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2024 年高考物理一轮大单元综合复习导学练
专题41 用单摆测定重力加速度
导练目标
导练内容
目标1
教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
目标2
新高考的改进创新实验
【知识导学与典例导练】
一、教材经典实验方案的原理、步骤和数据处理
误差分析：
注意事项：
(1)选用1 m 左右的细线。
(2)悬线顶端不能晃动,需用夹子夹住,保证顶点固定。
(3)小球在同一竖直面内摆动,且摆角小于5°。
误差种类
产生原因
减小方法
偶然误差
测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差
①多次测量求平均值
②计时从单摆经过平衡位置时开始
系统误差
主要来源于单摆模型本身
①摆球要选体积小、密度大的
②摆角要小于5°
1
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(4)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时,并数准全振动的次数。
(5)小球自然下垂时,用毫米刻度尺量出悬线长l',用游标卡尺测量小球的直径,然后算出摆球的半径r,则摆长
l=l'+r。
【例1】某物理课外活动小组准备测量当地的重力加速度，装置如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台
上，下端系一小球，用刻度尺多次测量摆线长度，并求出其平均值l，再用螺旋测微器多次测量小球的直
径，并求出其平均值d，将l+d 作为摆长L。将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，小球通过最低
点时按下秒表同时数1，每次通过最低点计数一次，数到n 时停止计时，秒表的读数为t，计算出单摆的周
期T，多次改变摆长L 并测出对应的摆动周期T。
（1）以下说法正确的有 。
A．小球应该选用密度大的钢球或铁球
B．摆线要选择细些的，伸缩性小些的，并且尽可能长一些
C．应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度
D．单摆周期的计算式为
（2）某次测量小球直径的结果如图所示，则这次测量的读数为 mm。
（3）该小组以T2为纵轴、L 为横轴作出函数关系图像，如图乙所示，可以通过此图像得出当地的重力加速
度g。由图像求出的重力加速度g= m/s2。（保留两位有效数字）
（4）造成图像不过坐标点的主要原因是 。
【答案】 ABC 9.450 9.9 摆长多算了半径
【详解】（1）[1]A．为了减少空气阻力的影响，小球应该选用密度大的钢球或铁球，A 正确；
B．摆线要选择细些的以减小空气阻力，伸缩性小些的以保持摆长不变，并且尽可能长一些从而使偏转角
尽可能小些，B 正确；
C．应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度，这样摆长测量的较准确，C 正确；
2
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D．单摆周期的计算式为
，D 错误。故选ABC。
（2）[2] 小球的直径
（3）[3]根据
可知
图像的斜率
可得
（4）[4] 摆长多算了半径。
二、新高考的改进创新实验
【例2】如图甲所示，某学习小组在实验室做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验。
（1）若利用拉力传感器记录拉力随时间变化的关系，由图乙可知，该单摆的周期
s。
（2）在多次改变摆线长度测量后，根据实验数据，利用计算机作出周期与摆线长度的关系（
）图线，
并根据图线拟合得到方程
，由此可知当地的重力加速度
，摆球半径
（用k、b、π 表示）。
【答案】 2.0
【详解】（1）[1]摆球每次经过最低点时拉力最大，每次经过最高点时拉力最小，拉力变化的周期为
1.0s，故单摆的周期为T=0.2s；
3
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（2）[2][3]根据
得
知图线的斜率
因此
而
，则
图线拟合得到方程
，因此摆球半径
【综合提升专练】
1．在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
（1）摆动时偏角满足的条件是 ，为了减小测量周期的误差，计时开始时，摆球应是经过最
（填“高”或“低”）的点的位置，且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间，求出周期。图甲中停
表示数为一单摆振动50 次所需时间，则单摆振动周期为 。
（2）用最小刻度为1mm 的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示。O 为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆长
为 m。
（3）若用L 表示摆长，T 表示周期，那么重力加速度的表达式为g= 。
（4）考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆球重力方向相反，它对球的
作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大。”学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的
摆球做实验，因此振动周期不变”，这两个学生中 。
A．甲的说法正确 B．乙的说法正确 C．两学生的说法都是错误的
【答案】
/
低 2.05s 0.9965（0.9960～0.9980）
A
【详解】（1）[1]单摆的振动视为简谐运动的条件为：摆角
（或
）；
[2]从最低点开始计时便于测量与观察，可以减小误差；
4
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[3]秒表读数为
所以周期
（2）[4]米尺的最小刻度为1mm，所以米尺读数为
（3）[5]由单摆周期公式
可得g=
（4）[6]因为空气的浮力始终竖直向上，小球受到的合力小于重力，加速度变小，振动周期变大，故此甲
同学的说法是正确的。故选A。
2．实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。
（1）下列最合理的装置是
A．
B．
C．
D．
（2）为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有
A． 测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长
B． 在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动
C． 摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大
D． 测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时
（3） 某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块
鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图1 所示，实验过程中他先将石块用细线系好，
结点为M，将细线的上端固定于O 点。然后利用刻度尺测出OM 间细线的长度l 作为摆长，利用手机的秒
表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l 对应的周期T 的数值后，他作出的
图像
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如图2 所示。
①该图像的斜率为
A． g B．
C．
D．
②由此得出重力加速度的测量值为
。（π 取3.14，计算结果保留三位有效数字）
（4） 实验中，该同学测量摆长使用绳长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的
影响是：测量值 真实值。（填“>”、“=”、“<”）
【答案】 D BC/CB C 9.86
【详解】（1）[1]根据单摆理想模型可知，为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大，体积较小的铁
球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细私线，悬点应该用铁夹来固定。故选D。
（2）[2]根据周期公式
可得重力加速度为
A．测量摆长时，应该测量竖直拉直后的摆线长，故A 错误；
B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故B 正确；
C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公
式失效，故C 正确；
D．测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低点位置摆球速度最大，相同的视觉距离
误差引起的时间误差较小，则周期测量比较准确，故D 错误。故选BC。
（3）[3]由图可知，设M 点到重心得距离为d，根据周期公式
可得
故该图像的斜率为
故选C。
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[4]由于
解得由此得出重力加速度的测量值为
（4）[5]由之前的分析可知，有
图像的斜率为
其重力加速度为
由上述分析
可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以其测量值等于真实值。
3．某同学在家里利用单摆测量当地的重力加速度，由于家里没有能悬挂的小球，该同学找铁锁替代小球，
如图甲所示。组装单摆时，摆线选择了长度约为1m 左右的无弹性的细线。
（1）安装好器材后发现家里只有一根量程为40cm 的刻度尺，于是他在细线上的A 点做了一个标记，使得
悬点O 到A 点间的细线长度小于刻度尺量程，保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O，A 间细线长
度来改变摆长，记录OA 间细线度为L，则实验中得到的T2-L 关系图像如图乙所示，那么正确的图像应该
是a、b、c 中的 ；
（2）如果O，A 间细线的长度分别为L1和L2时，测得相应的周期为T1和T2，由此可得重力加速度g=
。（用L1、L2、T1和T2表示）
【答案】 a
【详解】（1）[1]由单摆周期公式
可得
所以
所以正确图像应为a；
（2）[2]由（1）可知
；
解得
4．某同学通过实验探究单摆周期与等效重力加速度定量关系，实验装置如图（a）所示，钢球、细线和轻
杆组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴
来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平
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面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动，但避免了摆球在真实斜面上运动时所受的摩擦力。测量该倾斜平
面的倾角
，能求出等效重力加速度a 的大小，测量不同倾角下的单摆周期T，便能检验T 与a 的定量关系。
已知重力加速度的大小为g，将下列实验补充完整：
（1）斜面倾角
的测量。如图（b），铁架台上装一根铅垂线。在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把
杆线摆装在立柱上，调节摆线的长度，使摆杆与立柱垂直，则此时摆杆是水平的。把铁架台底座一侧垫高
如图（c），立柱倾斜，绕立柱摆动的钢球实际上是在倾斜平面上运动。测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为
，则该倾斜平面与水平面的夹角
。则等效重力加速度的大小
（用g、
表示）；
（2）单摆周期T 的测量。在图（c）的情况下，尽量减小摆杆与立柱之间的摩擦，使该摆能较长时间绕立
柱自由摆动而不停下来。让单摆做小角度下的振动，用停表测量单摆完成20 个全振动所用的时间t，则单
摆周期
（用表示）。同样的操作进行三次，取平均值作为该周期的测量值；
在保持摆长一定的情况下，改变铁架台的倾斜程度，测出多组不同倾斜程度下
的值及在该倾角下单摆的
周期T 后，根据实验数据绘制
图像是一条过坐标原点的倾斜直线，由此得出的结论是
。
【答案】
在摆长一定的情况下，单摆的周期与等效重力加速度的平方根成反比，
即
【详解】（1）[1]将重力分解为沿杆和垂直杆，可知，等效重力
等效重力加速度的大小
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（2）[2][3]单摆完成20 个全振动所用的时间t，则单摆周期
根据题图可知等效重力加速度为
a=gsinθ 则根据单摆周期公式有
绘制
图像是一条过坐标原点的倾斜直线，所以在
摆长一定的情况下，单摆的周期与等效重力加速度的平方根成反比，即
。
5．某实验小组利用图示装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）该组同学先测出悬点到小球球心的距离l，然后用秒表测出单摆完成n 次全振动所用的时间t。请写出
重力加速度的表达式g= ；(用所测物理量表示)
（2）在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图乙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运
动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丙所示的v－t 图线。由图丙可知，该
单摆的周期T= s；
（3）更换摆线长度L 后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出
图像，并根据图像处理得到方
程
。由此可以得出当地的重力加速度g= m/s2。(取
，结果保留三
位有效数字)
【答案】
2.0 9.86
【详解】（1）[1]根据题意可得，单摆的周期为
由单摆周期公式
联立可得
（2）[2]由题图丙可知，该单摆的周期为
。
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（3）[3]由上述分析，根据单摆周期公式有
结合题中
，可得
解得
6．利用智能手机结合某些软件可。完成一些物理实验，如利用手机里的磁传感器可以记录磁传感器周围
磁感应强度的变化。某同学在家利用以下器材来测量当地的重力加速度：智能手机、环形小磁铁、轻质细
线、米尺等，实验步骤如下：
（Ⅰ）将小环形磁铁绑在细线中央，然后将细线两端固定在铁架台的水平横梁上。调整细线长度，使两侧
细线等长；
（Ⅱ）将手机磁传感器放在小条形磁铁的正下方，如图甲所示。然后用米尺测量一侧细线从上端到小环形
磁铁的长度，测量5 次，取平均值；接着测量横梁上两悬点之间的距离，也测量5 次，取平均值d；
（Ⅲ）将小环形磁铁拉离最低点，使细线偏离原来两条细线所在的竖直面小于
的夹角，运行手机上“磁
力计”软件，然后由静止释放小环形磁铁，记录磁感应强度随时间变化的图像，如图乙所示；
（Ⅳ）改变细绳长度，重复（Ⅱ）、（Ⅲ）实验步骤，得到多个磁感应强度随时间变化的图像。
（1）关于实验中减小误差的一些做法正确的是 。
A．使用的细线应细些、伸缩性小一些
B．选择体积稍小些的小环形磁铁
C．进行数据处理时，一定要选取小环形磁铁经过最低点时作为时间起点
（2）在重复实验时，细线拉离竖直方向的夹角不同（但都小于
），对于实验的测量结果 （选填
“有”或“没有”）影响；
（3）若实验中得到的图像如图丙所示，则当地重力加速度g= （用所测物理量和图丙中的已知量来
表示）
【答案】 AB 没有
【详解】（1）[1]A．使用的细线应细些、伸缩性小一些，这样更接近单摆模型，故A 正确；
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B．小环形磁铁体积稍小些，能进一步减小阻力影响，提高准确度，故B 正确；
C．数据处理时，不用必须取最低点作为研究的起点，故C 错误；故选AB。
（2）[2]在重复实验时，摆线偏离竖直方向的夹角虽然不同，但都小于
的情况下，单摆的周期与偏离的
夹角无关，故不会对实验造成影响；
（3）[3]由步骤（Ⅱ）可知，摆长为
根据图丙可知周期为
将以上各量代入单摆周期
公式
整理得到
7．智能手机自带许多传感器，某同学想到使用其中的磁感应强度传感器，结合单摆原理测量当地的重力
加速度。具体操作如下：
a．用游标卡尺测量小钢球的直径d，测得结果如图甲所示，其读数d= mm；
b．将细绳一端固定在O 点，另一端系一小钢球，用毫米刻度尺测量出细绳的长度L；
c．如图乙所示，将强磁铁吸附于小钢球下侧，在单摆的正下方放置一手机，打开手机中测量磁感应强度的
应用软件；
d．使单摆小角度摆动，每当钢球经过手机时，磁传感器会采集到一个磁感应强度的峰值。采集到磁感应
强度随时间变化的图像如图丙，由图得单摆的周期T= s（保留两位有效数字）；
e．若该同学把O 点到钢球中心的距离作为单摆摆长，则重力加速度的表达式可表示为 （用
L、d、T 进行表示）；
f．根据以上操作，该同学实验得出重力加速度值与当地重力加速度相比会 （填“偏大”、
“偏小”或“相等”）。
【答案】 10.2 2.0
偏小
【详解】[1]根据图甲可知，该游标卡尺的游标尺为10 分度值，则可知精度为0.1mm，且游标尺第2 格与
主尺刻度线对齐，而主尺读数为10mm，则可知小钢球的直径
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[2]当磁场最强时，摆球在手机的正上，即单摆的最低点，根据磁感应强度随时间变化的图象，可知相邻两
次磁场最强的时间为单摆的半个周期，由此可得单摆的周期为
[3]由题意可知，单摆的摆长为
根据单摆的周期公式
可得
[4]单摆的回复力来自重力的分量，当摆球下方吸附磁铁后，整体不再是规则的几何形状，摆球的重心不再
是其几何中心，相应的下移，若仍然用O 点到摆球几何中心的距离作为摆长，则根据重力加速度与摆长的
关系式可知，所测重力加速度将偏小。
8．某同学利用单摆测量重力加速度。
(1)在用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法中错误的是( )
A．对重力加速度测量值影响较大的是周期的测量
B．摆球尽量选择质量大些、体积小些的
C．用刻度尺测量摆线的长度，这就是单摆的摆长
D．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
(2)他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最顶端的长度L0=96.58cm，
再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图甲所示，则摆球直径d= cm；
(3)实验时，他利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源
与光敏电阻，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R 随时间t 的变化图线如图丙所
示，则该单摆的振动周期为T= s；
(4)根据以上测量数据可得重力加速度g= m/s2（结果保留三位有效数字），如果该同学测得的g 值偏
小，可能的原因是 （填正确答案标号）。
A．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了
B．计算摆长时用的L=L0+d
C．摆球摆动的振幅偏小
【答案】 C 0.97 2.000 9.57 A
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【详解】(1)[1]A.在实验过程中，周期的测量最不容易，测出来的误差较大，所以对重力加速度测量值影响
较大的是周期的测量，故A 正确；
B.为减小空气阻力对实验的影响，所以应该用体积小质量大些的摆球进行实验；故B 正确；
C.实验中摆长应该是摆线的长度与小球的半径之和，故C 错误；
D.为了在试验过程中摆长尽量保持不变，为一恒定的值，所以摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽
可能长一些，故D 正确；选错误的故选C。
(2)[2]由图示螺旋测微器可知，摆球的直径d=9mm+7×0.1mm=9.7mm=0.97cm
(3)[3] 单摆在一个周期内两次经过平衡位置，根据图线丙的变化规律可知，单摆的周期T=2.246-
0.246s=2.000s
(4)[4]单摆的摆长
根据单摆周期公式有
得
[5]A.摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长的测量值偏小，由
可知，重力加速度g 值偏小，故A 正确；
B. 计算摆长时用的是L=L0+d，则摆长测量值偏大，根据
可知，重力加速度g 值偏大，故B 错误；
C. 摆球摆动的振幅偏小不会影响g 值的测量，故C 错误。故选A。
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