文档文本内容
专题 四则运算律和性质
模块二 数的运算 329 1
= 11- 7
4 11
= 类型一 加减法的运算律和性质
专题 四则混合运算 7. 解:原式 1 16 1 175 4 4 2×3×6
6
=
80
×
5
+
7
×
2
×
15
×
15
+4-4
120 1. 解:原式 =1+(22+8)+(333+77)+(4444+666)+5555+1
类型一 直接计算
=
1
+
8
=
11
=1+30+410+5110+5555+1
1. 解:原式 . . . . 25 9 2×3×6
=(3 2+0 75-3 2)+1 8 =11107
. . 209 120 1
=0 . 75+1 8 = 225 = 11 × 2×3×6 2. 解:原式 =(8 3 +16 1 +1 1 -3 1 )-(5 4 +6 7 )
=2 55 8. 解:原式 2 8 19 4 4 4 4 11 11
=1 ×1 + 10
2. 解:原式 . . 7 . 6 9 33 27 = =23-12
=(6 4-5 2)× +3 3× 33
6 11 11 41 19 =11
= × + 128 3 125 198 26
. 7 . 9 33 27 ( - )÷ + ×
=1 2× +1 8 12. 解:原式 45 45 9 65 99 19 8 44 10
=3 . 2 6 = 2 4 7 1 + 2 1 7 9 = ( 3 2 7 - 1 9 24 )× 8 1 5 3. 解:原式 = (10 . 68+ 4 4 . × 3 1 2 9 ) + -( 3 0 × . 1 3 1 6+1 . 64)
3. 解:原式 =( 5 4 + 1 3 2 5 × 1 7 6 )× 1 4 5 = 2 9 0 125 × 9 + 198 × 26 2+ 4 3 0
45 125 65 99 =
5 20 4 15 × 13 +3× 3 = 85 1 13
=( + )× 9. 解:原式 4 10 8 ×
4 3 15 =2012× 18 85 46
25×20+3 =
95 4 39
= 12 × 15 39 + 9 5 1 + 5 4 4. 解:原式 13 . 11 .
8 8 = =17-( -2 5+ )÷0 125
19 =2012× 1 6 6
= 503
9 6 18 =17-1 . 5÷0 . 125
4. 解:原式 . 18 . 4 1 =2012×
=(3 85× +27 675)× -1 503 =18 =17-12
5 13 13
=24 1 1 1 =5
. . 4 1 类型二 繁分数(多层分数线叠加) (- ) (-4 )+4+
=(13 86+27 675)× 13 -1 13 13. 解:原式 = (-5 6 1) + 4 2 2023 4 5. 解:原式 =(4036 2 3 -2017 2 3 )-(2018 5 6 +1 1 6 )
. 4 1 10. 解:原式 1
=41 535× -1 =
13 13 1+ 1 (- 1 ) =2019-2020
= 8307 - 700 2+ 1 1 3 = (-5 6 1) + 2 2 0 023 =-1
650 650 6. 解:原式 8 1 5 3
4 =13 -3 -2 -
7607 1 1 11 4 11 4
= 650 = 1 = 6 × 51 8 5 1 3
1 =13 -2 -(3 + )
5. 解:原式 . 24 5 19 1+ 1 11 11 4 4
=[16-(2 7+ × )× ]×8 4 =
25 16 12 2+ 306
13 3
类型三 列式计算 =11 -4
=[16-(2 . 7+0 . 3)× 19 ]×8
=
1 11
12
1 3
1+ 14. 【解析】 1 =7
=(16- 19 )×8 30 9 66÷(7+ )=9。 11
3
4 13 类型二 乘除法的运算律和性质
15. 【解析】 % %
19 1 100 35÷(60 -25 )=100。
=16×8- ×8 = 7. 解:原式 .
4
1+
13
16. 解: % 4
=18×(4×0 25)
=128-38 30 (120×20 +24)÷ 5 =60。 =18×1
1 答 这个数是
=90 = : 60。 =18
43 8. 解:原式
6. 解:原式 7 3 13 4 3 3 类型四 使算式成立 =(241÷241)×(690÷345)×(678÷339)
= × + ×[12×( - )- ] 30
2 4 2 3 10 20
30 17. 答案不唯一
=1×2×2
21 13 31 3 = 2×7+1+9=24( )
= 8 + 2 ×(12× 30 - 20 ) 43 3 2 1 18. 407 【解析】得数最大的添法为 1+2×(3+4×5+6)×7 9. 解:原式 = = 4 1 . 25×8×4×2 . 5
+ +
= 21 + 13 × 49 11 - 6 6 6 =407。 =(1 . 25×8)×(4×2 . 5)
8 2 4
3 2 1 11 19.
21 637 11. 解:原式 6
+
6
+
6
(1)6×(24÷3-5)+12=30 (2)(9+4)×(14+63)÷7=143 =10×10
= + = 20. 答案不唯一
8 8 2×3×6 12+3+4+56+7+8+9=99( ) =100
110. 解:原式 . . 3 =1+6500+6600 =83×10-34×17 2. 解:原式 522×523+522×1 (526+1)×523+3
=0 25×4×8×4×0 125× =522÷ +526÷
4 =13101 =252 523 523
=(0 . 25×4)×(8×0 . 125)×(4× 3 ) 19. 解:原式 =83×111 . 1+111 . 1×9×13 25. 解:原式 =2013×[(4 . 8-0 . 1)×73+3 . 6]÷(4 . 8×73-3 . 7) =522× 523 +526× 523
4 . . . . . . 522×(523+1) 526×523+(523+3)
=111 1×(83+9×13) =2013×(4 8×73-0 1×73+3 6)÷(4 8×73-3 7)
=1×1×3 . . . . . . 523 523
=111 1×200 =2013×[4 8×73-(7 3-3 6)]÷(4 8×73-3 7) = +526×
524 526×(523+1)
=3 . . . .
11. 解:原式 . . . . . =22220 =2013×(4 8×73-3 7)÷(4 8×73-3 7) 523 523
=0 6×3 7+0 6+5 3×0 6 = +
. . . 20. 解:原式 =38 3 ×790+790×61 1 =2013 524 524
=0 6×(3 7+1+5 3) 4 4 26. 解:原式 9 7 1 9 9 3 12 9 523
=6 3 1 = 8 ×7 13 ×8+8×1 13 × 8 - 8 ×1 13 ×8+4 13 × 8 = 262
12. 解:原式 =3 2022 ×(3 2 -5×3+6) =(38 4 +61 4 )×790 7 1 3 8 3. 解:原式 =(57×85×105×117×121)÷[1×(3×19)×(5×17)×
=9×7 +9×1 -9×1 +9×
=3 2022 ×0 =100×790 13 13 13 13
(7×15)×(9×13)×11]
=0 =79000 7 1 3 8
13. 解:原式 . . . 21. 解:原式 . . . . . . .
=9×(7
13
+1
13
-1
13
+
13
) =(57×85×105×117×121)÷(57×85×105×117×11)
=17 4×37-17 4×19+17 4×82 =33 4×6 5+3 34×3 95÷0 1-33 4×0 45
=121÷11
. . . . . =9×8
=17 4×(37-19+82) =33 4×(6 5+3 95-0 45)
=11
. =72
=17 4×100
22. 解:原式
=334
. . . 27. 解:原式 4
4. 解:原式
=
1×3+1
×
2×4+1
×
3×5+1
×…×
2023×2025+1
=1740 =314×0 314+628×0 686+686×0 686 =(11+12+…+21)- ×(1+2+…+11) 1×3 2×4 3×5 2023×2025
14. 解:原式 =3 . 14×4 . 3+3 . 14×7 . 2-3 . 14×1 . 5 =314×0 . 314+(628+686)×0 . 686 66 2 2 3 2 4 2 2024 2
=3 . 14×(4 . 3+7 . 2-1 . 5) =314×0 . 314+1314×0 . 686 =176- 6 4 6 ×66 = 1×3 × 2×4 × 3×5 ×…× 2023×2025
=3 . 14×10 =314×0 . 314+(314+1000)×0 . 686 =172 = 2 × 2 × 3 × 3 × 4 × 4 ×…× 2024 × 2024
=31 . 4 =314×0 . 314+314×0 . 686+686 28. 解:原式 =(4433-443 . 3)÷(4433×2-443 . 3×2) 1 3 2 4 3 5 2023 2025
15. 解:原式 7 5 5 3 5 =314×(0 . 314+0 . 686)+686 =(4433-443 . 3)÷[(4433-443 . 3)×2] = 2 × 2024
= × +1× + × 1 2025
2 4 4 2 4 =1000 . .
=(4433-443 3)÷(4433-443 3)÷2
4048
7 3 5 23. 解:原式 1 1 1 1 1 1 1 1 =
=( +1+ )× =(1+ + )×( + + )-(1+ + )×( + =1÷2 2025
2 2 4 2 4 2 4 6 2 4 2
1 5. 解:原式 2
2
-1 3
2
-1 4
2
-1 9
2
-1 10
2
-1
5 1 1 1 1 = = 2 × 2 × 2 ×…× 2 × 2
=6× )- ×( + ) 2 2 3 4 9 10
4 4 6 2 4
é ù 29. 解:原式 . 3 . . . 3 3×1 4×2 5×3 10×8 11×9
15 1 1 êê 1 1 1 1 1 úú 1 =0 84× ×0 45÷0 54÷0 14÷ = × × ×…× ×
= =(1+ + )× ë + + -( + )û- × 20 10 2×2 3×3 4×4 9×9 10×10
2 2 4 2 4 6 2 4 6
. . 3 3 . . 1 11
16. 解:原式 =48× 23 +37× 23 +25×2× 23 ( 1 + 1 ) =(0 84÷0 14)×( 20 ÷ 10 )×(0 45÷0 54) = 2 × 10
135 135 135 2 4
1 5 11
= 23 ×(48+37+50) =(1+ 1 + 1 )× 1 - 1 ×( 1 + 1 ) =6× 2 × 6 = 20
135 2 4 6 6 2 4 类型二 变形后整体约分
5
= 23 ×135 = 1 ×(1+ 1 + 1 - 1 - 1 )
=
2
135 6 2 4 2 4 30. 解:原式 . . . 6. 解:原式 411×362+(362+1)
=13 5×(48-9 6)÷4 8 =
=23 1 . . . . 411×(362+1)-48
= ×1 =13 5×(48÷4 8-9 6÷4 8)
17. 解:原式 = 9 × 3 +0 . 23×0 . 75+0 . 37×0 . 75 6 1 =13 . 5×(10-2) = 4 3 1 6 1 2 × × 3 ( 6 4 2 1 + 1 4 + 1 1 1 ) - + 4 1 8
5 4 = .
. . . . . . 6 =13 5×8 362×411+363
=1 8×0 75+0 23×0 75+0 37×0 75 =
. . . . 24. 解:原式 94 83 34 83 19 34 =108 411×362+363
=0 75×(1 8+0 23+0 37) = × - × ×2- × 专题 变形约分
. . 3 2 3 2 2 3 8 =1
=0 75×2 4
. = 1 ×(94×83-34×83×2-19×34) 类型一 变形后逐个约分 2010×2009+1 2008×2009+1
=1 8 6 7. 解:原式 2009 2009
= +
18. 解:原式 (724+1)×876-576 1 1. 解:原式 52 50 53 51 153 151 2009×2010+1 2009×2008+1
= +(88+12)×65+(99+11)×60 = ×(94×83-34×83-34×83-19×34) = × × × ×…× ×
300+876×724 6 51 51 52 52 152 152 2010 2008
724×876+876-576 1 50 153 2010 2008
= +100×65+110×60 = ×[83×(94-34)-34×(83+19)] = × = +
300+876×724 6 51 152 2009 2009
724×876+300 1 75 4018
= +6500+6600 = ×(83×60-34×102) = =
300+876×724 6 76 2009
2=2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 2. 解:原式 1 1 2 1 2 3 1 2
× × × × × × × × = = +( + )+( + + )+…+( + +…+
13. 解:原式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 2 3 3 4 4 4 9 9
8. 解:原式 2012+2014×(2012-1)
6
7
5
+
6
9
5 =
10 × 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 20. 解:原式 =333×(332332332+1)-(333-1)×333333332 7 8
= + 1 2 3 4 5 6 7 + )
2012×2014-2 5 + 5 =333×332332332+333-333×333333332 9 9
7 9 8×9×10×11×12×13×14×15×16
+333333332 1 2 3 8
1×2×3×4×5×6×7×8×9 = + + +…+
1 1 = 2 2 2 2
65×( + ) 10×11×12×13×14×15×16 =333+333333332-333×(333333332-332332332)
2012×2014-2 7 9
= 2012×2014-2 + 1 1 1×2×3×4×5×6×7 =333333665-333×1001000 = 1 ×(1+2+3+…+8)
5×( + ) 2
7 9 =1 =333333665-333333000
1
=1+13 4 10 4 2 2 5 =665 = ×36
( × × )÷( × × ) 2
14. 解:原式 7 9 11 11 7 9
=14 = 21. 解:原式 (56×101)×(13×101)+(21×101)×(26×101)
4 10 4 2 2 5 = =18
6 6 6 6 ( + + )÷( + + ) (39×101)×(28×101)
9. 解:原式 (3+ 7 )-(3+ 8 )+(3+ 9 )-(3+ 10 ) 7 9 11 11 7 9 101 2 ×56×13+101 2 ×21×26 3. 解:原式 =1+( 1 + 2 + 1 )+( 1 + 2 + 3 + 2 + 1 )+ …+
= 1 1 1 1 (2× 2 ×2× 5 ×2× 2 )÷( 2 × 2 × 5 ) = 101 2 ×39×28 2 2 2 3 3 3 3 3
6 - 6 + 6 - 7 6 - 8 + 9 - 10 = (2× 7 2 7 +2× 9 5 9 +2× 1 2 1 1 1 )÷( 1 2 1 1 1 + 7 7 2 + 9 9 5 ) = 7×8× 1 1 3 3 × + 3 7 × × 7 3 × × 4 13×2 ( 20 1 10 + 20 2 10 +…+ 2 2 0 0 1 1 0 0 +…+ 20 2 10 + 20 1 10 )
7 8 9 10 =1+2+3+…+2010
= 2 5 2 2 2 5 (7×13)×(8+3×2)
1 1 1 1 (2×2×2)×[( × × )÷( × × )] = =(1+2010)×2010÷2
- + - 7 9 11 11 7 9 (13×7)×(3×4)
7 8 9 10 =
2 5 2 2 2 5 7
=2021055
1 1 1 1 2×[( + + )÷( + + )] =
6×( - + - ) 7 9 11 11 7 9 6 4. 解:分子 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 8 9 10 =(1- - - - )+( - - )+( - -
= 1 7 - 8 1 + 9 1 - 1 1 0 = 2× 2 2×2 22. 解:原式 =( 1 9 9 8 1 9 9 8 1 9 9 8 + 9 1 8 9 0 0 9 1 8 9 0 0 + 9 1 8 9 0 0 0 0 9 1 8 9 0 0 0 0 )× 1 9 9 8 × 1 9 9 8 1 9 9 8 1 2 1 4 1 8 1 16 1 3 1 6 1 12 1 1 5 1 10
)+( - )+( - )+ + + + +
=6
=4
191919 98 190190 98 19001900 98 9898
20 7 14 9 18 11 13 15 17 19
=( × + × + × )×
10. 解:原式 2×3×4×(1
3
+2
3
+3
3
+…+15
3
)
15. 解:原式
=
1
2
+2
2
+3
2
+…+19
2
+20
2
989898 19 980980 19 98009800 19 1919
=
1
+
1
+
1
+…+
1
+
1
= 1×2×3×(1 3 +2 3 +3 3 +…+15 3 ) 2 2 ×1 2 +2 2 ×2 2 +2 2 ×3 2 +…+2 2 ×19 2 +2 2 ×20 2 10101 10010 1000100 9898 11 12 13 19 20
=( + + )×
1 2 +2 2 +3 2 +…+19 2 +20 2 10101 10010 1000100 1919 分母 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2×3×4 = = + +…+ = ×( + + +…+ + )
= 1×2×3 2 2 ×(1 2 +2 2 +3 2 +…+19 2 +20 2 )
=3×
9898 22 24 40 2 11 12 13 19 20
1 1919 1 1 1 1 1
=4 = + + +… + +
1×3×9×[1 . 2 3 +2 3 +( 1 ) 3 ] 类型三 4 应用“重码数”特点约分 = 2 1 9 9 4 原式 = 1 11 1 1 2 1 1 3 1 1 9 1 2 0 1
11. 解:原式 13 ×( + + +… + + )
=
3 16. 解:原式 23. 解:原式 31×11 31×111 31×1111
2 11 12 13 19 20
1×2×4×[1
.
2
3
+2
3
+(
1
) ]
=2024×2025×10001-2025×2024×10001 =
25×11
+2×
25×111
+3×
25×1111
+…+8×
=2
13
= 1 1 × × 2 3 × × 4 9 17. 解:原式
=
=
0
3×111×7×111-2×111×6×111 2 3 5 1 × × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 +9× 2 3 5 1 × × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5. 解:原式 = 1 1 3 1 9 1 9 1 ×(1399+1)
5×111×9×111
31 31 31 31 31 1111 1111
= 2 8 7 = 3×7-2×6 = 25 +2× 25 +3× 25 +…+8× 25 +9× 25 = 1399 ×1399+ 1399 ×1
5×9
31 1111
12. 解:原式 5
1
3 +2
1
4 -1
1
5 1
1
3 +1
1
2 = 1
=
25
×(1+2+3+4+5+6+7+8+9) =1111+
1399
=( +1)× 5
1 1 2 2 1 1 279 1111
1 3 +1 2 6 3 +1 4 +2 4 -1 5 18. 解:原式 = 111111×111111 = 5 =1111 1399
7×111111×9×111111
专题 灵活拆分与分组、裂项相消
1 1 1 1 1 1 1 15 . 3
= 5 3 +2 4 -1 5 +1 3 +1 2 × 1 3 +1 2 = 1 9 类型一 拆分与分组 6. 解:原式 =2012× 4 ×1 3+3× 8
1 1 2 3 1 63 25×20+3
1 +1 6 +3 -1
3 2 3 4 5 19. 解:原式 1 2×101 5×10101 13×1010101 1. 解:原式 . . . . . .
=( + + + )÷3 =(999 3-998 2)+(997 3-996 2)+…+(3 3-2 2)+ 15 . 3
31 31×101 31×10101 31×1010101 ( ÷10)×(1 3×10)+3×
2 3 1 . . 4 8
6 +3 -1 (1 3-0 2) =2012×
3 4 5 1 2 5 13 503
= =( + + + )÷3
=1
.
1+1
.
1+1
.
1+…+1
.
1
2 3 1 31 31 31 31
6 +3 -1 . 3 3
3 4 5 =1 1×500 ×13+3×
21 8 8
= ÷3 =2012×
=1 31 =550 503
33 12. 解:原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =21-11
×(13+3) =( - )+( - )+( - )+( - )+ =1+(1- )+( - )+( - )+( - )+
=2012×
8 11 13 13 15 15 17 17 19 2 2 3 3 4 4 5 =10
503
( 1 - 1 )+ 1 ( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 21. 解:原式 =1- 1 +1- 1 +1- 1 +…+1- 1
=2012× 6 19 21 21 5 6 6 7 7 8 8 9 9 2 6 12 110
503 = 1 1 ) =1+1+1+…+1-( 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 )
=24 11 10 2 6 12 20 110
7. 解:原式 =999 8 +99 8 +9 8 +( 1 ×3) 13. 解:原式 =(6+12+20+30+42+56+72)+( 1 + 1 + 1 + 1 + =2- 1 =1×10-( 1 + 1 + 1 +…+ 1 )
9 9 9 9 3 6 10 15 10 1×2 2×3 3×4 10×11
=999+ 8 +99+ 8 +9+ 8 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 ) = 19 =10-(1- 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 )
9 9 9 9 9 9 21 28 36 10 2 2 3 3 4 10 11
=(999+ 8 + 1 )+(99+ 8 + 1 )+(9+ 8 + 1 ) =238+[ 1 + 1 + 1 ×( 1 - 1 )+ 1 + 1 ×( 1 - 1 )+ 1 1 1 1 =10-(1- 1 )
9 9 9 9 9 9 3 6 3 2 5 15 4 3 7 17. 解:原式 2 3 4 99 11
= + + +…+
=1000+100+10 1 1 3 3 4 3 4 5 3 4 100 1
+ ] × × × × ×…× =9
=1110 28 36 2 2 3 2 3 4 2 3 99 11
8. 解:原式 1 =238+( 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 ) = 2 + 2 + 2 +…+ 2 22. 解:原式 = 4 + 16 + 36 + 64 + 100
=(1+2+3+4+5+6)- ×(1+2+3+4+5+6) 3 6 6 15 15 12 28 28 36 2×3 3×4 4×5 99×100 3 15 35 63 99
21
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 =238+( + + + + ) =2×( + + +…+ ) =(1+ )+(1+ )+(1+ )+(1+ )+(1+ )
=21- ×21 3 6 6 12 36 2×3 3×4 4×5 99×100 3 15 35 63 99
21
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=21-1 =238 =2×( - + - + - +…+ - ) =(1+1+1+1)+( + + + + )
9 2 3 3 4 4 5 99 100 3 15 35 65 99
=20
9. 解: 原 式 = (2012-1)×(2012+1) + (2013-1)×(2013+1) + 14. 解:原式 =(1+ 1× 1 3 )+(1+ 3× 1 5 )+(1+ 5× 1 7 )+…+(1+ =2×( 1 2 - 10 1 0 ) =5+ 3 1 + 1 1 5 + 3 1 5 + 6 1 3 + 9 1 9
2012 2013
2012+2013 99× 1 101 ) = 5 4 0 9 =5+ 1× 1 3 + 3× 1 5 + 5× 1 7 + 7× 1 9 + 9× 1 11
2012×2013
= 2012 2 - 1 + 2013 2 - 1 + 1 + 1 =1×50+ 2 1 ×(1- 3 1 + 3 1 - 5 1 + 5 1 - 7 1 +…+ 9 1 9 - 10 1 1 ) 18. 解:原式 =( 1 2 - 7 1 )+( 1 7 - 1 1 2 )+( 1 1 2 - 1 1 7 )+( 1 1 7 - 2 1 2 )+ =5+ 2 1 ×(1- 3 1 + 3 1 - 5 1 + 5 1 - 7 1 + 7 1 - 9 1 + 9 1 - 1 1 1 )
2012 2012 2013 2013 2012 2013
1 1 5
=50+ ×(1- ) 1 1 1 1 =5+
1 1 1 1 2 101 ( - )+( - ) 11
=2012- +2013- + + 22 27 27 32
2012 2013 2012 2013
1 100 5
=50+ × 1 1 =5
=2012+2013 2 101 = - 11
2 32
=4025 50 23. 解:原式 30 30 30 30
10. 解:原式 =(1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+ =50 101 = 15 =( 1×3×5 + 3×5×7 + 5×7×9 +…+ 29×31×33 )-
32
6×1)+(2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6× 15. 解:原式 = 1 ×( 1 - 1 )+ 1 ×( 1 - 1 )+ 1 ×( 1 - 1 )+ 19. 解:原式 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 + 3 + 5 +…+ 29 )
30 3 33 30 33 333 30 333 3333 =[(1+ )-( + )+( + )-( - )- 1×3×5 3×5×7 5×7×9 29×31×33
10+1×1)+…+(6×100000+1×10000+2×1000+3× 3 3 4 4 7 7 8
1 1 1 15 4 4 4 4
100+4×10+5×1) ×( - ) 1 1 1 1 = ×( + + +…+ )-
30 3333 33333 ( + )+( + )]×19 2 1×3×5 3×5×7 5×7×9 29×31×33
=111111+222222+333333+444444+555555+666666 8 11 11 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=(1+2+3+4+5+6)×111111 = 30 ×( 3 - 33 + 33 - 333 + 333 - 3333 + 3333 - 33333 ) =(1+ 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1 - 1 + 1 + ( 3×5 + 5×7 + 7×9 +…+ 31×33 )
3 3 4 4 7 7 8 8 11 11
=21×111111 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1
= ×( - )
1
= ×( - + - + - +…+
=(20+1)×111111 30 3 33333 )×19 2 1×3 3×5 3×5 5×7 5×7 7×9
19
=2222220+111111
=
1
×
11110 1
-
1
)-
1
×(
1
-
1
+
1
-
1
+
1
-
1
+
=2333331 30 33333 = 20 ×19 29×31 31×33 2 3 5 5 7 7 9
19
类型二 拆分与裂项相消 1111 1 1
= …+ - )
99999 =20 31 33
11. 解:原式 1 1 1 1 1 1 1 16. 解:原式 1 1 1 1 1 20. 解:原式 5 7 9 11 13 15 3 15 1 1 1 1 1
=1- + - + - …+ - =(1+ )-(3- )+(3+ )-(5- )+(5+ )- =[( - + - + - )×7-1 ]×8 = ×( - )- ×( - )
2 2 3 3 4 2025 2026 2 6 12 20 30 6 12 20 30 42 56 8 2 3 31×33 2 3 33
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2395
=1- (7- )+(7+ )-(9- )+(9+ ) =[( + - - +…- - )×7- ]×8 =
2026 42 56 72 90 2 3 3 4 7 8 8 1023
2025 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 24. 解:原式 1 1 1 1
= =1+ + + + + + + + + =( - )×7×8- ×8 =( - )+( - )+…+
2026 2 6 12 20 30 42 56 72 90 2 8 8 1×2×3 2×3×4 2×3×4 3×4×5
42
1 1 1 1 =171 2021 +2022
( - ) +…+ ) =
17×18×19 18×19×20 2×3×5 10×11×21 2. 解:原式 1 1 1 1+2022×2021
1 1 1 1 1 1 1
=
(2+1)×(2-1)
+
(4+1)×(4-1)
+
(6+1)×(6-1)
+
2021
2
+2022
= - =24×( + +…+ )-24×( + + =
1×2×3 18×19×20 2×3 4×5 20×21 2×4×3 4×6×5 1+2021×(2021+1)
1
1139 1
…+
(100+1)×(100-1) 2021
2
+2022
= …+ ) =
2
6840 20×22×21 1 1 1 1 2021 +2022
25. 解:原式 1
2
2
2
2
2
3
2
18
2
19
2
1 1 1 1
=
1×3
+
3×5
+
5×7
+…+
99×101 =1
= + + + +…+ + + =24×[( - )+( - )+…+
1×2 1×2 2×3 2×3 18×19 18×19 2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 1 1 1 1 1 1 1 1 8. 解:因为 n2 (100- n ) 2
19 2 20 2 1 1 = 2 ×(1- 3 + 3 - 5 + 5 - 7 +…+ 99 - 101 ) n2 -100 n +5000 + (100- n ) 2 -100(100- n )+5000
+ ( - )]
1 = 9× 1 2 + 0 2+ 19 2 × + 20 3 +…+ 18 + 19 + 19 + 20 = 2 2 0 4 × × 2 ( 1 1 20 + ×2 1 2× + 2 … 1 + 1 ) = 2 1 ×(1- 10 1 1 ) =n2 -100 n n 2 +5000 + 1 n 0 2 0 - 0 1 0 0 - 0 2 n 0 + 0 5 n 0 + 0 n 0 2
2 3 2 19 18 20 19 2×4 4×6 20×22 50 n2 n
= 2( -100 +5000)
19 1 1 1 1 1 1 1 101 = n2 n
=38+ =24× ×( - + - +…+ - ) -100 +5000
20 2 2 4 4 6 20 22 3. 解:原式 2 1 2 2 1 2 2 1 2
=[1 -( ) ]×[1 -( ) ]×…×[1 -( ) ] =2
=38 19 =12×( 1 - 1 ) 2 3 10 原 式 1 2 99 2
20 2 22 1 1 1 1 = ( 2 + 2 ) + … +
=(1- )×(1+ )×(1- )×(1+ )×…×(1- 1 -100+5000 99 -9900+5000
26. 解:原式 1 1 1 1 1 1 60 2 2 3 3
=1+2×( - + - +…+ - ) = 49 2 51 2 50 2
2 3 3 4 100 101 11 1 )×(1+ 1 ) ( 49 2 -4900+5000 + 51 2 -5100+5000 )+ 50 2 -5000+5000
1 1 30. 解:原式 100-1 100-2 100-3 100-99 10 10
=1+2×(
2
-
101
) =
1×2×3
+
2×3×4
+
3×4×5
+…+
99×100×101 1 3 2 4 9 11
=2+…+2+1
= × × × ×…× ×
2 100 1 100 1 100 1 2 2 3 3 10 10 =2×49+1
=1+1- = - + - + - +…+
101 1×2×3 2×3 2×3×4 3×4 3×4×5 4×5 1 11 =99
= ×
99 100 1 2 10 9. 解:原式 (1+2013)×1007÷2
=1 - =
101 99×100×101 100×101 11 (2015+4027)×1007÷2
=
27. 解:根据公式n n 1 n n n n n n 100 100 100 100 1 20 2014
( +1)=
3
[ ( +1)( +2)-( -1) ( + =
1×2×3
+
2×3×4
+
3×4×5
+…+
99×100×101
-(
2×3 4. 解:原式 (2
2
-1
2
)+(4
2
-3
2
)+…+(100
2
-99
2
)
=
6042
=
1)] 1 1 1 1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1 1
+ + +…+ ) =
原式 1 3×4 4×5 100×101 = (2+1)×(2-1)+(4+3)×(4-3)+…+(100+99)×(100-99) 3
= ×(20×21×22-19×20×21+21×22×23-20×21×22
3 1 1 1 1 1 1 1 1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1 10. 解:原式 1
=100× ×( - + - + - +…+ = ×[1+2×1+3+2×2+5+2×3+…+999+2×500]
+22×23×24-21×22×23+…+99×100×101-98×99× 2 1×2 2×3 2×3 3×4 3×4 4×5 = 1+2+3+4+…+99+100 500
1 1 1 1 1 1 1 1
1+2+3+…+8+9+10+9+8+…+3+2+1
1
100) - )-( - + - + - +… = ×[(1+3+5+…+999)+2×(1+2+3+…+
99×100 100×101 2 3 3 4 4 5 100×(1+100) 500
1
= 3 ×(99×100×101-19×20×21) + 1 - 1 ) = 2 500)]
9×(9+1)+10
100 101
1 500×(1+999) 500×(1+500)
=330640 101 = ×[ +2× ]
1 1 1 1 1 = 500 2 2
28. 解:n n n 1n n n n 1 n n n =100× ×( - )-( - ) 2
( +1)( +2)= ( +1)( +2)( +3)- ( -1) ( 2 2 10100 2 101
4 4 5. 解:原式 =1999 2 -1998 2 +1997 2 -1996 2 +…+3 2 -2 2 +1 = 1 ×(500×500+500×501)
n 1 1 1 500
+1)( +2) =25- - +
202 2 101 =(1999+1998)×(1999-1998)+(1997+1996)×
=500+501
原式 1 1 1 1
=
4
×1×2×3×4-
4
×0×1×2×3+
4
×2×3×4×5-
4
×1
=24
51 (1997-1996)+…+(3+2)×(3-2)+1
=1001
101
×2×3×4+ 4
1
×3×4×5×6- 4
1
×2×3×4×5+…+ 4
1
×9×
专题
10
公式法、换元法、
=
=
1
1
9
9
9
9
9
9
+
×(
19
1
9
+
8
1
+
9
1
9
9
9
9
)
7
÷
+
2
1996+…+3+2+1
11. 解:原式 =1+ (1+3)
4
×2÷2 + (1+5)
6
×3÷2 +…+ (1+97
9
)
8
×49÷2
错位相减法、借一还一法 =1999000 2 3 49
10×11×12- 4 1 ×8×9×10×11 类型一 巧用公式法 6. 解:原式 =1 . 2345 2 +2×1 . 2345×0 . 7655+0 . 7655 2 =1+ 2 + 2 +…+ 2
=
4
1
×9×10×11×12 1. 解:原式
=(18+17)×(1 8-17)+(16+15)×(16-15)+(14+
=
=
(
4
1 . 2345+0 . 7655) 2 =1+ (2+49)
2
×48÷2
=3×9×10×11 13)×(14-13)+…+(2+1)×(2-1) 7. 解:原式 (2022 2 -2×2022+1)+2022 =1+612
=
=2970 =18+17+16+15+14+13+…+2+1 (2022 2 -2×2022×2021+2021 2 )+2022×2021 =613
29. 解:原式 1 1 1 1 (18+1)×18 (2022-1) 2 +2022 12. 解:原式 =(2007-2005)×(2007 2 +2007×2005+2005 2 )-
=24×( + +…+ )-6×( + = = 2 2
2×3 4×5 20×21 1×2×3 2 (2022-2021) +2022×2021 6×2006
5=2×[(2006+1) 2 +(2006+1)×(2006-1)+(2006- 解题技巧 连续自然数的平方和公式: 1 2 +2 2 +3 2 + … + n2 则a b 1 原式 b a a b 127
- = , =(1- )× -(1- )× =
2 2 2023 128
1) ]-6×2006 1 n (n ) ( n )。
= × × +1 × 2 +1 a ab b ab
=2×[(2006 2 +1 2 +2×2006×1+2006 2 -1 2 +2006 2 + 6 = - - + 28. 解:原式 =(9 1 + 4 )+(99 1 + 4 )+(999 1 + 4 )+
1 2 -2×2006×1)-6×2006 2 17. 解:原式 (1+2+3+…+2017) 2 = a - b 5 5 5 5 5 5
=
=2×(2006 2 +1+2006 2 -1+2006 2 +1)-6×2006 2 1+2+3+…+2017 1 (9999 1 + 4 )- 4 ×5
= 5 5 5
2 2 2017×(2017+1) 2023
=2×(3×2006 +1)-6×2006 =
2 =10+100+1000+10000-4
2 2 23. 解:设 1 a
=6×2006 +2-6×2006 3+ = ,
=2035153 1 =11110-4
=2 18. 解:原式 =(1 3 +2 3 +…+100 3 )-(2 3 +4 3 +…+100 3 ) 4+ 1 =11106
解题技巧 立方差公式:a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)。 2 2 …+ 2009 29. 解:原式 . . .
100 ×101 3 3 3 3 =(2-0 1)+(20-0 01)×2+(200-0 001)×3+
13. 解:原式 (2+1)(2 2 -2+1) (3+1)(3 2 -3+1) = 4 -2 ×(1 +2 +…+50 ) 原式 1 1 . .
= × × = + (2000-0 0001)×4+(20000-0 00001)×5
(2-1)(
2
2 2 +2+1) (3-1)(3 2 +3+1)
2
= 100 2 ×101 2 -2 3 × 50 2 ×51 2 2+ a 1 1+ 1
1
=2-0 . 1+20×2-0 . 01×2+200×3-0 . 001×3+2000×
(4+1)(4 -4+1) (2016+1)(2016 -2016+1) 4 4 1+ a . .
(4-1)(4 2 +4+1)
×…×
(2016-1)(2016 2 +2016+1)
×
=50 2 ×(101 2 -2×51 2 )
4-0 0
.
001×4+20
.
000×5-0 0
.
0001×5
.
2 1 1
=2-0 1+40-0 02+600-0 003+8000-0 0004+
(2017+1)(2017 -2017+1) =12497500 = a + .
(2017-1)(2017 2 +2017+1) 解题技巧 连续自然数立方和公式: 3 3 3 … n3 2 a +1 1+a 1 100000-0 00005
1 +2 +3 + + = +1 . . .
(2+1)(3 2 -3+1) (3+1)(4 2 -4+1) n2(n )2 a =(2+40+600+8000+100000)-(0 1+0 02+0 003+
=
(2-1)(2 2 +2+1)
×
(3-1)(3 2 +3+1)
× (
1+2+3+
…
+
n)2
=
+1 。
a 0
.
0004+0
.
00005)
4 1 .
(4+1)(5 2
2
-5+1)
×…×
(2016+1)(2017 2
2
-2017+1)
×
类型二 换元法 =
2
a
+1
+
2 a
a
+1
=108642
.
-0 12345
(4-1)(4 +4+1) (2016-1)(2016 +2016+1) 19. 解:令 . . a . . b +1 =108641 87655
(2017+1)(2018 2 -2018+1) × 2 2 -2+1 则a b 1+0 12+0 23= ,0 12+0 23= , a a +1
(2017-1)(2017 2 +2017+1) 2018 2 -2018+1 - =1, = 2 a +1 + 2 a +1
原式 a b . a . b
(2016+1)×(2017+1) 2
2
-2+1
= ×( +0 34)-( +0 34)×
=1
= × 2 ab . a ab . b
(2-1)×(3-1) 2018 -2018+1 = +0 34 - -0 34 类型三 错位相减法
. a b
2035153×3 =0 34×( - )
= 4070307 =0 . 34 24. 解:令S n=1-2+2 2 -2 3 +…+2 98 -2 99 +2 100 ①,2 S n=2-2 2 +2 3 -
4 99 100 101
2035153 20. 解:令1 1 1 1 a 1 1 b 2 +…+2 -2 +2 ②,
= + + + = , + = ,
解题技巧 13 5 先 67 利 69 用立方和公式:a3 b3 (a b)(a2 ab 原式 2 b 3 a 4 5 a b 3 4 ①+② 得 : S n+2 S n=1+2 101 , 即 3 S n=1+2 101 , S n= 1+2 101 , 所以
+ = + - + =(1+ )× -(1+ )× 3
b2),再利用立方差公式:a3 b3 (a b)(a2 ab b2)。 a ab b ab 101
- = - + + = + - - 2 3 98 99 100 1+2
1-2+2 -2 +…+2 -2 +2 = 。
14. 解:原式 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 3
=(1 +2 +3 +…+21 )-(1 +2 +3 +…+14 ) = -
= 21×(21+1)×(2×21+1) - 14×(14+1)×(2×14+1) =( 1 + 1 + 1 + 1 )-( 1 + 1 ) 25. 解:令S =1+ 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4,
6 6 2 3 4 5 3 4 3 3 3 3
=3311-1015 1 1 则 S 1 1 1 S S S 1
= + 3 =3+1+ + 2 + 3,3 - =2 =3- 4,
2 5 3 3 3 3
=2296
15. 解:原式 2 2 2 2 2 7 所以S 242 121 原式 121
=4 +(2×4) +(3×4) +…+(9×4) +(10×4) = = ÷2= , = 。
2 2 2 2 2 2 10 81 81 81
=4 ×(1 +2 +3 +…+9 +10 ) 21. 解:设a 类型四 借一还一法
=1234567891
1 a
=16× ×10×(10+1)×(2×10+1) 原式 -1 26. 解:原式
6 =a2 a a =(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)+
-( -1)( +1)
=6160 a (100000-1)+(1000000-1)
16. 解:原式 =1×(1+1)+2×(2+1)+…+20×(20+1) =a2 -( - a2 1 -1) =10+100+1000+10000+100000+1000000-6
= 1 2 +1+2 2 +2+…+20 2 +20 a -1 =1111110-6
2 2 2 2 =a2 a2
=(1 +2 +3 +…+20 )+(1+2+3+…+20) - +1 =1111104
a
1 = -1 27. 解:原式 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×20×(20+1)×(2×20+1)+(1+20)×20÷2 =( + + + + + + + )-
6 =1234567890 2 4 8 16 32 64 128 128 128
=2870+210
22. 解:令1 1 1 a 1 1 1 b 1 1 1
+ +…+ = , + +…+ = , =( + )-
=3080 2 3 2023 2 3 2022 2 2 128
6
