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第一章 有理数
1.1 正数和负数
教学目标
课题
1.1 正数和负数
授课人
素养目标
1. 理解具有相反意义的量及正数、负数的意义.
2. 会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量，体会数学知识
与生活的密切联系，进一步增强符号意识，培养应用意识.
3. 理解0 的意义，体会0 在解决实际问题中的“基准”作用，初步培养
抽象能力.
教学重点
1. 能理解正数、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.
2. 会用正数、负数表示具体情境中具有相反意义的量.
教学难点
1. 用正数、负数表示具有相反意义的量时描述向指定方向变化的情况.
2. 理解0 的意义，体会0 在解决实际问题中的“基准”作用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：创设
情境，导入新
课
【情境导入】
1.
观察下面三幅图，这些自然数、分数以及小学时学
过的小数是由生活实际的需要产生的，那么它们能否完全满
足我们目前生产、生活的需要呢？
2.
思考教材P1引言中的三个问题.
在这三个问题中，“零下3摄氏度”“亏损10万元”
“减少0.7%”能够用上面的数表示吗？这说明了什么？
【教学建议】
引导学生通过
观察三幅图，体会
小学学过的几个数
都是基于现实需要
产生的，然后引导
学生思考三个问
题，提出疑问，使学
生产生探索欲望.
设计意图
先通过图片形式
让学生体会已学
过的数的产生具
有必然性与局限
性，然后通过列举
的三个问题为引
入新知做准备.
活动二：实践探
究，获取新知
探究点1 具有相反意义的量及正数、负数的认识
Ⅰ.具有相反意义的量
问题1 结合下面图示，对于引言中的问题（1），我们如何
用数区分“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”呢？
观察图①，零上温度和零下温度是以0 ℃为分界点的具
有相反意义的量.
观察图②中的天气预报可以看出，零上3摄氏度用3 ℃
表示，零下3摄氏度用－3 ℃表示.
问题2 类似地，对于引言中的问题（2）（3），应如何用数
分别表示“盈利50万元”“亏损10万元”以及“增长
7.8%”“减少0.7%”呢？
【教学建议】
这里要结合教
材引言中的问题进
行分析，其中第一
个问题与生活实际
密切相关，学生通
过平时看天气预报
已经对此有一定的
了解，教师要结合
实际情境进行说明.
可在最后指出具有
相反意义的量的一
些特点.“ 属性相
同”，也就是同类
量，比如“盈利”
与“亏损”是同类
量，但“盈利”与
“减少”就不是同
类量；“ 意义相
反”指变化的方向
相反，不要与意义
相近混淆（比如增
设计意图
借助生活实例，引
导学生理解具有
相反意义的量，通
过相应出现的数，
进一步引入正数、
负数的概念，并借
此体会正数、负数
的意义.
如果用“50万元”表示盈利50万元，就可以用“－10万
元”表示亏损10万元.如果用“7.8%”表示增长7.8%，就可以
用“－0.7%”表示减少0.7%.
问题3 通过问题1，2，你认为具有相反意义的量有哪些
特点？
成对出现、属性相同（同类量）、意义相反.
Ⅱ.正数、负数的认识
问题1 通过上面对“具有相反意义的量”的介绍，我们
已经知道有－3，－10，－0.7%这样的数，对于这种类型
的数，我们该如何进行定义？
概念引入：
问题2 正数前面的“＋”号和负数前面的“－”号是
否都可以去掉？为什么？
正数前面的“＋”号可以去掉也可以不去掉，负数前面
的“－”号不能去掉.因为正数就是大于0的，加不加“＋”
号都没有影响；但对负数而言，只有在正数前面加上“－”
号才是负数，所以“－”号不能去掉.
如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数
和负数分别表示它们.我们一起来看下面的例题.
例1 （教材P3例1） 某校组织学生去劳动实践基地采摘
橘子，并称重、封装.一箱橘子的标准质量为2.5 kg.如果用正
数表示超过标准的质量，那么
（1）比标准质量多65 g和比标准质量少30 g各怎么表
示？
（2）50 g，－27 g各表示什么意思？
填空分析：
（1）前面我们讲到“零上温度和零下温度是以0 ℃为分
界点的具有相反意义的量”，那么本题中的分界点是标准质
量
2.5 kg
.
（2）题目中比标准质量多
×× g
和比标准质量少
×× g
是
具有相反意义的量.
解：（1）比标准质量多65 g用＋65 g表示，比标准质量少
30 g用－30 g表示.
（2）50 g表示这箱橘子的质量比标准质量多50 g，－27 g
表示这箱橘子的质量比标准质量少27 g.
【对应训练】
教材P3练习
长与增加就不构成
具有相反意义的
量）
.
另外需注意：
具有相反意义的量
要求意义相反，但
不要求数量相等.如
盈利3`000元与亏损
400 元是具有相反
意义的量.
【教学建议】
这里注意引导
学生正确理解正
数、负数的概念.注
意前面有“－”号
的数不一定是负
数，比如－（－3）就
不是负数，这涉及
后面的知识，教师
知道即可，如学生
有疑问可适当解
释，本课时不作要
求.
【教学建议】
例1可让学生
回答下什么是“分
界点”，什么是具
有相反意义的量，
便于加深理解.
设计意图
探究点2 0 的意义
正数和负数在实践中有着广泛的应用.如图，在表示某
地的高度时，通常以海平面为基准，用0 m表示海平面的海拔.
用正数表示高于海平面的海拔，用负数表示低于海平面的海
拔，如图中用正数、负数分别表示世界最高峰的海拔和我国
陆地最低处的海拔.
【教学建议】
教师提醒学
生注意，生活中有
些具有相反意义的
量没有明确的分
界，一般把某一个
量规定为“
0”
，即
基准，习惯上，超过
基准的部分用正数
在用正数、负数表
示具有相反意义
的量的基础上，以
海拔说明0 的
“基准”作用，丰
富0 的意义.
问题1 结合上面这个实际应用和上面所学知识，你认为
0还只仅仅表示“没有”吗？
0是正数与负数的分界.0 ℃是一个确定的温度，海拔0 m
是一个确定的海拔.0已不只是表示“没有”.
问题2 （教材P4思考） 如图①是地理中的分层设色地形
图，图②是手机中的部分收支款账单，其中的正数和负数的
意义分别是什么？你能再举一些用正数、负数表示具有相反
意义的量的例子吗？
图①中的正数表示A地高于海平面4 600 m，负数表示B
地低于海平面100 m.图②中的正数表示收入15元，负数分别
表示支出10元、支出30元.
其他例子：比如叶宇同学向南走20 m记为＋20 m，那么
他向北走30 m可记为－30 m.
例2 （教材P4例2） （1）一个月内，李明体重增加1.2 kg，
张华体重减少0.5 kg，刘伟体重无变化，写出他们这个月的体
重增长值.
（2）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季
度相比，变化率如下：
A品牌减少2%，B品牌增长4%，C品牌增长1%，D品牌减
少3%.
写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.
填空分析：
第（1）小题要求写出“增长值”，所以，用 正数
表示
体重增加量，用 负数
表示体重减少量.这样，直接翻译“体
重减少1 kg”就是体重增长－
1 kg
.第（2）小题可以此类推.
解：（1）这个月李明体重增长1.2 kg，张华体重增长－0.5
kg，刘伟体重增长0 kg.
（2）四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是：
A品牌－2%，B品牌4%，C品牌1%，D品牌－3%.
追问 增长－2%是什么意思？什么情况下增长率是0？
增长－2%就是减少2%.第二季度的手机销售量与第一
季度相同时，增长率是0.
【对应训练】
教材P5练习.
表示，低于基准的
部分用负数表示.
【教学建议】
这个问题2继
续说明0作为正数、
负数的“分界”，
在解决实际问题中
的“基准”作用.注
意例子中地形图上
的海拔一般不标单
位，实际采用米作
单位Ｗ.手机收付款
的收支平衡可以用
0 表示
.
【教学建议】
用正数、负数
表示具有相反意义
的量时，难点是描
述向指定方向变化
的情况，即：向指定
方向变化用正数表
示；向指定方向的
相反方向变化用负
数表示.这与学生的
日常经验有一定的
矛盾，需要一个
“心理转换”：把
“ 体重减少0.5
kg”，转换为“体重
增加－0.5 kg”，需
要对“ 负” 与
“正”的相对性有
较好的理解.
实际上，只要
问题中包含具有相
反意义的量，就可
以用正数和负数分
别表示，而哪个量
用负数表示，可以
视实际需要而定，
教学时要注意引导.
活动三：知识升
华，巩固提升
例3 （教材P5习题1.1第6题） 某班七组同学分别测量同
一座楼的高度，测得的数据（单位：m）分别是：79.4，80.6，
80.8，79.1，80，79.6，80.5.这些数据的平均值是多少？以平均
值为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，
它们对应的数分别是什么？
解：平均值是（79.4＋80.6＋80.8＋79.1＋80＋79.6＋
【教学建议】
对于例题中求
平均值，小学时已
经学过，只要将各
个数据相加求和再
除以7即可，这个可
设计意图
安排此例题和对
应训练是想让学
生体会以平均值
为标准，用正数表
示超出的部分，用
负数表示不足的
部分的方法.
80.5）÷7＝560÷7＝80.
即这些数据的平均值是80 m.
它们对应的数分别是－0.6 m，0.6 m，0.8 m，－0.9 m，0
m，－0.4 m，0.5 m.
【对应训练】
1.体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐
为达标，超过标准的个数用正数表示，不足标准的个数用负
数表示.八位同学的成绩分别记录为：＋3，－1，＋1，0，－2，
＋2，＋4，－3.这八位同学中达标的有（ B ）
A.4人 B.5人 C.6人 D.8人
2.某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活
动.李龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心
称重（单位：g）后统计列表如下：
第1枚
第2枚
第3枚
第4枚
第5枚
第6枚
68.4 g
71.3 g
70.7 g
68.6 g
69.1 g
72 g
为了简化运算，李龙依据比赛的标准质量，把超出部分
记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），请你把表
格补充完整：
第1枚
第2枚
第3枚
第4枚
第5枚
第6枚
－1.6 g
＋1.3 g
＋0.7 g
－1.4 g
－0.9 g
＋2 g
解：补充表格如上所示.
由学生自主完成.难
点主要在于以平均
值为标准，用负数
表示不足的部分.这
里没学有理数的加
减运算，可让学生
用较大数减去较小
数，然后根据具有
相反意义的量的知
识来表示.
活动四：随堂训
练，课堂总结
【随堂训练】 见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.
【课堂总结】 师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.什么是正数，什么是负数，0 是什么数？
2.怎么表示具有相反意义的量？
3.0 的意义是什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P5 习题1.1 第1，2，3，4，5 题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
1.1 正数和负数
1.具有相反意义的量：
①“零上3 摄氏度”与“零下3 摄氏度”
②“盈利50 万元”与“亏损10 万元”
……
2.正数和负数
教学反思
本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活
的需要，数学与我们的生活密不可分.学生通过经历讨论、探索、交流、合作等过程获
得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的
兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展，使每个学生在教学中都能得到收获.
解题大招一 用正数、负数表示具有相反意义的量
当题目中已明确“一种意义”的量对应的是正数（负数）时，我们就可以判断“与之具有相反意义”的
量所对应的是负数（正数）.如果没有明确哪种意义的量用正数表示，那么我们可以任选一种意义的量用正数
表示，而另一种意义的量必须用负数表示.
例1 （1）在知识竞赛中，如果用－10 分表示扣10 分，那么加20 分记为（ C ）
A.＋10 分 B.－10 分 C.＋20 分 D.－20 分
（2）如果风车顺时针旋转66°，记作＋66°，那么逆时针旋转78°，记作（ A ）
A.－78° B.78° C.－12° D.12°
（3）我国古代数学名著《九章算术》中对正数和负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.
如：库管员把仓库运进 30 t 粮食记为“＋30”，则“－30”表示运出
30 t
粮食
.
解题大招二 用正负数表示允许偏差
例2 某品牌饮料外包装上标明“净含量：200 mL ± 5 mL”，随机抽取四种口味的这种饮料分别检测如表.
其中，净含量不合格的是（ B ）
种类
原味
草莓味
香草味
巧克力味
净含量/ mL
195
210
200
205
A.原味 B.草莓味 C.香草味 D.巧克力味
分析：先计算净含量范围，比较即可求解.由题目中200 mL±5 mL 可知，200＋5＝205（mL），200－5＝
195（mL），所以净含量合格范围是195 mL～205 mL 之间.因为210>205，所以净含量不合格的是草莓味.故选
B.
解题策略：解这类题关键是知道“±××”表示的是允许偏差的范围.以本题为例，200 mL±5 mL 表示饮料
净含量最大可以是（200＋5）mL，最小可以是（200－5）mL.
培优点 实际问题中“基准”的相对性
例 如图，已知摩天轮的最高点距地面165 m，最低点距地面5 m.
（1）若以地面为基准，则摩天轮最高点和最低点的高度分别如何表示？
（2）若以摩天轮最低点的位置为基准，则最高点和地面的高度分别如何表示？
分析：（1）以地面为0 m 时，高出地面都记为正数；
（2）以该摩天轮最低点的位置为0 m 时，最高点的高度为正数，地面高度为负数.
解：（1）若以地面为基准，该摩天轮最高点和最低点的高度分别表示为＋165 m，＋5 m.
（2）若以该摩天轮最低点的位置为基准，则最高点的高度为165－5＝160（m）.最高点的高度可表示为
＋160 m，地面高度表示为－5 m.
