD=CF
【变式3］已知四边形Z5CD,从下列条件中：@AD//BC； ®AB//CD； （§）AB=CD； ®AD=BC；
@ZA=ZC；⑥NB=N。；任取其中两个，可以得出"四边形W）是平行四边形Z5CZT这一结论的
情况有（ ）
A. 4 种 B. 9 种 C 13 种 D. 15 种
390几何专题・第七章 平行四边形
【变式4】在平行四边形48CQ中，E、F在BD上,且BE=DF,点G、〃分别在40、5C上，SAG=CH,
GH与BD交于点O,求证：EGHHF, EG=HF.
如图，四边形4BCZ)的对角线4C、及)交于点尸，过点尸作直线交4。于点交BC于点尸.若
PE=PF, S.AP + AE=CP + CF.求证：四边形48cD是平行四边形.
留题型方法3：矩形的性质
【题目特征】已知矩形，求其他量.
【考查知识点】矩形的性质：
矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：
性质1：矩形的四个内角都相等，且为90。.
性质2：矩形的两条对角线相等.
性质3：矩形是轴对称图形，对称轴是一组对边中点的连线所在的直线.
另外，由矩形的性质可以得出：
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(2)矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形.
法】理解记忆矩形的性质，当题目已知矩形或者证明出矩形时，要立刻能想到相应的性
质.
391初中数学题型方法全归纳
例：如图，在矩形Z5CD中，对角线4c、及湘交于点0,点£、厂分别是40、ZD的中点，若AB=6cm,
BC= 8cm,则△ZEF的周长=cm.
【解答】解：由矩形4BCD得：ZABC=90°, AC=BD,
在MAZBC中，ACNaB? +B0 =10,
又・・,矩形对角线互相平分，
：.OA=OD=5,
而打为Q4中点，
一入5
2
又£、尸分别是4。、4。的中点，
：.EF=-OD=- , AF=-AD=-BC=4,
2 2 2 2
.,•△4跖的周长为4£ + 4产+ EF=』+ 4 + 2 = 9 .
2 2
【变式1】如图，。是矩形/8CQ的对角线/C的中点，M是4D的中点，若AB=5, 4D=12,则四边
形的周长为（ )
A. 17 B. 18 D. 20
【变式2】如图，矩形Z5CQ中，对角线ZC、BD交于O, AELBD^E, ZDAE:ZBAE=3:1,则
ZEAC=.
A D
B
【变式3】如图，矩形45。的对角线相交于点。，AE平分/BAD交BC于E, NC4E=15。,则
ZBOE=.
B E C
392几何专题-第七章 平行四边形
【变式4】尸为矩形4BCQ内一点，已知口=3, PB=4, PC=5,则PQ的长为
【变式5】如图，把矩形/BCD沿历翻折，点3恰好落在4。边的9处，若AE=2, DE=6, N£尸5=60。,
则矩形ZBCD的面积是.
【变式6】如图，在矩形48CQ中，对角线4C与及）相交于点。，点P在4）上，PMLAC^M, PNLBD
于点M若45=6, 8C=8,则尸M +尸N=.
国题型方法4：矩形的判定
【题目特征】判定四边形是否为矩形.
【考查知识点】矩形的判定定理：
1 .有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2 .对角线相等的平行四边形是矩形；
3 .有三个角是90。的四边形是矩形；
4 .对于平行四边形，若存在一点到两对对顶点距离的平方和相等，则为矩形.
【解题方法】理解记忆矩形的判定.
例：如图，已知AD=AE, DE=BC,且/氏〃）=/。4£,求证：四边形5CEQ是矩形.
【解答】证明：在和中,
AB = AC
< ABAD = /CAE,
AD = AE
：.4ABD义 LACE,
：.BD=CE, NADB=/AEC,
又•： DE=BC,
・・・四边形5CED是平行四边形，
：.BD//CE,
：.ZBDE+ ZC£Z)=180°,
393初中数学题型方法全归纳
9：AD=AE, ：. ZADE=ZAED,
：.ZBDE=ZCED,
：.ZBDE=ZCED= 90°,
・•・四边形5c是矩形.
【变式1】如图，在中，点。、E分另U是45、ZC的中点，连接即并延长至点F，使DF=DE,
连接4足BF、BE,
(1)求证：AADE^ABDF；
(2)若NABE=/CBE,求证：四边形是矩形.
【变式2】如图，在△4SC中，AB=6, 4C=8, 5C=10, P为边BC上一动点(且点尸不与点8、。重
合)，PELAB^E, PFLAC^F.求£尸的最小值.
【变式3】如图，平行四边形458中，。是的中点，CO=DO.求证：平行四边形48CQ是矩形.
394祢
几何专题・第七章 平行四边形
【变式4】如图所示，在平行四边形Z5CD中，AELBD于点、E, CF上BD于点F,延长4E至点G,使
EG=AE,连接CG.
(1)求证：△45£义/\。£/；
(2)求证：四边形EGC尸是矩形.
留题型方法5：菱形的性质
【题目特点】已知菱形，求其他量.
【考查知识点】菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，此外，还具有下述性质：
性质1：菱形的四条边相等.
性质2：菱形的对角线互相垂直平分.
性质3：菱形的对角线平分一组对角.
性质4：菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线.
另外，由菱形的性质可以得出：
(1)菱形的面积除了可以用平行四边形面积的求法外，还可用对角线乘积的一半来计算.
(2)菱形的对角线把菱形分成四个小的直角三角形.
【解题方法】理解记忆菱形的定义和性质，当题目已知菱形或证明出菱形时，要立刻能想到相应
的性质.
例；如图所示，菱形A8CQ中，E、尸分别是5C、C。上的点，ZB=ZEAF=60° , /BAE=18。.求
NC斯的度数.
【解析】由已知NB=60。，NA4£=18。，则N/£C=78。，欲求NCE尸的度数，只要求出N4EF的
度数即可，结合已知条件：菱形45CD NB=60。，可得△45。为等边三角形，由NE4方=60。，从而
可证既为等边三角形，进而N4物=60。.
【解答】解：连接/C.
・・•四边形4BCD是菱形，
395初中数学题型方法全归纳
：.AB=BC, ZACB=ZACFf
XV ZB= 60°,
•••△Z8C是等边三角形.
A ZBAC=ZACB= 60°, AB=AC.
：.ZACF=ZB= 60°,
又,: ZEAF=ZBAC= 60° ,
J NBAE=NCAF,
：.LABE畛4ACF,
：.AE=AF,
•••△ZE尸为等边三角形，
:.ZAEF= 60°,
又•： /AEF+ /CEF=/B+ /BAE, N胡£=18。,
：.ZCEF=IS°.
【变式1】在菱形Z5CQ中，AC=69 BD=8,则菱形的边长为( )
A. 5 B. 10 C. 6 D. 8
【变式2】菱形周长为52cm, 一条对角线长为10°加，则其面积为.
【变式3】已知菱形的一个内角为60。，一条对角线的长为2百，则另一条对角线的长为.
【变式4】如图，在ZUBC中，D、£分别是45、4C的中点，BE=2DE,延长到点尸，使得EF=BE,
连接C? 求证：四边形BC也是菱形.
【变式5】如图，四边形是菱形，交"的延长线于点£, Q7U5C交5C的延长线于点
(1)求证：DE=DF；
(2)若BE=8cm, DF=4cm,求菱形45c。的面积.
D
E A B
396春
几何专题-第七章 平行四边形
【变式6】如图，在周长为12的菱形45C。中，AE=1, AF=2,若尸为对角线及）上一动点，则石尸
+歹尸的最小值为（ ）
留题型方法6：菱形的判定
【题目特点】证明一个四边形是否为菱形.
【考查知识点】菱形的判定：
1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
4.一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
【解题方法】理解记忆菱形的判定.
例：如图，四边形4&CD是平行四边形，E、/分别为边C。的中点，连结。£、DB、BF.
（1）求证：ZDEB=ZBFD；
（2）若N4D8=90。，证明：四边形5FQE是菱形.
【解答】证明：（1）,・,四边形/BCD是平行四边形,
:・DC=AB 旦 DCHAB,
,:E,/分别为边25、CD上的中点，
：.DF=-DC, BE=AB,旦DFIIBE,
2
；・DF=BE 且 DF〃BE,
・•・四边形5EDE是平行四边形，
・・・ ZDEB=ZBFD；
（2） YE为边的中点，
：.AE=BE,
/ADB= 90。,
•••△尤阳为直角三角形，
：.DE=-AB=BE,
2
由（1）得，四边形BFQE是平行四边形，
・・・平行四边形是菱形.
397初中数学题型方法全归纳
【变式1】下列给出的条件，能判定一个四边形为菱形的是( )
A.有一组对边平行且相等，有一个角是直角
B.有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线互相垂直
C.两组对边分别相等，且有一组相邻的角相等
D. 一组对边相等，一组相邻的边相等，一组对角相等
【变式2】如图，点4R C、。在同一直线上，点5和点£分别在直线/。的两侧，^AB=DE, /A=/D,
AF=DC.
(1)求证：四边形5c所是平行四边形；
(2)若/DEF=9V, DE=8, EF=6,当AF为 时，四边形5cM是菱形.
【变式3】如图，矩形纸片45CD (AD>AB)中，将它折叠，使点，与C重合，折痕项咬")于£,
交BC于F, 如。于连接4R CE.
(1)求证：四边形力FC£是菱形；
(2)若45=4, EF= 2^/5 ,求四边形4ECF的面积.
398卷
几何专题-第七章 平行四边形
【变式4】已知：如图，及)是△48C的角平分线，点£、厂分别在48、上，旦EDIIBC, EF//AC.
(1)求证：BE=DE；
(2)当45=/。时，试说明四边形EFS为菱形.
【变式5】如图，5。为平行四边形的对角线，/ADB=9Q。, £是45的中点，咒是的中点,
连接跖并延长交。。于点G,连接5G.
(1)求证：4BEF名RtADGF；
(2)证明四边形。助G是菱形.
【变式6】如图，已知中，。是5C边上的一点，E是血)的中点，过4点作5C的平行线，交CE
的延长线于点R且AF=BD,连接及＜
(1)求证：BD=CD；
(2)若四边形力用。要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论.
399海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：正方形的性质
【题目特征】已知正方形，求其他量.
【考查知识点】正方形的性质：
正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的一切性质.
性质1：正方形的四个内角都相等，且都为90。，四条边都相等.
性质2：正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分一组对角.
性质3：正方形具有4条对称轴，两条对角线所在的直线和过两组对边中点的两条直线.
另外，由正方形的性质可以得出：
(1)正方形的对角线把正方形分成四个小的等腰直角三角形.
(2)正方形的面积是边长的平方，也可表示为对角线长平方的一半.
【解题方法】理解记忆正方形的定义和性质，当题目已知正方形或证明出正方形时，要立刻能想
到相应的性质.
例：如图，正方形中，点尸是对角线4c上一点，连接尸3,边作PELPB交AD边于点E,且点
£不与点力，。重合，^PMLAD, PNLAB,垂足分别为点M和M
(1)求证：PM=PN；
(2)求证：EM=BN.
【解答】证明：(1)・・,四边形力58为正方形，
・・・4C平分NB4D,
又PNLAB,
:・PM=PN.
(2) 9： PM LAD, PNLAB, /MAN=90。, PM=PN,
：.四边形R&N为正方形，
:・/MPN= 90。,即 NAfPE+N£/W=90。，
■: PE1PB,
：.ZEPN+ ZNPB= 90° ,
：./MPE=/NPB,
PM LAD, PNLAB,
：.NPME=NPNB=90。,
'/MPE = ANPB
在△尸〃£ 和△尸 A6 中，\ PM=PN
ZPME = ZPNB
：.XPME义 XPNB,
：.EM=BN.
【变式1】如图，等边ZkBC尸在正方形/BCD内，则NZPD=
400几何专题•第七章 平行四边形
【变式2】如图，已知正方形的面积是64, 为等边三角形，b是CE的中点，AE、BF
交于点G,连接CG,连接8。/于点则/加力=, CG=.
【变式3】如图，在正方形力BCD中，点P, 0为正方形内的两点，且PD=PB, QB=AB, ZCBP=ZQBP,
贝叱50P=.
【变式4】如图，点尸是正方形,BCD的对角线勖上一点，PE人BC于点、E, PFLCD于点F,连接
所给出下列五个结论：①AP=EF； ®AP.LEF；③△4PQ一定是等腰三角形；®ZPFE=ZBAP；
@PD=^EC.其中正确结论的序号是.
【变式5】如图，正方形43CD中，ZC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点5,直
角顶点P在射线4。上移动，另一边交DC于
（1）如图①，当点。在DC边上时，写出可与PQ数量关系（直接写出结论）；
（2）如图②，当点。落在DC延长线上时，写出可与尸。的数量关系（直接写出结论）.
401卷
初中数学题型方法全归纳
【变式6】如图，正方形48CQ,点£、/分别在/。、CD上，^DE=CF, 4/与BE相交于点G.
(1)求证：BE=AF；
(2)若48=4, DE=1,求Z尸的长.
留题型方法8：正方形的判定
【题目特征】判定四边形是否为正方形.
【解题方法】
1 .先证明是矩形，再证明该矩形有一组邻边相等，或对角线互相垂直.
2 .先证明是菱形，再证明该菱形的一个角是直角，或两条对角线相等.
例：已知：如图，在矩形45CZ)中，BE平分/ABC, CE平分/DCB, BF//CE, CF//BE.求证：四
边形BECF是正方形.
【解答】证明：•:BFIICE, CFHBE,
・・・四边形厂是平行四边形，
又•・,在矩形4SCD中，BE平分NABC, CE平分/DCB,
：.NEBA=/ECB=45。,
；・/BEC=90。, BE=CE,
・・・四边形5EC厂是正方形.
【变式1】已知平行四边形Z5CD,对角线相交于点。，且C4=C8,延长5。至点£,使。£=5C,
连接。及
(1)当ZCLLH。时，求证：BE=2CD；
(2)当N/CB=90。时，求证：四边形4CE。是正方形.
402当
几何专题・第七章 平行四边形
【变式2】已知：如图，在△ZBC中，45=4C, ADLBC, 4N为△48C外角NC4M的平分线，CE1.AN.
（1）求证：四边形/OCX为矩形；
（2）猜想当4。、5C满足怎样的数量关系时，四边形ZDCE是正方形，并说明理由.
【变式3】如图，△45。中，。是5C边上的一点，£是4。的中点，过点4作5C的平行线交的延长
线于R且/尸=OC,连接CF.
（1）如果45=4C,试猜想四边形4DC歹的形状，并证明你的结论；
（2） ZUBC满足什么条件时四边形4。。尸为正方形，并证明你的结论.
【变式4】如图，在及△45。中，NB4c=90。, 4D=C。，点£是边4C的中点，连接的延长
线与边BC相交于点R AG//BC,交。£于点G,连接ZR CG.
（1）求证：AF=BF\
（2）如果4B=4C,求证：四边形/尸CG是正方形.
403初中数学题型方法全归纳
【变式5】如图，矩形Z5C。中，AD=6,。。=8,菱形EFG”的三个顶点E、G、〃分别在矩形45s
的边48、CD、上，AH=2,连结C尸.
(1)若DG=2,求证：四边形EFGH为正方形；
(2)若。G=6,求△FCG的面积.
留题型方法9：中点四边形
【图形及结论】
1.任意四边形的中点四边形是平行四边形
结论证明：如图，连接5Q,则和/G为中位线,
：.EH=-BD, EH//BD, FG=-BD, FG//BD,
2 2
：.EH=FG, EH//FG,
・•・四边形EFG”是平行四边形.
2.对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形
结论证明：如图，
则和方G为中位线，
：.EH=-BD, EH//BD, FG=-BD, FG//BD,
2 2
：.EH=FG, EH//FG,
・・・四边形EFG7/是平行四边形，
又•：EF“AC, BDLAC,
：.EF±EHf
・•・四边形EFGH是矩形.
3.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形
结论证明：如图，
则和FG为中位线，
404卷
几何专题・第七章 平行四边形
：.EH=-BD, EH//BD, FG=-BD, FG//BD,
2 2
：.EH=FG, EH//FG,
・・・四边形EFG”是平行四边形，
同理可证：EF=GH= — AC,
2
又•： AC=BD,
：.EF=GH=EH=FG,
・・・四边形EFGX是菱形.
4.对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形
结论证明：如图，
则和尸G为中位线，£厂和G”为中位线，
：.EH=-BD, EH//BD, FG=-BD, FG//BD,
2 2
EF=-AC, EF//AC, GH=-AC, GH//AC,
2 2
又,：AC=BD, ACLBD,
：.EF=GH=EH=FG, EF1EH.
・ •・四边形跖是矩形.
例：已知四边形4BCQ的对角线NC_L5。，E、F、G、〃分别是边48、BC、CD、的中点，那么
四边形EFG/Z是（ ）
A.梯形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
【解答】解：YE、F、G、77分别是边^5、BC、CD、D4的中点,
・ •・根据中点四边形模型的结论可知四边形EFG8为平行四边形，
,:F, G分别是边5C, CQ的中点，
:.FG//BD,同理，HG//AC,
又・・・力。_1_及），
：.AC±FGf
:.HGLFG,即 NFGH=90。.
・ ・・平行四边形由G7Z为矩形.
故选：B.
【变式1】顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（ ）
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【变式2】顺次连接四边形/BCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）
A. AB//CD B. ABLBC C. ACLBD D. AC=BD
405初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，在任意四边形Z5CD中，M. N、尸、0分别是BC、CD、D4上的点，对于四
边形MAPQ的形状，以下结论错误的是（ ）
A.当M、N、尸、。是各边中点时，四边形肱VP0一定为平行四边形
B.当〃、M尸、。是各边中点，且N/BC=90。时，四边形MAP0为正方形
C.当河、N, P, 0是各边中点，且4。=及）时，四边形力0为菱形
D.当M、N、尸、。是各边中点，且4C_L助时，四边形MAP0为矩形
【变式4】如图，在任意四边形45CQ中，AC, AD是对角线，E、尸、G、H分别是线段45、BC、
AC、4。上的点，对于四边形跖G”的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出
如下结论，其中错误的是（ ）
A.当从F、G、〃是各条线段的中点时，四边形EFG”为平行四边形
B.当E、F、G、〃是各条线段的中点，且助时，四边形斯G”为矩形
C.当E、F、G、碇各条线段的中点，且45=8时，四边形EFG”为菱形
D.当从F、G、〃不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
【变式5】如图，任意四边形/BCD中，E、F、G、〃分别是45、BC、CD、以上的点，对于四边
形EFGa的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是
（ ）.
A.当£、F、G、〃是各边中点，且/。=及）时，四边形EFG8为菱形
B.当£、F、G、〃是各边中点，且时，四边形跖G7Z为矩形
C.当£、F、G、〃不是各边中点时，四边形EFG〃可以为平行四边形
D.当£、F、G、〃不是各边中点时，四边形£FG"不可能为菱形
406几何专题-第七章 平行四边形
留题型方法10：垂美四边形
1.图形:
2 .条件：
如图，四边形45CD的对角线ZC和四垂直，垂足为。.
3 .结论：AB2 + CD2 = AD2 + BC2 .
4 .结论的证明：
在及△ZOQ中，OA2-^-OD2 = AD2 ,①
在及ZUOB 中，OA2 +OB2 = AB2,②
在及△C。。中，OC2+OD2= CD2 ,③
在及△BOC中，OB2 + OC2 = BC2 ,④
① + ④可得：OA2 + OD2 + OB2 + OC2 = AD2 + BC2 ,
② + ③可得：OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = AB2 + CD2 ,
所以，AB2+CD2= AD2 + BC2.
【变式 1】四边形4BCZ）中，AC1BD, AB=7, CD=11, 5C=13,则40=
【变式2】如图1,对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.
(1)概念理解：如图1,在四边形/BCD中，AB=AD, CB=CD,问四边形48CD是垂美四边形吗？
请说明理由；
图1
407当
初中数学题型方法全归纳
(2)性质探究：如图2,四边形45CQ的对角线4C、BD交于点O, ACA.BD,试证明:
AB2 + CD2 = AD2+BC\
图2
(3)问题解决：如图3,分别以及△4CB的直角边/C和斜边为边向外作正方形4CFG和正方形
ABDE,连结CE、BG、GE.已知ZC=2, AB=5,求G£的长.
图3
留题型方法H:十字架模型
1 .图形:
2 .条件：正方形45c。中，MN.LEF.
3 .结论：MN=EF.
4 .结论的证明：
如图，作于兄 作MG_LCQ于G,
那么，FH//CD, MG//BC, FH=CD=BC=MG,
：.FH±MG,
：.ZMQH=90°,
：.ZNMG + ZMPF=90°,
又•： MN1EF,
：.ZEFH+ ZMPF=90°,
・•・ ZEFH=ZNMG,
：.AEFHNMG,
：.MN=EF.
408卷
几何专题・第七章 平行四边形
特别地：
如图，正方形Z3CZ)中，若BELCF,则
【变式1】如图所示，正方形48C。中，£为5c边上一点，连接4£,作ZE的垂直平分线交45于G,
交CD于F,若DF=2, 5G=4,贝!)4£的长为.
【变式2】如图，正方形45s中，点£、厂分别在边CD, 4。上，BELCF于点、G.若BC=4, AF=1,
则CE的长为.
【变式3】如图，在正方形45C。中，£是3。边上的点，的垂直平分线交CQ、AB与点、F、G.若
BG=2BE,则。尸:CF的值为.
【变式4】已知：在等腰直角△4SC中，ZBAC=90°, AB=AC, £是4。边上的点，AFLBE交BC于
点。，如果，£=CD
求证：(1) BF平分NABC；
(2) AB+AE=BC.
409初中数学题型方法全归纳
留题型方法12：已知多中点，构造中位线
【考查知识点】三角形中位线
1 .定义：
n
连接三角形两边中点的线段. 若。£为八45。的中位线，则
2 .定理：
DEHBC, ^DE = -BC .
三角形中位线平行于三角形的第三边且等 2
于第三边的一半. B ------- C
3.三角形中位线里隐含重要性质：
①三角形的三条中位线将原三角形分割成 EF、GE、Gb是△48。的三条中位线，则有：
四个全等的三角形. ①AEBF^ △ CFG 之△FG£.
② C /\EFG = ­ C^ABC f SA£FG = —S /^ABC .
2 4
②三角形的三条中位线组成一个三角形，其 AA
周长为原三角形的周长的一半，其面积为原
三角形面积的四分之一.
B 乙~~p-Y
当题目已知有多个中点时，考虑构造中位线解题.
例：如图，已知四边形45CQ中，AB=CD, £、F为AD、5C中点，连接跖与胡的延长线相交于N,
与CQ的延长线相交于Af,求证：NBNF=/CMF.
方法1：
【解析】由题目条件，E、F为AD、中点，所以，想到可以利用中点构造中位线，可以连接4G
取其中点G,连接£G、FG.这样，FG、EG都是中位线了.并且由于Z5=CZ),可以得到£G二尸G,而
要证的两个角可以转化到△川G这个三角形中，从而解决问题.
解：连接4C,取4C中点G,连接£G, FG,
则£G〃C。，SlEG=-CD,
2
FG//AB, ^FG=-AB,
2
•：AB=CD,
；・EG=FG,
：./BNF= NEFG= /FEG= Z CMF.
410卷
几何专题・第七章 平行四边形
方法2：
解：作。G〃45, BG//AD,连接FG, CG,
取CG中点H,连接。“，FH,
易诬FHIIBG,且FH=LbG二DE,
2
・・・四边形。及E为平行四边形，
又•： AB=DG=CD,
：.ZBNF= ZMKD= Z GDH= Z CDH= Z CMF.
方法3：
解：作EGIIAB, BG//AE,
连接Gb并延长至X,使得FH=FG,连接C〃，HE,
贝IUEG5为平行四边形，
:•丛BFGQ丛CFH, CH//BG//AD,
旦 CH=BG=AE=DE, GF=HF,
则四边形为平行四边形，
:.EH//CM,
又知48=GE, CD=EH,
：.ZGEF=ZHEFf
*： ZBNF=ZGEF,
/CMF=/HEF,
：./BNF= /CMF.
【变式1】如图，在△ZBC中，D、E、尸分别是45、BC、4C的中点，若△/BC的周长为20c冽，则
厂的周长为.
【变式2】如图，在及△ZBC中，NC=90。，AB=2,点、D、£分别是直角边5C、力。的中点，则DE
的长为.
411初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，△ZBC中，AB=AC 三6, BC=8, 4£平分NA4c交5C于点E,点。为45的中点，连
接。。则△及用的周长是_________.
B
E
【变式4】如图，在四边形45CD中, E、F分别为AB、CD的中点.求证：EF<-(AC + BD).
2
D
B C
【变式5】已知四边形/BCD是梯形, AD//BC,如图，E、F是BD、ZC中点，试写出£N与49、BC
之间的关系.
A_____ D
£AC
B C
412林
几何专题・第七章 平行四边形
留题型方法13：已知直角三角形，构造斜边中线
【考查知识点】三角形斜边中线：
定理：
直角三角形斜边上的中 X 相关结论：
线等于斜边的一半. (1) AD=BD=DC；
若40为及△N5C斜边上 / \
(2) AABD, ZUC。为等腰三角形；
1 B 0 c
(3) ZADB=2ZC, ZADC=2ZB.
的中线，则3
拓展：
在由两个直角三角形组成的图中，M为中点.
相关结论：
(1) AM=MD；
(2) ZAMD=2ZABD.
D M
当题目已知直角三角形时，考虑构造斜边中线解题.
例：已知，如图，BD、CE是ZUBC的高，尸是的中点，G是5C的中点，求证：GF±DE.
【解析】题目中出现两个直角三角形，并且有一个公共的斜边BC,
3C的中点是G点，那么作斜边中点为辅助线，那么这两个中线相等.
【解答】证明：连接GE、GD,
■:BD、CE是△45。的高，G是5C的中点，
：.GE=-BC, GD=-BC,
2 2
：.GE=GD,
又,“是。因的中点，
GFLDE.
【变式 1】在及△48。中，NB4c=90。, ADY.BC, E、F、G分别是45、AC. 5C的中点，M^DG
的中点，求证：ME=MF.
413笠
初中数学题型方法全归纳
【变式 2】如图，ZMON=90°, 中，/B4c=90。, AB=2, AC=\, 45在NMCW上滑动，求
0 c的最大值.
【变式3】已知：在△MC中，N45C=90。，点£在直线上，与直线4C垂直，垂足为。，且点
M为EC中点，连接DM.
（1）如图1,若点£在线段45上，探究线段5"与0M及乙劭〃）与N5C。所满足的数量关系，并直
接写出你得到的结论；
（2）如图2,若点£在胡延长线上，你（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明.
图1
【变式4】如图，在五边形4BCQE中，/ABC=/AED=90。, /BAC=NEAD,尸为CD的中点.求
证：BF=EF.
414留题型方法14：二倍线段的处理
要证明线段具备2倍关系时：
1 .找到短段线的2倍长，证明其2倍长等于长线段.
找段线的2倍长的方法有：直接延长2倍，利用中位线、直角三角形斜边中线、30。角对的直角
2 .取长线段的一半，证明其一半等于短线段.
找长线段的一半的方法有：直接取中点，利用中位线、直角三角形斜边中线、30。角对的直角边.
注：当题目条件出现2倍线段时，用这个方法把条件转化为线段相等.
已知△48。中，AB=AC, £是43边上的中点，延长45至点。，使得BD=4B,求证：2CE=CD.
E B
方法1：
【解析】要证2CE=C。，不能利用性质定理直接得到.那么我们去找短线段C£的2倍，想办法证明
它的2倍和长线段C。相等就可以了.找2倍最直接的方法就是倍长，我们发现CE又是中线，所以可
以倍长中线去作辅助线.
【解答】证明：延长至尸，使得EF=CE,连接3R
YE是劣边上的中点，
：・AE=BE,
又EF=CE, NAEC= /BEF, A \..........
:AAEC咨 ABEF, / /
i/
；・BF=AC, ZA=ZEBF, J
r
又・・Z8=ZC, BD=AB,
：.BF=BD, ZACB=ZABC,
又•；/CBD=NA+ /ACB, /CBF=/EBF+ /ABC,
:・/CBD=/CBF,
又•： BC=BC,
；・ACBFQACBD,
：.CD=CF=2CE.
方法2：
【解析】方法1倍长CE到E连接的是8R那么也可以连接Z尸去解题.
【解答】证明：延长C£至R 使得EF=CE,连接ZR C
・ ・・£是45边上的中点，
：.AE=BE, 月/ /
又・：EF=CE, ZAEF=ZBEC, \ /E
\ /
・ •・△AEF 义 ABEC, v
F
:・AF=BC, /CBE=/EAF,
415初中数学题型方法全归纳
又・：AB=AC, BD=AB,
：.AC=BD, NACB=/ABC,
又•： NCBD=/CAB+ NACB, ZCAF=ZCAB + AEAF,
；./CBD=NCAF,
:・/\CBD 沿 ZXCAF,
：.CD=CF=2CE.
方法3：
【解析】通过倍长CE找到其2倍，使问题得以证明.那么我们能不能利用中位线找到它的2倍呢？
题目中，£是中点，所以，如果。也是某线段中点，那么，CE就是中位线了，对应的边就是CE的2倍
了.所以，可以想到，倍长ZC到尸点，再连接5R这样5尸就是C£的2倍.接下来只需要证明及格于
CD即可.
【解答】证明：延长ZC至尸，使得CF=ZC,连接5尸，
・ ・・石是45边上的中点，
：・AE=BE, 一
/产
又「dC, / /
/ /
・ ・・C£是中位线，BF=2CE, C7 /
又・；AB=AC, BD=AB,
/ 1
：.CF=BD, NACB=NABC, 4 —b------
:./CBD=NBCF,
:.XCBD 空 XBCF,
：.CD=BF=2CE.
方法4：
【解析】倍长ZC找到C£的2倍，那么倍长5C是否也可以呢？所以，可以想到，倍长5。到尸点，再
连接力尸，这样4尸就是CE的2倍.接下来只需要证明//等于CQ即可.
【解答】证明：延长5。至R使得CF=5C,连接ZR
・ ・・£是43边上的中点，
:・AE=BE, f ,
又•： CF=BC, ! \
/ \ r
・ ・・CZ是中位线，AF=2CE, I 公、
又,；AB=AC, BD=AB, ；/
:・AC=BD, /ACB=/ABC, ~~\---------
tL " U
：・/CBD=/ACF,
:•△CBDm4FCA,
:・CD=AF=2CE.
方法5：
【解析】通过找C£的2倍的方式已经试过了，当然，有兴趣的同时可以再想想有没有其他找2倍
的方法.接下来，我们思考找长线段CD的一半，那么找CQ一半的最直接的方式就是取中点了.可以
取CD中点为产，连接8R接下来只需要证明C/减。厂和CE相等就可以了.
【解答】证明：取CQ的中点为R连接5R
416春
几何专题・第七章 平行四边形
・・・CF=DF,
又,： BD=AB,
・・・5厂是中位线，
：.AC=2BF, NA=/CBD, C
又•: AB=AC, E 为 4B中点,
:・AE=BF, AC=BD, , / /
:.LAEC 咨 ABFD, ° 〃
:・CE=DF,
：.CD=2CE.
方法6：
【解析】继续想办法找8的一半，我们看到B是ZD的中点，所以想到利用中位线找到C。的一半，
可以取4。中点为R连接砥，那么，及喝中位线，等于C。的一半，那么，接下来只需要证明3厂和C£
相等就可以了.
【解答】证明：取4。的中点为R连接8尸，
又 YBD=AB, ©
・・・b尸是中位线， 产力
：.CD=2BF,
又・・・AB=AC, E为4B中点, A E B D
:・CE、5尸分别是等腰三角形腰上的中线，
；・CE=BF,
：.CD=2CE.
【变式1】已知：在△45。中，40为中线，且NA4D=90。，ZDAC=45°,求证：AB=2AD.
【变式2】如图，已知在等腰直角△45C中，AB=AC, ZBAC=90°, BD平分/ABC, CELBD交BD
的延长线于点£,求证：BD=2CE.
417初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，在中，5。是4。边上的中线，AD_L5C于点8, NABD=30。,求证：AB=2BC.
留题型方法15：不规则图形辅助线
在一边四边形的边角计算中，我们需要将一般四边形化为特殊的图形才能进行解题.那么，在作
辅助线时就有两种思路.
一种是向内分割.意思是在四边形内部作辅助线，通过辅助线,把四边形分割成几个部分，每一
个部分是三角形或者特殊的四边形，如平行四边形，菱形，矩形，正方形.一般是在内部作垂线、平
行线，把四边形分割为几部分.
另一种是向外补形.意思是在图形外部作辅助线，把图形补成一个特殊的图形，比如，特殊的三
角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形.一般是延长一组对边相交于一点，这样会补成一个三角形,
也有通过作垂线，把四边形补成矩形或者正方形的.
例：如图，在四边形4SCZ）中，NA=NBCD=90。, ZADC=60°, BC= 273,40=10,求45的长.
方法1：向外补形
【解析】观察到N4=90。，ZADC=60°f这样把QC、45延长交于一点£,就相当于把四边形补成
了一个直角三角形，而且还是一个特殊的直角三角形，方便我们进行各项计算.
【解答】解：延长OC、AB交于一点E,
V ZA=90°, ZADC=60°,
：.Z£,=30°, aE
'：AD= 10 f CT I
厂 /\B
:・AE=\oS , /
又・・・N5C0=9O。， /
J /BCE=90。, ■―
又・・・NE=30。，BC=?6
：・BE= 4也,
：.AB=AE-BE= 673 .
418方法2：向内分割
【解析】观察到NZQC=60。，所以，可以过。点作4。的垂线，这样可以构造出直角△CDE,剩下
四边形45CE继续进行分割，过5点过C£的垂线HR 这样就分割出一个矩形4及名，一个直角△BCF,
这样就把这个四边形分割成了三个特殊的几何特性了，接下来就是计算了.
【解答】解：过。点作于瓦点，作5CE于尸点，
则△C。。△BCF是含有60。角的直角三角形，
四边形力及名是矩形，
在RfABCF中,BC=243 , 夕、,
则 C厂二百，BF=3, /f
又・・•四边形4瓦方是矩形， / ：
：.DE=AD-AE=7,
在及△CZ)£中，DE=7,
则 C£: 7G ,
：・AB=EF=CE - CF= 66.
方法3：向内分割
【解析】观察到NZDC=60。，NBCD=90。,所以，可以过5点作4)的平行线交C。于E点，这样
NBEC=/ADC=60。,这样，△5CE就是一个特殊的直角三角形了.然后再将四边形继续分割.过£
点作的垂线这样就把四边形45S分割成两个特殊的直角三角形及一个矩形了，这样就方便我
们计算了.
【解答】解：过B点、作BE//AD交CD于E点、,作于厂点，
9： BE HAD,
：・NBEC=NADC=60。,
在及△BCE中，BC= 2V3 ,
则 5£=4,
,/四边形是矩形， △ UU ―
；・AF=BE=4, D F
：.DF=AD-AF=6,
在RfADEF中,DF=6,
：.AB=EF= 6G .
注：此题还有其他分割和补形的方法，大家可以自己去尝试一下，体会一下各种辅助线做法.
【变式1】如图，在四边形/8C。中，AB=AD, NABC=NADC,求证：BC=CD.
419卷
初中数学题型方法全归纳
【变式 2】如图，在四边形45CQ中，AB//DC, N/8C=90。，AB=2, BC=3, ZD=45°,求。。的
长.
【变式3］如图，已知ABLBC, ZA=30°,求NC
420卷
几何专题-第八章 旋转
国题型方法1:图形旋转的性质
【题目特征】依据图形旋转解题.
【解题方法】已知旋转，立马得到以下结论：
1.旋转角相等；
2.对应点到旋转中心距离相等；
3.旋转前后图形全等，进而对应边和对应角相等.
例：如图，在△ZBC中，NA4C=120。，将△ZBC绕点。逆时针旋转得到△DEC,点4、5的对应点
分别为。、E,连接Z/X当点4、D、£在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. ZABC=ZADC B. CB=CD
C. DE + DC=BC D. AB//CD
【解答】解：由旋转的性质得出CQ=C4, /EDC=NCAB=120。,
•・,点4、D、£在同一条直线上，
・・・ZADC=60°,
：.△4DC为等边三角形，
J ZDAC=60°,
：.ZBAD=60°=ZADC,
：.AB//CD.
故选：D.
【变式1】如图，将△48。绕点4逆时针旋转55。得到△/££若NE=70。且4D_LBC于点R则N5/C
的度数为（ ）
D. 80°
【变式2】如图，将△ZBC绕点。按逆时针方向旋转65。后得到△ZEC,若N4CB=20。，贝！］N5C©
的度数为°.
421卷
初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，在△ZBC中，ZBAC=102°f将△ZBC绕点4按逆时针方向旋转得到△/夕C',若
点9恰好落在5c边上，且4"=C9,则NC的度数为（ ）
A. 24° B. 26° C. 28° D. 36°
【变式4】如图，在比中，ZACB=90°, CQ是△/BC的角平分线，将汝△ZBC绕点4旋转,
如果。的对应点C恰好落在射线CZ）上，点8落在点9处，则NQCC的度数是（ ）
A. 45° B. 120° C. 135° D. 150°
留题型方法2：奔驰模型
1 .图形：
A
2 .特征：需要探讨以、PB、尸C三条线段长，或它们的夹角.
3 .解题方法：遇到“一点连三线”就选择旋转其中一个三角形（也可理解为构造两个等边三角形
的手拉手模型解题）.如下6种图形：
422几何专题-第八章旋转
以上两个图形都相当于等腰直角三角形内部一点连着三个顶点.那么解题的方法是以/P为直角边
Z为顶点再构造一个等腰直角三角形，构成两个等腰直角三角形的手拉手模型.如下图：
D
【变式1】如图，正三角形48。内一点尸，以=3,尸3=4, PC=5,
【变式2】如图，正方形45c。内一点尸，PA=45 , PB=42, PC=\,求正方形的边长.
【变式3】如图，尸是等边△口。外一点，PA=3, PB=4, PC=5,贝
423卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法3：费马点
在△Z5C内找一点尸，使得以+尸8 +尸。最小，那么这个符合条件的尸点就称为费马点.
A
一位业余数学家费马发现了，若点尸满足NZ尸B=N5PC=NCB4=120。，则我+尸8 +尸。值最小,
所以，把这个尸点称为该三角形的费马点.
一、如何找到三角形的费马点？
如图1, △48。的每个内角都小于120。，以三角形的每个边向外做等边三角形，连接等边三角形
外面的顶点和所对的顶点.那么，这三条连线交于一点，这个点就是费马点.
如图2, ZX”。的有一个内角大于120。，以三角形的每个边向外做等边三角形，连接等边三角形
外面的顶点和所对的顶点.那么，这三条连线交于一点，此时，这个交点在。外，那么，这个大
于120。角的顶点即为费马点.
二、证明费马点是PA + PB + PC取得最小值的点
如图，ZUBC为锐角三角形，分别以48、ZC为边向外作等边及）、/\ACE,连接C。、BE, CD、
BE交于P点、,求证：在三角形45。中，。点是使得我+%+尸。取得最小值的点.
【解析】证明：将A4C尸绕着点4逆时针旋转60。至△%£「，
那么CP=£P, AP=AP, NK4P=60。，
所以，△力?「为等边三角形，所以，AP=PP\
所以，PA+PB + PC=BP + PP' + EP' >BE,当尸点在58上某一点时取得最小值,
同法可证，PA + PB + PC>CD,当尸点在CZ）上某一点时取得最小值，
所以，P点、在BE, CD的交点上时，我+尸5 +尸。取得最小值.
424菱_______
几何专题・第八章 旋转
三、题型
1.普通费马点求最值；
2.不定三角形费马点求最值；
3.加权费马点求最值.
四、解题方法
1 .以三角形某一边为边向外做等边三角形，确定等边三角形的第三个点;
2 .求这个点到三角形另外一个点的距离就是最小值.
【变式1］如图，边长为6的等边△45。内一动点。，则D4+Q5 +。。的最小值为
【变式2】如图，点。是等腰及△Z8C内一动点，ABf ,求我+尸5 +尸。的最小值.
【变式3】如图，4、B、。三个村子位置的平面图，经测量ZC=4, BC=5, ZACB=30°f P为AABC
内的一个动点，连接口、PB、PC,则刃+P5 + PC的最小值为.
【变式4】正方形45CZ）边长为2,尸是内部任意一点，则山+尸5 +尸。的最小值为
425卷
初中数学题型方法全归纳
【变式5】矩形Z8C。中，4D=4, AB=S,尸是矩形内任意一点，则以+尸C +尸。的最小值为
【变式6】如图，正方形边长为6, E为CD边上一动点、,连接BE, P为LABE内一动点、,
求口 +PB +尸E的最小值.
7］如图，矩形45CD边40上有一动点尸，矩形内有一动点43=6, BC=10,求EF + EB
+ EC的最小值.
【变式8】如图，在中，ZACB=30°, BC=6, AC=5,在△ZBC内部有一点尸，连接口、PB、
PC,则弘+必+后尸。的最小值为.
426几何专题-第八章旋转
:如图，在△ZBC中，NACB=30。, BC=6, AC=5,在内部有一点尸，连接口、PB、
PC,则以+尸5+6尸。的最小值为.
如图，在△4&C中，N4c5=30。，BC=6, AC=5,在△45C内部有一点P,连接E4、PB、
PC,则—B4 + P5+火2。的最小值为.
2 2
1式l i在边长为4的等边△48。中，P为△48。内部一点，求/尸+ 2AP+V?尸。的最小值.
在△ZBC内部有一点尸，连接F4、PB、PC, ZACB=30°, BC=6, AC=5,则 2F4 + 4尸8
+生产C的最小值为.
2
427海
■
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:弧、弦、圆心角、圆周角的关系
【题目特征】弧、弦、圆心角、圆周角的相关计算.
【考查知识点】与圆有关的角：
1 .圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数.
2 .圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫作圆周角.
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半；
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等.
3 .直径所对的圆周角是直角.
例1：如图所示，正六边形45。。£尸内接于圆。，则乙〃阳的度数为（ ）
【解答】解：,・•正六边形4&CZ）及呐接于圆。,
・•・AB的度数等于360。+6=60。，
J ZADB=30°,
故选：C.
例2：如图，45是半圆的直径，C、。是半圆上的两点，且/84。=46。, AD = CD ,则
ZDAB=°.
【解答】解：・・・川是半圆。的直径,
・•・ ZACB=90°f
9： NA4C=46。,
J NB=44。.
J NZQC= 180。- 44。=136。.
'：AD = CD ,
428称
几何专题・第九章圆
：.AD=DC,
180。-136。
：.ZDAC=ZDCA= = 22。
2
・•・ NBAD=/DAC+ NB/C=22° + 46°=68。,
故答案是：68.
【变式1】如图，4、B、C、。是。。上的四点，AB=DC.求证：AC=BD.
【变式2】如图，AB、S是。。的直径，弦CE//AB,无所对的圆心角为30。.求N/OC的度数.
【变式3】如图，在。。中，弦45与弦CD相交于点£,且45=CD 求证：CE=BE.
【变式4】如图，C,。是。O上直径两侧的两点，设N45C=25。，贝!|NMC=( )
429初中数学题型方法全归纳
【变式5】如图，与CD是。。的两条互相垂直的弦，交点为点尸，NZ5C=70。，点£在圆上，贝I」
的度数为（ ）
A. 10° B. 20° D. 40°
【变式6】如图，4、B、。是。。上的三个点，N/OB=60。，/B=55。,则N/的度数是（ ）
【变式7】如图，点A B、。在。。上，ZBAC=54°,则N5OC的度数为（ ）
【变式8】如图，45是。。的直径，点。在。。上，连接。C, ZC,若NOC4=26。，贝ijN50C=（ ）
【变式 9】如图，点4、B、C、D、E在。。上，AB=CD, ZAOB=42°,则NC£Q=（ )
A. 48° B. 24° C. 22° D. 21°
430留题型方法2：圆内接四边形
【题目特征】与圆内接四边形有关的角度计算.
【考查知识点】圆内接四边形：
1.圆内接四边形的对角互补；
2.外角等于它的内对角.
例 如图，四边形是。。的内接四边形，是。。的直径，连接ZE.若NBCD=2/BAD,
则ND4E的度数是（ ） b
A. 30° B. 35°
C. 45° D. 60° / / \\
【解答】解：・・,四边形45CD是。。的内接四边形,
:.ZBCD+ ZBAD=1^0°,
/BCD=2/BAD,
：.ZBCD=nO°, /胡。=60。，
「BE是。。的直径，
・ •・ NBAE=90。,
：.ZDAE=90° - ZBAD=90° - 60°=30°.
故选：A.
【变式如图，四边形4BCQ内接于。。，如果它的一个外角NOC£=64。，那么N3OD的度数为
A. 64° B. 128° C. 120° D. 116°
【变式2】如图, 四边形4BCQ内接于。。，若N4=80。，则NC的度数是（
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°
431海
初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，四边形4BCD为。。的内接四边形，已知N5O0=14O。，则N3CD的度数为（ ）
A. 100° B. 110° D. 140°
【变式4】如图，四边形4BCD内接于。。，£为。。延长线上一点. 若 NBCE=105。，则 N5QD的度
数是（ ）
A. 150° B. 105° D. 165°
留题型方法3：点圆的位置关系
【题目特征】与点圆位置关系有关题目.
【考查知识点】点圆的位置关系：
设点到圆心的距离为d,半径为心
当dv尸时，点在圆内；
当2二尸时，点在圆上；
当时，点在圆外.
【解题方法】根据点和圆心的距离与半径大小比较，得到位置关系.
例：在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为2,点4（1,6）与。。的位置关系是（ ）
A.在。。上 B.在。。内 C.在。。外 D.不能确定
【解答】解：・・,点4（1,遮），
：.AO= V12+（V3）2=2 ,
• ••。0的半径为2,
・ ••点4在。。上，
故选：A.
【变式1】在平面内，。。的半径为5c加，点P到圆心。的距离为6c加，则点尸与。。的位置关系是
点P在.（填“圆内”“圆外"或"圆上”）.
432卷
几何专题-第九章圆
【变式2】已知。。的半径为5c加，点P在。。内，则。尸 5cm (填“>"、«<"或"二”)
【变式3】平面直角坐标系中，。。的圆心在原点，半径为5,则点P(0,4)与。O的位置关系是( )
A.点尸在。。内 B.点尸在。。上 C.点尸在。。外 D.无法确定
【变式4】已知点C在线段“吐，且。々心板如果。。经过点/,那么点2与。C的位置关系
是.
留题型方法4：直线和圆的位置关系
【题目特征】与直线和圆的位置关系有关题目.
【考查知识点】直线和圆的位置关系：
(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交.
(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切.这条直线叫作圆的切线，公共点叫
作切点.
(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离.
下面图①中直线与圆心的距离小于半径；图②中直线与圆心的距离等于半径；图③中直线与圆心
【解题方法】如果。。的半径为外，圆心。到直线，的距离为d,那么
(1)8厂。直线［与。O相交；
(2) 4=尸=直线］与。0相切；
(3)冷尸=直线，与。。相离.
例：已知平面内有。。和点4、B,若。O半径为2cm,线段O4=3c加，OB=2cm,则直线45与。O
的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切
【解答】解:。。的半径为2c加，线段。4=3。加，OB=2cm,
即点4到圆心。的距离大于圆的半径，点5到圆心。的距离等于圆的半径，
・••点4在。。外，点5在。。上，
・・・直线45与。。的位置关系为相交或相切，
故选：D.
433初中数学题型方法全归纳
【变式1】已知。。的圆心。到直线/的距离为5,。。的半径为3,则直线［和。。的位置关系为
( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
【变式2】在平面直角坐标系中，以点4(2,1)为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
【变式3】已知。。的半径为5,点。到直线，的距离为3,则。。上到直线，的距离为2的点共有
( )
A・1个 B・2个 C. 3个 D. 4个
【变式4】在平面直角坐标系中，以点(-2,3)为圆心，半径为3的圆一定( )
A.与x轴相切，与y轴相切 B.与x轴相切，与y轴相交
C.与x轴相交，与y轴相切 D.与x轴相交，与y轴相交
【变式5】如图，在中，ZC=90°, /B=30。, AC=2,以。为圆心，升为半径作圆.若该圆
与线段45只有一个交点，贝卜的取值范围为.
C
留题型方法5：弧长和扇形面积
【题目特征】与弧长和扇形面积计算有关题目.
【考查知识点】圆中有关计算公式：
(1)圆的面积公式：S = 7VR2,周长C = 2»R.
(2)弧长：圆心角为心、半径为凡1 = —.
180
(3)扇形的面积：圆心角为胪，半径为凡 弧长为Z, S = ^- = -lR.
360 2
(4)弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算：
①当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S-
②当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+$△.
③当弓形所含弧为半圆时，5弓=」5圆.
2
434几何专题-第九章圆
例:将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个扇形的弧长为5»,
则另一个扇形的圆心角度数是多少？（ ）
A. 30° B. 60° C. 105° D. 210°
【解答X解：由题意可求得圆形的周长C=2%x6 = 12» ,
其中一个扇形的弧长，1=5%,贝!）另一个扇形的弧长，2= 12%-5% = 7乃,
设另一个扇形的圆心角度数为几。，
根据弧长公式：/ ="，有：
180
7» =丝交，解得〃=210.
180
故选：D.
【变式1】如图，在边长为2的等边△45。中，。是5。边上的中点，以点4为圆心，4。为半径作圆
与AB, 4C分别交于£、尸两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. - B. - C. - D.—
6 3 2 3
【变式2】用半径为30c加，圆心角为120。的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底
面半径为（ ）
A. 5cm B. 10cm C. 15cm D. 20cm
【变式3】将一个圆锥展开后，其侧面是一个圆心角为108。，半径为12c加的扇形，则该圆锥的底
面半径是（ ）
A. l.Scm B. 3.6cm C. 4cm D. 6cm
【变式4】已知扇形的半径为6,圆心角为150。，则它的面积是（ ）
3
A. -71 B. 3% C. 5冗 D. 15〃
2
【变式5】一个圆锥的底面半径为1c加，侧面积为4万。苏，现将其侧面展开平铺成的扇形的圆心
角为（ ）
A. 90° B. 135° C. 60° D. 45°
435春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法6：与圆周角、圆心角有关辅助线
【题目特征】与圆周角、圆心角有关的题目.
【考查知识点】
1 .圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
2 .同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
3 .90。的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
【解题方法】遇到与圆周角、圆心角有关角度计算时，通过辅助线作出同弧所对的两个圆周角,
或者同弧所对的一个圆心角、一个圆周角.如图所示：
所以，辅助线常是构造同弦所对的圆心角、圆周角;
或者，连接多个半径，构造等腰三角形.
例：如图，4、B、£为。。上的点，。。的半径于点。，若/CEB=30。, OD=\,求ZB的
长为多少？
【解析】题中已知弧所对的圆周角NCE5=30。, 所以，可连接。3,做出弧5C的圆心角，由圆
周角定理可得，ZCOB=60°,再由垂径定理可解题.
【解答】解：连接05,
・・・45是。。的一条弦，0C_L/5,
：.AD=BD,即48=2及)，
NCEB=30。,
：.ZCOB=60°,
V 0/)=1,
/. BD= 1 ><tan60o= V3 ,
：.AB= 2百.
【变式1】如图，已知/、B、C、D、Et匀在。。上，且ZC为直径，则NZ + N5+NC=度.
E D
436卷
几何专题・第九章圆
【变式2】如图，是。。的直径，C、D、£都是。。上的点，则N1 + N2=
【变式3】如图，四边形4BCZ）为。。的内接四边形，连接4C、BO,已知NG4B=36。，ZABO=30°,
则 NO=.
【变式4】已知，如图，。。上三点/、B、C, ZACB=60°, AB=m,试求。。的直径长.
【变式5】如图，。方的直径胡的延长线与弦。。的延长线交于点£,且CE=FB,已知NDF5=72。,
则等于.
437海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：与垂径定理有关辅助线
【题目特征】与半径、弦长、弦心距计算有关的题目.
【考查知识点】垂径定理及推论：
1 .垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
2 .平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
3 .弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧；
4 .平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦；
5 .平行弦夹的弧相等.
【解题方法】遇到与弦长、半径、弦心距有关的边长计算时，如图所示，往往可以通过构造等腰
△OAB,再作于点C,那么就构造出了直角△04。和直角可以利用勾股定理进行边长
的计算.
例：如图，。。的直径CD=5c加，48是。O的弦，ABLCD,垂足为OM:OD=3:5.贝的长
是多少？
【解析】要计算弦长，构造直角三角形，连接04,那么即为直
角三角形.
【解答】解：连接04,
• ••CD是。。的直径，48是。。的弦，ABLCD,
:・AB=2AM,
■ ： CD=5cm,
• •• OD—OA — — CD= — x 5=—,
2 2 2
•；OM:OD=3:5,
3 3 5 3
,\OM=-OD=-x-=-,
5 5 2 2
・•・在及中，AM= VOA2-OM2 = _(|)2 =2 ,
：.AB=2AM=2^2=4cm.
【变式1】已知：。。的半径为13°加，^AB//CD, AB=24cm, CD=10cm.贝必以CD之间的距离
为多少？
438几何专题・第九章圆
【变式2】如图，48是。。的直径，CD为。。的一条弦，CDL43于点及已知CD=4, AE=1,则
。。的半径为
【变式3】如图，。。直径48和弦CD相交于点£, AE=2, £5=6, NDEB=30。,求弦C。长.
国题型方法8:与切线有关辅助线
【题目特征】与切线有关的题目.
【考查知识点】切线：
1 .切线：当直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，公共点叫作
切点；
2 .切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；
3 .切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；
4 .切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.
【解题方法】在与切线有关的题目中，往往构造如下三角形，在切线上取一点、切点、圆心，这
三个点连起来，会构造出直角△ZBC.
1 .已知切线时，连切点和圆心，构造直角三角形；
2 .证明切线时，若已知直线和圆的交点，则连圆心和交点，证明垂直即可；若不知道直线和圆的
交点，则过圆心向直线作垂线，证明垂线段等于半径即可.
439卷
初中数学题型方法全归纳
例：如图，"是。。的切线，切点为4, PA=26 ,NAPO=30。,则。。的半径为( )
A. 1 B. V3 C. 2 D. 4
【解析】已知条件中，切线上有一点尸，切点为4圆心为。，所以，连接这几个点，构造直角三
角形，利用勾股定理进行计算。4即为半径长度.
【解答】解：连接CM,则NCM尸=90。，
又因为口=26，ZAPO=30%
所以，04=2,
故选：C.
【变式1】已知：如图，48为。。的直径，。。过ZC的中点。，DELBC^^E.求证：DE为。0
的切线.
【变式2】如图所示，已知为。。的直径，直线5C与。。相切于点8,过力作力。〃。。交。。于点
D,连接CD
(1)求证：CQ是。。的切线；
(2)若AD=2,直径45=6,求线段5c的长.
440几何专题・第九章圆
【变式3】如图，平行四边形45C。中，以，为圆心，45为半径的圆交40于尸，交BC于G,延长以
交圆于瓦
(1)若勖与。/相切，试判断GD与。4的位置关系，并证明你的结论；
(2)在(1)的条件不变的情况下，若GC=CZ)=5,求♦。的长.
【变式4】如图，点。是以45为直径的。。上一点，过点5作。。的切线，交组)的延长线于点C, E
是5C的中点，连接并延长与48的延长线交于点? 求证：。口是。。的切线.
国题型方法9：隐形圆
一、什么是“隐形圆”？
题目条件中没有直接给出圆方面的信息，而圆其实隐藏在题目中，解题时，也要用到“圆”的相
应知识点，这个隐藏在题目中的圆我们称为“隐形圆”.
含有“隐形圆”的题目，我们称为“隐形圆问题”.
二、解题的关键是什么？
要解决“隐形圆问题”，找到隐形圆，确定圆的圆心和半径是解这类题的关键.
三、如何找隐形圆的？
找隐形圆，常见的有以下方法：
1.找隐形圆方法一：三条及以上等线段共端点.
441如图，若题目已知线段45长度为定值，。为动点，且NZCB的度数为定值，那么，4、B、C三点
共圆，圆心在线段45的垂直平分线上.
①若定角N4C5为锐角，贝IJ圆心0和动点。在线段”同侧.
②若定角NZCB为直角，则圆心。在43中点，45为直径.
③若定角N4CB为钝角，贝IJ圆心。和动点C在线段两侧.
442几何专题・第九章圆
4.找隐形圆方法四：四边形对角互补，四个顶点共圆.
如图，若题目已知四边形48CD的对角互补（乙4 + /。=180。或/6+/。=180。），则，、B、C、D
四点共圆，不过此时圆心很难确定.如果题目再已知某一个角等于90°,这时候我们才能确定圆心位置,
因为90。角所对的弦是直径.
5.找隐形圆方法五：线段同侧所对的两个角相等.
如图，若题目已知定线段43所对的两个角，NACB=NADB,则4、B、C、。四点共圆，不过此
时圆心很难确定.如果题目再已知某一个圆心角等于90。，这时候我们才能确定圆心位置，因为90。角
所对的弦是直径.
如图，已知四边形48CQ中NBAC=24。, NCAD=75。, ^\ZBDC=度,
ND5C的为 度.
如图，已知48=4C=4D, /CBD=2NBDC, NA4C=44。，则NC4。的度数为.
5如图，在及△48。中，NC=90。，AC=6, BC=8,点尸在边，。上，并且CF=2,点£为边
6C上一动点，将尸沿着直线£尸翻折，点C落在点P处，贝U点尸到边48距离的最小值是.
443壹
初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，已知正方形Z5CD的边长为5, I是过点4的任意一条直线，点M是点。关于直线/
的对称点，连接C",则线段C环长度的最大值是
【变式5】如图，矩形力BCD, AB=3, BC=4, E、F为边AB、SC上的动点，且£尸=3,石尸的中点为
G,则。G的最小值为
【变式6】如图，等腰直角△45。中，ZACB=90°f AC=BC=4,。为线段ZC上一动点，连接5。,
过点C作于连接/〃，贝！U”的最小值为.
【变式7】如图，在边长为2的等边△45。中，若P是其内部一动点，且满足NZPC=150。，则线段
尸5长度的最小值为.
【变式8】如图，正方形/BCD的边长为2g,点尸为正方形外一动点，N4PQ=45。，点£是勿的
中点，则线段P£的最大值为.
444卷
几何专题・第九章圆
【变式9】已知平面直角坐标系中两定点，(-1,0), 8(4,0),抛物线7="2 +区一2过点4、B,顶点
为C,点、P(m,n),为抛物线上一点，其中K0,
(1)求抛物线的解析式和顶点。的坐标；
(2)当N4P5为钝角时，求M的取值范围.
【变式10］如图，矩形中，AB=4, 8C=6,点P为4D边上一动点,E为尸。中点，F为PB上一
点，且满足EF=ED,连接ZR当点P在，。上运动过程中，则/尸长度的最小值为.
【变式11］如图，在矩形Z5CQ中，/5=4, BC=3,点、E, F分别为AB, CQ边的中点，动点尸从£
出发沿E4向4运动，同时，动点。从点尸出发沿尸。向C运动，连接尸。，过点5作5”，尸。于点H 连接
DH,若点尸的速度是。的速度的2倍，则点尸从点£运动至点4的过程中，线段。〃长度的最小值
为.
【变式12］如图，已知△/吕。中，4H是高,4T是角平分线，且于。，TELAC^E,求证:
(1) ZAHD=ZAHE；
(2) BHIBD=CHICE.
445初中数学题型方法全归纳
【变式13］如图，锐角△48C中，BD、C£是高线，DGLCE^G, EFLBD^F,求证：FG//BC.
【变式14］如图，正方形4BCZ）绕4点旋转至正方形ZP0R连接C0,再连接8P并延长交。0于E,
求证：£为线段C。的中点.
留题型方法10：阿基米德折弦定理
一个圆中一条折弦（从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦）所
对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.
1 .图形：
2 .条件：45和5C组成圆的折弦，AB>BC,。是弧4SC的中点，DE上AB于点、E.
3 .结论：AE=BC + BE.
4 .结论的证明：
证法1：（截长法）
如下图所示，在45上截取4F=5C,连接D4、DF、DC、DB,
446卷
为弧45。的中点，
：.DA=DC,
• ・,同弧所对的圆周角相等，
・ •・ N4=NC,
:•△AFDQACBD （SAS）,
：.DF=DB,
根据等腰三角形三线合一得尸田=8£,
・ •・ AE=AF + FE=BC + BE.
证法2：（补短法）
如下图所示，延长£8至尸，使£尸=4及 连接。/、DC、DB、DF、AC,
• : EF=AE, DE1.AF,
・ ・・。£为4户的中垂线，DA=DF,
・ ・・。为弧48。的中点，
：.DA=DC=DF,
在△D4C中有N48D=N4CQ=NCW=NA4Z）+NA4C （等边对等角），
在4DBC中有/ABD=/F+ NFDB （外角等于不相邻两内角之和），
1^ZBAD=ZF,
：.ZFDB=ZBAC=BDC,
:.ADBC^ADBF （&4S）,
：.BC=BF,
：.AE=EF=EB + BF=EB + BC
证法3：（垂线法）
如下图所示，过。点作C5延长线的垂线，垂足为尸点，连接D4、DC、DB,
・ ・・。为弧48。的中点，
：・DA=DC,
• ・•同弧所对的圆周角相等，
・ •・ ZA=ZCf
：.ADAE^ADCF (AAS),
:・AE=CF、DE=DF,
又•： DB=DB,
:.RtADEBQRtADFB (HL),
:・EB=FB,
：.AE=CF=CB + BF=CB + EB.
447初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，4。、8C是。。的两条弦，”是弧48的中点，作于点R若BC=6 AC=3,
则4尸=.
【变式2】如图，△48。内接于。。，BC=2,48=4。，点。为4C上的动点，且cosNZ5C= 巫.
10
(1)求45的长度；
(2)在点。的运动过程中，弦4。的延长线交3C延长线于点£,问的值是否变化？若不变,
请求出的值，若变化，请说明理由；
(3)在点。的运动过程中，过4点作4HL8。，求证：BH=CD + DH.
留题型方法11：西姆松定理
西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点，作三边或其延长线上的垂线，则三
垂足共线，此线常称为西姆松线.
1 .图形：
448几何专题・第九章圆
2 .条件：△Z5C的外接圆为圆。，。为圆上异于4、B、。的一点，过。点作45、AC. 5C边或其延
长线上的垂线，垂足分别为£、F、G.
3 .结论：E、F、G三点共线.
4 .结论的证明：
如图，连接4。、CD,
V ZAED=ZAFD=90°f ZCFD=ZCGD=90°,则 NZEQ+NZFD=180。，NCTO+NCGZ>=180。，
：.A. E、F、Z）和尸、D、G、。分别共圆，
在4、E、F、。所在圆内，ZEAD+ ZEFD=1SO°,
在圆。内 /EAD + ZDCB= 180°，
：./EFD=/DCB,
在月、D、G、C所在圆内，ZDFG=ZDCG,
而 NOC5+NQCG=180。,
J ZEFD+ ZDFG=1SO°,
・•・£、F、G共线.
西姆松定理的逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆
上.
1 .图形:
2 .条件：。点为△45C外一点，过0点作45、AC, 5。边或其延长线上的垂线，垂足分别为£、F、
G,且E、F、G三点共线.
3 .结论：。点在△45C的外接圆上.
4 .结论的证明：
连接肛CD,
U：DELAB, DFLAC, DGLBC,
:・D、F、C、G和。、E、B、G分别共圆,
又•： E、F、G共线，
J ZDCA=ZDCF= ZDGF= ZDGE= ZDBE= A DBA,
・・・4、B、C、。四点共圆，
・・・。点在△45C的外接圆上.
449初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，设4。、BE、B为△/BC的三条高线，自。点作Q尸，于尸点，作于。
点，作DRLCF于R点,作。SLZC于S点，求证：。、火在直线PS上.
【变式2】如图，延长凸四边形的边45、DC交于点、E,延长BC交于点F,试证：△5CE、
△CDF、LADE、△，面的四个外接圆共点.
450几何专题・第十章 相似三角形
留题型方法1:平行线分线段成比例
【题目特征】平行线截线段.
【考查知识点】平行线截线段如下图:
如图乙〃/2〃/3,结论：
~AC~~DF
AB AC AB AC BD CE
如图结论:
~BD~~CE，14D~~AEfAD~AE
例：如图，直线/l〃/2〃/3,直线ZC和。方被/1、/2、/3所截, 如果45=2, BC=3, EF=2,那么
的长是（ )
3
A. 2 B.- D.
3 4
【解答】解：,・,直线/】〃/2〃/3,
.AB DE
…而一而
•：AB=2, BC=3, EF=2,
.2 DE
» • -
3 2
：.DE=-,
3
故选：B.
451初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，zX/BC中，DE//BC, GF//AC,下列式子错误的是（ ）
A,也二里 口 AD AE C GM _AE FC_=AG
B. =
•亦一拓
BG BF AB AC DM DG
【变式2】如图，AB//CD//EF, Z厂与5K相交于点G,且4G=2, GD=1, DF=5,则5C:CE=（ )
A. 3:5 B. 1:3 D. 2:3
【变式3】如图，在△ZBC中，DE//AB,且——=2,则——的值为（ ）
AE BC
3 3
【变式4】如图，AD//BE//CF,直线心和心与这三条平行线分别交于点4、B、C和点。、E、F.已
知45=1, BC=3, DF=6,则斯的长为（ ）
A. 4 B. 4.5 D. 5.5
452几何专题・第十章 相似三角形
【变式5】如图所示，k//h//L,直线 、b与h、I八八分别相交于点4、B、。和点。、E、F.若
q
AB=3, DE=2, BC=6,贝（JEF的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
留题型方法2:位似
【题目特征】与位似有关题目.
【考查知识点】位似：
L定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在
一条直线上，那么这两个图形叫作位似图形,这个点叫作位似中心,这时的相似比又称为位似比.
2.性质：位似形的有关性质：（1）两个位似形一定是相似形；（2）各对对应顶点所在的直线都经过同
一点；（3）各对对应顶点到位似中心的距离的比等于相似比；此时，把这个点叫作位似中心.这时的相
似比叫作位似比.
例：如图，在ZUB。外任取一点。，连接4。、BO、CO,并分别取它们的中点。、E、F,顺次连
接EF、QF得到△DEF,则下列说法错误的是（ ）
A. △。£尸与2\45。是位似图形 B. △DEF与△ZBC是相似图形
C. △&EF与△48。的周长比是1:2 D. △DEF与ZUBC的面积比是1:2
【解答】解：・・Z。、BO、C。的中点分别为。、E、F,
J.EF//BC, EF=-BC, DF//AC, DF=-AC, DE//AB, DE=-AB,
2 2 2
453卷
初中数学题型方法全归纳
・ •・△DEFs/\4BC,
・ ・・AD所与ZUBC是位似图形，位似中心为点。，
・ ・・△£）斯与△/BC是相似图形，
尸与的周长比是1:2, △上尸与ZX/BC的面积比是1:4,
・ ・・。选项说法错误.
故选：D.
【变式1】如图，△48。与ADE尸位似，点O是它们的位似中心，其中。£=208,则△45。与尸
的周长之比是（ ）
A. 1:2 B. 1:4 C. 1:3 D. 1:9
【变式2】如图，在直角坐标系中，△/BC的顶点5的坐标为（-1,1）,现以坐标原点。为位似中心,
7
作与的位似比为一的位似图形△4BC,则9的坐标为（ ）
【变式3】如图，图形甲与图形乙是位似图形，。是位似中心，位似比为2:3,点/、8的对应点分
别为点⑷、B\若AB=6,贝必⑻的长为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 15
454几何专题・第十章 相似三角形
【变式4】如图，已知△48。和△EQC是以点。为位似中心的位似图形，且△45C和双叨。的位似
比为1:2, △N5C周长为2,则△切。的周长是（ ）
射题型方法3： "8”字相似
一、“8”字形
1 .图形：
C/------
2 .条件：ZB=ZC^AB//CD.
3 .结论：△ZBOsAdco.
4 .结论的证明：
因为NB=NC, NAOB=NCOD,
所以，△ABOsADCO.
二、反“8”字形
1 .图形：
4^7 B
2 .条件：ZA=ZC.
3 .结论：/^ABO^/\CDO.
4 .结论的证明：
因为N/=NC, NAOB=/COD,
所以，AABOsAcDO.
【变式1】如图，在△45C中，点E是线段4。上一点，AE:CE=1:2,过点。做CD/M5交BE的延长线
于点。，若△ZBE的面积等于4,则△5C。的面积等于.
455春
初中数学题型方法全归纳
【变式2】如图，D、E分别是△49。的边45、上的点，旦DE//AC, AE、C。相交于点。，若
S^DOE : &COA =1:25，贝!J SxDOE : S/^COE =.
【变式3】如图，平行四边形，8CQ的对角线4C、及）相较于点。，点£为5C的中点，连接力£交
于点E,若。尸=1,则席三.
B
E
【变式4】如图，ZUBC的中线为ND, E为40的中点，射线C£交班于R则一=.
留题型方法4： A字相似
一、4字形
1 .图形：
2 .条件：/B=/ADE或DEI/BC.
3 .结论：LADEs 4ABC.
4 .结论的证明：
因为 N/=N/, ZB=ZADE,
所以，LADEsAABC.
456几何专题・第十章 相似三角形
二、反A字形
1 .图形：
2 .条件：/B=/D.
3 .结论：AADEsAABC.
4 .结论的证明：
因为 N4=NN, ZB=ZADE,
所以，LADEs4ABC.
三、共边反A
1 .图形：
2 .条件：ZB=ZACD.
3 .结论：AACDsAABC.
4 .结论的证明：
因为乙4=N4, NB=NACD,
所以，AACDsAABC.
四、剪刀反A
1 .图形：
2 .条件：ZB=ZC.
3 .结论：AABEsdACD.
4 .结论的证明：
因为NZ=NH /B=NC,
所以，AABEs^ACD.
457春
初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，已知4。为△NBC的角平分线，所为的垂直平分线，交5。的延长线于E点，求
证：FD2 =FB FC.
【变式2】如图，已知ZX/BC中，点E在中线40上，ZDEB=ZABC.
求证：(DDB? =DE・DA； (2)ZDCE=ZDAC.
【变式3】如图，BD、C£是△4SC的高，求证：ZAED=ZACB.
458春
留题型方法5：射影定理
1 .图形：
C
2 .条件：如图，△48C是直角三角形，CD为斜边45上的高.
3 .结论：
(1) AC2 =AD'AB；
(2) CD? =AD・DB；
(3) BC2 =DB-AB.
4.结 论的证明：
因为N4CB=90。，NCDB=90。,
所以，ZCAD+ ZACD=ZCAD+ ZB=90°,
所以，NACD=NB,
at ah
所以，△ADCs—CB,所以，—,
AB AC
所以，AC2 =AD-AB,
同法可证：CD2 =AD-DB； BC?=DB・AB.
【变式1】如图，在&ZUBC中，ZACB=90°, C。是45边上的高. °
(1)若4c=6, AB=9,贝IUD=____________；
(2)若ZC=6, BD=5,贝！JO);； / ,
(3)若4C=6, CD=4,贝函=. D B
【变式2】如图，在及△45C中，ZACB=90°, CD是边A5上的高，且40=2,及)=6,则边4c的长
为.
【变式3】如图，在口△48C中，ZACB=90°, CD_LA5于。点，若4。=48，40=6,则4g的长
为.
D B
459留题型方法6： 一线三等角
1 .图形:
P B
2 .条件：NA=NCPD=/B.
3 .结论：
①△APDsABCP；
②当尸。=尸。时，AAPD咨4BCP；
③当力尸=尸5时，XAPDsABCPs丛pcd.
4 .结论的证明：
因为 N/=N8=NDPC,
所以，/ADP+ NAPD=NCPB+ NAPD,
所以，NADP=NCPB,
所以，AAPDsABCP,
当?。=尸。时，AAPD”ABCP,
np Ari
当AP=7吆时，由△4PQs/^CP可得： 一二——,
CP BP
DP AD
所以，一一二——，又因为N/=NOPC,所以，XAPDsxpcDsXBCP.
CP AP
【变式1】如图，在等边△48。中，。为边上一点，£为4。边上一点，且N4Q£=60。，及）=3,
CE=2,则△Z5C的边长为.
【变式2】如图，在梯形4gCD中，AD//BC, AB=AD=DC=6, NABC=70°,点、E、尸分别在线段
CD上，且NAEF=110。，若4E=3,求。尸的长.
A E D
460几何专题-第十章 相似三角形
【变式3】如图，点/在尸2上，点5在尸人上，且— = V2 ,则左二
X OA
留题型方法7：角平分线定理
A
内角平分线定理：
如图，在△的中，3是叩的角平分线,则有裟嚼.
证明：过。作C£〃4D,交加延长线于瓦 /E
•:CE"AD, ・・.N1 = NE, Z2=Z3. a / ：
又・・・4D平分NA4C, ・・・N1 = N2, /
:./E=/3, ：.AE=AC, / /、3/
小m AB BD . AB BD rN—— L-V
由 CE // AD 可用： = ,• • - . J) C
AE CD AC CD
外角平分线定理：
如图，在△Z5C中，NA4C的外角平分线交对边的延长线于。，
吊出AB BD
则有一二——.
AC CD
B C D
证明：过。作C£〃/D,交45延长线于£ /
■: CE//AD, ・・.N1 = N3, N2=N4.
又・・・4。平分/氏4。的外角，工N1 = N2, 七/y
.\Z3=Z4, ：.AE=AC,
上〃 ,「r，曰 4B BD . AB BD B C D
由C£〃4D可得： ——=—,..——=——.
AE CD AC CD
【变式1】如图，在△Z3C中，NC=90。，CA=3, CB=4,且CD是NC的平分线.则4。的长为
461春
初中数学题型方法全归纳
....
Al AB + AC
【变式2】如图，/是△45。内角平分线的交点，，应对应边于D点，求证:
16~ -BC -
【变式3】如图，及△Z5C中，ZBAC=90°, ADLBC^D,作/E4c=/B, 与BC延长线交于£,
若4D=3, DE=4,则CQ长为, 4。长为, BE的长为.
【变式 4】如图，及△ZBC中，/4CB=90。, AC=9f A5=15, CELAB^E, AD平分NBAC交CE于
点尸.则IF的值为
,4。长为,
【变式5】若4尸=尸5, NAPB=2/ACB, ZC与尸5相交于点。，且尸5=4, PD=3,求的值.
462几何专题・第十章 相似三角形
留题型方法8：米勒定理（最大视角）
1 .图形：
O A B N
2 .条件：如图，已知点4、B是NMON的边ON上的两个定点，点尸是边0M上的动点.
3 .结论：当OP=dOA OB时,N/P5取得最大值.
4 .结论的证明：
如图,设P是边。M上不同于点尸的任意一点, :
连结P4 PB尸'/与圆交于点C,连接C5,
根据三角形外角的性质，可知NZCAN4PB, O N
根据圆周角定理可知，NAPB=NACB,
因此 N4P8>N4P8,
也就是当且仅当△ZB尸的外接圆与边0M相切于点尸时，/4PB最大.
因为。加与圆相切，
所以NOB4=/OBP, NMON为公共角,
所以△OB4sAOB尸,
所以，—,即，OP=y/OA OB .
OP OB
特殊地，若做定点4、B在ON上，动点尸在DM上，旦DM//0N,那么，尸点在45的垂直平分线上
时，NZ必取得最大值.如图所示：
O 尸 P M
O_N
【变式1】如图，已知足球球门宽45约为5拒米，一球员从距5点5亚米的。点（点4、B、。均在
球场底线上），沿着/C成45。角的。。方向带球.试问，该球员能否在射线CD上找到一点尸，使得点尸
为最佳射门点（即NZP5最大）？若能找到，求出这时点尸与点。的距离；若找不到，请说明理由.
463初中数学题型方法全归纳
【变式2】如图所示，某大楼上装有一块长方形广告牌，上下边(45)相距6加，下底边距地面
(80)11.6加，如果人的眼部高度为1.6m,那么从远处正对广告牌走近时，在何处看广告牌的效果最好？
【变式3】如图，在矩形中，AB=6,力。=8,点£,厂分别是边CD, 5c上的动点，且N4FE=90。,
(1)证明：△ABFsNCE；
(2)当取何值时，N4ED最大.
留题型方法9:手拉手相似模型
1 .图形：如图，AABC, LADE.
2 .条件：两个△45C, 有公共点/ (头顶头)；
ZBAC=ZDAE (“顶角”相等)；
AU AD
—=—(左胳膊比右胳膊等于左胳膊比右胳膊).
AC AE
464几何专题・第十章 相似三角形
3 .结论：^ABD^^\ACE （头左左s头右右）.
AB_=AC=^_ （左手拉左手比右手拉右手等于左胳膊比左胳膊等于右胳膊比右胳膊）.
AD AE CE
4 .结论的证明：
*.* /BAC=/DAE,
：.ZBAC+ NCAD=/DAE+ ZCAD,
：.ZBAD=ZCAE,
又••空=£
• 'AD~^4Ef
：.△ABDsdACE,
.AB AC _ BD
t，~AD~~AE~~CE，
Ari
注：若a丝u =生=1 （即两个等腰三角形），那么会构成手拉手全等模型.
AC AE
【变式1】如图，等腰及△Z5C和等腰及△4DE, ZACB=ZAED=90°,则一的值为.
【变式 2】在•△ZB。中，44。5=90。,4。=6,48=10,点后是45边上一点，ZECF=90°, NCEF=NB,
75
当△力跖的面积为总时，求线段5K的长为.
【变式3】如图。。的直径为5,在。。上位于直径48的两侧有定点。和动点尸，已知BC:C4=4:3,
点尸在半圆弧ZB上运动，过点。作。尸的垂线CZ）,交心的延长线于点。.
（1）求证：AC:PC=BC:CD；
（2）点尸运动到弧45的中点时，求CQ的长；
（3）当点尸运动到什么位置时，△尸CD的面积最大？最大面积为多少？
465初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：圆幕定理
L相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等.
如图，弦和CD交于。O内一点P, 则 R4・PB=PC・PD.
证明：
所以，AADPs^CBP,
PA pn
所以，——=——,整理可得：PA・PB=PC・PD.
PC PB
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比
例中项.
如图，尸提。。的切线，为。。的割线，则尸72=朋.尸氏
证明：如图，连接/八BT,易知，/ATP=NB,
所以，APATsAptb,
pj PT
所以，—,整理可得：PT2 =PATB.
PT PB
3.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
如图，245和尸CQ为。。的两条割线，则必•尸5=P。尸D
证明：
所以，APCBsAPAD,
pa PD
所以，——二——,整理可得：PA-PB=PC-PD.
PC PB
【变式1】如图，已知。。的弦48、CZ）相交于点尸，PA=6,尸8=9, PC:尸0=1:3,则CQ=
466卷
几何专题・第十章 相似三角形
【变式2】如图，在。。中，弦48与半径0c相交于点且。"=MC, AM=1.5, BM=4,贝！）0。的
长为.
【变式3】如图，点P为弦45上的一点，连接。P, 过点P作尸C，。尸，PC交。O于C,且。。的半径
为3.若4P=4, PB=1,则。尸的长为.
【变式4】如图，一圆周上有三点4, B, C,乙4的平分线交边5C于。，交圆于£,已知5c=5, AC=4f
4B=6,贝ljAD力因=.
【变式5】如图，已知48为。。的直径，。为。。上一点，CDL4B于D, 40=9,及）=4,以C为圆
心，CQ为半径的圆与。。相交于尸，0两点，弦PQ交CD于E,则尸足£0=
467初中数学题型方法全归纳
【变式6】如图，已知。。的弦C。相交于点尸，胆=4, PB=3, PC=6,切切。。于点4, AE
与CD的延长线交于点£, EA= 245 ,求尸E的长.
留题型方法11：阿氏圆问题
【题目特征】如图，尸为圆上一动点，4、C为定点.求我+,尸。的最小值，求我-工尸。的最大值.
2 2
此题即为我们常遇到的阿氏圆问题.
【解题方法】
圆外两定点：
如图，已知圆0半径为H, /、C为两个定点，尸为圆上一动点，试求我+女尸。（0＜女＜1）的最小值.
（1）确定8点的方法：
OB=kR,且5点在圆心和带0-1系数的定点之间.
（2）模型特点：
1 .求以+左尸。（0＜上1）的最小值；
2 .尸为动点，轨迹为圆；
3幺、C为定点,且都在圆外.
（3）解题步骤：
1 .找点瓦点8在圆心和带0-1系数的定点之间，且到圆心的距离为根（即。8=祇）;
2 .连接P。、PB,确定母子三角形；
3 .证明母子型相似，得到狂YMPB；
4 .B4 + kPC转化为R4 + PB,则灯 + PB＞AB；
5.计算ZB的长度，即为我+左尸。的最小值.
468几何专题・第十章 相似三角形
圆内两定点：
D
如图，圆的半径为且——=k(k>l),尸为圆上一动点，4点在圆内，求以+叱。的最小值.
(1)确定5点的方法：
OB=kR,且8点在圆心和带大于系数的定点的延长线上.
(2)模型特点：
1 .求+女尸。(左>1)的最小值；
2 .尸为动点，轨迹为圆；
34、。为定点，且都在圆内.
(3)解题步骤：
1 .找点瓦点5在圆心和带大于1系数的定点的延长线上，且到圆心的距离为根(即。5=祇)；
2 .连接尸。、PB,确定母子三角形；
3 .证明母子型相似，得到kPC=PB；
4 .R4 + kPC转化为R4 + PB,则我 + PB>AB；
5 .计算ZB的长度，即为我+小。的最小值.
6
【变式1】已知圆。半径为1, AC、BD为切线,AC=\, BD=2,。为弧48上一动点，试求 J尸。
2
+ PD的最小值.
【变式2】已知N/OB=90。，。5=4, OA=6,。。半径为2,尸为圆上一动点.
(1) AP+ ' 5尸的最小值为 ；
2
(2)求,4P + AP的最小值为
3 ~~
469当
初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，及△48。中，AB=AC=4, NA4c=90。，E、方分别为45, ZC的中点，点尸在弧E尸
上运动，则尸8 + 2尸C的最小值为.
【变式4】如图，已知正方形ZBCD的边长为4,圆5的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，求PQ
+工尸。的最小值和工PC的最大值.
【变式5】如图，已知正方形，55的边长为9,圆8的半径为6,点尸是圆5上的一个动点，那么
尸。+4pc的最小值为________；尸。--pc的最大值为.
3 3
【变式6】如图，RtdABC, BC=AC=4,以圆。半径为8,尸为圆C上一个动点，则£4 + 2尸5的最小
值为.
470几何专题-第十章 相似三角形
留题型方法12：瓜豆原理
一、瓜豆原理来源
如图，0点是由尸点绕着4点变换而来，
所以，我们把点尸称为主动点；
把点0称为从动点；
把点力称为制动点.
主动点尸在直线（线段）或圆上运动，从动点。是主动点尸经过旋转或者放缩得到的，此时,
如果主动点的轨迹是直线，那么从动点的轨迹也是直线，
如果主动点的轨迹是圆，那么从动点的轨迹也是圆.
从动点的轨迹和主动点相似的这个原理我们称之为瓜豆原理.
二、变换方式：（主动点为P,经过变换得到从动点Q）
L旋转：
顺/逆旋转一固定度数：即NE4Q为定角.
2.放缩：
放缩比=罂：即理的比值为定值.
制主 AP
3.旋转+放缩：即乙玄。为定角，且理的比值为定值.
471初中数学题型方法全归纳
只有从动点是主动点在这三种变换方式下得到的，才符合瓜豆原理，从动点的轨迹才和主动点的
轨迹是一样的.
三、常见类型
1 .圆型瓜豆：主动点轨迹是圆.
2 .直线型瓜豆：主动点轨迹是直线.
四、确定轨迹步骤
1.确定三个点；
2.确定变换方式；
3.确定从动点轨迹.
五、圆型瓜豆
1.圆型瓜豆的图形:
2 .条件：
点尸在圆。上运动，将点P绕着点，旋转a角度、再放缩夕倍得到0点;
3.结论：△主制心s△从制心，即：△PAOsAqao'.
4.结论的证明：
根据旋转的性质可知NONO=NB4。，
所以，ZPAO=ZQAO\
根据放缩的性质得知0 = 3 ,
PA 0A
所以，△PAOs£QA(y.
5.确定圆心和半径的方法：
举例：如图所示
472几何专题・第十章 相似三角形
①找到三个点
B在圆上运动 -------- > B为主动点
M根据B的移动而移动 — --------> M为从动点
M是动点B和定点A决定的 --------------> A为制动点
②找圆心
△主制心S△从制心
主动点B 》制动点A 从动点M
取A0中点
主动点的圆心0 》 制动点A --------------- 从动点的圆心0,
③计算半径
制从距离—从半径
制主距离一主半径.
【变式1】如图，在△45C中，/ACB=90。, BC=6, tanZBAC=-f 4D=4,将线段40绕点Z旋转,
2
连接氏D, E为BD中点,则线段C£的最大值为.
【变式2】如图，已知正方形的边长为2,以点Z为圆心，1为半径做圆，点£是圆4上的任意一点,
点E绕点。按逆时针方向旋转90。，得到QR连接ZR则4/的最小值为.
【变式3】如图，在正方形45C。中，AB=2, E是边CD上一动点，连接作„5£与点R 将
CF绕点方顺时针旋转90。得到/G,连接ZG,贝〃G的最小值为.
473初中数学题型方法全归纳
六、直线型瓜豆
1 .直线型瓜豆的图形：
0'
】
A --- P
।
2 .条件：
点尸在直线上运动，将点尸绕着点/旋转a角度、再放缩£倍得到。点.
3 .结论：AB4Ps△Q4Q，；
两轨迹夹角为定角，即NPB0为定值（和旋转角a相等或互补）.
4 .结论的证明：
根据旋转的性质可知NPZ0=NB4。，
所以，ZPAP'=ZQAQ\
根据放缩的性质得知空=24，
PA P'A
所以，△PAPs/\Q4Q\
所以，ZAPP^ZAQQ',
所以，四边形力依。为对角互补的四边形，
所以，两个轨迹的夹角与旋转角/玄。互补或者相等.
【解题方法】
（一）计算轨迹长度的方法：
如图，正方形45CZ）的边长为2,动点E从点力出发，沿边45向终点3运动，以为边作正方形
DEFG（点、D、E、尸、G按顺时针方向排列）.求在点E的整个运动过程中，点方经过的路径长为.
计算轨迹长度步骤
因为△主制始s△从制始，即4sAFC比.
rr iu FB BD nr
所以：-- =--- = J2,
EA AD
所以，尸运动轨迹是£点运动轨迹的亚倍.
计算轨迹长度时：
1、确定主、从动点、制动点，主动点轨迹是直线（一般是线段）；
从动点轨迹长度—制从距离
2、 ,利用该公式即可求出从动点轨迹长度了.
主动点轨迹长度—制主距离
474几何专题-第十章 相似三角形
（二）求点线距离的方法：
方法一、确定从动点直线位置后求点线距离
在主动点轨迹上找两个特殊点：
特殊点一般在两端点、30。、45。、60。处.
把这两个特殊点进行变换，得到两个点，即可确定从动点轨迹.
例题：如图，正方形的边长为4, £为5。边上一点，且3£=1, F为AB边上一动点、,连接EF,
以所为边向右侧作等边△£人5,连接CG,则CG的最小值为.
解题方法：
1.当足点在5点位置时，确定旋转以后得到的G点位置；
2.当N5斯=30。时，旋转确定此时的G点位置；
3.当N5EF=45。时，旋转确定此时的G点位置；
4.当N5E尸=60。时，旋转确定此时的G点位置.
以上4个位置，选择合适的两个G点位置，那么过这两个G点的直线就是从动点G的轨迹.
确定出轨迹后，利用垂线段最短求出最小值.
方法二、把点进行相反方向变换后求点线距离
例题：如图，正方形48C。的边长为4, E为BC边上一点,且BE=1,/为45边上一动点，连接£尸,
以所为边向右侧作等边△及G连接CG,则CG的最小值为.
解题方法：
G点（从动点）是尸点（主动点）绕着E点（制动点）顺时针旋转60。得到的，求得是与C点（目标
点）之间得距离.
那么，把。点（目标点）绕着£点（制动点）逆时针旋转60。（反方向）得到定点。'点，那么，因
为AEFC,学4EGC,所以。'尸=CG,所以求出C尸的最小值就是CG的最小值了.
475春
初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，在等边△ZBC中，45=10,及）=4, BE=2.点P从点E出发沿区4方向运动,连结
PD,以PD为边,在尸。的右侧按如图所示的方式作等边△/）尸尸，当点尸从点E运动到点Z时，点厂运动
的路径长是•.
【变式5】如图，己知点Z是第一象限内横坐标为的一个定点，ZCLx轴于点跖 交直线尸-x
于点N,若点尸是线段ON上的一个动点，NAPB=30。, BA±PA.则点P在线段ON上运动时，4点不变，
5点随之运动.求当点尸从点。运动到点AM,点5运动的路径长是.
【变式6】如图，在平面直角坐标系中，/（-3,0）,点8是y轴正半轴上一动点，以48为边在45的
下方作等边△Z5P点5在歹轴上运动时，。尸的最小值是.
【变式7】如图，正方形45CD中，£是对角线ZC上一动点，以DE为边,向右作正方形D£FG, H
是CD的中点，连接GH 若GH的最小值为1,则正方形45CZ）的边长是.
476卷
几何专题・第十章 相似三角形
【变式8】如图，4(T,1)，5(T,4), C(-5,4),点尸是ZUBC边上一动点，连接。尸，以。尸为斜边
在。尸的右上方作等腰直角△。尸°,当点尸在边上运动一周时，点。的轨迹形成的封闭图形面积
为.
7
【变式9】如图，在反比例函数尸-士的图象上有一个动点4连接N。并延长交图象的另一支于点
x
B,在第一象限内有一点C,满足/C=6C,当点4运动时，点。始终在函数y=&的图象上运动，若
x
tanZCAB=2.贝此的值为.
留题型方法13:托勒密定理
1.图形:
2 .条件：如图：四边形4BCQ内接于圆,
3 .结论：AC BD = AD BC + AB CD.
4 .结论的证明：
如图，在此上取一点P,使其满足N1 = N2.
VZ3=Z4,
AC AD
:.AACDsABCP,—=—，
BC BP
即AC,BP = AD,BC①,
477初中数学题型方法全归纳
又NACB=/DCP, N5=N6,
4R Ar
・••△ACBs^DCP, ——=——，AC DP = AB CD ②.
DP CD
① + ②，有 ACBP + ACPD = ADBC + ABCD .
即 4。（5尸 + 叫=40・5。+ 48。, ^AC BD = AD BC + AB CD.
【变式1】如图，45为。。的直径，N/&)=45。，点。为外接圆的就上一点，线段C4、CB、
CD间的数量关系为.
【变式2】如图，。。的直径45的长为10,直线历经过点3,且NCBF=/CDB,连接
(1)求证：直线既是的。。切线；
(2)若点。是弧45的中点，BD=6,求CD的长.
【变式3】如图，△43。内接于。。，AB=AC；当动点尸在。。上从点8出发，按逆时针方向向点C
运动时，丝匹的值( )
PA
A.保持不变 B.先减小后增大
C.先增大后减小 D.无法判断
【变式4】如图，过/的圆截平行四边形45CZ)的边和对角线分别于尸、。、R,求证:
AP-AB + AQ AD = AR AC .
478几何专题・第十章 相似三角形
留题型方法14：托勒密不等式
如图，凸四边形中，连接对角线4C、BD,则4Dx5C + /5xCD2ZCx及）.
结论的证明:
如图，在平面内取一点E使得N48£=NQBC,且 ——=——，
BD BC
则△54E1s △me,
・・・一二—-，即：ABxCD = AExBD,
BD DC
：./ABD=NEBC,
.・・ ABADs ABEC,
,即：ADxBC = CExBD,
CE BC
在ZUCE中，^AE + CE>AC,
：.ABxCD + ADxBC = (AE + CE)xBD>ACxBD ,
ADxBC + ABxCD>ACxBD.
例：如图，等腰直角△ZBC外有一点连接Z。、BD、CD, ZBAC=90°, AD=6, CD=3,则及）
的最大值为.
【解答】解：方法1：如图，构造等腰直角△/D£,连接C£,
：.AD=AE=6, DE= 672 , V ZBAC=ZDAE=90°f
：.ZBAC+ NCAD=NDAE+ ACAD,
即：/BAD=/CAE,
在△48。和中，
AB=AC, ZBAD=ZCAE, AD=AE,
：.AABD^AACE,
:・CE=BD,
在△CDE中，CE<DE+CD= 642+3 ,
・•・瓦）的最大值为6亚+ 3 .
方法2：根据题意得：BC=42AB=y/2AC,
在四边形45CQ中，依据托勒密不等式得：
ADxBC+ABxCD>ACxBDf
整理可得：BD<642+3 .
479春
初中数学题型方法全归纳
【变式 1】如图，直角△5C。外有一点4,连接48、4C、4D, /CBD=90。, BD=2BC, AB=\, AC< ,
则4。的最小值为.
【变式2】已知矩形45CQ和矩形Z£7G AB=2, ，点G在CZ）的延长线上，AE=CE,平面
内有一点P,满足PE=EF,则4P+C尸的最小值为.
【变式3】如图，正方形而。中，小2,点。时射线比上的一个动点，在尸点运动的过程中，-
的最小值为.
480称
几何专题・第十一章 锐角三角函数
留题型方法1:正弦、余弦、正切
【题目特征】与三角形函数有关的计算，
【考查知识点】锐角三角函数相关概念：
正弦：在直角三角形中，任意一锐角NZ的对边与斜边的比叫作N4的正弦,记作：
余弦：在直角三角形中，任意一锐角N4的邻边与斜边的比叫作NZ的余弦,记作：cosA.
正切：在直角三角形中，任意一锐角N4的对边与邻边的比叫作NZ的正切,记作：34
锐角4的正弦，余弦，正切，都叫作，的锐角三角函数.
例：如图，已知在及△ZBC中，NACB=9。。, AC=lf AB=2,则的值是 1
【解答】解：V ZACB=90°f AC=\, AB=2,
..A ZC 1
・・ sinB = =—.
AB 2
故答案为：
2
【变式 1】在及△4SC中，NC=90。，AC:BC=1:2,贝!
【变式2】如图，在及△Z5C中, ZC=90°, AC=S, BC-6,求si几4, cosA,勿的值.
【变式3】在△ZBC中，ZC=90°.若AB=3, BC=1,贝必质4的值为.
3
【变式 4】在△48C中，ZABC=90°.若ZC=100, sinA = ~,贝！）4?的长是（ ）
5
A.当 B・( C 60
D. 80
【变式 5】在及ZUBC中，ZA=90°f AB=3, BC=4, 贝!J cosB=_______.
481初中数学题型方法全归纳
A,呈 口亚
O. --- C. 1 D. 2
3 2
【解答】解：330。=立■.
3
故选：A.
【变式I】已知CM.且a是锐角，则一 ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
若s%a=工，则锐角a=（ ）
【变式2】
2
A. 30° B. 45° C. 50° D. 60°
，sE60。的值等于（ ）
【变式3】
2
R百 C生 D.立
A. V3
D. -------
2 3 4
【变式4】 2cos45。的值为（ ）
A. 2 B. V3 C. V2 D. 1
【变式5】 百口及60°的值等于（ ）
A.』 C. 3 D. V3
D.-------
2 2
【变式6】 锐角三角函数均“45。的值为（ )
A. 1
c.8
O ■ ---- D. 1
2 2 2
482祢
几何专题-第十一章 锐角三角函数
—S-
留题型方法3：解直角三角形
【题目特征】与三角函数有关的求三角形角度和边长的问题.
【解题方法】做垂直构造直角三角形，利用三角函数解题.
例：如图，△45。底边5C上的高为加，底边Q?上的高为九，则有（ ）
B
A. h\ = hi B. hi< ti2 C. hx>hi D.以上都有可能
【解答】解：如图，分别作出ZUBC底边5C上的高为力。即无，△尸QR底边QR上的高为尸£即加,
在及△4DC中, hi =AD=5^sin55°,
在 REAPER 中, hi =PE=5^sin55° f
• • h\ = hi 9
故选：A.
【变式1】如图，的顶点是正方形网格的格点，则cosNZBC的值为（ ）
2七
* ~T~
4
【变式2】如图，已知及）中，ACLBD, BC=8, CD=4, cosZABC=~, 5尸为40边上的中线.
（1）求4c的长；
（2）求力〃/方助的值.
483初中数学题型方法全归纳
【变式3］如图，已知在及△4SC中，N/C6=90。，CD LAB,垂足是。，设NC45=a, CD=h,那
么的长度为（ ）
【变式4】如图，将△力3C放在每个小正方形的边长为1的网格中，点4、B、C均在格点上，则
COSNC43的值是（ ）
D.
2
【变式5】如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1,点4、B、。、。都在格点处,
与CD相交于点。，则的值是（ ）
484祢
几何专题・第十一章 锐角三角函数
野题型方法4：解直角三角形实际应用
【题目特征】三角函数在实际生活中的应用题.
【考查知识点】
L坡度、坡角
如图：45表示水平面，5C表示坡面，我们把水平面45与坡面所形成的NZBC称为坡角.
一般地，线段BE的长度称为斜坡的水平宽度，线段C£的长度称为斜坡5C的铅垂高度.如图；
坡面的铅垂高度力和水平宽度I的比叫作坡面的坡度（或坡比），用i表示，记作：坡面与水平
ij
；面的夹角叫作坡角，记作a.于是i = ： = t即a,显然，坡度越大，a越大，坡面就越陡.
2 .方位角
从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90。得角叫方位角.如图；ZNOA. /SOB、
/NOD、NSOC都是方位角.
如图：目标方向CM表示的方位角为北偏东35。；目标方向05表示的方位角为南偏东75。；目标方
向OC表示的方位角为南偏西45。，也称西南方向；目标方向。。表示的方位角为北偏西40。.
3 .仰角、俯角
如图：OC为水平线，为铅垂线，04,05为视线，我们把视线04与水平线。。所形成的NZOC
;成为仰角；把视线05与水平线0C所形成的N5OC称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在
:水平线上方时，视线与水平线所成的角叫作仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫
；作俯角.
F 4
C
冷。水平线
铅
垂
线
485初中数学题型方法全归纳
例：如图，小明利用一个锐角是30。的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离
BC为15m, 4B为L5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
,与
Z
X
“&D
a a
A. （1573+-> B. 5岛i C. 15岛i D. （573+->
【解答】解：由题意可得，四边形是矩形，BC=15m, AB=1.5m,
C.BC=AD=\5m, AB=CD=L5m,
在及△川□£中，ZEAD=30°, AD=\5m,
：.DE=ADtan NEAD= 15 x J = 5百加，
3
・・・CE=S + DE=(15 月 + 1.5)%
故选：D.
【变式1】如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为a时，梯子
顶端靠在墙面上的点力处，底端落在水平地面的点5处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成
角为0,已知s%a=cos尸=；3 ,则梯子顶端上升了（ ）
A. 1米 D. 2.5 米
【变式2】图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄45与地面平
行，踏板长为1.5加，CD与地面的夹角NCDE*=15。，支架ZC长为1加，/ACD=75。,求跑步机手
柄所在直线与地面之间的距离.（结果精确到0.1加.参考数据：5仇15。标0.26, COS1530.97,
3/15%0.27, V3 «1.73）
486几何专题・第十一章 锐角三角函数
【变式3】2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭
在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅.运载火箭从地面。处发射，当火
箭到达点4时，地面。处的雷达站测得4。=4000米，仰角为30。.3秒后，火箭直线上升到达点5处，
此时地面。处的雷达站测得5处的仰角为45。.O, C,。在同一直线上，已知C,。两处相距460米，
求火箭从^到3处的平均速度.（结果精确到1米，参考数据：百y1.732, V2«1.414）
【变式4】如图，建筑物5C上有一旗杆45,从与5c相距20加的。处观测旗杆顶部4的仰角为52。,
观测旗杆底部5的仰角为45。，求旗杆48的高度（结果保留小数点后一位.参考数据：52。。0.79,
cos 52° Q 0.62, tan 52° « 1.28, V2 ® 1.41）.
国题型方法5：胡不归问题
L图形:
D/ F
2 .条件及问题：如图，线段上有一动点P,线外有一定点,,求我 +狂狄0＜左＜1）最小值.
3 .模型特点：
①求力+狂）8（0＜左＜1）最小值；
②尸为动点，轨迹为直线；
③4、B为定点,且5点在尸的轨迹上.
487卷
初中数学题型方法全归纳
4 .解题步骤：
第一步：求a.令sina=k,求出a （a为锐角）.
第二步：过5作射线及）.
要求：及）和5C的夹角等于a ；
且射线血和点4分别在直线的两侧.
第三步：作PF_LBD于点F, AE上BD于点E
那么，kPB=PF,
所以，PA + kPB=AP + PF>AE.
第四步：计算/£长.4E长即为a+红有最小值.
【变式1】如图，及△4SC中，ZBAC=90°, 48=2, NB=60。, D为BC边上一动点、,贝！
2
的最小值为.
B
【变式2】如图，平行四边形45CQ中，45=6,80=2, NN5=60。，尸是CD上一动点，则P5+J尸。
2
的最小值为.
【变式3】如图，在ZUBC中，N4=15。，AB=2,尸为ZC边上的一个动点（不与4、。重合），连
接BP,则匚4尸+尸8的最小值是 .
2
B
【变式4】如图，△Z5C中，AB=AC=10, tanA=2, BE上AC于点E,。是线段5£上的一个动点，则
CD+业及）的最小值是.
488几何专题・第十一章 锐角三角函数
【变式5】如图，菱形Z5CD的对角线ZC上有一动点P, BC=6, N48C=120。，则线段4P + AP +尸Z）
的最小值为.
【变式6】如图，ZUBC在平面直角坐标系中，AB=AC, 4（0,2亚），C（l,0）,。为射线4。上一点，
一动点P仄4出发，运动路径为4—O-C,点尸在4。上的运动速度是在S上的3倍，要使整个过程运
动时间最少，则点。的坐标应为.
国题型方法6： 12345模型
1 .条件：a+0 = 45。, tana=；,则 tan£ = ；.
（。、，为锐角）
2 .结论：已知其中两个，可得第三个.即：
1 1
①若 a+/3 = 45° , tana =—,则 tan尸=］；
②若 a+/3 = 45。，tan £ =；,则 tan a =；；
③若 tan a =；,则 tan 2二:，则 a邛= 45° .
3 .结论的证明：
结论①的证明：
tan(a + £) = tan450 = l ,
tan a + tan 尸 .
又 tan(a + 1
-----------------------------二
1 - tan tz tan p
因为tana =工，代入可得：tan/?=-.
2 3
结论②的证明：
tan(cr + 6)=tan450 = 1
2
空红空
又tan(a + 0= =1,
1 - tan a tan /}
489初中数学题型方法全归纳
②若tan,=、，代入可得：tana ='.
3 2
结论③的证明：
因为 tan a =；,则 tan 0=；,
/ 八、 tan a + tan £ ,
tan(« + 0) =--------------- = 1 ,
1 - tan «tan 0
所以，a+£=45。.
【变式1】如图所示的正方形网格中，NPAB+ /PBA=
【变式2】如图，正方形的边长为6,点£、厂分别在4。上，若CE=3加,且N£C7占45。,
则CF的长为.
【变式3】在矩形/BCD中，点£、厂分别在5。、CQ上,N£4F=45。，若45=6, 40=8, BE=3,则
DF=.
【变式4】如图：在△4SC中，ZBAC=45°, 40是边上的高，BD=3, CD=2,贝！的长为
490几何专题・第十一章 锐角三角函数
用型方法7：探照灯模型（定角定高）
1.图形：
2.条件：如图，直线5。外一点4, Z到直线5C距离4。为定值（定高），NR4c确定（定角）.
3.结论：当时，5C取得最小值，△45。的面积取得最小值，△Z5C的周长取得最小值.
4.结论的证明：
A
设定角NB4C为a,定高AD为h.
做的外接圆圆。，半径为尸，如图所示：
过。做。//JL5C于H点，连接CM、OB、OC,
那么，ZBOC=2a=2ZBOH,
HDyC
所以，/BOH=a,
在RtdOBH中,BH=OBxsina,
要使8C最小，那么5〃最小即可，要使38最小,，使。5最小即可，
而04 + OH>AD, OH=OBxcosa,
所以，OA + OBxcosa>ADf
所以，r>―--,当且仅当4、。、“共线， 和40重合时取得最小值，
1 + cos a
所以，加的最小值为-------,
1 + cos a
那么，8C的最小值为2〃sin” .
1 + cosa
【变式1】如图，已知点/是直线/外一点，点5、。均在直线，上, AD±IS.AD=3. NB4c=6。。,则
△Z8C面积的最小值为_______.
Z
:
B D C
491治
初中数学题型方法全归纳
【变式2】在△NBC中，ZACB=60°, CD为45边上的高，若CQ=4,则△4SC面积的最小值为.
【变式3】如图，正方形4BCQ边长为4, E,尸分别为BC, CD边上一点，NE4尸=45。，求△4EF
面积的最小值为.
【变式4】如图，某园林单位要设计把四边形花圃划分为几个区域种植不同花草.在四边形
中，ZBAD=45°, NB=/D=90°, C3=CD= 6亚，点£、尸分另I」为必5、4。上的点，若保持CE_1_CF,
那么四边形ZECF的面积的最大值为.
492几何专题-第十二章 投影和视图
国题型方法1:平行投影
【题目特征】与平行投影有关题目.
【考查知识点】
1.平行投影定义：太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.
2.平行投影结论：
①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体
本身的长度.
3.正投影的定义：
图1中，投影线斜着照射投影面；图2中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们
也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图2这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫作正投影.
(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.
①线段N5平行于投影面P时，它的正投影是线段48,与线段45的长相等;
②线段45倾斜于投影面尸时，它的正投影是线段4历，长小于线段45的长;
③线段垂直于投影面尸时，它的正投影是一个点.
(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
493淞
初中数学题型方法全归纳
①当平面图形平行于投影面。时, 它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影
与这个平面图形全等；
②当平面图形倾斜于投影面0时, 平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即
会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面。时, 它的正投影是直线或直线的一部分.
例：小亮同学在教学活动课中，用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块
长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A.线段 B.三角形 C.平行四边形 D.正方形
【解析】根据平行投影的性质进行分析即可得出答案.
【解答】解：将长方形硬纸的板面与投影线平行时，形成的影子为线段；
将长方形硬纸板与地面平行放置时，形成的影子为矩形；
将长方形硬纸板倾斜放置形成的影子为平行四边形；
由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，故得到的投影不可能是三角形.
故选：B.
【变式1】一个长方形的正投影不可能是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.线段 D.点
【变式2】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影
是（：）
【变式3】已知一纸板的形状为正方形45c。（如图所示），其边长为10厘米，AD、与投影面£
平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面£上的正投影为若N 458 =45。，求投影
面4BGD的面积.
494祢
留题型方法2：中心投影
【题目特征】与中心投影有关题目.
【考查知识点】
1 .中心投影定义：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫作
中心投影.这个“点'’就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源
主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.
2 .结论：
①等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光
源远的物体它的影子长.
i\
②等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光
源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
例：如图，小明夜晚从路灯下/处走至何处这一过程中，他在路上的影子（ ）
A.逐渐变长 B.逐渐变短
C.长度不变 D.先变短后变长
【解析】因为人和路灯间的位置发生了变化，光线与地面的夹角发生变化，所以影子的长度也会
发生变化，进而得出答案.
【解答】解：当他远离路灯走向5处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越
来越长，
所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度逐渐变长，
故选：A.
495初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（ ）
ZZZ7
h h1
A.越长 B.越短
C. 一样长 D.随时间变化而变化
【变式2】小阳和小明两人从远处沿直线走到路灯下，他们规定：小阳在前，小明在后，两人之
间的距离始终与小阳的影长相等.在这种情况下，他们两人之间的距离（ ）
A.始终不变 B.越来越远 C.时近时远 D.越来越近
【变式3】我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系.有这样一
个情境：如图，小王从点4经过路灯。的正下方沿直线走到点5,他与路灯。的距离y随他与点4之间的
距离工的变化而变化.下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（ ）
A
C
X
4
/1
3
A. y=x B. y=x+3 C. y=— D. y= (x-3)2 +3
x
留题型方法3：由几何体判定三视图
【题目特征】给出几何体，判定其三视图.
【解题方法】
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
（1）确定主视图的位置，画出主视图；
（2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
（3）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线要画成虚线.
例：在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为
“阳马”（如图）.“阳马”的俯视图是（ ）
496几何专题-第十二章 投影和视图
【解答】解：“阳马”的一条侧棱垂直于底面，所以，其俯视图是一个矩形，还有一条看得见的
棱.
故选：A.
【变式 】如图所示的四棱柱的主视图为（ ）
1
正面
【变式 】在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（ ）
3
A.圆柱 B.圆锥 C.三菱柱 D,正方体
【变式 】如图，这个几何体的左视图正确的是（ ）
4
【变式 】一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）
5
|俯视
497初中数学题型方法全归纳
【变式6】如图所示，该物体的主视图为（ ）
【变式7】如图所示几何体的俯视图是（ ）
A. B.
导题型方法4：由三视图判定几何体
【题目特征】给出三视图，判定其几何体.
【解题方法】
由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：
（1）根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、
高；
（2）根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；
（3）熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；
（4）利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.
例：如图所示的主视图和俯视图对应的几何体是（ ）
主视图俯视图
【解析】根据几何体的主视图确定4、B、D选项，然后根据俯视图确定8选项即可.
【解答】解：4、B、。选项的主视图符合题意；
8选项的俯视图符合题意，
综上，对应的几何体为3选项中的几何体.
故选:B.
498几何专题・第十二章 投影和视图
【变式1】桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置
小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（ ）
【变式2】一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，其最
下层放了9个小立方块，那么这个几何体的搭法共有（ ）种.
A. 8 种 B. 9 种 C. 10 种 D. 11 种
【变式3】如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【变式4】如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是（ ）
A. 20n B. 18n D. 14n
【变式5】如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图
的面积是（ )
正三棱柱
A. 4 B. 2 C.百 D. 2百
499卷
【变式6】一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组
成该几何体所需小正方体的个数最少为（ ）
俯视图 左视图
【变式7】如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正
方体的个数最少是（ ）
主视图 左视图
【变式8】在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上
的碟共有（ ）
俯视图 主视图
A. 4个 B. 8个 C. 12 个
留题型方法5：中心投影与相似
【题目特征】中心投影形成两个三角形.
【解题方法】
如图，是路面，。尸是路灯，尸点是光源，45是一棵树，光影照在树上，留在地上的的影子为
BC,那么，△POCsAABC.
例：如图，小欣站在灯光下，投在地面上的身影45=2.4加，蹲下来，则身影/。=1.05加，已知小
欣的身高40=1.6如蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度
H A B
500卷
几何专题-第十二章 投影和视图
【解析】利用平行线分线段成比例定理，构建方程组即可解决问题.
【解答】解：9：AD//PH,
:・AADBs丛HPB： AAMCs^HPC (M是4。的中点)，
：.AB:HB=AD:PH, AC:AM=HC:PH,
即 2.4:(2.4+477)=1.6:尸1.05:0.8=(1.05+Z£4):P//,
解得：PH=72m.
即路灯的高度为7.2米.
【变式1】如图，在路灯下，小明的身高如图中线段N5所示，他在地面上的影子如图中线段4。所
示，小亮的身高如图中线段bG所示，路灯灯泡在线段。£上.
(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子；
(2)如果小明的身高48=1.6加，他的影子长ZC=1.4加，且他到路灯的距离/。=2.1冽，求灯泡的高.
E,
B
C A D F
【变式2】如图，路灯(尸点)距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部(。点)20米的/
点，沿04所在的直线行走14米到5点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
B N M
501_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，小明家窗外有一堵围墙45,由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点。
射进房间的地板方处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点。射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面
的高度。。=0.8加，窗高CD=L2加，并测得。£=0.8加，OF=3m,求围墙的高度.
B O E F
502函数专题篇
・I春
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:象限点的特征
【题目特征】判断点所处的象限.
【考查知识点】
1 .点的坐标：
如下图，由点尸分别向X轴和y轴作垂线，垂足/在X轴上的坐标是垂足5在V轴上的坐标是6,则
点尸的坐标为（〃力），其中。为点尸的横坐标，6为点尸的纵坐标.
2 .象限和坐标轴： \b 0
b 3 P
（1）第一象限内的点（x,y）的坐标满足：% > 0, y > 0；
（2）第二象限内的点（xj）的坐标满足：%< 0, y > 0； A
（3）第三象限内的点（叼）的坐标满足：x<0, y <0； 一^一^^
（4）第四象限内的点（xj）的坐标满足：x>0, y <0.
【解题方法】根据不等式的性质判断横纵坐标的正负性，再根据每一个象限点的坐标特征判断点
所处的象限.
例：已知点P（Q乃）在第四象限，则点0（2q-6,26-Q）在第（ ）象限.
A. 一 B.二 C.三 D.四
【解答】解：,・•点尸（〃，6）在第四象限，
（7>0, b<0.
由不等式的性质，得：
2a - b>0f 2b - a<0f
：.点0（2q -b,2b - a）在第四象限.
故选：D.
【变式1］如果尸0 +“融）在第二象限,那么点0（-〃必在第（ ）象限.
A. 一 B.二 C.三 D.四
【变式2】 若点N（a+1力-2）在第二象限,则点5（-她+1）在第（ ）象限.
A.四 B.三 C.二 D. 一
【变式3】 直角坐标系中点尸（。+ 2,a-2）不可能所在的象限是（ )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
504函数专题・第一章 平面直角坐标系
留题型方法2：坐标轴上点的特征
【题目特征】需要利用坐标轴上点的特征解题.
【考查知识点】
Lx轴上的点（卬）的坐标满足：y=0；
2.y轴上的点（可）的坐标满足：x=0.
注意1：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限；
注意2：若只已知点在坐标轴上，则要分成在x轴、歹轴上两种情况来讨论.
【解题方法】已知点在x轴上y为0,已知点在歹轴上x为0.
例：如果点P（加+ 3,2加+ 4）在y轴上，那么点。（加-3,-3）的位置在（ ）
A.纵轴上 B.横轴上 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解：,・•点尸（加+ 3,2次+ 4）在y轴上，
・••加 + 3=0,
：.m二 - 3,
点。的坐标为（-6, - 3）,
・•・点。在第三象限.
故选：C.
【变式1】若点4（-2⑼在x轴上，则点即7-1,麓+ 1）在第（ ）象限.
A. B. C. D.四
【变式2】若点4（冽+ 2,2加-5）在y轴上，则点力的坐标是（ ）
A. （0, - 9） B. （2.5,0） C. （2.5,-9） D. （-9,0）
【变式3】已知点4（2x-。+ 2）在坐标轴上，贝卜的值等于（ ）
A. 2 或—2 B. -2 C. 2 D.非上述答案
留题型方法3：点到坐标轴的距离
【题目特征】已知点的坐标求距离，或已知距离求坐标.
【考查知识点】点的坐标和距离的关系.
【解题方法】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，至小轴的距离等于横坐标的绝对值；所以，已
知点求距离只有一个值，而已知距离求坐标需要考虑到点的象限，如未告知点的象限，则点的坐标有
两种可能.
例：在平面直角坐标系中，点£在工轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离歹轴4个单位，
则£点的坐标为（ ）
A. （3,-4） B. （4, - 3） C. （-4,3） D. （- 3,4）
505初中数学题型方法全归纳
【解答】解：•・•点£在工轴上方，》轴的左侧，
・ ・・点£在第二象限，
・ ・,距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，
・ ,•点£的横坐标为-4,纵坐标为3,
・ ,•点£的坐标是(-4,3).
故选：C.
【变式1】点尸(。+ 3力+1)在平面直角坐标系的x轴上，并且点尸到y轴的距离为2,贝必+ 6的值为
( )
A. -1 B. -2 C. -1 或-6 D. -2 或-6
【变式2】若点尸(2x,3x + 5)在第二象限，且点尸到两坐标轴的距离相等，贝U点0(-/,2/+2)的坐
标是( )
A. (1,-4) B. (-1,-4) C. (-1,4) D. (1,4)
【变式3】已知直线唾直于x轴，若点M的坐标为(-5,2),点N距x轴的距离为3个单位，贝U点N
的坐标为( )
A. ( — 5,3) B. (―5,3)或(一5, — 3)
C. (3,2) D. (3,2)或(-3,2)
国题型方法4：象限角平分线点的特征
【题目特征】根据象限角平分线上点的特征解题.
【考查知识点】象限角平分线点的特征：
1 .一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为工="
2 .二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为x=-外
【解题方法】
已知点的位置：
1 .若已知点在一、三象限角平分线上，则可以得到横纵坐标相等；
2 .若已知点在二、四象限角平分线上，则可以得到横纵坐标相反.
判断点的位置：
1 .横纵坐标相等就在一、三象限角平分线上；
2 .横纵坐标相反就在二、四象限角平分线上.
例：已知点4(2。+1,5。-2)在第一、三象限的角平分线上，点5(2加+ 7〃-1)在二、四象限的角平
分线上，则( )
A.。=1, m- - 2 B.。=1, m=2
C. a=-l, m= -2 D. a=-l, m=2
【解答】解：由已知条件知，点Z位于一、三象限夹角平分线上,
506函数专题-第一章 平面直角坐标系
所以有 2〃+1=5。-2,
解得:4=1.
・・,点5（2加+ 7,相-1）在第二、四象限的夹角角平分线上，
・・・（2加+ 7） + （加-1）=0,
解得：m= -2.
故选：A.
【变式1】若点4（。+1/-2）在第二、四象限的角平分线上，贝!|点5（-a,1-a）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象跟 D.第四象限
【变式2】若/（d-6）, 5（ - b,a）表示同一个点，那这个点一定在（ ）
A.第二、四象限的角平分线上 B.第一、三象限的角平分线上
C.平行于x轴的直线上 D.平行于y轴的直线上
【变式3】已知点 2,4）恰在第三象限的角平分线上，贝布的值为（ ）
M（q +
A. 2 B. 0 C. 3 D. -3
国题型方法5：点到特殊直线的距离
【题目特征】已知点线求距离，或已知距离求坐标.
【考查知识点】点到特殊直线的距离：
1.点（Q,b）至卜轴的距离为|外 到直线》=加（加为常数）的距离为|6-刈；
2点（她）至小轴的距离为跳到直线尸几（〃为常数）的距离为
【解题方法】
已知点线求距离：如果是竖线，横坐标大-小；
如果是横线，纵坐标大-小；
不确定大小带上绝对值.
已知距离求点的坐标：注意可能会有两个答案.
例：已知点（冽-1,3加-4）到x轴、y轴的距离相等，那么该点坐标为.
【解答】解：由题可知，点（加-1,3加-4）到x轴的距离为|3加-4|,至小轴的距离为障-1|,
\m - l|=|3w -4|,
解得：m= — ^im=—.
2 4
所以，该点坐标为（；，：）或
【变式1】点4（3,1）到直线尸-1的距离为，至值线产-1的距离为.
507_______ 箜
初中数学题型方法全归纳
【变式2】在平面直角坐标系中，点尸3乃)到直线%=2的距离为3,贝布的值为( )
A. 5 B. -1 C. 5 或—1 D. -5 或 1
【变式3】点M(2q+1,1-a)到直线尸1的距离为1,求M的坐标.
【变式4】在一、三象限的角平分线上有一点到x轴距离为2,则该点坐标为.
在二、四象限的角平分线上有一点到%轴距离为4,则该点坐标为.
留题型方法6：两点间的距离公式
【题目特征】已知两点坐标求两点间的距离.
【考查知识点】两点距离公式：
坐标系中有两点4 0/1) 、5a2, 词，贝(U、5两点之间的距离为：48= J(XLX2)2 +3—2)2 .
【解题方法】横-横的平方再加上纵一纵的平方，然后再开方.
所以，在同一横线上的两个数的距离等于横坐标大-小；
在同一竖线上的两个数的距离等于纵坐标大-小.
例：在平面直角坐标系中，点/(2,4)到点5(2,7)的距离是；到点。(5,4)的距离是
;到原点的距离是.
【解答】解：48=7-4=3, (45在竖线上，距离=纵坐标大-小)
AC=5-2=3f (ZC在横线上，距离=横坐标大-小)
AD= 7(2-0)2+(4-0)2=2a/5 .(任意两点距离公式)
【变式1】在平面直角坐标系中，点尸(1,3)到点0(1,7)的距离是；至U点”(5,3)的距离是
;到点N(5,6)的距离是.
【变式2】在平面直角坐标系中，点P(-1,2)到点0(-1,6)的距离是；至!)点M(5,-6)的距离
是;到点N(5,2)的距离是.
【变式3】在同一直角坐标系中，点/坐标(2,-1)、点6坐标(-3,-4),则线段的长度为
508诲
函数专题-第一章 平面直角坐标系
留题型方法7：中点坐标公式
【题目特征】已知两点坐标求中点，或已知中点和其中一点求另一点.
【考查知识点】中点坐标公式：
若4(刈川、5(X2*)，贝口台中点。的坐标为：(也非，匕产).
【解题方法】
1 .已知两点求中点时，直接利用中点坐标公式；
2 .已知中点(加⑼和其中一点(p,q)求另一点，用中点的2倍减其中一点，横-横，纵-纵，所以另:
一点坐标为：(2m-p,2n-q).
例1：若点4(-1,1)、8(3,5),则线段45的中点坐标是.
【解答】解： 9=1, —=3；(横+横再除以2,纵+纵再除以2)
2 2
所以，45的中点坐标为(1,3).
例2：点(-2,3)关于点(1,2)对称的点是.
【解答：解：1 2-(-2) = 4,2 2-3 = 1；(中点横2倍-横，中点纵2倍-纵)
所以，对称点坐标为(4,1).
【变式1】若点4(-4,7)、5(6, —3),则线段Z5的中点坐标是.
【变式2】线段45的中点坐标。(1,4),且已知4(-3,3),则点5坐标是
【变式3】点(-4,-5)关于点(3,1)对称的点是.
【变式4】已知点M(l,5),点N(-3,1),则线段MN的中点到原点的距离为，
留题型方法8：点的平移规律
【题目特征】求点平移后点的坐标.
【考查知识点】点的平移规律：
1.将点Q,y)向右(或向左)平移。个单位可得对应点(x + a,y)或(x-aj)；
2.将点(x,y)向上(或向下)平移6个单位可得对应点+ b)或(x,y-6).
总结：点的左右平移横坐标满足：左减右加；
点的上下平移纵坐标满足：上加下减.
【解题方法】点的平移：左减右加，上加下减；
图形的平移：图形中对应点的平移方式是相同.
509初中数学题型方法全归纳
例1：点4(-2,2)向上平移3个单位，再向右平移5个单位得到点4,点4的坐标为.
【解答】解：向上平移3个单位，给纵坐标2加上3得：2 + 3=5；
右平移5个单位，给横坐标-2加上5得：-2 + 5=3.
所以，4的坐标为(3,5).
例2：如图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左、
右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2),右边图案中左眼的坐标是(3,4),则右边图案中右眼的坐标是
【解答】解：左眼坐标由(-4,2)变为(3,4),由此可知由左图得到右图是向上平移2个单位，向右
平移7个单位，所以，右眼也是向上平移2个单位，向右平移7个单位，
所以，右眼平移后的坐标为(5,4).
【变式1】点/(加⑼向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到点4(2,3),贝〃的坐标为.
【变式2】在平面直角坐标系中有一个已知点4,现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单
位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点/的坐标为(-1,2),在旧的坐标系下，点4
的坐标为.
【变式3】如图，把图1中的。/经过平移得到。0(如图2),如果图1中。4上一点尸的坐标为(加川,
那么平移后在图2中的对应点P的坐标为.
【变式4】如图，点4、5的坐标分别为(0,2)、(3,0).若将线段45平移至48,则/+/的值
为_____
510函数专题・第一章 平面直角坐标系
留题型方法9：点的对称规律
【题目特征】求点的对称点的坐标.
【考查知识点】点的对称规律：
L点尸Q6)关于'轴的对称点是尸1-6),即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点尸(她珠于7轴的对称点是P(-助)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数；
3.点P(a,b)关于坐标原点的对称点是P(-凡-b),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；
4点尸(a,b)关于点0(加⑼的对称点是P(2加-a,2n - b)；
5.点尸(a,b)关于尸加的对称点是尸'(2加-a,b)；
6点尸(〃,份关于产几的对称点是P(q,2〃 - b)；
7.点P(xj)关于一三象限的平分线的对称点为。田；
8点P(x,y)关于二四象限的平分线的对称点为(-乂 -、).
【解题方法】
1 .关于哪个轴对称哪个值不变，另一个变相反，关于原点对称都要变；
2 .关于点对称，中点点2倍减坐标；
3 .关于竖线对称，线的2倍再减横；关于横线对称，线的2倍再减纵；
4 .关于一三平分线对称，横纵坐标换位置；关于二四平分线对称，横纵坐标既换位置又变符号.
例1：点P(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为( )
A. (-2,-1) B. (2,1) C. (2,-1) D. (-2,1)
【解答】解：关于y轴对称，》值不变，％变相反，所以对称点为(2,1).
故选：B.
例2：已知点P(x,y)的坐标满足方程|x+l|+(歹-2)2=0,则点尸关于x轴的对称点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解：・斗+1|+(蚱2)2=0,
.*.%= - L y=2f
・・・尸点坐标为(-1,2),
・・・关于x轴的对称点为(-1, - 2)(%不变一变)，
而(-1,-2)在第三象限.
故选：C.
【变式1】点尸(3,-5)关于x轴对称的点的坐标为( )
A. (-3,-5) B. (5,3) C. (-3,5) D. (3,5)
【变式2】在平面直角坐标系中，点尸(2,-3)关于原点对称点P的坐标是.
【变式3】点P (q,3)和点尸2(-2,6)关于y轴对称，则。=, b=.
511_______ 壹
初中数学题型方法全归纳
【变式4】在直角坐标系中，已知点P(-3,2),点。是点尸关于x轴的对称点，将点。向右平移4个
单位得到点七 则点火的坐标是.
【变式5】已知点P(a+1,2a-1)关于x轴的对称点在第一象限，求q的取值范围.
【变式6】点尸(2,3)关于直线-3的对称点为,关于直线尸5的对称点为.
【变式7】在平面直角坐标系中，点4(2,5)与点8关于y轴对称，则点5的坐标是( )
A. (-5,-2) B. (-2,-5) C. (-2,5) D. (2,-5)
【变式8】已知点尸(卬)、女口果x + m=O, y + n=O,那么点尸、Q ( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称 C.关于y轴对称 D.关于y=x对称
【变式9】已知：|x-l|+(y + 2)2=0,则(羽歹)关于原点对称的点为.
【变式10］已知点P(a +3b,3)与点。(-5/+ 2份关于x轴对称，则〃=, b=.
留题型方法10：点在坐标系中的移动规律
【题目特征】平面直角坐标系中，一动点有规律的移动，求第〃个点的坐标.
【解题方法】思考方向：
1 .根据下角标的周期规律，确定第〃个点的象限；用〃除以周期，看余数.
2 .依次找各点横坐标的规律，确定第〃个点的横坐标；再依次找各点的纵坐标的规律，确定第〃个;
点的纵坐标.
3 .找到某直线上(某一次函数上的点)的点的规律，再根据这个规律找到目标点的坐标.
例：如图，在平面直角坐标系中，从点尸1(-1,0), p2(-l,-l： ),P3(l,-1), P4(l,l), P5(-2,l),
尸 2, - 2),…依次扩展下去，则 的坐标为( )
6 ( - 02018
________________Pn
P；___________"
P：____ P4
Pi________________
O X
尸2________
X__________ Pj
尸10_____________________ P”
A. (505,-505) B. (-505,505)
C. (-505,504) D. (-506,505)
512卷_______
函数专题・第一章 平面直角坐标系
imlk
【解析】根据点的下标发现规律：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在
第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，只需判断
2019除以4的余数即可判定尸刈9在第四象限；
再看第四象限点的横坐标的规律是：1, 2, 3,…，所以，的横坐标505.
再看第四象限点的纵坐标的规律是：-1，-2, -3,…，所以，尸刈9的纵坐标-505.
【解答】解：根据给出的点发现：下标是4的倍数的点在第一象限，下标是4的倍数余1的点在
第二象限，下标是4的倍数余2的点在第三象限，下标是4的倍数余3的点在第四象限，
2019+4=504……3,
・•・2019在第四象限，横坐标为505,纵坐标为-505.
故选：A.
【变式1】如图，动点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1),
第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…，按这样的运动规律，经过第2018次运动
后，动点尸的坐标是( )
(3,2) (7,2) (11,2)
/(1V,1)八 W(5,1) △ W (9,1) △ \ ,
O (2,0) (4,0) (6,0) (8,0) (10,0) (12,0) x
A. (2018,1) B. (2018,0) C. (2018,2) D. (2019,0)
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方
向不断地移动，每次移动一个单位，得到点4(0,1), 4(1,1), 4(1,0), 4(2,0),…那么点4〃+ i (n
为自然数)的坐标为 (用〃表示).
【变式3】如图，点。(0,0)、5(0,1)是正方形的两个顶点，以对角线为一边作正方形
OBxBiCx,再以正方形0852G的对角线。历为一边作正方形0825c2,…，依次下去，则点以的坐
标是.
513初中数学题型方法全归纳
【变式4】一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到(0,1),然后按图中箭头所示
方向跳动(0,0)一(0,1)-(1,1)一(1,0)-……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点( )
A. (6,44) D. (7,44)
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为(1,0)、(2,0)、
(2,1)、(1,1)、(1,2)、(2,2)…根据这个规律，第2019个点的坐标为( )
A. (45,6)
514祢
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
寻题型方法1:判断关系式是否为函数
【题目特征】判断一个等式是否为函数关系式.
【考查知识点】函数概念：
函数的概念：在某一变化过程中，有两个量X和》对于%的每一个值，V都有唯一的值与之对应，
此时称歹是X的函数.其中/是自变量，y是因变量.
例：给圆的半径「取任意一个数值，计算出来的S值都是唯一的.也就是说，任意升值都存在唯一
确定的S值与之对应.
【解题方法】举反例：代入一个%值，去求歹的值，如果可以求出两个丁值，那么就不是函数，否则
就是函数关系式.
例：判断下列式子中，歹是否是x的函数.
2
(1) y=3x (2) y=-x+l (3) y=— (4) y = 3x2 +2x-1
x
(5) y2 = (3x-5)2 (6) y = y/15x (7) \y\= - 12x (8)y=| — 8x|
【解答】解：(1)是.(任意取x值，都只能计算出来一个>)
(2)是.(任意取x值，都只能计算出来一个歹)
(3)是.(任意取x值，都只能计算出来一个歹)
(4)是.(任意取x值，都只能计算出来一个y)
(5)不是.(取―2时，计算得到丁值为1或-1,有两个y值)
(6)是.(任意取x值，都只能计算出来一个y)
(7)不是.(取x=-1时，计算得至W值为12或-12,有两个丁值)
(8)是.(任意取x值，都只能计算出来一个y)
【变式1]下列各式中，》不是x的函数的是( )
A. y=x B. \y\=x C. y=2x +1 D. y = x2
【变式2】已知变量x与y的四种关系：①y=|x|;②[y]=x；③2/_> = 0； @x + y2 =1,其中y是%的
函数的式子有 个.
【变式3】下列等式中，歹是x的函数有( )
3x - 2y=0, x2 - y2 = 0 f y = Vx , y = |x|, x = |y|.
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
515初中数学题型方法全归纳
留题型方法2：判断图象是否为函数图象
【题目特征】已知图象，判断是否为函数图象.
【考查知识点】函数概念及图象：
函数的概念：在某一变化过程中，有两个量x和修 对于x的每一个值，歹都有唯一的值与之对应，
此时称y是x的函数.其中%是自变量，＞是因变量.
例：给圆的半径.取任意一个数值，计算出来的S值都是唯一的.也就是说，任意升值都存在唯一确
定的S值与之对应.
【解题方法】任意画一条竖线，如果存在某条竖线和图象有两个及以上交点，说明不是函数图象;
否则就是函数图象.
【解答】解：4满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意;
8满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意；
。不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项符合题意；（画一条竖
线，竖线和图象有不止一个交点）
。满足对于x的每一个取值，》都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意；
故选：C.
【变式1】下列各图象中，不表示y是x的函数的是（ ）
【变式2】下图分别给出了变量y与x之间的对应关系，y是x的函数的图象是（ ）
A B C D
516祢
函数专题-第二章一次函数的性质和图象
【变式4】如图，在中，直线I垂直底边5C,现将直线，沿线段5C从B点匀速平移至。点，直
线/与△ZBC的边相交于£、尸两点.设线段环的长度为外平移时间为3则下图中能较好反映y与，的函
数关系的图象是( )
题题型方法3：求自变量的取值范围
【题目特征】通过函数解析式，求自变量的取值范围.
【解题方法】从以下几个方面列式求解：
1.分母不等于0;
2.根号底下大于等于0；
3.0的0次暴没有意义；
4.实际应用问题，根据自变量代表的实际意义进行取值，一般要大于0.
例1：求下列函数中自变量x的取值范围.
r2 -2
(1) y = 2x2 +3x + l； (2) y =---------；
x-3
2 _____
(3) y = ； (4) y“7-2x ；
1 + -
x
(5) y = j2x-3 + j7-3x ； (6) y ="二 > .
x-3
【解答】解：(l)x为任意实数；(没有分母、根号、0的0次暴)
(2)由工-3。0得：xW3；(分母不等于0)
517_______ 娄
初中数学题型方法全归纳
（3）由? 解得XHO,且xH-1;（分母不等于0,注意有两个分母）
x w 0
7
（4）由7-2冗之0得：x<-；（根号底下大于等于0）
2
（5）由产一32° ,解得3«、乙 （根号底下大于等于0）
[7-3.x>0 2 3
f 2 % - 4 > 5
（6）由 ~ ，解得x22,且工。3.（分母不等于0且根号底下大于等于0）
[x-3w0
例2：三角形的周长是yc加，三边长分别为4c加，6cm, xcm,则以x为自变量表示y的函数关系式
为,自变量％的取值范围是.
【解答】解：y=10+x, 2<x<10 , （x的取值要满足构成三角形，所以要大于两边之差，小于两边
之和）
【变式1】函数y = 的自变量x的取值范围是（ ）
x
1
A. xWO B. x=AO _Sx< — C. x>~. D. x 一.
2 2 2
也工的定义域是（
【变式2】函数y = )
X
A. xHO B. x>2 C. x«2 且xHO D. x>2 且xHO
吾自变量'的取值范围是（）
【变式3】函数片
A. x±3 B. x<5 C. x<5且件3 D. x<5 且xW3
【变式4】矩形周长为30,则面积》与一条边长》之间的函数关系式为.x的取值范围为
留题型方法4：已知正比例函数求参
【题目特征】已知某函数解析式为正比例函数求参.
【考查知识点】正比例函数定义：一般地，形如尸丘（左为常数，E0）的函数，叫正比例函数，k
叫比例系数.
【解题方法】主要看以下几个方面：
1.未知数次数为1；
2.一次项系数不为0；
3.常数项为0；
4.出现高次项时，高此项系数为0.
518函数专题•第二章一次函数的性质和图象
例：若函数P =（m-2）/4是正比例函数，则加的值是.
【解答】解：由题可得：2疗_7 = 1且加-2。0,（次数等于1,系数不为0）
所以机=一2.
【变式1】若函数产-2x +冽-3是y关于x的正比例函数，则加的值为（ ）
A. -3 B. 1 C. 2 D. 3
【变式2】若x,歹是变量，且函数y =（左-1）N是正比例函数，贝必的值为.
【变式3］如果函数> =（加+ 2）产-3是正比例函数，那么加的值是.
留题型方法5：正比例函数图象和性质
【题目特征】根据图象判断性质，根据性质判断图象特点.
【考查知识点】正比例函数图象和性质：
（1）图象：正比例函数图象是一条经过原点的直线，函数尸船（左W0）也叫直线尸底
（2）性质：
y=kx 示意图（草图） 图象位置 变化趋势 性质（增减性）
4
经过原点和 从左向右 V随X的增大而增大
k>0
第一、三象限 上升 ）随X的减小而减小
4
经过原点和 从左向右 >随X的增大而减小
k<0
第二、四象限 下降 >随X的减小而增大
例1：下面哪个正比例函数的图象经过第一、三象限（ ）
A. y = （H 出）x B.歹=（3.14一〃）工
C. y = -（m2 + l）2x （加为常数） D. y = （V2 - l）x
【解答】解：4选项中左=0-G〈0,所以图象经过二、四象限；
8选项中左= 3.14-»V0,所以图象经过二、四象限；
。选项中左二-（疗+1）2<0,所以图象经过二、四象限；
。选项中左=也-1>0,所以图象经过一、三象限.
故选：D.
例2：若正比例函数y=（l -2加）x的图象经过点/（xi/i）和点5（%2,词,当xi<42时,yi>yi ,贝!J加
的取值范围是.
【解答】解：・・•当时，y>及，说明随着x的增大田直减小，
519初中数学题型方法全归纳
・•・正比例函数左V0,即1-2加<0,
..m>—.
2
a
【变式1】一个正比例函数的图象经过第四象限内的两点Z（2,-3a）及9）,则这个正比例函
数为.
【变式2】一个正比例函数的图象经过点（1,-2）,它的表达式为（ ）
A. y — —x B. y — —x C. y = _D. y =
2 2
【变式3】在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过4Q3）, 8（4,6）两点，则q、b一定
满足的关系式为（ ）
A. a-b=\ B. a + C. ab=12 D.—
b 4
【变式4］已知y关于工成正比例，且当尸2时，尸-6,则当x=l时，y的值为（ ）
A. 3 B. -3 C. 12 D. - 12
国题型方法6：求正比例函数解析式
【题目特征】已知正比例函数经过某点，求正比例函数解析式.
【解题方法】待定系数法：因为两点确定一条直线，所以有一个已知的点（为,〃），带入解析式y =
fcc中，通过解关于左的方程，就可以求出解析式.
【解题步骤】
1.设正比例函数为y=fcc；
2.将点的坐标代入函数解析式中；
3.求解关于左的方程.
简称：一设二代三解.
例：已知正比例函数丫=近（左H0）的图象经过点（-3,1）,则正比例函数的解析式为（ ）
A. y=3x B. y= - 3x C. V = D. y = --^x
【解答】解：・・,正比例函数y=近体WO）的图象经过点（-3,1）,（一设）
・••将（一 3,1）代入尸如得：1 二 一 3后,（二代）
解得：k = --,（三解）
3
・・・这个函数的解析式为k-?，
故选：D.
520函数专题-第二章一次函数的性质和图象
【变式1】已知正比例函数丁二依(左H0)的图象经过点(1,-2),则正比例函数的解析式为( )
A. y=2x B. y= - 2x C. y = —x D. y = --x
【变式2】已矢口》与、成正比例，且x=l时，y=~2,则当尸-1时，y=.
【变式3】已知正比例函数经过点尸(〃,3〃)(其中q为常数，qWO),则该正比例函数解析式为
【变式4】已矢口y与x成正比例，且x=2时，y=4.
(1)求y关于'的函数表达式；
(2)当x =—；时，求y的值.
【变式5】已知y与%成正比例，且当x=3时，y=4.
(1)求丁与x之间的函数解析式；
(2)当、=一1时，求y的值.
国题型方法7：已知一次函数求参数
【题目特征】已知某函数解析式为一次函数求参数.
【考查知识点】定义：一般地，形如尸foc + b (左、b为常数，原0)的函数，叫作一次函数.当6=0
时＞=去+ 6化为y=丘，所以正比例函数是特殊的一次函数.
【解题方法】主要看以下几个方面：
1.未知数次数为1;
2.一次项系数不为0；
3.出现高次项时，高次项系数为0.
例：当机=时，函数y =(加-石)--1+ 2加表示一次函数，其表达式是.
【解答】解：根据题意可知：m2 -1 = 1 , m-y[2 0 .解得：m = -V2 .
将冽=-V2代入得到表达式为y = -2 - 2^2 .
521初中数学题型方法全归纳
【变式1］当加=时，函数 》 =（m-2）x4、5x —6是一次函数.
【变式2】已知歹=（加-1）N—1是关于%的一次函数，贝加为
【变式3】已知歹=（左+ 2）/" _ 5是关于%的一次函数，则左为.
留题型方法8： 一次函数图象和性质
【题目特征】根据图象判断性质，根据性质判断图象特点.
【考查知识点】一次函数图象和性质：
（1）图象：一次函数+ b的图象是一条直线，我们称它为直线》=而+儿它可以看作直线歹=丘
平移|臼个单位长度而得到（当6>0时，向上平移；当6<0时，向下平移）.
（2）图象与坐标轴交点：图象与y轴交于点（0力），与x轴交于点
（3）性质:
y=kx + b 示意图（草图） 经过的象限 变化趋势 性质（增减性）
b>0 、——-、
O X
从左向右 y随x的增大而增大，
k)0
上升 y随x的减小而减小
二
b<0 一、三、四
4
b>0 一、二、四
从左向右 》随X的增大而减小，
k<0
下降 y随x的减小而增大
卜
b<0 二、三、四
例1：已知一次函数y=fcc + b,其中肪>0,则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）
A.第一、二象限 B.第二、二象限
C.第三、四象限 D.第一、四象限
【解答】解：由行〉0可得：k、b同正或者同负,
当左、b同正时，y=hc +b经过一二三象限；
当左、b同负时，+ b经过二三四象限.
・・・这个一次函数一定经过二三象限.
故选：B.
522祢
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
例2：如果一次函数歹="+6不经过第一象限，那么仍 0.
【解答】解：不经过第一象限，有两种情况，一种是。<0, b<0；另一种是q<0, b=0.
/. ab>0 .
【变式1】已知一次函数为尸3x+l,其与x轴的交点坐标为，与歹轴的交点坐标为
【变式2】如果直线尸ax - b经过一、三、四象限,那么直线尸反+。经过第 象限;直线尸--x
a
经过第 象限.
【变式3】一次函数y = （2左-l）x-左不经过第一象限，贝必的取值范围是，
【变式4】已知正比例函数（®0）的函数值y随着x的增大而增大，贝!J一次函数y=x-左的图象大
致是（ ）
【变式5】下列图象中，不可能是关于工的一次函数3）的图象的是（ ）
【变式6】如图，一次函频=去+ 6和正比例函数在同一坐标系的大致图象是（ ）
【变式7】三个一次函数y =女a+ 61、y = kix + b2 >>=左31+人在同一直角坐标系中的图象如图所
示，分别为直线A、1八L,则后、左2、左3的大小关系是.
h
523初中数学题型方法全归纳
【变式8］在函数歹=履+ 3(左<0)的图象上有4(-2,川、5(1,/)、C(-1,户)三个点，则.、/、外
从小到大排列为.
留题型方法9：求一次函数解析式
【题目特征】求一次函数的解析式，即确定左和b的值.
【解题方法】待定系数法.
【解题步骤】一般解题步骤：
1.设一次函数为y=Ax + by
2.将点的坐标代入函数解析式中；
3.求解关于左、6的方程(组).
简称：一设二代三解.
求人的方法：已知直线上两点(孙川、(孙/),贝1］左=匕2
X1-X2
求6的方法：一次函数和y轴交点的纵坐标即为b值.
例：已知一次函数的图象经过(-1,2)和(2,4)两点.则解析式为.
【解答】解：设一次函数为+ (一设)
将点代入，［不? = (二代)
［2左+ 6 = 4
k=-
解得： 3,(三解)
b上
［3
所以，解析式为：歹=2、+§.
3 3
【变式1】已知一次函数的图象经过(-2,3)和(2,4)两点.则解析式为.
【变式2】已知一次函数的图象经过(-3,0)和(1,3)两点，则解析式为.
【变式3】已知一次函数的图象经过(-3,1)和(1,3)两点，则解析式为
【变式4】一次函数尸加x +〃(加加)，当-2<%«5时，对应的歹值为04y47 ,求一次函数的解析式.
524祢
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
留题型方法10： 一次函数的图象变换
【题目特征】求一次函数平移、对称以后的函数解析式.
【考查知识点】一次函数丁=区+6（左工0）图象的变换及特殊位置关系：
1 .平移：上加下减（针对整体），左加右减（针对x）；
2 .对称：关于哪轴对称哪轴对应坐标不变，另外一个变为原来的相反数；
3 .中心对称：x和^值都变为相反数.
4.三大变换通解方法：找两个特殊点（如与坐标轴的两个交点），进行相应变化后，再确定解
析式.
例1：把函数歹=-2% + 4的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为.
【解答】解：y=-2x + 6.（向上平移2,整体+ 2）
例2：若直线》二依（女工0）经过点（1,3）,则该直线关于x轴对称的直线解析式为.
【解答】解：将点（1,3）关于x轴对称，得到（1,-3）,
・ ••解析式为尸-3x.
【变式1】把函数y = 3x + 4的图象向右平移2个单位，所得函数图象的解析式为.
【变式2】把函数y = -3x-1的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得函数图象的解
析式为.
【变式3】若将直线/的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后，得至U直线y=-2x+l,则
原直线解析式为.
【变式4】函数歹=-x + 2的图象关于〉轴对称，得到的函数图象的解析式为.
【变式5】函数歹= 2x-3的图象先关于y轴对称，再关于x轴对称，得到函数的解析式为.
【变式6】直线＞ =2x - 3关于（0,0）对称的直线的解析式为.
留题型方法11：两个一次函数图象的位置关系
【题目特征】利用两个一次函数图象的位置关系解题.
【考查知识点】两个一次函数的位置关系与系数的关系：
（1）若两直线平行：k （斜率）相等，b值不等；
（2）若两直线垂直：两直线左（斜率）互为负倒数，即怎•左 -1.
2 =
【解题方法】平移前后的两条直线互相平行，它们的解析式上值相同，〃值不同，所以可利用平行
得到左值，然后再利用其他条件求出b值即可.
525初中数学题型方法全归纳
例：直线1平行于直线y=-2x,且过点(4,5),则1的解析式为.
【解答】解：,・•直线/平行于直线/=-2x,
・ ・・设直线［解析式为y= -2x + 6,(利用平行直接得到左值，所以可设解析式为y= -2x + b)
又「直线［经过(4,5),
・ ••将(4,5)代入产-2%+ 6得:6=13・
・ •・直线，解析式为y= -2x+13.
【变式 1)直线 yi = kix + bi(ki w 0)与直线 yi = kix + biiki w 0)平行,则 ki ki .
［变式 2］直线 y\ = kix + bi(ki w 0)与直线 yi = kix + bifjn w 0)垂直，则 k\ki=.
【变式3】直线/垂直于直线y=3x + 2,且过点(1,4),则/的解析式为.
【变式4】点4(1,2)关于直线》=-、+ 5的对称点⑷的坐标是.
留题型方法12： 一次函数和方程(组)综合
【题目特征】利用方程组求解一次函数交点坐标，或利用交点坐标求方程的解.
【考查知识点】一次函数和方程(组)的关系：
【解题方法】
已知两个一次函数：y = aa+b.,广濠x+儿，求交点坐标，联立方程组;尸“比”，解方程组
［y = aix+bi
得到的x、歹值，对应的就是交点的横纵坐标.
已知两个一次函数万，n= *%+岳的交点坐标为(加⑼，求方程组1 = ""”的解，那么
［y = aix+bi
方程的的解为/ =
y = n
526当_______
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
例1：如图所示的是函数产自+ 6与尸加X +〃的图象，则方程组上=’的解是________
[y = mx-{-n
【解答】解：由图可知两个函数的交点坐标为(3,4),
所以，联立两个函数解析式组成的方程组的解为f
例2：直线"=左戊+从经过原点和点(2,4),直线歹2 =匕田也经过点(8,-2)和点(1,5).
(1)求y及/的函数关系式；
(2)若两直线相交于求点M的坐标.
【解答】解：(1)由题意得，直线6=左送+从经过原点和点(2,4),
bi = 0 k\ = 2
解得
2/+儿=4 bi = 0
• • = 2x ,
8k 2 + 62 = —2
同理,
左 2 + 62 = 5
解得
/ = -x + 6 .
⑵由题意得，二+ 6,解味二
・・・交点M(2,4).
【变式1】已知直线1- 3与片2x +2的交点为(-5, - 8),贝历程组尸7一＞ 0的解是_____
— ＞ + 2 = 0
【变式2】两个关于x、y的一次函数y=5"-2b和＞=3"+ 26的图象的交点坐标为(1, - 4),则
a-， b=.
527海
初中数学题型方法全归纳
【变式3】一次函数—与尸AT图象在第四象限内交于一点,求整则的值.
【变式4】在直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，设左为整数，当直线y=x-3与直线
y=fcc +左的交点为整点时，求此时左的值.
留题型方法13： 一次函数恒过定点问题
【题目特征】已知一次函数恒过某一定点，求参数或定点.
【解题方法】恒过定点，说明与参数取值无关，那么令参数的系数为0.
例：无论加取何实数，函数尸加x +2加一定过定点.
【解答】解：由题可知：尸（x + 2）制与加无关，把加当作字母，合并同类项），
.\x + 2=0,即1=-2时，y=（x + 2）加与加取值无关，（与谁无关，谁系数为0）,
当工=一2时，y=0.（代入求y值），
所以，产加x +2加一定经过点（-2,0）.
【变式1】无论左取何实数，函数y=fcc + 3一定过定点.
【变式2】无论左取何实数，函数产=而-5人一定过定点
【变式3］已知函数尸（加-2" + 2加-3,求证：无论加取何实数，此函数图象恒过一定点，并求出
此定点.
528卷
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
留题型方法14： 一次函数和不等式综合
【题目特征】利用函数图象解不等式.
【考查知识点】函数图象和不等式之间的关系:
【解题步骤】要解不等式。式+历>〃2% +儿，
第一步：引入两个函数yi = mx + 6i , yi = aix + bi ；
第二步：画出两个函数图象；
第三步：确定交点的横坐标；
第四步："图象在/图象上面对应的工的取值范围即为不等式mx + 61>濠l+ bi的解集.
总结：谁高谁大，对应的x的范围即为解集.
例：解不等式x + 3>-x-5.
【解答】解：方法1：引入函数y = x + 3, a = 5.（左右两边各当作一个函数解析式）
这两个函数的图象如图所示，交点坐标为（-4, - 1）. 『
要求解x + 3>-%-5 ,即 yi>/ ,
在图象中，角图象在/上方对应的x的取值范围为x>-4 .
屋
所以，不等式x + 3>-x-5的解为x>-4.
Nv2
方法2：将不等式整理得：2x + 8>0.
引入函数yi = 2x + 8 ,产=0 .（左右两边各当作一个函数解析式） !
这两个函数的图象如图所示，交点坐标为（-4,0）.（g=0的图象为x轴） ,y】
要求解2x + 8>0 ,即 y >/ ,
在图象中，y图象在/上方对应的x的取值范围为x > -4 . 八
所以，不等式x + 3>-x-5的解为x>-4. yr/ —
【变式1】在同一直角坐标系中画出yi = -x-l与g=% + 2的图象，通过观察图象，填空:
①当X —时, ^1 = 0 ,当 x —时, y <0 ；
②当x_—时, / = 0 ,当 x —时， )/2 > 0 ；
③当X―—时, yi = y2 f 当x —时, y\ > yi
④当x_—时， -1 < yi < y2.
529海
初中数学题型方法全归纳
【变式2】如图，直线>=履+ 6（左>0）与x轴的交点为（-2,0）,则关于x的不等式丘+ 6<0的解集是
【变式3】如图，已知函数尸x + b和尸g + 3的图象交点为P,则不等式x + b>ox + 3的解集为
【变式4】如图，直线厂丘+6经过4-2,-1）和5（-3,0）两点，则满足不等式组;x<fcc + b<0的］
的取值范围为.
【变式5】如图，已知直线6与直线y = x + c的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个
结论：①。<0；②c>0；③对于直线》= x + c上任意两点及），,若羽<及，则及〉〃；
④x〉1是不等式ox + b <x + c的解集.
其中正确的结论是（ ）
A.①② B.①③ D.③④
530称
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
【变式6】如图，直线＞=丘+ 6经过点4(0,5)、5(1,4).
(1)求直线Z5的解析式；
(2)若直线＞ = 2x-4与直线45相交于点C,求点。的坐标;
(3)根据图象，写出关于工的不等式2x-42H + 6的解集.
国题型方法15: 一次函数中的图形面积问题
【题目特征】求一次函数和坐标轴围成的图形面积.
【类型1】一直线与两坐标轴围成的面积
【解题方法】
1 .求一次函数y = kx + b和坐标轴的交点坐标，即A(0,b)和5(--,0)；
2.直线和坐标轴围成的面积：5 = --
2
【类型2】两直线与一坐标轴围成的面积
【解题方法】
L求两个一次函数的交点，联立方程组，解方程组；
2 .求直线和x轴或y轴的交点；
3 .若求与x轴围成的图形面积(即△5CD的面积)，则以在x轴上的线段瓦)为底，高即为C点到金
轴的距离，然后利用面积公式求出面积；
若求与歹轴围成的图形面积(即的面积)，则以在y轴上的线段为底，高即为。点到y轴的:
距离，然后利用面积公式求出面积.
531海
初中数学题型方法全归纳
【类型3】三直线围成三角形的面积
【解题方法】水平宽，铅垂高.
如图，要求面积.
【解法一】如图1,过点。（定点）作CD_Lx轴交々于点贝US.
ABC = SLACD + SLBCD .
如图2,过点8作5尸，C。于点尸，过点4作4EJ_CD于点£,过点4作4GJ_x轴于点G,
2 2 2 2
说明：其中。G表示4、B两点之间在水平方向上的距离，可称为ZX/BC的水平宽，CD可称为ZUBC
的铅垂高，即S/U8C = 」
水平宽 铅垂高，可称为“宽高公式”.
2
【解法二】如图3,
图3 图4
如图4,过点B作BHL4D交于点H,贝I」
- AD - BH - -AD - CG = -AD (BH-CG )= -ADOC .
S^abc = S.abd - S.acd =
2 2 2 2
说明：OC是ZU5C的水平宽，4D是A45C的铅垂高.
【解法三】如图5,过点5作轴交4c于点则S用c = S△加 + S“cd.
532卷
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
如图6,过点。作CHL及)于点过点/作轴于点G,交AD的延长线于点£,
则 Smbc = S △旃+ S“8 = g及)+ =；及＞ (AE + CH)= ^BD AG .
说明：及)是ZUBC的水平宽，4G是△ZBC的铅垂高.
【解法四】如图7,过点/作ZEJ_y轴于点£,延长4E交8C反向延长线于点。，则S = S -S
,abc ,acd ,abd .
如图8,过点。作C7U/。交于点R
则 = S.ACD - = ^AD CF 一 ^AD • BE = ^AD ©F-BE)= ^-AD OB .
S.abc S.abd
说明：4)是△45C的水平宽，。5是△4BC的铅垂高.
总结：
1 .过/、B、。三点其中一点作横线交另外两点所在直线于。点，这个横线距离即为水平宽，另外
两点的垂直距离即为铅锤高.
2 .过4、B、。三点其中一点作竖线交另外两点所在直线于。点，这个竖线距离即为铅锤高，另外
两点的水平距离即为水平宽.
例1：
求一次函数y = -gx + 4的图象与两坐标轴的交点坐标，并求出该一次函数与两坐标轴围成
三角形的面积.
【解答】解：设该一次函数与x轴的交点为4,与y轴的交点为8,
4
令尸0,得-丁+ 4 = 0,解得x=3,故4(3,0), 04=3；
令尸0,得尸4,故5(0,4), 08=4.
贝! J S^abc = — x OA x OB — —x 3x4=6.
2 2
2
例2：
已知两直线y = -：x + 3和y = 2x-1,则它们与歹轴所围成的三角形的面积是
与x轴围成的三角形面积是.
533海
初中数学题型方法全归纳
1aMJIL1M
【解答】解：设该一次函数与x轴的交点为4,与y轴的交点为8,
7 Q
令尸0，得——x + 3 = 0,解得x =—,
3 2
o
故£(于0), 8(0,3),
令尸0,得21-1 = 0,
故吗0), 0(0,-1).
联立方程组—丁 + 3得：x = 3,尸2.
y = 2x-l
3
故4于2).
1 3 1 3
贝 ll S^abc = — xBC x — = —x4x—=3 ；
2 2 2 2
J^Sm°e」xD£x2」x4x2 = 4.
2 2
所以，与y轴所围成的三角形的面积是3,与x轴所围成的三角形的面积是4.
例3：如图，在平面直角坐标系中，三角形各顶点坐标分别为4(4,0), 8(1,3), C(7,5),贝格48。
的面积是.
【解答】解：如图，过/作%轴的垂线，交BC于点D,作于点£,作CFL4。于点尸,
则 - AD - BE + ~AD CF = -AD - (BE + CF)= -AD . BC 的水平距离.
S.abc = S^abd + S.acd =
2 2 2 2
设5C直线为+ 将8、C两点代入得：
肚+ b = 3
\7k + b = 5 '
k =—
所以，BC直线为尸L + §,
3 3
•・ZQ_Lx 轴，
・・・。点和4点横坐标相同，
/.设。点坐标为(4,及)，
534祢
将“点代入＞= 得：y = -x4 + - = 4 ,
3 3 3 3
所以，。点坐标为(4,4).
所以，40=4,
又5C的水平距离为6.(水平距离为横坐标之差，铅锤距离为纵坐标之差)
【变式1］已知一次函数y=fcc + 3的图象与x轴、y轴围成的三角形面积为15,则此一次函数解析式
为.
【变式2】已知直线/i经过点4(-1,0)与点5(2, 3),另一条直线A经过点5,且与x轴相交于点
P(m, 0).
(1)求直线乙的解析式；
(2)若△ 4%的面积为3,求功的值.
【变式31直线y = -％ + 2与x轴、y轴分别交于点4和点5,另一条直线y = Ax +贴。0)过点C(l, 0),
且把ZUOB分成两部分.
(1)若被分成的两部分面积相等，求左和6的值；
(2)若△495被分成的两部分面积之比为1:5,求左和b的值.
535海
初中数学题型方法全归纳
【变式4】如图，已知一次函数的图象经过4(-3,-5), C(5,-1)两点，则△40。的面积为
【变式5】如图，△ZBC三个顶点的坐标分别为4(4,1), 5(5, 5), C(-l,2),则三角形的面积为，
【变式6】如图，直线尸—gx + l与%轴、y轴分别交于点4 B,以线段功为直角边在第一象限
内作等腰及△4BC, /BAC=90。,如果在第二象限内有一点尸(见；)，且尸的面积与的面积
相等，求q的值.
【变式7】已知△ZBC是边长为2的等边三角形，点4, 5分别在x轴，＞轴上，ZCLx轴，点尸(3, 〃)
在第一象限内，且满足2s.- S△皿，求。的值.
536卷
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
留题型方法16： 一次函数与将军饮马模型
【题目特征】在函数中求线段最值，或求取得最值时的点的坐标.
【考查知识点】将军饮马模型：
模型I：最小值问题
模型II:最大问题
例：如图，已知三个顶点坐标分别为4(0,4), 3(-2,-2), C(3,0),点尸在线段4C上移动,
当点尸坐标为(1打)时，请在y轴上找点。，使△PQC周长最小，画出图形并求出。点坐标.
537初中数学题型方法全归纳
【解答】解：・・Z(0,4), C(3,0),
4
直线4C的解析式为y = --X + 4 ,
• ・•点尸在线段ZC上移动，点尸坐标为(1,加)，
Q
・・・尸(与)，
作尸点关于7轴的对称点P,
连接PC交歹轴于。，此时以+。。=尸匕
根据两点之间线段最短，0就是使△尸0。周长最小的点,
Q
则「(七)，
・ ・・直线PC的解析式为尸京+ 2 ,
・ ・・0点的坐标为(0,2).
【变式1】如图，在直角坐标系中有四个点4(-6, 3), 5(-2, 5), C(0,加),D(n, 0),当四边形
周长最短时，贝加 +片,此时四边形Z5CD的面积为.
【变式2】如图，在直标系内，一次函数歹= -；%-1的图象分别与x轴…轴和直线x = 4相交于4、
B、C三点，直线x=4与x轴交于点D
(1)若点”在x轴上运动，当M运动到某个位置时，|MB-MC|最小，试求出此时点M的坐标；
(2)若点G在直线C。上，点H在直线45上，试问：在(1)条件下，是否存在某个合适的位置，
使得MG + G”取得最小值？如果存在请直接写出这个最小值和此时点〃的坐标；如果不存在请说明理
由.
538函数专题・第二章一次函数的性质和图象
留题型方法17： 一次函数中的翻折问题
【题目特征】在坐标系中将图形进行翻折.
【考查知识点】翻折的性质、勾股定理等几何知识和函数的结合.
【解题方法】充分利用好一次函数斜率与倾斜角（直线与x轴正方向所形成的夹角）的关系:
例：直角△405在平面直角坐标系中，如图所示，。与坐标原点重合，点/在x轴上，点5在y轴上，
直线45的解析式为歹= ^x + 2G，将△43。沿直线5K折叠，使得。5边落在45上，点。与点。重合.则
点。的坐标为.
・ ・•沿班折叠。、。重合，
：.DE=2,
• ・• ZDAE=30°,
：.ZDEA= 30° , ZADE=ZBOE= 90° ,
・ •・ ZEZ）G=30°,
：.GE=\, DG=6
：.OG= 1+2=3,
・ ・・O的坐标是：（-3,百）.
也可以用解析法，求点。关于直线BE的对称点。.
【变式1】如图，矩形048。在平面直角坐标系中，4C的解析式为y =-半x + 1,把ZUBC沿4C
对折，点8落在夕处，线段49与x轴交于点。，则出,的面积为.
539初中数学题型方法全归纳
4
【变式2】如图，直线＞ =-丁 + 8与x轴，y轴分别交于点4和8, M是08上的一点，若将△ZHC沿
折叠，点3恰好落在x轴上点夕处，则直线4M的解析式为.
【变式3】将矩形放在平面直角坐标系中，顶点。为原点，顶点。、/分别在x轴和y轴上.在
04边上选取适当点£,连接CE,将△£。。沿C£折叠，如图.
(1)若矩形045c的边长。4=8,。。=10,如图1,当点。落在矩形045。内部的点。处时，过点E
作£G//x轴交C。于点〃，交5C于点G.设H(m, n),用含〃的代数式表示加为；
(2)如图2,将矩形0/5。变为正方形，。。=10,当点E为4。中点时，点O落在正方形。45。内部
的点。处，延长C/)交45于点T,求此时/T长度.
540卷
函数专题-第二章一次函数的性质和图象
留题型方法18：根据函数图象获取信息----分段函数
【题目特征】已知一个函数图形，由函数图象获取信息.
【考查知识点】分段函数：
分段函数是一个函数，只不过当自变量的取值范围不同时，对应的函数解析式不同.例：出租车
费用和行程里程之间的函数关系式为：y = (8(X~^ ,
[1.5x + 3.5(x>3)
这个函数代表了乘坐出租车的费用和行驶里程之间的关系.当行驶里程在3碗以内，费用是8元，
当行驶里程超过3痴(假设是加n),费用是(1.5X + 3.5)元.
【解题方法】搞清楚横纵坐标代表的意义，利用待定系数法求出每一段的函数解析式，最终得到
一个分段函数.由函数图象和分段函数描述出整个的运动过程，然后根据题目问题进行解题.
1 .如果考查路程和时间之间的关系.也就是说纵坐标代表路程，横坐标代表时间.那么，
①每一段倾斜程度不一样，代表速度不同，倾斜程度越大，说明速度越大；
②在每一段直线上，路程差除以时间差就等于这一段的速度；
③横线代表此时没有行驶，在途中休息.
2 .如果考查花费和用量之间的关系.也就是说纵坐标代表钱数，横坐标代表用量.那么，
①每一段倾斜程度不一样，代表单价不同，倾斜程度越大，说明单价越高；
②在每一段直线上，钱数差除以用量差就等于在这个用量范围内的单价；
③ 横线代表在这个用量范围内，花费不变.比如，出租车在36以内都是起步价.
例：小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点4再走上坡路到达点5,最后走下坡路到达
工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示.下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下
坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是( )
A. 12分钟 B. 15分钟 C. 25分钟 D. 27分钟
【解答】解：依据图象，小高刚开始走平路，走了 3分钟，对应的路程走了 1碗，所以走平路的
速度为1千米/分钟，接着开始走上坡路，从第3分钟走到第8分钟，走了 5分钟，从16走到2袖，
3
走了 1碗，所以上坡的速度为:千米/分钟，接着开始走下坡路，从第8分钟走到第12分钟，走了 4
分钟，从2左加走到4碗，走了 2碗，所以下坡的速度!千米/分钟.返回家时，上下坡速度不变，但是
2
2 1 1
上坡路变成了下坡路，下坡路变成了上坡路，所以用时, =彳+ ； + ；=15分钟.
5 2 3
541海
【变式1】受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水，决定采取月用水量分段
收费办法，某户居民应交水费丁（元）与用水量X （吨）的函数关系如图所示.若该用户本月用水21
吨，则应交水费（ M元）
A. 52.5 元 B. 45 元
C. 42 元 D. 37.8 元
【变式2】小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公
交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中
折线45C/M表示小丽和学校之间的距离y （米）与她离家时间x （分钟）之间的函数关系.
（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；
（2）当8<x<15时，求歹与x之间的函数关系式.
y （^）
3900
B C
3650
0 5 8 15 18 x （分钟）
【变式3】有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有力、B、C三点顺次在同一笔直
的赛道上，甲、乙两机器人分别从Z、5两点同时同向出发，历时7分钟同时到达。点，乙机器人始终
以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y （米）与他们的行走时间x （分钟）之间
的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）4、5两点之间的距离是 米，甲机器人前2分钟的速度为 米/分；
（2）若前3分钟甲机器人的速度不变，求线段£厂所在直线的函数解析式；
（3）若线段FG〃工轴，则此段时间，甲机器人的速度为 米/分；
（4）求/、。两点之间的距离.
F G
2 3 4 7 x （分钟）
542函数专题-第二章一次函数的性质和图象
留题型方法19：根据函数图象获取信息一--多函数结合
【题目特征】已知函数图象，由函数图象获取信息，图象中有两个函数.
【解题方法】两个不同函数的因变量和自变量代表的意义是相同的，根据函数图象分别求出两个
函数解析式，然后利用函数解析式和图象进行解题.
一般题目中，常考路程和时间之间的关系.也就是说纵坐标代表路程，横坐标代表时间.那么，
就会出现两个人的速度和时间之间的关系.
1 .如果考查路程和时间之间的关系.也就是说纵坐标代表路程，横坐标代表时间.那么，
①每一段倾斜程度不一样，代表速度不同，倾斜程度越大，说明速度越大；
②在每一段直线上，路程差除以时间差就等于这一段的速度；
③横线代表此时没有行驶，在途中休息；
④直线均向上倾斜，说明是同向行驶，也就是一个追击问题.如果一条直线向下，一条直线向上,
说明相对行驶，也就是一个相遇问题；
⑤无论同向还是相向行驶，两个函数的交点，代表的是两个人相遇的时间点.
2 .如果考查花费和用量之间的关系,也就是说纵坐标代表钱数，横坐标代表用量.那么，
①每一段倾斜程度不一样，代表单价不同，倾斜程度越大，说明单价越高；
②在每一段直线上，钱数差除以用量差就等于在这个用量范围内的单价；
③横线代表在这个用量范围内，花费不变.比如，出租车在3碗以内都是起步价；
④两个函数的交点，代表的是在对应的这个用量下，花费是相同的；
⑤直线在上方对应的自变量的取值范围指的是：在这个范围内花费更多.
例：小敏从4地出发向3地行走，同时小聪从B地出发向力地行走，如图所示，相交于点尸的两条线
段心分别表示小敏、小聪离5地的距离双府)与已用时间x(〃)之间的关系，则小敏、小聪的速度分
别是.
【解答】解：由图可知，两人是相向而行，》代表的是离5地的距离，
所以，小葱刚开始是在5地，也就是小聪刚开始离5地0府，行走1.8〃后，
距离5地4.8%，所以小聪的速度为4.8+1.6=36/〃.
小敏行走1.6小时后，距离8地4.8左加，行走2.8小时后，到达5地，
说明小敏行走2.8-1.6=1.2小时，走了 4.8千米，所以，小敏的速度为
4.8+Q.8—1.6)=4 痴/〃.
【变式1】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚肯定赢，
现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线心6分别表示两人跑的路程与时间的关系，根据图象判断:
小刚的速度比小强的速度每秒快(
A. 1米 B. 1.5 米 C. 2米 D. 2.5 米
543初中数学题型方法全归纳
【变式2】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从力地出发前往5地，甲出发次后，歹甲、
W与x之间的函数图象如图所示.
（1）甲的速度是 km/h.
（2）当1WW5时，求y乙关于x的函数解析式；
（3）当乙与/地相距240娴时，甲与Z地相距 km.
y/km
【变式3】为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练.在一次女子800米耐力
测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S （米）与
所用的时间/（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 秒.
【变式4】我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，
方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠.
设某学生假期游泳x （次），按照方案一所需费用为y （元），且y = + 按照方案二所需
费用为/ （元）,且/ 其函数图象如图所示.
（1）求"关于'的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳
的费用；
（2）求打折前的每次游泳费用和上的值；
（3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明
理由.
544函数专题・第二章一次函数的性质和图象
国题型方法20： 一次函数中的方案、决策问题
【题目特征】利用一次函数选定更优的方案或做出更优的决策.
【解题方法】
列出两个函数解析式，通过两个函数的不等关系进行决策.
例1：甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论购买数量是多少，价格均为6元/
千克.在乙批发店，购买数量不超过50千克时，价格为7元/千克；购买数量超过50千克时，超出
部分的价格为5元/千克.假设小王在某批发店购买苹果的数量为x千克G>0).
(1)根据题意填表：
购买数量/千克 30 50 150
甲批发店费用/元 300
乙批发店费用/元 350
(2)假设在甲批发店购买苹果的费用为y元，求y与x之间的关系式；
(3)根据题意填空：
①若小王在甲、乙两个批发店购买的苹果的数量相同，且花费也相同，则他购买的苹果的数量为
千克；
②若小王计划购买的苹果的数量为120千克，则他去 批发店购买时的花费少；
③若小王购买苹果时花费了 360元，则他去 批发店购买的数量多.
【解答】解：(1)甲批发店：6x30=180元,6x150=900元;
乙批发店：7x30=210 元，7x50 + 5 (150-50) =850 元.
故依次填写：180； 900； 210； 850.
(2) yi = 6x(x>0)；
(3)设在乙批发店花费/元，
当 0<烂50 时，y2 = 7x (0<x<50),
当 x>50 时，/ = 7x50 + 5 (x — 50)=5x+l 00(x>50),
①当 yi = y2 时，有：6x=7x,
解得x=0,不合题意，舍去；
当 y = 时，也有：6x=5x+100,
解得x=100,
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克.
②当%=120 时，歹=6x120 = 720 元，>2 = 5x120 + 100 = 700 元，
V720>700,
，乙批发店花费少.
故乙批发店花费少.
③当y=360 时，即：6x=360 和 5、+ 100=360；
解得x=60和x=52,
V60>52,
・ ••甲批发店购买数量多.
故甲批发店购买的数量多.
故答案为：①100;②乙；③甲.
545初中数学题型方法全归纳
例2：今年，“地摊经济”成为了社会关注的热门话题.小明从市场得知如下信息:
甲商品 乙商品
进价(元/件) 35 5
售价(元/件) 45 8
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售.设小明购进甲商品x件，甲、乙商品全部销售完后
获得利润为y元.
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)小明用不超过2000元资金一次性购进甲，乙两种商品，柢的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于632.5元，请说明小
明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大.
【解答】解：(1)由题意可得：y=(45 - 35)x + (8 - 5)(100 -x)=7x + 300；
(2)由题意可得:35x + 5(100-x)<2000,
.*.x<50,
又・・定0,
0<x<50；
(3)由题意可得:(45-35> + (8-5)(100-x)>632.5,
/.x>47.5,
.,.47.5<x<50,
又.“为整数，
・・.x=48, 49, 50.
・ ・・进货方案有：甲商品进48件，乙商品进52件；甲商品进49件，乙商品进51件；甲商品进
50件，乙商品进50件；
\>=7x + 300,
.力随x的增大而增大，
，当x=50时，有最大利润.
・ ・・当甲商品进50件，乙商品进50件，利润有最大值.
【变式1】国庆期间某一位公司老板准备和员工去上海旅游，甲旅行社承诺：“老板一人免费，
员工可享受八折优惠”；乙旅行社承诺：“包括老板在内所有人按全票的七五折优惠”，若全票价为
2000 元.
(1)设参加旅游的员工人数为x,甲、乙旅行社收费分别为万(元)和户(元)，分别写出两个
旅行社收费的表达式；
(2)当员工有10人时，哪家旅行社更优惠？
(3)员工人数为多少时，两家旅行社花费一样？据此，请根据旅游员工人数的多少，为公司老板
选择哪家旅行社提出合理化建议(只说出结果).
546函数专题-第二章一次函数的性质和图象
【变式2】我市全民健身中心面向学生推出假期游泳优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买一张学生卡，每次游泳费用按六折优惠；
方案二：不购买学生卡，每次游泳费用按八折优惠.
设某学生假期游泳x （次），按照方案一所需费用为yi （元），且"=怎%+ 6；按照方案二所需
费用为/ （元），且户=左21.其函数图象如图所示.
（1）求"关于x的函数关系式，并直接写出单独购买一张学生卡的费用和购买学生卡后每次游泳
的费用；
（2）求打折前的每次游泳费用和羟的值；
（3）八年级学生小明计划假期前往全民健身中心游泳8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明
理由.
【变式3】为发展农村经济，修建一批沼气池.某村共264户村民，村里得335200元政府补助款,
不足部分由村民集资，修建/型、3型沼气池共20个，两种沼气池每个的修建费用、修建用地、可供
使用户数情况如表：
沼气池 修建费用（万元/个） 修建用地（加2/个） 可供使用的户数（户/个）
4型 3 48 20
B型 2 6 3
已知政府只批给该村沼气池修建用地708加2,设修建4型沼气池1个；修建两种沼气池共需费用y
万元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）既不超过政府批给该村沼气池修建用地，又要使该村每户村民都用上沼气的修建方案有哪几
种？
（3）若选择（2）中费用最少的修建方案，平均每户村民应自筹资金多少元？
547初中数学题型方法全归纳
公众号·全科A+
【变式4】书籍是人类进步的台阶.为了鼓励全民阅读，某图书馆开展了两种方式的租书业务：
一种是使用租书卡，另一种是使用会员卡，图中/2分别表示使用租书卡和会员卡时每本书的租金
y （元）与租书时间x （天）之间的关系.
（1）直接写出用租书卡和会员卡时每本书的租金y （元）与租书时间x （天）之间的函数关系式；
（2）小红准备租某本名著50天，选择哪种租书方式比较合算？小明准备花费90元租书，选择哪
种租书方式比较合算？
留题型方法21:四边形中的动态问题
【题目特征】动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而
探索出变化过程中的函数关系的问题或存在性问题.主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积
等函数关系.
【解题步骤】
1 .用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动时间/或某条线段长）；
2 .分析运动停止条件，求出自变量取值范围；
3 .分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准.
从动点来看，动点的运动速度或运动方向改变就需要分类讨论一次；
从图形来看，图形形状发生改变就需要分类讨论一次.
4 .在自变量的每一个范围内，分别计算函数关系式.
或列出存在某种特殊图形需要满足的条件.
例：已知等边△ZBC的边长为4厘米，长为1厘米的线段在△48C的边上沿45方向以1厘
米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点4重合，点N到达点5时运动终止）,过点M、N分别作
Z5边的垂线，与△刈。的其他边交于尸、。两点，线段"N运动的时间为，秒.线段"N在运动的过程中，
四边形尸的面积为S,运动的时间为九求四边形尸的面积S随运动时间，变化的函数关系式，并
写出自变量/的取值范围.
548函数专题-第二章一次函数的性质和图象
【解析】M. N始终在45上运动，不做讨论，看P、。两点，刚开始P、0在NC上运动，接卷。点
越过。点以后，。点运动到C5上，运动方向改变，所以，0点到达。点就是临界状态，在这个状态前，
分类讨论一次.
接着继续运动，此时，尸点在4C上，0点在CH上，当尸点越过。点，尸点的运动方向发生改变，所
以，P点到达。点就是临界状态，在此之前的状态需要分类讨论一次.
接着继续运动，知道N点和3点重合，四个点的运动速度和方向都没有发生改变，所以，尸、。都
在C5上再分类讨论一次.
至于说临界状态，我们可以把它归类到前面一种状态，也可以归类到后面一种状态，或者单独分
类讨论一次也可以.
所以，这道题我们可以分三种情况去分类讨论.
Q
A M N M N
【解答】解：当0点到达。点时，片1,当尸点到达C点时,
①当OKI时,
S 0P = ； (PM + QN) - MN ,
四边形mn
1 h
=—[^3/ 4-6(t + 1)] = ;
②当1W2时，
S ； (PM + QN) . MN ,
四边形
=18 + 也G -1)】 = 3百；
③当2V/43时，
S = ； (PM + QN) - MN ,
四边形mW
=-E>/3(3 —1}+ \/3(4 — ；
V3/ + ^-(O</<l)
|V3(l<r<2)
综上所述，S = <
—a/3z + —•\/3(2<C/ < 3)
549初中数学题型方法全归纳
【变式1】如图，在平行四边形Z5C。中，AD=4cm, ZA= 60° , BD1AD. 一动点尸从/出发，以
每秒1c加的速度沿4一5一。的路线匀速运动，过点尸作直线尸使尸
(1)当点尸运动2秒时，设直线与/。相交于点及 求△/尸£的面积；
(2)当点尸运动2秒时，另一动点。也从4出发沿力一3-C的路线运动，且在45上以每秒1c加的速
度匀速运动，在5C上以每秒2cm的速度匀速运动，过。作直线QN,使QNHPM,设点。运动的时间为，
秒(0WK10),直线9与QV截平行四边形Z5CQ所得图形的面积为Son?.求S关于，的函数关系式.
【变式2】如图，矩形。顶点5的坐标为(8,3),定点。的坐标为(12,0),动点尸从点。出发，以每
秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点。从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿x
轴的负方向匀速运动，尸。两点同时运动，相遇时停止.在运动过程中，以尸。为斜边在工轴上方作等腰
直角三角形尸0?.设运动时间为/秒.
(1)当片 时，的边0H经过点及
(2)设△尸QH和矩形0/5C重叠部分的面积为S,求S关于/的函数关系式.
550祢
函数专题・第二章一次函数的性质和图象
【变式3】如图1,在平面直角坐标系中，矩形。45。的顶点4,。的坐标分别为4(12,0), C(0,4),
点。为。4边的中点，连接AD.
(1)直接写出点。的坐标： , BD=；
(2)如图2,若点M从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿-C运动，同时点N从点
。出发，以每秒1个单位长度的速度沿。一C—5运动，当点跖 N相遇时运动即停止，设运动时间为，
(秒)，求使得△MON为直角三角形时所有，值和取值范围.
图1 图2 备用图
551海
初中数学题型方法全归纳
留题型方法1:已知二次函数求参
【题目特征】已知某函数为二次函数求参数.
【考查知识点】定义：一般地，形如 > ="2+反+。（内人。是常数，。工0）的函数，叫作二次
函数.其中x是自变量，〃、b,。分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项.
注意：二次函数的二次项系数QWO,而6、。可以为零.
【解题方法】主要看以下几个方面：
1.最高次数为2；
2.二次项系数不为0；
3.高于二次的项系数为0.
例1：函数》=（加+ 2）/-2 + 2工_1是关于工的二次函数，求加的值.
【解答】解：由题意可知卜=2 = 2 ,
［加 + 2 w 0
解得：m-2.
例2：函数y =（次+ 2）/+1是关于x的二次函数，贝IJ片.
【解答】解：由题意得:|相|=2,且加+ 2W0,
解得：加=2,
故答案为：2.
【变式1】当机=时，函数> = （"_4）/f+x + 3是二次函数.
【变式2】当机=时，函数（加-4）W—+6+3%是关于工的二次函数.
【变式3】已知函数歹=（加2+加）工宗-力+（苏+3加+ 2）、+疗+2加是二次函数，则函数为
552函数专题-第三章 三次函数
国题型方法2：二次函数图象和性质判断
【题目特征】已知图象判断性质，或已知性质判断图象大致位置.
【考查知识点】二次函数图象和性质：
1 .二次函数的图象为抛物线，图象注意以下几点：开口方向，对称轴，顶点.
2 .二次函数的性质：
函数的图象与〃的符号关系.
①当。> 0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；
②当〃 < 0时分抛物线开口向下o顶点为其最高点；
③同决定抛物线的开口大小：同越大，抛物线开口越小；同越小，抛物线开口越大.
如表所示：
y = ax2 y = ax2+k y = a(x-h)2 y = a(x-h)2+k y = ax2 +bx + c
开口 a>Q ,开口向上；〃<0,开口向下；
b 4ac -b2
顶点 (0,0) (04) (〃,0) （〃次） (C 3 A )
2a 4。
b
对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x -------
2a
Aac-b2
最值 0 k 0 k
4。
a>0, x<对称轴，歹随x的增大而减小；
工〉对称轴，》随工的增大而增大.
增减性
a<0, x<对称轴，>随x的增大而增大；
X〉对称轴，V随X的增大而减小.
注意：二次函数> =62+乐+。与坐标轴的交点：
（1）与歹轴的交点：（0,。）；
（2）与x轴的交点：使方程办2+bx + c=o成立的工值.
例1：下列四个二次函数：①y = ②>=_2/,③y = ④歹= 3/,其中抛物线开口按从
大到小的顺序排列是.
【解答】解：・・・|；|<|1|<|-2|<|3|,
・・.抛物线开口按从大到小的顺序排列是③①②④，
故答案为：③①②④.
例2：抛物线> = --x2 +x-4的顶点坐标为
2
1 1 7
【解答］解：j； = -1x2+x-4=-i（x-l）2-p
7
・•・顶点的坐标是（1,-万），
故答案为（1,-：）.
553初中数学题型方法全归纳
例3：若a + b + c=O, 9〃- 3b + c=0,则抛物线＞ =府+及+ °(々，0)的对称轴是( )
A.直线％=1 B.直线工=一1 C.直线％=-2 D.直线I=一3
【解答】解：由题意可知，当x=l时，y=a + b + c=0；当％=-3时，y=9a-3b + c=0,
抛物线 y = ax2 +bx + c(a w 0)经过(1,0)和(- 3,0)两点，
・•・抛物线对称轴为直线x =g=-1,
2
故选：B.
例4：已知二次函数＞ =、2一代+ 3.
(1)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象.
(2)结合图象，直接写出这3时，x的取值范围.
【解答】解：(1)・・・v =]2一4% + 3=。—3)(% —1) =。一2)2-1 ,
・••该抛物线经过点(3,0), (1,0), (0,3), (4,3),顶点坐标是(2,-1),
函数图象如右图所示；
(2)由图象可得，y＞3Ht, x的取值范围是x＜0或x»4.
例5：已知：抛物线＞ = /—6x + 21.求：
(1)直接写出抛物线＞ =必—6% + 21的顶点坐标;
(2)当x＞2时，求y的取值范围.
【解答】解：(1) •・•抛物线歹=/_6] + 21 = —(x + 3y+30,
554称
函数专题-第三章 二次函数。
・ •・该抛物线的顶点坐标是（-3,30）；
（2）,・,抛物线》 =/一6x + 21 = —（X + 3T+30,
・ ••当x>-3时，>随x的增大而减小，
・ ••当x>2时，》 的取值范围是"-（2 + 3y+30=5 ,
即当“2时，》 的取值范围是y<5.
【变式1】若二次函数歹=能+区+ /一2 （〃、6为常数）的图象如图，贝以的值为
【变式2】如图，抛物线①②③④对应的解析式为V ，y = a2X2 , y = a3X2 , > = 4412,将办、
42、"3、Q4从小到大排列为.
【变式3】抛物线尸21+fec +3的对称轴是直线--2,贝防的值为，顶点坐标为
［变式4］抛物线y =府—2ax - 3a（a w 0）的对称轴是直线,与x轴的交点为 和
【变式5】二次函数> =/ 一 2（左+ 1）工+ 4的顶点在y轴上,则左=，若顶点在x轴上,则左=
【变式6】若点4（2,孔），次-3.），。（5,户）三点在抛物线> = /—4x —用的图象上，则以、及、
户的大小关系是（ ）
A. yi> yi > y3 B. y2> yi> C. yi> y3> yi D. y3> yi> y\
【变式7】已知二次函数 > ="2_4〃X+0（〃<0）,当自变量工分别取行、3、0时，对应的值分别
为yi、>2、则"、yi >外的大小关系正确的是（ ）
A. y3<yi< y\ B. y\<yi< y3 C. yi<yi< yj D. y3<yi< yi
555_______ 娄
初中数学题型方法全归纳
【变式8】已知二次函数＞ =-%2_（加一1. + 1 ,当X＜1时，y随X的增大而增大，则加的取值范围是
【变式9】已知抛物线经过点4（-2,7）、5（6,7）、。（3,-8）、D（m,-8）,则片.
【变式10】已知抛物线y = Y+ 2、+ 1经过点4（加，几）、8（加+ 6,几），则片.
【变式11】已知点4（孙5）、3（x2,5）是函数＞ =必一加工 + 3上两点，则当x = xi + %2和x=
时的函数值相等.
【变式12】已知二次函数＞ = （x-3）2+1.下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线%=3；
③其图象顶点坐标为（3,-1）；
④当3时，歹随x的增大而减小.
则其中说法正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【变式13】对于二次函数y = %2 -2优x + 3（加＞0）,有下列说法：
①如果m = 2,贝W有最小值-1 ；
②如果当时，》随x的增大而减小，则加=1；
③如果当x=l时的函数值与x=2015时的函数值相等，则当x=2016时的函数值为3.
其中正确的说法是.（把你认为正确的结论的序号都填上）
【变式14］在同一直角坐标系中，函数＞ = 加x +加和函数〉=一加+ 2r + 2 （根是常数，且加。0）
的图象可能是（ ）
Z K K
A B C D
【变式15］在同一坐标系中，一次函数＞ =QX + b与二次函数的图象可能是（ ）
I":
A B C D
556称
函数专题・第三章二次函数
留题型方法3：求二次函数的解析式
【题目特征】根据已知条件求二次函数解析式.
【考查知识点】二次函数的四种解析式：
1 .一般式：y = ax2 +bx + c(a。0).
已知图象上三点⑶Jl)、(X2/2)、(%3,»3),可用一般式求解二次函数解析式.
2 .顶点式:y = a(x - h)2 + k(a w 0).
已知抛物线的顶点或对称轴，可用顶点式求解二次函数解析式.
3 .交点式：y = tz(x-xi)(x-%2)(fl w 0).
已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.
4 .对称式:y = a(x - xi)(x - xz)+k(a w 0).
已知抛物线经过点(孙女)、(孙左)时，可以用对称式来求二次函数的解析式.
【解题方法】待定系数法.
| 【解题步骤】
1.设二次函数解析式；
若已知定点设顶点式，若已知两个交点设交点式，若已知两点纵坐标相等设对称式，其他均设一
|般式;
2.将点的坐标代入函数解析式中；
3.求解关于a、6、c的方程(组).
简称：一设二代三解.
注意：
(1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
(2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与x轴有交点，即4或 2 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解
；析式的这三种形式可以互化.
例1：已知一个二次函数的图象经过4(1,0)、8(2,3)、0(3,28)三点，求此二次函数的解析式.
【解答】解：设二次函数的解析式为＞ ="2+瓜+ °,
a + b + c = 0 a = X\
则由题意得，＜ 4q + 2b + c = 3 ,解得＜6 = -30,
9q + 35 + c = 28 c = 19
・ ・・二次函数的解析式为y = llx2-30x +19.
例2：若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的解析式
是.
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y = a(x-疗+0
・ ・,二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),
・ ・・二次函数的解析式为 ＞ = q(x-2)2-1 ,
把(0,3)代入得
q=1,
557海
初中数学题型方法全归纳
所以 y = (x - 2)2 -1 .
例3：如果抛物线经过点，(2,0)和5(-1,0),且与y轴交于点C,若。C=2.则这条抛物线的解析式
是.
【解答】解：设抛物线解析式为2)(x+l),
•：0C=2, ・・・C点坐标为(0,2)或(0, —2),
把。(0,2)代2=Q(x — 2)a+l)得q (-2) 1 = 2,解得q=-1,
此时抛物线解析式为y= - (x- 2)(x + 1),即y=_/ + X + 2 ；
把。(0, —2)代2=q(x —2)(x+l)得a (-2) 1 = -2,解得a=l,
此时抛物线解析式为y=(x-2)(%+ 1)，即y = / _% — 2 .
即抛物线解析式为歹=—必+、+2或》=必一1 —2.
【变式1】已知一个二次函数的图象经过4(0,-1)、8(1,5)、C(-1,-3)三点，求此二次函数的解析
式并把二次函数转化成顶点式.
【变式2】已知二次函数过点(0,-1),且顶点为(-1,2),求二次函数的解析式.
【变式3】已知二次函数的顶点坐标为(2,-2),且其图象经过点(3,1),求此二次函数的解析式，并
求出该函数图象与工轴的交点坐标.
【变式4】若抛物线过(-3,0), (1,0),且与〉轴交点为(0,4),求二次函数的解析式.
558函数专题-第三章 二次函数
【变式5】已知二次函数歹="2+及+。的对称轴为1 = 2,且经过点(1,4)、(5,0),求二次函数的解
析式.
留题型方法4：二次函数图象判断
【题目特征】根据二次函数图象判断系数的关系式.
【考查知识点】二次函数图象与系数的关系：
1.二次函数图象与系数的关系：
(1)。决定抛物线的开口方向：
当〃 >0时，抛物线开口向上；
当时，抛物线开口向下.
(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置：“左同右异”
当b=0时，抛物线的对称轴为y轴；
当〃、6同号时，对称轴在y轴的左侧；
当a、6异号时，对称轴在y轴的右侧.
(3)。的大小决定抛物线与〉轴交点的位置
当c=0时，抛物线与歹轴的交点为原点；
当c〉0时，交点在歹轴的正半轴；
当。<0时，交点在y轴的负半轴.
2.二次函数的图象信息：
(1)根据抛物线的开口方向判断〃的正负性.
(2)根据抛物线的对称轴判断b的正负性.
(3)根据抛物线与y轴的交点，判断。的正负性.
(4)根据抛物线与x轴有无交点，判断加-4ac的正负性.
(5)根据抛物线的对称轴可得-2与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.
2a
(6)根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a、b、c的等式.
(7)根据抛物线的顶点，判断色二生的大小.
4a
例1：已知二次函数> ="+区+。(〃，乩。是常数，存0)图象的对称轴是直线-1,其图象的
一部分如图所图示，下列说法中：®abc<0；②2q + 6=0；③当-时，y>0；④q - 6 + c<0.
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3
【解答】解：•・•抛物线开口向下，则a<0.
对称轴在歹轴右侧，a、6异号，则b>0.
559海
抛物线与y轴交于正半轴，则。>0,
；.abc<0,故①正确；
・・,抛物线的对称轴是直线产1,贝IJ-2=1, b= — 2a,
/. 2a+ 6=0,故②正确;
由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和-1之间，在两个交点之间时，y>0,在x=-1时，
y<0,故③错误；
当工=-1时，有-b + c〈0,故④正确；
综上，正确的选项有：①②④，正确结论的个数是3个.
故选：C.
例2：如图，已知二次函数> =q/+6x + c(q w 0)的图象，有下列5个结论：①“AvO；②6>a + c；
③2q-6=0； @^a + b2 < 4ac ；⑤3〃 + c=0,其中正确的结论个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6
5
【解答】解：开口向下,则时0, 4
3
与y轴交于正半轴，则c>0,
,A
-2 71
2
：.b>0,
-1
则abcvO,①正确; -2
'Jx- - 1 时，歹=0,
.\a-b + c=O,②错误；
・ ・,抛物线与x轴的交点为(3,0), (-1,0),
b 3-1 1
----- =------=1 ,
2a 2
则人=一2〃，
• ；a-b + c=O,
.\3a + c=0,⑤正确；
■ : b= - 2a,
，2a+ 6=0,③错误；
• .・3q + c=0,。=3,
4二 一 1,
b=-2a=2f
4a + Z>2 = - 4 + 4=0, 44c=4x(- 1)x3= - 12,
4a + b2 >4ac,④错误.
故选：B.
560例3：如图为二次函数y = Qx2+bx + c（q，0）的图象，则下列说法：①a>0； ®2a + b=0；③a + 6
+ 00； @A>0；⑤4a-2b + cvo,其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3
【解答】解：①由抛物线的开口向下知。<0,故说法错误;
②由对称轴为x=—=1,
2
:・b= — 2a,则2q + 6=0,故说法正确；
③由图象可知，当x=l时，y>0,则a + 6 + c>0,故说法正确；
④从图象知，抛物线与x轴有两个交点，
・・・△>（）,故说法正确；
⑤由图象可知，当产-2时，y<0,则4q-26 + cvO,故说法正确.
故选：D.
【变式1】如图是二次函数〉=〃/+汝+。图象的一部分，其对称轴是x=-1,且过点（-3,0）,下
歹!J说法：①abc<0；②2a-b=0；③4〃 + 26 + 0<0；④若（-5,〃），（3,/）是抛物线上两点，则yiV/,
其中说法正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④
【变式2】已知二次函数歹=41+瓜+ °（”0）的图象如图所示，有下列4个结论:
①abcvO； ®b>a + c； ®2a - 6=0； @b2 -4ac<0.
其中正确的结论个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
561_______ 菱
初中数学题型方法全归纳
【变式3】二次函数> =&+云+。的图象如图，则一次函数产（〃 + b）x + ac的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式4】二次函数》 =府+bx + c的图象如图，则下列六个代数式：ab> ac、o + b + c、a — b + c、
2a+ b、2a- b, 〃_4q°中，其值为正的式子的个数是（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【变式5】二次函数y =江+笈+。的图象如图，则|q + 6 + c|-|q -b + c\ + \2a + b\-\2a-b\___0.（填
“>”、y 或 .
\ 1
」「X
【变式6】如图，二次函数歹="2+取+。的图象经过点（- 1, ,2）,下列结论：①4a-2b + cV0；
@2a-b<0；③b<-2； ®（a + c）2<b2,其中正确的结论有_________.（填序号）
1
4 y ：
4 o\
562函数专题・第三章二次函数
【变式7】如图，已知二次函数>=江+灰+。的图象经过点(1,2),下列结论：®2a + b<0；
②abc<0 ；③〃 + c<-1； @b2+8a<4ac ,其中正确结论的有.(填序号)
留题型方法5:二次函数图象变换
【题目特征】和二次函数的图象平移、对称、翻折有关的问题.
【考查知识点】二次函数图象的平移、对称、翻折：
1 .二次函数图象的平移
平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，“上加下减”.
向上(下)平移加个单位后,得到y = ax2+bx-\-c±m .
> 向左(右)平移〃个单位后，得到y = 〃(工±九)2+5(X土几)+ c .
2 .二次函数图象的对称一般有三种情况
(1)关于'轴对称
> =〃/+bx + c关于％轴对称后，x不变，>变-BP -y = ax2-\-bx + c ,即得到的解析式是
y = -ax2 -bx-c .
(2)关于y轴对称
V ="2 +6x + c关于y轴对称后，y不变，X变-X,即> =4(-必)+ 6(_工)+。，即得到的解析式是
y = ax2 - bx+c .
(3)关于原点对称
y =分+ bx + c关于原点对称后，1变-x, y变-》即-y = q(-x2) + b(-x) + c ,即得到的解析式是
y = -ax2 + for — c .
3 .二次函数图象的翻折
函数y =|/(x)|图象可以由函数丁 = /(x)通过关于x轴的翻折变换得到.
具体规则为函数y =|/(x) |图象在%轴上方的部分不变，在工轴下方的部分翻折到工轴上方.
例I：将抛物线) =/先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，再次平移后得到的
抛物线的表达式为( )
A. y = (x-l)2-2 B. y = (x+l)2-2
C. y = (x-iy+2 D. y = (x+1)2+2
【解答】解：抛物线y = Y的顶点坐标为(0,0),点(0,0)先向右平移1个单位长度，再向上平移2个
单位长度所得对应点的坐标为(1,2),
所以新抛物线的解析式为> =(x - Ip + 2 .
故选：C.
563初中数学题型方法全归纳
例2：已知二次函数＞ ="2―4必4。0）的图象经过点（-1,2）.
（1）求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）能否通过所求得的抛物线的平移得到抛物线》= /+3x + g?如果能，请说明怎样平移，如
果不能，请说明理由.
【解答】解：（1）把点（―1,2）代入v = qx2_qx（qwo）,得q + q = 2.
解得a- \.
故该抛物线解析式是：y =
由歹=/ 一一 一 ；知，该抛物线的顶点坐标是；
（2）可以，理由如下：
1 3 7
由 y = 12 + 3x + 5，得 y = （x + —）2 -—,
3 7
则平移后抛物线顶点坐标是（-工-」）.
2 4
而抛物线y = x2-x的顶点坐标是（g-；）,
所以将抛物线丁二Y-x先向左平移2个单位长度，再向下平移;个单位长度即可得到抛物线
2 a 1
y = x + 3x + —・
2
【变式1】二次函数y = -2%2+4x + l的图象如何移动就得到歹=-21的图象（ ）
A. 向左移动1个单位， 向上移动3个单位
B. 向右移动1个单位， 向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位， 向下移动3个单位
D. 向右移动1个单位， 向下移动3个单位
【变式2】一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线y = -2/+以，则平移前
抛物线的解析式为.
【变式3】如果将抛物线y = -21+8向右平移a个单位后，恰好过点（3,6）,那么〃的值为.
【变式4】如图所示，已知抛物线G）的解析式为歹=/一2%,则抛物线C。的顶点坐标为；
将抛物线G）每次向右平移2个单位，平移九次，依次得到抛物线G、G、C........ 以（〃为正整数）,
则抛物线G的解析式为.
564祢
函数专题・第三章二次函数
【变式5】如图，把抛物线》=；/平移得到抛物线加，抛物线机经过点z（_6,0）和原点。（0,0）,它
的顶点为尸，它的对称轴与抛物线歹=；必交于点。，则图中阴影部分的面积为.
【变式6】已知二次函数> = /—2工_1,求：
（1）与此二次函数关于x轴对称的二次函数解析式为;
（2）与此二次函数关于y轴对称的二次函数解析式为；
（3）与此二次函数关于原点对称的二次函数解析式为
【变式7】作出 >=必+ 5工的函数图象.
留题型方法6：二次函数的区间最值-定轴定区间
【题目特征】求二次函数的在某个区间的最大值或最小值.
【解题方法】
对于二次函数 ） ="2 +bx+c（Q >0）在7n 4 %W九上的最值问题.（其中4、b、C、加和〃均为定值,
Znax表示V的最大值，儿表示》的最小值）
函数在、=-2时，
(1) 若自变量X为全体实数，如图①， 取到最小值，无最大值
2a
(2) 若几<-■—,如图②，当工=加， 尸Znax；当 ％ = 尸九…
2a
(3) 若加〉-■—,如图③，当x = m , 〉= Mnin；当 ％ = 〃，
565例：分别求出在下列条件下，函数> =-2必+31+ 1的最值：
(1) x取任意实数；(2)当—2«x<0时；(3)当时；(4)当—时.
3 17
【解答】解：(1)j^ = -2(x--)2 + —,
4 8
a 17
・,•当工=士时，函数的最大值为U,无最小值；
4 8
3
(2) :工=一在一2 W0右侧，
4
・••当尸0时，函数取得最大值1;当2时，函数取得最小值-13；
3
(3) ; x =— 在左侧，
4
・••当时，函数取得最大值2；当尸3时，函数取得最小值-8；
3 3 3
(4) */ -1<-<2 ,且-1——>——2 ，
4 4 4
4 17
・・・当工=士时，函数取得最大值U;当X=-1时，函数取得最小值-4.
4 8
【变式1】二次函数歹=-/+2%的最大值为
【变式2】二次函数y = -Y + 2x + c在-3«x<2的范围内有最大值为-5,贝k的值是()
A. — 2 B. 3 C. -3 D. -6
【变式3】二次函数> = /—2x + l在2«x«5范围内的最小值为
【变式4】若点尸伍乃)在抛物线> =-2/+2X + 1上，贝布-6的最小值为
566函数专题・第三章 二次函数
【变式5】如图，已知抛物线歹=/+云+。经过点/(-1,0)、C(0,-3)两点.
(1)求抛物线解析式和顶点坐标；
(2)当0<%<3时，请直接写出y的取值范围.
寻题型方法7:二次函数的区间最值一一-动轴定区间
【题目特征】已知二次函数(含参)的在某个区间的最大值或最小值，求参数的取值范围.
【解题方法】对于二次函数歹="2+双+°(4〉0)中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间
加WxV 〃条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x = -2,相对于区间加的位置：
2a
①轴在区间左侧：-Lm,对称轴在区间左侧，那么在区间内，v随着x的增大而增大，所以，
2a
当x =用时，>取值最小值；当工=〃时，y取得最大值.
②轴在区间中间：m<--<n ,对称轴在区间中间，那么在区间内，歹值先随着x的增大而减小,
2a
又随着x的增大而增大，所以，当x = -2时，》取得最小值，加、〃两个数谁离对称轴远，就在谁处取
2a
得最大值，或者把x =加时的'值和x = 〃时的计算出来，谁大谁就是最大值.
③轴在区间右侧： 上>n,对称轴在区间右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，
2a
当冗=加时，y取值最大值；当％ = 〃时，>取得最小值.
例：关于x的二次函数歹= (x-4+3,当时，函数有最小值4,贝股的值为.
【解答】解：,・,二次函数的对称轴为：直线x二〃，
・ ・・分为3种情况.
①当〃<1时，当时，歹随x的增大而增大，
・ ••当x=l时取最小值，即：(1-4+3 = 4,
解得:7/1 = 0, 7/2 = 2.
由〃vl.得：/i = 0；
②当时，y的最小值为顶点值，
•••3R4,
・ ・・印03时，"无解；
③当〃>3时，当时，歹随工的增大而减小，
・ ••当x=3时取最小值，
即：(3 —〃y+3 = 4 ,
567_________________________________________*
初中数学题型方法全归纳
解得：h\ = 2, 〃2 = 4 ,
•・• h>3,
J 〃 = 4.
综上所述，h = 0或4.
【变式1】已知二次函数V = x2—2qx + 5,当3CK7时，>在x=7取得最大值，则实数a的
取值范围是.
【变式2】已知函数y = -9Y—6办-在区间有最大值_3,求实数a的值.
【变式3]^y = x2+ax + 3-a ,当-2<x«2时，y的最小值不小于0,求实数a的取值范围.
国题型方法8：二次函数的区间最值一一定轴动区间
【题目特征】已知二次函数的在某个区间（含参）的最大值或最小值，求参数的取值范围.
【解题方法】对于二次函数> ="2+a+°3〉0）中含有参数，虽然对称轴是确定的，但是区间含
有参数，相对位置是不确定的，那么要求函数的最值，就需要分别讨论对称轴工=-2,相对于区间
2a
m<x<n的位置：
①轴在区间左侧：-2〈加.对称轴在区间左侧，那么在区间内，y随着工的增大而增大，所以，
2a
当x = 〃时，y取值最大值；当x =加时，>取得最小值.
②轴在区间中间：m<--<n .对称轴在区间中间，那么在区间内，、值先随着x的增大而减小，
2a
又随着x的增大而增大，所以，当x = -2时，y取得最小值，加、〃两个数谁离对称轴远，就在谁处取
2a
得最大值，或者把x =加时的'值和x = 〃时的y值计算出来，谁大谁就是最大值.
③轴在区间右侧：-对称轴在区间右侧，那么在区间内，p随着工的增大而减小，所以，
2a
当％ =九时，>取值最小值；当工=加时，y取得最大值.
568卷_______
函数专题-第三章 二次函数
例：已知函数> =/+工_1在相上的最大值是1,最小值是一*,则加的取值范围是（ ）
4
A. m>-2 B. 0 < m < — C. -2<m<-- D. m < --
2 2 2
【解答】解：•・•函数y = /+x_i的对称轴为直线工二一；，
・ ,•当x 时，y有最小值，itSiy =
2 4 2 4
• .•函数y =工2 + %_ 1在加工x〈l上的最小值是,
4
（对称轴在区间内，才能在对称轴处取得最小值）
2
・ ・•当x = l时，y = l + l-1 = 1 ,对称轴为直线x = -L （在x = l处刚好取得最大值1,所以在工=加
2
处的取值一定要小于等于1）
・ ,•当1 = —2 时，y = l,
• 函数^ = /+工一1在加VxSl上的最大值是1,且m V -；，
—2 V 根 « —.
2
故选：C.
【变式1】已知抛物线氏y = x2- 2x+2 ,当加加+ 1时，求函数》的最小值和最大值
（用含加的代数式表示）.
【变式2】已知函数丁二炉―2%+2在+ 1范围内的最小值为s,写出函数s关于/的函数解析
式.
1 13
【变式3】若函数^ = -?在区间。W60>Q）上的最小值为2〃，最大值为力.求4、b的
值.
569初中数学题型方法全归纳
留题型方法9：二次函数与x轴交点个数问题
【题目特征】判断二次函数与x轴的交点个数，或者根据交点个数求参数.
［考查知识点】二次函数歹=a/ +®+ cQ ＞ 0）与一元二次方程的关系：
求二次函数＞ 。0）的图象与工轴的交点坐标，就是令y = o,求a/+6% + c=o中/的
值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的
交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数y= ax2 +6x + c(g w 0)
△= b2 - 4qc ax2 +bx + c = 0(。w 0)
图象 与X轴的交点坐标 根的情况
y
抛物线
\__/
a>0 y = ax2+bx + c(a w 0)与x轴 一元二次方程
*
o 交于(xi, 0) , (%2,0) (xi < X2) a/ + 双 + c = 0（a w 0）有两
A>0 两点，且 个不相等的实数根
-b±ylb2 - 4ac -b±y/b2 -4qc
Xl, 2 一 , Xl,2 = .
a<0 2a 2a
/ \ X 此时称抛物线与工轴相交.
a>0 抛物线 一元二次方程
o b * y = ax2+bx + c（a w 0）与x轴 ax2 + bx + c = 0（〃 w 0）有两
/
△=0 相切于（-2,o）这一点，此时 个相等的实数根
b a b
X\ = X2 =—.
"2a 称抛物线与X轴相切. a
a<0 、
o
/ V
r
.V
a>0
o X 抛物线 一元二次方程
y = ax2 +bx + c（a w 0）与%轴 ax2 +bx + c = 0（a w 0）在实
A<0
y， 无交点，此时称抛物线与X 数范围内无解（或称无实数
轴相离. 根）.
c' r：
a<Q
总结：二次函数图象与x轴的交点的个数由△=b.2 -4ac的值来确定的.
（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点时，△=〃-4ac〉0,方程有两个不相等的实根；
（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，△="-4碇=0,方程有两个相等的实根;
（3）当二次函数的图象与x轴没有交点时，△=〃-4四＜0 ，方程没有实根.
570函数专题・第三章二次函数
例：二次函数〉=加，+(2加-l)x +加+ 1的图象总在x轴的上方，求机的取值范围.
【解答】解：据题意得：|m>° 2 .(加>0保证是二次函数且开口向上，△<()
[△= (2m -I)2 -4加(加 +1) <0
保证无交点)
解得：m> —.
8
【变式1】关于x的一元二次方程x2-x-n = 0没有实数根，则抛物线歹二/ 一 1 一 〃的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【变式2】已知抛物线歹=2(左+ 1)/+4玄+ 2左一 3.求：
(1)左为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)左为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；
(3)左为何值时，抛物线与x轴没有交点.
【变式3】已知：关于x的方程：mx2 - (3m - V)x + 2m-2 = 0 .
(1)求证：无论加取何值时，方程恒有实数根；
(2)若关于X的二次函数y 一。加-1)% + 2加-2的图象与入轴两交点间的距离为2时，求抛物
线的解析式.
【变式4】抛物线》=Y + 疝 +加
2
与1轴两交点间距离的最大值为.
【变式5】设二次函数y=分+瓜+ 0经过点40,2)、5(1,-1),且其图象在x轴上所截得的线段长
为2后.求这个二次函数的解析式.
571初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：二次函数与一次函数交点问题
【题目特征】与二次函数和一次函数的交点坐标有关问题.
【考查知识点】
1 .函数y 和二次函数y +b2X + c的交点，
（1）交点求解，联立方程组卜=“优：从 ，并代入求解.
[y = aix + bix + c
（2）交点个数，联立方程组，消元得到一元二次方程，看判别式（△）.
[y = aix + bix + c
（3）交点关系，联立方程组，看判别式（△）,再用韦达定理.
[y = aix + bix + c
2 . 一元二次方程arx + bx = a2X2 +b2X + c的解也可以看成函数y = aix + bi和二次函数
y = aix2 +62X + C的交点的横坐标.
总结：
当方程组有两组不同的解时Q两函数图象有两个交点，
当方程组有两组相同的解时。两函数图象只有一个交点，
当方程组无解时=两函数图象没有交点，
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程（组）的解的问题.
例1：已知抛物线 > =江+6x+c（q>0）与直线 > =左（X一1）-----,无论左取任何实数，此抛物线与
4
直线都只有一个公共点.那么，抛物线的解析式是（ ）
A. y = x2 B. y = x2-2x C. y = x2- 2x+l D. y = 2x2 - 4x+2
y = ax2 +bx + c
【解答】解: 联立方程组
尸左(x ―1) 一}
ax2 +bx + c = k(x -1)- :k?,
整理得：ax2 +(b- k}x + c + k + ^k2 = 0 ,
・ ・•无论左为何实数，直线与抛物线都只有一个交点，
・ •・ Z\=3-左丫 -4a(c + k + -k2) = (l-a)k2 -2左(2〃 + 6) + /一4qc = 0 ,
4
可得 2。+ b = 0, b2 - ^ac = 0 ,
解得。=1, b= —2, c= 1,
・ ・・抛物线的解析式是夕=/一21+ 1.
故选：C.
572卷.
函数专题・第三章 二次函数
例2：如图，二次函数的图象与x轴交于4(-3,0)和5(1,0)两点,交.轴于点。(0,3),点。、D是二
次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点5、D.
(1)求二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
(3)若直线与y轴的交点为£,连结4。、AE,求△ZQE的面积.
【解答】解：(1)设二次函数的解析式为》= ax2 +bx + c (存0, q、b、c常数)，
9a - 3b +。= 0
根据题意得＜。+ 6 +。= 0 ，
c = 3
a = -1
解得：＜ b = —2 ,
c = 3
所以二次函数的解析式为：y = -x2-2x + 3.
(2)如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：xv-2或x＞l.
(3) •・•对称轴：x= -1.
・・・。(-2,3),
设直线5。： y = mx + n,代入8(1,0),。(一 2,3),
用:［-2m + n = 3,
解得：［"二I
［几=1
故直线的解析式为：y = -x + \,
把r = 0代入求得£(0,1),
：.OE=3
又・・・4B = 4,
**• S — x 4 x 3 x 4 x 1 = 4 ・
lade —
2 2
【变式1】抛物线＞ =必+5%+ 〃2与一次函数歹= q、+ 2q_i有交点，则。的取值范围
【变式2】已知函数》=加必_3%+ 2 (加是常数)，若一次函数歹= x + l的图象与该函数的图象恰
好只有一个交点，则交点坐标为.
【变式3】二次函数"2+反+ 0的图象如图所示，则关于1的方程分2+云+ °+3 = 0的根的情况
是( )
A.有两个相等的实数根 B.无实数根
C.有两个同号不相等实数根 D.有两个异号实数根
573初中数学题型方法全归纳
【变式4】已知二次函数y = /_x + c.
（1）若点Z（-1,江1）在二次函数）=/—1+。的图象上，求此二次函数的最小值；
3
（2）若。（2小）、£（h2）关于坐标原点成中心对称，试判断直线与抛物线y = f2_% + c + - 的
8
交点个数，并说明理由.
留题型方法11：二次函数与一元二次不等式
【题目特征】通过二次函数图象解一元二次不等式.
【考查知识点1二次函数 > =府+云+°（q > 0）与一元二次不等式病+6x + c>0（q > 0）及
ax2 +bx + c < 0(q > 0)之间的关系如下(xi < X2)：
a>0
判别式 抛物分 5 y = ax2 +bx + c 不等式ax2 +bx + c>Q的解 不等式 ax2 + bx + c < 0
与 轴的交点 集 的解集
△>0 X < X1 或X > X2 X\<X<X2
0
了两个交点
\
△ =0 X W Xi (或］W X2) 无解
~0
r 一个交点
一）
A<0 全体实数 无解
X
无交点
注：4Vo的情况请同学们自己完成.
【解题方法】数形结合：依据二次函数图象与X轴交点横坐标直接得到X的取值范围.
574例：画函数y = (x-2y-1的图象，并根据图象回答：
(1)当x为何值时，歹随x的增大而减小.
(2)当x为何值时，y>0.
【解答】解：函数> =。-2)2-1的图象如右图所示，
(1)由函数图象可知，当％<2时，歹随x的增大而减小;
(2)由函数图象可知，当了<1或x>3时，y>0 .
【变式1】已知：抛物线y = /+(2加一1. +加2_i经过坐标原点，且当％<o时，歹随工的增大而
减小，求抛物线的解析式，并写出歹<0时，对应x的取值范围.
【变式2】二次函数尸6+9 + c(qwO)的图象如图所示，根据图象解答下列问题:
(1)写出方程a/+6x + c = 0的两个根；
(2)写出不等式分2+区+ °〉0的解集；
(3)求〉的取值范围.
575初中数学题型方法全归纳
【变式3］已知抛物线》=加工2 一4加工 + 4加-2 (加是常数).
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若」<加<5,且抛物线与x轴交于整数点，求此抛物线的解析式.
5
国题型方法12：二次函数和一元二次方程根的分布问题
【题目特征】已知一元二次方程根的分布情况，求参数.
【考查知识点】
一元二次方程 二次函数
ax2 +bx + c=O(a > 0)两根 xi, y = ax2 +bx+c(a > 0)的图象 需要满足的条件
X2的分布情况 与x轴交点情况
xi < 0 < X2 1.当 x = 0 时，”0.
Xl\p ./x2
1 .A>0 ；
xi < xz < 0 2 .对称轴x =——<0；
2a
3 .当x = 0 时，y>0.
u 1. A>0 ；
2对称轴x = -2〉0；
0 < xi < %2
2a
"^|XKZ7X2 3.当x = 0 时，y>0 .
\「
x\<k <xi 1.当工=左时，y <0.
Xl\ /x2
X
1. A>0 ；
2对称轴x = -2〈左；
x\<xi<k
2a
3.当x =左时，y>0.
576祢
函数专题・第三章 二次函数
—SKL_
l .A>0；
k < xi < X2 2 .对称轴x —.......>k ；
2a
3 .当x =左时，y>0.
1 . A>0 ；
b
2 .对称轴：m <-----< n ；
m<x\<xi<n 2a
x, /X2 x
3 .当％ =加时，y > 0 .
4 .当 x = 〃时，y > 0 .
.〃/ 一
m < x\<n
1J(⑼•/(〃)<().
X2<m^X2> n xk /x2 X
xi<m<n<xi n , i./W<o.
xL 7x2 i 2J(〃)<0.
1 .当x =加时，y > 0 .
m<x\<n<p<X2<q p] q, 2 .当x = 〃时，y<0.
X1V 7x2 i 3 .当x = p 时，y<0.
4 .当x = q时，y〉0.
注：。<0的情况请同学们自己完成.
【解题方法】数形结合：
一元二次方程根的分布问题，即一元二次方程的实根在什么区间内的问题，实质就是其相应二次I
函数的零点(图象与X轴的交点)问题，因此，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究:
是非常有效的.
在—〃-而。20的条件下，我们有如下结论：
(1)当9<0时，方程的两根必一正一负.
a
①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；
a
②若-2<。，则此方程的正根小于负根的绝对值.
a
(2)当£>0时，方程的两根同正或同负.
a
①若-2>o,则此方程的两根均为正根；
a
②若-2<o,则此方程的两根均为负根.
a
注意：(1)若ac<0,则方程ax?+bx + c = 0Q。0)必有实数根.
(2)若ac>0,方程"2+/)x + c = 0(q w 0)不一定有实数根.
577卷
初中数学题型方法全归纳
例：已知方程qY +(q + 2)x + 9q = 0的两个实根xi和工2,且xi <1<工2 ,求实数Q取值范围.
【解答】解：设> =a/+ g + 2)x + 9。，由题意得，q，0.
方程ax1 + (q + 2)x + 9a = 0的两个实根xi和血，且xi<l<%2,
.二①当q>0时，由题意得，a + (a + 2) + 9a <0 .
2
解得。<-4，
11
J此时，无解；
②当〃<0时，由题意得，q + (q + 2) + 9q >0 ,
解得〃 >-热，
. 2
• •-----< Q < 0 •
11
【变式1】已知一元二次方程办2+(3 —20X + Q-1 = 0的两根都是负数，则。的取值范围是.
【变式2】已知二次方程3丁_以+左-2 = 0的两根都是非负数，则左的取值范围是.
【变式3】已知二次函数、=/+灰+。的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为(-1,0),与
歹轴的交点坐标为(0,-3).
(1)求二次函数的解析式；并求图象与x轴的另一个交点的坐标；
(2)根据图象回答：当x取何值时，-3<”0.
【变式4］已知关于x的方程/+(加—5)工+加-2 = 0有实根，且方程的两根都大于0,则实数加的
取值范围是.
【变式5】已知关于x的方程V―(2-〃)x + 5-。= 0的一个根大于0小于2,另一个根大于4小于
6,则实数4的取值范围是.
578祢
函数专题・第三章 二次函数
国题型方法13：二次函数中的利润问题
【题目特征】利用二次函数解利润问题.
【考查知识点】
1 .利润、售价、进价之间的关系：
利润=售价-进价.
2 .总利润、单价利润、数量之间的关系：
总利润=单件利润x数量.
【解题步骤】
1 .设未知数工、y ；
2 .根据题目条件找到x、y的关系式；
3.利用配方法求二次函数的最值及取得最值的x的取值.
例：某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元.调查发现：当销售单价是30元时，月销
售量为280件.而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为
________元.
【解答】解：设销售单价为x元时，销售利润最大，
单价利润为(x-20)元，
销售数量为280-(x-30)x 10,
J利润总额为y = (x-20)x [280"(x-30)xl0],
化简得：j/ = -10x2 +780%-11600 ,
配方得：歹二 -10(x-39)2 + 3610,
当单价为39元时，有最大利润3610元，
故答案为：39.
【变式1】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统
习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000
元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每
盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价x元(50VXW65) , y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元),
求歹关于x的函数解析式并求最大利润.
579海
初中数学题型方法全归纳
【变式2】某书店销售儿童书刊，一天可销售出20套，每套利润40元.为了扩大销售，增加盈
利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套，设每套
书降价x元时，书店一天可获利润y元.
(1)求〉关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围.
(2)若要书店每天盈利1200元，则需降价多少元？
(3)当每套书盈利多少元时，书店可获得最大利润？最大利润为多少？
【变式3】渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发
现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工
厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的利润为多
少元？
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？
580卷_______
函数专题-第三章 二次函数
留题型方法14：二次函数中的轨迹问题
【题目特征】已知物体在抛掷空中的运动轨迹，求解距离时间等.
【解题步骤】
1.建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系中;
2.从已知和图象中获得求二次函数图象所需条件；
3.利用待定系数法求二次函数的解析式；
4.运用已求二次函数的解析式解决问题.
例：为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所
示的抛物线的一部分.已知铅球出手处4距离地面的高度是1.68米，当铅球运行的水平距离为2米时,
达到最大高度2米的8处，则小丁此次投掷的成绩是 米.
【解答】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：4(0,1.68), 8(2,2),点3为抛物线的顶点,
设抛物线的解析式为y = a(x - 2y + 2 ,
把40,1.68)代入得：
4a+ 2=1.68,
解得 q = - 0.08,
2=—0.08x(x-2> + 2 ,
令尸0,得-0.08x(x-2)2+ 2=0 ,
解得 xi = 7 , X2 = —3 (舍)，
・••小丁此次投掷的成绩是7米.
故答案为：7.
【变式1】如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度〃(米)和飞行时间，(秒)近
似满足函数关系式〃 = -'("6)2+ 5,则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米，此时
飞行时间为 秒.
O
581初中数学题型方法全归纳
【变式2】一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.当
球飞行的水平距离为6加时，球达到最高点，此时球离地面3已知球门高是2.44加，若足球能射入
球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A. 10m B. Sm C. 6m D. 5m
【变式3】如图，一座桥孔为抛物线形的拱桥，当水面宽45为12加时，桥孔顶部离水面4加，若水
面上涨1根，求此时水面的宽.
留题型方法15：二次函数中的图形面积问题
【题目特征】利用二次函数解面积问题.
【解题步骤】
1.设未知数（一般面积为S,边长为题目已设出未知数则省掉）；
2.根据题目条件列出面积S和边长x之间的关系式；
3.利用配方法求二次函数的最值.
注意：未知数的取值范围.（各边长要大于0）
例：投资1万元围成一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造，墙长
24见 平行于墙的边的费用为200元/加，垂直于墙的边的费用为150元/加，设平行于墙的边长为工加.
（1）设垂直于墙的一边长为伊加，直接写出y与x之间的函数关系式. ■■■■■■■■■
（2）若菜园的面积为384疗，求'的值.
（3）求菜园的最大面积. 菜园
【解答】解：（1）根据题意知，y = 1QQQQ-200X = _2x +100 ；
2x150 3 3
（2）根据题意，得：（―齐+与）、=384,
解得：x=18 或x=32,
•・•墙的长度为24加，
・・・x= 18；
（3）设菜园的面积是S,
582函数专题・第三章二次函数
贝 ljs = (=—不 + /•)1
2 2 100
----X H------X
3 x
g(x —25y + 1250
二-
"T"
当x<25时，S随x的增大而增大，
Vx<24,
・••当x=24时，S取得最大值，最大值为416,
答：菜园的最大面积为416/.
【变式1】如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5c加，3cm,其
中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为比加，小球滚动的区域（空白区域）面积为“贝u下
列所列方程正确的是（ ）
xcm
j cm
5 cm
A. y= 5x3 -3x~ 5x B. y=(5 -x)(3 -x)
C. y=3x + 5x D. y = (5 -x)(3 -x) + 5x2
【变式2】在美化校园的活动中，某兴趣小组用总长为28米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩
形花园，墙长8米，设45的长为x米，矩形花园的面积为S平方米，当x为多少时，S取得最大值，最大
值是多少？
A D
草坪
」
B1 ................... C
583海
初中数学题型方法全归纳
【变式3】一段长为30机的墙前有一块矩形4SCD空地，用100加长的篱笆围成如图所示的图形
(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形4瓦H和四边形CZWG是矩形，四边形骸G尸
是边长为10机的正方形，设CZ)=x加.
(1)若矩形CZ)〃G面积为125病，求C。长；
(2)当C。长为多少加时，矩形/BCD的面积最大，最大面积是多少？
E——F
B G
号题型方法16：二次函数中的函数图象问题
【题目特征】根据函数图象获取信息，利用二次函数解题.
【解题步骤】
1.搞清楚横纵坐标代表的意义；
2.找到经过图象的点，利用待定系数法求出函数解析式；
3.利用解析式解题.
例：安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为
了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y (千克) 与每千克降价x (元)
(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求y与'之间的函数关系式；
(2)若商贸公司要想获得最大利润，则这种干果每千克应降价多少元？
【解答】解：(1)设歹与x之间的函数关系式为：产履+ 6,
" 十 八、、后 「2左+ 6 = 120
把(2,120)和(4,140)代入得， ，
4左+ 6 = 140
100
解得: 左二
6 = 100 '
二•y与x之间的函数关系式为：y=10x+ 100；
(2)该干果每千克降价x元时，商贸公司获利最大，最大利润是W元，
根据题意得，W=(60 - 40 -x)(10x + 100)= -10x2 + 100%+ 2000,
AW=-10(x-5)2 +2250,
故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元.
584称
函数专题・第三章二次函数
【变式1】公路上正在行驶的甲车，发现前方20加处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后
甲车行驶的路程s （单位：加）、速度v （单位：mis）与时间，（单位：s）的关系分别可以用二次函数
和一次函数表示，其图象如图所示.
（1）当甲车减速至9加/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10冽/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【变式2】某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与
销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量少与销售单价X之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商
品每天获得的利润W （元）最大？最大利润是多少？
双件
° 30 45 Axl元
585卷
初中数学题型方法全归纳
【变式3】某超市以20元/千克进货价购进一批绿色食品，若以30元/千克销售这些绿色食品，则
每天可售出400千克.由销售经验可知，每天的销售量y （千克）与销售单价x （元）（x.O）存在如
图所示的一次函数关系.
（1）求y与x的一次函数表达式；
（2）当x为多少时，这批绿色食品每天的利润达到最大？并求出此时的最大利润.
586祢
留题型方法1:已知反比例函数求参
【题目特征】已知函数为反比例函数求参数.
【考查知识点】定义：一般地，形如y = & （左为常数，koO）的函数叫作反比例函数，其中左叫
作比例系数.
反比例函数常见三种表示形式:
(1) y = —^
（2） y = kx~x ；
（3） xy = k.
其中左为常数，且左wO.
【解题方法】看以下几个方面：
1.自变量在分母位置时，次数为1,不能再有常数项;
2.不在分母位置时，次数为-1；
3.系数不为0.
例：已知函数y = （" 2）**3是反比例函数，则仁.
【解答】解：・・・尸（左-2）1*3是反比例函数,
・・・左2_"3 = -1且左-2#0,（次数为-1,系数不为0）
解得：k= - 1.
【变式II若函数歹=-2是y关于x的反比例函数，则加的值为
【变式2】已知：歹=（加-2）%/-5是反比例函数，贝ij片
【变式3】已知函数尸（公+左）/a是反比例函数，则t的值为
587初中数学题型方法全归纳
留题型方法2：反比例函数的图象性质
【题目特征】已知反比例函数的性质、图象位置、上的情况三者之一判断另外两个.
【考查知识点】
1、解析式：一个点确定 例：反比例函数y = 8过(1,3),则左>0,
一 k X
反比例函数y =—过P(xo,
yo)
，贝!Jk=(xo词.
・・・反比例函数的解析式为左>0.
X
k>0 k<0
2、图象：双曲线
(1)当左>0时，图象在一、三象限；
(2)当左<0时，图象在二、四象限；
(3)左越大，与坐标轴的距离越远.
3、性质：
(1)对称性：
①对称中心：0(0,0),反比例函数的图象关于原点对称；
②对称轴：y = x (一、三象限的角平分线)或蚱r (二、四象限的角平分线).
(2)增减性：
①当左>0时，在每个象限内，)随x的增大而减小；
②当左<0时，在每个象限内，歹随x的增大而增大.
注意：(1)图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来;
(2)叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”；
例如：当左>0时，在每一个象限内，y随着x的增大而减小.
k k
(3)反比例函数y = 2与、=-£(左。0)的图象关于x轴对称，也关于'轴对称.
x x
例1:已知反比例函数'=二」(左为常数)的图象经过第一、三象限，贝必的取值范围是( )
X
A. k>\ B. k<\ C. k>- 1 D. k<-\
【解答】解：・・•反比例函数歹=型(左为常数)的图象经过第一、三象限，
x
：.k+ 1>0,
・》>—1,
故选：C.
例2：关于反比例函数歹=-@的图象，下列说法正确的是( )
x
A. y随着x的增大而增大
B.图象分布在一、三象限
C.当x> —2 时,y>3
D.若(-q,6)在该图象上，则(见-6)也在该图象上
【解答】解：,..> = 一9中，k= - 6<0,
x
588祢
函数专题•第四章 反比例函数
/. (1)在每个象限内，y随x的增大而增大，故4错误，
(2)图象分布在二、四象限，故5错误，
(3)当-2«0时，y>3；当>0时，六0,故C错误，
(4)图象关于原点对称，故若(-〃乃)在该图象上，则(见-6)也在该图象上，故。正确.
故选：D.
例3：已知二次函数歹="2+乐+。的图象如图所示，则一次函数y=bx + c的图象和反比例函数
/ = " + " + '的图象在同一坐标系中大致为( )
x
【解答】解：,・,二次函数的图象开口向下，
a<0,
，
V -—<0
2a
：.b<0,
・ ・•抛物线与天轴相交于正半轴，
:.c>0,
・ ,•直线》=八+ c经过一、二、四象限，
由图象可知,当x=l时，y<0,
. \a + b + c<0,
・•・反比例函数上=" + ' + '的图象必在二、四象限,
x
故4、B、C错误，。正确.
故选：D.
589海
初中数学题型方法全归纳
【变式1】已知一个矩形的面积为12c加2,其长为四冽，宽为xcm,贝3与X之间的函数关系的图象大
致为（ ）
【变式2】若关于x的反比例函数y =生至 的图象在一、三象限，贝必的取值范围是.
【变式3】已知点P（l,-Q）在反比例函数> =—（左。0）的图象上，其中。=疗+2次+ 3（加为实数）, 则
x
这个函数的图象在第. 象限.
【变式4】如图所示是三个反比例函数 > =勺、y上、> =刍的图象，由此观察得到公、k八
左
3
XXX
的大小关系是
7
【变式5】已知尸
i（xi,y）
、尸 2（X2,y2）、 尸 3（X3/3）是反比例函数y = 4的图象上的三点，且
X
X1<X2<0<X3 ，则y\ >>2 、y?）的大小关系是（ ）
A. y3<yi<y\ B. yi<yi<y3
C. y2<yi<y^ D. y2<y3<yi
帆
_i _ 2
【变式6】在反比例函数 > =------ 的图象上有三点（X1,y）、（%2,词、（X343）,若X>X2>0>X3,
X
则6、/、外的大小关系是（用连接）.
590祢
函数专题-第四章 反比例函数
野题型方法3：求反比例函数解析式
【题目特征】根据题目条件求反比例函数的解析式.
【解题方法】待定系数法：
第一步，设反比例函数解析式；
第二步，根据题目条件代入点的坐标；
第三步，解方程求出左值.
（简称一设二代三解）
例：已矢即与x成反比例，且当工=-3时，y=4,贝！J当x=6时，＞的值为
【解答】解：设反比例函数为歹=8,（一设）
x
当工=一3,歹=4时，得：4 =—,（二代）
x
解得左=—12.（三解）
所以，反比例函数为尸-上19.
x
当X=6 时，y = - - =-2 ,
6
故答案为：-2.
【变式1】已知y与x成反比例，且当--6时，尸4,则当x=2时，＞值为多少？
k ?
【变式2】反比例函数y = £的图象经过点（-士,5）和（0-3）,则折_________.
x 2
【变式3］已知函数^ =》+二，其中"是关于x的正比例函数，/是关于x的反比例函数，且当x = 2
时，＞ =8；当x=4时，歹= 13,试确定y关于x的解析式.
591初中数学题型方法全归纳
国题型方法4：反比例函数和一次函数图象判断问题
【题目特征】已知反比例函数和一次函数，判断它们的图象情况.
【解题方法】
假设法：先假设一次函数的图象是正确的，得到字母的取值范围，再根据字母的取值范围判断反；
比例函数图象是否正确；或者先假设反比例函数的图象是正确的，得到字母的取值范围，再根据字母
的取值范围判断一次函数图象是否正确.
例：函数与歹=33工0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
x
【解答】解：为、由函数•产存-。的图象可知〃>0, -Q0,由函数） = 3（qw0）的图象可知4>0,矛
X
盾；
B、由函数Q的图象可知avo, -a>0,由函数y = @（a w 0）的图象可知"0, 一致；
x
。、由函数•尸分-Q的图象可知"0, -a <0,由函数歹=q（〃。0）的图象可知a>0,矛盾；
x
D、由函数产以一的图象可知q>0, -a<0,由函数歹二色（4。0）的图象可知qvO,矛盾.
x
故选：B.
k
【变式1）函数y=fcc +左与丁 = £（左，0）在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
x
592【变式2】在同一坐标系内,表示函数/=履+ 6与》= 空（女士0, 6。0）的图象只可能是下图中的
X
（ ）
A. : B. -------
c 7 D V
k
【变式3】已知关于x的函数y=k（x + 1）和y =-左w 0）, 它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）
X
A % B+
; 二
于 行
X
士2在同一坐标系中的图象不可能
【变式4】已知。。0, bwO, a + b。0,贝!J函数歹= qx+6与y =
X
是（ ）
A + B +
,飞
c；
_x
593源
初中数学题型方法全归纳
。___
留题型方法5：反比例函数k的几何意义
【题目特征】利用反比例函数人的几何意义求面积.
【考查知识点】反比例函数\ 上的几何意义:
/ z” A A
一点一垂直 d o LAOB _=k一 B S^AOB=~
2 2
0 B X O X
一点两垂直 S 四 430C = k
9|
C
x
y X
两点一垂直 S LABC — k S 4ABC — k
X o X X
Ik X
y 10
S 四 = 2k S^ACBD — 2k
X
两点两垂直
y
c 3
r
x
S labc — 2k
\ c
kJ LAdC -4/V
A\ A
] ]
\A
_ k\ — ki
S^ABCD =kl - kl S LABO 二
2
~X
两条同号左值 C D X
曲线+平行线
S^ABOC =kl — kl
y,
p
y_
k\ + ki
S^ABCD =k\ + kl 8LABO —
2
c \O D X O\ x
两条异节上值 (
y) p
曲线+平行线
D
L' k\ + ki
21 X S^ABCD =kl + kl S LABO —
2
17
c
594函数专题・第四章反比例函数
,•* S^AOM = S^BON
y
SlAOB — S^AONB — S^BON
曲线+一次函数 =S 四4QA® = S LAOM
=S^ABNM
O1 M N x
S^AOB = S梯形48M0 .
由图得，
力 AM S XAOM BN S BON
W p
PM S XPOM PN S PON
曲线+矩形 又 ,*,
SlAOM = SBON
S 4PoM = SlPON
O, B x .AM _ BN
・・丽一丽•
例1：若图中反比例函数的表达式均为歹=3,则阴影面积为4的有（ ）
【解答】解：图1中，阴影面积为4；
图2中，阴影面积为34=2；
图3中，阴影面积为2x、4=4 ；
2
图4中，阴影面积为4x,x4=8 ；
2
则阴影面积为4的有2个.
故选：B.
4 9
例2：如图，两个反比例函数＞ 和＞ =*在第一象限内的图象分别是G和设点尸在G上,
x x
轴于点4,交。2于点5,则△尸05的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.无法计算
595初中数学题型方法全归纳
【解答】解：,・・山，工轴于点Z,交。2于点5,
• • S x 4 = 2 , S x 2 — 1 j
lpoa — lboa —
2 2
S^POB = 2 — 1 = 1.
故选：A.
例3：下列图形中，阴影部分面积为1的有（ ）个.
【解答】解：4、阴影部分面积为:x|-l|x2 = l,此选项正确;
B、阴影部分的面积为」xlx2 = l,此选项正确；
2
。、阴影部分的面积为（；x|-l|+；xl）x2 = 2 ,此选项错误；
。、阴影部分的面积为= 此选项正确.
2 1 1 2
故选：B.
a
【变式1】如图，点4、8在双曲线＞=士上，经过4、8两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1,贝！!
x
N+Sz_.
【变式2】如图，点/在双曲线尸上 4 上，点5在双曲线片上k （左wO）上，AB〃x轴，分别过点,、8向
X X
X轴做垂线，垂足分别为。、C,若矩形45C。的面积是8,贝％的值为.
596*
函数专题・第四章 反比例函数
【变式3】如图，过x轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线，分别与反比例函数尸-9和尸3
x x
的图象交于/、3两点.若点C是丁轴上任意一点，连接NC、BC,贝必48。的面积为.
【变式4】如图，/、5分别是反比例函数尸W和尸9图象上的点，过/、B作x轴的垂线，垂足分
x x
别为C、D,连接。4、OB, 0A交BD于E点、,ZJ?。因的面积为S,四边形4CL出的面积为S2,则
S\ — Sz= .
k
【变式5】如图，反比例函数尸々AO)的图象经过矩形。对角线的交点分别与45、BC
x
相交于点。、E,若四边形0058的面积为6,贝此的值为.
k
【变式6】如图，双曲线片上经过点4(2,2)与点5(4"),则△405的面积为
x
597【变式7】如图，已知反比例函数尸々 k 左wO)的图象经过点1(<8),直线歹=-x + b经过该反比例函
x 2
数图象上的点0(4,⑼，设该直线与x轴、y轴分别相交于4、B两点,与反比例函数图象的另一个交点为
P,连接。尸、。。，则△OP。的面积为.
B \
【变式8】如图，矩形0/5。的顶点力、C的坐标分别为(0,10)、(4,0),反比例函数尸々左。0)在第
一象限内的图象过矩形CM5C的对角线的交点〃，并与4人3。分别交于点瓜F,连接。£、EF、OF,
则△。£尸的面积为.
C x
Iz- 1
【变式9】如图，双曲线尸片x>0)经过矩形048。的边45、5c上的点R E,其中C£=t5,且四
Y 3
边形。防厂的面积为2,贝必的值为一
【变式10］如图，在平面直角坐标系X0中，矩形的两边OC、04分别在%轴、歹轴的正半轴
上，反比例函数尸&(x>0)与45相交于点。，与5C相交于点£,若BE=4EC,且的面积是5,
则先的值为.
D B
598祢
函数专题・第四章反比例函数
国题型方法6：反比例函数与方程不等式
【题目特征】利用方程求反比例函数和一次函数图象的交点，利用交点解不等式.
【考查知识点】函数和方程不等式的关系；
（1） 一次函数产丘+ 6（左。0）的图象是一条直线. 例：函数"=加工+ 6的图象与函数
左>0,从左到右直线上升；k<0,从左到右直线下降. k
>2=—的图象交于4(1,3), 5(-3,
b>0 ,与y轴交于正半轴；b<0 ,与y轴交于负半轴.
（2）反比例函数产々左，0）的图象是双曲线.
—1）两点，则当—3VxV0或%>1
时，歹1>>2 .
左>0,在第一、三象限；k<0,在第二、四象限.
问题：比较一次函数和反比例函数值的大小.
解决方法：数形结合，函数值比大小，图象比高低，谁高
列
谁大.
【解题方法】将两个函数解析式联立方程，解方程即可求出交点坐标；
解不等式时，画出函数图象，确定交点横坐标，谁高谁大确定自变量的取值范围即为不等式的解
集.
例1 ：若反比例函数产上（存0）的图象与正比例函数产"（QWO）的图象有两个交点4（独2）和丈3,〃）,
x
则加+ 〃的值为.
【解答】解：・・,正比例函数和反比例函数均关于原点对称，
・••两函数的交点关于原点对称，
*.m- - 3, n- - 2,
.*.m + n- - 5
故答案为- 5.
例2：如图所示，一次函数y = -x + 2的图象与反比例函数/=k*的图象相交于4 5两点，已知
x
点3的坐标为（2独-冽），当x<2加时，歹2的取值范围为.
【解答】解：1等（2加,—加）代入y= — x + 2得,—m= — 2m + 2,
解得，m=2.
・••点5为（4, —2）.
当%<2加时，即x<4,
当 0<x<4 时，y2<-2,
当 时，yi >0,
故及的取值范围是：2或/>0,
故答案为y2 V - 2或外 >0.
599初中数学题型方法全归纳
【变式1】若一次函数尸3x + 6和反比例函数尸二 的图象有两个交点，当b=时，有一个
x
交点的纵坐标为6.
【变式2】如图是一次函数y = + b和反比例函数/ =竺的图象，观察图象写出6>/时，x的取
x
值范围为.
【变式3】如图，反比例函数歹=&与一次函数片m + b的图象交于4(1,3),次%-1)两点.
x
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值小于一次函数的值.
【变式4】如图，双曲线》 =生在第一象限的一支上有一点。(1,5),经过点C的直线尸-依+贴> 0)
x
与x轴交于点4 (凡0).
(1)求点Z的横坐标。与后之间的函数关系式；
(2)当这条直线与双曲线的另一交点。的横坐标为9时，求△CO4的面积.
600称
函数专题-第四章反比例函数
国题型方法7：反比例函数对称问题
【题目特征】利用反比例函数的对称性解题.
【考查知识点】反比例函数的对称性：
IK
。
正比例函数尸加x（加。0）与反比例函数y =巴（〃，0）图象的
X
X
交点4和5关于原点对称，即。4=。反
1
U：OA=OC, OB=OD,
・・・四边形45CQ为平行四边形.
.*• S四边形45co = 4s△408 .
1
一次函约=一x +6与反比例函数＞ w 0）图象的交点
X
尸和。关于y=x对称.
\
一次函数y=x + 6与反比例函数y=-（n w 0）图象的交点?
X
yi 、、 '
和0关于y= —X对称.
【解题方法】利用反比例函数对称性解题.
1 ”
例：如图，已知直线kL与双曲线”£（左〉0）交于4 8两点,且点力的横坐标为4.过原点。
2 x
k
的另一条直线，交双曲线歹=£（左＞0）于尸、。两点（尸点在第一象限），若由点尸、。、4、B为顶点组成
x
1 1 Q
S —x24=6,设尸点坐标为（玄，一），
lpoa = — Sapbq =
4 4 xP
601卷
初中数学题型方法全归纳
1 Q
若 0V&V4,贝!|一(2 + —)(4-/)=6 ,
2 xP
解得修=2 (舍负)，・・・P(2,4)；
1 Q
若 Xp>4，则—(2 4—)(jp — 4) = 6，
2 xP
解得修=8 (舍负)，・・・P(8,1),
故尸点坐标为P(2,4)或尸(8,1).
7
【变式1】如图，直线厂区（左＞0）与双曲线》 =—交于/、B两点，坐标分别为4（孙川、5（孙及）,
x
则xiyi+xiyi的值为.
【变式2】已知一次函数"=-1+ 6的图象与反比例函数，=&（左＞0）的图象的一个交点坐标是（2,6）,
x
则另一个交点的坐标是.
【变式3】已知一次函数y=x + 6的图象与反比例函数尸&（左＜0）的图象的一个交点坐标是（- 1,5）,
x
则另一个交点的坐标是.
【变式4】如图，直线y=-x+1与工轴交于点4与y轴交于点5,与反比例函数y=X在第一象限内
x
的图象交于。两点，已知。点的横坐标为工.则△OS的面积为
4
【变式5】如图，已知直线；产-x +加+ 〃与双曲线尸,交于两个不同的点4（冽,〃）（论2）和8（p,q）.直
x
线产- 1 +机+ 〃与y轴交于点C,贝的面积S和机的函数关系式为.
602函数专题-第四章 反比例函数
【变式6】如图，等腰直角△45。位于第一象限，AB=AC=2,直角顶点4直线尸工上，其中4点的
横坐标为1,且两条直角边々、4C分别平行于'轴、y轴，若双曲线”匕左。0）与△ZBC有交点，贝必
x
的取值范围是.
留题型方法8：反比例函数中的平行和相等
【题目特征】反比例函数和一次函数相交，产生了平行线和相等线段.
例：一次函数y=ax + b的图象分别与x轴、歹轴交于点Af、N,与反比例函数歹=与的图象相交于4、
x
B,过点/分别作/CL轴，口轴，垂足分别为C、E；过点8分别作及Ux轴，及）JLy轴，垂足分别
为尸、D； AC与BD交于点K,连结CD
（1 ）若点4、5在反比例函数 > =—的图象的同一^分支上，如图1,试证明：①S K = S CF8K ；
四边形的） 四边形
x
®AN=BM.
（2）若点4、8分别在反比例函数y = &的图象的不同分支上，如图2,则NN与5M还相等吗？试
证明你的结论.
603S 四边形71EOC — S 四边形DO欧 =S 四边形或＞O尸 —S 四边形OOX ,
BP S 四边形4EDK = S四边形CF8K・
②如图，连加人BC,得S^K = S“CK,
SXADC = SXBDC f 得DC〃AB .
,・ZC7仪轴，
・・・四边形/CON是平行四边形，
：.AN=CD,同理皿/=C。，故AN=BM：
（2） /N与仍然相等，证法同（1）.
【变式1】如图，一次函数厂办+ 6的图象与x轴一轴交于4, B两点,与反比例函数尸人的图象相
x
交于G。两点，分别过C,。两点作y轴，x轴的垂线，垂足为£, F,连接CR DE.有以下四个结论:
①△CK5与△。跖的面积相等；②△405名△尸。£；③LDCE咨LCDF； ®AC=BD.其中正确的结论
是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，△045的顶点4在x轴正半轴上，。。是△0/8的中线,
a
点比。在反比例函数尸±（、＞0）的图象上，则△048的面积等于.
x
【变式3】平行四边形中，对角线交于点£,双曲线产£（左＞0）经过4、£两点，若平行四边
x
形ZO5C的面积为18,则上.
604祢
函数专题-第四章反比例函数
【变式4】在平面直角坐标系中，函数》=生(x>0,机是常数)的图象经过点4(1,4)、点5Q6),
x
其中过点4作x轴的垂线，垂足为C,过点5作y轴的垂线，垂足为。，NC与AD相交于点连
接场 DC, CB^AB.
(1)求加的值；
(2)求证：DC//AB；
(3)当时，求直线45的函数解析式.
605数据统计与
概率专题篇数据统计与概率专题-第一章 数据的收集、整理和描述
留题型方法1:普查和抽样调查
【题目特征】需要我们选择合理的调查方式.
【考查知识点】普查和抽样调查：
普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查，也称全面调查.
好处：调查结果准确；
缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用.
抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫作抽样调查.
好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；
缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大.
例1:下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A. 了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
C. 了解北京市居民” 一带一路”期间的出行方式，采用全面调查方式
D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式
【解答】解：4、了解北京市每天的流动人口数，人数太多，所以只能采用抽样调查方式，正确；
5、旅客上飞机前的安检，必须保障安全，人数少，所以采用全面调查方式，故错误；
。、了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，人数太多，所以采用抽样调查方式，故错误;
。、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，不能全部检查，要不都被破坏了，所以，只能采用
抽样调查方式，故错误.
故选：A.
【变式1】下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查
B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【变式2】下列调查中，最适宜用普查方式的是（ ）
A.对一批节能灯使用寿命的调查
B.对我国初中学生视力状况的调查
C.对最强大脑节目收视率的调查
D.对量子科卫星上某种零部件的调查
607_______ 菱
初中数学题型方法全归纳
【变式3】下列调查中不适合普查而适合抽样调查的是（ ）
①了解市面上一次性筷子的卫生情况 ②了解我校九年级学生身高情况
③了解一批导弹的杀伤范围 ④了解全世界网迷少年的性格情况
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
留题型方法2：总体、个体、样本、样本容量
【题目特征】判断调查中的总体、个体、样本、样本容量.
【考查知识点】总体、个体、样本、样本容量的概念：
总体：所考察对象的全体；
个体：组成总体的每一个考察对象；
样本：从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本；
样本容量：样本中的个体数目.
举例：对全市4.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了 了解这4.3万学生的
数学成绩，从中抽取2000名学生的数学成绩进行统计.那么：
总体指的是“4.3万名学生的数学成绩”；（不是学生而是他们的成绩）
个体指的是“每一个学生的数学成绩”；
样本指的是“2000名学生的数学成绩”；
样本容量是：2000.（容量是数字，没有单位）
例：为了解我区七年级6000名学生期中数学考试情况，从中抽取了 500名学生的数学成绩进行
统计.下列判断：
①这种调查方式是抽样调查；
②6000名学生是总体；
③每名学生的数学成绩是个体；
@500名学生是总体的一个样本.
其中正确的判断有（ ）
A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个
【解答】解：①这种调查方式是抽样调查，故①正确；
②6000名学生的数学成绩是总体，故②错误；
③每名学生的数学成绩是个体，故③正确；
④500名学生的数学成绩是总体的一个样本，故④错误.
故选：B.
【变式1】为了解某市参加中考的28000名学生的体重情况，抽查了其中1400名学生的体重进行
统计分析，下面叙述正确的是（ ）
A. 28000名学生是总体 B.每名学生是总体的一个样本
C.以上调查是普查 D. 1400名学生的体重是总体的一个样本
608数据统计与概率专题-第一章数据的收集、整理和描述
【变式2】为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了 200名学生的数学成绩
进行统计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②八年级800名学生的数学成绩的全体是总体；
③每名学生的数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正
确的判断有（ ）
A・1个 B.2个 C. 3个 D.4个
【变式3】我市去年共有18000名考生参加中考，为了了解这18000名考生的数学成绩，从中抽
取了 1000名考生的数学成绩进行统计分析.以下说法正确的有（）
①这种调查采用了抽样调查的方式；
②18000名考生是总体；
③1000名考生是总体的一个样本；
④每名考生的数学成绩是个体.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 0个
留题型方法3：数据的收集与整理过程
【题目特征】数据收据与整理的过程.
【考查知识点】数据收集整理的步骤：
实际问题T收集数据T整理数据T表示数据-统计分析合理决策.
第一步：确定实际问题；
第二步：通过合理的方式收集数据；
第三步：把收集到的数据进行整理；
第四步：利用平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差等方式表示这些数据；
第五步：对平均数、众数、中位数、极差、方差、标准差等进行合理分析，做出决策.
例：某地区有38所中学，其中七年级学生共6858名，为了了解该地区七年级学生每天体育锻炼
的时间，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序.
①抽样调查；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据.
其中正确的是（ ）
A.①②③④⑤ B.②①③④⑤
C.②①④③⑤ D.②①④⑤③
【解答】解：解决一个问题所要经历的几个主要步骤为：②设计调查问卷，再①抽样调查；④整
理数据；⑤分析数据；③用样本估计总体.
所以为：②①④⑤③.
故选：D.
【变式1】某学习小组将要进行一次统计活动，下面是四位同学分别设计的活动序号，其中正确
的是（ ）
A.实际问题-收集数据-表示数据-整理数据-统计分析合理决策
B.实际问题-表示数据T收集数据一整理数据-统计分析合理决策
609_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
C.实际问题T收集数据T整理数据T表示数据T统计分析合理决策
D.实际问题-整理数据一收集数据T表示数据T统计分析合理决策
【变式2】某地区有36所中学，其中九年级学生共7000名.为了了解该地区九年级学生的体重
情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序.①抽样调查；
②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据.排序： （只写序号）
留题型方法4：抽样调查的合理性
【题目特征】选择合理的抽样调查方式.
【考查知识点】抽样调查的代表性和广泛性：
代表性指的是抽样样本与总体之间的统计关系，也就是在某种程度上样本与总体中有一定的共
性，能够反映总体的情况，从而引发进一步的研究.如果样本不能反映总体或者说不能代表性，那么
该抽样结果就很可能因此失去其价值.
广泛性指的是在实施调查的过程中，要确保研究样本的广泛性，使研究样本能够尽可能多的反映
不同地区、不同群体、不同社会群体之间的差异，以确保研究结果的可靠性.
为了实现这一目标，传统的抽样调查方法一般采用分层随机抽样法，即将调查总体分层，使每一
层的占比相同，然后从每一层范围内随机抽取样本，从而使研究样本尽可能地具备代表性.此外，还
可以采用议程抽样法、简单随机抽样法等，广泛抽取样本.
例：下列抽样调查较科学的是（ ）
①张涛为了知道烤箱中所烤的饼是否熟了，取出一块试吃；
②刘明为了了解初中三个年级学生的平均身高，对初三年级一个班的学生做了调查；
③杨丽为了解云南省2015年的平均气温，上网查询了 6月份30天的气温情况；
④李智为了解初中三个年级的课外作业完成情况，向三个年级各一个班的学生做了调查.
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
【解答】解：①和④的抽样调查符合样本的代表性和广泛性的标准，是较科学的；
②要了解初中三个年级的情况，一个年级的学生不具代表性，不科学；
③一年中不同季节气温变化是很大的，调查时只选了 6月份的情况，调查的对象太少，缺乏代表
性，也不符合广泛性.
故选：C.
【变式1】某数学课外兴趣小组为了 了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样
调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A.在公园调查了 1000名老年人的健康状况
B.在医院调查了 1000名老年人的健康状况
C.利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
D.调查了邻居10名老年人的健康状况
【变式2】小明从一批乒乓球中随机摸出了三个，经检查全部合格，因此小明断定这批乒乓球全
部合格.在这个问题中，小明（ ）
610数据统计与概率专题・第一章数据的收集、整理和描述
A.忽略了抽样调查的随机性 B.忽略了抽样调查的随机性和广泛性
C.忽略了抽样调查的随机性和代表性 D.忽略了样本的广泛性
【变式3】下列调查，样本具有代表性的是（ ）
A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查
B. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查
D. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查
留题型方法5：统计图的选择
【题目特征】选择合理的统计图.
【考查知识点】常见统计图的特点：
（1）条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目；
（2）扇形统计图：能清楚地表示出各部分与总量间的比重；
（3）折线统计图：能反映事物变化的规律.
所以：
若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图;
若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；
若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图.
例；蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118, 96, 60, 82, 56, 69, 86, 112,
108, 94,为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（ ）
A.折线统计图 B.频数分布直方图
C.条形统计图 D.扇形统计图
【解答】解：要表示这七天空气质量变化情况，所以，最适合用折线统计图，
故选：A.
【变式1】要反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，宜采用（ ）
A.条形统计图 B.扇形统计图
C.折线统计图 D.频数分布直方图
【变式2】环保部门对空气进行检测，想要知道空气中有毒气体的百分比，使用的统计图最好的
是（ ）
A.扇形统计图 B.条形统计图
C.折线统计图 D.频数分布直方图
【变式3】要绘制一幅能清楚反映全校各年级男女生人数情况的统计图，下列最适合的是（ ）
A.折线统计图 B.条形统计图
C.扇形统计图 D.以上均可选，效果一样
0
611海
留题型方法6：用样本估计总体
【题目特征】通过样本中的比例关系，求总体数量或总体中符合条件的数量.
【理论基础】
样本中符合某条件群体.总体中符合某条件群体
样本数 总体数
【解题方法】
求出样本中的某群体百分比，这个百分比也是总体中的百分比.
例：为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了其中100名学生进行统
计，并绘制成如图所示的频数直方图，已知该校共有1000名学生，据此估计，该校五一期间参加社
团活动时间在8〜10小时之间的学生数大约是（ ）
频瓢人肉
2 4 6 8 10 12时间I小时
A. 280 B. 240 C. 300 D. 260
【解答】解：由题可得，抽查的学生中参加社团活动时间在8〜10小时之间的学生数为100-30
-24- 10-8=28 （人）,
28
A 1000x ——=280 （人），
100
即该校五一期间参加社团活动时间在8-10小时之间的学生数大约是280人.
故选：A.
【变式1】为估计鱼塘中的鱼的数量，可以先从鱼塘中随机打捞50条鱼，在每条鱼身上做上记号
后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间，等这些鱼完全混合于鱼群后，再从鱼塘中随机打捞50条鱼，
发现只有2条鱼是前面做好记号的，那么可以估计这个鱼塘鱼的数量约为（ ）
A. 1250 条 B. 1750 条 C. 2500 条 D. 5000 条
【变式2】某校为了解学生对/、B、。、。四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，
让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30、20、18、12.若该校有800名学生，
则估计有 人参与A类运动最多.
612卷
数据统计与概率专题・第一章数据的收集、整理和描述
【变式3】为了解某县1000名公益志愿者寒假期间做公益的时间，团县委随机对其中50名志愿
者进行了调查.根据收集的数据绘制了如图所示频数分布直方图，则由样本可以估计全部1000名志
愿者中做公益时间不少于10〃所占的百分比为（ ）
A. 68% B. D. 92%
留题型方法7：频数和频率的计算
【题目特征】计算频数和频率.
【考查知识点】频数和频率的概念：
频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数.
频率：频数与总次数的比值称为频率.
【解题方法】
1 .每一段（组）的频数之和为样本数量；
2 .每一段（组）的频率之和为1.
例1： “早发现，早报告，早隔离，早治疗”是我国抗击“新冠肺炎”的宝贵经验，其中“早”
字出现的频率是（ ）
A. — B. - C. - D.-
12 4 3 3
【解答】解：“早”字出现4次，总字数为12,所以，“早”字出现的频率是：
12 3
故选：D.
一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1〜4组的频数分别为14、10、8、
4,则第5组的频率为.
【解答】解：第5组的频数：40-14-10-8-4=4,（每一组的总和为40）
第5组的频率：4+40=0.1,
故答案为：0.1.
【变式1】某人将一枚质量分布均匀的硬币连续抛50次，落地后正面朝上30次，反面朝上20次,
下列说法正确的是（ ）
A.出现正面的频率是30 B.出现正面的频率是20
C.出现正面的频率是0.6 D.出现正面的频率是0.4
613_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
【变式2】为了 了解某中学八年级男生的身体发育情况，从该中学八年级男生中随机抽取40名男
生的身高进行了测量，已知身高(单位：。加)在1.60〜1.65这一小组的频数为6,则身高在1.60〜1.65
这一小组的频率是.
【变式3】在一个不透明的袋子里，装有除颜色外其余匀相同的3个白色球和若干个黄色球，摇
匀后，从这个袋子里随机摸出一个球，放回摇匀再摸出一个球，经过大量重复实验，摸到黄球的频率
在0.4左右，则袋子内有黄色球 个.
【变式4】某校进行学生睡眠时间调查，将所得数据分成5组.已知第一组的频率是0.18,第二、
三、四小组的频率和为0.62,故第五组的频率是.
【变式5】从某服装厂即将出售的一批休闲装中抽检200件，其中不合格的休闲装有15件.
(1)抽检中合格的频数，频率分别是多少？
(2)销售3000套这样的休闲装，大约有多少件不合格的休闲装？
【变式6】秋季新学期开学，某中学对初一新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识
测试，测试成绩全部合格.现随机抽取了部分学生的成绩制作成如下表格，贝如=，
分数段 频数 频率
60<x<70 6 a
70<x<80 20 0.4
80<x<90 15 b
90<x<100 C 0.18
留题型方法8：从频数分布直方图获取信息
【题目特征】已知频数分布直方图，根据直方图获取信息.
【解题方法】
1.长方形横坐标的两端代表范围；
2.长方形上方对应纵坐标代表在此范围的数据个数；
3.每一段的数据个数加起来就是总的数据个数，也就是样本数.
614卷
数据统计与概率专题・第一章 数据的收集、整理和描述
例：某班级的一次数学考试成绩统计图如图，则下列说法错误的是（ ）
A.得分在70〜80分的人数最多 B.该班的总人数为40
C.人数最少的得分段的频数为2 D.得分及格（＞60）的有12人
【解答】解：4、得分在70〜80分的人数最多，此选项正确；
B、该班的总人数为4+12+14+ 8+ 2=40 （人），此选项正确；
。、人数最少的得分段的频数为2,此选项正确；
D、得分及格（260）的有12+14 +8 *2=36人，此选项错误.
故选：D.
【变式1】某班有64位同学，在一次数学检测中，分数只能取整数，统计其成绩绘制成频数直方
图，如图所示，从左到右的小长方形的高度比是1:3:6:42则由图可知，其中分数在70.5〜80.5之间
的人数是（ ）
【变式2】学校为了了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级50名
学生进行了调查.根据收集的数据绘制了下面的频数分布直方图，则以下说法正确的是（ ）
A.绘制该频数分布直方图时选取的组距为10分成的组数为5
B.这50人中大多数学生参加社会实践活动的时间是12〜14〃
C.这50人中有64%的学生参加社会实践活动时间不少于10h
D.可以估计全年级700人中参加社会实践活动时间为6〜8〃的学生大约为28人
615初中数学题型方法全归纳
【变式3】为了了解2019年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了 1000
人乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面三个推断中，
合理的是（ ）
①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中一定有超过一半的人月均花费超
过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的不低于60元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那
么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
国题型方法9：从频数分布折线图获取信息
【题目特征】已知频数分布折线图，根据折线图获取信息.
【解题方法】
1 .搞清楚横纵坐标代表的意义；
2 .纵坐标一般代表频数，也就是数据个数；
3 .每一个点对应的数据个数加起来就是总的数据个数，也就是样本数.
例：体育老师对八年级（2）班学生“你最喜欢的体育项目是什么？（只写一项）”的问题进行
了调查，把所得数据绘制成如图所示的折线统计图.由图可知，最喜欢篮球的学生的频率是（ ）
【解答】解：由图可知：
共有 4+ 12+ 6+ 20+ 8=50 人，
其中最喜欢篮球的有20人，
故频率最喜欢篮球的频率=20+50=0.4.
故选：D.
616卷
数据统计与概率专题-第一章 数据的收集、整理和描述
【变式1】超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日7:00-9:00经过高速公
路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速110左加/〃，则超速行驶的汽
车有（ ）
某日7:00-9:00经过某高速公路测速点的
汽车速度的频数分布折线图
A. 20 辆 B. 60 辆 C. 70 辆 D. 80 辆
【变式2】班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生的发言次数进行了
统计，并绘制成如下频数分布折线图（如图）.根据图中，发言次数是4次的男生、女生分别有（ ）
A. 4人，6人 D. 3人，4人
【变式3】如图，表示某地区各年龄层人口的累积百分率，其资料自0岁开始，每10岁为一组.根
据此图，判断下列关于此地居民的叙述，何者正确？（ ）
0 20 40 60 80 100 年龄（岁）
A. 可能有100岁的老人
B. 21〜80岁之间的居民占五成以上的比例
C. 30岁以上的人数比20岁以下的人数少
D. 居民年龄在40〜60岁之间的人口累积百分率是50%
617卷
初中数学题型方法全归纳
留题型方法10：频数分布表和频率分布直方图
【题目特征】与频数分布表和频率分布直方图有关题目.
【考查知识点】
1 .频数分布表
(1)在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组
两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表.
(2)列频数分布表的步骤：
①计算极差，即计算最大值与最小值的差.
②决定组距与组数(一般100以内的数据分成5〜12组).
③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些.
④列频数分布表.
组数的决定方法：设数据总数目为〃，一般地，当於50时，分为5人8组；当50夕300时，则分
为8 F2组.
分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去05若数据是保留小数点后的一位数，则分
点数据减去0.05.
2 .频数分布直方图
画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数
为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替，各小组的频数之和等于数
据总数.
例1：为了了解七年级女生的跳绳情况，从中随机抽取了 50女生进行14几跳绳测验，得到了这
50名女生的跳绳成绩(单位：次)，其中最小值为60,最大值为140,若取组距为15,则可分为
( )
A. 7组 B. 6组 C. 5组 D. 4组
【解答】解：在样本数据中最大值为140,最小值为60,它们的差是140-60=80,
已知组距为15,由于80-15^5.3,
故可以分成6组.
故选：B.
例2：某校团委为了解该校七年级学生最喜欢的课余活动情况，采用随机抽样的方法进行了问卷
调查，被调查学生必须从“运动、娱乐、阅读、其他”四项中选择其中的一项，以下是根据调查结果
绘制的统计图表的一部分，
活动类型 频数(人数) 频率
运动 20
娱乐 40
阅读
其他 0.1
根据以上图表信息，解答下列问题:
618祢
数据统计与概率专题・第一章数据的收集、整理和描述
（1）在被调查的学生中，最喜欢“运动”的学生人数为 人，最喜欢“娱乐”的学生人数占
被调查学生人数的百分比为%.
（2）本次调查的样本容量是,最喜欢“其他”的学生人数为—―人.
（3）若该校七年级共有360名学生，试估计最喜欢“阅读”的学生人数.
【解答】解：（1）从统计图表中，可得最喜欢“运动”的有20人，最喜欢“娱乐”的学生人数
占被调查学生人数的百分比为40%,
故答案为：20, 40；
（2） 40-40%=100 （人）,100x0.1=10 （人）,
故答案为：100, 10；
小标八 100-20-40-10 1八Q ,人、
（3） 360x---------------------= 108 （人），
100
答：该校七年级360名学生中最喜欢“阅读”的学生有108人.
【变式1】某校组织全校2000名学生进行了时事知识竞赛.为了解成绩的分布情况，随机抽取了
部分学生的成绩（得分取整数，满分为100分），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整）.
分组 50.5<x<60.5 60.5<x<70.5 70.5<x<80.5 80m<90.5 90.5<x<100.5 合计
频数 20 48 a 104 148 400
根据所给信息，回答下列问题：
（1）频数分布表中，a=；
（2）补全频数分布直方图； • .
（3）学校将对分数x在90.5勺＜100.5范围内的学生进行奖励，请你估算出全校获奖学生的人数.
619卷
初中数学题型方法全归纳
【变式2】2020年，某市中小学生约24万人，为了加强学生课外阅读习惯养成教育，为了推行中
小学生每天“课外阅读1小时“行动，市教育局先做了一个随机调查，调查内容是：每天阅读是否超
过1小时及阅读未超过1小时的原因.他们随机调查了 600名学生，用所得的数据制成了表格和频数
分布直方图.根据图表.请回答以下问题：
课外阅读时间 频率 频数
超过1小时的 40%
未超过1小时 360
(1) “没时间”的人数是 人，并补全频数分布直方图；
(2)按此调查，可以估计2020年全市中小学生每天阅读超过1小时的约有 万人；
(3)如果维持全市总中小学生数不变，计划2022年这个城市中小学生每天阅读未超过1小时的
人数要降低到9万人，求2020年至2022年阅读超过1小时人数年均增长的百分率.
丁人数
400 -
350-
300-
250 -
200 -
150- 120
0 不喜欢没时间其他 原因
620数据统计与概率专题・第一章 数据的收集、整理和描述
【变式3】“微信运动“被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了某市50名教师某日
微信运动中的步数情况并进行统计整理，绘制了如图的统计图表（不完整），请根据以上信息，解答
下列问题：
组别 步数（万步） 频数
第1组 0<x<0.4 8
第2组 0.4<x<0.8 15
第3组 0.8<x<1.2 12
第4组 1.2<x<1.6 10
第5组 1.6<x<2 3
第6组 2<x<2.4 a
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该市约有40000名教师，估计日行走步数超过1.2万步（包含1.2万步）的教师约有多少
名?
621海
初中数学题型方法全归纳
【变式4】八甲班进行了一次数学考试，将成绩绘制成了如下不完整的频数分布表和频数直方图:
(1)求频数分布表中。和6的值；
(2)将频数直方图补充完整；
(3)成绩不低于60分为及格，该班本次数学考试的及格率是多少？
成绩 频数(人数) 频率
50<x<60 5 0.1
60<x<70 10 0.2
70<x<80 20 0.4
80<x<90 a 0.2
90<x<100 5 b
622数据统计与概率专题・第二章数据分析
国题型方法1:求平均数
【题目特征】求一组数据的平均数.
【考查知识点】平均数的概念：
在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.
【解题方法】
为+ ' +—+
瑞的平均数为亍，则亍= …+ X"
1.若数据
Xl, X2 , X3 ,
n
2 .若数据为，X2, %3,…，x”的平均数为 则数据 xi + b, xi + b , X3 + b , • • • , + b 的平均
数为亍+ 6.
3 .若数据为，X2, %3, •••, %”的平均数为则了数， 据 qxi, axi, ax3,…，ax”的平均数为衣.
4 .若数据xi, X2, %3 , •••,居的平均数为亍，则 数据 a%+ b, axi + b , ax3 + b ,…，亚 + b 的
平均数为加+ 6.
例1：有一组数据：2, 5, 5, 6, 7,每个数据加1后的平均数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解答】解：数据：2, 5, 5, 6, 7中，每个数据加1后是：3, 6, 6, 7, 8,
则新数据的平均数是：，(3 + 6 + 6 + 7 + 8)=6.
故选：D.
例2：若数据xi, X2, X3, X4,的平均数为4,则数据xi + 2, X2-2 ,心+ 3,14-3, xs + 15
的平均数为.
【解答】解：一组数据 Xl, X2 , X3 , X4 , X5 的平均数是 4, W X(X1 + X2 + X3 + X4 + X5)= 4 ,
那么 X1 + 2, X2-2, X3 + 3 , X4-3 ,注+ 15的平均数为：
—x (xi + 2 + X2- 2 + X3 + 3 + X4- 3 + X5 + 15) = — x (xi + %2 + %3 + X4 + xs +15) — — x 35 = 7 .
故答案为：7.
【变式1】为了增强学生对新型冠状病毒的认识与防控能力，某学校组织了 “抗击疫情，我们在
行动”学生手抄报比赛活动.其中八年级五个班收集的作品数量(单位：幅)分别为：42, 48, 45,
46, 49,则这组数据的平均数是( )
A. 44 幅 B. 45 幅 C. 46 幅 D. 47 幅
【变式2】在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一
个最高分，平均分为%;去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为
z,则( )
623_______ 卷
初中数学题型方法全归纳
A. y>z>x B. x>z>y C. y>x>z D. z>y>x
【变式3】为了解湾塘村的经济情况，在150户村民中随机抽取20户，调查2019年收入情况,
结果如下（单位：万元）：
1.8, 2.2, 1.8, 1.0, 2.1, 2.6, 2.1, 1.3, 3.2, 0.9,
1.5, 2.1, 2.7, 1.6, 1.6, 1.4, 1.1, 2.4, 1.7, 1.3.
试估计这个村平均每户年收入、全村年收入及年收入达到2.0万元的户数.
【变式4】如果一组数据- 3, x, 0, 1, %, 6, 9, 5的平均数为5,贝卜为（ ）
A. 22 B. 11 C. 8 D. 5
【变式5］如果两组数据%2, 乂；以，"的平均数分别为画和歹，那么新的一
组数据 2xi + p , 2x2 + yi, 2xn + yn 的平均数是（ ）
C. 2x + y D.生立
A. 2x B. 2歹
2
【变式6】已知一组数据Qi , 42 , 43 , Q4 , 。 5 的平均数为5,则另一组数据。 1 + 5, （22-5 , Q3 + 5,
箱-5,原+ 5的平均数为（ )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
【变式7】
Xi , X2 , %10
的平均数为4,
Xu , X12 , X50
的平均数为6,则
Xl, X2 , X50
的
平均数为（ ）
7 a + b - 10a+ 506 「10。+ 406
A. a + b B. ------ C. D.------------
2 60 50
留题型方法2:求加权平均数
【题目特征】求一组数据的加权平均数.
【考查知识点】加权平均数的概念：
加权平均数：在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它
相应的权重后所求的和叫作这组数据的加权平均数.
【解题方法】
若数据X2, X3,…，乂对应的权重为口，P2,必，…，”，则这组数据的加权平均数
X=X\pi + X2P2 + + ... + Xnpn .
若数据Xl，X2 , X3 ,…，对应的权数为劭，0）2 , ◎,•••, （On ,则这组数据的加权平均数
_ X\（D\ + X2O）2 + X3（D3 + . . . + XnO）n
x=-------------------------------------.
劭 + ◎ + ◎ + ... + G"
624卷
数据统计与概率专题・第二章 数据分析
：
1
例 某超市销售同种品牌三种不同规格的盒装牛奶，它们的单价分别为10元、6元、5元，当
天销售情况如图所示，则当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为（ ）
A. 63元 B・7元 C. 73元 D. 8元
【解答】解：10x40%+ 6x30%+ 5x30%
=4+1.8+1.5
=7.3 （元）.
即当天销售该品牌盒装牛奶的平均价格为7.3元.
故选：C.
：
2
例 某居民小区10户家庭5月份的用水情况统计结果如表所示:
月用水量/ m3 4 5 6 8 9
户数 2 3 3 1 1
这10户家庭的月平均用水量是（ ）
A. 2m3 B. 3.2m3 C. 5.8m3 D. 6.4m3
【解答】解：这10户家庭的月平均用水量，x（4 2+5 3+6 3+8 1+9 1 >5.8 m3,
10
故选：C.
【变式1】某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%,
期中考试成绩占30%,期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95, 90, 85.则小
桐这学期的体育成绩是（ ）
A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5
【变式2】某城市2017年公务员录用考试是这样统计成绩的，综合成绩=笔试成绩x60% +面试成
绩x40%,小红姐姐的笔试成绩是82分，她的竞争对手的笔试成绩是88分，小红姐姐要使自己的综
合成绩追平竞争对手，则她的面试成绩必须比竞争对手多（ ）
A. 4.8 分 B. 6 分 C. 9 分 D. 12 分
【变式3】两位应聘者进行某公司一个英文翻译岗位，以下是两位应聘者的英语听、说、译、写
四方面水平测试成绩，公司决定在考虑整体水平的基础上，侧重对“听说能力”的考查，赋予了四方
面水平的权重，其中合理的是（ ）
面试 笔试 平均
应聘者
听 说 译 写 成绩
甲 97 90 94 87 92
乙 85 94 97 92 92
A. 0.2, 0.2, 0.3, 0.3 B. 0.25, 0.25, 0.25, 0.25
C. 0.3, 0.3, 0.2, 0.2 D. 0.5, 0.5, 0.0, 0.0
625
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■初中数学题型方法全归纳
【变式4】某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考
核打分，各项满分均为100,八年级2班这四项得分依次为80, 90, 84, 70.若按下表所占比例进行
折分，则该班四项折分后的综合得分为（ ）
项目 学习 卫生 纪律 活动参与
所占比例 40% 25% 25% 10%
A. 81.5 B. 82.5 C. 84 D. 86
【变式5】某商场招聘员工一名，现有甲、乙两人竞聘.通过计算机、语言和商品知识三项测试,
他们各自成绩（百分制）如下表所示：
应试者 计算机 语言 商品知识
甲 70 50 80
乙 50 60 85
（1）若商场需要招聘负责将商品拆装上架的人员，对计算机、语言和商品知识分别赋权2, 3, 5,
计算这两名应试者的平均成绩.从成绩看，应该录取谁？
（2）若商场需要招聘电脑收银员，计算机、语言、商品知识成绩分别占50%, 30%, 20%,计算
这两名应试者的平均成绩.从成绩看，应该录取谁？
【变式6】受疫情影响，某地无法按原计划正常开学，在延迟开学期间该地区组织了在线教学活
动.开学后，某校针对各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙两个班中推荐一个作
为在线教学先进班级，下表是这两个班的五项指标（10分制）的考评得分表（单位：分）：
班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度
甲班 10 10 6 10 7
乙班 10 8 8 9 8
如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五
项指标得分按照223:1:2的比例确定最终成绩，则应推荐哪个班为在线教学先进班级？
626春
公众号·全科A+数据统计与概率专题・第二章 数据分析
留题型方法3：求中位数和众数
【题目特征】求一组数据的中位数和众数.
【考查知识点】中位数和众数的概念：
1 .中位数：将一组数据按照大小顺序排列，若数据的个数是奇数，则处于最中间位置的那个数据
就是该组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则处于最中间位置的两个数据的平均数就是该组数据
的中位数.一组数据的中位数是唯一的.
2 .众数：一般地，一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数.
例：某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115, 138,
126, 143, 134, 126, 157, 118.这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 126, 126 B. 126, 130 C. 130, 134 D. 118, 134
【解答】解：将这组数据重新排列为115, 118, 126, 126, 134, 138, 143, 157,
所以这组数据的众数为126,中位数为！26M34 =130,
2
故选：B.
【变式1】永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学
连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
体温（。0 36.2 36.2 36.5 36.3 36.2 36.4 36.3
A. 36.3 和 36.2 B. 36.2 和 36.3 C. 36.2 和 36.2 D. 36.2 和 36.1
【变式2】男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：根据表中信息可以判断这些运动员成绩的中
位数为.
(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
【变式3】长沙市某中学为积极响应“书香长沙，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养
成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了 51名学生平均每天的阅读时间，统计结果如表所示，则在本
次调查中，学生阅读时间的中位数是.
时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5
人数（人） 12 22 10 4 3
【变式4】已知一组数据4, 3, 2, m, 〃的众数为3,平均数为2,则次的值可能为,对应
的〃值为，该组数据的中位数是.
【变式5】若有一组数据：1, 2, 4, 8, a,其中整数 是这组数据的中位数，则这组数据的平均
q
数不可能是（ ）
A. 3.4 B. 3.6 C. 3.8 D. 4
627初中数学题型方法全归纳
留题型方法4：从扇形统计图分析数据
【题目特征】已知扇形统计图，通过扇形统计图获取信息.
【解题方法】扇形统计图的特点：
1.每一部分的百分比表示这一部分占总体的比例；
2.所有的百分比加起来和为1.
例：下图是某种学生快餐（共400g）营养成分扇形统计图，已知其中表示脂肪的扇形的圆心角
为36。，维生素和矿物质含量占脂肪的一半，蛋白质含量比碳水化合物多40g.有关这份快餐，下列
说法正确的是（ ）
某种学生快餐（400g）
A.表示维生素和矿物质的扇形的圆心角为20。 营养成分统计图
B.脂肪有44g,含量超过10%
C.表示碳水化合物的扇形的圆心角为135°
D.蛋白质的含量为维生素和矿物质的9倍
【解答】解：・・,脂肪的扇形的圆心角为36。，
维生素和矿物质含量占脂肪的一半，
・ ••维生素和矿物质含量所对应扇形的圆心角为18°,
因It 口选项不符合题意；
・ ・,脂肪的扇形的圆心角为36。，占整体的至=10%, 400xl0%=40克，
360
・ ・・5选项不符合题意，
V400x （1 - 10%-5%） =340g,蛋白质含量比碳水化合物多40g,
・ ・・蛋白质190g,碳水化合物为150g,
・ ••碳水化合物对应圆心角为360耿史.=135。，
400
因此。选项符合题意，
维生素和矿物质的含量为400x5%=20g,蛋白质190g, 9倍多，
因此。选项不符合题意.
故选：C.
【变式1】如图是某学校高中两个班的学生上学时步行、骑车、乘公交、乘私家车人数的扇形统
计图，已知乘公交人数是乘私家车人数的2倍,若步行人数是18人，则下列结论正确的是（ ）
A.被调查的学生人数为90人 B.乘私家车的学生人数为9人
C.乘公交车的学生人数为20人 D.骑车的学生人数为16人
628祢
数据统计与概率专题・第二章 数据分析
—S1—
【变式2】下面两个统计图反映的是甲、乙两所学校三个年级的学生在各校学生总人数中的占比
情况，下列说法错误的是（ ）
甲校 乙校
A.甲校中七年级学生和八年级学生人数一样多
B.乙校中七年级学生人数最多
C.乙校中八年级学生比九年级学生人数少
D.甲、乙两校的九年级学生人数一样多
【变式3】根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》 中的相关数据制成扇形统计图，由图可知,
下列说法错误的是（ ）
2小时以上
A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比
B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%
C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%
D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°
留题型方法5：从条形统计图分析数据
【题目特征】已知条形统计图，通过条形统计图获取信息.
【解题方法】条形统计图的特点：
1.每一条柱对应的是某群体的具体数量；
2.所有条柱数量加起来对应的是样本总量.
例：根据条形统计图，下面说法正确的是（ ）
629_______ 娄
初中数学题型方法全归纳
A.步行人数为50人
B.步行与骑自行车的人数和比坐公共汽车的人要少
C.坐公共汽车的人占总数的50%
D.骑自行车的人数最少只有90人
【解答】解：4、从图中可以发现：步行人数是60人；
B、步行与骑自行车的人数和与坐公共汽车的人相等，都是150人;
C、坐公共汽车的人数占总数的150-（60 + 90+ 150）=50%；
D、骑自行车的人数是90人.
故选：C.
【变式1】如图是甲，乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则（ ）
A.甲的平均成绩比乙好 B.乙的平均成绩比甲好
C.甲、乙两人的平均成绩一样 D.无法确定谁的平均成绩好
【变式2】博物馆作为征集、典藏、陈列和研究代表自然和人类文化遗产实物的场所，其存在的
目的是为众提供知识、教育及欣赏服务.近年来，人们到博物馆学习参观的热情越来越高，2012-2018
年我国博物馆参观人数统计如下：
小明研究了这个统计图，得出四个结论：
①2012年到2018年，我国博物馆参观人数持续增；
②2019年末我国博物馆参观人数估计将达到1082亿人次；
③2012年到2018年，我国博物馆参观人数年增幅最大的是2017年；
@2016年到2018年，我国博物馆参观人数平均年增长率超过10%.
其中正确的是（ ）
A.①③ B.①②③ C.①②④ D.①②
630数据统计与概率专题-第二章 数据分析
【变式3】甲，乙，丙三种作物，分别在山脚，山腰和山顶三个试验田进行试验，每个试验田播
种二十粒种子，农业专家将每个试验田成活的种子个数统计如条形统计图，如图所示，下面有四个推
断：
①甲种作物受环境影响最小；
②乙种作物平均成活率最高；
③丙种作物最适合播种在山腰；
④如果每种作物只能在一个地方播种，那么山脚，山腰和山顶分别播种甲，乙，丙三种作物能使
得成活率最高.
、 其中合理的是 )
□
山
□
山
B
山
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
留题型方法6：从折线统计图分析数据
【题目特征】已知折线统计图，通过折线统计图获取信息.
【解题方法】折线统计图的特点：
1 .点的纵坐标代表具体数量；
2 .折线向上代表上升，向下代表下降；
3 .折线向上时，越陡代表上升的越多；
折线向下时，越陡代表下降的越多.
例：如图，王老师将某班近三个月跳跃类项目的训练情况做了统计，并绘制了折线统计图，则根
据图中信息，以下判断错误的是（ ）
2
9.
9.
8..0
8..8
8..46
8. 2
8
1--------------------------------->
0 4月 5月 6月月份
A.男女生5月份的平均成绩一样
B. 4月到6月，女生平均成绩一直在进步
C. 4月到5月，女生平均成绩的增长率约为8.5%
D. 5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快
631_______ 壹
初中数学题型方法全归纳
【解答】解：4、男女生5月份的平均成绩一样，都是8.9,此选项正确，不符合题意；
B、4月到6月，女生平均成绩依次为8.8、8.9、9.2,其平均成绩一直在进步，此选项正确，不
符合题意；
。、4月到5月，女生平均成绩的增长率为生策*100%句.14%,此选项错误，符合题意；
8.8
。、5月到6月女生平均成绩比4月到5月的平均成绩增长快，此选项正确，不符合题意.
故选：C.
【变式1】太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染
的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能.如图是2013-2017年我国光伏发电装机容量统
计图.根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（ ）
2013-2017年我国光伏发电装机容量统计图
累计装机容量
新增装机容量
A.截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦
B. 2017年我国光伏发电新装机容量占当年累计装机容量的50%
C. 2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦
D. 2013-2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加
【变式2】甲、乙两家公司在去年1-8月份期间的盈利情况，统计图如图所示，下列结论不正确
的是（
A.
B. 乙公司的盈利在1-4月间上升
C. 在8月，两家公司获得相同的盈利
D. 乙公司在9月份的盈利一定比甲的多
632数据统计与概率专题-第二章 数据分析
【变式3】如图是甲、 )
A.甲超市5月份的利润为30万元 B.甲超市的利润呈下降趋势
C.乙超市4月份的利润最大 D.乙超市9月份的利润将超过甲超市
留题型方法7：求极差
【题目特征】求一组数据的极差.
【考查知识点】极差的概念：
一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的数据叫作极差.
一般来说，极差越小则说明数据的波动幅度越小.
【解题方法】用一组数据中的最大值减去最小值即为这组数据的极差.
例：一组数据：1, 5, -2, 0, - 1的极差是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解答】解：数据：L 5, -2, 0, —1的极差是：5-（-2）=7.
故选：C.
【变式1】赣榆一月份某日的最高气温是8。。，最低气温是-1。。，这天气温的极差是（ ）
A. -7°C B. 7°C C. -9°C D. 9°C
【变式2】数据-1、0、3、5、x的极差为7,那么x等于（ ）
A. 6 B. -2 C. 6或-2 D.不能确定
【变式3】一组数据4, 5, 6, x的极差是5,则k.
【变式4】学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我阜宁，唱我阜宁”的歌咏比赛，共有18
名同学入围，他们的决赛成绩如表：
成绩（分） 9.40 9.50 9.60 9.70 9.80 9.90
人数 2 3 5 4 3 1
则入围同学决赛成绩的极差是（ ）
A. 0.5 B. 9.60 C. 9.40 D. 9.90
633初中数学题型方法全归纳
国题型方法8：求方差、标准差
【题目特征】求方差、标准差.
【考查知识点】方差、标准差的概念：
1 .方差：各个数据与它们的平均数的差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作S?.
2 .标准差：方差的算术平方根叫作一组数据的标准差，记作S.
【解题方法】
1 .设一组数据为，X2, 元的平均数为是9则:
方差 §2 =lx[(Xl-X)2+(X2-X)2+... + (Xn-X)2]；
n
标准差.
2 .一组数据xi, X2,居的方差为S2,标准差为s,则另一组数据如+ 6, axi + b, axn + b
的方差为/S2,标准差为数.
例1： 一组数据1, 2, 1, 4, 2的方差为( )
A. 1 B. 1.2 C. 1.5 D. 1.6
【解答】解：这组数据1, 2, 1, 4, 2的平均数是：(1+2+1+4 + 2户5=2,
则数据1, 2, 1, 4, 2的方差：
S2 = -x[(1-2)2 +(2-2y +(1 -2)2 +(4-2)2 +(2-2y封.2 .
5
故选：B.
例2：已知一组数据为, %2, ..., X.，其标准差为Si,另有一组数据y, yi, yn,其中%=6乂
网
+ 5 (A=l, 2,〃),其标准差是S2,则正确的是( )
A. 52=6Si + 5 B. 52=6Si C. Sk Si D. S2=^Si + 5
【解答】解：•・•数据为，%2," 其标准差为Si,数据"，/,…，％,其中/=6乂+5
(人1, 2, n),其标准差是S2，
・••第二组数据的标准差是第一组数据的6倍，
•** S2=6Si 9
故选：B.
【变式1】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为
( )
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
【变式2】一组数据：1, 3, 2, 5, X的平均数是3,则这组数据的标准差为( )
A. 2 B. 4 C. V2 D. -2
634海
数据统计与概率专题・第二章 数据分析
【变式3】已知一组数据为，x2,心平均数为2,方差为3,那么另一组数2为-1, 2x2-l, 2%3-1
的平均数和方差分别是（ ）
A. 2, - B. 3, 3 C. 3, 12 D. 3, 4
3
【变式4】若一组数据⑶，濠，……,扇的平均数为10,方差为4,那么数据2⑦+ 3, 2a2 + 3,...,
2飙+ 3的平均数和方差分别是（ ）
A. 13, 4 B. 23, 8 C. 23, 16 D. 23, 19
【变式5】若一组数据1, 1, x, 3, 3的平均数为x,则这组数据的方差是（ ）
A. 4 B. - C.拽 D. 2
5 5
【变式6】若一组数据项+1, %2+1, 乂+1的平均数为17,方差为2,则另一组数据m+2,
陋+2,…，居+2的平均数和方差分别为（ ）
A. 17, 2 B. 18, 2 C. 17, 3 D. 18, 3
【变式7］设S是数据为，血，…，x 〃的标准差，Si是为―2.5,乱—2.5,…居—2.5的标准差，
则有（ ）
A. S=S2 B. 5i=S-2.5
C. Si=（S -2.5> D. 5i= VS-2.5
留题型方法9：方差的意义
【题目特征】对两组数据进行比较，确定出波动较小的一组数据.
【考查知识点】方差的意义：
方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，方差越小越稳定.
例：某蔬菜基地从种植的甲、乙、丙、丁四个品种的蔬菜中各采摘了 50棵，每棵产量的平均数亍
（单位：千克）及方差S2 （单位：千克
2）
如下表所示：
甲 乙 丙 T
X 1.2 2 2 1.8
S2 1.7 1.8 2.1 1.9
这四个蔬菜品种中，既高产又稳定的品种是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. T
【解答】解：・・・12VL8V2=2,
・•・从产量的平均数看，乙、丙两个品种的平均产量较高，
V1.8<2.1,
635海
初中数学题型方法全归纳
-X.
・・・乙丙两品种，乙产量比较稳定.
综上，乙品种高产又稳定.
故选：B.
1
【变式 】甲，乙，丙，丁四名同学在学校演讲选拔赛的成绩平均数亍与方差S2如下表所示:
甲 乙 丙 T
平均数亍 8.0 8.0 8.5 8.5
方差U 3.5 15.5 3.5 16.5
根据表中数据，要从中选一名成绩好又发挥稳定的同学参加市演讲比赛，应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. 丁
【变式2】甲、乙、丙、丁四位选手各进行了 10次射击，射击成绩的平均数和方差如下表：
选手 甲 乙 丙 T
平均数（环） 9.0 9.0 9.0 9.0
方差 0.25 1.00 2.50 3.00
则成绩发挥最不稳定的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. T
3
【变式 】某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名学生参加数学竞赛，对这四名学生进行
了 10次数学测试，经过数据分析4人的平均成绩均为95分，S 2=0.028, S/=0.06, =0.015,
甲
S 丁2 =0.32.则应该选择（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D. T
【变式4 12名同学分成甲、乙两队参加广播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身
】
高（单位：cm）如表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 队员6
甲队 176 175 174 172 175 178
乙队 170 176 173 174 180 177
设这两队队员平均数依次为小、身高的方差依次为S
甲2
、邑
2,
则下列关系中，完全正确的
是（ ）
A. 其>豆，S 甲2>S乙2 B. &，S 甲2<S乙2
C.q=队，S 甲2>S乙2 D.弟=私，S 甲2Vs乙2
636数据统计与概率专题・第二章 数据分析
留题型方法10：平均数、中位数、众数、方差的命题判断
【题目特征】对数据的平均数、中位数、众数、方差进行判断.
【解题方法】
平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏,
反映了更多数据的信息.
缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.
中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数
的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.
缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.
众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数
值出现的次数最多.
缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.
例：甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是
( )
A.甲的成绩比乙稳定 B.甲的最好成绩比乙高
C.甲的成绩的平均数比乙大 D.甲的成绩的中位数比乙大
【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9,
则其中位数为8,平均数为8,方差为!乂[(7-8)2 + 3乂(8-8)2 + (9-8)2] = 0.4；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10,
则其中位数为8,平均数为8,
方差为:x[(6-8y+(7 —8y+3x(8 —8y+(9 —8y+(10 —8y] = 2
・・・甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低,
故选：A.
637海
初中数学题型方法全归纳
【变式1】某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同
学的“单手运球”项目进行了 5次测试，测试成绩（单位：分）如图所示：根据图判断正确的是（ ）
“单手运球的测试成绩统计表
木成绩（分）
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
第1次 第2次 第3次 第4次第父彦次数（次）
A.甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分
B.甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数
C.甲成绩的众数高于乙成绩的众数
D.甲成绩的方差低于乙成绩的方差
【变式2】甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成
绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）
参加人数 平均数 中位数 方差
甲 45 94 93 5.3
乙 45 94 95 4.8
A.甲、乙两班的平均水平相同 B.甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C.甲班的成绩比乙班的成绩稳定 D.甲班成绩优异的人数比乙班多
【变式3】为了了解某班学生每天使用零花钱的情况，班主任随机调查了 15名同学，调查的结果如
下表：对于表中数据，下列说法正确的是（ ）
人数 1 3 5 4 2
每天零花钱（元） 0 1 3 4 5
A.众数是5元 B.平均数是2.5元
C.方差是4 D.中位数是3元
638数据统计与概率专题-第三章 概率初步
留题型方法1:判断必然事件
【题目特征】判断必然事件.
【考查知识点】必然事件的概念：
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.
例：下列事件中是必然事件的是（ ）
A.明年一共有367天
B.旋转后的图形与原图形全等
C.随机抛掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上
D. 是负数
【解答】解：A.明年一共有367天，是不可能的事，所以是不可能事件；
8、旋转后的图形与原图形必然是全等的，是必然事件；
。、随机抛掷一枚质地均匀的硬币落地后有可能正面朝上，也有可能背面朝上，所以是随机事件;
。、有可能是负数，也有可能是正数，也有可能是0,所以是随机事件.
故选：B.
【变式1】下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A.任意数的绝对值都是正数
B.两直线被第三条直线所截，同位角相等
C.如果〃、b都是实数，那么。+ 6=6+ 〃
D.抛掷1个均匀的骰子，出现6点朝上
【变式2】一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，
从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（ ）
A.摸出的三个球中至少有一个黑球 B.摸出的三个球中至少有一个白球
C.摸出的三个球中至少有两个黑球 D.摸出的三个球中至少有两个白球
【变式3】下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ）
A.画蛇添足 B.纸上谈兵 C.狐假虎威 D.瓮中捉鳖
留题型方法2：判断随机事件
【题目特征】判断随机事件.
【考查知识点】随机事件的概念：
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件.
639初中数学题型方法全归纳
例：下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A.投掷骰子两次的点数之和为13
B.在装有1个白球和99个黑球的袋中摸出白球
C.任意五边形的外角和为180。
D. 13人中至少有2人的生日在同一个月
【解答】解：/、投掷骰子两次的点数之和为13是不可能事件；
8、在装有1个白球和99个黑球的袋中摸出白球是随机事件；
C、任意五边形的外角和为180。是不可能事件；
。、13人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件.
故选：B.
【变式1】下列事件中，是随机事件的是（ ）
A.任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播
B.三角形任意两边之和大于第三边
C. q是实数，|牵0
D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
【变式2】下列事件属于随机事件的是（ ）
A.将一个圆分成九等份，顺次连接各分点得到一个正〃边形
B.将△ZC5绕点。旋转50。得这两个三角形全等
C.任意写出一个二次函数，它的图象与x轴有交点
D.若a为实数，则/vo
【变式3】下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ）
A.守株待兔 B.水中捞月 C.瓮中捉鳖 D.拔苗助长
留题型方法3：判断不可能事件
【题目特征】判断不可能事件.
【考查知识点】不可能事件的概念：
在一定条件下，很多事情我们事先能够确定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件.
例：下列事件中是不可能事件的是（ ）
A.降雨时水位上升 B.度量三角形的内角和，结果是360。
C.打开电视，正在播广告 D.体育运动中肌肉拉伤
【解答】解：4、降雨时水位上升，是必然事件，故此选项错误；
B、度量三角形的内角和，结果是360。，是不可能事件，正确；
。、打开电视，正在播广告，是随机事件，故此选项错误；
。、体育运动中肌肉拉伤，是随机事件，故此选项错误.
故选：B.
640数据统计与概率专题-第三章 概率初步
1
【变式 】下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A. 一只不透明的袋子中有2个红球和1个白球，从中摸出1个球，该球是黄球
B.明天某地区早晨有雾
C.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是6
D.明天见到的第一辆公交车的牌照的末位数将是偶数
2
【变式 】下列成语所描述的事件为不可能事件的是（ ）
A.水到渠成 B.空中楼阁 C.木已成舟 D.日行千里
3
【变式 】下列事件中：①刻舟求剑②竹篮子打水③水中捞月④瓮中捉鳖⑤滴水成冰⑥拔苗助长
⑦守株待兔，其中不可能事件有（ ）个.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
留题型方法4:判断事件发生可能性的大小
【题目特征】判断事件发生可能性的大小.
【考查知识点】
1.不可能事件发生的可能性为0；
2.随机事件发生的可能性在0〜1之间；
3.必然事件发生的可能性为1；
4.可能性等于所求情况数与总情况数之比.
例：一个布袋中有10个球，其中6个红球、4个黑球，每个球除颜色不同外其余均相同、现在
甲、乙进行摸球游戏，从中随机模出一球，摸到红球，乙胜；摸到黑球，甲胜，则下列说法你认为正
确的是（ ）
A.甲获胜的可能性大 B.乙获胜的可能性大
C.甲、乙获胜的可能性相等 D.以上说法都不对
【解答】解：・.・6>4,
・••摸到红球的可能性大，
・•・乙获胜的可能性大.
故选：B.
1
【变式 】如图的四个转盘中，转盘3, 4被分成8等分，若让转盘自由转动一次停止后，指针落
在阴影区域内可能性从大到小排列为（ ）
A.①②④③
641卷
初中数学题型方法全归纳
【变式2】估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1
个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是
闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会
落下.将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（ ）
A.①②③④⑤ B.⑤④③②① C.⑤④②③① D.④⑤③②①
【变式3】丹丹想用12个除颜色外其他都一样的球设计一个摸球游戏，下面是她设计的四种方案,
其中不能实现的是（ ）
A.摸到白球的可能性是工，摸到红球的可能性也是！
2 2
B.摸到红、白、黑球的可能性都是,
3
1 1 1
C.摸到黑球的可能性是上，摸到白球的可能性是上，摸到红球的可能性是上
2 3 6
2 1
D.摸到红球的可能性是摸到白球、黑球的可能性各是:
国题型方法5：概率的意义
【题目特征】指出概率代表的意义.
【考查知识点】概率的意义：概率代表了某事件发生的可能性的大小.
一般，大于50%,我们说这个事件发生的概率比较大；
小于50%,我们说这个事件发生的概率比较小.
随机事件是否发生跟实验的次数没有关系.
例：明天降水的概率为0.85,则说明（ ）
A.明天一定会下雨 B.明天下雨的可能性很大
C.明天有85%的时间在下雨 D.明天下雨和不下雨的可能性差不多大
【解答】解：明天降水的概率为0.85,则说明明天下雨的可能性很大.
故选：B.
【变式1】以下说法合理的是（ ）
A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B.抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6的概率是」的意思是每6次就有1次掷得6
6
C.某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D.在一次课堂进行的抛掷硬币试验中，某同学估计硬币落地后，正面朝上的概率为工
2
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
B. 一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000次，其中掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛
掷出5点
C.天气预报说明天下雨的概率是50%,所以明天有一半的时间在下雨
D.某种彩票的中奖的概率是1%,因此买100张彩票一定会中奖
642数据统计与概率专题・第三章 概率初步
【变式3】关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（ ）
①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为表示每抛两次就有一次正面朝上；
2
③“抛一枚硬币正面朝上的概率为!”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发
2
生的频率稳定在!附近；
2
④“某彩票中奖的概率是1%”表示买100张该种彩票不可能中奖.
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
留题型方法6：求随机事件的概率
【题目特征】求随机事件的概率.
【解题方法】
1 .列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有
可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率.
2 .树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
树形图法来求出某事件的概率.树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，
像树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果.
例1：在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1, 2, 3, 4, 5,
这些小球除数字不同外其他均相同.从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为
（ ）
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:
球
1 2 3 4 5
第2球
1 (2,1) (31) （4」） (5/)
2 (1,2) (3,2) (4,2) (5,2)
3 (1,3) (2,3) (4,3) (5,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (5,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
共有20种等可能出现的结果情况，其中两球上的数字都是奇数的有6种，
所以从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为£=3，
20 10
故选：C.
643海
例2：某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等.某天甲、乙两位乘客
同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ）
【解答】解：把3节车厢分别记为/、B、C,
画树状图如图：
甲 A B
/N /N
乙 ABCABCABC
共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，
3 1
・・・甲和乙从同一节车厢上车的概率为士,，
9 3
故选：C.
【变式1】学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两
人恰好是一男一女的概率是（ ）
【变式2】2021年我市继续推行初中学业水平考试改革，为了解各校九年级学生复习备考情况，
市教育局准备对各校进行一次实地调研活动，调研的对象初步确定从4校、5校、C校、。校、E校中随
机抽签选取.
（1）若这次调研准备选取一所学校，则恰好抽到Z校的概率是.
（2）若这次调研准备选取两所学校，请用列表或画树状图的方法表示出所有可能，并求出所选取
的两校恰好是4校和5校的概率.
【变式3】工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是
男工人的概率为（ ）
644春_________
数据统计与概率专题・第三章 概率初步
【变式4】不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别.
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球.求两次摸出的球都是红球的概
率.
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇
匀，再随机摸出1个球.两次摸出的球都是白球的概率是 .
【变式5】为纪念并缅怀当今神农袁隆平为解决人类温饱问题所建立的丰功伟绩，扎实推进“光
盘行动”，某校八年级举办“缅怀伟人，拒绝浪费，从我做起”的学生演讲比赛，八（1）班准备从
小怡、小宏、小童、小灿4名同学之中选择两名参加比赛，选择方案如下：制作4张完全相同的卡片，
正面分别写上这4名同学的姓名，将卡片反面朝上洗匀，张老师从4张卡片中随机抽取1张卡片不放
回，再抽取一张，卡片正面是谁的名字，谁就代表班级参加比赛.（注：可以用4、5、C、。分别表
示小怡、小宏、小童、小灿的名字）
（1）用树状图或列表法列出所有等可能结果；
（2）求小怡和小宏同时被选中的概率.
【变式6】第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球.这些球除颜色外无
其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的
概率.
645初中数学题型方法全归纳
留题型方法7：已知概率反求实验数据
【题目特征】已知概率反求实验数据.
【解题方法】设未知数，根据概率的求解方法列方程，通过解方程求出实验数据.
事件A可能出现的结果数
随机事件/的概率尸（Z） =
所有可能出现的结果数
例：在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球.已知袋
中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是工，则袋中黑球的个数为（ ）
10
A. 27 B. 23 C. 22 D. 18
【解答】解：设袋中黑球的个数为x,
根据题意得一--,解得x = 22,
5 + 23 + x 10
即袋中黑球的个数为22个.
故选：C.
【变式1】不透明袋子中装有若干个红球和6个篮球，这些球除了颜色外，没有其他差别，从袋
子中随机摸出一个球，摸出篮球的概率是0.6,则袋子中有红球（ ）
A. 4 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个
【变式2】在一个不透明的袋中有4个白球和〃个黄球，它们除颜色外其余均相同.若从中随机摸
出一个球，摸到黄球的概率为士，贝心二（ ）
5
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【变式3】一个不透明盒子里装有Q只白球、b只黑球、。只红球， 这些球仅颜色不同.从中随机摸
出一只球，若P（摸出白球）=g,则下列结论正确的是（ ）
A. a= 1 B. 。= 3 C. a = b = c D. a= — (Z? + c)
留题型方法8：几何概型
【题目特征】求几何概型的概率.
【考查知识点】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，贝广
称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.
几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出
现的可能性相等.
【解题方法】
用婆吗丫曹臂出
随机事件4的概率尸（4）= .（常用的几何度量值有长度、面积、体积）
样本空间的几何度量值
646祢
数据统计与概率专题・第三章 概率初步
例：如图，在一不规则区域内，有一边长为3百米的正方形，向区域内随机地撒4000颗黄豆，
数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有1350颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图
形的面积.
（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率;
（2）请你估计出该不规则图形的面积.
【解答】解：（1）记“黄豆落在正方形区域内”为事件4
1350 27
・•・尸⑷:
4000 80
答：黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率为二;
80
•・•正方形面积等于27,
・•・不规则图形面积为80平方米.
【变式1】如图所示的正三角形区域内投针（区域中每个小正三角形除颜色外完全相同），针随
机落在某个正三角形内（边线忽略不计）
（1）投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
（2）要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为工，还要涂黑几个小正三角形？请在图中画
2
【变式2】（1）如图所示是一条线段，45的长为10厘米，的长为2厘米，假设可以随意在这
条线段上取一点，求这个点取在线段上的概率.
（2）如图是一个木制圆盘，图中两同心圆，其中大圆直径为20c加，小圆的直径为10c加，一只小
鸟自由自在地在空中飞行，求小鸟停在小圆内（阴影部分）的概率是.
647初中数学题型方法全归纳
【变式3】有一类随机事件概率的计算方法：设试验结果落在某个区域S中的每一点的机会均等，
用4表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件4发生的概率尸（4）= 嘤萼.有一
S的面积
块边长为30c加的正方形飞镖游戏板，假设飞镖投在游戏板上的每一点的机会均等.求下列事件
发生的概率：
（1）在飞镖游戏板上画有半径为5c加的一个圆（如图1）,求飞镖落在圆内的概率；
（2）飞镖在游戏板上的落点记为点。，求为钝角三角形的概率.
国题型方法9：频率估计概率
【题目特征】利用频率估计概率.
【考查知识点】概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事
件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，
也是经常发生的.
例：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外其余完全相同.王
颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述
过程，如表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数〃 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数冽 65 124 178 302 480 600 1800
摸到白球的频率上
0.65 0.62 0.593 0.604 0.6 0.6 0.6
n
（1）请估计：当几很大时，摸到白球的频率将会接近；（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
【解答】解：（1）・・・摸到白球的频率约为0.6,
・・・当甯艮大时，摸到白球的频率将会接近0.6；
（2） •・・摸到白球的频率为0.6,
・,•若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6；
（3）黑白球共有50只，
白球为：50x0.6=30 （只），
黑球为：50-30=20 （只）.
答：盒子里黑颜色的球有20只，盒子白颜色的球有30只.
故答案为：0.6； 0.6.
648称
数据统计与概率专题・第三章 概率初步
1
【变式 】在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，
她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下
表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数〃 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数加 63 124 178 302 488 600 1800
摸到白球的频率或
0.63 0.62 0.593 0.604 0.61
n
(1)完成上表；
(2)若从盒子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率尸=；(结果保留小数点后一位)
(3)估算这个不透明的盒子里白球有多少个？
【变式2】在硬地上抛掷一枚图钉，通常会出现两种情况:
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据：
抛掷次数〃 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
针尖不着地的频数加 63 120 186 252 310 360 434 488 549 610
针尖不着地的频率或
0.63 0.60 0.63 0.60 0.62 0.61 0.61
n
(1)填写表中的空格；
(2)画出该实验中，抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图;
(3)根据“抛掷图钉实验”的结果，估计“钉尖着地”的概率为
649_______ 菱
初中数学题型方法全归纳
【变式3】如图，地面上有一个不规则的封闭图形Z5C。，为求得它的面积，小明在此封闭图形内
画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），
记录如下：
掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300
小石子落在圆内（含圆上）的次数比 20 59 123
小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数〃 29 91 176
（1）当投掷的次数很大时，则加:〃的值越来越接近;（结果精确到0.1）
（2）若以小石子所落的有效区域为总数（即冽+ 〃）,则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含
圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）；
（3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形/8CQ的面积是多少平方米？（结果保留
7T）
DJ^
B
650做一题 学一法
•
会一类 通一片
•
需忑初中数学题型方法全归纳
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