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专题06 圆周运动
[-考点-04-] 竖直面内圆周运动的临界问题
[典例1]
答案 D
解析 设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2
m/s，故A 正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s 时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿
第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B 正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时
轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C 正确，D 错误．
[典例2]
答案 BCD
解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的最小值是
零，故A 错误.v 由零逐渐增大，由Fn＝可知，Fn也增大，故B 正确.当v＝时，Fn＝＝mg，
此时杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞时，杆对球的力为拉力，
由mg＋F＝可得F＝m－mg，则当v 由逐渐增大时，拉力F 逐渐增大；当v＜时，杆对球的
力为支持力，此时，mg－F′＝可得F′＝mg－，当v 由逐渐减小时，支持力F′逐渐增
大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，故C、D 正确.
[典例3]
答案 D
解析 设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝m，即FT＝v2－mg，由
题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝，R＝，A、B 错；当v2＝c 时，有FT1＋mg＝m，将g 和
R 的值代入得FT1＝－a，C 错；当v2＝2b 时，由FT2＋mg＝m 可得FT2＝a＝mg，故拉力与
重力大小相等，D 对．
[典例4]
答案 D
解析 由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A 错误；当小球通过最高点
的速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3
N，即质量为0.3 kg，C 错误；由题图乙可知，当小球以v2＝5 m2/s2通过最高点时，恰好对
杆没有作用力，此时重力提供向心力，设O 轴到小球的距离为L，根据mg＝m，得L＝0.5
m，故D 正确；当小球以 m/s 的速度通过最高点时，根据mg＋F＝m，可得F＝6 N，此时
杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6 N，故B 错误．
1.答案 C
解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C 正确.
2.答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流
星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B.
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3.答案 A
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力
为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心
力，则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D 正确．
4.答案 BC
解析 设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此
时有mg＝m，解得v＝，当v>时，杆对小球提供拉力，当v<时，杆对小球提供支持力，故
B、C 正确，A、D 错误．
5.答案 B
解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<，
故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对
杆的作用力是压力，B 正确，A、C、D 错误.
6.答案 ABC
解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压
力，选项A 正确；若v0＞，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确；
若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确；综上分析，选
项D 错误.
7.答案 A
解析 当小球到达最高点弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的
弹力为零，所以A 正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B 错误．小球在最高点，
若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：
mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D 错误．
8.答案 C
解析 球B 运动到最高点时，杆对球B 恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝
m，解得vB＝，故A 错误；由于A、B 两球的角速度相等，则球A 的速度大小vA＝，故B
错误；B 球在最高点时，对杆无弹力，此时A 球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有
F－mg＝m，解得F＝1.5mg，即杆受到的弹力大小为1.5mg，可知水平转轴对杆的作用力为
1.5mg，C 正确，D 错误．
9.答案 CD
解析 小球在最高点，根据牛顿第二定律得mg＋F＝m，解得v2＝＋gR；由题图乙知，纵
轴截距a＝gR，解得重力加速度g＝，故A 错误；由v2＝＋gR 知，图线的斜率k＝，绳长
不变，用质量较大的球做实验，得到的图线的斜率更小，故B 错误；用质量较小的球做实
验，得到的图线斜率更大，故C 正确；由v2＝＋gR 知，纵轴截距为gR，绳长不变，则图
线与纵轴交点坐标不变，故D 正确.
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10.答案 AB
解析 由题图乙可知，当v2＝b，FN＝0 时，mg＝m，解得R＝，故A 正确；当v2＝0 时，
mg＝a，所以m＝，故B 正确；小球在水平线MN 以下的管道中运动时，由于向心力的方
向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以
内侧管壁对小球没有力，故C 错误；小球在水平线MN 以上的管道中运动时，重力沿径向
的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力
还可能均无作用力，故D 错误．
11.答案 ACD
解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝，解得F＝v2－mg；当弹力方向向上时，
有mg－F＝m，解得F＝mg－m.对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b 时，F＝0，可得b
＝gR，则g＝，m＝，A 正确，B 错误；v2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆
的弹力方向向上，C 正确；v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确.
12.答案 AD
解析 小球恰能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点重力恰好提供向心力，则mg＝
m，r＝Lsin 60°，解得v＝ ，A 正确，B 错误；小球在最低点，由向心力公式得：FT－mg
＝m，每段绳子的拉力F＝，由以上两式解得：F＝mg＋m，C 错误，D 正确．
13.答案 (1)10mg (2) (3)g
解析 (1)当陀螺在轨道内侧最高点时，设轨道对陀螺的吸引力为F1，轨道对陀螺的支持力
为FN1，陀螺所受的重力为mg，最高点的速度为v1，受力分析可知：
mg＋FN1－F1＝m
解得FN1＝10mg
(2)设陀螺在轨道外侧运动到最低点时，轨道对陀螺的吸引力为F2，轨道对陀螺的支持力为
FN2，陀螺所受的重力为mg，最低点的速度为v2，受力分析可知：F2－FN2－mg＝m
由题意可知，当FN2＝0 时，陀螺通过最低点时的速度为最大值，解得v2＝
(3)设陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时，轨道对陀螺的吸引力为F3，轨道对陀螺
的支持力为FN3，陀螺所受的重力为mg.则：
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Fn＝F3－FN3＝m
解得FN3＝4mg
由牛顿第三定律可知FN3′＝FN3，F3′＝F3
固定支架对轨道的作用力为F＝
解得F＝g.
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